Res Mat a Cfoe2010

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COMANDO DA AERONUTICA

EXAME DE SELEO AO CURSO DE FORMAO DE OFICIAIS ESPECIALISTAS

(CFOE 2010)

MATEMTICA

PROVA RESOLUO

LEIA COM ATENO AS INSTRUES ABAIXO.1 Este caderno contm 01 (uma) prova de Lngua Inglesa composta de 30 (trinta) questes objetivas

numeradas de 01 (um) a 30 (trinta) e 01 (uma) prova de Matemtica composta de 30 (trinta) questesobjetivas numeradas de 31 (trinta e um) a 60 (sessenta). Confira se todas as questes esto

perfeitamente legveis. Sendo detectada alguma anormalidade, solicite ao fiscal de prova asubstituio deste caderno.

2 Verifique se a VERSO da prova e a ESPECIALIDADE constantes deste caderno de questesconferem com os campos VERSO e ESPECIALIDADE contidas em seu Carto-Resposta.

3 No se comunique com outros candidatos, nem se levante sem autorizao do Chefe de Setor.

4 A prova ter a durao de 4 (quatro) horas acrescidas de mais 20 (vinte) minutos para opreenchimento do Carto-Resposta.

5 Assine o Carto-Resposta e assinale as respostas, corretamente e sem rasuras, com caneta azul oupreta.

6 Somente ser permitido retirar-se do local de realizao das provas aps decorridas 2 (duas) horasdepois do incio das provas. O Caderno de Questes s poder ser levado pelo candidato quepermanecer no recinto at o horrio determinado oficialmente para o trmino da prova.

7 A desobedincia a qualquer uma das determinaes constantes no presente caderno e no Carto-Respostas poder implicar a anulao da sua prova.

AGENDA (PRXIMOS EVENTOS)

DATA EVENTOat 18/08/2009 Divulgao das provas aplicadas e dos Gabaritos Provisrios (via intraer).

at 21/08/2009 Preenchimento na pgina do CIAAR na Internet (disponvel at s 15h do ltimo dia derecurso Horrio de Braslia) da Ficha Informativa sobre Formulao de Questo (FIFQ)

at 15/9/2009 Divulgao individual da correo das Redaes.at 15/09/2009 Divulgao dos Gabaritos Oficiais e dos pareceres individuais sobre as FIFQ ( Via

Intraer).

at 18/09/2009 Preenchimento na pgina do CIAAR na Internet do formulrio de recurso para a Prova deRedao (at s 15h do ltimo dia de recurso horrio de Braslia).

at 29/09/2009 Divulgao dos resultados finais das Redaes.

at 30/09/2009 Divulgao na Internet e Intraer, da relao nominal, por especialidade, com os resultadosobtidos pelos candidatos e convocao para a Concentrao Intermediria.

05/10/2009 Concentrao Intermediria, das 9h s 11h (Horrio Local).

VERSO

A

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EXAME DE SELEO CURSO DE FORMAO DE OFICIAIS ESPECIALISTAS/2010

MATEMTICA VERSO A PGINA 1

MATEMTICA

31)Considere cinco nmeros inteiros consecutivos em ordem crescente. Sabe-se que a soma dosquadrados dos trs primeiros nmeros igual soma dos quadrados dos dois ltimos. Nessascondies, a soma desses cinco nmeros inteiros

a) igual a 0 ou 60.b) um nmero maior do que 60.c) positiva e menor do que 60.d) impossvel ser determinada sem que se conhea pelo menos um desses nmeros.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Seja a sequncia (x 2, x 1, x, x + 1, x + 2), ento(x 2)2 + (x 1)2 + x2 = (x + 1)2 + (x + 2)2 x2 12x = 0 x(x 12) = 0, ou seja,x = 0 ou x = 12. Logo, as sequncias so (2, 1, 0, 1, 2) ou (10, 11, 12, 13, 14) cujas somas so 0 e 60,respectivamente.

32)Considere as funes :f e :g definidas, respectivamente, por 5x2x)x(f2 += e

4)x(f)x(g += . Nessas condies, assinale a alternativa correta.

a) A funo f possui dois zeros distintos.b) O vrtice do grfico de f o par ordenado (1,4).c) A funo g assume um ponto de mnimo em x = 1.d) O grfico da funo g intercepta o eixo das abscissas em um nico ponto.

JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

A alternativa a falsa, pois .05x2x0)x(f 2 =+= Como = 4 20 = 16 < 0, a funo f nopossui zeros reais.

A alternativa b falsa, pois o vrtice dado por ( )4,1a4

,a2

bV =

.

A alternativa c falsa, pois o grfico de g a translao do grfico de f e a funo f possui um mximo.A alternativa d est correta, pois 22 )1x(1x2x4)x(f)x(g =+=+= .

33)Sobre progresses aritmticas (P.A.) e progresses geomtricas (P.G.), analise as assertivas e assinalea alternativa que aponta as corretas.

I. Se 6, x, y, 162 e 486 so cinco termos consecutivos de uma P.G., ento 72yx =+ .II. A sequncia (19, 19, 19, ... ) uma P.A. e tambm uma P.G.

III. A sequncia

,x

1,

x

1,

x

1,x

53, com x 0, uma P.G. de razo

2

x

1q

= .

a) Apenas I e II.b) Apenas I e III.c) Apenas II e III.d) I, II e III.

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I. (6, x, y, 162, 486) uma P.G. de razo q = 3. Logo, x = 18 e y = 54. Assim, 72yx =+ . Portanto aassertiva verdadeira.

II. A sequncia uma P.A. de razo r = 0 e uma P.G. de razo q = 1. Portanto a assertiva verdadeira.

III.2

2x

1

x

1

x

1

x

1

x

1

xq

==

= . Portanto a assertiva falsa.

Logo, a alternativa a a correta.

34) Utilizando os algarismos 9, 8, 7, 6 e 5 foram registrados todos os nmeros de quatro algarismosdistintos. Cada nmero foi registrado em um bilhete e todos eles foram depositados em uma urna.Escolhendo, ao acaso, um desses bilhetes, qual a probabilidade de extrair um bilhete com o registrode um nmero par?

a)120

12

b)

120

24

c)120

36

d)120

48


Seja A o conjunto dos nmeros de quatro algarismos distintos formados com os algarismos 9, 8, 7, 6 e 5.

Ento, 120!5)!45(

!5A)A(n 4,5 ==== .

Seja B o evento: o nmero escolhido par. Ento, esse nmero pode ser terminado por 8 ou 6, ou seja,

48!42)!34(

!42A2)B(n 3,4 ==== . Portanto, a probabilidade de o nmero escolhido ser par dada

por5

2

120

48)B(P == .

35) Na representao em escala, os quadrados so todos de mesma medida e cada um de seus ladosrepresenta 100 km. Um avio sai da cidade A, faz escala na cidade C, chegando cidade B, conforme

figura a seguir. (Considere 4,12 = )A

C

B

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Nessas condies, esse avio percorreu, de A at B, passando por C, aproximadamente,

a) 905 km.b) 920 km.c) 935 km.d) 950 km.


Sejam ACd , CBd e ABd , as distncias de A a C, C a B e A a B, respectivamente. Ento,

2,44,132333d 22AC =+=

52543d 22CB ==+=

2,952,4dAB =+ .Portanto, a distncia de A a B , aproximadamente, 920 km.

36)Um avio parte de uma cidade A com destino a uma cidade C, fazendo escala na cidade B. Sabe-se

que a distncia de A a B de 500 km e de B a C de 300 km e o ngulo B mede 120, conformeinformaes contidas na figura a seguir:

Em uma emergncia, foi autorizado um voo diretamente de A a C e, neste caso, a distnciapercorrida pelo avio foi de

a) 650 km.b) 680 km.c) 700 km.d) 715 km.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Pela lei dos cossenos, tem-se

)120cos(BCAB2BCABAC o222

+= , ou seja,

)5,0(3005002)300()500(AC 222

+= , ou seja, 490000AC2= . Portanto, a distncia de A a C de

700 km.

