RESIDU KUADRATIS JULIMAN

7/17/2019 RESIDU KUADRATIS JULIMAN

http://slidepdf.com/reader/full/residu-kuadratis-juliman 1/20

RESIDU KUADRATIS

1. Pendahuluan

Dalam modul residu kuadratis ini diuraikan tentang keadaan kongruensi

kuadratis dan penyelesaiannya, konsep dasar residu kuadratis, lambang Legendre

dan sifat-sifatnya, kriteria Euler, lemma Gauss, kebalikan kuadrat dan sifat-

sifatnya, lambing Jacobi dan sifat-sifatnya, serta penerapan teorema-teorema

residu kuadratis dalam menyelesaikan kongruensi kuadratis satu variabel.

Sebagai bahasan yang berkaitan dengan alabar !biasa", kongruensi kuadratis

serupa dengan persamaan kuadrat, tetapi ternyata cara menyelesaikan auh

berbeda dengan dari persamaan kuadrat karena semesta pembicaraannya adalah

himpunan bilangan modulo. #eskipun keliahatan sederhana, ternyata terdapat

banyak uraian dalam residu kuadratis yang memerlukan pemahaman yang lebih

dalam dan sulit dibandingkan dengan persamaan kuadrat, misalnya terkait dengan

dapat atau tidak dapat diselesaikan, dan penerapan berbagai teorema dalam

menyelidiki keterselesaian kongruensi kuadratis.

Kompetensi Umum

$ompetensi %mum dalam mempelaari modul ini adalah mahasis&a

mampu memahami konsep dan sifat kongruensi kuadratis, residu kuadratis,

kriteria Euler dan lemma Gauss, selesaian kongruensi kuadratis, sifat-sifat

lambang Legendre dan Jacobi, dan sifat-sifat kebalikan kuadrat.

Kompetensi Khusus

$ompetensi $husus dalam mempelaari modul ini adalah mahasis&a

mampu menelaskan konsep kongruensi kuadratis dan sifat-sifatnya, konsep

residu kuadratis dan sifat-sifatnya, konsep dan sifat lambang Legendre dan Jacobi,

serta konsep dan sifat kebalikan kuadratis



Susunan Kegiatan Belajar

#odul ' ini terdiri dari dua $egiatan (elaar. $egiatan (elaar pertama

adalah $ongruensi $uadratis, dan $egiatan (elaar kedua adalah $ebalikan

$uadrat. Setiap kegiatan belaar memuat %raian, )ontoh, *ugas dan Latihan,

+ambu-+ambu Ja&aban *ugas dan Latihan, +angkuman, dan *es ormatif. ada

bagian akhir modul ini ditempatkan +ambu-+ambu Ja&aban *es ormatif /

dan *es ormatif .

Petunjuk Belajar

/. (acalah %raian dan )ontoh dengan cermat dan berulang-ulang sehingga

0nda benar-benar memahami dan menguasai materi pembahasan. $erakan *ugas dan Latihan yang tersedia secara mandiri. Jika dalam

kasus atau tahapan tertentu 0nda mengalami kesulitan mena&ab, maka

pelaarilah +ambu-+ambu Ja&aban *ugas dan Latihan. Jika langkah ini belum berhasil mena&ab permasalahan, maka mintalah bantuan tutor

0nda, atau orang lain yang lebih tahu.1. $erakan *es ormatif secara mandiri, dan periksalah *ingkat

enguasaan 0nda dengan cara mencocokkan a&aban

0nda dengan +ambu-+ambu Ja&aban *es ormatif. %langilah pengeraan

*es ormatif sampai 0nda benar-benar merasa mampu mengerakan

semua soal dengan benar.

K!"RUE!SI KUADRATIS



Uraian

$ongruensi kuadratis adalah kongruensi yang mempunyai bentuk umum2

a3 4 b3 4 c 5 6 !mod p"

dengan a 6, p adalah suatu bilangan prima ganil, dan !a,p" 7 /

$eadaan !a,p" 7 / mengakibatkan adanya suatu kongruensi linier 2 ak 5 / !mod p"

mempunyai satu selesaian sebab !a,p" 7 / 8/ . Dengan demikian a mempunyai

inversi perkalian !multiplikatif" a-/ 7 k !mod p" sehingga ak 5 / !mod p", sehingga

kongruensi kuadratis dapat disederhanakan menadi 2

a3 4 b3 4 c 5 6 !mod p"

at3 4 bk3 4 ck 5 6 !mod p"

/.3 4 bk3 4 ck 5 6 !mod p"

3 4 bk3 4 ck 5 6 !mod p"

