UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDESFacultad de Ingeniera Civil

RESISTENCIA Y DUCTILIDAD DE LOS MARCOS11.1 INTRODUCCIONEs necesario considerar el comportamiento de los marcos de concreto reforzado en la carga mxima y cerca de ella para determinar las distribuciones posibles del momento flexionante, la fuerza cortante y la fuerza axial que se podra utilizar en el diseo. Es posible utilizar una distribucin de momentos y fuerza distinta a la dada por el anlisis estructural elstico lineal, si las secciones crticas tienen suficiente ductilidad para permitir que ocurra la redistribucin de las acciones conforme se acerca la carga mxima. Adicionalmente, en pases que sufren terremotos, otro aspecto importante del diseo es la ductilidad de la estructura cuando se la sujeta a cargas de tipo ssmico, ya que los criterios actuales de diseo ssmico se basan en la disipacin de la energa por deformaciones inelsticas en caso de sismos importantes.Estos dos aspectos del comportamiento en la carga mxima dependen de las caractersticas de deformacin de los miembros, que para los marcos dependen principalmente de la relacin entre el momento y la curvatura.Las relaciones momento - curvatura en y prximas a la carga ltima de los miembros se estudiaron en el captulo 6. La fig. 11.1 proporciona una curva tpica momento - curvatura para una seccin en que el acero a tensin est en la resistencia de cedencia en el momento mximo.La curva est marcada para indicar los puntos en que el concreto comienza a agrietarse, el acero a tensin comienza a ceder y comienza el deslajamiento y aplastamiento del concreto. Una seccin dctil puede mantener la capacidad de momento prxima al valor mximo para curvaturas grandes, ms alto de la curvatura en la primera cedencia.Fig. 11.1. Relacin tpica de Momento vs. Curvatura para miembro a flexin de concreto reforzado.

11.2 REDISTRIBUCIN DE MOMENTOS Y ROTACIN DE ARTICULACIN PLSTICA

Es evidente que la naturaleza no lineal de la relacin del momento - curvatura, para las secciones de concreto reforzado, provocar cierto ajuste a los valores relativos de los momentos flexionantes. Si la estructura se carga ms all del intervalo de carga de servicio. En especial, debido a las rotaciones plsticas en algunas secciones, es posible que los momentos flexionantes asuman un patrn distinto al deducido del anlisis estructural elstico lineal, y que todas las secciones de momentos positivos y negativos crticos alcancen sus momentos ltimos de resistencia en la carga ltima. De esta manera, la redistribucin de momentos puede tener una influencia marcada en la carga mxima de una estructura estticamente indeterminada.

Fig. 11.2. Redistribucin de momentos y formacin de un mecanismo de desplome para una viga continua, (a) Viga, (b) Relacin idealizada de momento vs. Curvatura para las secciones, (c) Diagrama de momento flexionante de la teora elstica, (d) En la formacin de la primera articulacin plstica, (e) En la formacin del mecanismo de desplome, (f) Cambio de momento flexionante con la carga.Por ejemplo, considrese una viga continua de dos claros, con una seccin transversal uniforme (figura 1 1 .2#). Sea M el momento mximo de resistencia de las secciones de momento flexionante negativo y M u el momento mximo de resistencia de las secciones de momento flexionante positivo. Se supone que las secciones estn reforzadas adecuadamente por cortante, lo que permite alcanzar los momentos ltimos sin falla por cortante. Tambin se supone que la relacin momento - curvatura para las secciones es la relacin bilineal idealizada para una seccin dctil, como la que aparece en la figura 11.26, en que todas las secciones tienen la misma rigidez constante a flexin hasta el momento mximo y el momento permanece constante en el valor ltimo a curvaturas mayores. A cargas bajas, la distribucin del momento flexionante debido a las dos cargas concentradas estar de acuerdo con la distribucin de la teora elstica (vase la figura 11.2c). Se ha despreciado la carga muerta de la viga. Al aumentar ms las cargas aplicadas, se alcanza el momento mximo de resistencia en una seccin crtica, por ejemplo, sobre el soporte central, antes de que se alcance en las otras secciones. Entonces el momento en el apoyo central ser M 'u, como en la figura 11.2d. El grado al que la viga pueda tomar carga adicional depende de la capacidad de rotacin plstica en el apoyo central.Si la seccin es frgil, el momento decrece rpidamente despus de alcanzar el mximo (vase la figura 11.26), y la viga falla repentinamente sin tomar carga adicional. Si la seccin es dctil, se puede transmitir carga adicional debido a que la articulacin plstica en el apoyo central gira mientras mantiene constante su momento de resistencia e n M '.y ocurre una redistribucin de momentos hasta que el momento positivo mximo en los claros aumente hasta Mu. Entonces se forma el mecanismo de desplome en la figura 11.2e. La figura 11.2/sigue la variacin del momento flexionante en las secciones crticas con la carga en la viga, suponiendo que la articulacin plstica se forma primero en el apoyo central (lo que requiere M'u/Mu < M/M = 1.2) Ntese que en todas las etapas del equilibrio se requiere que:

Y si el momento en el apoyo central permanece en M'u hasta que se desarrolle Mu en las secciones a mitad de los claros, se tiene:

En consecuencia, si se dispone de suficiente capacidad de rotacin de las articulaciones plsticas, la distribucin de momentos flexionantes en la carga mxima puede ser bastante distinta a la calculada utilizando la teora elstica, y depende de los momentos mximos de resistencia de las secciones. En las estructuras de concreto reforzado, la ductilidad en las primeras articulaciones plsticas que se formen puede ser insuficiente para permitir la redistribucin completa de los momentos con el momento mximo en cada seccin crtica. Por tanto, si se debe confiar en la redistribucin de momentos, se debe asegurar la disponibilidad de suficiente ductilidad en las articulaciones plsticas.Como ejemplo, se calcula la rotacin plstica requerida para la viga continua de dos claros, de la figura 11.2, para el caso de que la articulacin plstica se forme primero en el apoyo central. La viga y los diagramas de curvatura de las figuras 11.3a y 11.3b muestran la etapa en que ha ocurrido suficiente rotacin plstica en el apoyo central B para permitir que se desarrolle el momento mximo Mu a mitad del claro. En consecuencia, las figuras 11.3a y 11.3b indican la etapa cuando se alcanza justamente Pu. Se considera que la curvatura plstica ocurre en la longitud lp de la articulacin plstica equivalente a cada lado de la seccin crtica (vase la seccin 6.6.3). L a curvatura elstica, a lo largo de la longitud del miembro, se puede calcular de la distribucin de momentos flexionantes y la rigidez a flexin E l supuesta constante. La rotacin plstica p en el apoyo central B es la discontinuidad de la pendiente entre los extremos de los miembros adyacentes, y 6p = 20B como lo indica la figura 11.3a. Para encontrar p, se deben considerar las deformaciones elsticas de los miembros que soportan las cargas Pu. En primer lugar, se reemplaza la articulacin plstica en B por una articulacin sin friccin, como en la figura 11.3c. Luego del teorema del rea de momentos, la rotacin en B debido solamente a la carga Pu en un claro es:

Fig. 11.3. Clculo de rotacin de articulacin plstica para la viga de la fig. 11.2. (a) Perfil flameado cuando se alcanza la carga ltima, (b) Distribucin de curvatura idealizada cuando se alcanza la carga ltima, (c) Pu que acta sin Mu. (d) Mu que acta sin Pu.

Ahora considrese el efecto del momento mximo de apoyo M'u que acta en la articulacin sin friccin como en la figura 11.3d. La rotacin en B debido sla M'u es:

La ecuacin 11.5 proporciona la rotacin requerida en la articulacin plstica en el apoyo central B para el caso cuando Mu >5/6 Mu. Si Mu = 5/6 M'U (es decir, si M'u /Mu = 1.2), la p requerida es cero, ya que esta es la razn de los momentos dada por la teora elstica, y no se requiere redistribucin de los momentos flexionantes. Adems, si Mu < 5/6 Mu el valor dado para p es negativo, y el clculo anterior no se aplica debido a que la primera articulacin plstica se forma en los puntos de carga a mitad del claro y tendra que calcularse la rotacin plstica requerida en esas secciones. De la seccin 6.6.4 y la fig. 11.3b, se puede ver que la rotacin de articulacin plstica disponible en la articulacin plstica es en que c = deformacin unitaria del concreto en la fibra extrema a compresin en la curvatura mxima ce = deformacin del concreto en la fibra extrema a compresin, cuando se alcanza la curvatura de cedencia, c = profundidad del eje neutro en el momento mximo, kd = profundidad del eje neutro cuando se alcanza la curvatura de cedencia y lp = longitud de la articulacin plstica equivalente, a cada lado de la seccin crtica. Por tanto, en el ejemplo, cuando A > \M'U, puede ocurrir una redistribucin de momentos flexionantes hasta que el momento mximo se desarrolle en cada seccin crtica, si

