Residykalkyl: Eleganta räkningar av förskräckliga integraler

Matematisk fysik 2018 Föreläsning 2

En paus från Greenfunktioner...

Cauchys integralformel

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⇤/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⇧⇤

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⇧⇤

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⇤i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytic on and within C (encircling z0)

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⇤/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⇧⇤

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⇧⇤

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⇤i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

Analogi: Laplaces ekvation + randvärdesvillkor bestämmer unikt en elektrostatisk potential

Laurentserie

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⇧⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⇧⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⇧⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⇧⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

Singulariteter

“Borttagbara” singulariteter

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

Essentiella singulariteter

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

oändligt många Laurenttermer med n<0

(exempel)

(exempel)

Pol av ordning m

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⌅⌃

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

Residyteoremet

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⌅⌃

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z�z0)mf(z))

1

I =⌥ ⌅

0e�ax cos bx x dx

I(�) =⌥ ⌅

0

e��x

1 + x2dx

I ⇤⇤(�) + I(�) =1�

I(�) = sin(�) Ci(�) + cos(�)(⌅/2� Si(�))

Im(k) =⌥

d⇥1

(1 + k · r)m

I2(k,a) =⌥

d⇥a · r

(1 + k · r)2

erf(x) =2⌃⌅

⌥ x

0e�t2dt

1� erf(x) =2⌃⌅

⌥ ⌅

xe�t2dt

�(x + 1) =⌥ ⌅

0txe�tdt

f : [a, b]⌅ R

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

f(xk�1)(xk � xk�1)

⌥ b

af(x)dx ⇤ lim

n⇥⌅

n⌃

k=0

µ(A(n)k ) · k

2n

A(n)k = f�1

�⇤k

2n,k+12n

⌅⇥

f(z0) =1

2⌅i

⇧

C

f(z)z � z0

dz

f analytisk pa och innanfor C (inneslutande z0)

f(z) =⌅⌃

n=�⌅an(z� z0)n, an =

12⌅i

⇧

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⌅⌃

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z�z0)mf(z))

⇧

Cf(z) dz = 2⌅i

m⌃

k=1

Res (f(zk))

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇥i

�

C

f(�)(� � z0)n+1

d�

f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇥i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

Jordans lemma

Vanligaste tillämpningen av residykalkyl i fysiken:“komplexifierade” reella integraler

Användbart resultat:

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇥i

�

C

f(�)(� � z0)n+1

d�

f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇥i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇥i

�

C

f(�)(� � z0)n+1

d�

f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇥i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇥i

�

C

f(�)(� � z0)n+1

d�

f analytisk pa en ring ⇤1 < |z � z0 | < ⇤2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇥i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇤i

�

C

f(⇥)(⇥ � z0)n+1

d⇥

f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇤i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal

Enkla typfall:

I. Integraler av rationella funktioner

II. Integraler av produkter av rationella och trigonometriska funktioner

III. Integraler av trigonometriska funktioner på enhetscirkeln

2

f(z) =

⇤⇥

n=�⇤

an(z� z0)

n ,an

=12⇤i

�

C

f(⇥)

(⇥ �z0)

n+1d⇥

f analytisk pa en ring ⌅1

< |z �z0 | < ⌅2

f(z) =4z

2 � 1

2z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =

⇤⇥

n=0

an(z� z0)

n +a�1

z � z0

+ ... +a�m

(z �z0)

m

a�1= Res(f(z0))

=1

(m�1)!

limz⇥z0

dm�1

dzm�1

((z �z0)

m f(z))

�

C

f(z) dz = 2⇤i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orien

teradkurva som

innesluter de singularapunktern

a z1, z2, ...zk

till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�z f(z) dz = 0

CRhalvci

rkelmed radien R i ovre

komplexahalvp

lanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negati

vt reellttal

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)dx

q(x) ⌅= 0 for reellax

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)cos(a

x) dxq(x) ⌅= 0 for reella

x, a reell

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)sin(ax) dx

q(x) ⌅= 0 for reellax

2

f(z) =

⇤⇥

n=�⇤

an(z � z0)n , an =

12⇤i

�

C

f(⇥)

(⇥ � z0)n+1

d⇥

f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2

f(z) =4z2 � 1

2z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +

a�1

z � z0

+ ... +a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!limz⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)

m f(z))

�

C

f(z) dz = 2⇤i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�z f(z) dz = 0

CRhalvcirk

el med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)dx q(x) ⌅= 0 for reella x

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell

⇤ ⇤

�⇤

p(x)

q(x)sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x

2f(z) =

⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an = 1

2⇤i

�

C

f(⇥)(⇥ � z0)n+1 d⇥

f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2

f(z) = 4z2� 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n + a�1

z � z0+ ... + a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) = 1(m� 1)! lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1 ((z � z0)mf(z))�

Cf(z) dz = 2⇤i

m⇥

k=1

Res (f(zk))C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanetf gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x) dx q(x) ⌅= 0 for reella x

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x) cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x) sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⇤i

�

C

f(⇥)(⇥ � z0)n+1

d⇥

f analytisk pa en ring ⌅1 < |z � z0 | < ⌅2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⇤i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

dx q(x) ⌅= 0 for reella x

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⌅i

�

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⌅i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

dx q(x) ⌅= 0 for reella x

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

cos(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x, a reell

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

sin(ax) dx q(x) ⌅= 0 for reella x

⇤ 2⇥

0F (sin ⇥, cos ⇥) d⇥

Men minst lika ofta i fysiken....