37)Para responder s questes 37 e 38, utilize as informaes do texto a seguir:Um avio supersnico, ao passar, cria interferncias no ar formando um enorme cone. As ondasproduzidas pela passagem do avio propagam-se em todas as direes, gerando uma intensa variaode presso na superfcie desse cone, denominado cone de Mach. Quando nos referimos svelocidades de avies e projteis supersnicos, utilizamos o nmero de Mach, M, definido pelarelao

O

A

vv

sen1M =

=

120500 km 300 km

B

CA

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em que vA representa a velocidade do avio; vo representa a velocidade das ondas sonoras no ar e

2

= , sendo o ngulo de abertura do cone.

Suponha que uma aeronave supersnica voa numa regio em que as ondas sonoras produzidas sepropagam com velocidade correspondente metade da velocidade da aeronave.

O nmero de Mach a) 0,5.b) 1.c) 1,5.d) 2.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

2v

v2

v

vM

O

A === .

38)O ngulo de abertura do cone de Mach tal que

a) 15 < < 40.b) 40 < < 55.c) 55 < < 70.d) 70 < < 85.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

2v

v

sen

1M

O

A ==

= . Logo, 5,0sen = e 030= . Portanto, 060= .

39) Define-se rota de voo como sendo o nmero da medida do ngulo, em graus, que a direo norteforma com a linha de voo, no sentido horrio.Considere o mapa esquemtico a seguir, em que a malha quadriculada formada por quadrados demesma dimenso, a qual mostra quatro cidades: A, B, C e D.

Suponha que um avio decola de A com destino a D, com escalas em B e em C. Nessas condies, arota de voo de C para D a rota

a) 45.b) 90.c) 135.d) 225.

A

CB

D

N

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O segmento CD faz um ngulo de 45 com a horizontal. Logo, da direo norte at a linha de voo, nosentido horrio, o ngulo de (180 +45). Portanto, a rota de voo 225.

40)Sobre nmeros complexos, considere as assertivas a seguir e assinale a alternativa que aponta ascorretas.

I. ii2009 = .II. (1 i)2 = 2i.

III. ii1

i1=

+

.

a) Apenas I e II.b) Apenas I e III.c) Apenas II e III.d) I, II e III.


I falsa, pois ii2009 = .II verdadeira, pois (1 i)2 = 1 2i + i2 = 1 2i 1 = 2i.

III verdadeira, pois i2

1i21

11

ii21

)i1)(i1(

)i1)(i1(

i1

i1 2=

+=

+++

=+++

=+

.

41)O valor de 4911

336

77

a) 74.b) 72.c) 4

7

48.

d) 448

7.


24 84

9

4

9

4

29

4

911

777

7

336

487

336

)17(7

336

77===

=

=

.

42)Assinale a alternativa que apresenta o domnio da funo logartmica g definida por

+

=6x5x

xx6log)x(g

2

2

x .

a) Dom g = {x / 0 < x < 1 ou 1 < x < 2 ou 3 < x < 6}.b) Dom g = {x / x < 6 e x 1}.c) Dom g = {x / 0 < x < 1 ou 1 < x < 6}.d) Dom g = {x / 2 < x < 3 ou x > 6}.

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Devemos ter as seguintes condies 06x5x

xx62

2

>+

e 1 x > 0. Por outro lado, a frao algbrica pode ser

fatorada como segue:

)3x)(2x(

)x6(x

. Essa expresso positiva se ( 0)x6(x > e 0)3x)(2x( > ) ou ( 0)x6(x

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Como R(x) = (400 20x)(80 + 10x), ento R(x) = 0 x = 20 ou x = 8 . Como a funo receita de

segundo grau, o seu grfico uma parbola e o mximo ocorre no vrtice V(xv, yv). Como 62

820x v =

= ,

ento a receita mxima R(6) = 39.200.

46)Considere um sistema de duas equaes lineares com duas variveis. Resolvendo-o pelo mtodo deeliminao, chegou-se igualdade 3 = 3. Nessas condies, pode-se afirmar que o sistema

a) no admite soluo.b) admite uma nica soluo.c) admite apenas duas solues.d) admite infinitas solues.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

A alternativa correta a letra d, pois quando o processo de soluo leva a uma identidade, ou seja, uma

equao que verdadeira para todo (x, y), ento o sistema original tem infinitas solues.

