ESCOLA DE ENGENHARIA

AVALIAÇÃO PARCIAL 1

Disciplina: Resistência dos Materiais II

Semestre 2014.1

Equação da Linha Elástica

Prof. Fernando Peroba

GABARITO

01) Dada a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima e a

rotação na extremidade em balanço. Utilize a tabela de deslocamento

transversal e inclinação da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

𝑦 =𝑀𝐿2

2𝐸𝐼=

20 ∙ 102

2 ∙ 2 ∙ 105= 𝟓 𝒎𝒎

𝜃𝐴 =𝑀𝐿

𝐸𝐼=

20 ∙ 10

2 ∙ 105= 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒓𝒂𝒅

02) Considere a viga isostática a seguir, pede-se determinar a flecha máxima

e a inclinação no apoio da esquerda. Aplique o método da superposição por

meio da utilização da tabela de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙105𝑘𝑁. 𝑚².

𝑦 =𝑀𝑥

6𝐿𝐸𝐼(2𝐿2 − 3𝐿𝑥 + 𝑥2) −

𝑃𝑏𝑥

6𝐿𝐸𝐼(𝐿2 − 𝑏2 − 𝑥2)

𝑦 =1

𝐸𝐼[24 ∙ 𝑥

6 ∙ 10∙ (2 ∙ 102 − 3 ∙ 10 ∙ 𝑥 + 𝑥2) −

36 ∙ 4 ∙ 𝑥

6 ∙ 10∙ (102 − 42 − 𝑥2)]

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𝑦 =1

𝐸𝐼(

14𝑥3

5− 12𝑥2 −

608𝑥

5)

𝑦′ =1

𝐸𝐼(

42𝑥2

5− 24𝑥 −

608

5)

Cálculo da flecha máxima.

42𝑥2

5− 24𝑥 −

608

5= 0

𝒙 = −𝟐, 𝟔𝟒𝒎 (Fora do domínio)

𝒙 = 𝟓, 𝟒𝟗𝒎

𝑦 =1

2 ∙ 105(

14

5∙ 5,493 − 12 ∙ 5,492 −

608 ∙ 5,49

5) = −𝟐, 𝟖𝟑𝒎𝒎

𝑦′ = 𝜃𝐴 =1

2 ∙ 105(

42

5∙ 02 − 24 ∙ 0 −

608

5) = −𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟔𝟏 𝒓𝒂𝒅

03) Dada a viga hiperestática a seguir, pede-se determinar as reações de

apoio. Aplique o método da superposição por meio da utilização da tabela

de equações da linha elástica. Dado: 𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

Deve-se retirar o apoio da esquerda e, em seu lugar, inserir uma reação

superabundante 𝑃 = 𝑉𝐶, de baixo para cima, a fim de compatibilizar o

deslocamento nulo referente ao apoio C. Desta forma, tem-se:

𝑦𝑞 + 𝑦𝑃 = 0

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(𝑦𝐵 + 𝑚𝜃𝐵) + 𝑦𝑃 = 0

(−𝑞𝐿𝐴𝐵

4

8𝐸𝐼− 4 ∙

𝑞𝐿𝐴𝐵3

6𝐸𝐼) +

𝑉𝐶𝐿3

3𝐸𝐼= 0

−48 ∙ 44

8− 4 ∙

48 ∙ 43

6+

𝑉𝐶 ∙ 83

3= 0

𝑽𝑪 = 𝟐𝟏𝒌𝑵

Cálculo das reações de apoio.

→ ∑ 𝐻 = 0 𝑯𝑨 = 𝟎

↑ ∑ 𝑉 = 0 𝑉𝐴 + 𝑉𝐶 = 192

↶ ∑ 𝑀𝐴 = 0 𝑉𝐶 ∙ 8 − 192 ∙ 2 + 𝓂𝐴 = 0

𝑉𝐴 + 21 = 192 𝑽𝑨 = 𝟏𝟕𝟏𝒌𝑵

21 ∙ 8 − 192 ∙ 2 + 𝓂𝐴 = 0 𝓶𝑨 = 𝟐𝟏𝟔𝒌𝑵

04) A partir da Equação Diferencial da Linha Elástica, determine o valor da

flecha máxima e da inclinação nos apoios da viga mostrada a seguir. Dado:

𝐸𝐼 = 2 ∙ 105𝑘𝑁. 𝑚².

1. Equação diferencial.

𝑉𝐴 + 𝑉𝐵 = 0

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6 ∙ 𝑉𝐵 + 24 − 72 = 0

𝑉𝐴 = −𝑉𝐵 = 6𝑘𝑁

𝐸𝐼𝑦" = −24 − 6𝑥

𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 𝐶1

𝐸𝐼𝑦 = −12𝑥2 − 𝑥3 + 𝐶1𝑥 + 𝐶2

2. Condições de contorno.

i) 𝑥 = 0 e 𝑦 = 0

ii) 𝑥 = 8 e 𝑦 = 0

3. Cálculo das constantes de integração.

𝐸𝐼(0) = −12(0)2 − (0)3 + 𝐶1(0) + 𝐶2

𝑪𝟐 = 𝟎

𝐸𝐼(0) = −12(8)2 − (8)3 + 𝐶1(8)

𝑪𝟏 = 𝟏𝟔𝟎

4. Flecha máxima.

A flecha é máxima onde a inclinação é nula.

𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 160 = 0

𝑥 = −12,33 𝑚 (Fora do domínio)

𝒙 = 𝟒, 𝟑𝟑𝒎

𝐸𝐼𝑦 = −12𝑥2 − 𝑥3 + 160𝑥

𝐸𝐼𝑦𝑚á𝑥 = −12(4,33)2 − (4,33)3 + 160 ∙ 4,33

𝒚𝒎á𝒙 = +𝟏, 𝟗𝟑𝟑 𝒎𝒎 ↑

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5. Rotações nos apoios.

𝐸𝐼𝑦′ = −24𝑥 − 3𝑥2 + 160

𝐸𝐼𝜃𝐴 = −24(0) − 3(0)2 + 160

𝜽𝑨 = +𝟎, 𝟎𝟎𝟎𝟖𝒓𝒂𝒅

𝐸𝐼𝜃𝐵 = −24(8) − 3(8)2 + 160

𝜽𝑩 = −𝟎, 𝟎𝟎𝟏𝟏𝟐𝒓𝒂𝒅