Capítulo 6

ANÁLISE DIMENSIONAL – SEMELHANÇA

Neste capítulo o leitor deverá compreender a utilidade da análise dimensional para a construção de leis da Física. O agrupamento de grandezas em números adimensionais facilita a análise empírica das funções que representam os fenômenos da natureza. O capítulo é dedicado à interpretação dos principais adimensionais utilizados na Mecânica dos Fluidos e à teoria dos modelos ou semelhança, de grande utilidade em análise experimental. Exercício 6.1

Base FLT [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 1

12

2

1121m

1G

13

2

2

3

24

21

2

3

2

FLTN

FLWFLM

TL

TFL

TFLTTFLQ

FTQ

TLQ

FL

FLp

FL

TFL

FFTFLm

LTa

LV

LA

−

−

−

−−−

−

−

−

−

−

−

−

−

=

===ν

=μ

=×=

=

=

=τ

=

=γ

=ρ

==

=

=

=

Exercício 6.2

( )

( )vazãodeecoeficientnD

QQDn

ynoldsRedenúmeronDRenDnD

Dn

D,n,:Base

32321

2

2

1321

1

φ==π⇒ρ=π

ν=⇒

ν=

ρμ

=π⇒μρ=π

ρ

βββ

ααα

Base MLT [ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 3212

22

222

12

1122

1m

312G

13

21

2122

2232

3

2

2

3

2

TMLLTMLTN

TMLW

TMLLMLTM

TL

TMLTLMLT

MTQ

MLTTMLTQ

TLQ

TML

TMLLMLTp

TMLLMLT

ML

MLTF

MmLTa

LV

LA

−−−

−

−−

−

−−−−

−

−−−

−

−−

−−−−

−−−−

−

−

−

=×=

=

=×=

=ν

=×=μ

=

=×=

=

=τ

=×=

=×=γ

=ρ

=

==

=

=

( )omanométricecoeficientDn

gHDn

HHDn

22B

22B

3B321

3 Ψ==ρ

γ=π⇒γρ=π δδδ

Exercício 6.3

( ) ( ) 0f0h,g,,pf)h,g,(fp

=π→=ρρ=

[ ][ ][ ][ ] Lh

TLg

TFL

FLp

12

24

2

==

=ρ

=

−

−

−

Como só existe um adimensional, ele será uma constante.

ghCpCghp

ρ=⇒=ρ

=π

Exercício 6.4 ( )

gCTgTTg

21;

21012

0TLTTLLTg

0g,,Tf

21

21

212

21

12221222121

l

ll

l

l

=⇒==π

=α−=α⇒=+α−

=α+α=π→=π→=π

=

−

+α−α+αα−αααα

Exercício 6.5

( )( ) ( ) 0f0p,,D,Qf

p,,DfQ=π→=ρ

ρ=

Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ][ ][ ][ ] 2

24

13

FLp

TFL

LDTLQ

−

−

−

=

=ρ

==

m = n – r = 4 – 3 = 1

D,p,:Base134rnm

ρ=−=−=

( ) ( )

0120324

0

TLF

TLLFLTFLQDp

1

321

21

12324

13224

132121

321321

=−α=+α+α−α−

=α+α

=π

=ρ=π−α+α+α−α−α+α

−αα−α−ααα

21

2

21

221

21

pD

QQDp ρ=ρ=π −−

ρ=

pCDQ 2

Exercício 6.6 ( )

( ) ( )

( ) 25

21

2

2

21

21

121

21

1121211212121

hCg2tghghQ

2tgh2

h2htg2A2htg2b

h2b

2tg

2bhAvAQ

ghvvhg

21;

21

01201

TLLTLTLvhg

0h,g,vf

=α×π=

α=×α

=⇒α=⇒=α

→=→=

π=⇒=π

−=α−=α⎭⎬⎫

=−α−=+α+α

=π→=π→=π

=

−−

−α−+α+α−αα−ααα

Exercício 6.7

( )( ) ( ) 0f0H,Q,,Nf

H,Q,fN

BB

BB=π→=γ

γ=

Como só existe um adimensional, ele será uma constante. [ ][ ][ ][ ] LH

TLQ

FL

FLTN

B

13

3

1B

==

=γ

=

−

−

−

21

221

1

3

2

=α

−=α

−=α

BH,Q,:Base134rnm

γ=−=−=

( ) ( )

010133

01

TLF

FLTLTLFLNHQ

2

321

1

1213231311

1321313B

3B

21

=−α−=+α+α+α−

=+α

=π

=γ=π−α−+α+α+α−+α

−αα−α−ααα

BB QHCN γ=

Exercício 6.8

( )

( )

( )