Si puede ocurrir una redistribucin total de momentos, se puede determinar por las propiedades de la seccin utilizando la ecuacin 11.6. Los clculos para el ejemplo anterior involucraron varias suposiciones que se estudiarn ms adelante. Se supuso que todas las secciones tienen la misma rigidez constante a flexin E l hasta el momento mximo, lo que es exacto slo a bajas cargas antes que el agrietamiento del concreto comience. Cuando se agrieta la viga, la rigidez a flexin se reduce en las regiones agrietadas y la variacin de la rigidez a flexin, a lo largo del miembro, provoca que la distribucin de momentos flexionantes cambie de la calculada por la teora elstica utilizando una rigidez constante a flexin. Con mayor caiga aumenta el grado de agrietamiento y nuevamente se modifica la distribucin de la rigidez a flexin, y por tanto de momento flexionante. Este efecto es especialmente notable cuando los miembros contienen cantidades distintas de momento de acero positivo y negativo; es todava ms notable en vigas T debido a que el agrietamiento del patn en la regin del momento negativo, reduce la rigidez a flexin all, mucho ms que el agrietamiento del alma en la regin del momento positivo. Esta variacin de la rigidez a flexin a lo largo de la viga afecta la cantidad de rotacin plstica requerida para la redistribucin completa de momentos en la carga mxima.Hablando estrictamente, es necesario tomar en cuenta el efecto del agrietamiento en la rigidez a flexin E l de las secciones, al determinar la rotacin de articulacin plstica en la carga mxima. Se supuso que la rotacin momento - curvatura elegida tena una rama horizontal ms all de la cedencia, y que el momento permaneca constante en el valor mximo. Esta suposicin* slo aproxima la relacin real momento - curvatura despus de la primera cedencia (vase la figura 11.1), ya que esta curvatura tiene una porcin ascendente al momento mximo despus de la primera cedencia del acero a tensin. En consecuencia, no se pueden desarrollar simultneamente, tanto en la seccin crtica de momento negativo como en la de positivo el momento ltimo, debido a que las curvaturas en esas secciones estarn en distintos puntos de las curvas de momento - curvatura. Es evidente que la suposicin de que existe el momento mximo en todas las secciones criticas simultneamente, proporcionar un valor no conservador para la carga mxima. Por ejemplo, si la capacidad del momento en la primera cedencia es Af, = 0.9Ai., en que Mu es el momento mximo, el error en la carga mxima calculada (suponiendo que todas las secciones criticas estn en el momento mximo) puede ser de aproximadamente 5%. Es claro que si se considera que el logro de la cedencia (My) en la ltima articulacin que se forma es el momento mximo, y que si M /e s apreciablemente menor que el momento mximo Mu, puede ser significativo el error en el clculo de la carga mxima (suponiendo los momentos mximos en todas las articulaciones). Como ya se ha visto, es difcil calcular con exactitud la notacin de articulacin plstica requerida en los marcos de concreto reforzado para la redistribucin completa de momentos y la carga mxima. Sin embargo, si es necesario confiar en una redistribucin de momentos en el diseo, es necesario tener seguridad de que la ductilidad disponible en las secciones crticas sea mayor que la ductilidad exigida calculada de las consideraciones tericas, tales como las recin estudiadas.Durante muchos aos se ha sabido que puede ocurrir cierta redistribucin de momentos en las estructuras de concreto reforzado a cargas elevadas. Glanville y Thomas111 realizaron, en 1935, la primera amplia investigacin sobre este problema, en los pases de habla inglesa, en la Estacin de Investigacin de Edificios, Inglaterra.

