REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA expresando la evidente separación que existe entre los objetos...
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Mérida, 08 de julio de 2008 Señores Miembros Comisión Memoria de Grado Departamento de Educación y Evaluación Escuela de Educación Facultad de Humanidades y Educación Universidad de los Andes Presentes.- Distinguidos (as) profesores (as): Muy respetuosamente me dirijo a ustedes, en la oportunidad de informarle que, como TUTOR de la Memoria de Grado Titulada: Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas en el del Primer año de ciencias del ciclo diversificado mediante la resolución de situaciones problemas, realizada por el Bachiller: Castro R. Sebastian, como requisito para optar al título de Licenciado en Educación Mención Matemática, he leído, revisado y corregido la misma, estando conforme con su contenido. Por lo antes expuesto, remito a esa Comisión para su conocimiento y fines consiguientes, 3 (tres) ejemplares de dicha Memoria de grado, a fin de cumplir con las formalidades establecidas en el Reglamento de Memoria de Grado Vigente. Atentamente, --------------------------------- -------------------------------- Nombre y Apellido Firma
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Mérida, 08 de julio de 2008
Señores
Miembros Comisión Memoria de Grado
Departamento de Educación y Evaluación
Escuela de Educación
Facultad de Humanidades y Educación
Universidad de los Andes
Presentes.-
Distinguidos (as) profesores (as):
Muy respetuosamente me dirijo a ustedes, en la oportunidad de informarle que, como
TUTOR de la Memoria de Grado Titulada: Propuesta de Orientación Didáctica para la
enseñanza de las sucesiones numéricas en el del Primer año de ciencias del ciclo
diversificado mediante la resolución de situaciones problemas, realizada por el
Bachiller: Castro R. Sebastian, como requisito para optar al título de Licenciado en
Educación Mención Matemática, he leído, revisado y corregido la misma, estando
conforme con su contenido.
Por lo antes expuesto, remito a esa Comisión para su conocimiento y fines consiguientes,
3 (tres) ejemplares de dicha Memoria de grado, a fin de cumplir con las formalidades
establecidas en el Reglamento de Memoria de Grado Vigente.
Atentamente,
--------------------------------- --------------------------------
Nombre y Apellido Firma
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE HUMANIDADES Y EDUCACIÓN
ESCUELA DE EDUCACIÓN
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
MENCIÓN MATEMÁTICA
PROPUESTA DE ORIENTACIÓN DIDÁCTICA PARA LA ENSEÑANZA DE LAS
SUCESIONES NUMÉRICAS EN EL PRIMER AÑO DE CIENCIAS DEL CICLO
DIVERSIFICADO MEDIANTE LA RESOLUCIÓN DE SITUACIONES PROBLEMAS
(Ciudad de Mérida).
Tesista:
Br. Sebastian Castro Ramirez
C.I: 16.123.071
Tutor:
Prof. Reinaldo Cadenas
Octubre 2008
MÉRIDA, VENEZUELA
I
Índice
Introducción .................................................................................................................................... IV
CAPITULO 1 ..................................................................................................................................... 1
1.1 Descripción del tema ............................................................................................................ 1
1.2 Justificación de la investigación ......................................................................................... 1
1.3 Planteamiento del problema ............................................................................................... 3
1.4 Objetivos de la investigación............................................................................................... 4
1.4.1 Objetivo General ............................................................................................................ 4
1.4.2 Objetivos Específicos ................................................................................................... 4
CAPITULO 2 ..................................................................................................................................... 5
2.1 Antecedentes ......................................................................................................................... 5
2.2 Bases teóricas ....................................................................................................................... 7
2.2.1 Marco Epistemológico .................................................................................................. 7
2.2.2 Marco Psicopedagógico ............................................................................................... 8
2.2.3 Marco teórico matemático ............................................................................................ 9
2.2.4 Contexto curricular ...................................................................................................... 16
CAPITULO 3 ................................................................................................................................... 19
3.1 Tipo de investigación .......................................................................................................... 19
3.2 Diseño de investigación ..................................................................................................... 19
3.3 Definición de eventos ......................................................................................................... 19
3.4 Población y muestra ........................................................................................................... 20
3.5 Técnicas e instrumentos de recolección de datos ......................................................... 20
3.6 Descripción del procedimiento .......................................................................................... 20
3.7 Tipo de análisis a utilizar .................................................................................................... 21
CAPITULO 4 ................................................................................................................................... 23
4.1 Validez del instrumento ...................................................................................................... 23
4.2 Antecedentes del estudio .................................................................................................. 24
4.3 Diagnóstico de necesidades (triangulación) ................................................................... 27
4.4 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas ........................... 27
4.5 Posibles tendencias futuras ............................................................................................. 28
4.6 Síntesis diagnóstica .......................................................................................................... 28
II
CAPITULO 5 ................................................................................................................................... 27
5.1 Justificación de la propuesta ............................................................................................. 27
5.2 Finalidades y metas de la propuesta ............................................................................... 27
5.2.1 Finalidades ................................................................................................................... 27
5.2.2 Metas de la propuesta ................................................................................................ 27
5.3 Descripción de la propuesta ............................................................................................ 28
5.4 Resumen conceptual .......................................................................................................... 91
CAPITULO 6 ................................................................................................................................... 94
6.1 Funcionamiento .................................................................................................................. 92
6.6.1 Fases ............................................................................................................................ 92
6.2 Personal requerido ............................................................................................................ 93
6.3 Estudio de costos y financiamientos .............................................................................. 93
6.3.1 Estudio de costos ....................................................................................................... 93
6.3.2 Financiamientos ......................................................................................................... 93
6.4 Factibilidad del modelo propuesto ................................................................................... 94
6.5 Control y evaluación del proceso ..................................................................................... 94
6.5.1 Control del proceso ..................................................................................................... 94
6.5.2 Evaluación del proceso .............................................................................................. 95
6.6 Conclusiones, limitaciones y recomendaciones finalidades ........................................ 95
6.6.1 Conclusiones ................................................................................................................ 95
6.6.2 Limitaciones ................................................................................................................. 96
6.6.3 Recomendaciones finalidades .................................................................................. 96
6.7 Observaciones ................................................................................................................... 97
ANEXOS ......................................................................................................................................... 98
REFERENCIAS BIBLIOHEMEROGRÁFICAS ....................................................................... 116
III
Universidad de los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
DEPARTAMENTO DE MEDICIÓN Y EVALUACIÓN
COMISIÓN MEMORIAS DE GRADO
Título de la Memoria de Grado: Propuesta de Orientación Didáctica para la
enseñanza de las sucesiones numéricas en el del Primer año de ciencias del ciclo
diversificado mediante la resolución de situaciones problemas.
Autor: Castro R. Sebastian
Tutora: Cadenas Reinaldo
Jurados sugeridos: Carlos Dávila, Francisco Rivero y Reinaldo Cadenas.
Fecha: 08 / 07 / 2008
Resumen
El presente trabajo de investigación se muestra como el planteamiento de una Propuesta
de Orientación Didáctica dirigida a la enseñanza de las sucesiones numéricas en el primer
año del ciclo diversificado, la misma está fundamentada en la resolución de problemas
extraídos de la propia realidad. Para el diseño de esta herramienta de enseñanza, se
utilizó como base los aportes dados por la Historia de la Matemática, adaptándolos a las
necesidades actuales de los estudiantes, las cuales fueron puntualizadas en la etapa
diagnóstica que fundamentó al estudio. Este trabajo investigativo se desarrolló bajo los
parámetros expuestos por el tipo de investigación proyectiva de diseño no experimental;
los resultados en él mostrados corresponden a la validación de dicha Propuesta de
Orientación Didáctica por parte del juicio de varios expertos en el área, en esta etapa se
concluye que la misma es asequiblemente aplicable bajo los objetivos planteados.
IV
Introducción
La observación constante de la realidad que rodea al hombre y a la que él pertenece, lo
ha llevado a darse cuenta de la existencia de patrones universales que rigen la creación
de muchos elementos que forman parte de esa misma realidad; en este particular, la
Matemática se muestra como la mejor herramienta para comprender e interpretar dichos
patrones de diseño; por ejemplo, en el ordenamiento de las semillas del girasol, y en el
patrón de crecimiento de las hojas de una lechuga, pueden subyacer esos principios
matemáticos de interpretación. Vorobyov (1973), hace referencia a la sucesión
establecida por el matemático italiano Leonardo Pisa, conocido como Fibonacci, quien
describió una sucesión numérica en la cual cada término es igual a la suma de los dos
anteriores: (1,1,2,3, 5,8,13,21...), el autor explica la presencia de la sucesión de Fibonacci
al analizar el espiral de crecimiento de una concha, el ordenamiento espiral de un cono de
pino, el orden de crecimiento de las ramas de un árbol, la disposición de los pétalos de
una flor, entre otras cuestiones naturales.
En líneas generales, una sucesión numérica (cualquiera que ella sea) es definida como
aquella función cuyo dominio está determinado por el conjunto de los números naturales,
y que de esta forma se puede establecer un patrón de ordenamiento secuencial. La
importancia de este tema matemático es demostrada a través de sus constantes usos y
sus permanentes apariciones dentro del espectro real; pues, en todas las
representaciones del arte: música, pintura, poesía, etc. es evidente la presencia de
distintos tipos de sucesiones que son finalmente las que se encargan de darle el carácter
armonioso a ese trabajo final.
Las Matemáticas escolares consientes de la importancia de las sucesiones para
comprender ciertos aspectos importantes de la realidad, dedican un espacio a la
enseñanza este tema, teniendo como objetivo principal desarrollar en el alumno
habilidades de abstracción y por tanto de razonamiento que posteriormente contribuirán a
desarrollar en él una capacidad de interpretación de su propia realidad.
1
CAPÍTULO 1
1.1 Descripción del tema.
La intuición, la curiosidad, la perspicacia y la motivación deben estar en proyección con el
aprendizaje de contenidos matemáticos tan esenciales como las sucesiones numéricas,
puesto que, éstas funcionan como un estímulo a inducir, deducir, estimar y resolver
problemas dentro de la deslumbrante acumulación de planteamientos que la Matemática
ha descrito. Por tal razón, el docente de Matemáticas debe tomar en consideración las
ideas y los preconceptos establecidos que posean los alumnos sobre conjuntos,
relaciones y funciones, pues estos servirán de pilar para la fundamentación de la
construcción conceptual del tema que se pretende abordar (sucesiones numéricas), y a su
vez promoverá las operaciones entre este tema y sus posteriores aplicaciones. Así bien,
para garantizar en los alumnos la construcción de un verdadero aprendizaje de los
contenidos asociados al tema de sucesiones numéricas, el docente debe asegurarse de
que estos preconceptos, es decir, los conocimientos previos que lo anteceden estén
sólidamente fundamentados en el pensamiento matemático de los estudiantes.
Es importante destacar que, las principales dificultades de los estudiantes en el
aprendizaje de sucesiones numéricas, según la prueba diagnóstica realizada (ver Capítulo
IV), radican en la falta del dominio teórico en los contenidos matemáticos anteriormente
descritos, los mecanismos para mostrar el término general de una sucesión numérica y la
resolución de problemas aplicados a su vivir diario. Tomando como base las
consideraciones anteriores, se pretende realizar una investigación con el objetivo principal
de diseñar una Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones
numéricas, cuya finalidad se establece en la construcción del concepto a partir de
situaciones o problemas aplicados a la realidad propia del estudiante.
1.2 Justificación de la investigación.
El docente encargado de impartir los contenidos matemáticos referentes al tema de
sucesiones numéricas, debe tomar en consideración ciertas cuestiones fundamentales,
que de ser omitidas, pueden afectar la comprensión del alumno y así interrumpir su
aprendizaje. De esta forma, Machado (1994), expone la problemática en los errores de las
definiciones y conceptos presentados en el desarrollo de la unidad didáctica de
2
sucesiones, expresando la evidente separación que existe entre los objetos matemáticos
y los objetos propios de la naturaleza, proponiendo a partir de esta idea, mostrar
situaciones en las que estén involucradas las interpolaciones entre los medios
geométricos y aritméticos, para así desarrollar en el alumno sus capacidades creativas e
imaginativas, que finalmente contribuirán a la construcción efectiva del concepto de
sucesión.
Sin embargo, la actividad diagnóstica realizada (ver Capítulo IV) demuestra que en el
contexto educativo real, por el contrario, ocurre que las sucesiones numéricas son
tratadas como conjuntos ordenados de números que cumplen una determinada ley de
correspondencia, definidas por algunos libros como conjunto de sucesos, mostrando
planteamientos y ejercicios desligados de la realidad corpórea, además se perciben las
dificultades del alumno al momento de hallar el término general de las sucesiones, puesto
que las nociones de infinito aún no están abstraídas; acentuando más las deficiencias, por
su parte, los docentes aún emplean técnicas tradicionalistas y mecanicistas en sus
pizarras mostrando ejercicios planteados en textos escolares descontextualizados, el
hecho de proponer un ejercicio en el que se le exija al alumno escribir veinte términos
consecutivos de la sucesión de los múltiplos de cuatro sin ser planteada una situación
concreta termina constituyendo un mecanicismo confuso y no un aprendizaje.
Así pues, tomando en cuenta la problemática planteada y considerando la importancia de
este tema matemático en la formación general del pensamiento lógico abstracto del
estudiante, se ha de diseñar una Propuesta de Orientación Didáctica dirigida
especialmente a potenciar el proceso de enseñanza de este tema, en la cual se presenten
las nociones y concepciones de las sucesiones de manera concatenada con los hechos
de la realidad latente del cambio y en función del desarrollo de capacidades del
pensamiento lógico-matemático, todo esto de una manera contextualizada, ilustrada y
constructiva. La propuesta de Orientación Didáctica referida se presenta como el medio
más viable y factible para atacar los problemas más relevantes del proceso de enseñanza
de las sucesiones numéricas, pues la misma constituye una herramienta completa de
tratamiento tanto de contenido como de ejercitación.
3
1.3 Planteamiento del problema.
En el contexto real, es posible encontrar conjuntos ordenados de palabras, números,
figuras, notas musicales, etc. que de manera armoniosa y natural diseñan un patrón de
comportamiento que los ha de definir. En general, dichos patrones están
matemáticamente determinados o descritos mediante una función cuyo dominio está
determinado por el conjunto de los números naturales, a esta función se le conoce con el
nombre de sucesión numérica. La enseñanza de las Matemáticas escolares en
Venezuela, propone el estudio de las sucesiones numéricas dentro de los contenidos a
enseñar en el primer año del ciclo diversificado, esto precedido por los contenidos
generales de funciones reales; así bien, en este nivel, los estudiantes ya deben poseer
cierta capacidad de abstracción que les permitirán razonar acerca de las posibles
aplicaciones de este tema en cuestión, así como también comprender todas sus
representaciones (geométrica, aritmética y algebraica).
Tomando como base las consideraciones anteriores, es posible notar la existencia de
todos los requerimientos previos que deben ser tomados en cuenta por el docente a la
hora de abordar cualquier contenido Matemático, pues de no ser así se pueden presentar
diversas dificultades en el proceso de enseñanza y aprendizaje, por lo cual es pertinente
conocer las necesidades y problemáticas que presentan los estudiantes, específicamente
en el tema de sucesiones numéricas.
