RESISTANCE DESMATERIAUX (3)

Référence:Ferdinand P. BeerE. Russell Johnston, Jr.John T. DeWolf

Notes de cours:J. Walt OlerTexas Tech University

Contraintes decisaillement dans les poutres

6 - 2

Introduction

• La distribution des contraintes normales et cisaillantes doivent satisfaire,

• Les chargements transversaux appliqués àune poutre induisent des contraintes normales et cisaillantes dans les sections droites.

• Les contraintes de cisaillement longitudinales doivent exister dans tous les éléments de volume soumis à un chargement transversal.

• Quand les contraintes de cisaillement sont exercées sur les faces verticales d’un élément de volume, une contrainte égale doit être exercée sur les faces horizontales de l’élément.

( )

( )

0 0

0

0 0

x x x xz xy

y xy y x

z xz z x

F dA M y z dA

F dA V M z dA

F dA M y dA

σ τ τ

τ σ

τ σ

= = = − =

= = = =

= = = − =

∫ ∫∫ ∫∫ ∫

6 - 3

Cisaillement sur une face horizontale d’un élément de poutre

• Considérons une poutre prismatique• L’équilibre de l’élément de poutre

• Note,

• En substituant,

flowshearI

VQxHq

xI

VQH

==∆∆

=

∆=∆

Flux de cisaillement

( )0x C DA

C D

A

F H dA

M MH y dAI

σ σ= = ∆ + −

−∆ =

∑ ∫

∫

A

C D

Q y dA

dMM M x V xdx

=

−− = ∆ = ∆

∫A.N

Q : Moment statique ou premier moment

6 - 4

Cisaillement sur une face horizontale d’un élément de poutre

• Flux de cisaillement,

• où

• Le même résultat est trouvé pour la surface de dessous.

flowshearI

VQxHq ==∆∆

= Flux de cisaillement

sectioncrossfullofmoment second

above area ofmoment first

'

21

=

∫=

=

∫=

+AA

A

dAyI

y

dAyQ

Premier moment au-dessus de y1

second moment de la section entière

HH

QQ

qIQV

xHq

∆−=′∆

==′+

′−=′

=∆

′∆=′

axis neutral torespect h moment witfirst

0Premier moment par rapport à l’axe neutre

6 - 5

Exemple 6.01

Soit une poutre composée de trois planches,clouées ensembles. Sachant que l’espacement entre les clous est de 25 mm et que le cisaillement vertical de la poutre est V = 500 N, déterminerla force de cisaillement dans chaque clou.

SOLUTION:

• Déterminer la force horizontale par unité de longueur ou le flux de cisaillement q sur la surface du bas de la poutre du dessus.

• Calculer la force de cisaillement correspondante dans chaque clou.

6 - 6

Exemple 6.01

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )46

2

3121

3121

36

m1020.16

]m060.0m100.0m020.0

m020.0m100.0[2

m100.0m020.0

m10120

m060.0m100.0m020.0

−

−

×=

×+

+

=

×=

×==

I

yAQ

SOLUTION:

• Déterminer la force horizontale par unité de longueur ou le flux de cisaillement q sur la surface du bas de la poutre du dessus.

mN3704

m1016.20)m10120)(N500(

46-

36

=

×

×==

−

IVQq

• Calculer la force de cisaillement correspondante dans chaque clouespacé de 25 mm.

mNqF 3704)(m025.0()m025.0( ==

N6.92=F

6 - 7

Détermination de la contrainte de cisaillement dans une poutre

• La contrainte de cisaillement moyenne sur la surface horizontale de l’élément est obtenue en divisant la force de cisaillement par l’aire de la surface.

moyH q x VQ xA A I t x

VQIt

τ ∆ ∆ ∆= = =∆ ∆ ∆

=

• Sur les surfaces haute et basse de la poutre, τyx= 0. Cela implique que τxy= 0 sur les bords du dessus et du dessous des sections droites.

• Si la largeur de la poutre est comparable à sa hauteur, les contraintes de cisaillement en D1et D2 sont plus grandes qu’en D.

t

6 - 8

Contraintes de cisaillement τxy dans des poutres classiques

• Pour une poutre rectangulaire étroite,

AV

cy

AV

IbVQ

xy

23

123

max

2

2

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−==

τ

τ

• Pour des poutres du type « IPE »

max

moy

ame

VQItV

A

τ

τ

=

=

6 - 9

Discussion sur la distribution des contraintes dans une poutre rectangulaire étroite

• Les contraintes de cisaillement sont indépendantes de la distance au point d’application du chargement.

• Les déformations normales et les contraintes normales ne sont pas affectées par les contraintes en cisaillement.

• Du principe de Saint-Venant, les effets du mode d’application du chargement sont négligeables, sauf aux abords immédiats des points d’applications du chargement.

2

23 12xy

P yA c

τ⎛ ⎞

= − −⎜ ⎟⎝ ⎠

xPxy

Iσ = −

• Considérons une poutre cantilever étroite soumise àun chargement P sur son bout libre:

6 - 10

Problème 6.2

Une poutre en bois est soumise à trois chargements concentrés. Sachant que le type de bois utilisé est tel que,

12 0,8adm admMPa MPaσ τ= =

Déterminer l’épaisseur minimum requise d pour la poutre.