Dengan memilih p 7 bk dan 9 7 ck, maka 3 4 bk3 4 ck 5 6 !mod p" dapat

dinyatakan dengan : 3 4 93 4 r 5 6 !mod p"#ontoh $.1

$ongruensi kuadratis ;3 < =3 4 ' 5 6 !mod />" menunukkan bah&a a 7 ; 6, p 7

/> , dan !a,p" 7 /, serta inversi perkalian ; adalah k 7 /1 sebab ;./1 7 ' 5 /

!mod />", sehingga 2

;./1 5 / !mod />"

Dengan demikian koefisien a 7 ; dapat direduksi menadi / setelah dikalikandengan k 7 /1. ;3 < =3 4 ' 5 6 !mod />"

;./13 < =./13 4 './1 5 6 !mod />"

'3 < //>3 4 ?' 5 6 !mod />"

3 4 3 4 /; 5 6 !mod />"

#ontoh $.%



$ongruensi kuadratis '3 4 ;3 4 /> 5 6 !mod /1" menunukkan bah&a a 7 ' 6, p

7 /1 , dan !a,p" 7 /, serta inversi perkalian ' adalah k 7 @ sebab '.@ 7 ;6 5 / !mod/1", sehingga 2

'.@ 5 / !mod /1" .

Dengan demikian koefisien a 7 ' dapat direduksi menadi / setelah dikalikan

dengan k 7 @.

'3 4 ;3 4 /> 5 6 !mod /1"

'.@3 4 ;.@3 4 />.@ 5 6 !mod /1"

;63 4 13 4 /1? 5 6 !mod /1"

3 4 ?3 4 ? 5 6 !mod /1"

#arilah sekarang kita kembali ke kongruensi kuadratis 2 3 4 93 4 r 5 6

!mod p" Dengan keadaan p adalah suatu bilangan prima ganil, dan adalah

bilangan prima genap., maka dapat ditentukan bah&a !,p" 7 /8/ , sehingga ada

suatu bilangan bulat m yang memenuhi 2m 5 / !mod p". Ani berarti bah&a

bilangan bulat m merupakan inversi perkalian modulo m, dan adanya m dapat

digunakan untuk menentukan selesaian 2 3 4 93 4 r 5 6 !mod p" dengan alan

mengusahakan menadi bentuk kuadrat sempurna 2

3 4 93 4 r 5 6 !mod p"

3 4 9./3 4 r 5 6 !mod p"

3 4 9.m3 4 r 5 6 !mod p"

3 4 9.m3 4 B!9m" < !9m"C 4 r 5 6 !mod p"

B3 4 9.m3 4 !9m" C < !9m" 4 r 5 6 !mod p"B3 4 !9m"C 5 B!9m" < r C !mod p"

!3 4 9m" 5 B!9m" < r C !mod p"

#isalkan y 7 3 4 9m dan k 7 !9m" < r , maka hasil terakhir dapat dinyatakan

sebagai 2y 7 k !mod p"



Dengan demikian kongruensi semula dapat diubah menadi kongruensi dalam

bentuk kuadrat sempurna, dan selesaian kongruensi kuadratis ditentukan olehkeadaan k dan p,

#ontoh $.&

Selesain kongruensi ;3 < =3 4 ' 5 6 !mod />" dapat diperoleh dengan cara

mengubah kongruensi semula sehingga diperoleh kongruensi dalam bentuk

kuadrat kuadrat sempurna.

;3 < =3 4 ' 5 6 !mod />"

;./13 < =./13 4 './1 5 6 !mod />" , /1 adalah inversi ; modulo />

'3 < //>3 4 ?' 5 6 !mod />"

3 4 3 4 /; 5 6 !mod />"

3 4 ./3 4 /; 5 6 !mod />"

3 4 .!.="3 4 !.=" < !.=" 4 /; 5 6 !mod />"

3 4 ./@3 4 !/@" < !/@" 4 /; 5 6 !mod />"

!3 4 /@" 5 !/@" < /; !mod />" 5 / < /; !mod />" 5 < /1 !mod />" 5 ; !mod />"

!3 4 /" 5 ; !mod />" , maka 3 4 / 5 !mod />" atau 3 4 / 5 < !mod />"

Jadi 3 5 / !mod />" atau 3 5 < 1 !mod />" 5 /; !mod />"

#ontoh $.'

Selesain kongruensi 13 4 '3 < ; 5 6 !mod />" dapat diperoleh dengan cara

mengubah kongruensi semula sehingga diperoleh kongruensi dalam bentuk

kuadrat kuadrat sempurna.

13 4 '3 < ; 5 6 !mod >"1.'3 4 '.'3 < '.; 5 6 !mod >" , ' adalah inversi 1 modulo />

/'3 4 '3 < 6 5 6 !mod >"

3 4 ;3 < 6 5 6 !mod >"

3 4 ;./3 < 6 5 6 !mod >"

3 4 ;.!.;"3 4 !.;" < !.;" < 6 5 6 !mod >"

3 4 .@3 4 !.@" < !.@" < ? 5 6 !mod >"

!3 4 /?"

5 !/?"

4 ? !mod >" 5

4 ? !mod >" 5 /6 !mod >" 5 1 !mod >"



!3 4 " 5 1 !mod >" , atau y 5 1 !mod >" dengan y 7 3 4

$ongruensi tidak mempunyai selesaian karena tidak ada y 7 6,/,,1,;,',? yangmemenuhi kongruensi.

De(inisi $.1

Jika k,p , p 6 , dan !k,p" 7 / , maka 2

!a" k disebut residu kuadratis modulo p ika 3 5 k !mod p" mempunyai selesaian

!b" k disebut bukan residu kuadratis modulo p ika 3 5 k !mod p" tidak

mempunyai selesaian

#ontoh $.$

$ongruensi 3 5 k !mod >" mempunyai selesaian 2

3 7 / dan 3 7 ? ika k 7 /

3 7 1 dan 3 7 ; ika k 7

3 7 dan 3 7 ' ika k 7 ;

dan tidak mempunyai selesaian ika k 7 1, k 7 ', atau k 7 ?+esidu-residu kuadratis modulo > adalah /, , dan ;

(ukan residu-residu kuadratis modulo > adalah 1, ', dan ?

#ontoh $.)

+esidu-residu kuadratis modulo // adalah /, 1, ;, ', dan = sebab 2

3 5 / !mod //" mempunyai selesaian, yaitu 3 7 / atau 3 7 /6

3

5 1 !mod //" mempunyai selesaian, yaitu 3 7 ' atau 3 7 ?3 5 ; !mod //" mempunyai selesaian, yaitu 3 7 atau 3 7 =

3 5 ' !mod //" mempunyai selesaian, yaitu 3 7 ; atau 3 7 >

3 5 = !mod //" mempunyai selesaian, yaitu 3 7 1 atau 3 7 @

(ukan residu-residu kuadratis modulo // adalah , ?, >, @, dan /6 sebab 2

3 5 !mod //" tidak mempunyai selesaian



3 5 ? !mod //" tidak mempunyai selesaian

3

5 > !mod //" tidak mempunyai selesaian3 5 @ !mod //" tidak mempunyai selesaian

3 5 /6 !mod //" tidak mempunyai selesaian

Teorema $.1

Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganil. Setiap sistem residu tereduksi

modulo p tepat memuat !p < /"F residu-residu kuadratis, dan tepat memuat !p <

/"F bukan residu-residu kuadratis modulo p. +esidu-residu kuadratis merupakan

unsur dari klas residu yang memuat bilangan-bilangan 2/, , 1, , B!p < /"FC

Bukti *

%nsur-unsur /, , 1, , B!p < /"FC semuanya berbeda atau tidak ada yang

kongruen mo-

dulo p. #isalkan ada yang sama, atau ada yang kongruen modulo p, yaitu 2 3 5

y !mod p" ,

berarti p83 < y atau p8!3 4 y"!3 < y", dimana / H 3 H !p < /"F dan / H y H

!p < /"F ,

sehingga H 3 4 y H p < / dan !1 < p"F H 3 < y H !p < 1"F .

$arena p adalah bilangan prima dan p8!3 4 y"!3 < y", maka p8!3 4 y" atau p8!3

< y". p tidak mungkin membagi 3 4 y sebab H 3 4 y H p < / , dengan

demikian p8!3 < y". $arena !1 < p"F H 3 < y H !p < 1"F dan p8!3 < y" , maka

3 < y 7 6 atau 3 7 y. Selanutnya, karena !p < k" 5 k !mod p", maka setiap

residu kuadratis modulo p adalah kongruen dengan satu dari /, , 1, , B!p <

/"FC. Jadi banyaknya residu kuadratis adalah !p < /"F dan bukan residukuadratis uga !p < /"F.

#ontoh $.+

)arilah semua residu kuadratis modulo p ika 2

!a" p 7 /=

!b" p 7 1>

Ja&ab 2



!a" semua residu kuadratis modulo /= terdapat di dalam klas residu yang

ditunukkan oleh 2/

,

, 1

, ;

, '

, ?

, >

, @

, =

atau ditunukkan oleh residu-residu positif terkecil dari /, , 1, ;, ', ?, >, @,

= 2 /, ;, =, /?, ?, />, //, >, '

!b" semua residu kuadratis modulo 1> terdapat di dalam klas residu yang

ditunukkan oleh 2 /, , 1, ;, ', ?, >, @, =, /6, //, /, /1, /;, /', /?,

/>, /@ atau ditunukkan oleh residu-residu positif terkecilnya, yaitu 2/, ;, =, /?,

', 1?, /, >, >, ?, /6, 11, /, //, 1, 1;, 16, @

Teorema $.%

Ditentukan k adalah suatu bilangan bulat, p adalah suatu bilangan prima

ganil, dan !k,p" 7 /

Jika kongruensi 3 5 k !mod p" dapat diselesaikan, maka terdapat tepat dua

selesaian yang tidak kongruen modulo p.

