GUIA DE TEORIA

UNIDAD I: DERIVADAS PARCIALES

Profesor:

Pedro Colina

REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTALDE LA FUERZA ARMADA (UNEFA).

NUCLEO ZULIA –EXTENSIÓN MARACAIBOCICLO BASICOMatemática III

Maracaibo, Octubre 2.009

MATEMATICA III

UNIDAD I. DERIVADAS PARCIALES

FUNCION DE VARIAS VARIABLES: Una función f de dos variables, es una regla que asigna a cada par ordenado (x,y) en el

conjunto D de números reales en su dominio, un número real único, denotado por . El conjunto D es el dominio de f y su rango es el conjunto de valores que toma .

Cuando se afirma que la función es de dos variables se refiere al número de variables independientes que definen a dicha función. La representación gráfica de este tipo de funciones sería en , donde se consideran las variables independientes y la variable dependiente sería la letra

, o también se puede escribir

Son ejemplos de funciones de dos variables:===

=

LIMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.Se denota el límite de una función f de dos variables por la expresión:

Y se dice que el limite de , conforme se aproxima a es L, si se puede acercar los valores de a L tanto como se quiera, siempre y cuando se tome el punto lo suficientemente cerca del punto pero sin que sea igual a este.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES.Una función f de dos variables se dice que es continua en el punto si se cumple

Una función f de dos variables se dice que es continua en el conjunto D si se cumple en todos y cada uno de los puntos de D.

DERIVADAS PARCIALESSea la función f de dos variables , donde suponga que decidimos variar solo a una de las variables y se toma a la otra variable como fija, digamos que se toma a la otra variable como una constante. Esto hace que la función sea de una sola variable, entonces se habla de derivada parcial respecto a alguna de las variables de f.

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAMINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICADE LA FUERZA ARMADA

NÚCLEO ZULIADIVISIÓN ACADÉMICA

Se denota a la derivada parcial de f respecto de x por: ,

Se denota a la derivada parcial de f respecto de y por: ,

Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de x en el punto se denota por Si se desea evaluar a la derivada parcial de f respecto de y en el punto se denota por

Además. , donde , se asume que b es una constante. , donde , se asume que b es una constante.

Recordando la definición de derivada respecto al límite, se puede escribir la derivada parcial de f respecto de x en el punto , así:

, y de manera análoga:

La derivada parcial de f respecto de y en el punto

Notaciones de derivadas parciales: Si definimos a la función se puede denotar:

La derivada parcial de f respecto de x

La derivada parcial de f respecto de x

Reglas para hallar derivadas parciales Para hallar considere a la letra y como constante y derive con respecto a x. Para hallar considere a la letra x como constante y derive con respecto a y.

Ejemplo 1:

Si f(x,y)= x3 + x2y3 + 2 y2 , hallar las expresiones de y .

Solución: Hallamos primeramente , hacemos y constante, al derivar respecto a x se obtiene:

Ahora se halla , hacemos x constante, al derivar respecto a y se obtiene:

Bien, si además piden evaluar esas derivadas parciales en el punto .Se hace:

Ejemplo 2:

Si , hallar las expresiones de .

Solución:Recordando usar la regla de la cadena para las funciones de una variable se tiene:

Con respecto de y se tiene:

Ejercicios Propuestos:

En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función.

En los siguientes ejercicios determine las derivadas parciales para la función en el punto indicado., evalúe en el punto (1,0), evalúe en el punto (2,4), evalúe en el punto (3,3)

, evalúe en el punto (0,1)

, evalúe en el punto (1,1)

, evalúe en el punto (1,1), evalúe en el punto (2,-1)

TABLA DE DERIVADASDERIVADAS DE VARIABLES DERIVADAS DE FUNCIONES (Composición)

Función La derivada Función La derivada1 f (x) = f ‘ (x) = 31 f (x) = f ‘ (x) =

2 f (x) = x f ‘ (x) = 32 f (x) = f ‘ (x) =

3 f (x) = f ‘ (x) = 33 f (x) = f ‘ (x) =

4 f (x) = f ‘ (x) = 34 f (x) = f ‘ (x) =

5 f (x) = nx f ‘ (x) = 35 f (x) = f ‘ (x) =

6 f (x) = f ‘ (x) = 36 f (x) = f ‘ (x) =

7 f (x) = f ‘ (x) = 37 f (x) = f ‘ (x) =

8 f (x) = f ‘ (x) = 38 f (x) = f ‘ (x) =

9 f (x) = f ‘ (x) = 39 f (x) = f ‘ (x) =

10 f (x) = x f ‘ (x) = = 40 f (x) = f ‘ (x) =

11 f (x) = f ‘ (x) = 41 f (x) = f ‘ (x) =

12 f (x) = f ‘ (x) = 42 f (x) = f ‘ (x) =DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DERIVADAS DE FUNCIONES (Composición)

13 f (x) = f ‘ (x) = 43 f (x) = f ‘ (x) =14 f (x) = f ‘ (x) = 44 f (x) = f ‘ (x) =15 f (x) = f ‘ (x) = 45 f (x) = f ‘ (x) =16 f (x) = f ‘ (x) = 46 f (x) = f ‘ (x) =17 f (x) = f ‘ (x) = 47 f (x) = f ‘ (x) =18 f (x) = f ‘ (x) = 48 f (x) = f ‘ (x) =