SOLUTION:

• Tracer les diagrammes des efforts intérieurs (cisaillement et moment de flexion). Identifier les maximum.

• Déterminer la hauteur de poutre àpartir de la contrainte normale acceptable.

• Déterminer la hauteur de poutre àpartir de la contrainte de cisaillement acceptable.

• L’épaisseur de poutre requise est égale à la plus grande hauteur trouvée.

0,6 m 0,9 m 0,9 m 0,6 m

3 m

11 kN 4 kN 11 kN0,1 m

6 - 11

Problème 6.2SOLUTION:

Tracer les diagrammes des efforts intérieurs (cisaillement et moment de flexion). Identifier les maximum.

max

max

13 kN9,6 kN

VM m

== ⋅

+

0,6 m 0,9 m 0,9 m 0,6 m

11 kN 4 kN 11 kN

13 kN 13 kN

-13 kN

2 kN

-2 kN

-13 kN

7,8 kN.m 7,8 kN.m9,6 kN.m

6 - 12

Problème 6.2

( )( )

3112

216

216

2

0,1

0.0166

I b dIw b dc

m d

m d

=

= =

=

=

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte normale acceptable.

( )

max

29,612

0,01660,2195

admM

wkN mMPa

m dd m

σ =

⋅=

=

• Déterminer la hauteur de poutre à partir de la contrainte de cisaillement acceptable.

( )

max32

3 130,82 0,1

0,2437 .

admV

AkNMPam d

d m

τ =

=

=

• La hauteur de poutre requise est égale à la plus grande hauteur trouvée. 0,2437 .d m=

b = 0,1 m

6 - 13

Cisaillement longitudinal sur un élément poutre de forme arbitraire

• Nous avons examiné la distribution des composantes verticales τxy sur une section transverse d’une poutre. Nous souhaitons maintenant considérer les composantes horizontales τxz des contraintes

• Considérons un élément de poutre prismatique défini par la surface CDD’C’.

• Exceptées les différences pour les aires d’intégration, c’est le même résultat obtenu auparavant qui donnait,

IVQ

xHqx

IVQH =

∆∆

=∆=∆

( )∑ ∫ −+∆==a

dAHF CDx σσ0 C DA.N

6 - 14

Exemple 6.04

Une poutre creuse carrée est construite àpartir de quatre planches. Sachant que l’espacement des clous est de 0,04 m. et que la poutre est soumise à un cisaillement vertical d’intensité V = 2600 N, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

SOLUTION:

• Déterminer la force de cisaillement par unité de longueur le long de chaque bord de la planche supérieure.

• A partir de l’espacement des clous, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

0,02 m 0,07 m 0,02 m

0,02 m

0,1 m

6 - 15

Exemple 6.04

Pour la planche du dessus,

( ) ( ) ( )6 3

ˆ 0.02 m. 0,07 m. 0,04 .

56 .10

Q A y m

m−

′= =

=

Pour la section complète de la poutre,

( ) ( )4 41 112 12

6 4

0,1 m 0,07 m

6,33 10

I

m−

= −

=

SOLUTION:

• Déterminer la force de cisaillement par unité de longueur le long de chaque bord de la planche supérieure.

• A partir de l’espacement des clous, déterminer la force de cisaillement dans chaque clou.

( )3 N11,5.10 0,04 mm

F f ⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

460F N=

( )( )6 33

-6 4

3

2600 56.10 N23.106,33.10 m

N11,5.102 m

Force au bord par unité de longueur

N mVQqI mqf

−

= = =

= =

=

A.N

0,02 m 0,07 m

0,1 m

0,07 m

0,07 m

0,1 m

ŷ = 0,04 m

6 - 16

Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• Considérons un segment de poutre en Isoumise à un cisaillement vertical V.

• La force de cisaillement longitudinale est

xI

VQH ∆=∆

ItVQ

xtH

xzzx =∆∆

≈=ττ

• La contrainte en cisaillement correspondanteest

• NOTE: 0≈xyτ0≈xzτ

dans les bridesdans l’âme

• Une expression similaire a été trouvée précédemment pour la contrainte de cisaillement dans l’âme

ItVQ

xy =τ

6 - 17

Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• La variation de l’écoulement en cisaillement à travers la section dépend seulement de la variation du premier moment.

• Pour une poutre creuse, q grandi doucement de zéro à A jusqu’à un maximum en C et C’ et ensuite décroît jusqu’à zéro en E.

• Le sens de q dans les portions horizontales de la section peut être déduit du sens dans les portions verticales ou du sens du cisaillement V.

IVQtq ==τ

A.N A.N

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Contraintes de cisaillement dans les membrures fines

• Pour une poutre de type I, l’écoulement du cisaillement s’accroît symétriquement de zéro jusqu’à A et A’, atteint un maximum en C est décroît jusqu’à zéro en E et E’.

• La continuité de la variation dans q et àla sortie de q des sections des brides suggèrent une analogie à un écoulement de fluide.

A.N A.N