Partiendo de la necesidad intrínseca de conocer dichas necesidades, se realizó un
estudio diagnóstico (ver Capítulo IV) en el primer año del ciclo diversificado en el área de
Matemática en dos instituciones diferentes de la ciudad de Mérida, en el cual se pudo
detectar que a la hora de abordar el tema de sucesiones numéricas, los profesores
definen el concepto de una manera aritmética-algebraica, obteniendo como resultado que
los estudiantes no relacionen el concepto de sucesiones numéricas con funciones (afín,
exponencial entre otras) afectando así su posterior comprensión del tema. Los resultados
anteriores impulsan a diseñar una Propuesta de Orientación Didáctica basada en generar
los conceptos a partir de situaciones problemas extraídas de la realidad propia de los
estudiantes, con la finalidad de utilizar la reflexión como herramienta clave para introducir
conceptos.
4
1.4 Objetivos de la investigación.
1.4.1 Objetivo General.
Diseñar una Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones
numéricas en el primer año del ciclo diversificado mediante la resolución de situaciones
problemas en la ciudad de Mérida.
1.4.2 Objetivos Específicos.
Realizar un sondeo diagnóstico en docentes del área de matemáticas de tres
instituciones escolares de la ciudad de Mérida, con la finalidad de puntualizar los
problemas que se presentan en el proceso de enseñanza de las sucesiones
numéricas.
Determinar cómo se encuentran estructurados y secuenciados los contenidos
asociados al tema de sucesiones numéricas, tomando como referencia diferentes
libros de textos del primer año del ciclo diversificado.
Diseñar una Propuesta de Orientación Didáctica dedicada a la enseñanza
constructiva de las sucesiones numéricas, progresiones aritméticas y progresiones
geométricas.
Validar la Propuesta de Orientación Didáctica diseñada tomando en consideración
el juicio de expertos en el área.
5
CAPÍTULO 2
Marco teórico
2.1 Antecedentes.
Con la finalidad de apoyar los argumentos que basan la construcción de esta
investigación, se ha realizado un proceso de revisión documental de varios estudios
elaborados previamente por especialistas en el área. A continuación se presenta una
selección de los mismos, ejecutada a partir de la vinculación existente entre ellos y los
objetivos de investigación que en este trabajo se plantean:
La primera investigación considerada para este efecto fue la realizada por Castro en el
año 1995, quien propone introducir el concepto de sucesiones a los escolares a partir de
la idea de representación de objetos matemáticos, tomando en cuenta que en una
estructura matemática, se distinguen dos elementos: el contenido de la misma que es la
idea, el concepto, lo descrito o representado y el medio, que es la imagen externa; todo
esto con la finalidad de clarificar cómo entienden los alumnos de educación secundaria
los conceptos vinculados a las sucesiones de números naturales al ser expuestos a una
metodología de enseñanza basada en las representaciones; la investigación de campo
realizada por la autora se enfocó en el estudio de producciones realizadas por los
alumnos en actividades especialmente programadas, en la que los estudiantes deben
utilizar configuraciones puntuales y desarrollos aritméticos para expresar los términos de
una sucesión. Las representaciones tomadas en cuenta en esta investigación citada,
constituyen un elemento motivador para la elaboración de la Propuesta de Orientación
Didáctica base de este estudio en desarrollo, ya que la misma está fundamentada en la
representación figurativa de los elementos constitutivos de los problemas en ella
planteados.
Por otra parte, Castro, Rico y Romero (1996), llevaron a cabo una investigación en la que
proponen el estudio de las sucesiones de números naturales, lineales y cuadráticas,
mediante el empleo de los tres sistemas de representación: figurativo, simbólico
estructurado y operatorio (desarrollos aritméticos). Los autores demostraron entre otras
cuestiones, que la configuración puntual es la más intuitiva debido a su carácter gráfico,
puesto que permite un tratamiento y un análisis visual de la estructura con la finalidad de
representarla; mediante un proceso de experimentación directa en el aula de clase,
6
descubren que introducir el concepto de sucesión de números naturales puede resultar
una actividad muy compleja si no se aborda a partir de cuestiones intuitivas, pues en su
base se encuentran nociones tan profundas como la de conjunto totalmente ordenado con
primer elemento y la de proceso infinito. Así bien, a partir de las ideas aportadas por la
investigación de estos autores, se diseña en este estudio una Propuesta de Orientación
Didáctica fundamentada en la intuición, la resolución de problemas y la representación
gráfica para estimular la visualización y la comprensión de los contenidos en esta
herramienta de enseñanza expuestos.
Entre tanto, Minnaard y Condesse (2005), desarrollaron una propuesta de enseñanza
fundamentada en el valor histórico presente en la Sucesión de Fibonacci, los mismos
hicieron uso de las bondades artísticas y visuales de dicha sucesión para abordar desde
un primer plano el tema de sucesiones; los autores presentan el problema de Fibonacci
con el propósito de describir los términos de la sucesión engendrada, utilizando como
elemento motivador la construcción de un espiral a partir de dos cuadrados de lado 1 con
un lado en común, todo esto con la finalidad de conocer algunas particularidades de los
números de Fibonacci. Tomando en cuenta los argumentos dados por estos autores al
fundamentar su propuesta de enseñanza, se utilizó el problema de Fibonacci en el diseño
de la herramienta de instrucción del tema de sucesiones elaborada como objetivo
principal del presente estudio, esto con la finalidad de generar términos, representaciones
gráficas y por lo tanto visuales que contribuirán a la construcción del aprendizaje del tema
en los alumnos.
Mora, (s.f), propone a partir del diseño de una herramienta de enseñanza, integrar la
percepción de las características numéricas de las sucesiones con las posibilidades que
ofrece el lenguaje gráfico (calculadora); partiendo del hecho de que esta forma de
representación facilita la concepción global de las características de la sucesión con fines
a introducir nociones de conceptos implicados (convergencia, monotonía); el autor afirma
que en bachillerato es necesario conectar la intuición del alumnado con el aprendizaje de
las sucesiones numéricas, las secuencias numéricas, la obtención de reglas de formación
y la simbolización adecuada, pues estas son algunas de las situaciones en que las
sucesiones son al mismo tiempo medio y objetivo de aprendizaje. Los argumentos dados
por Mora en el desarrollo de su propuesta motivan a tomar en cuenta en el presente
estudio a la representación gráfica como elemento que puede conllevar al estudio de las
relaciones funcionales para así potenciar la concepción de las sucesiones.
7
2.2 Bases teóricas.
2.2.1 Marco Epistemológico.
Las sucesiones son conocidas desde mucho tiempo atrás. Los primeros indicios
registrados de sucesiones aritméticas se encuentran en el Papiro Rhind (del escriba
Ahmes) Babilonia (2000 a.C.), con un problema de dividir 100 panes entre 5 personas de
tal forma que la cantidad de pan que los primeros reciban sea igual a un séptimo de la
cantidad que reciben las otras 3 personas. Al igual que el problema planteado de las
sucesiones aritméticas también encontramos un planteamiento que conllevaría luego a las
sucesiones geométricas. El problema número 79 de los 84 problemas muy variados que
copió Ahmes, 1650 a.C., decía así: “siete casas, 49 gatos, 343 ratones, 2401 espigas de
trigo, 16807 medidas de grano” (Boyer, 1987). El problema se puede interpretar de la
siguiente manera: en cada casa hay 7 gatos; cada gato mata 7 ratones; cada ratón podría
haberse comido 7 espigas de trigo y cada espiga podría haber producido 7 hekat de grano
(donde hekat es una medida de capacidad) ¿Cuánto grano se ha salvado gracias a los
gatos? Este planteamiento, en especial, es considerado por Boyer, como una pizca de
humor dentro del Papiro, con lo que, a manera de distracción surgen las primeras
nociones, concepciones y usos de las sucesiones.
Los pitagóricos, 500 a.C., hablaban de números figurados dentro de la idea de número en
su pensamiento. Usaban la fórmula para designar
que los números dados por ésta eran números triangulares. Consideraban además
muchas otras categorías de números privilegiados, obtenían sucesivos números
cuadrados sumando las sucesiones , en las
que cada uno de los números impares que aparecen sumados se consideraba como una
distribución de puntos en forma de “gnomon” (antiguo reloj de sol babilónico). La suma de
una sucesión de números pares de la forma da
lugar a lo que los griegos llamaron un “número oblongo”, cada uno de los cuales es el
doble de un numero triangular. Los números pentagonales venían dados por la sucesión
y los números hexagonales se obtienen a su vez de
la sucesión , y así de una manera análoga, se van
obteniendo los números poligonales de todos los órdenes (Boyer et al.). Pocos años
después, hace más de 2400 años, en contraposición a los argumentos de los pitagóricos,
el filósofo griego Zenón de Elea, estableció algunas paradojas ingeniosas, entre las
8
cuales encontramos la paradoja del corredor y la dicotomía; la primera se puede exponer
de la siguiente manera: un corredor no puede alcanzar nunca la meta porque siempre ha
de recorrer la mitad de una distancia antes de recorrer la distancia total. La segunda
paradoja es parecida a la primera, solo que ahora la subdivisión indefinida es en sentido
regresivo en vez de progresivo, afirma que antes de que un objeto en movimiento pueda
recorrer una distancia dada, debe recorrer en primer lugar la mitad de esta distancia, pero
aún antes de recorrer ésta deberá recorrer el primer cuarto de la distancia inicial, y antes
aún, el primer octavo, y así indefinidamente a través de una cantidad infinita de
subdivisiones. Estas paradojas sientan bases de nociones de ascendencia y
descendencia, lo que más tarde será utilizado en otros aspectos de la matemática en su
desarrollo como ciencia; todo este constructo histórico constituye a la larga la delimitación
y caracterización de los conocimientos sobre sucesiones numéricas.
En la antigüedad las sucesiones se denominaban progresiones o series, nombre
derivado del latín progressio. Actualmente, luego de muchos avances en el estudio del
tema se usa la palabra sucesión o secuencia en lugar de progresión y el vocablo serie es
utilizado para designar un tipo particular de sucesiones. A partir de estos argumente se
puede inducir que, a partir de problemas aplicados a situaciones que se presentaron en
tiempos anteriores fue que se generó el concepto de sucesiones y de diversos temas en
Matemáticas, es por ello que la Propuesta de Orientación Didáctica a diseñar en esta
investigación intenta recrear los escenarios mentales que dieron lugar a la
fundamentación del concepto de sucesión en los estudiantes del bachillerato.
2.2.2 Marco Psicopedagógico.
La Didáctica de la Matemática considerada como ciencia autónoma, tiene como objetivo
principal el estudio de la comunicación y el seguimiento del proceso de construcción de
los objetos y saberes matemáticos; en ella, el docente especializado en el área, actúa
como medio constructor de los aprendizajes, y el alumno como sujeto, es quien realmente
construye el conocimiento a partir de las situaciones de aprendizajes derivadas de la
interacción docente-contenido-alumno. Piaget (citado en Ortiz, 2004), establece que los
mecanismos utilizados por el individuo al construir un conocimiento son funcionalmente
los mismos que se han identificado a lo largo de la historia de las ciencias, mecanismos
de: abstracción, simbolización y generalización; construcción de la noción de objeto
permanente; procesos de conocimiento centrados en el objeto, en las relaciones entre los
objetos, o en las estructuras determinadas por las relaciones entre dichos objetos. Es por
9
ello que en particular, el aprendizaje de las sucesiones numéricas debe estar ligado a los
estadios de desarrollo del pensamiento del alumno y a todo el constructo histórico social
en el que se ha desarrollado la problemática engendrada a partir de determinadas
aplicaciones, esto con el fin de resolver problemas aplicados a la realidad. Piaget (1981),
afirma que el conocimiento matemático se desarrolla desde dos planos: un primer plano
biológico, que surge de la construcción perpetua producto del intercambio entre el
individuo y el medio en el cual éste se desenvuelve, y un segundo plano (cognoscitivo)
resultado de una interacción entre el pensamiento del sujeto y el objeto que se pretende
aprender.
Con base a las consideraciones anteriores, la Propuesta de Orientación Didáctica que en
esta investigación se pretende diseñar con el fin de potenciar el aprendizaje de las
sucesiones numéricas, utiliza como punto de partida el planteamiento de situaciones
problemas abstraídas de la realidad propia del alumno, de forma tal, que el aprendizaje no
se construya utilizando herramientas ajenas a él, sino por el contrario, sea el resultado de
una constante búsqueda de soluciones a dichas situaciones problemas, que luego
conducirán a una generalización de ideas que llevarán a la construcción de los conceptos
claves relacionados con el tema. Es importante destacar que a diferencia de los libros de
textos utilizados tradicionalmente en la enseñanza de este tema, la propuesta de
enseñanza que este estudio presentará, se plantea como objetivo fundamental (en su
posterior aplicación) no sólo que el alumno pueda representar una sucesión, sino que
logre internalizar los planteamientos teóricos que se le presentan para luego poder
aplicarlos en la resolución de problemas que implican un razonamiento lógico práctico
para ser solventados.
2.2.3 Marco teórico matemático.
El estudio de las sucesiones numéricas sienta sus bases sobre dos ramas principales de
la matemática, el Álgebra y la Aritmética. En Aritmética las cantidades se representan por
números, en cambio, en el Álgebra las cantidades se representan por medio de letras,
para lograr la generalización en constructos matemáticos (Baldor, 1986). Para proceder
en los constructos teóricos constituyentes de los conocimientos sobre sucesiones es
necesario afianzar antes algunas concepciones bases.
Según Tineo y Uzcátegui (2006), en general, se usarán letras mayúsculas para
denotar conjuntos, los elementos de un conjunto serán denotados generalmente por letras
10
minúsculas tanto del alfabeto griego como latino. Dado un elemento y un conjunto
pondremos (léase: “ pertenece a ”) para indicar que es un elemento de .
Dados y definimos el par ordenado como el conjunto . El
producto cartesiano de por , denotado x se define como el conjunto de todos
los pares ordenados { R : e }.
Todo subconjunto R contenido en el producto cartesiano x será llamado una relación
(entre y ). Si R decimos que está en la relación R con y escribimos .
Una función o aplicación de en es definida por Tineo y Uzcátegui (2006), como una
terna ordenada donde es un subconjunto de x con la siguiente propiedad:
Para cada existe un único elemento tal que .
Este único elemento se denota por y se llama la imagen de por El conjunto
es llamado el dominio de y el conjunto se conoce como el rango
de . El conjunto se conoce también como el gráfico de la función . Una función
se denota por el símbolo , a cada elemento asocia a un único
elemento en .
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales,
N y el rango está contenido en el conjunto de los números
reales. A las imágenes del conjunto de llegada las llamaremos términos de la sucesión.
(Sucesión infinita).
Aclaratoria: Si el dominio de la función es el conjunto de los primeros números
naturales, se tiene que, el conjunto de términos de la sucesión es finito. Por lo tanto, la
sucesión se le llama finita.
Simbología y notaciones.
Si N R es una sucesión, en lugar de escribir
escribiremos .
En donde, = , con perteneciente al conjunto de los números naturales, en
vez de utilizar la letra podemos usar cualquier otra letra.
