REŠAVANJe nekih NP-teških PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE

REŠAVANJE NEKIH NP-TEŠKIH PROBLEMA

DISKRETNE OPTIMIZACIJE

Nina Radojičić

Matematički fakultet

Uvod◦ Diskretna optimizacija◦ Rešavanje NP-teških problema

LOBA◦ Problem◦ GA◦ VNS◦ Rezultati

MMDP◦ Problem◦ Rezultati

Zaključak

2/35

Sadržaj


Problem diskretne optimizacije◦ Konačan ili prebrojivo beskonačan, diskretan skup

S◦ Funkcija f: S → R◦ Naći minimum funkcijef

S – dopustiv skup f – funkcija cilja Dopustivo rešenje Optimalna rešenja

3 /35

Diskretna optimizacija


Vreme – bitan faktor Metaheuristike

◦ Često izbor◦ Dobro rešenje zadatka za relativno kratko vreme◦ Bez dokaza optimalnosti ◦ Mogu primenjivati na širok spektar problema◦ Pretražuju skup dopustivih rešenja u cilju

nalaženja što boljeg rešenja

4 /35

Rešavanje NP-teških problema


Problem izbalansiranosti lokacija (The Load Balance Problem, LOBA)

◦ m potencijalnih snabdevača◦ n korisnika◦ Bira se p snabdevača◦ Korisnik se pridružuje tačno jednom najbližem

odabranom snabdevaču◦ l = najmanji broj korisnika pridruženih nekom

snabdevaču ◦ u = najveći broj korisnika pridruženih nekom

snabdevaču ◦ Minimizovati u-l

5 /35

LOBA - problem


Primer◦ Skup korisnika {0, 3, 4, 10} ◦ Skup potencijalnih snabdevača {0, 3, 4, 10} ◦ Euklidska rastojanja

◦ p=2

◦ Rešenje {3, 4} Snabdevaču 3 se pridružuju 0 i 3 Snabdevaču 4 se pridružuju 4 i 10

6 /35

LOBA - poblem

0 3 4 100 0 3 4 103 3 0 1 74 4 1 0 610 10 7 6 0


Dosadašnji rezultati◦ Alfredo Marín, 2011

Marín A., "The discrete facility location problem with balanced allocation of customers", European Journal of Operational Research, Vol. 210, Issue 1, pp.27-38, (2011)

dve formulacije predložio metodu grananja i sečenja (Branch-and-Cut

algorithm - BnC) sa poboljšanjima Testirao na instancama

Do 50 potencijalnih snabdevača Do 100 korisnika

7 /35

LOBA – problem

http://www.sciencedirect.com/science?_ob=PublicationURL&_tockey=


Primena◦ Dizajn teritorije

Izborne jedinice Škole

◦ Lokacija antena za mobilne telefone

8 /35

LOBA - problem


Matematička formulacija◦ Pogodna za CPLEX ILOG IBM◦ A = {1, 2, ..., n} skup korisnika◦ B = {1, 2, ..., m} skup potencijalnih snabdevača◦ C = (cij) matrica troškova◦ p = broj snabdevača koje treba odabrati

9 /35

LOBA – problem

Matematički fakultet 10 /35

LOBA – problem


Open source GAFramework Genetski algoritam (GA)

◦ Populacija◦ Prilagođenost◦ Selekcija◦ Ukrštanje◦ Mutacija

11 /35

LOBA - GA


Populacija◦ 150 jedinki◦ 50 novih

u svakoj iteraciji

Kodiranje jedinki: binarno m bitova (p jedinica)

Početna populacija Slučajno odabrana Verovatnoća p/m

12 /35

LOBA – GA


Prilagođenost◦ Funkcija prilagođenosti

Jedinke sa najboljom (najlošijom) funkcijom cilja slika u 1 (0)

Sve jedinke različite (ostale slika u 0) Maksimalno 10 sa istom funkcijom cilja (ostale slika u 0)

Selekcija◦ Turnirska selekcija◦ Fino gradinirana 5.4

Ukrštanje◦ pcross=0.85

13 /35

LOBA – GA


Mutacija◦ pmut=0.4/m◦ Faktor za zaleđene bitove 3,5

Kriterijum zaustavljanja◦ Maksimalan broj generacija 10000 ◦ Ponavljanje najboljeg rešenja funkcije cilja 5000

uzastopnih generacija

14 /35

LOBA – GA


Metoda promenljivih okolina (Variable neighborhood search - VNS ) Analiza okolina Lokalna pretraga Koraci

◦ Uprošćen VNS (Reduced VNS)◦ VNS

Mešanje (Shake) Lokalna pretraga

15 /35

LOBA - VNS


Kodiranje◦ Rešenje: permutacija brojeva {1, 2, ..., m}◦ Prvih p odabrani snabdevači

Okolina◦ Primer:

1 2 3 | 4 5 6 7 8 2<->6 1 6 3 | 4 5 2 7 8

16 /35

LOBA - VNS


Hibridizacija sa GA Umesto uprošćenog VNS-a početno rešenje

za VNS je rešenje koje se dobije primenom GA

17 /35

LOBA - VNS


Metode testirane na tri skupa instanci◦ Marín

m (20, 30, 50) n (20, 30, 50, 100) p (3, 4, 6, 10)

◦ Galvão i ReVelle n (100, 150) p (5, 10, 15)

◦ Lorena i Senne n (100, 200, 300, 402) Odgovarajuće vrednosti za p Za problem p-medijane ograničenih kapaciteta

18 /35

LOBA – rezultati


LOBA – rezultati

10

500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

CPLEXGA

Poređenje prosečnog vremena: CPLEX vs. GA


Za instance koje su rešene i korišćenjem CPLEX-a sve metode su dale optimalna rešenja.

Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama:◦ CPLEX 3566.24 ◦ GA NP 0.34◦ GA P 0.22 ◦ VNS 0.76◦ GA VNS 0.05

20 /35

LOBA – rezultati


LOBA – rezultati Poređenje parelelizovane varijante GA u odnosu na ne parelelizovani GA

20-20

-3-1

20-20

-6-1

30-30

-3-1

30-30

-3-10

0

30-30-

4-30

30-50

-3-50

30-50-

6-10

30-50

-6-20

0

30-50

-10-10

0

30-100

-3-50

30-10

0-6-10

30-10

0-6-20

0

30-10

0-10-1

00

50-50-

3-50

50-50

-6-10

50-50

-6-40

0

50-50-

10-100

50-10

0-3-50

50-100

-6-10

50-10

0-6-40

0

50-10

0-10-1

00

100-10

0-3-10

100-10

0-3-10

00

100-10

0-3-30

000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

T GA NPT GA P


LOBA – rezultati Poređenje hibridizacije GA i VNS sa paralelizovanom verzijom GA

20-20

-3-1

20-20

-6-1

30-30

-3-1

30-30

-3-10

0

30-30

-4-30

30-50

-3-50

30-50

-6-10

30-50

-6-20

0

30-50

-10-10

0

30-10

0-3-50

30-10

0-6-10

30-10

0-6-20

0

30-10

0-10-1

00

50-50-

3-50

50-50

-6-10

50-50

-6-40

0

50-50-

10-40

0

50-10

0-3-10

0

50-10

0-6-50

50-10

0-10-1

0

50-10

0-10-4

00

100-10

0-3-50

100-10

0-3-20

00

100-10

0-3-35

000

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

GA PGA VNS


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160

5

10

15

20

25

30

35

40

VNS GAVNS

23 /35

LOBA – rezultati Poređenje VNS-a i VNS GA


LOBA – rezultati

F T0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

GA NPGA PVNSGA VNS

Poređenje na instancama SCJ velikih dimenzija (100, 200, 300, 402)


Problem maksimizacije minimalnog rastojanja (Max Min Diversity Problem, MMDP)◦ Skup od n elemenata◦ Bira se m◦ Maksimizovati minimalno rastojanje među

odabranim elementima

25 /35

MMDP - problem

Matematički fakultet 26

Primer◦ Jednostavan na realnoj pravoj◦ m = 5◦ n = 3

MMDP - problem

Matematički fakultet 27

Primena◦ U različitim oblastima

Socialne nauke Biološke nauke

Npr. U ekologiji Raspoređivanje postrojenja

◦ Svaki element može predstaviti skupom atributa◦ Rastojanje različito definisano

MMDP - problem


MMDP NP-težak◦ Nezavisno su pokazali

Erkut (1990) Ghosh (1996)

28 /35

MMDP - problem


Matematička formulacija

29 /35

MMDP - problem


Tehnike rešavanja kao za problem LOBA

30 /35

MMDP – GA, VNS, GA VNS


Testirano na tri skupa instanci◦ Glover

Instance dimenzija n = 10, 15, 20 m = 0.2n do 0.8n Rezultati provereni korišćenjem CPLEX-a

◦ Geo i Ran Instance dimenzija n = 100, 250, 500 m = 0.1n do 0.3n Na drugačiji način generisane

31 /35

MMDP - rezultati


Za instance manjih dimenzija rešenja su proverena korišćenjem CPLEX-a

Prosek vremena (u sekundama) na tim instancama:◦ CPLEX 134.46◦ GA 0.37 ◦ VNS 0.76

32 /35

MMDP - rezultati


MMDP - rezultati

T0

100

200

300

400

500

600

GAVNSGA VNS

Pregled vremena (u sekundama) izračunavanja na većim instancama


Rešavani problemi su pogodni za rešavanje heurističkim metodama

Za dalji rad:◦ Rešavanje sličnih problema◦ Paralelizacija VNS-a◦ Implementacija drugih heuristika

34 /35

Zaključak

Matematički fakultet 35/35

Hvala na pažnji.

Pitanja

REŠAVANJe nekih NP-teških PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE

Documents

Transcript of REŠAVANJe nekih NP-teških PROBLEMA DISKRETNE OPTIMIZACIJE