47)Sobre o produto de matrizes, analise as assertivas e assinale a alternativa que aponta a(s) correta(s).I. Dadas duas matrizes Amxn e Bmxp, existe o produto BA .II. Dadas duas matrizes A e B de ordem n, sempre existe o produto BA .III. Se o produto de duas matrizes A e B a matriz nula, ento A ou B a matriz nula.

a) Apenas I.b) Apenas II.c) Apenas I e III.d) Apenas II e III.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:I falsa, pois o nmero de colunas da matriz A diferente do nmero de linhas da matriz B.II verdadeira, pois as matrizes so de mesma ordem.III falsa, pois se AB = 0, ento no se pode garantir que uma delas seja a matriz nula, pois possvel

ambas serem matrizes no-nulas e o produto ser a matriz nula, como por exemplo,

=

00

01A e

=

10

00B .

48)De um grupo de 6 comissrios de bordo e 5 aeromoas, uma companhia de aviao pretende escolher2 comissrios de bordo e 2 aeromoas e com os quatro escolhidos formar uma fila para recepcionar oministro da aeronutica. Quantas filas diferentes podem ser formadas?

a) 600b) 2.700c) 3.600d) 7.200JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Pode-se ocorrer:Escolha dos 2 comissrios: C6,2.

Escolha das 2 aeromoas: C5,2.Formao da fila: P4.

Pelo Princpio da Contagem tem-se 600.32342

45

2

56!4

!2!3

!5

!2!4

!6PCC 42,52,6 =

=

= .

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49)Assinale a alternativa correta.

a) Se um paralelogramo apresenta um par de ngulos agudos e um par de ngulos obtusos, ento o nguloagudo e o ngulo obtuso so complementares.

b) Dois ngulos consecutivos de um paralelogramo so sempre congruentes.c) Se as diagonais de um quadriltero so perpendiculares, ento esse quadriltero um losango.d) Se dois lados opostos de um quadriltero so paralelos e congruentes, ento esse quadriltero um

paralelogramo.


A alternativa a falsa, pois os ngulos so suplementares.A alternativa b falsa, pois os ngulos podem ser suplementares.A alternativa c falsa, pois nem sempre verdadeiro, como por exemplo, na figura

A alternativa d verdadeira, pois a definio de quadriltero.

50)Uma companhia deseja constituir uma equipe de funcionrios para vistoriar vrios equipamentos,

sendo cada um vistoriado por um nico funcionrio. Se cada um dos funcionrios vistoriasse 15equipamentos diferentes, 37 equipamentos ficariam sem vistoria; se cada funcionrio vistoriasse 19equipamentos diferentes, ento apenas um equipamento ficaria sem ser vistoriado. Nessas condies,o nmero de funcionrios que constituem essa equipe de vistoria um nmero mltiplo de

a) 2.b) 3.c) 5.d) 7.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Seja x o nmero de funcionrios que compem a equipe de vistoria, ento15x + 37 = 19x + 1 4x = 36 x = 9.

51)Assinale a alternativa INCORRETA.

a) Dois setores A e B contam, respectivamente, com 36 e 45 funcionrios. Desejando instituir equipes como maior nmero de funcionrios e sabendo que as equipes de ambos os setores devem ter o mesmonmero de funcionrios, ento sero institudas 11 equipes no total.

b) Um pas realiza eleies para presidente, de 4 em 4 anos, e para senador, de 6 em 6 anos. Se em 2008ocorreram eleies para esses dois cargos, o prximo ano em que essas eleies coincidiro ser no ano

2020.c) Em um municpio, o Festival da Cano ocorreu em 2004 e a Festa das Naes ocorreu em 2009. Se oFestival da Cano ocorre de 2 em 2 anos e a Festa das Naes de 4 em 4 anos, ento essas duas festas

jamais ocorrero no mesmo ano.d) Um atleta pratica musculao nos dias pares e tnis em todos os dias mltiplos de 3. Ento, o nmero de

dias do ms de fevereiro que ele pratica os dois esportes, no mesmo dia, 4.