Al conjunto de términos de la sucesión se denota de la siguiente forma:
11
N .
Se denota como el -ésimo término o término general de la sucesión. Además
la notación de la sucesión viene dada por: o .
El término general de una sucesión es una expresión que contiene a la variable y que
proporciona: el primer término, el segundo término, el tercer término, y así sucesivamente,
en donde, N. En la antigüedad las sucesiones se denominaban series o
progresiones, nombre derivado del latín progressio y utilizado por los matemáticos de la
Edad Media como Boecio y otros. En la actualidad se usa la palabra sucesión o
secuencia en lugar de progresión, quedando este último término asociado sólo a ciertos
tipos especiales de sucesiones como las progresiones aritméticas, geométricas y
armónicas.
Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término, después del primero,
se obtiene, sumándole al anterior una cantidad fija que se denomina razón. Usualmente la
razón es denotada con la letra .
Nota: Sea (razón) un valor arbitrario, se tiene que, el término general de la progresión
aritmética es: , N.
Consideremos la siguiente sucesión: ¿Será una progresión aritmética?
Nótese que, los términos de una sucesión dados anteriores se pueden como:
.
En donde, el primer término es: , el segundo es: , y así sucesivamente.
Es importante observar que, si al primer término de la sucesión se le suma cinco, se
obtiene el segundo término, es decir, .
Luego, al segundo se le suma la misma cantidad obtenemos el tercer término, es decir,
.
Además, al sumarle la misma cantidad al tercero se obtiene el cuarto término de la
sucesión, es decir, , y así sucesivamente.
Por lo tanto, la cantidad que se le debe sumar a cada término, después del primero para
obtener los demás es cinco. Se tiene que, la razón es: .
12
Así, la sucesión es una progresión aritmética.
Ahora, consideremos una progresión aritmética de términos finitos:
.
La suma de términos que conforma una progresión aritmética finita viene dada por,
.
Usualmente la suma se denota con la letra o , es decir,
.
Si sumamos el primero término de la progresión con el último, el segundo con el
antepenúltimo y así sucesivamente, se obtiene:
.
Nótese que, el número de términos de la progresión es , con N, ésta al ser dividida
entre dos, permite obtener la cantidad de sumandos dada anteriormente. Luego, al ser
multiplicada por el resultado obtenido de la suma del primero con el último, se tiene que,
, N.
Consideremos la progresión aritmética dada anteriormente, es decir,
¿Qué cantidad resulta al sumar los cien primeros términos de la progresión?
Sabemos que, el primer término de la progresión es tres, es decir, . Además, el
número de términos a sumar es cien. Por tanto, .
Ahora nos preguntas cuál es el valor último sumando, es decir, .
Como el término general de una progresión aritmética es:
13
, N
En donde, .
Se tiene que, .
Luego, .
Interpolar k términos aritméticos entre los números a y b de una progresión aritmética
es construir otra progresión de k + 2 términos de manera que a y b sea los extremos.
Se quiere interpolar dos medios aritméticos comprendidos entre siete y trece. En donde,
el primer término es siete y el último trece.
Sabemos que, para encontrar dos medios aritméticos entre dos que ya están, consiste en
construir otra progresión de cuatro términos, en donde, siete y trece son los extremos. Es
decir, . Como la progresión es aritmética, se tiene que,
. Luego, , obteniéndose . Por lo
tanto, y . Así, los
términos de la progresión aritmética son: .
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, después del
primero, se obtiene multiplicando al anterior por una constante no nula fija que se le
denomina razón, usualmente se denota con la letra r.
Nota: Sea (razón) un valor arbitrario con , se tiene que, el término general de una
progresión geométrica es: , N.
Consideremos la siguiente sucesión: . ¿Será una progresión
geométrica?
Nótese que, los términos de la progresión son: .
En donde, el primer término es: , el segundo es: , y así sucesivamente.
Es importante observar que, si al primer término de la sucesión se le multiplica por dos, se
obtiene el segundo término, es decir, .
14
Luego, al segundo término se le multiplica por dos, obtenemos el tercer término de la
sucesión, es decir, .
Además, multiplicándole la misma cantidad al tercero se obtiene el cuarto término de la
sucesión, es decir, , y así sucesivamente.
Por lo tanto, la cantidad que se le debe multiplicar a cada término, después del primero
para obtener los demás es dos. Se tiene que, la razón es: .
Así, la sucesión es una progresión geométrica.
Ahora, consideremos una progresión geométrica de términos finitos:
.
La suma de términos que conforman una progresión geométrica finita viene
dada por,
.
Usualmente la suma se denota con la letra o , es decir,
. (4)
Como la progresión es geométrica, se tiene que, el término general es:
, N y .
Está expresión nos permite calcular cualquier término de la progresión. Por lo
tanto,
, , , ,
.
Sustituyendo en (4) se obtiene que,
(5)
Si multiplicamos la expresión número (5) por , con , obtenemos.
. (6)
15
Ahora, la ecuación (6) se multiplica por obteniéndose.
. (7)
Luego, sumandos la ecuación (5) y (7) se tiene.
(5)
(7)
, resulta que .
Así,
, N y .
Consideremos la progresión geométrica dada anteriormente, es decir, .
¿Qué cantidad resulta al sumar los siete primeros términos de la progresión?
Sabemos que, el primer término de la progresión es cuatro, es decir, . Además, el
número de términos a sumar es siete. Por tanto, .
Por se tiene que,
.
Interpolar k términos geométricos entre los números a y b de una progresión
geométrica es construir otra progresión de k + 2 términos de manera que a y b sea los
extremos.
16
Se quiere interpolar cuatro medios geométricos comprendidos entre diez y trescientos
veinte. En donde, el primer término es diez y el último trescientos veinte.
Sabemos que, para encontrar cuatro medios geométricos entre dos que ya están,
consiste en construir otra progresión de seis términos, en donde, diez y trescientos veinte
son los extremos. Es decir, y . Como la
progresión es geométrica, se tiene que, .
Luego, , obteniéndose , . Por lo tanto, .
Así, , ,
, . Luego, los
términos de la progresión geométrica son:
y .
2.2.4 Contexto curricular.
En correspondencia con los programas de Matemáticas propuestos por el Ministerio del
Poder Popular para la Educación, se tiene que, el desarrollo de la Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones que se ha de diseñar en esta
investigación, se llevará a cabo en alumnos de primer año del ciclo diversificado, esto
debido a que dichos programas plantean en este nivel el estudio de tal tema, presentando
sus contenidos de la siguiente manera (información extraída de la visión esquemática de
los programas de estudios, realizada por Monsalve, 2005.
17
VI. Progresiones
5.1 Sucesiones.
5.1.1.-Definición de sucesión.
5.1.2.-Término general de una sucesión.
5.2
Progresiones
aritméticas.
5.2.1.-Definición.
5.2.2.-Cálculo del término n-enésimo de una
progresión aritmética.
5.2.3.-Suma de términos equidistantes de los
extremos de una progresión aritmética.
5.2.4.-Suma de los términos de una progresión
aritmética.
5.2.5.-Resolución de problemas sobre progresiones
aritméticas.
5.3
Progresiones
geométricas.
5.3.1.-Definición.
5.3.2.-Cálculo del término n-enésimo de una
progresión geométrica.
5.3.3.-Suma de los términos de una progresión
geométrica.
5.3.4.-Resolución de problemas sobre progresiones
geométricas.
En líneas generales se observa que los contenidos planteados por el programa de estudio
del 1º año del ciclo diversificado se encuentran distribuidos en cinco unidades temáticas:
funciones, trigonometría, vectores en el plano, número complejo y por último progresiones
y sucesiones. Curricularmente, los contenidos que preceden al estudio de las
progresiones (aritméticas y geométricas) y sucesiones numéricas, se encuentran
presentados de forma tal, que su desarrollo pueda conllevar a una mayor comprensión de
este último tema al ser impartido; en contraposición a esto, los libros de textos más
utilizados por los docentes (cuestión detectada por la actividad diagnóstica realizada), no
18
establecen las relaciones que existen entre todos estos temas al introducir los contenidos
de progresiones y sucesiones, por ejemplo no se enuncian los conceptos de sucesiones-
progresiones en términos de funciones (afín, exponencial entre otras), los cuales son de
gran importancia a la hora de definir el concepto de sucesiones numéricas, por lo cual, no
se establecen las relaciones debidas con los contenidos previos. Resulta preciso que los
docentes aseguren que sus estudiantes comprendan los conceptos que preceden a
cualquier contenido matemático, en particular al tema de sucesiones numéricas, esto
debido a que el proceso de aprendizaje se lleva a cabo a partir de una actividad
constructiva que parte de las bases fundamentadas por tales conocimientos previos.
19
CAPÍTULO 3
Marco metodológico
3.1 Tipo de investigación.
La presente investigación se desarrolla con el propósito de diseñar una Propuesta de
Orientación Didáctica que contribuya a solventar los problemas de enseñanza de las
sucesiones numéricas, puntualizados por el sondeo diagnóstico ejecutado para tal fin;
dicho objetivo coincide con los lineamientos de la investigación proyectiva expuestos por
Hurtado (1998), la cual consiste en encontrar la solución a los problemas prácticos
detectados, ocupándose de cómo deberían ser las cosas para alcanzar los fines y
funcionar adecuadamente, todo esto partiendo de un diagnóstico preciso de las
necesidades del momento, los procesos explicativos o generadores involucrados y las
tendencias futuras.
3.2 Diseño de investigación.
Hernández, Fernández y Batista (2006), explican que el diseño de una investigación
determina el plan o las estrategias a desarrollar para obtener la información necesaria con
el fin de lograr los objetivos que la fundamentan, es posible afirmar que esta investigación
está planteada bajo un diseño no experimental, si se considera el hecho de que este
estudio se estructura por una primera etapa diagnóstica de puntualización de problemas y
necesidades, y por una segunda fase constituida por el diseño de una Propuesta de
Orientación Didáctica que solvente dichas dificultades. Así bien, no se pretende recrear ni
modificar el escenario a estudiar, simplemente presentar la realidad tal y como se percibe,
para a partir de ella diseñar las estrategias de enseñanza que propongan contribuir con el
avance del proceso educativo.
3.3 Definición de eventos.
Para el desarrollo de la presente investigación, se pretende diseñar una Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas en el primer año
del ciclo diversificado mediante la resolución de problemas aplicados a la vida cotidiana.
Se proyecta contribuir con mejorar el proceso de enseñanza de las sucesiones en el
primer año del ciclo diversificado, esto con la finalidad de que los alumnos construyan
conceptos a partir de una serie de situaciones aplicadas a su vivir diario, pues de esta
20
forma podrán buscar, soluciones a diversos problemas que se le puedan presentar
posteriormente.
3.4 Población y muestra.
De una población de cien (100) profesores de Matemática del bachillerato de la ciudad de
Mérida. Se toma una muestra de cinco (5) profesores al azar especialistas en el área.
3.5 Técnicas e instrumentos de recolección de datos.
Con la finalidad de alcanzar los objetivos propuestos por esta investigación en miras de
construir una Propuesta de Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones
numéricas en primer año del ciclo diversificado, se pretende utilizar como herramienta
principal de recolección de información a ciertos instrumentos importantes, cuyos
resultados de aplicación serían los encargados de dirigir este proceso. Entre dichos
instrumentos es posible hacer mención de:
1. Una encuesta (Anexo 4) constituida por un conjunto de preguntas normalizadas
dirigidas a los docentes del área de matemáticas, esto con el propósito de
determinar cuáles son las herramientas de enseñanza más utilizadas por ellos a la
hora de impartir los contenidos asociados al tema de sucesiones. De igual forma,
esta encuesta se diseña con la finalidad de puntualizar cuales son los errores más
frecuentes que los docentes consideran que sus estudiantes cometen durante el
tratamiento de estos contenidos.
2. Por medio de un análisis de contenido, se pretende realiza una revisión
documental que incluye un estudio general al programa y a diferentes libros de
textos del primer año del ciclo diversificado por medio del análisis de contenido,
para de esta manera determinar la secuencia de los contenidos referentes al tema
de sucesiones numéricas.
3.6 Descripción del procedimiento.
Los pasos dados para realizar esta investigación son:
: Analizar e interpretar los resultados obtenidos tras la aplicación de los
instrumentos de recolección de datos (encuesta, análisis de contenido).
21
: Realizar una revisión documental en libros de textos y en el programa de estudio
del primer año del ciclo diversificado, para de esta forma puntualizar los aspectos más
importantes que han de ser tomados en cuenta al diseñar la Propuesta de Orientación
Didáctica que motiva a esta investigación.
: Diseñar y aplicar una encuesta a los docentes del área de matemáticas, con la
finalidad de conocer los errores más frecuentes que él ha observado en el alumnado a la
hora de abordar el tema de sucesiones numéricas.
: Diseñar la Propuesta de Orientación Didáctica (POD) a partir de lo determinado
en la etapa anterior, todo esto con la finalidad de desarrollar habilidades del pensamiento
lógico – matemático en los alumnos del bachillerato, que permitan generar conceptos a
partir de situaciones o problemas que se puedan percibir en la realidad.
: Validar la Propuesta de Orientación Didáctica por cinco (5) docentes
seleccionados al azar (especialista en el área) los cuales han de impartir clases en el
primer año del ciclo diversificado en la ciudad de Mérida.
3.7 Tipo de análisis a utilizar.
Para analizar los resultados arrojados por las encuestas aplicadas a los docentes del área
de matemáticas de las instituciones seleccionadas en la ciudad de Mérida para realizar
esta investigación, se ha de usar las herramientas dadas por la estadística descriptiva, es
decir, se expresa en porcentaje la incidencia de las respuestas dadas por dichos docentes
a las preguntas correspondientes a tal instrumento (encuesta); esto con la finalidad de
determinar cuáles son las estrategias utilizadas por los profesores al abordar el tema de
sucesiones numéricas y los problemas más frecuentes que ellos consideran los alumnos
presentan en este particular.
De igual forma, para analizar cada uno de los libros de texto seleccionados a fin de ser
revisados los contenidos referentes al tema de sucesiones numéricas, se ha de hacer uso
de las bondades de la técnica de Análisis de Contenido tal como lo propone Krippendorf,
citado por Hernandez, et al. (2003), quien lo define como una técnica para estudiar y
analizar la comunicación; es decir, en este punto se pretende se realizar una reflexión
acerca de los aspectos observados en el proceso de revisión documental realizado sobre
dichos libros de textos, esto con la finalidad de verificar la continuidad temática de los
22
temas dedicados al tratamiento de las sucesiones numéricas, o en su defecto determinar
cuáles son las debilidades de tales textos en cuanto a lo que a este aspecto se refiere.
Para validar la Propuesta de Orientación Didáctica, se han de escoger cinco (5) docentes
al azar (especialistas en el área) quienes han de ser profesores regulares del primer ciclo
diversificado en la ciudad de Mérida, esto por medio de un instrumento de evaluación
(Anexo 5), en el cual se exponen varios criterios (presentación, secuencia conceptual,
ejemplos ilustrados, problemas contextualizados, estrategia didáctica y fundamento
matemático) que se presentan en la propuesta, por lo tanto se ha de elaborar una tabla de
doble entrada estructurada por siete columnas y seis filas, de la siguiente manera:
Las filas corresponden a las seis clases presentadas en la Propuesta de Orientación
Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas, la cual se anexa al
presente instrumento.