Bukti *

$ongruensi 3 5 k !mod p" dapat diselesaikan, misalkan selesaiannya adalah 3 7

3/, maka 2

3/ 5 k !mod p"

$arena !< 3/ " 7 3/ 5 k !mod p" , maka 3 7 < 3/ memenuhi kongruensi.

Dengan demikian 3 7 3/ dan 3 7 < 3/ 5 < 3/ 4 p !mod p" adalah dua selesaian 3 5

k !mod p"

%ntuk menunukkan bah&a 3/ dan < 3/ adalah dua selesaian yang tidakkongruen, diguna-

kan bukti tidak langsung, yaitu misalkan 3/ 5 < 3/ !mod p".

Dari 3/ 5 < 3/ !mod p" dapat ditentukan bah&a p83/ , dan dari p adalah

bilangan prima

ganil dapat ditentukan bah&a !,p" 7 /.



Dengan demikian, dari p83/ dan !,p" 7 / , maka p83/ , akibatnya p83/. $arena

p83/

dan3/ 7 k , maka p8k , teradi kontradiksi sebab !k,p" 7 /, berarti 3 / dan < 3/ adalah

dua selesaian yang tidak kongruen.

%ntuk menunukkan bah&a kongruensi tepat mempunyai dua selesaian,

digunakan uga bukti tidak langsung, misalkan ada selesaian lain yang tidak

kongruen, yaitu 3 7 3 . Dari 3/ 5 k !mod p" dan 3

5 k !mod p"

dapat ditentukan bah&a !3/ < 3

" 5 6 !mod p", berarti p8 3/ < 3

, p8!3/ < 3"

!3/ 4 3", p8!3/ < 3", atau p8!3/ 4 3".

0kibatnya, 3/ 5 3 !mod p" atau 3/ 5 < 3 !mod p"

$arena teradi kontradiksi, maka dapat ditentukan bah&a tidak ada selesaian lain

3 7 3 , berarti banyaknya selesaian adalah tepat dua.

#ontoh $.,

Selesaian 3 5 ' !mod //" adalah 3 5 ; !mod //" atau 3 5 < ; !mod //" 5 > !mod

//"

Selesaian 3 5 // !mod /=" adalah 3 5 > !mod /=" atau 3 5 < > !mod /=" 5 /

!mod /="

De(inisi $.%

Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganil dan k adalah suatu bilangan bulat

yang tidak habis dibagi oleh p

-amang -egendre didefinisikan sebagai 2

/ ika k adalah suatu residu kuadratis modulo p / -/ ika k adalah bukan suatu

residu kuadratis modulo p.

#ontoh $.0

%ntuk p 7 ' dapat ditentukan bah&a 2

sebab / adalah suatu residu kuadratis modulo ', yaitu 3

5 / !mod '" dapat



diselesaikan dengan selesaian 3 5 / !mod '" dan 3 5 ; !mod '"

sebab ; adalah suatu residu kuadratis modulo ', yaitu 3

5 ; !mod '" dapatdiselesaikan dengan selesaian 3 5 !mod '" dan 3 5 1 !mod '"

sebab / adalah suatu residu kuadratis modulo ', yaitu 3 5 / !mod '" tidak dapat

diselesaikan.

Teorema $.& Kriteria Euler

Jika p adalah suatu bilangan prima dan k adalah suatu bilangan bulat positif yang

tidak habis dibagi oleh p , maka 2 !mod p"

Bukti * $emungkinan nilai-nilai adalah / atau < /

!a" Jika / / , maka 3 5 k !mod p" mempunyai suatu selesaian, misalnya 3 7 36 ,

maka menurut teorema kecil ermat berlaku 36 p-/ 5 / !mod p"

Dengan demikian, 36 p-/ 7 !36

"!p-/"F 7 k!p-/"F 5 / !mod p" , atau / 5 k!p-/"F !mod p"

Jadi 2 k!p-/"F !mod p"

!b" Jika / 2 / , maka 3 5 k !mod p" tidak mempunyai selesaianSekarang perhatikan ika / H i H !p < /", maka untuk masing-masing A berlaku

!i,p" 7 / sehingga setiap kongruensi linier i3 5 k !mod p" mempunyai selesaian

yang tunggal modulo p, misalnya 3 7 , dengan / H H !p < /". Selanutnya,

karena 3 5 k !mod p" tidak mempunyai selesaian, maka i . Jadi kita

mempunyai barisan bilangan bulat /, , 1, , p < / yang dapat dikelompokkan

menadi !p < /"F pasangan yang hasil kali setiap pasangan adalah k. /..1 !p

< /" 5 k!p-/"F !mod p", atau !p < /"I 5 k !p-/"F !mod p" #enurut teorema ilson, !p < /"I 5 < / !mod p", berarti 2 < / 5 k!p-/"F !mod p" Jadi 2 k!p-/"F !mod p"