11.3 ANALISIS COMPLETO DE MARCOS

Es posible determinar analticamente los momentos flexionantes, fueron cortantes y axiales y deflexiones de los marcos de concreto reforzado, cualquier etapa de carga desde cero hasta la carga mxima utilizando condiciones de equilibrio esttico y compatibilidad geomtrica, si se conocen las relaciones momento - curvatura de las secciones. Sin embargo, no linealidad de las relaciones momento - curvatura provoca dificultad: al grado que generalmente se necesita un procedimiento de paso a paso; incrementando la carga de incremento en incremento. Adems, la relacin momento - curvatura de las secciones que trasmiten momento y fuerza axial depende no slo de la geometra de la seccin y de las propiedades dg los materiales, sino tambin del nivel de la fuerza axial. Esta interdependencia significa que la relacin momento - curvatura para cada seccin debe calcularse nuevamente en cada incremento de la carga. Se puede utilizar un mtodo de aproximacin lineal sucesiva basado en el mtodo de anlisis de la rigidez para seguir el comportamiento del marco desde cero hasta la carga mxima. En este mtodo los miembros del .marco se dividen, a lo largo de su longitud, en elementos pequeos. En cada nivel de carga se obtiene la rigidez a flexin (El = M/) que corresponde al momento flexionante y fuerza axial especficos en cada elemento, a partir del punto correspondiente en la curva momento - curvatura. Se supone que los miembros no estn agrietados para los incrementos iniciales de carga, y las deformaciones se determinan utilizando la rigidez a flexin de la seccin no agrietada. En cada incremento de carga se investigan los elementos para asegurar si se ha alcanzado el momento de agrietamiento.Cuando se encuentra que se ha alcanzado el momento de agrietamiento, se vuelve a calcular la rigidez a flexin del momento en base a la seccin agrietada y se calculan de nuevo las acciones en el marco. Este procedimiento se repite en d nivel de carga hasta que todas las rigideces a flexin estn correctas. A cargas mayores, cuando los esfuerzos en los elementos entran al intervalo inelstico, se ajusta la rigidez a flexin de cada elemento con la correspondiente al punto de la curva momento - curvatura calculada para ese momento y nivel de fuerza axial. Eventualmente, con incrementos adicionales, las articulaciones plsticas se extienden a travs de todo el marco y se alcanza la carga ltima cuando se forma un mecanismo y no se puede transmitir carga adicional.Un ejemplo del tipo anterior de enfoque analtico es la obra de Lzaro y Richards. 11-2 Una de sus comparaciones de resultados del anlisis con los resultados experimentales aparece en la figura 11.4. Los resultados experimentales se obtuvieron de pruebas que realiz Cranston11 3 en un marco de portal rectangular de base articulada con un claro libre de 104 plg (2.64 m) y altura al fondo de la viga de 73 plg (1.85 m). Los resultados analticos y experimentales de carga - deflexin y momento - deflexin, comparados en la figura, muestran buena concordancia.

Fig. 11.4. Comparacin de resultados experimentales y analticos de Lzaro y Richars.11.2La carga mxima analtica fue de 0.97 de la carga mxima experimental. En este marco el anlisis predijo una carga a la falla 29% mayor que la carga en la formacin de la primera articulacin plstica, lo que indica el grado de redistribucin necesaria de momentos para alcanzar la carga mxima en este caso. El anlisis predijo un comportamiento exageradamente flexible en la regin entre el primer agrietamiento a tensin y la primera cedencia debido a que se supuso que cuando se alcanzaba el momento al primer agrietamiento en un elemento, se agrietaba todo el concreto en tensin en todo el elemento. Sin embargo, realmente parte del concreto no agrietado trasmite tensin entre las grietas, lo que aumenta la rigidez a flexin. Se puede tomar en cuenta el afecto de atiesamiento por tensin, utilizando una rigidez a flexin efectiva, cuyo valor est entre el de una seccin no agrietada y el de una totalmente agrietada (vase, por ejemplo, la seccin 6.6.2).

11.4 METODOS PARA DETERMINAR LAS DISTRIBUCIONES DE MOMENTOS FLEXIONANTES; FUERZAS CORTANTES Y FUERZAS AXIALES BAJO CARGA MAXIMA PARA UTILIZAR EN EL DISEO

Ahora se consideran los mtodos para determinar las distribuciones de momentos flexionantes, fuerzas cortantes y axiales en la carga mxima, que se podran utilizar en el diseo por resistencia de marcos de concreto reforzados. Estos mtodos son el de diagramas de momentos flexionantes elsticos, con o sin algo de redistribucin de momentos, y los varios mtodos de diseo al lmite.