A alternativa a falsa, pois mdc(36, 45) = 9, logo temos 4 equipes do setor A e 5 equipes do setor B,totalizando 9 equipes. Portanto, a alternativa a correta.A alternativa b verdadeira, pois mmc(4, 6) = 12, logo o prximo ano em que as duas eleies coincidiro

ser em 2020.A alternativa c verdadeira, pois o Festival da Cano ocorre sempre em anos pares e a Festa das Naessempre em anos mpares.A alternativa d verdadeira, pois mmc(2, 3) = 6 e como fevereiro tem 28 ou 29 dias tem-se 4 < 29 : 6 < 5.Logo, o nmero de dias do ms de fevereiro que esse atleta pratica os dois esportes no mesmo dia 4.

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52)Qual o nmero que deve ser somado ao polinmio x2

3x 2 + para que ele se torne um quadrado

perfeito?

a)4

3

b)83

c)4

9

d)16

9


222

)yx(yx2

3

x +=++ x2

3

xy2 = 4

3

y = . Logo 16

9

y2

= .

Para responder s questes 53 e 54, utilize o texto a seguir:

53)A rea da base de um prisma, em cm2, representada pelo polinmio )1x2x( 2 + e seu volume, em

cm3, representado pelo polinmio )3x7x5x( 23 + . Nessas condies, a altura desse prisma representada pelo polinmio

a) (2x 3).b) (2x + 3).c) (x 3).d) (x + 3).JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

O polinmio )3x7x5x( 23 + dividido pelo polinmio )1x2x( 2 + (x 3).

54)Se a altura do prisma for um nmero inteiro e seu volume for 32 cm3, ento o valor de x a) 3.

b) 4.c)

5.d) 6.


Como 52 232)3x()1x(V === , logo 22 2)1x( = ou 42 2)1x( = . Como x > 3, ento 42 2)1x( = ,ou seja, x = 5.

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Para responder s questes 55 e 56, utilize o texto a seguir:

55)Uma indstria confeccionou 27 brindes em formato de um cubinho de 4 cm de aresta, todos idnticose macios, confeccionados em bronze. Com a mesma quantidade de bronze utilizado paraconfeccionar os 27 brindes, essa indstria decidiu confeccionar, tambm, um nico cubo.

A medida da aresta desse cubo

a)

7 cm.b) 12 cm.c) 14 cm.d) 16 cm.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Como 33333 a1243427V ==== , ento a medida da aresta 12 cm.

56)O volume desse cubo

a) 432 cm3.b) 1.728 cm3.c) 2.744 cm3.d) 4.096 cm3.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

V = 123 = 1.728 cm3.

Para responder s questes 57, 58 e 59, utilize o texto a seguir:

57)Na figura a seguir, a reta t paralela ao eixo das ordenadas e as retas r e s so perpendiculares.

A equao da reta s dada por

a) 4xy += .b) 2x

2

1y += .

c) 2xy += .d) 2x2y += .JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:As equaes das retas so:

t: x = 1.r: (1, 0) e (0, 2) r; mr= 2, logo r: y = 2x + 2.

s perpendicular a r, logo ms =2

1, logo s: 2x

2

1y += .

x

y t s

r0 1

2

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58)O ponto de interseco das retas s e t o par ordenado

a) (1,2

3).

b) (1, 3).c) (1,

2

5).

d) (1, 5).JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

As equaes das retas so: s: 2x2

1y += e t: x = 1. Logo,

2

52

2

1y =+= .

59)A rea do tringulo cujos vrtices so as interseces dos seguintes pares de retas: r e s; r e t; s e t ,em unidades de rea, igual a

a)4

5.

b)2

5.

c) 2.d) 1.JUSTIFICATIVA ALTERNATIVA CORRETA:

Sejam A, B e C, respectivamente, os pontos de interseces das retas r e s. r e t e s e t, isto , A(0, 2), B(1,0) e C(1, 5/2). Ento a rea dada por

4522

25

21

12/51

101 12021A =

+== u.a.

60)Na figura a seguir, o segmento AB paralelo ao segmento DE.

Nessas condies, pode-se afirmar, em relao aos ngulos x, y e z, que

a) x = y z.b) x + y + z = 180.c) x + z = 2y.d) x y + z = 180.

x

yz

A B

C

D E

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No tringulo DCF, tem-se que o ngulo F igual a x (alternos internos) e o ngulo C igual a (180 y).Como a soma dos ngulos internos de um tringulo igual a 180, tem-se que z + x + 180 y = 180, ouseja,x = y z.

x

yz

A B

C

D EF

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