Las columnas hacen referencia a los criterios para evaluar la Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas y una
especialmente para las observaciones que los docentes seleccionados consideren
pertinentes presentar en cada clase.
La instrucción consiste en evaluar la Propuesta marcando con una equis (X) la calificación
de cada clase, considerando cada uno de los criterios presentados en la tabla, donde:
D = deficiente, R = regular, B= bueno.
NOTA: Si la calificación obtenida es deficiente o regular se debe realizar las correcciones
correspondientes.
23
CAPÍTULO 4
Resultado del diagnóstico
4.1 Validez del instrumento (prueba diagnóstica).
Para determinar la validez del instrumento (prueba diagnóstica) aplicada en el bachillerato
(Anexo 1) se hace uso del procedimiento estadístico conocido como el Coeficiente de
Proporción de Rangos (C.P.R); en donde, se somete al juicio de varios expertos, los
cuales evalúan cada ítem de acuerdo a una serie de criterios como:
1. Pertinencia de los ítems, consiste en si los ítems están en relación con el
contenido de enseñanza de funciones en el primer año de ciencias del ciclo
diversificado.
2. Claridad en la redacción, no debe darse lugar a confusiones de carácter
conceptual matemático en las situaciones planteadas por los ítems.
3. Estructura Gramatical, lo suficiente clara y precisa y ajustado al nivel académico
de los estudiantes que cursan el primer año de ciencias del ciclo diversificado.
4. Plausibilidad de las alternativas, las diferentes alternativas deben tener pertinencia
respecto a la situación planteada en cada ítem.
La evaluación expuesta viene dada por:
1. Bueno: se refiere a los ítems del instrumento que se consideran óptimos para su
aplicación.
2. Regular: se refiere a los ítems del instrumento que se consideran adecuados,
pero que deben ser parcialmente reformulados.
3. Deficiente: se refiere a los ítems del instrumento que serán designados como no
adecuados y se sugiere que sean eliminados de la prueba. (Anexo 2).
Al emitirse la evaluación por parte de los expertos sobre el instrumento, se realizan
algunos cálculos estadísticos que permiten hallar un coeficiente de Validez de Contenido
( ).
24
Luego de resolver las operaciones, se obtuvo un coeficiente de Validez de Contenido de
0,94 (Anexo 3). Es importante observar que,
0
Sin embargo, para que un instrumento tenga validez de contenido se requiere que:
Por lo tanto, nuestra prueba diagnóstica presenta una validez de contenido favorable ya
que,
Así, queda garantizada la Validez del instrumento (prueba diagnóstica).
4.2 Antecedentes del estudio.
Durante el proceso de investigación se realizó una prueba diagnóstica (sometida al juicio
de expertos) para ser aplicada a los alumnos del primer año del ciclo diversificado, en
donde se seleccionaron dos grupos de estudiantes en diferentes instituciones de la ciudad
de Mérida (que poseían conocimientos del tema de sucesiones) y se aplicó la prueba en
cuestión. Para validar la prueba en la etapa diagnóstica, se utilizó el Coeficiente de
Proporción de Rangos (Anexo 3). De igual forma se analizó a través de la estadística
descriptiva, con la finalidad de asociar un valor numérico a la frecuencia de los problemas
más comunes asociados con el tratamiento de las sucesiones numéricas.
Para una mayor comprensión de los resultados se elabora una tabla cinco columnas
veinte y una filas, donde se refleja la participación del alumnado en la prueba diagnóstica.
25
Ítems RESPONDIERON
CORRECTAMENTE
RESPONDIERON
INCORRECTAMENTE
PORCENTAJE DE
RESPUESTAS CORRECTAS
PORCENTAJE DE
RESPUESTAS INCORRECTAS
Ítems 1 2 38 5 % 95 %
Ítems 2 16 24 40 % 60 %
Ítems 3 6 34 15 % 85 %
Ítems 4 10 30 30 % 70 %
Ítems 5 16 24 40 % 60 %
Ítems 6 13 27 32 % 68 %
Ítems 7 8 32 20 % 80 %
Ítems 8 10 30 30 % 70 %
Ítems 9 10 30 30 % 70 %
Ítems 10 8 32 20 % 80 %
Ítems 11 8 32 20 % 80 %
Ítems 12 7 33 17 % 83 %
Ítems 13 8 32 20 % 80 %
Ítems 14 13 27 32 % 68 %
Ítems 15 4 36 10 % 90 %
Ítems 16 8 32 20 % 80 %
Ítems 17 6 34 15 % 85 %
Ítems 18 10 30 30 % 70 %
Ítems 19 8 32 20 % 80 %
Ítems 20 4 36 10 % 90 %
Según los resultados mostrados en la tabla anterior podemos concluir utilizando un
análisis descriptivo que:
1. El de los alumnos de ambas instituciones no reconocen cuando una sucesión
es una progresión aritmética o geométrica, es decir, no hay dominio de contenido
sobre el tema de sucesiones numéricas.
2. El de los alumnos presentan dificultades a la hora de detectar el término
general de una sucesión.
3. El de los alumnos no generan soluciones aplicados a la vida cotidiana de
sucesiones numéricas.
26
4. El de los alumnos presentan dificultades para hallar términos de una sucesión
a partir de cierta información dada posteriormente.
5. El de los alumnos muestran poco interés por la asignatura de Matemáticas.
Detectándose así la falta de dominio de contenidos sobre el tema, dificultades a la hora de
detectar el término general de una sucesión y la ausencia de habilidades matemáticas en
la resolución de problemas aplicados a la vida cotidiana. Ante la panorámica presentada
se realizó una encuesta aplicada a un grupo de docentes que laboran a diario en el
bachillerato, conformada por 10 ítems en donde se platean varios indicadores como: las
estrategias a utilizar a la hora de abordar el tema de sucesiones numéricas, cumplimiento
con el contexto curricular, aplicabilidad de los contenidos, dificultades que presentan el
alumnado a la hora de abordar el tema de sucesiones numéricas y rendimiento del los
estudiantes en el área de Matemáticas.
Los resultados que se obtuvieron en la encuesta realizada por medio de un análisis
descriptivo en porcentaje fueron los siguientes.
1. En un 80% los docentes usan como estrategias didácticas la resolución de
problemas prácticos más no aplicado al entorno que los rodean, mientras que en
un 10% realizan trabajos grupales y el 10% del grupo no exponen el tema de
sucesiones numéricas.
2. En un 85% los docentes encuestados manifiestan que no logran cubrir con la
totalidad de los contenidos planteados en el contexto curricular, mientras que en
un 5% si lograr cubrir todo el programa y el 10% del grupo no exponen el tema de
sucesiones numéricas.
3. En un 90% de los encuestados introducen el tema de sucesiones numéricas pero
no general situaciones vivenciales para su posterior aplicación, mientras que el
10% del grupo no exponen el tema de sucesiones numéricas.
4. Se determino que, un 80% de los encuestados consideran que la dificultades más
comunes a presentarse a la hora de abordar el tema de sucesiones numéricas es:
cálculo de término general de la sucesión y la resolución de problema, el 10% del
grupo respondió que los estudiantes no perciben la esencia de los contenidos con
27
relación al tema, mientras que el 10% del grupo no exponen el tema de
sucesiones numéricas.
5. En un 95% de los encuestados respondieron que sus alumnos no muestran interés
con relación a las Matemáticas, lo cual su rendimiento en bajo, mientras que en un
5% respondieron que en general el rendimiento en bueno.
4.3 Diagnóstico de necesidades (triangulación).
En la entrevista realizada a profesores especialistas en el área de Matemática de la
ciudad de Mérida que laboran en el bachillerato, se pudo concluir que los docentes
consideran que los contenidos asociados a las sucesiones numéricas son importantes, sin
embargo un 85% de los docentes encuestados manifiestan no lograr cubrir con la
totalidad de los contenidos planteados en el contexto curricular, por lo tanto el de los
alumnos de ambas instituciones no reconocen cuando una sucesión es una progresión
aritmética o geométrica.
Por otro lado, un 90% de los docentes encuestados afirman introducir el tema de
sucesiones numéricas pero no generan situaciones vivenciales para su posterior
aplicación, y un 80% de los profesores dicen usar como estrategia didáctica la resolución
de problemas prácticos más no aplicado al entorno que los rodean, por lo cual el de
los alumnos no generan soluciones aplicadas a la vida cotidiana de sucesiones
numéricas. Además, el 80% de los encuestados consideran que las dificultades más
comunes a presentarse a la hora de abordar el tema de sucesiones numéricas es: cálculo
de término general de la sucesión y la resolución de problema, lo cual se confirma este
hecho en los resultados obtenidos de la prueba diagnóstica ya que el de los alumnos
presentan dificultades a la hora de detectar el término general de una sucesión.
Es importante destacar que, un 95% de los encuestados respondieron que sus alumnos
no muestran interés con los aspectos relacionados directamente con las Matemáticas, lo
cual se pudo observar en los resultados obtenidos en la prueba diagnóstica, donde el
de los alumnos manifiesta presentar poco interés por la asignatura de Matemáticas.
4.4 Evaluación de las condiciones actuales y explicaciones tentativas.
Tomando en cuenta las consideraciones anteriormente expuestas, se puede inducir que
en cuanto a las condiciones actuales se verifica que el alumnado no concibe soluciones a
28
problemas aplicados a la vida cotidiana con relación al tema de sucesiones numéricas,
esto debido a que los docentes no generan conceptos a partir de situaciones vivenciales,
es decir el contenido está totalmente alejado de la realidad.
4.5 Posibles tendencias futuras.
Debido a que, el alumnado no genera soluciones a problemas vivenciales probablemente
no alcanzaran una mayor comprensión de este concepto, pues, el introducir un contenido
de forma ajena a la realidad del estudiante, no garantiza una significación real en él.
4.6 Síntesis diagnóstica.
De acuerdo a la información presentada por los docentes especialistas en el área de
Matemáticas en relación a la aplicación del contenido de sucesiones numéricas, se
diagnosticó que los docentes no enlazan contenidos dados en el curso con la realidad y
no construyen conceptos a partir de problemas aplicados a su vivir cotidiano, por lo cual el
alumnado no comprende las teorías que se la puedan dar, generando dificultad para la
resolución de problemas prácticos - aplicados.
27
CAPÍTULO 5
Propuesta De Orientación Didáctica.
Sucesiones De Números Reales.
5.1 Justificación de la propuesta.
Tras los resultados obtenidos en el proceso diagnóstico llevado a cabo en el desarrollo de
esta investigación, se logró evidenciar la existencia en los alumnos una gran variedad de
dificultades con relación al tema de sucesiones numéricas, tales como: la falta de dominio
de contenidos sobre el tema, dificultades a la hora de detectar el término general de una
sucesión y la ausencia de habilidades Matemáticas en la resolución de problemas
aplicados a la vida cotidiana.
Ante estas panorámicas planteadas anteriormente se presenta la necesidad de diseñar una
Propuesta de Orientación Didáctica destinada a la enseñanza las sucesiones de números
reales, dirigida a los estudiantes del primer año de ciencias del ciclo diversificado.
5.2 Finalidades y metas de la propuesta.
5.2.1 Finalidades.
La Propuesta de Orientación Didáctica tiene como principal finalidad, propiciar en los
estudiantes numerosas y variadas experiencias significativas que le permitan; entre otras
cosas, desarrollar capacidades creativas e imaginativas en función de estudios posteriores
y resolución de problemas de su cotidianidad; afianzando así en el alumno del primer año
de ciencias del ciclo diversificado, la capacidad de análisis situaciones que se le presente
en determinadas circunstancias, en donde se requieren algunas destrezas del pensamiento
lógico-matemático.
5.2.1 Metas de la propuesta.
La Propuesta de Orientación Didáctica tiene como principal meta, el desarrollar en los
estudiantes del primer año del ciclo diversificado habilidades matemáticas que le permitan
ir en búsqueda de soluciones a problemas que se le puedan presentar en su vivir diario
28
con relación al tema de sucesiones numéricas, además logre construir conceptos a partir
de situaciones vivenciales afianzando así los contenidos para su posterior aplicación.
5.3 Descripción de la propuesta.
Al profesor
¿Por qué enseñar sucesiones en Educación Media Diversificada y Profesional?
creemos que hay dos buenas razones. La primera es que el Programa de
Matemática diseñado por el Ministerio de Educación así lo establece. La segunda,
más importante aún, referida a que su enseñanza ayuda a desarrollar capacidades
de abstracción, inferencia, comprensión, intuición, simbolización, generalización y
destrezas afines al pensamiento lógico matemático como la creatividad, la
imaginación y la resolución de problemas; además que, orienta vocacionalmente a
aquellos alumnos cuyos intereses se dirigen hacia las ciencias puras, la economía
y otras áreas de las ciencias aplicadas. En ese sentido, esta Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza y aprendizaje de las sucesiones permite
al docente o mediador del aprendizaje, mostrar la importancia del conocimiento de
sucesiones y sus aplicaciones en la resolución de problemas para así lograr
incentivar a los alumnos a que escojan carreras universitarias de tipo científico. Al
trabajar con sucesiones en el aula el docente puede plantear numerosas
situaciones provenientes de contextos diferentes tales como:
Construcción de figuras geométricas
Crecimiento de poblaciones
Situaciones vinculadas con las finanzas
Muchas otras que aparecen en la vida real
Por lo anterior, esta propuesta tiene, entre otros, los siguientes objetivos:
Concebir la Matemática como un producto cultural de la humanidad, como una ciencia en permanente evolución.
Incorporar a los alumnos en lo que concierne a una introducción de los conceptos fundamentales de Sucesiones, a través de problemas extraídos de contextos vivenciales, potenciando así un aprendizaje significativo y disminuyendo la praxis educativa.
Evitar la trivialización y la creación de contextos educativos con efectos
absolutamente contraproducentes.
29
Breve introducción histórica.
La Matemática es una ciencia que ya ha cumplido más de 2000 años y aunque
actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo
tiempo. En realidad, las Matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad.
Ya la encontramos en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las
pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico
y del interés en figuras geométricas). Con el tiempo, los babilonios desarrollaron
unas Matemáticas más sofisticadas que les permitieron encontrar las raíces
positivas de cualquier ecuación de segundo grado. Fueron incluso capaces de
encontrar las raíces de algunas ecuaciones de tercer grado, y resolvieron
problemas más complicados utilizando el teorema de Pitágoras. Los babilonios
compilaron una gran cantidad de tablas, incluyendo tablas de multiplicar y de
dividir, tablas de cuadrados y tablas de interés compuesto. Además, calcularon no
sólo la suma de progresiones aritméticas y de algunas geométricas, sino también
de sucesiones de cuadrados.
El concepto abstracto de sucesión se puede asociar, en una primera
aproximación, a los procesos discretos de la naturaleza, o a aquellos que se
pueden describir de esta forma, por ejemplo, la evolución de una población en
instantes de tiempo. A parte de su interés como mecanismo para modelar, la
teoría de sucesiones aporta una importante herramienta deductiva en el Análisis
Matemático.