#ontoh $.11

Ditentukan 3 5 1 !mod >" tidak mempunyai selesaian, akan ditunukkan bah&a

(ilangan-bilangan bulat /, , 1, ;, ', dan ? dapat dipasang-pasangkan dalam

bentuk perkalian



i 5 1 !mod >", yaitu 2

/.1 7 1 5 1 !mod >".' 7 /6 5 1 !mod >"

;.? 7 ; 5 1 !mod >"

sehingga 2 /..1.;.'.? 5 11 !mod >" , ?I 5 11 !mod >" , atau < / 5 > !mod >"

Jadi 2

#ontoh $.1%

Selesaikan 3 5 ' !mod 1"

Ja&ab 2

#enurut $riteria Euler, '!1-/"F 7 '// 7 '.'.'.'.'.' 5 .....' !mod 1" 5 1.'

!mod 1" 5 =.' !mod 1" 5 ;' !mod 1" 5 < / !mod 1"

$arena < / , maka kongruensi tidak mempunyai selesaian.

#ontoh $.1&

*unukkan apakah masing-masing kongruensi berikut dapat diselesaikan

!a" 3 5 1 !mod ;/"!b" 3 4 / 5 6 !mod />"

Ja&ab 2

!a" 1!;/-/"F !mod ;/" 5 16 !mod ;/" 5 !1;"' !mod ;/" 5 !@/"' !mod ;/" 5 !-/"' !mod

;/" 5 !< / " !mod ;/"

$arena maka 3

5 1 !mod ;/" tidak dapat diselesaikan.!b" 3 4 / 5 6 !mod />" , maka 3 5 < /! !mod />"

5 !< /"!/>-/"F !mod />" 5 !< /"?1 !mod />" 5 < / !mod />"

7 < / , maka kongruensi 3 4 / 5 6 !mod />" tidak mempunyai selesaian



Teorema $.$

Jika p adalah suatu bilangan prima ganil, maka 2

/ , ika p 5 / !mod ;" 7 -/, ika p 5 1 !mod p"

Bukti *

$arena p adalah suatu bilangan prima ganil, maka p tidak mungkin dinyatakan

sebagai p 5 6 !mod ;" atau p 5 !mod ;"

#enurut teorema '.1 ,

!a" ika p 5 / !mod ;", atau p 7 ;k 4 / dengan k , maka 2

!-/"!p-/"F 7 !-/"K!;k4/"-/F 7 !-/"k 7 /

Jadi 2 untuk p 5 / !mod ;"

!b" Jika p 5 1 !mod ;", atau p 7 ;k 4 1 dengan k , maka 2

!-/"!p-/"F 7 !-/"K!;k41"-/F 7 !-/"k4/ 7 < /

Jadi 2 untuk p 5 1 !mod ;"

#ontoh $.1' $ongruensi kuadratis 3 5 -/ !mod //" tidak mempunyai selesaian sebab // 5 1

!mod ;" sehingga 2

#ontoh $.1$

$ongruensi kuadratis 3 5 -/ !mod =" dapat diselesaikan sebab = 5 / !mod ;"

sehingga. %ntuk memperoleh selesaian, kita perlu menambah -/ dengan =.k

yang mana k 7 /,,1, sehingga dipeoleh suatu bilangan kuadrat. Dengan demikiankongruensi dapat diubah menadi 3 5 -/ !mod =" 5 !-/ 4 =.k" !mod =" 5 !-/ 4

=./6" !mod =" 5 @= !mod =" sehingga 3 < @= 5 6 !mod =", !3 < />"!3 4 />"

5 6 !mod =". Selesaian kongruensi adalah 3 5 /> !mod =" atau 3 5 / !mod ="

Teorema $.) 3-emma "auss4

Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganil, k , dan !k,p" 7 /

Jika r adalah banyaknya residu positif terkecil dari k, k, 1k, k yang lebih dari

maka 7 !< /"r



Bukti *

erhatikan barisan k, k, 1k, kJika unsur-unsur barisan dinyatakan dalam modulo p sehingga diperoleh suatu

barisan baru dengan unsur-unsur positif dan kurang dari p, maka barisan baru

ini disebut barisan residu positif terkecil modulo p , dan memuat dua barisan

bagian, yaitu

u/, u, , ui dengan ur , r 7 /, , , i

yang disebut barisan residu positif terkecil yang lebih dari , dan 2

v/, v, , v dengan vs M , s 7 /, , ,

yang disebut barisan residu positif terkecil yang kurang dari 2

Jika ui 3 v dinyatakan dalam modulo p, maka diperoleh 2

!u/ . u ui "! v/ . v v " 5 k.kk !mod p"

