Řešení nerovnic
description
Transcript of Řešení nerovnic
Řešení nerovnic
Soustava lineárních nerovnic
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Ing. Šárka Macháňová.Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802-4785, financovaného z ESF a státního rozpočtu ČR.
Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).
Opakování ‒ Řešení nerovnic:
Řešit lineární nerovnici s jednou neznámou znamená určit všechny hodnoty x R, pro které platí ten uvedený vztah, který byl zadán.
Zkouška není nutnou součástí řešení, pokud použijeme pouze ekvivalentních úprav. Zkoušku dosazením všech kořenů do dané nerovnice nelze provést, neboť jich je zpravidla nekonečně mnoho. Dosazením náhodně vybraného čísla nemusíme zjistit případnou chybu při řešení.
352 xx
xxx4
313
2
1210
6
23312
3
15,1
yyy
y
Princip řešení nerovnic ‒ hledání kořenů nerovnice:
Hledání kořenů nerovnice je, stejně jako u rovnic, opět proces, při kterém místo dané nerovnice píšeme novou nerovnici, většinou takovou, která má stejné řešení jako původní nerovnice.
O takové nové nerovnici řekneme, že je s tou naší původní nerovnicí ekvivalentní.
Úpravy, které provádíme s příslušnou nerovnicí se nazývají ekvivalentní úpravy. Jsou to takové úpravy nerovnice, při nichž žádný kořen neztratíme, a také obráceně, žádný kořen nedostaneme navíc.
Množiny kořenů původní nerovnice a nové nerovnice jsou si rovny.
Ekvivalentní úpravy využívané při řešení nerovnic:
1. Vzájemná výměna obou stran nerovnice se současnou záměnou znaku nerovnosti.
2. Přičtení čísla nebo výrazu k oběma stranám nerovnice.
6. Odmocnění obou stran nerovnice přirozeným odmocnitelem, jen když jsou obě strany kladné.
3. Vynásobení obou stran nerovnic stejným kladným číslem nebo výrazem.
4. Vynásobení obou stran nerovnice záporným číslem se záměnou znaku nerovnosti.
5. Umocnění obou stran nerovnice přirozeným mocnitelem, jen když jsou obě strany rovnice kladné.
POZOR!
Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot.MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ!
2
5:10
5:/105
x
x
x
POZOR!
Podstatnou a zásadní změnou při řešení nerovnic je násobení nebo dělení nerovnice záporným číslem nebo výrazem, který nabývá záporných hodnot.MUSÍME POTÉ ZMĚNIT ZNAMÉNKO V OPAČNÉ!
3
44
3
4/4
3
4
x
x
x
Opakování ‒ Lineární nerovnice
Lineární nerovnice s neznámou x je nerovnice, kterou lze vyjádřit ve tvaru:
Jejím řešením je podmnožina množiny R, kterou lze zapsat například pomocí intervalu.
0bax
0bax
0bax
0bax
Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic
Řešme v R nerovnici: 232 xx
3//232 xxx
5;K
322 xx
5x
Opakování ‒ Řešení lineárních nerovnic
Řešme v R nerovnici: 10266 xx
6/2/10266 xxx
;4K
61026 xx
4:/164 x4x
Soustava lineárních nerovnic
Jak se řeší lineární nerovnice, už tedy víme. Někdy však potřebujeme najít i čísla, která vyhovují zároveň několika nerovnicím s jednou neznámou – soustavě nerovnic.
Postup řešení soustavy nerovnic pro nás nyní už bude v podstatě velmi jednoduchý. Spočívá totiž jen ve dvou základních krocích, které by nám již dnes neměly činit žádné potíže:
1. Vyřešíme postupně jednotlivé nerovnice.
2. Určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic soustavy.
Pojďme si tedy celý postup ukázat opět na nějakých konkrétních soustavách nerovnic.
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic:
xx
xx
332
1123
5213
V souladu s na předchozím snímku uvedeným postupem
řešení soustavy nerovnic, vyřešíme nejprve obě
nerovnice samostatně.
5213 xx xx 332
1123
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic:
xx
xx
332
1123
5213
5213 xx xx 332
1123
5233 xx 3/2/ x
3523 xx2x
xx2
3
2
336 2/
xx 33612 6/3/ x63312 xx
99 x 9:/1xNo a nyní v souladu s druhým
krokem výše uvedeného postupu při řešení soustavy
nerovnic určíme průnik množin všech řešení jednotlivých
nerovnic soustavy, v našem případě tedy dvou.