En 1902, el matemático italiano, Leonardo de Pisa, llamado Fibonacci, investigó el
siguiente problema: considerar una pareja de conejos recién nacida (uno de cada
sexo), que al transcurrir dos meses se vuelve reproductiva engendrando una
nueva pareja de conejos cada mes y así sucesivamente, suponiendo que ningún
conejo muere. ¿Cuántas parejas de conejos existirán en el sexto mes, noveno
mes y al año? Fibonacci formuló una respuesta mes a mes: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
34, 55, 89 y 144. Aunque el problema de Fibonacci no era muy realista, su
resultado dio origen a una sucesión numérica llamada sucesión de Fibonacci, una
de las maravillas de la Matemática, presente en los más insólitos fenómenos de la
naturaleza y en la creación humana. Algunos de estos ejemplos son: la forma en
que se ordenan las semillas de un girasol (tienen 34 curvas en un sentido y 21 en
otro, las espirales que se forman hacia la derecha y hacia la izquierda), el
ordenamiento de las hojas en una rama .
30
Sucesiones de Números Reales. Actividad 1.
Leonardo de Pisa, más conocido como Fibonacci, en el siglo XIII
en su libro Liber abaci. Propone un problema sobre el nacimiento
de parejas de conejos, que conduce a una sucesión que lleva su
nombre.
El problema consiste en considerar una pareja de conejos recién
nacida (uno de cada sexo), que al transcurrir dos meses se vuelve
reproductiva engendrando una nueva pareja de conejos cada mes
y así sucesivamente, suponiendo que ningún conejo muere.
¿Cuántas parejas de conejos existirán en el sexto mes, noveno mes y al año?
Analicemos el problema:
Sabemos que la primera pareja de conejos se convierte en reproductiva al cabo de
dos meses, con lo que en el primer mes tenemos una pareja de conejos.
Primer mes
En el segundo mes, puesto que no ha transcurrido el tiempo necesario, seguimos
teniendo la misma (una) pareja de conejos.
Segundo mes
En el tercer mes nace la primera pareja, obteniendo la cantidad de dos parejas
de conejos, la recién nacida y la que teníamos inicialmente.
Tercer mes =
31
Luego, al mes siguiente ocurre, la pareja que se da inicialmente engendra una
nueva pareja (recuerde que luego del primer parto la pareja inicial reproduce una
pareja de conejos cada mes), obteniendo en este cuarto mes la cantidad de tres
parejas.
Cuarto mes =
Se quiere responder ¿Cuántas parejas de conejos se tendrán en el quinto mes?
Se sabe que cada nueva pareja se comporta de la misma manera se tiene que la
pareja que recién nace en el tercer mes ya al quinto mes es sexualmente
reproductiva y engendra una pareja; además, en este mismo mes, la pareja inicial
engendra una nueva pareja con lo que obtenemos dos nuevas parejas que junto
con las tres parejas del mes anterior forman las cinco parejas engendradas al
quinto mes. Continuamos para responder las preguntas que se planteaba
Fibonacci.
Quinto mes =
Notemos que, el número de parejas de conejos engendrados mes a mes viene
dado por una secuencia que corresponde al siguiente comportamiento:
recordemos que inicialmente hay un par de conejos y el segundo mes la misma
cantidad si sumamos las cantidades de los dos meses anteriores se obtiene dos
pares de conejos que corresponde al tercer mes.
32
Ahora, si sumamos la cantidad de pares de conejos del segundo mes y el tercer
mes, se tiene, una cantidad de tres pares de conejos que corresponde al cuarto
mes.
Luego, si sumamos la cantidad de pares de conejos del tercer mes y el cuarto
mes, se tendrá, una cantidad de cinco pares de conejo que corresponde al quinto
mes y así sucesivamente.
¡Lo prometido es deuda!
Recordemos que queremos conseguir la cantidad de parejas engendradas en el
sexto mes, en el noveno mes y al año. Sabemos que en el quinto mes se tiene
cinco parejas de conejos. En el sexto mes ocurre que las tres parejas de conejos
del tercer mes se reproducen y engendran tres parejas de conejos que junto con
las cinco parejas del mes anterior forman las ocho parejas engendradas al sexto
mes. Por otro lado, si sumamos la cantidad de parejas de conejos del cuarto mes
y el quinto mes, se obtiene, ocho pares de conejos que corresponde precisamente
al sexto mes.
.
Por lo anterior, tenemos que, en el quinto mes hay cinco pares de conejos y en el
sexto mes ocho pares de conejo, luego, si sumamos obtenemos trece pares de
conejo correspondiente al mes séptimo.
.
33
Ahora, sumamos la cantidad de pares de conejos del sexto mes y el séptimo mes,
se tendrá, veintiún par de conejos correspondientes al octavo mes.
.
Sumando la cantidad de pares de conejo del séptimo mes y octavo mes, se tienen,
treinta y cuatro pares de conejos del noveno mes.
.
Para el decimo mes sumamos la cantidad de pares de conejos correspondientes
al octavo mes y noveno mes, obteniéndose, cincuenta y cinco pares de conejos.
.
Si sumamos la cantidad de pares de conejos del noveno mes y el decimo mes, se
tendrá, ochenta y nueve pares de conejos del decimo primer mes.
.
Por lo tanto, si sumamos la cantidad de pares de conejos del decimo mes y
decimo primer mes, se obtiene, ciento cuarenta y cuatro que corresponde al
decimo segundo mes. .
Así, la cantidad de pares de conejos que nacen en el noveno mes es de treinta y
cuatro, y al año nacen ciento cuarenta y cuatro. En la siguiente tabla se puede
observar que, al transcurrir un año van generando un comportamiento sobre las
cantidades de parejas de conejos.
Tabla 1.
Mes N° de pareja de
conejos
1 1
2 1
3 1 + 1 = 2
4 1 + 2 = 3
5 2 + 3 = 5
6 3 + 5 = 8
7 5 + 8 = 13
8 8 + 13 = 21
9 13 + 21 = 34
10 21 + 34 = 55
11 34 + 55 = 89
12 55 + 89 = 144
34
Nótese que, en la columna número dos que viene dada por
el N° de pareja de conejos dependen de un número
(número de meses), con N. Lo que se define una
función cuyo dominio es un subconjunto del conjunto de
los números naturales y el conjunto de imagen viene dado
por en donde,
El orden es importante para describir las cantidades de parejas de conejos
generada por un número de meses, donde N.
Actividad 2.
Ahora consideremos un nuevo problema:
Procedamos con la siguiente construcción usando un triángulo equilátero de color
rojo.
Paso 1. Considérese un triangulo de color rojo ABC equilátero de longitud
cada lado.
Figura
Paso 2. Si marcamos el punto medio de cada lado y los unimos con segmentos,
se forman cuatro triángulos equiláteros y luego se pinta de color blanco el triángulo
formado por los puntos medios. Como se observa en la figura .
Es preciso que los
alumnos recuerden que
una función del conjunto A
en el conjunto B es una
relación entre A y B, que
asocia a cada elemento de
A un y sólo un elemento de
B. Y la denotamos por:
f: A B.
Recordemos que un triángulo
es equilátero, si tiene sus
tres lados de igual longitud.
35
Figura
Paso 3. Repetimos el paso dos con cada uno de los triángulos rojos que quedan
en la figura . Como se observa en la imagen siguiente.
Figura
Paso 4. Repetir sucesivamente el paso dos en cada triángulo equilátero de color
rojo que queda en la figura obteniendose.
Figura
Un punto es punto medio si:
Es punto interior del
segmento; y
Equidista de sus
extremos.
36
Después de seguir este proceso “indefinidamente” se obtiene una aproximación de
un triángulo conocido como el tapiz de Sierpinski.
Figura
¿Cuánto mide el perímetro de cada triángulo rojo en el quinto paso, sexto paso y
en pasos?
Observemos con detalle lo que va sucediendo a medida que vamos construyendo
una aproximación del triángulo de Sierpinski.
Sabemos que en el primer paso, se tiene, un triángulo color rojo ABC de
longitud cada lado, como se observa en la figura 1.
Figura
Así, el perímetro es igual a la suma de las longitudes de sus lados:
p = = .
Sabias que…
Sierpinski fue un matemático
polaco que ideó el triángulo
que lleva su nombre en el año
1916.
Es importante denotar que
el perímetro es la suma de
las longitudes de sus lados
y lo denotaremos con la
letra “p”.
37
En el segundo paso se marca el punto medio de cada lado y los unimos con
segmentos, en donde se forman cuatro triángulos equiláteros y luego se pinta de
color blanco el triángulo formado por los puntos medios.
Para hallar el perímetro es necesario conocer la longitud de cada lado de los
triángulos rojos que quedan.
Sabemos que, cada lado del triángulo ABC se dividen en dos segmentos de
igual longitud. Entonces, la longitud de se divide entre dos. Obteniéndose una
medida de para cada lado.
Figura
Por lo tanto, el perímetro de cada triángulo es igual a:
p = = .
Ahora, en el tercer paso repetimos el paso dos con cada uno de los triángulos
rojos que quedan.
¿Cuánto mide la longitud de cada lado de los triángulos rojos que quedan?
Si repetimos el paso dos con cada uno de los triángulos rojos que queda, se tiene
que, la longitud de cada lado se divide entre dos.
Es decir, = = .
38
Figura
Entonces, el perímetro de cada triángulo equilátero de color rojo es igual a:
p = = .
En el cuarto paso es repetir sucesivamente el paso dos en cada triángulo
equilátero de color rojo que quedan en la figura .
¿Cuántos mide la longitud de cada lado de los triángulos rojos que quedan?
Como, se repite el paso dos en cada triángulo equilátero de color rojo de la figura
3. Entonces, la longitud de cada lado se divide entre dos y así sucesivamente.
Por lo tanto, la longitud de cada lado de los triángulos rojos que quedan es igual a:
= = .
Figura
Se tiene que, el perímetro de cada triángulo equilátero rojo es igual a:
p = = .
39
Nótese que, al transcurrir varios pasos van generando un comportamiento en la
medida del perímetro de cada triángulo rojo equilátero, como se puede observar
en el siguiente diagrama.
Paso p = ;
Paso p = ;
Paso p ;
Paso p ;
Diagrama 1.
Del diagrama 1se sigue que el numerador de cada fracción es constante, mientras
que, en el denominador va disminuyendo en una unidad con relación a su
exponente a medida que va transcurriendo cada paso.
Por lo tanto, la medida del perímetro de cada triángulo de color rojo en el quinto
paso, sexto paso y decimo paso siguen esa misma secuencia:
Paso p ;
Paso p ;
Paso p ;
Diagrama 2.
Es importante destacar que, el perímetro de cada triángulo equilátero de color rojo
dependen de un número (número de pasos), con N. Lo que se define una
función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales y el conjunto de
imagen viene dado por,
con N.
40
Por lo tanto,
.
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números
naturales y el rango está contenido en el conjunto de los números reales. A las
imágenes del conjunto de llegada las llamaremos términos de la sucesión.
(Sucesión infinita)
Aclaratoria: Si el dominio de la función es el conjunto de los primeros números
naturales, se tiene que, el conjunto de términos de la sucesión es finito. Por lo
tanto, la sucesión se la llama finita.
Simbología y notaciones.
Si N R, es una sucesión, en lugar de escribir
escribiremos .
En donde, = , con perteneciente al conjunto de los números naturales, en
vez de utilizar la letra podemos usar cualquier otra letra.
Al conjunto de términos de la sucesión se denota de la siguiente forma:
N .
Se denota como el -ésimo término o término general de la sucesión. Además
la notación de la sucesión viene dada por: o .
Luego, retomando el primer problema, se tiene que, el conjunto de imagen viene
dado por: en donde,
, .
Así, los términos de la sucesión son,
.
En donde, es el primer término, el segundo término el tercer término,
el cuarto término, .
Luego, el conjunto de término de la sucesión viene dado por:
.
41
Ahora, consideremos el segundo problema, en donde, el conjunto de imagen viene
dado por:
, con N.
Como, .
Se tiene que, los términos de la sucesión son,
, , , .
En donde, es el primer término, el segundo término el tercer término,
el cuarto término, .
Por lo tanto, el conjunto de términos de la sucesión viene dado por:
.
Problemas de consolidación.
1. Consideremos la actividad 1.
¿Cuántas parejas de conejos nacerán en el decimo tercer mes?
¿Cuántas parejas de conejos nacerán en el decimo octavo mes y al
cavo de dos años?
2. Ahora consideremos la actividad 2.
¿Cuánto mide el perímetro total de los triángulos de color rojo en el cuarto
paso, quinto paso?
¿Cuántos triángulos en blanco y cuántos triángulos en rojo hay en el
quinto paso, sexto paso?
¿Cuál es el área de cada triángulo rojo y el área total de los triángulos
rojos en el quinto paso?
3. Se construye un edificio de quince pisos, en donde, por el primero duran
dos meses, por el segundo cuatro meses, por el tercero ocho meses y así
sucesivamente.
¿Cuánto duran para construir el séptimo, noveno y decimo quinto piso?
Hallar el conjunto de términos de la sucesión.
4. Un hombre acepta un puesto de trabajo por dos año, en el primer mes se
gana una cantidad de seiscientos bolívares, en el segundo mes ochocientos
bolívares, en el tercer mes mil cien bolívares, en el cuarto mes mil
quinientos bolívares y así sucesivamente.
42
¿Qué cantidad de dinero gana en el sexto, octavo y decimo mes?
¿Qué cantidad da dinero gana en un año y dos años?
Hallar el conjunto de términos de la sucesión.
5. Si un cuerpo recorre en caída libre cuatrocientos ochenta y tres metros en
el primer segundo, tres veces más durante el siguiente segundo, cinco
veces más durante el tercer segundo y así sucesivamente.
¿Cuánto recorre en el quinto, noveno y decimo segundo?
Hallar los términos de la sucesión.
6. Describe el criterio con el que se forman estas sucesiones y añada tres
términos a cada una:
a)
b)
c)
Clase 2. Cálculo del término general de una sucesión.
Actividad 3.
Se deja caer una pelota desde un edificio de una altura de (metros).
Cada vez que golpea el piso rebota a de su altura anterior.
¿Qué altura alcanza en el tercer rebote y en el decimo rebote?
Sabemos que, la altura del edificio es de y además, cada vez que
golpea el piso rebota a de su atura anterior.
¿Qué altura alcanza en el primer rebote?
Como, al golpear el piso rebota a de su altura anterior. Entonces la altura que
alcanza es de:
. . .
Por lo tanto, . .
Ahora nos preguntamos, qué altura alcanza en el segundo rebote.
43
Sabemos que, cada vez que la pelota golpea el piso rebota a de su altura
anterior. Por lo tanto, la altura que alcanza es de:
. . . . .
Así, . .
¿Qué altura alcanza en el tercer rebote?
Como la altura que alcanza en el segundo rebote es de . , se tiene
que, en el tercer rebote alcanza una altura de:
. . . .
Por lo tanto, . .
Nótese que, a medida que la pelota rebota en el piso va generando un
comportamiento con relación a su altura, como se puede observar en el siguiente
diagrama 2.
rebote .
rebote .
rebote . .
Diagrama 3.
Obsérvese en el diagrama 3, se tiene que, la fracción obtenida anteriormente
es constante, mientras que, el exponente va creciendo a medida que va
transcurriendo cada rebote de la pelota.
Por lo tanto, la altura que alcanza la pelota en el cuarto rebote, quinto rebote y
decimo rebote siguen esa misma secuencia:
44
rebote .
rebote .
rebote . .
Diagrama 4.
Así por los diagramas 3 y 4. Tenemos que, la altura que alcanza en el decimo
rebote es de:
. .
Luego, los términos de la sucesión son:
. , . , . , . ,
Por lo tanto, el conjunto de términos de la sucesión viene dado por:
Recordemos que, a medida que la pelota rebota en el piso va generando un
comportamiento con relación a su altura.
Además, se puede observa en los diagrama 3 y 4, que la fracción obtenida es
constante, mientras que, el exponente va creciendo a medida que va
transcurriendo cada rebote de la pelota, ahora nos preguntamos cuál es el término
general de sucesión.
Como, la altura que alcanza la pelota en el - ésimo rebote sigue esa misma
secuencia, se tiene que:
– ésimo rebote .
45
Así, El término general de La sucesión es:
, N.
Actividad 4.
Una fuente echa litros de agua cada segundo. ¿Cuántos litros arroja en cuatro
segundos, cinco segundos y en sesenta segundos?
Analicemos el problema:
Sabemos que, en un segundo la fuente echa litros de agua. Ahora nos
preguntamos cuántos litros de agua arroja en dos segundos.
Si aplicamos una regla de tres se obtiene que:
Un segundo litros de agua
Dos segundos
En donde, es la cantidad de litros de agua que arroja en dos segundos.
Así, litros de agua.
Por lo tanto, en dos segundos la fuente echa litros de agua.
¿Cuántos litros arroja en tres segundos?
Como, en un segundo la fuente echa litros de agua. Entonces aplicamos la regla
de tres, para obtener la cantidad de litros que arroja en el tercer segundo.
Un segundo litros de agua
Tres segundo
Esta expresión general de la
sucesión nos permite hallar
cualquier término de la
misma.
46
En donde, es la cantidad de litros de agua que arroja en tres segundos.
Así, litros de agua.
Por lo tanto, en tres segundos la fuente echa litros de agua.
Nótese que, a medida que transcurre los segundos van generando un
comportamiento con relación a la cantidad de litros de agua que arroja la fuente,
como se puede observar en el siguiente diagrama.
Un segundo litros de agua
Dos segundos litros de agua
Tres segundos litros de agua.
Diagrama 5.
Obsérvese en el diagrama 5, se tiene que, la fracción obtenida anteriormente
es contante, mientras que, el número que multiplica la fracción depende de los
segundos transcurridos.
Por lo tanto, la cantidad de litros que arroja en cuatro segundos, cinco segundos y
sesenta segundos siguen esa misma secuencia:
Cuatro segundos litros de agua
Cinco segundos litros de agua
Sesenta segundos litros de agua
Diagrama 6.
47
En conclusión por el diagrama 6, se tiene que, en el cuarto segundo arrojan la
fuente litros de agua, en el quinto segundo arroja la fuente litros de
agua y en sesenta segundos arroja la fuente litros de agua.
Luego, los términos de la sucesión son: , , , , , .
Por lo tanto, el conjunto de términos de la sucesión viene dado por:
.
Nótese que, a medida que transcurre los segundos va generando un
comportamiento con relación a la cantidad de litros de agua que arroja la fuente.
Así, por los diagramas 5 y 6 se tiene que, la fracción obtenida anteriormente
es constante, mientras que, el número que multiplica la fracción depende de
los segundos transcurridos.
Como, la cantidad de litros que arroja en el - ésimo segundo sigue esa misma
secuencia, se tiene que:
– ésimo segundo litros de agua
Así, el término general de la sucesión es: , N.
Es importante destacar que, tanto para la actividad 3 y 4 presentan un patrón que
nos permiten hallar los términos de la sucesión.
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
El término general de una sucesión es una expresión que contiene a la variable
y que proporciona: el primer término, el segundo término, el tercer término, y así
sucesivamente, en donde, N.
48
Problemas de consolidación.
1) Un coronel manda a formar a sus soldados en filas, de manera que la primera
fila tenga un soldado, la segunda tres, la tercera cinco, la cuarta siete y así
sucesivamente. ¿Cuántos soldados habrá en siete, diez y filas?
2) Rosa dice lo siguiente, esta semana ahorrare dos bolívares; la próxima cuatro
bolívares; la siguiente seis bolívares y así sucesivamente. ¿Cuánto le
corresponde ahorrar en el sexto, decimo y – ésimo mes?
3) En un estacionamiento cobra un bolívar por la primera hora, por la segunda un
medio, por la tercera un tercio, por la cuarta un cuarto y así sucesivamente.
¿Cuánto, se tiene que, pagar si dejamos el automóvil por la séptima, decima y
– ésima hora?
4) Un hombre gana por su primer mes de trabajo tres bolívares, por el segundo
mes gana nueve bolívares, por el tercer mes gana veintisiete bolívares y así
sucesivamente. ¿Cuánto gana en el sexto, noveno y – ésimo mes?
5) María compra una cierta cantidad de libros, en donde, por el primero paga dos
bolívares, por el segundo cinco bolívares, por el tercero diez bolívares, por el
cuarto diecisiete bolívares y así sucesivamente. ¿Cuánto paga por sexto,
decimo y – ésimo libro?
6) Escribe los cinco primeros términos de la sucesión cuya expresión general es:
a)
b)
c)
7) Escribe el término general de estas sucesiones:
a)
b)
c)
49
Clase 3. Progresiones Aritméticas.
En la antigüedad las sucesiones se denominaban series o progresiones, nombre
derivado del latín progressio y utilizado por los matemáticos de la Edad Media
como Boecio y otros. En la actualidad se usa la palabra sucesión o secuencia en
lugar de progresión, quedando este último término asociado sólo a ciertos tipos
especiales de sucesiones como las progresiones aritméticas, geométricas y
armónicas.
Actividad 5.
Un hombre avanza en el primer minuto de su carrera seis metros y en cada minuto
posterior avanza cuatro metros más que el anterior. ¿Cuánto avanzó en el cuarto
minuto?, ¿Cuánto avanzo en el séptimo minuto?, ¿Cuánto avanzó en el decimo
minuto?
Figura 6.
Analicemos el problema:
Sabemos que un hombre avanza en el primer minuto de su carrera seis metros
como se puede observar en la figura 7.
Figura 7.
50
¿Cuánto avanza el hombre en el segundo minuto?
Como, el hombre avanza en el primer minuto de su carrera seis metros y además
cada minuto posterior avanza cuatro metros más que el anterior, se tiene que, en
el segundo minuto el hombre avanza diez metros.
.
Figura 8.
Ahora nos preguntamos, ¿cuánto avanzó en el tercer minuto?
Sabemos que, en el segundo minuto el avanza diez metros (figura 8). Se tiene
que, en el tercer minuto transcurrido avanza catorce metros ya que por cada
minuto posterior el avanza cuatro metros más que el anterior como se muestra en
la figura 3.
.
Figura 9
51
Nótese que, a medida que transcurren los minutos van generando un
comportamiento con relación a la cantidad de metros que avanza el hombre, como
se puede observar en el siguiente diagrama.
Minuto
Minuto
Minuto .
Diagrama 7.
Obsérvese el diagrama 7, se tiene que, después del primer avance del hombre,
los demás avances se obtienen sumando al anterior una cantidad de cuatro
metros.
Por lo tanto, la cantidad que avanza en el cuarto minuto, en el séptimo minuto y
decimo minuto siguen esa misma secuencia:
Minuto
Minuto
Minuto
Minuto
Minuto
Minuto
Minuto .
Diagrama 8.
Ahora, si nos preguntamos cuánto avanza el hombre en el cuarto, séptimo y
decimo minuto.
Por el diagrama 8 podemos observar que, en el cuarto minuto el hombre avanzó
dieciocho metros, séptimo minuto avanzó treinta metros y en el decimo minuto
avanzó cuarenta y dos metros.
Luego, los términos de la sucesión son,
52
.
Por lo tanto, el conjunto de términos de la sucesión viene dado por:
.
En donde, es el primer término, el segundo término el tercer término,
el cuarto término,
Es importante observar que, cada término de la sucesión después del primero, se
obtiene sumando una constante, generando un tipo de sucesión especial.
Retomando la actividad 5, se tiene que, para hallar cada términos, después del
primero, se obtienen, sumándole al anterior una cantidad constante de cuatro
metros.
Luego, los términos de la sucesión son:
Ahora nos preguntamos, cuánto avanza el hombre en minutos.
Nótese que, es el primer término de la sucesión, es el
segundo, es el tercer término de la sucesión y así
sucesivamente.
Es importante observar que, el segundo término de la sucesión es igual al primer
término más cuatro, el tercer término de la sucesión es igual al segundo término
más cuatro y así sucesivamente.
Es decir,
Sabemos que, el segundo término de la sucesión depende del primer término,
.
Además, el tercer término de la sucesión depende del segundo término y el
segundo término depende del primer término. Para el cuarto, quinto, sexto término
de la sucesión presentan ese mismo comportamiento.
Luego,
Por lo tanto, .
Para el cuarto término de la sucesión, se tiene que,
.
53
Así, .
Nótese que, a medida que transcurren los minutos van generando un
comportamiento con relación a los términos de la sucesión, como se puede
observar en el siguiente diagrama.
Minuto
Minuto
Minuto
Minuto .
Diagrama 9.
Obsérvese el diagrama 9, tenemos que, a partir del segundo término de la
sucesión el primer término es constante, , mientras que el coeficiente que
acompaña al valor numérico cuatro, es menor en una unidad con relación a los
minuto transcurrido respectivamente.
Por lo tanto, la cantidad que avanza en el quinto, séptimo y –enésimo minuto
siguen esa misma secuencia:
Minuto
Minuto
Minuto
– ésimo minuto .
Diagrama 10.
Luego, es el término general de la sucesión.
Ahora nos preguntamos, cuánto avanza el hombre en minutos.
Por el diagrama 10, tenemos que, en minutos el hombre avanza una cantidad
de:
54
, .
Sea un número real, se tiene que,
,
Actividad 6.
Compre una cierta cantidad de libros, en donde, por el primero pague diez
bolívares y por cada uno de los demás siete bolívares más que por el anterior.
¿Cuánto se paga por cuatros libros?, ¿Cuánto se paga por siete libros?, ¿Cuánto
se paga por diez libros?
Analicemos el problema.
Sabemos que, por el primer libro se paga una cantidad de diez bolívares, es decir,
Libro .
Ahora nos preguntamos, qué cantidad de dinero se paga por el segundo libro.
Es importante destacar que, por cada libro que se compre partiendo del primero
aumenta siete bolívares más que por el anterior. Como el primer libro costo diez
bolívares, se tiene que, el segundo tiene un costo de diecisiete bolívares.
.
Por lo tanto,
Libro .
¿Cuánto se paga por el tercer libro?
Como, el precio del segundo libro es de diecisiete bolívares si sumamos siete
bolívares más. Obtenemos, el precio a pagar por el tercer libro que es un total de
veinte y cuatro bolívares.
.
Así,
Libro
Esta expresión representa
el término general de una
progresión.
55
Nótese que, a medida que aumentan el número de compra de libros van
generando un comportamiento con relación al monto a pagar, es decir, después
de cancelar el primer libro por una cantidad de diez bolívares. Tenemos que, por
cada uno de los demás lo obtenemos sumándole siete bolívares más que el
anterior.
Por lo tanto, la cantidad que hay que pagar por la compra de los cuatro, siete y
diez primeros libros siguen esa misma secuencia:
Libro
Libro
Libro
Libro
Libro
Libro
Libro
Diagrama 11.
Como se puede observar en el diagrama 11, el precio que hay que pagar por la
compra de cuatro libros es de treinta y uno bolívares, por la compra de siete libros
es de cincuenta y dos bolívares, Además, por la compra de diez libros se paga
setenta y tres bolívares.
Es importante observar que, el monto a pagar depende de un número de libros,
en donde, N.
Por lo tanto, se genera una sucesión cuyos términos son:
, , , , , .
Por lo tanto, el conjunto de términos de la sucesión viene dado por:
.
56
Obsérvese que, cada término de la sucesión después del primero, se obtiene
sumando una constante, este tipo de sucesión se genero también en la actividad 5
dándose un tipo de sucesión especial.
¿Cuánto se paga por la cantidad de libros?
Sabemos que, la cantidad a sumar a cada término para obtener el siguiente
después del primero es de siete bolívares, .
Por obtenemos que, para comprar libros se necesita pagar una cantidad de:
, N.
Es importante destacar que, tanto para la actividad 5 y 6 presentan dos
sucesiones especiales ya que cada término, después del primero, se obtiene
sumando una cantidad constante.
A un tipo especial de sucesiones generadas por las actividad 5 y 6 llamaremos
progresiones:
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
Una progresión aritmética es una sucesión tal que cada término, después del
primero, se obtiene, sumándole al anterior una cantidad fija que se denomina
razón. Usualmente la razón es denotada con la letra .
Problemas de consolidación.
1. El señor Pérez contrajo una deuda con una tienda donde se vende autos,
comprometiéndose a pagar el valor total de un auto en cuarenta y cinco
meses, aportando ciento setenta bolívares el primer mes, ciento setenta y
dos el segundo mes, ciento setenta y cuatro el tercer mes y así
sucesivamente.
¿Cuánto aporta en el quinto, decimo y vigésimo mes?
¿Cuánto es el monto a pagar en el último mes?
2. Un ciclista recorre durante el primer minuto ochenta y cuatro metros, en el
segundo noventa, en el tercero noventa y seis y así sucesivamente.
¿Cuántos metros a recorrido en el sexto, decimo y decimo quinto
minuto?
¿Cuánto avanza en el – ésimo minuto?
3. Una deuda debe ser pagada en cuotas mensuales, con un incremento de
siete bolívares por cada cuota en dos años y medio. Si al cabo de un año y
57
cuatro meses, luego de pagar puntualmente las cuotas respectivas, el
deudor fallese. ¿Cuál es la cantidad que quedó sin cancelar, sabiendo que
la primera cuota pagada fue diez bolívares?
4. Una empresa arroja pérdidas desde hace dos años, descubriendo que cada
mes la pérdida aumenta mil trescientos bolívares más que el mes anterior.
Si en el último mes la pérdida fue de treinta mil setecientos bolívares.
¿Cuánto fue la pérdida en el cuarto, séptimo y decimo mes?
5. Las edades de tres hermanos están en progresión aritmética y suman
setenta y dos años, la edad del mayor es el triple del menor. ¿Cuál es la
edad de cada hermano?
6. De las siguientes sucesiones, di cuáles son progresiones aritméticas y
escribe su término general.
a)
b)
c)
d)
Clase 4. Interpolación de términos aritméticos.
Actividad 7.
Imagínese que a lo largo de una carretera se encuentran dos avisos de estación
de servicio, uno a 205 kilómetros y el siguiente a 310 kilómetros. Si la compañía
de gasolina decide colocar cinco anuncios más equidistantes entre los que ya
están en la carretera; ¿Qué debería hacer?
Analicemos el problema.