5 k!p-/"F !/. !mod p"

5 k!p-/"F I !mod p"

$arena !tk,p" 7 / untuk semua t yang mana 6 H t H , maka barisan residu positif terkecil u/, u, , ui , v/, v, , v merupakan bagian barisan /, , 1, , p < /

erhatikan barisan p < u/, p < u, , p < u i , v/, v, , v . $arena unsur-unsur

barisan ini sebanyak !p-/"F dan merupakan bilangan bulat positif tidak lebih

dari !p-/"F, maka tidak ada dua unsur barisan yang kongruen modulo p. Jika ada

dua ui atau dua v yang kongruen, maka mk 5 nk !mod p" dengan m,n dan 6 M

3,y H !p < /"F , akibatnya m 5 n !mod p" karena !k,p" 7 /. Nal ini tidak mungkin

teradi. Demikian pula ika ada !p < u i" yang kongruen dengan v , maka mk 5 !p < na" !mod p", atau mk 5 < nk !mod p", akibatnya m 5 -n !mod m" karena !k,p" 7

/. Nal ini tidak mungkin teradi teradi karena m dan n di dalam barisan /, , ,

!p < /"F. Jadi semua unsur barisan p < u/, p < u, , p < ui , v/, v, , v sama

dengan unsur unsur barisan /, , , !p < /"F , sehingga 2 !p < u/"!p < u" , !p <

ui " v/, v, , v 5 /.!p < /"F !- u/" !- u" , !- ui " . v/ .v, v 5 I

!mod p" !-/"i ! u/" ! u" , ! ui " . v/ .v, v 5 I !mod p" !-/"i k!p-/"F I !mod p"

5 I !mod p"



$arena !I , p" 7 /, maka !-/"i k!p-/"F 5 / !mod p" , atau k!p-/"F 5 !-/"i !mod p"

Jadi 2 5 !-/"

i

!mod p"

#ontoh $.1)

$ongruensi kuadratis 3 5 > !mod /1" akan diselidiki dengan menggunakan

Lemma Gauss

$ita buat barisan >k dengan k 7 /, , , !/1 < /"F, kita peroleh >, /;, /, @, 1',

;, dan dalam

modulo /1 diperoleh barisan residu terkecil >, /, @, , =, 1, sehingga dapat

dikelompokkan menadi barisan residu positif terkecil lebih dari !/1F" yaitu >, @,

=, dan barisan residu positif terkecil kurang dari !/1F" yaitu /, , 1. Dengan

demikian 2

u/ 7 > 5 > !mod /1" , u 7 @ 5 / !mod /1" , u1 7 = 5 1' !mod /1"

v/ 7 / 5 /; !mod /1" , v 7 5 @ !mod /1" , v1 7 1 5 ; !mod /1"

sehingga 2u/.u.u1.v/..v.v1 5 >./.1'./;.@.; !mod /1" 5 >?./..1.;.'.? !mod /1"

Sekarang kita buat barisan p < u/ , p < u , p < u1 , v/ , v , v1 , kita peroleh barisan

?, ', ;, /, , 1, yang mana tidak memuat dua suku yang kongruen.

!p < u/".!p < u".!p < u1". v/ . v . v1 5 ?.'.;.1../ !mod /1"

!-/"1 u/.u.u1.v/..v .v1 5 ?I !mod /1"

!-/"1 >?.?I 5 ?I !mod /1"

>? 5 -/ !mod /1" , berartiJadi 2 kongruensi 3 5 > !mod /1" tidak mempunyai selesaian.



Tugas dan -atihan

Tugas

(acalah suatu buku *eori (ilangan, buktikan suatu teorema bah&a 2

ika p adalah suatu bilangan prima ganil. Selanutnya, berdasarkan teorema

tersebut, buktikan akibatnya 2

4/ , ika p 5 / !mod @" atau p 5 > !mod @"

7 < / , ika p 5 1 !mod @" atau p 5 ' !mod @"

-atihan

/. Selesaikan '3 4 ;3 4 /> 5 6 !mod /1"

. )arilah residu-residu kuadratis dan bukan residu-residu kuadratis modulo '