;2... 1K
1;... 2 K
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic:
xx
xx
332
1123
5213
5213 xx xx 332
1123
5233 xx 3/2/ x
3523 xx2x
xx2
3
2
336 2/
xx 33612 6/3/ x63312 xx
99 x 9:/1x
1;21;;221 KKK
Samozřejmě doporučuji grafické znázornění, které
oceníte především při větším počtu nerovnic.
;2... 1K
1;... 2 K
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37
3315
4423
x
xx
xx
Opět nejprve všechny
nerovnice vyřešíme
samostatně.
4423 xx 3315 xx 53x37 x
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37
3315
4423
x
xx
xx
4423 xx 3315 xx 53x37 x
2443 xx
6 x6x
1335 xx
22 x1x
3537 xx
84 x2x
No a nyní určíme průnik množin všech řešení jednotlivých nerovnic
soustavy. Tentokrát tří. Zde již skutečně jistě oceníte přínos
grafického znázornění.
;61K ;12K ;23K
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 53x37
3315
4423
x
xx
xx
4423 xx 3315 xx 53x37 x
2443 xx
6 x6x
1335 xx
22 x1x
3537 xx
84 x2x
;2;2;1;6321 KKKK
;61K ;12K ;23K
Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx
Překvapilo vás zadání? Jedná se o jiný zápis
soustavy dvou nerovnic. Jednotlivé vztahy si tedy nejprve rozepíšeme na samostatné nerovnice
a … dál už vám jistě radit nemusím.
5243 xx 14x52 x
Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx
5243 xx 14x52 x4523 xx
9x 9;1 K
5142 xx
62 x
3x ;32K
Soustava lineárních nerovnicŘešme v R soustavu nerovnic: 14x5243 xx
5243 xx 14x52 x4523 xx
9x 9;1 K
5142 xx
62 x
3x ;32K
9;3;39;21 KKK
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 1025
11
xx
xx
I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně.
xx 11 1025 xx
11 xx
02 x0x
;01K
2105 xx
84 x2x
2;2 K
Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení!
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 1025
11
xx
xx
I v případě soustavy nerovnic se můžeme setkat také s jinými typy řešení, než nám prozatím ve všech řešených příkladech vycházely. Podívejme se na ně.
xx 11 1025 xx
11 xx
02 x0x
;01K
2105 xx
84 x2x
2;2 K
2;;021 KKK Průnik množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic nemá řešení!
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 322
7623
5412
xx
xx
xx
5412 xx 7623 xx 322 xx
1542 xx
62 x
3x
2763 xx
93 x
3x
232 xx
1 x1x
3;1 K 3;2 K ;13K
Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě
nemá řešení!
Soustava lineárních nerovnic
Řešme v R soustavu nerovnic: 322
7623
5412
xx
xx
xx
5412 xx 7623 xx 322 xx
1542 xx
62 x
3x
2763 xx
93 x
3x
232 xx
1 x1x
3;1 K 3;2 K ;13K
;13;3;321 KKKK Průnik všech tří množin řešení jednotlivých nerovnic soustavy je prázdný, a to znamená, že soustava nerovnic ani v tomto případě
nemá řešení!
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic:
323
175
7
1
4542
xx
xx
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic:
323
175
7
1
4542
xx
xx
4542 xx 323
175
7
1 xx
4582 xx
8452 xx
123 x
4x
327753 xx
21142115 xx
21211415 xx
0x 4;1 K 0;2 K
0;0;4;21 KKK
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic: 2314
7234
6226
xx
xx
xx
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic: 2314
7234
6226
xx
xx
xx
6226 xx 7234 xx 2314 xx
2626 xx 3724 xx 1234 xx
84 x 102 x 3x2x 5x
;33K 2;1 K ;52K
2;3;3;52;321 KKKK
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic: 35
1
9
1522
2192
4
122
xxx
xx
x
Příklady k procvičení
Řešme v R soustavu nerovnic: 35
1
9
1522
2192
4
122
xxx
xx
x
2
2192
4
122 xx
x
35
1
9
152 xxx
xxx 4388122 xxx 15997510
1238482 xxx 75915910 xxx
5010 x 8414 x
5x 6x
;51K 6;2 K
6;56;;521 KKK
Všechny uveřejněné odkazy [cit. 2010-06-10]. Dostupné pod licencí Public domain na WWW: <http://www.clker.com/clipart-white-board.html>
Použité obrázky: