Repuesta en Frecuencia
Transcript of Repuesta en Frecuencia
TEORIA DE CONTROLRespuesta en Frecuencia
Francisco M. Gonzalez-Longatt, [email protected] © 2007
Anexo 3.1Respuesta en Frecuencia:
Filtros
Prof. Francisco M. [email protected]
http://www.giaelec.org/fglongatt/SP.htm
ELC-33103Teoría de Control
TEORIA DE CONTROLRespuesta en Frecuencia
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1. Filtros
• Se denomina filtro a un circuito sensible a la frecuencia que permite excluir señales con frecuencias situadas en un rango dado, permitiendo el paso de las señales de otras frecuencias.
+
−outVinV
in
out
VV
Ganancia =
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1. Filtros• Se puede distinguir entre:• Filtros activos: basados en circuitos electrónicos con
elementos amplificadores activos.• Filtros pasivos: basados en elementos pasivos,
básicamente resistencia, inductancia y capacidad.
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1. Filtros• Paso-bajo: rechaza señales de frecuencias superiores
a una dada, denominada frecuencia de corte (fc) • Paso-alto: rechaza señales de frecuencias inferiores a
la de corte. • Paso-banda: rechaza todas las señales no situadas en
un rango de frecuencias concreto.• De Rechazo de banda: rechaza las señales situadas en
un rango de frecuencias concreto.
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1. Filtros
cf cf
1cf2cf 1cf2cf
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1. Filtros• La curva de respuesta de un filtro pasivo real no es
tan ideal como las presentadas. • Un filtro, como todo circuito electrónico, puede ser
analizado en el dominio del tiempo y en el dominio de la frecuencia.
• En lo que sigue se analizarán tres tipos de filtros pasivos concretos: – Paso-bajo RC, – Paso-alto RC y, – Paso-bajo LC en ambos dominios.
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2. Filtro Pasabajo
• La familia de filtros de pasabajo de primer orden; posee una función de transferencia de la forma:
• El máximo valor de |H(jω)|=|K| y recibe el nombre de ganancia del filtro.
• Nótese que el exponente de ω en el denominador es +1, de modo que |H(jω)| decrece con la frecuencia: filtro pasabajo
( )
c
jkjH
ωω
ω+
=1
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2. Filtro Pasa Bajo
• La función de la magnitud y la fase en función de la frecuencia resulta:
( )2
1 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
c
KjH
ωω
ω
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∠ −
cKK
jHωωω 1tan
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2. Filtro Pasa Bajo
( ) ( ) ( )( ) dBjH
jHjHjH
c
cc 3
21log20log20log20log20
maxmax −≈⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡=−
ωω
ωω
ωω1.0 ω10ω5.0
dB1−dB3−
decdB /20−
ω2
dB1
() dB
jH
ω
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2. Filtro Pasa Bajo
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=∠ −
cjH
ωωω 1tan
-90
-45
0ωω1.0 ω10ω5.0 ω2
°− 6
°− 5
°6
°5
()
ωjH
∠
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Análisis en el dominio de la frecuencia, para régimen sinusoidal estacionario:
11
1
1
+=
+=
RCssC
R
sCVV
in
out
C
R
+
−
outVinV
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Se desea examinar la respuesta de un sistema de primer orden, un circuito RC como el mostrado en la siguiente figura, al ser sometido a una señal senoidal.
0 1 2 3 4 5 6-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
C
R
+
−
outVinV0 1 2 3 4 5 6
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
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2.1. Filtro Pasabajo RC• El circuito actúa como un filtro simple pasa bajo; este
permite que las ondas senos de baja frecuencia pasen a través del filtro, relativamente sin ser afectadas y atenúa las señales de lata frecuencia.
• La definición de baja frecuencia y alta frecuencia, están relacionadas en un filtro simple, con la frecuencia de corte del filtro.
• Este circuito RC es un sistema de primer orden.
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2.1. Filtro Pasabajo RC
C
R
+
−
outVinV
11
+=
RCsVV
in
out
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• El modelo en Simulink es mostrado en la siguiente figura.
Archivo: Filtro_RC.mdl
Ejemplo de un Filtro Pasabajo RC 1er OrdenElaborado por: Prof. Francisco M. Gonzalez-Longatt
Salida del CircuitoOnda seno
1s
Integrator
Entrada+Salida
500
1/RC
SalidaSalidaE ntrada
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Representa un sistema de primer orden, un circuito RC con un solo grado de libertad.
• Nótese que la entrada del sistema es una onda seno, este modelo de tal modo, muestra como el circuito RC responderá a una entrada senoidal tal como una corriente electrica alterna.
Salida del CircuitoOnda seno
1s
Integrator
Entrada+Salida
500
1/RC
SalidaSalidaE ntrada
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• El sistema mostrado puede también ser descrito con una ecuación diferencial en la forma de:
• donde:x = voltaje de salida del circuito
= tasa de cambio del voltaje de salidaR = valor del resistor C = valor del capacitor, y f(t) = función excitatriz, una onda seno.
( )tfxC
xR =+1
&
x&
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2.1. Filtro Pasabajo RC• Se ha tomado para este ejemplo que 1/RC = 500, es
decir RC = 0.002.• Para este circuito, el valor de RC es la constante de
tiempo τ del sistema.
( ) ( ) ( )sFsXRC
ssX =+1
( ) ( ) ( )sFsXssX =+τ
( )( )sFsX
s=
+τ1
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• El diagrama de Bode será usado para entender como un circuito RC afecta la entrada de voltaje para mostrar la característica del circuito en el dominio de la frecuencia.
-50
-40
-30
-20
-10
0M
agni
tude
(dB)
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• La línea azul describe un circuito que posee un valor de RC igual a 0.01 y la línea verde describe un circuito con RC igual a 0.002.
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)01.0=τ segrad /100=ω segrad /500=ω
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2.1. Filtro Pasabajo RC
-50
-40
-30
-20
-10
0M
agni
tude
(dB)
System: G1Frequency (rad/sec): 500Magnitude (dB): -3.01
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.1. Filtro Pasabajo RC
-50
-40
-30
-20
-10
0M
agni
tude
(dB)
System: GFrequency (rad/sec): 50Magnitude (dB): -3.01
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• En la curva verde posee una constante de tiempo de 0.002 segundos.
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
System: G1Frequency (rad/sec): 500Magnitude (dB): -3.01
0
Bode Diagram segradc /500=ω
decdB20−
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Se muestra una ubicación del punto de 500 rad/seg es denominado el punto de 3 dB por debajo.
• En este punto la magnitud es atenuado por 3 dB
-50
-40
-30
-20
-10
0
g(
)
System: G1Frequency (rad/sec): 500Magnitude (dB): -3.01
0
Bode Diagram
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• 3 dB es equivalente a una relación de entrada/salida de 22, lo cual es aproximadamente a 0.707.
• La atenuación debido al filtrado gradualmente se incrementa.
• No esta claramente definido el punto que representa el rango de alta y baja frecuencia.
• Aunque un punto debe ser elegido, y el punto de 3 dBes frecuentemente usado.
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-40
-30
-20
-10
0M
agni
tude
(dB)
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
2.1. Filtro Pasabajo RC
dB3−segradc /500=ω
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Las señales con frecuencias por debajo de la frecuencia de corte son considerablemente no afectadas por el filtro.
• Se debe notar, sin embargo, que las señales cuyas frecuencias están por debajo de la frecuencia de corte son atenuadas por aproximadamente 30%.
• Otros tipos de filtros pueden proveer una pendiente mayor, pero los circuitos RC poseen la ventaja de ser muy simple y económicos.
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Se aplica una señal de f = 10 Hz, ω = 62.8319 rad/sg
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Atenuacion y defasaje para f = 10 Hz
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
System: GFrequency (rad/sec): 55.6Magnitude (dB): -1.17
100
101
102
103
104
-90
-45
0
System: GFrequency (rad/sec): 55.6Phase (deg): -29.1
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.1. Filtro Pasabajo RC
0.05 0.1 0.15 0.2-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo [seg]
Salid
a
0.22 0.240.9
0.95
1
seg002.0
xsegseg
→→
002.0180010.0 o
°=×
= 36010.0
180002.0 o
x
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100
101
102
103
104
-90
-45
0
System: GFrequency (rad/sec): 67.6Phase (deg): -34.1
Phas
e (d
eg)
Frequency (rad/sec)
2.1. Filtro Pasabajo RC
• Para una frecuencia f = 10 Hz
69.32−
segrad /8913.62=ω
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Un trazado XY puede ser empleado para calcular el defasaje de las señales de entrada y salida.
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2.1. Filtro Pasabajo RC
0.05 0.1 0.15 0.2-1
-0.5
0
0.5
1
Tiempo [seg]
Salid
a
0.22 0.240.9
0.95
1675.0=inV575.0=outV
8519.0575.0575.0
==G
( )8519.0log20=dBG
dBG dB 3963.1−=
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Se aproxima la salida en f = 10 Hz
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
System: GFrequency (rad/sec): 67.6Magnitude (dB): -1.64
0
Bode DiagramdB3963.1− segrad /8913.62=ω
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Para f = 200 Hz
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
System: GFrequency (rad/sec): 1.27e+003Magnitude (dB): -22.1
100
101
102
103
104
-90
-45
0
System: GFrequency (rad/sec): 1.27e+003Phase (deg): -85.5
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
dB22− dB22−
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• f = 1000 Hz
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
System: GFrequency (rad/sec): 3.38e+003Magnitude (dB): -30.6
100
101
102
103
104
-90
-45
0
System: GFrequency (rad/sec): 3.38e+003Phase (deg): -88.3
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• La pulsación de corte es : ωc = 1/RC y la frecuencia de corte fc = 1/(2πRC)
• Si ω << ωc el térmico ωRC es despreciable en el denominador y G≈ 1, el desfase entre entrada y salida, resulta despreciable
• Si ω >> ωc el término ωRC es dominante y RCGω1≈, el desfase entre entrada y salida tiende a –90º ( Vs/Ve tiende a 1/j ωRC= -j/ ωRC)
• Para frecuencias muy inferiores a la de corte el filtro tiene ganancia unitaria
• Para frecuencias muy superiores la ganancia cae en forma proporcional a la frecuencia.
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2.1. Filtro Pasabajo RC
• Para f=fc la ganancia cae a 0,7 aproximadamente. • La respuesta en fase (desfase entre señal de entrada y
salida) sigue una evolución análoga variando desde 0ºa bajas frecuencias hasta –90º en altas con un desfase de –45º en la frecuencia de corte.
-80
-75
-70
-65
-60
-55
-50
Mag
nitu
de (d
B)
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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2.2 Filtro Pasa bajo RL
• El siguiente circuito RL, corresponde a un filtro pasa bajo de primer orden:
• La función de transferencia resulta:
L
+
−
outVinV R
inout VLjR
RVω+
= ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=+
==
RLjLjR
RVV
jHin
out
ωωω
1
1
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2.2 Filtro Pasa bajo RL
• Si se considera R = 10Ω, L = 100mH.
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
RLsV
VsH
in
out
1
1
segradRL /100==ω
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
decdB20−
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2.3. Filtro Pasa Bajo LC
• El siguiente circuito LC, corresponde a un filtro pasa bajo de segundo orden:
• La función de transferencia es:
C
L
+
−
outVinV
LCsVV
in
out211
+=
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2.3. Filtro Pasa Bajo LC
• En el dominio de la frecuencia:
C
L
+
−
outVinV
LCCj
Lj
CjVout 211
1
1
ωω
ω
ω−
=+
=
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2.3. Filtro Pasa Bajo LC
• La pulsación de corte es:
• Y la frecuencia de corte es:
LCc
1=ω
LCfc
π21
=
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2.3. Filtro Pasa Bajo LC
• Si ω << ωc el térmico ω2LC es despreciable y G≈ 1, en cuanto a desfase entre entrada y salida, resulta cercano a 0º
• Si ω >> ωc el término ω2LC es dominante y
el desfase entre entrada y salida tiende a 180º debido a la inversión de signo.
LCG 2
1ω
−=
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2.3. Filtro Pasa Bajo LC
• Para ω en el rango de ωc se produce el efecto de resonancia el denominador tiende a cero y, por tanto, la ganancia a infinito.
• En la práctica las resistencias parásitas en el filtro y el efecto de la carga en la salida, que se supone fundamentalmente resistiva, provocan que dicha respuesta infinita teórica no sea cierta, sin embargo síse puede tener una ganancia considerable en el punto de resonancia.