Sabemos que, el primer aviso de la estación se encuentra en el kilómetro 205 y el
último en el kilómetro 310, se desea colocar cinco anuncios más equidistantes
entre los que ya están. Es decir, la distancia que debe haber entre la primera
estación y la segunda tiene que ser la misma de la segunda a la tercera, de la
tercera a la cuarta, de la cuarta a la quinta y de la quinta a la sexta.
Esto quiere decir que, la diferencia que hay entre el segundo anuncio y el primero
es igual al tercero con el segundo, al cuarto con el tercero, el quinto con el cuarto y
sexto con el quinto.
58
Por lo tanto, existe una constante que sumada, después del primer aviso de
estación, se obtiene los demás anuncio.
Luego, entre los anuncios que se van a colocar y los que ya están generan una
progresión aritmética.
La cantidad de avisos que se desean colocar son cinco más dos anuncios que se
tienen originalmente, se tendría, la cantidad de siete términos de la progresión.
Consideremos , , , , , , términos de una progresión aritmética, en
donde, el primer término de la progresión es: y el último término es:
.
Ahora, el problema consiste en calcular el, (segundo término), (tercer
término), (cuarto término), (quinto término), (sexto término).
Recordemos que, si los términos de la sucesión , , , , , , están en
progresión aritmética, entonces, existe una constante tal que sumado a cada
término después del primero, se obtiene los demás términos.
Es decir,
, , , , ,
¿Cuánto vale r (razón) de la progresión aritmética?
Sabemos que, el término general de una de una progresión aritmética es,
, N.
Para , se tiene que, .
Así, .
Como, y . Tenemos que, .
Despejando, a la variable se obtiene que, .
Efectuamos la operación resta, .
Luego, .
Así, la distancia a la que hay que colocar los avisos es a 17,5 kilometro entre sí, lo
cual quedan perfectamente distribuidas.
Por lo anterior, .
59
Como y se tiene que, .
Por lo tanto, (segundo término).
Luego, .
Así, (tercer término).
Si y . Entonces .
Por lo tanto, (cuarto término).
Tenemos que, .
Entonces, (quinto término).
Ahora, se quiere hallar (sexto término).
Como y . Se tiene que, .
Luego, el sexto término de la sucesión es, .
Por lo tanto, los anuncios de gasolina se encontrarán apostados en:
km, km, km, km, km, km y km.
Actividad 8.
Se desea acceder al sistema de cajeros automáticos mediante una contraseña
formada por cuatro dígitos, con la finalidad de retirar una cantidad de dinero, pero
el usuario ha olvidado la clave, él recuerda que existe la posibilidad de obtener la
contraseña en su agenda, pues en su recordatorio solamente se puede leer dos
dígitos, el primero y el último, que son uno y siete respectivamente. Además el
recuerda que, los cuatros dígitos forman una progresión aritmética.
¿Cuáles son los otros dos dígitos?
Analicemos el problema.
Tenemos que, para acceder al sistema del los cajeros automáticos se necesita
una contraseña de cuatro dígitos. Por lo tanto, la sucesión posee cuatro términos,
en donde, es el primer término, segundo término, tercer término, cuarto
término.
60
Como, solamente se puede leer dos dígitos de su agenda, el primero y el último,
que son uno y siete respectivamente.
Así, y .
Ahora nos preguntamos, qué valor toma el segundo término y el tercer término de
la sucesión.
Sabemos que, los términos de la sucesión generan una progresión aritmética.
Recordemos que, si los términos de la sucesión , , , , están en progresión
aritmética, entonces, existe una constante tal que sumado a cada término
después del primero, se obtiene los demás términos.
Es decir,
, , .
¿Cuánto vale r (razón) de la progresión aritmética?
Sabemos que, el término general de una de una progresión aritmética es,
, N.
Para , tenemos que,
Así, .
Como, y , se tiene que, .
Despejando, se obtiene, .
Efectuamos la operación resta, .
Luego, .
Por lo anterior, .
Como y , sustituyendo, se obtiene que, .
Así, .
Tenemos que, .
Entonces, .
Los términos de la progresión aritmética son,
61
, , , .
Por lo tanto, la clave para acceder al sistema de los cajeros automáticos es: 1357.
Es importante destacar que, tanto para la actividad 7 y 8 consiste en intercalar
términos entre dos previamente dados.
Este proceso de intercalar términos es una sucesión es denominada
Interpolación.
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
Interpolar k términos aritméticos entre los números a y b de una progresión
aritmética es construir otra progresión de k + 2 términos de manera que a y b sea
los extremos.
Recordemos que, en la actividad 7 los términos a interpolar entre los dos que
están dados previamente son:
; ; ; ; .
Por lo tanto, la cantidad a interpolar es de cinco términos aritméticos.
Así se construye una progresión aritmética de siete términos que son:
; ; ; ; ; ; .
Ahora retomemos la actividad 8, se tiene que los términos a interpolar son:
; , .
Por lo tanto, la cantidad a interpolar es de dos términos.
Así se construye una progresión aritmética de cuatro términos que son:
, , , .
Problemas de consolidación.
1. En el primer mes de negocios una persona ganó quinientos bolívares y en
el último mil novecientos bolívares, si en cada mes ganó doscientos
bolívares más que el anterior. ¿Cuántos meses tuvo el negocio?
2. ¿Qué profundidad tendrá un pozo si por el primer metro se han pagado cien
bolívares y por el último doscientos ochenta bolívares?, ¿Qué profundidad
se tendrá en el segundo y quinto metro?
62
3. Pedro en su primer día de trabajo como conductor de busetas, su jefe le
informa que, la ruta que debe tomar consta de diez paradas, en donde la
primera se encuentra a cien metros y la ultima a quinientos cincuenta.
Además, las paradas restantes son equivalentes entres las que ya están.
Pedro desea saber a qué distancia se encuentran las demás paradas.
¿Qué debería hacer?
4. Por el alquiler de una casa durante un año se acuerda pagar en el primer
mes ochocientos bolívares y en último mes mil trescientos cincuenta
bolívares, con la condición que, cada mes después del primero aumenta
cincuenta bolívares más que el anterior. ¿Cuánto es el monto a pagar por
cada mes?
5. Interpolar seis medios aritméticos -9 y 8.
6. Interpolar tres medios aritméticos entre y .
Suma de términos de una progresión aritmética finita.
Actividad 9.
Una deuda de apuestas es cancelada en diez días, tal que, el primer día paga un
bolívar, el segundo día paga dos bolívares, el tercer día tres bolívares y así
sucesivamente.
¿Cuánto es el monto de la deuda?
Sabemos que, en el primer día paga un bolívar, en el segundo día se paga dos
bolívares, en el tercer día tres bolívares y así sucesivamente.
Nótese que, al transcurrir varios días van generando un comportamiento en la
cantidad de dinero a cancelar, como se puede observar en el siguiente diagrama.
día
día
día .
Diagrama 12.
Obsérvese el diagrama 12 tenemos que, cada cantidad de dinero que se debe
pagar a diario depende del número de días que transcurren.
63
Figura 10
Por lo tanto, en el octavo, noveno y decimo día siguen esa misma secuencia:
día
día
día .
Diagrama 13.
Por lo tanto, se obtiene una sucesión cuyos términos son:
.
Nótese que, cada término después del primero se obtiene sumándole al anterior
una cantidad fija, .
Por lo tanto, el problema genera una progresión aritmética.
¿Cuánto es el monto de la deuda?
Para responder esta pregunta es necesario sumar la cantidad que se paga cada
día transcurrido. Es decir,
Mientras somos niños, usamos nuestros dedos para contar y sumar, también los
podemos usar para sumar términos de una progresión aritmética finita.
¿Cuánto suman los números consecutivos del 1 al 10?
Veamos una forma de hacerlo usando los dedos.
Numeramos nuestros dedos del 1 al 10 como se observa en la figura 10.
64
Figura 11
Unimos las manos de forma que, primer número corresponda con el último, el
segundo con el antepenúltimo y así sucesivamente como se puede observar en la
figura 11,
Es importante observar que, la suma del primer término con el último, el segundo
con el antepenúltimo y así, sucesivamente arrojan la misma cantidad, es decir,
Ahora, sumamos los resultados obtenidos:
Así, la deuda haciende a un monto de, cincuenta y cinco bolívares.
Nótese que, la cantidad de sumandos dada anteriormente es cinco, depende, del
número de términos que posee la progresión, es decir, sabemos que, el número
de términos de la progresión es diez al dividirlo entre dos obtenemos cinco que
corresponde la cantidad de sumandos. Luego,
.
Ahora, recordaremos una anécdota del gran matemático alemán Carl Friedrich
Gauss (1777-1855). A los diez años su maestro propuso en la clase calcular la
suma de los cien primeros números naturales, es decir, del al . Apenas el
.
65
maestro había terminado de dictar el problema, Gauss coloco en la mesa del
maestro su pizarra con el resultado de la suma.
El problema consiste, en calcular la suma de los cien primeros números naturales,
es decir,
Nótese que, los números del al genera una sucesión, en donde,
.
Es importante observar que, cada término después del primero, se obtiene,
sumando una constante . Por lo tanto, es una progresión aritmética.
Aplicando la misma técnica que la anterior para sumar términos de una
progresión aritmética, en donde, se suma el primero con el último, el segundo
con el antepenúltimo y así sucesivamente. Se obtiene que,
Nótese que, el número de términos de la progresión es cien al dividirla entre dos
obtenemos la cantidad de sumandos dada anteriormente. Luego, lo multiplicamos
por el resultado obtenido de la suma del primero con el último, se tiene que,
.
Así, la suma de los de los números consecutivos del al es igual a . Es
decir, .
Esto quiere decir que, para sumar términos de una progresión aritmética se
puede realizar sumando el primero con el último, el segundo con el antepenúltimo
y así sucesivamente. Luego, el resultado de la suma del primero con el último se
multiplica por el número de términos de la progresión, después, se divide entre
dos.
.
66
Actividad 10.
Un escritor publica una novela cada dos años, sin interrupciones, logrando
publicar solamente una cantidad de ocho ejemplares.
¿En cuántos años publicará su octava novela?
Analicemos el problema.
Sabemos que, su primera novela es publicada al cabo de dos años.
Ahora nos preguntamos, cuántos años tarda en publicar su segunda novela.
Como el escritor publica una novela por cada dos años, se tiene que, en el
segundo ejemplar es publicado en cuatro años.
Así, la tercera novela es publicada en seis años.
Nótese que, al escribir varias novelas van generando un comportamiento en los
años que tarda para publicarlas, como se puede observar en el siguiente
diagrama.
Novela años
Novela años
Novela años.
Diagrama 14.
Obsérvese el diagrama 14, se tiene que, cada término después del primero, se
obtiene, sumándole al anterior una cantidad fija de dos años.
Por lo tanto, los años que tarda en publicar la cuarta, quinta, sexta, séptima y
octava novela siguen esa misma secuencia:
Novela años
Novela años
Novela años
Novela años
Novela años.
Diagrama 15.
67
Por lo tanto, se genera una sucesión, en donde los términos vienen dados por:
.
Como, cada término después del primero, se obtiene, sumando una cantidad de
dos años, por lo tanto, es una progresión aritmética.
¿Cuántos años de su vida tarda en publicar su octava novela?
Para responder esta pregunta es necesario sumar los términos de la progresión
aritmética. Es decir,
Si sumamos el primer término con el último, el segundo con el ante penúltimo y así
sucesivamente. Se tiene que,
Nótese que, el número de términos de la progresión es ocho al dividirla entre dos
obtenemos la cantidad de sumandos dada anteriormente. Luego, lo multiplicamos
por el resultado obtenido de la suma del primero con el último, se tiene que,
.
Por lo tanto, tarda setenta y dos años de su vida para publicar su octava novela.
Es importante destacar que, tanto para la actividad 9 y 10 presentan un tipo de
sucesiones especiales (progresión aritmética). En donde, se efectuó la operación
suma de términos de una progresión aritmética finita.
Lo que es pertinente considerar en este momento.
Consideremos una progresión aritmética de términos finitos:
.
La suma de los términos que conforma una progresión aritmética finita viene
dada por,
.
68
.
Usualmente la suma se denota con la letra o , es decir,
.
Si sumamos como se realizo en la actividad 9 y 10, es decir, el primero término de
la progresión con el último, el segundo con el antepenúltimo y así sucesivamente,
se obtiene:
Nótese que, el número de términos de la progresión es , con N, esté al ser
dividido entre dos, nos permite obtener la cantidad de sumandos dada
anteriormente. Luego, al ser multiplicado por el resultado obtenido de la suma del
primero con el último, se tiene que,
, N.
Ahora, si retomamos la actividad 9, tenemos que, los términos de la progresión
son:
.
Queremos hallar la suma de los diez primeros términos de la progresión
Sabemos, es el primer término y es el último término. Además, se
tiene que, el número de términos de la progresión es, . Luego por ,
.
Así, la suma de los diez primero términos de la progresión es: .
Lo cual coincide con el resultado de la actividad 9, como se estaba esperando.
.
Es importante observar
que, representa la
cantidad de término que
posee una progresión
aritmética.
69
Problemas de consolidación.
1. Un dentista arregla treinta y dos piezas a una persona cobrándole, por la
primera diez bolívares y por cada una de las demás tres bolívares más que
por la anterior. ¿Cuánto cobró el dentista?
2. ¿Cuánto ha ahorrado un hombre en cinco años si en enero del primer año
ahorro mil bolívares y en cada mes posterior ahorró quinientos bolívares
más que el anterior?
3. Una deuda puede ser pagada en treinta y dos semanas pagando cinco
bolívares la primera semana, ocho bolívares por la segunda, once por la
tercera, y así sucesivamente. ¿Cuánto es el importe de la deuda?
4. Hallar la suma da los cien primeros números pares positivos.
5. Calcular la suma de los veinte y cinco primeros términos de las siguientes
progresiones aritméticas:
Clase 5. Progresión geométrica.
Actividad 11.
En una camisa hay diez ojales (abertura en la ropa donde entra el botón). Una
costurera cobra por hacer el primero; por el segundo; por el
tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto cobrará la costurera por hacer el sexto,
séptimo y decimo ojal de la camisa?
Analicemos el problema.
Sabemos que, la costurera cobra una cantidad de Bs por el primer ojal de
la camisa; por el segundo cobra ; por el tercero y así sucesivamente.
Nótese que, a medida que la costurera hace cada ojal de la camisa va generando
un comportamiento con relación a la cantidad a pagar, como se puede observar en
el siguiente diagrama.
70
Ojal
Ojal
Ojal .
Diagrama 16.
Obsérvese el diagrama 16, se tiene que, la cantidad que se cancela por cada ojal
hecho es el doble de la que se paga anteriormente. Por lo tanto, la cantidad que se
paga por el cuarto ojal, quinto ojal y decimo ojal de la camisa siguen esa misma
secuencia. Es decir,
Ojal
Ojal
Ojal
Ojal
Ojal
Ojal
Ojal .
Diagrama 17.
¿Cuánto cobrará la costurera por hacer el sexto, séptimo y decimo ojal de la
camisa?
Así, por el diagrama 17, tenemos que, la cantidad que se cancela por el sexto ojal
de la camisa es de .