1. Selesaikan 2 !a" 3 5 ' !mod //" !b" 3 5 > !mod //"

;. Selesaikan 2 !a" 3 5 ' !mod /=" dengan menggunakan Lemma Gauss

!b" 3 5 '@ !mod >>" dengan menggunakan *eorema Sisa )hina

'. )arilah dengan menggunakan $riteria Euler

Ramu5Ramu 6a7aan Tugas dan -atihan

Ramu5Ramu 6a7aan Tugas

Sesuai dengan Lemma Gauss, ika i adalah banyaknya residu positif

terkecil modulo p 2 /., ., 1., , ! yang lebih dari pF , maka Sekarang akan

dihitung banyaknya residu positif terkecil yang kurang dari pF (ilangan bulat ,

dengan / H H !p < /"F, adalah kurang dari pF ika H pF; , dengan demikian

terdapat BpF;C bilangan bulat kurang dari pF. 0kibatnya, terdapat i 7 !p < /"F < BpF;C bilangan bulat lebih dari pF, sehingga sesuai dengan Lemma Gauss 2 Ani

berarti harus dibuktikan bah&a 5 !p < /"F@ !mod "

#arilah kita lihat berbagai keadaan dari !p < /"F@

!/" p tidak mungkin dalam bentuk p 5 ,;,? !mod @" sebab p adalah bilangan

prima ganil



!" p 5, atau p 7 @t , maka !p < /"F@ 7 K!@t " < /F@ 5 6 !mod "

!1" p 5, atau p 7 @t 1, maka !p

< /"F@ 7 K!@t 1"

< /F@ 5 / !mod "#arilah sekarang kita lihat berbagai keadaan !p < /"F < BpF;C

!/" p 5 / !mod @" ,atau p 7 @t 4 /, maka !p < /"F < BpF;C 7 ;t < Bt 4 /F;C 7 ;t < t

56 !mod "

!" p 5 -/ !mod @" , atau p 7 @t 4> , maka !p < /"F < BpF;C 7 !;t 4 1" < Bt 4 >F;C 5

6 !mod "

!1" p 5 1 !mod @" , atau p 7 @t 4 1 , maka !p < /"F < BpF;C 7 !;t 4 /" < Bt 4 1F;C 5

/ !mod "

!;" p 5 -1 !mod @" , atau p 7 @t 4 ' , maka !p < /"F < BpF;C 7 !;t 4 " < Bt 4 'F;C 5

/ !mod "

Dengan demikian dapat ditentukan bah&a 2

K!p < /"F < BpF;C 5 K!p < /"F@ !mod "

sehingga 2

Jika p 5 / !mod @" atau p 5 > !mod @" , maka p 7 @m 4 / atau p 7 @n 4 > dengan

m,n sehingga substitusi pada !p < /"F@ diperoleh r atau s, akibatnya

7 / Jika p 5 1 !mod @" atau p 5 ' !mod @" , maka p 7 @m 4 1 atau p 7 @n 4 '

dengan m,n sehingga substitusi pada !p

< /"F@ diperoleh r 4 / atau s 4 /,akibatnya 7 -/

Ramu5Ramu 6a7aan -atihan

/. '3 4 ;3 4 /> 5 6 !mod /1" dikalikan @ !sebab @ adalah inversi ' modulo

/1" diperoleh ;63 4 13 4 /1? 5 6 !mod /1 , atau 3 4 ?3 4 ? 5 6 !mod /1",

kemudian dapat diubah menadi 3 4 ?!.>"3 4 !?.>" < !?.>" 4 ? 5 6 !mod /1"



karena .> 5 / !mod /1", dan dapat disederhanakan menadi 3 4 !;"3 4 !;" <

!;"

4 ? 5 6 !mod /1" atau !3 4 ;"

5 1

< ? !mod /1"Dengan demikian !3 4 1" 5 /? !mod /1", sehingga 3 5 / !mod /1" atau 3 5 ?

!mod /1"

. Dari bilangan-bilangan /,,1,; dapat ditentukan bah&a / 7 / 5 / !mod '", 7

; 5 ; !mod '",

1 7 = 5 ; !mod '", dan ; 7 /? 5 / !mod '" . Dengan demikian 3 5 / !mod '"

mempunyai dua

selesaian 3 7 / dan 3 7 ; , 3 5 ; !mod '" mempunyai dua selesaian 3 7 dan 3 7

1, sedangkan

3 5 !mod '" dan 3 5 1 !mod '" tidak mempunyai selesaian.

Jadi residu-residu kuadratis modulo ' adalah / dan ; , dan bukan residu-residu

kuadratis modulo ' adalah dan 1.

1. !a" #enurut teorema '.1 , 5 '!//-/"F !mod //" 5 '' !mod //" 5 '.'.' !mod //"

5 1.1.' !mod //" 5 ;' !mod //" 5 / !mod //", berarti kongruensi dapat

diselesaikan 3 5 ' !mod //" 5 /? !mod //". Jadi 3 5 ; !mod //" atau 3 5 > !mod

//" !b" #enurut teorema '.;. !a" dan !c" 2 dan menurut teorema '.1 , $arena ,

maka kongruensi tidak mempunyai selesaian.