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-50
0
50
100
150
Mag
nitu
de (d
B)
102
103
104
-360
-315
-270
-225
-180
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
2.3. Filtro Pasa Bajo LC
segradc /1000=ω
fCmHL
μ10010
==
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-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Mag
nitu
de (d
B)
180
Bode Diagram
2.3. Filtro Pasa Bajo LC
segradc /1000=ω 000.10
decdB40−
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3. Filtro Pasa Alto
• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto es:
• La magnitud y fase quedan dadas por:( )
2
1 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
=
ωω
ωc
KjH
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+=∠ −
ωω
ω c
KK
jH 1tan
( )
ωω
ωcj
KjH−
=1
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3. Filtro Pasa Alto
ωω1.0 ω10ω5.0
dB1−dB3−
decdB /20+
ω2
dB1
() dB
jH
ω
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3. Filtro Pasa Alto
ωω1.0 ω10ω5.0 ω2
°− 6
°− 5
°6
°5()
ωjH
∠
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3.1. Filtro Pasa Alto RC
• El siguiente circuito RC, corresponde a un filtro pasa alto de primer orden:
• La función de transferencia resulta ser:
C
R
+
−
outVinV
sRCsRCV
VV in
in
out
+=
1
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3.1. Filtro Pasa Alto RC
• En el dominio de la frecuencia:
C
R
+
−
outVinV
RCjRCVj
V
CjR
RV ininout ω
ω
ω+
=+
=11
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3.1. Filtro Pasa Alto RC
• Si R = 100Ω y C= 20μf
sec/500rad=ω
ssV
VV in
in
out
002.01002.0+
=
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
101
102
103
104
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
decdB20+
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-40
-30
-20
-10
0M
agni
tude
(dB)
101
102
103
104
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
3.1. Filtro Pasa Alto RC
segradc /5001==
τω
decdb20+
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3.1. Filtro Pasa Alto RC
• Si ω << ωc el término ωRC es despreciable y G ≅ 0, en cuanto a desfase entre entrada y salida, resulta cercano a 90º (Vs/Ve≈ jωRC )
• Si ω >> ωc el término ωRC es dominante y G ≅ 1, el desfase entre entrada y salida tiende a –0º
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
101
102
103
104
0
45
90
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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3.2. Filtro Pasa-Alto RL
• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto RL es:
LR
c =ω
L
R
+
−
outVinV
( )LR
s
sH11
1
−= ( )
LRs
ssH−
=
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3.2. Filtro Pasa-Alto RL
• La forma general de la función de transferencia de un filtro pasa-alto RL es:
LR
c =ω
L
R
+
−
outVinV
( )
ωω
ωcj
jH−
=1
1
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3.2. Filtro Pasa-Alto RL• Si se considera R = 10Ω, L = 100mH.
-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
Mag
nitu
de (d
B)
100
101
102
103
104
-90
-45
0
Phas
e (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
segradc /100=ω
decdB20+
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4. Filtro Pasa-Banda
• Un filtro pasa banda, permite el paso de señales con un rango de frecuencia (banda de transmisión) y atenúa con frecuencias fuera de este rango.
highωlowω
( )ωjH
ω
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4. Filtro Pasa-Banda
Donde:ωlow : frecuencia de corte mas bajaωhigh : frecuencia de corte mas altaω0 : centro de frecuenciaB: ancho de bandaQ: Factor de calidad
lowhighB ωω −=highlowωωω =0
RQ 0ω
=
highωlowω
( )ωjH
ω
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4. Filtro Pasa-Banda
• Un filtro pasa banda de segundo orden incluye dos elementos de almacenaje (dos capacitores, dos inductores o uno de cada uno).