Förskräckliga integraler!

...kan fortfarande lösas elegant med fiffig användning av residykalkyl!

2

f(z) =⇤⇥

n=�⇤an(z � z0)n, an =

12⌅i

�

C

f(⇤)(⇤ � z0)n+1

d⇤

f analytisk pa en ring ⇧1 < |z � z0 | < ⇧2

f(z) =4z2 � 12z + 1

f(z) = e1/z

f(z) =⇤⇥

n=0

an(z � z0)n +a�1

z � z0+ ... +

a�m

(z � z0)m

a�1 = Res(f(z0)) =1

(m� 1)!lim

z⇥z0

dm�1

dzm�1((z � z0)mf(z))

�

Cf(z) dz = 2⌅i

m⇥

k=1

Res (f(zk))

C enkel, positivt orienterad kurva som innesluter de singulara punkterna z1, z2, ...zk till f

limR⇥⇤

⇤

CR

ei�zf(z) dz = 0

CR halvcirkel med radien R i ovre komplexa halvplanet

f gar likformigt mot 0 snabbare an 1/ |z | da |z |⇥⇤

� icke-negativt reellt tal

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

dx q(x) ⇧= 0 for reella x

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

cos(ax) dx q(x) ⇧= 0 for reella x, a reell

⇤ ⇤

�⇤

p(x)q(x)

sin(ax) dx q(x) ⇧= 0 for reella x

⇤ 2⇥

0F (sin ⇥, cos ⇥) d⇥

⇤ ⇤

�⇤eiax�bx2

dx a, b ⌅ R, b > 0

Välj en smart kurva!

3

� 2�

0F (sin �, cos �) d�

� ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b � R, b > 0

� ⇥

0

dx

x3 + 1

... eller integrera längs ett snitt!

Multivärd komplex funktion [ jfr. ln(z)! ] sekvens av komplexa funktioner definierade i komplexa talplanet en enkelvärd komplex funktion definierad på en Riemannyta [ = Riemannblad ihopklistrade längs grensnitt ]

3

� 2�

0F (sin �, cos �) d�

� ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b � R, b > 0

� ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2sammanbinder två grenpunkter(eller en grenpunkt med “punkten i oändligheten”)

3

� 2�

0F (sin �, cos �) d�

� ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⇥ R, b > 0

� ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

� 1

�1

dx⇤1� x2(1 + x2)

� �

0

�x dx

1 + x2(1)

1

Viktig integral vid fysiktillämpningar: “Principalvärdet” för en reell funktion med en enkel pol

3

⇥ 2�

0F (sin �, cos �) d�

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⇤ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⌅1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⇥f(x0) + 2⇥im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

3

⇥ 2�

0F (sin �, cos �) d�

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⇤ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⌅1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⇥f(x0) + 2⇥im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

“Fysikjargong”:

3

⇥ 2�

0F (sin ⇤, cos ⇤) d⇤

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⌅ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⇧1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⌅f(x0) + 2⌅im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

1x� x0 ± i⇥

= P1

x� x0dx⇤ i⌅�(x� x0)

Sadelpunktsmetoden redux

3

⇥ 2⇤

0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⌅ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⇧1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

1x� x0 ± i⇤

= P1

x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)

⇥

⇥e�f�(z) dz

f� komplexvard funktion, � kurva i C

3

⇥ 2⇤

0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⌅ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⇧1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

1x� x0 ± i⇤

= P1

x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)

⇥

⇥e�f�(z) dz

f� komplexvard funktion, � kurva i C

Stationära fas-metoden

3

⇥ 2⇤

0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅

⇥ ⇥

�⇥eiax�bx2

dx a, b ⌅ R, b > 0

⇥ ⇥

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx⇧1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇥

�⇥

f(x)x� x0

dx = ±i⇧f(x0) + 2⇧im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

1x� x0 ± i⇤

= P1

x� x0dx⇤ i⇧⇥(x� x0)

⇥

⇥e�f�(z) dz

f� komplexvard funktion, � kurva i C

⇥

Reif�x dx

f� reelvard funktion

3

⇥ 2⇤

0F (sin ⌅, cos ⌅) d⌅

⇥ ⇤

�⇤eiax�bx2

dx a, b ⌥ R, b > 0

⇥ ⇤

0

dx

x3 + 1

Riemannyta for funktionen f(z) = z1/2

⇥ 1

�1

dx 1� x2(1 + x2)

P

⇥ ⇤

�⇤

f(x)x� x0

dx = ±i⌃f(x0) + 2⌃im�

j=1

Res[f(zj)

zj � x0]

dar zj ar polerna till f(z)z�x0

i ovre (+) eller undre (�) komplexa halvplanet.

1x� x0 ± i⇤

= P1

x� x0dx⌅ i⌃⇥(x� x0)

⇥

⇥e�f�(z) dz

f� komplexvard funktion, � kurva i C

⇥

Reif�x dx

f� reellvard funktionµ Lebesguematt

limn⇥⇤

⇥

Rfn(x) dx =

⇥

Rf(x) dx

om fn konvergerar punktvis till f nastan overalltoch det existerar en Lebesgue-integrabel funktiong sadan att |fn |⇧ g nastan overallt

⇥

X(⇥

Yf(x, y) dy) dx =

⇥

Y(⇥

Xf(x, y) dx) dy

dar f : X ⇥ Y ⌃ R ar en icke-negativ funktion