;. !a" (uat barisan 'k dengan k 7 /, , 1, , !/= < /"F diperoleh

',/6,/',6,',16,1',;6,;', sehingga barisan residu positif terkecil modulo '

adalah ',/6,/',/,?,//,/?,,> . (anyaknya unsur barisan residu positif terkecil

yang lebih dari !/=F" adalah ;, yaitu /6,/',//,/?. Dengan demikian sesuaiLemma Gauss,berarti kongruensi dapat diselesaikan . $arena 3 5 ' !mod /="

5 ' 4 ;./= !mod /=" 5 @/ !mod /=" , maka selesaian kongruensi adalah 3 5 =

!mod /=" atau 3 5 /6 !mod /=".

!b" 3 5 '@ !mod >>" 5 '@ !mod >.//". $arena >8>> dan //8>> , maka 3 5 '@

!mod >" dan

3

5 '@ !mod //", atau 3

5 !mod >" dan 3

5 1 !mod //"



Dari 3 5 !mod >" diperoleh 3 5 1 !mod >" atau 3 5 ; !mod >" , dan dari 3 5 1

!mod //"diperoleh 3 5 ' !mod //" atau 3 5 ? !mod //". Dengan demikian terdapat ;

kemungkinan sistem kongruensi linier simultan, 3 5 1 !mod >" dan 3 5 ' !mod

//", 3 5 1 !mod >" dan 3 5 ? !mod //", 3 5 ; !mod >" dan 3 5 ' !mod //", 3 5 ;

!mod >" dan 3 5 ? !mod //", dan menghasilkan ; selesaian 3 5 1@ , /> , 1= , ?6

!mod >>".

'. 5 !-/'"!p-/"F !mod ?/" 5 !-/'"!?/-/"F !mod ?/" 5 !-/'"16 !mod ?/" 5 /'16 !mod ?/"

/' 5 /' !mod ?/" , /' 7 ' 5 ; !mod ?/" , /'; 7 />?; 5 '? !mod ?/"

/'@ 7 1/1? 5 ' !mod ?/" , dan /'/? 7 ?' 5 /' !mod ?/"

5 /'16 !mod ?/" 5 /'/?./'@./';./' !mod ?/" 5 /'.'.'?.; !mod ?/" 5 / !mod ?/"

Jadi 3 4 /' 5 6 !mod ?/" mempunyai selesaian, diperoleh dengan cara 2

3 5 -/' !mod ?/" 5 ;? !mod ?/" 5 ;? 4 /;.?/ !mod ?/" 5 =66 !mod ?/"

Selesaian 2 3 5 16 !mod ?/" dan 3 5 1/ !mod ?/".



RA!"KU8A!

(erdasarkan seluruh paparan pada $egiatan (elaar / ini, maka garis besar

bahan yang dibahas meliputi Definisi, *eorema, dan penerapan dalam

penyelesaian masalah terkait, terutama tentang konsep kongruensi kuadratis,

konsep residu kuadratis, lambang Legendre dan manfaatnya untuk menetapkan

keterselesaian kongruensi kuadratis, kriteria Euler dan Lemma Gauss untuk

menghitung nilai Lambang Legendre , cara memperoleh selesaian kongruensi

kuadratis , dan keterkaitan sistem kongruensi linier simultan untuk menyelesaikan

kongruensi kuadratis tertentu.

/. De(inisi $.1 tentang residu kuadratis dan bukan residu kuadratis

. De(inisi $.% tentang Lambang Legendre

1. Teorema $.1

Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganil Setiap sistem residu tereduksi

modulo p tepat memuat !p < /"F residu-residu kuadratis, dan tepat memuat !p <

/"F bukan residu-residu kuadratis modulo p. +esidu-residu kuadratis merupakanunsur dari klas residu yang memuat bilangan-bilangan 2 /, , 1, , B!p < /"FC

;. Teorema $.%

Ditentukan k adalah suatu bilangan bulat, p adalah suatu bilangan prima ganil,

dan !k,p" 7 / Jika kongruensi 3 5 k !mod p" dapat diselesaikan, maka terdapat

tepat dua selesaian yang tidak kongruen modulo p.

'. Teorema $.& Kriteria Euler

Jika p adalah suatu bilangan prima dan k adalah suatu bilangan bulat positif yang

tidak habis dibagi oleh p , maka 2 !mod p".

). Teorema $.$

Jika p adalah suatu bilangan prima ganil, maka 2 / , ika p 5 / !mod ;"7 -/, ika p

5 1 !mod p"

,. Teorema $.) 3-emma "auss4

Ditentukan p adalah suatu bilangan prima ganil, k , dan !k,p" 7 /



Jika r adalah banyaknya residu positif terkecil dari k, k, 1k, k yang lebih dari

maka 7 !< /"

r

RESIDU KUADRATIS JULIMAN

Documents

Transcript of RESIDU KUADRATIS JULIMAN