• La función de transferencia de un filtro pasa banda de segundo orden puede ser escrito:
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
ωω
ωω
ω0
01 jQ
KjH
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4. Filtro Pasa-Banda
• La representación de la magnitud y la fase versus la frecuencia queda:
( )2
0
0
21 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
=
ωω
ωω
ω
Q
KjH
( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=∠ −
ωω
ωωω 0
0
1tan QKK
jH
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4. Filtro Pasa-Banda• El máximo valor de |H(jω)| = |K| es llamado la
ganancia del filtro.• La frecuencias de corte puede ser calculado por el
hecho de que:|H(jω)|max = K
• Y ajustando:
• Y resolviendo para ωc.( ) 2/KjH =ω
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4. Filtro Pasa-Banda
10
0±=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
c
cQωω
ωω
( ) ( )2
0
0
2max
122
1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
===
c
c
c
Q
KKjHjH
ωω
ωω
ωω
12
0
0
2 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
c
cQωω
ωω
02
20
2 =±− Qccωω
ωω
QQhigh 2411 0
20ω
ωω ++=QQlow 24
11 020
ωωω −+=
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4. Filtro Pasa-Banda• Los trazados de Bode de un filtro de segundo orden
se muestran.• Nótese que así como Q se incrementa el ancho de
banda se hace mas pequeño.
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4. Filtro Pasa-Banda
• El trazado de la fase resulta ser:
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4. Filtro Pasa-Banda
• A bajas frecuencia ω/ω0 <<1,( a +20dB/década) y,
• A altas frecuencia ω/ω0 >>1,( a +20dB/década), y)
• A altas frecuencia ω = ω0,
(máxima ganancia del filtro)
( ) ωω /1∝jH
( ) ωω ∝jH ( ) °→∠ 90ωjH
( ) °−→∠ 90ωjH
( ) °=∠ 0ωjH
( ) KjH =ω
( ) KjH =ω
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4.1. Filtro Pasa Banda RLC
• Un circuito RLC como el siguiente corresponde a un filtro pasa banda:
• La función de transferencia resulta ser:
( )sC
sLR
RVV
jHin
out1
++==ω
L
+
−
outVinV R
C
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4.1. Filtro Pasa Banda RLC
• La función de transferencia resulta ser:( )
CjLjR
RVV
jHin
out
ωω
ω1
++==
L
+
−
outVinV R
C
( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+
==
CLjR
RVV
jHin
out
ω
ω1
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4.1. Filtro Pasa Banda RLC
• Fácilmente se puede resolver y lograr:
• Para encontrar las frecuencias de corte, solo basta resolver:
LC1
0 =ωCR
LLR
Q 20
/ω
=
2112
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+
RCRL
c
c
ωω
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• Los filtros pasabanda pueden ser construido colocando un filtro pasa-alto y pasa-bajo en cascada.
• El filtro pasaalto se ajusta a la frecuencia menor.• El filtro pasabajo se ajusta a la frecuencia mayor.
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• U ejemplo es dos filtros RC pasa bajo y pasa alto en cascadas.
• Estos filtros son ampliamente usados (cuando son apropiados) en ves de un RLC, ya que los inductores son usualmente grandes y toman mucho espacio.
1C
1R
+
−
outV2C
2R
inV
+
−
1V
Filtro Pasa-bajo Filtro pasa-alto
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• A fin de lograr un buen acoplamiento de voltaje en el circuito, la impedancia de entrada del pasa-alto (realmente Zin|min = R1) debe ser mucho mas alta que la impedancia de salida del filtro pasa-bajo (realmente Zout|min = R2), es decir, se debe cumplir: R1 >> R2.
• En este caso la función de transferencia resulta:
( ) ( ) ( )
ωω
ωω
ωωω1
2
211
1
1
1c
c
jjjHjHjH
−×
+=×=
111
1CRc =ω
222
1CRc =ω
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• Transformado la función de transferencia a la forma canónica se puede tener:
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
2211
1
cc
jjjH
ωω
ωω
ω
( )⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=
ωω
ωω
ωω
ω1
22
11
1
c
cc
c jjH
2
11
1
c
cK
ωω
+=
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• Transformado la función de transferencia a la forma canónica se puede tener:
21
21
/1/
cc
ccQωω
ωω+
=
2
11
1
c
cK
ωω
+=
210 cc ωωω =
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5. Filtros Pasa Banda, Banda Ancha
• Las frecuencias de corte del filtro resulta ser:
• Ignorando el termino 4Q2 comparado con 1 (debido Q es pequeño),se tiene:
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+=++=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ++=++=
141224
11
141224
11
20020
20020
QQQQ
QQQQ
low
low
ωωωω
ωωωω
221
210
/c
cc
cclow Q
ωωω
ωωωω ===