( )Machcv

vccLv

100

012014

0

FroudeLgvFr

vLgLgv

210

022014

0

EulerLv

FEuLv

FFLv221

0204

01

ynoldsRevLRevL

Lv111

012024

01LTLTLTLFcLv

LTLTLTLFgLv

FLTLTLFFLv

TFLLTLTLFLv

L,v,:Basec,g,F,,L,v,:Grandezas

0104

2

3

1

21

321

1

2

220

3

2

3

1

21

321

1

2222221

2

2

3

1

21

321

1

1111

2

3

1

21

321

1

1322121411

3214

2322121411

3213

322121411

3212

2322121411

3211

=Μ⇒=ρ=π⇒−=λ

=λ=λ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−λ−λ=+λ+λ+λ−

=λ

=⇒=ρ=π⇒−=δ

=δ=δ

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−δ−δ=+δ+δ+δ−

=δ

ρ=⇒

ρ=ρ=π⇒

−=β−=β−=β

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=β−β=β+β+β−

=+β

μρ

=⇒ρμ

=μρ=π⇒−=α−=α−=α

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=+α−α=−α+α+α−

=+α

=π⇒ρ=π

=π⇒ρ=π

=π⇒ρ=π

=π⇒μρ=π

ρμρ

−

−

−−−

−−−

−λλ−λλλ−λλλλ

−δδ−δδδ−δδδδ

ββ−βββ−ββββ

−αα−ααα−αααα

Exercício 6.9

( )( ) ( )4321 ,,,f0c,,,D,,v,Ff

c,,,D,,vfFππππ→=μρω

μρω=

111

2

3

1

−=α−=α−=α

B1

B11 NHQ −−−γ=π⇒

[ ][ ][ ][ ][ ][ ][ ] 1

2

24

1

1

LTc

TFL

TFL

LDT

LTv

FF

−

−

−

−

−

=

=μ

=ρ

==ω

=

=

( ) ( ) 213211321

321

321

321

321

2411241

4

3

2

1

TLFFLLTTFL

cDv

Dv

Dv

FDv

α−αα+α+α−+ααα−α−

λλλ

δδδ

βββ

ααα

==π

ρ=π

μρ=π

ωρ=π

ρ=π

0204

01

21

321

1

=α−α=α+α+α−

=+α

É necessário observar que nos outros sistemas de equações a parte das incógnitas será a mesma, apenas mudando o símbolo e os coeficientes independentes das incógnitas dependerão da contribuição dos expoentes das variáveis independentes de cada adimensional.

012

040

21

321

1

=−β−β=β+β+β−

=β

012

02401

21

321

1

=+δ−δ=−δ+δ+δ−

=+δ

D,v,:Base

437rnm

ρ

=−=−=

Vale lembrar que se existir esta base, deverá ser preferida, pois, pode conduzir a alguns adimensionais conhecidos. deve-se lembrar que no lugar de D, pode ser qualquer grandeza de equação dimensional L.

F L T

2Dv

FEu2

Dv

FFDv1

2

223

22221

11

−=αρ

=⇒−=α

ρ=ρ=π−=α −−−

F L T 1

10

2

3

1

−=β⇒=β

=β

vD

vDDv

2

1102

ω=π

ω=ωρ=π −

F L T 1

11

2

3

1

−=δ⇒−=δ

−=δ

μρ

=

ρμ

=μρ=π −−−

vDRe

vDDv 111

3

F L T 1

00

2

3

1

−=λ⇒=λ

=λ

cvM

vccDv 010

4

=

=ρ=π −

012014

0

21

321

1

=−λ−λ=+λ+λ+λ−

=λ

( ) 0MRe,,v

D,Euf0c,,,D,,v,Ff =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ω

→=μρω

Exercício 6.10

( )

( )

( )

α=πμρ

=⇒μρ=π

ρ=⇒ρ=π

ραμρ=

βββ

ααα

3

3212

22321

1

ynoldsRevLReLv

EulerLv

FEuFLv

L,v,:Base,v,,,LfF

Exercício 6.11

( ) ( ) 0Eu,Frf0g,,,L,v,Ff =→=μρ

000.11

101

16,311k)2(

hkm1585016,3v16,3v

vv

16,311

101kkk)1(

)protótipodoardoespropriedad

masmesascomolaboratóridoaroondo(sup1k;1k;101k

)2(kkkkEuEuLv

FEu

)1(kkkFrFrLgvFr

22

F

mp

p

mgLv

gL

2L

2vFpm22

gL2vpm

2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×=

=×==

==×==

===

=→=→ρ

=

=→=→=

ρ

ρ

Exercício 6.12

μ

Δ

μ

Δ

ρμ

ρΔ =⇒=⇒⎪⎭

⎪⎬⎫

=

=

μρ

=

ρ

Δ=

ρ=

ρ

k

kkk

kk

k

k

kkkk

kkk

vDRe

vp

DvF

Eu:ensionaisdimA

D,v,:Base

Dpv

D

vp

Dv

2vp

222

sm9,42,3

4,68,9v

4,68,9v

vv

8,94,6

104,6108,911k mp

p

m

4

4v =×==⇒==

×××

=

−

−

Exercício 6.13

( )