11.4.1 El diagrama de momento flexionante elstico

Se pueden calcular los momentos flexionantes y las fuerzas en la estructura en la carga mxima, para las distintas combinaciones de cargas, utilizando anlisis estructural elstico lineal. Las secciones se disean para que tengan capacidades mximas que por lo menos igualen los momentos flexionantes y fuerzas que se obtengan de ese anlisis. Este es el mtodo recomendado por el ACI 318-7111 8 y por la mayora de los dems cdigos de construccin. El cdigo del ACI da margen a cualquiera de las suposiciones razonables en el clculo de la rigidez relativa a flexin y torsin de los miembros, con tal que las suposiciones sean consistentes en todo el anlisis.Pudiera parecer incongruente que, aunque las secciones se diseen por el mtodo de las resistencias, tomando en cuenta el comportamiento inelstico del concreto y el acero, los momentos flexionantes y fuerzas en la carga mxima se calculen suponiendo comportamiento elstico lineal de los miembros. Sin embargo, este enfoque es vlido, ya que la distribucin de los momentos flexionantes y fuerzas encontradas de esa manera, satisface las condiciones de equilibrio esttico y las de frontera. Es decir, que la distribucin de momentos flexionantes es estticamente admisible.Dicho diseo podra, en realidad, considerarse como una solucin vlida de lmites inferior (diseo en el lmite).Suponer un comportamiento estructural elstico lineal tiene la siguiente ventaja: asegura que ocurra slo una pequea cantidad de redistribucin de momentos flexionantes antes de alcanzar la carga ltima, debido a que las secciones crticas tienden a alcanzar juntas sus capacidades mximas.En consecuencia, ser pequea la rotacin plstica requerida en las secciones crticas, y no es necesario verificar la capacidad de la rotacin plstica de las secciones. Sin embargo, es evidente que siempre ser necesaria cierta redistribucin de momentos, porque una vez que empieza el agrietamiento y las deformaciones inelsticas, cambia la rigidez a flexin de los miembros; y a menos que los momentos flexionantes calculados por el anlisis estructural elstico lineal se basen en la distribucin compleja final de las rigideces a flexin, ser necesaria cierta redistribucin de momentos, antes de que todas las secciones crticas puedan alcanzar su resistencia a flexin.

Hay al menos dos ventajas ms en suponer el comportamiento elstico lineal de los miembros: una es que asegura que los esfuerzos del acero y el concreto en la carga de servicio se mantengan lo ms bajos posibles, reduciendo con ello los anchos de las grietas en el concreto; la otra es que se pueden encontrar los momentos y fuerzas de diseo utilizando teora estructural relativamente simple y bien establecida.

Por lo comn, los valores de rigidez flexin utilizados en el anlisis estructural se basan en la seccin bruta del concreto: no hay margen para el agrietamiento del concreto y se ignora el acero. Puede parecer que esta sea una aproximacin burda, ya que cambian las rigideces a flexin cuando los miembros se agrietan.

11.4.2 El diagrama de momento flexionante elstico modificado por la redistribucin de los momentos

Algunos cdigos permiten modificar los patrones de momentos flexionantes obtenidos del anlisis estructural elstico lineal, cuando las secciones son suficientemente dctiles para dar margen a la redistribucin de momentos. El ACI 318-7111 8 permite que los momentos negativos en los apoyos de los miembros continuos a flexin, para cualquier combinacin de cargas, se aumenten o disminuyan en no ms de:

Los momentos negativos modificados se utilizan para calcular los momentos dentro de los claros; es decir, que se debe mantener el equilibrio esttico entre las fuerzas internas y las cargas externas. La nica forma como puede hacerse el ajuste es que se disee la seccin en que se reduce el momento, de manera que:

De las ecs. 11.7 y 11.8 es evidente que el cdigo del ACI permite que los momentos de los soportes se cambien hasta en 20%, segn la ductilidad de la seccin en que se reduce el momento, siempre y cuando se mantenga el equilibrio esttico entre las fuerzas internas y las cargas externas.El ajuste al diagrama de momentos flexionantes elsticos, permitido gracias a la redistribucin de momentos, conduce a una reduccin en los jacos de los momentos flexionantes de diseo, cuando se consideran combinaciones de cargas. En la fig. 11.5 se ilustra el ajuste para una viga continua de dos claros cargada uniformemente. En la figura se supone el ajuste mximo de 20%. Las curvas 1, 2 y 3 de los momentos flexionantes son para los casos de carga con carga viva en ambos claros, en el claro del lado derecho solamente y en el claro del lado izquierdo solamente, respectivamente.

Fig. 11.5. Ajuste del diagrama flexionante de la teora elstica para la redistribucin del momento permisible.

La lnea gruesa representa la envolvente del momento flexionante permisible en el diseo. Se obtiene moviendo hacia abajo la curva del momento flexionante con el pico de momento negativo, y moviendo hacia arriba las curvas del momento flexionante con los picos de momentos positivos, en tanto que se mantiene el equilibrio esttico. En la fig. 11.5 se ha reducido en 20