19 f (x) =arcsen(x)

f ‘ (x) = 49 f (x) =arcsen(U)

f ‘ (x) =

20 f (x) = arccos(x) f ‘ (x) = 50 f (x) = arccos(U) f ‘ (x) =

21 f (x) = arctn(x) f ‘ (x) = 51 f (x) = arctn(U) f ‘ (x) =

22 f (x) = arcctn(x) f ‘ (x) = 52 f (x) = arcctn(U) f ‘ (x) =

23 f (x) = arcsec(x) f ‘ (x) = 53 f (x) = arcsec(U) f ‘ (x) =

24 f (x) = arccsc(x) f ‘ (x) = 54 f (x) = arccsc(U) f ‘ (x) =

25 f (x) = Senh(x) f ‘ (x) = Cosh (x) 55 f (x) = Senh(U) f ‘ (x) = Cosh (U).U’26 f (x) = Cosh (x) f ‘ (x) = Senh (x) 56 f (x) = Cosh (U) f ‘ (x) = Senh (U).U’27 f (x) = Tanh (x) f ‘ (x) = Sech² (x) 57 f (x) = Tanh (U) f ‘ (x) = Sech² (U).U’Nota: i) las letras: a, c, representan constantes cualesquiera y la letra e es la constante de Euler. ii) Las letras U y V representan funciones cualquieras.

GRADIENTE DE : Recordemos que si una función es diferenciable en un punto P, eso significa que existe una

derivada en cualquier dirección que es tangente a la superficie dada por la función, eso hace que

exista un plano tangente a la superficie que contiene a todas esas rectas tangentes. Por otra parte

sabemos que una de las maneras de definir un plano en el espacio es a través de su vector normal,

entonces resulta que las componentes de las derivadas parciales al escribirlas como vector permite

identificar un vector que es perpendicular al plano tangente a la superficie en un punto, a este vector

se le llama vector gradiente.

Observemos a continuación la figura 1, en ella las dos rectas tangentes y que se

intersecan en el punto de la superficie S.

Entonces el plano tangente a la superficie S en el punto se define como el plano que

contiene a las dos rectas tangentes y . El vector perpendicular a ese plano es el vector normal al

plano llamado gradiente de .

El gradiente de en es un vector normal al plano tangente de la superficie S en

el punto cuyas componentes son las derivadas parciales de evaluadas en P;

Se pueden escribir de manera vectorial así:

= ,

=

TEOREMAS REFERIDOS A FUNCIONES DIFERENCIABLES.

TEOREMA 1.

Sea , abierto, . Se dice que la función es diferenciable en si existe y una función real tal que:

- = +

●●

figura 3

zPlano tangente

Donde = 0

es un punto que representa un vector posición que al multiplicar escalarmente con el gradiente que es un vector, obtenemos - = + +

Primero se halla el , si existe, sino no, no es diferenciable.Segundo se busca y luego se evalúa el límite si existe y es 0 es diferenciable.

TEOREMA 2.

Sea , abierto, . Si la función es diferenciable en , entonces es continua en .

De este teorema se concluye que: si es discontinua en entonces no es diferenciable en .

TEOREMA 3.

Sea , abierto, . Si la función posee las primeras derivadas parciales continuas en un entorno de entonces es diferenciable en .

DIFERENCIAL TOTAL

INCREMENTO DE UNA VARIABLE DEPENDIENTE.

La noción de diferenciabilidad de una función de cualquier número de variables

independientes, depende del incremento de la variable dependiente. Recordemos que para una

función de una sola variable ,

.

De manera análoga, para una función de dos variables , si y son los

incrementos dados , entonces el incremento correspondiente de se define como

,

Así que el incremento representa el cambio en el valor de cuando varía a .

Las diferenciales y son variables independientes; es decir, pueden tomar cualquier

valor. Por lo que la diferencial , también llamada la diferencial total, se define como

,

representa el cambio en la altura del plano tangente, en tanto que representa el cambio en la

altura de la superficie , cuando cambia a .

TEOREMA

z

xy ),( yyxx

),( yx

),( yxfz

Suponga que y existen en una región rectangular R con sus lados paralelos a los ejes y

que contienen los puntos y . Suponga que y son continuas en el punto

y sea

Entonces

Donde 1 y son funciones de y y que se aproximan a 0, conforme .

Entonces tomando este teorema como referencia tenemos

donde 1 y son funciones de y y que se aproximan a 0,conforme , esto

significa que , así que

lo cual quiere decir que el cambio real en es aproximadamente igual a la diferencial cuando y

y son pequeñas. Lo que nos permite calcular el valor de cuando se conoce a

+

Cuando se utiliza esta aproximación, estamos empleando el plano tangente en

como una aproximación a la superficie cuando está cerca de .

Así pues, utilizamos la siguiente definición para la diferenciabilidad de una función de dos variables.

DEFINICIÓN.

SI , entonces es diferenciable en si puede expresarse en la forma

donde 1 y 0 conforme .

PLANO TANGENTESea diferenciable en un punto de la superficie S dada por

con gradiente se define el plano tangente a S en como el plano que pasa por y es normal a Ecuación del `plano tangente: si diferenciable en un punto , una ecuación del plano tangente a la superficie dada

por F(x,y,z) = 0 en P es

RECTA NORMALLa recta que pasa por P con la dirección de se llama la recta normal a S en PEcuación vectorial: Ecuación Paramétricas: Despejando el parámetro e igualando tendremos la ecuación Simétrica.

Ecuación Simétrica:

TEOREMA El Gradiente es normal a las curvas de nivel.Si diferenciable en un punto

TEOREMA El Gradiente es normal a las superficies de nivel.Si diferenciable en un punto