000.11

101

16,311k)3(

rpm37912016,3nnn

16,3

10116,31

kk

k)1(

sm37,2

16,35,7v

vv

16,311

101kkk)2(

)protótipodoáguaàigualelomoddoáguaaondo(sup1k;1k;101k

)3(kkkkEuEuDv

FEu

)2(kkkFrFrDgvFr

)1(kkkv

Dn

vDn

0Eu,Fr,v

nDf0F,g,n,D,v,f

22

F

mp

m

D

vn

mp

mgDv

gD

2D

2vFpm22

gD2vpm

2

Dnvp

pp

m

mm

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛×=

=×=→====

==→==×==

===

=→=→ρ

=

=→=→=

=→=

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→=ρ

ρ

ρ

Exercício 6.14

cm30215bm325,1

comPlaca

L2LLL

5,02,01,0

kk

k

2,0306k;1,0

1010k;

2,1000.1k

kkkvLvLRe

kkkkLv

FEu

L,v,:Base

mpp

m

vL

v5

6

Lv2

2L

2vF221

=×==×=

=⇒====

=====

=⇒ν

=μρ

==π

=⇒ρ

==π

ρ

ν

−

−

νρ

ν

ρ

l

N8,133,8

1533,8

FF

FF

33,85,02,02,1

000.1k mp

p

m22F ===⇒==××=

Exercício 6.15

omanométricecoeficientDn

gH

vazãodeecoeficientnD

Q

22B

3

=Ψ

=φ

m79316,025H

H

H316,0

1333,1422,0

kkk

k)2(

rpm844.2422,0200.1n

nn

422,0333,1

1

k

kk)1(

1k;333,11520

DD

k;1k

)2(kkk

)1(kkk

pp

mB

B

BB

B22

g

2D

2n

H

pp

m33

D

Qn

gp

mDQ

2D

2nHpm

3DnQpm

==→==×

==

==→====

=====

=→Ψ=Ψ

=→φ=φ

Exercício 6.16

sm106,9

247.105,04,2

247.1Dv

247.1Dv

247.1Re8,125,88,127,10

000.1500.1000.1Re

:elinearmentdoInterpolan

7,104,2800

102,49v

pEu

25pp

pp

pp

pp

2

3

2pp

pp

−×=×

==ν⇒=ν

=⇒−−

=−

−

=××

=ρ

Δ=

Exercício 6.17

( )

sm5,735,2v

vv5,2

4,011

kkk

k)2(

4,05020

DDk;1k;1k

)2(kkkkReRe

)1(kkkkEuEu

0vDRe;Dv

FEuf0,D,v,,Ff

12

1

Dv

2

1D

Dvpm

2D

2vFpm

22

=×=→==×

==

=====

=→=

=→=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛μ

ρ=

ρ=→=μρ

ρ

μ

μρ

ρμ

ρ

Para bombas:

Traçado o gráfico de F1 = f(v1), obtém-se, com v1 = 7,5 m/s, F1=260 N.

N260FF:LogoFF

14,05,21k)1(

12

2

1F

==

==××=

Exercício 6.18

( )C90aágua1053,3353,0353,021707,0k

707,0121kkk

kkkvLRe

kkkLgvFr

ensionaisdimA

L,v:base,L,g,v

o7m

p

m

gLv

Lv

gL2v

2

−ν

ν

×=ν⇒=νν

⇒=×=

=×==

=→ν

=

=→=

→ν

Exercício 6.19

f(N, g, ρ, v, L) = 0 Aplicando o Teorema π e usando como base ρ, v, L, obtém-se:

23221Lv

Nev

Lg

ρ=π=π

Pela figura: 23221

Lv

N

v

Lg

ρ=→π=π

kW5,2000.112000.1105,0vgLN 33 =××××=ρ=

Exercício 6.20

sm106

8108,4

881

41

21k

211

41kkk

kkkLgvFr

kkkvLRe

26

5p

mp

m

gLv

gL2v

2

Lv

−−

ν

ν

×=×

=ν

=ν→νν

==×=

=×==

=→=

=→ν

=

Exercício 6.21

Q08,515,0

60500.3

QnDQ

33 =×

==φ

Ψ=×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

×Ψ=×Ψ=

φ=××φ=φ=

=×=====

=

×⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

==Ψ

8125,78,9

3,060750.1

gDn

H

7875,03,060750.1DnQ

m3,015,02D2Derpm750.12500.3

2n

n:protótipooPara

H128,0

15,060500.3

H8,9Dn

gH

22

2p

2p

pB

33ppp

mpm

p

B2

2B

22B

Com essas expressões é possível construir a tabela a seguir e, portanto, as curvas da bomba. Q(m3/s) 0 5x10-3 10x10-3 15x10-3 20x10-3

HB(m) 25 24 23 20 14 φ 0 0,0254 0,0508 0,0762 0,1016 ψ 3,20 3,07 2,94 2,56 1,79

Qp(m3/s) 0 20x10-3 40x10-3 60x10-3 80x10-3 HBp 25 24 23 20 14

Exercício 6.22

N700.327

1027F

FFF

27373,11k

sm2,5

73,19

73,1v

vvv

73,113k

kkkLgvFr

kkkkLv

FEu

51

22

122F

12

2

1v

gL2v

2

2L

2vF22

===⇒==××=

===⇒==×=

=⇒=

=⇒ρ

= ρ

Exercício 6.23 Se a perda de carga de (5) a (7) é a mesma nas duas situações, como é função de v2, deve-se entender que a vazão nas duas situações deve ser a mesma, logo, kQ = 1.

( )( ) m164318HzH

m184338HzH

kkkk

1kkkkkkk

k1kkkk

7,1p72B

7,1p71B

43

BHn3

4n

32n

2nBHg

2D

2nBHg

3n

D3DnQ

=+++=′+=

=+++=+=

=→==→=

=→=

rpm158.3092,1450.3

092,1n

n

nn

092,11618k

12

2

14

3

n

===

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

Exercício 6.24

( )768,0

5,10178

NN

kW7810100108,91500.8QHN)b

sL8,914,327Q27Q

QQ

2731kkk

sL5,3Qm1,11

9100

9H

HHH

91

31kkk

k)a

BB

33B

212

133DnQ

21B

2B2B

1B22

g

2D

2n

BH

===η

=××××=γ=

=×==⇒==×==

=⇒===⇒==×

==

−−

Exercício 6.25 A curva representa Eu = f(Re). Quando o efeito da viscosidade torna-se desprezível, o Eu não varia mais com Re e, portanto, Eu = constante. Essa situação acontece para 4105Re ×≅ , onde .3Eu ≅ Logo:

N75,005,01013F3Dv

F3Eu

sm10

05,010105

D105v105vD

2222

5444

=×××=→=ρ

→=

=××

=ν×

=→×=ν

−

Exercício 6.26

( )

mm9,5m109,510100

2,1102102,0

p102QD

102pD

QpDD

Q

pDD

Q

ensionaisdimA

D,,:BaseD,,,pfQ

332

3

2

222

2

2

1

2

2

2

1

=×=××

×=

Δρ

×=

×=Δρ

=Δρν

ν=

π

π

ρνΔ

=π

ν=π

νρρνΔ=

−−

−

−

−

Exercício 6.27 a)

10241

161

411kkkk

41

161kkkk

1k;161k;1k)e

sN500.151010106vLQ

106105,21010510

vL

5,010

105vLg)c

vL1

LvLv

vLggLv

vLQ

QLv)b

22LvGQ

vgL2v

gL

24421G

41

73

242

3

222

2

3323

3213

22321

2

2G

1G321

1

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛××==

==→=

===

=××××=γπ=

×=π⇒×=××

=μγ

=π′

=×

==π

μγ

=π

=π′→γμ

=π→μγ=π

=π→γ=π

γ=π→γ=π

γ

γ

−

−−

δδδ

βββ

ααα

Exercício 6.28

( )

( ) kW500.7101075,010NNW75,06,36,375,0FvN

NN

101

1001

1011kkkk)c

hkm6,3

1036

10v

vvv

101

1001kkk

kkkk

kkk)b

LA

;vLg;

LvNL,v,:Base

A,L,g,v,fN)a

377mpm

p

m7

232L

3vN

pm

p

mgLv

2L

3vN

gL2v

2fr

322231

fr

=××=×=⇒=×==

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛×⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×==

===⇒====

=

=

=π=πρ

=π⇒ρ

ρ=

−

ρ

ρ

[ ][ ][ ] 3

2

1G

FL

LTg

FTQ

−

−

−

=γ

=

=

[ ][ ][ ] TFL

LLLTv

2

1

−

−

=μ

==