Por el séptimo se paga una cantidad de .
Luego, por el decimo ojal de la camisa que hace la costurera se paga una cantidad
de .
Por lo tanto, se presenta una sucesión cuyos términos son:
.
71
Es importante observa que, el segundo término de la sucesión se obtiene
sumando una cantidad de cien al primer término, es decir,
.
Pero, si al segundo término de la sucesión se le suma una cantidad de cien no
genera el tercer término,
.
Por lo tanto, la sucesión que se genera no es aritmética ya que no existe una
cantidad fija que al sumarse al anterior después de primero se obtenga cada
término de la sucesión.
Es importante observar que, el segundo término de la sucesión se obtiene
doblando la cantidad del primer término, es decir, multiplicándolo por dos.
.
Además, el tercer término se obtiene doblando la cantidad del segundo término, es
decir, multiplicándolo por dos y así sucesivamente, se tiene que,
.
Esto quiere decir que, cada término después del primero se obtiene multiplicando
el anterior por dos.
Supongamos que, la camisa posee una cantidad de ojales.
Nos preguntamos, cuánto cobrará la costurera por hacer el – ésimo ojal de la
camisa.
Los términos de la sucesión son;
Nótese que, , es el primer término de la sucesión, es
el segundo, , es el tercer término de la sucesión y así
sucesivamente.
Es importante observar que, el segundo término de la sucesión es igual al primero
multiplicado por dos, el tercer término es igual al segundo término multiplicado por
dos y así sucesivamente.
Es decir,
72
, , , , .
Luego, .
Para el cuarto término de la sucesión se tiene que,
.
Obsérvese que, a medida que la costurera hace cada ojal de la camisa va
generando un comportamiento con relación a la cantidad a pagar, como se puede
observar en el siguiente diagrama.
Ojal
Ojal
Ojal
Ojal .
Diagrama 18.
Por el diagrama 18, tenemos que, a partir del segundo término de la progresión el
primer término es constante, , mientras que el exponente de la entero ,
es menor en una unidad con relación al número de ojales (términos de la
sucesión) que hace la costurera.
Por lo tanto, la cantidad a pagar por el quinto, el sexto, séptimo y – ésimo ojal de
la camisa siguen esa misma secuencia:
Ojal
Ojal
Ojal
–ésimo ojal
Diagrama 19.
73
Luego, el término general de la sucesión es: , N.
Ahora nos preguntamos, cuánto cobrará la costurera por hacer el – ésimo ojal
de la camisa.
Por el diagrama 19, tenemos que, por hacer el – ésimo ojal de la camisa ella
cobra una cantidad de:
, N.
Sea un número real con , se tiene que,
, N.
Actividad 12.
Los primeros indicios de tal progresión se encuentra en Babilonia (ca. 2000 a.C.).
En el Papiro de Rhind hay un curioso problema, conduce a una progresión, que
se lee como sigue.
En siete casas hay siete gatos; cada gato mata siete ratones; cada ratón podría
haberse comido siete espigas de espelta (es una variedad de trigo) y cada espiga
podría haber producido siete hekat (es una medida de trigo) de grano. ¿Cuántos
granos se han salvado gracias a los gatos?
Analicemos el problema.
Sabemos que, en total hay siete casas y cada una de ellas posee siete gatos.
Ahora nos preguntamos, cuántos gastos hay en total.
Si multiplicamos las siete casas por el total de gatos que hay en una de ellas, se
obtiene, cuarenta y nueve que corresponde al número de gatos de gato que hay.
(Total de gatos que hay).
¿Cuántos ratones pudieron existir?
Como cada gato mata siete ratones, se tiene que, el número de ratones se
obtiene, multiplicando el total de gatos que hay por la cantidad de ratones que
mueren por cada uno de ellos. Es decir,
(Total de ratones que pudieron existir).
Esta expresión representa
el término general de una
progresión geométrica.
74
Además, cada ratón podría haberse comido siete espigas de espelta.
¿Cuántas espigas de espelta pudieron haberse comido?
Multiplicando, el total de ratones que hay por el número de espigas que podría
comerse cada ratón, obtenemos, el número de espigas que pudieron haberse
comido.
(Total de espigas que pudieron haberse comido).
Luego, cada espiga podría haber producido siete hekat de grano.
¿Qué cantidad de grano pudo producirse?
Ahora, si multiplicamos el total de espigas por siete hekat de grano que produce
cada una, se obtiene, la cantidad de granos en total.
(Cantidad de granos en total).
Así, la cantidad de granos que se han salvado gracias a los gatos es: .
Es importante observar que, cada cantidad dada anteriormente genera una
secuencia.
Por lo tanto, se presenta una sucesión finita cuyos términos son:
.
Luego, el segundo término de la sucesión, se obtiene, sumando una cantidad de
cuarenta y dos al primer término, es decir,
.
Pero, si al segundo término de la sucesión se le suma cuarenta y dos no genera el
tercer término, es decir,
.
Por lo tanto, la sucesión que se genera no es aritmética ya que no existe una
cantidad fija que al sumarse al anterior, después del primero, se obtengan los
demás términos.
Es importante observar que, si al primer término de la sucesión se multiplica por
siete se obtienen el segundo, luego si al segundo término le efectuamos la misma
operación que la anterior, obtendremos el tercer término y así sucesivamente. Es
decir, estamos en presencia de una sucesión especial, donde cada término a partir
del primero se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo. Es decir,
75
Si al primer término de la sucesión lo multiplicamos por siete. Se obtiene, el
segundo término.
.
Ahora, si al segundo término de la sucesión se multiplica por siete, obtendremos,
el tercero, es decir,
.
En donde, reproduce el tercer término de la sucesión y así sucesivamente.
Esto quiere decir que, cada término de la sucesión, después del primero, se
obtiene multiplicando al anterior por siete.
Tenemos que los, términos de la sucesión son:
.
Ahora supongamos que, los términos da la sucesión se extienden indefinidamente.
Es decir,
Luego, el término general de la sucesión viene dado por:
Sabemos que, la constante a multiplicar a cada término después del primero es
siete, .
Por obtenemos que, el término general de la sucesión es:
, N.
Es importante destacar que, tanto para la actividad 11 y 12 presenta dos
sucesiones especiales ya que cada término, después del primero, se obtiene
multiplicando el anterior por una constante fija.
A este tipo de sucesiones las llamaremos progresiones geométricas.
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término, después
del primero, se obtiene multiplicando al anterior por una constante no nula fija que
se le denomina razón, usualmente se denota con la letra .
Ahora consideremos la actividad 11, cada término a partir del primero se obtiene al
multiplicarlo por dos.
76
Así, la razón de la progresión geométrica es, .
Retomando la actividad 12 se tiene que, para hallar cada término, después del
primero, se obtienen, multiplicando el anterior por siete. Por lo tanto, la razón es
siete, .
Problemas de consolidación.
1. El lunes gane dos bolívares y cada día, después gané el doble de lo que
gané el día anterior. ¿Cuánto gané el primer jueves, sábado y domingo?
2. Un dentista arregla veinte piezas a una persona cobrándole cinco bolívares
por la primera, diez bolívares por la segunda, veinte bolívares por la tercera,
cuarenta bolívares por la cuarta y así sucesivamente. ¿Cuánto el dentista
cobrara a la persona por la sexta, decima y vigésima pieza?
3. Un hombre jugó durante ocho días y cada día ganó un tercio de lo que ganó
el día anterior. Si el octavo día ganó un bolívar. ¿Cuánto ganó el primer
día?
4. En una progresión geométrica de cinco términos, en donde, el cuadrado del
tercero es igual a un noveno. Si el último es dos noveno. ¿Cuál es el
primero?
5. De las siguientes sucesiones, ¿cuáles son progresiones geométricas?
Escriba tres términos de la sucesión y también su término general.
a)
b)
c)
d)
Clase 6. Suma de términos de una progresión geométrica finita.
Actividad 13.
Todas las leyendas sobre el origen del ajedrez coinciden en indicar que un rey,
fascinado por lo interesante del juego, quiso premiar al inventor, un sacerdote
hindú llamado Sessa, ofreciéndole lo que quisiera, quien le contestó que se
conforma con un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la
segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, y así doblando la cantidad hasta
la casilla 64 del tablero de ajedrez. El rey ordenó a su visir que preparara el premio
solicitado.
77
Analicemos el problema.
Sabemos que, por la primera casilla el sacerdote pide un grano de trigo.
Casilla grano de trigo.
Además, por la segunda casilla el sacerdote le solicita al rey dos granos de trigos.
Casilla granos de trigo.
Luego, el sacerdote solicita por la tercera casilla cuatro granos de trigo.
Casilla granos de trigo.
Por la cuarta casilla del tablero de ajedrez el sacerdote solicita una cantidad de
ocho granos de trigo.
Casilla granos de trigo.
Ahora nos preguntamos, ¿cuántos granos de trigo el sacerdote estará solicitando
por la quinta y séptima casilla del tablero del ajedrez?
Nótese que, la cantidad de trigo que recibe el sacerdote por cada casilla, se
obtiene, duplicando la cantidad anterior, después de la primera.
Casilla granos de trigo
Casilla granos de trigo
Casilla granos de trigo.
Diagrama 20.
78
Tabla 2
Así, por la quinta casilla el solicita una cantidad de dieciséis granos de trigo, y por
la séptima sesenta y cuatro granos de trigos.
¿Cuántos granos de trigo solicita el sacerdote por la casilla número sesenta y
cuatro?
Es importante observar que, a medida que van transcurriendo el número de
casillas genera un comportamiento con relación a la cantidad de trigo que recibe el
sacerdote. Como se puede observar en la tabla 2.
Como puede verse, tenemos que, la cantidad de granos de trigo que se genera a
medida que va transcurriendo el número de casillas del tablero de ajedrez, cumple
con la relación de que la base es constante mientras que el exponente es menor
en una unidad con relación a la cantidad de casillas.
Por lo tanto, la cantidad de granos de trigo que el sacerdote solicita por la octava,
décima y hasta la última casilla del tablero de ajedrez sigue esa misma secuencia.
Casilla granos de trigo
Casilla granos de trigo
Casilla granos de trigo
ésima casilla granos de trigo.
Diagrama 21.
N° de casillas Cantidad de trigo
79
Como, a medida que van transcurriendo el número de casillas se genera un
comportamiento con relación a la cantidad de trigo, se obtiene una sucesión cuyos
términos son:
.
¿Será la sucesión una progresión aritmética?
Hallar la diferencia entre los dos primeros términos, se obtiene, el siguiente
resultado.
.
Ahora, sumando al primer término de la sucesión una unidad, obtenemos que,
.
Generando el segundo término de la sucesión, .
Luego, el segundo término de la sucesión le sumamos una unidad, se tiene que,
.
Por lo anterior, tenemos que sumándole al primer término de la sucesión uno,
obtenemos, el segundo. Pero sumando esa misma cantidad al segundo término no
obtenemos el tercero.
Por lo tanto, la sucesión que se genera no es aritmética, ya que no existe una
cantidad fija que al sumarle al anterior después de primero se obtenga cada
término de la sucesión.
¿Será la sucesión una progresión geométrica?
Multipliquemos el primer término de la sucesión por dos, se obtiene, lo siguiente.
.
Obtenemos el segundo término de la sucesión, .
Ahora, si multiplicamos al segundo término de la sucesión por dos, obtenemos
.
Generando el tercer término de la sucesión, .
Luego, multiplicamos al tercer término de la sucesión por dos, se tiene que,
80
.
Obteniéndose el cuarto término de la sucesión, .
Y así sucesivamente, en donde cada término de la sucesión después del primero,
se obtiene, multiplicando al anterior por dos.
Por lo tanto, la sucesión es una progresión geométrica.
Como cada término de la sucesión después del primero, se obtiene, multiplicando
al anterior por dos, se tiene que, la razón es igual a dos,
Así, la cantidad de trigo que el sacerdote debe recibir viene dada por.
.
Obsérvese que, para desarrollar la operación anterior es complicado ya que la
cantidad de sumandos que se presentan son varios. Por lo cual, buscaremos una
manera más sencilla para realizar la suma de una progresión geométrica finita.
Para lograr nuestro objetivo, consideremos una progresión geométrica finita, es
decir.
.
La suma de términos que conforman una progresión geométrica finita viene
dada por,
.
Usualmente la suma se denota con la letra o , es decir,
. (4)
Como la progresión es geométrica, se tiene que, el término general es:
, N y .
Está expresión nos permite calcular cualquier término de la progresión. Por lo
tanto,
, , , ,
.
Sustituyendo en (4) se obtiene que,
(5)
81
Si multiplicamos la expresión número (5) por , con , obtenemos.
. (6)
Ahora, la ecuación (6) se multiplica por obteniéndose.
. (7)
Luego, sumandos la ecuación (5) y (7) se tiene.
(5)
(7)
, resulta que .
Así,
, N y .
Retomemos la actividad 13, en donde, la cantidad de trigo que el sacerdote debe
recibir viene dada por.
.
Por se tiene que, para calcular la suma de términos de una progresión
geométrica finita viene dada por.
Nótese que, el número de términos de la sucesión es sesenta y cuatro, la razón de
la progresión es dos y el primer término es 1. Es decir,
Esta expresión general nos
permitirá calcular la suma de
cualquier cantidad de
términos de una progresión
geométrica.
82
, y .
Luego,
.
Por lo tanto, la cantidad de granos de trigo que el sacerdote solicita es:
.
El visir quien hizo los cálculos, se dio cuenta que era imposible cumplir la orden,
ya que para cumplir la solicitud del sacerdote, con la producción actual de trigo,
necesariamente tendría que transcurrir aproximadamente 1230 años.
Actividad 14.
Se compra una finca de dos mil hectáreas a pagar en diez años de este modo: un
bolívar el primer año, tres el segundo, nueve el tercero, y así sucesivamente.
¿Cuál es el importe de la finca?
Analicemos el problema.
Sabemos que, por el primer año se debe cánsela un monto de un bolívar.
Año .
Además, por el segundo año se debe paga una cantidad de tres bolívares.
Año .
Luego, por el tercer año se debe cánsela una cantidad de nueve bolívares.
Año .
83
Ahora nos preguntamos, cuánto se deberá pagar por el cuarto, quinto, sexto y
décimo año.
Es importante que, la cantidad que se debe pagar cada año, se obtiene, triplicando
el monto anterior, después, de la primera. Es decir,
Año
Año
Año
Año
Año
Año
Año .
Diagrama 22.
Así, por el cuarto se debe pagar veintisiete bolívares, por el quinto ochenta y uno,
por el sexto doscientos cuarenta y tres, y en el decimo año diecinueve mil
seiscientos ochenta y tres.
Es importante observar que a medida que van transcurriendo los años se va
generado un comportamiento con relación a la cantidad a la cantidad que se debe
pagar., se tiene que se genera una sucesión cuyos los términos son:
,
.
¿Será la sucesión una progresión aritmética?
Hallaremos la diferencia entre los dos primeros términos, se obtiene, el siguiente
resultado:
.
Ahora, sumando al primer término de la sucesión dos, obtenemos que,
, generando el segundo término de la sucesión,
84
.
Luego, el segundo término de la sucesión le sumamos dos, se tiene que,
.
Por lo anterior, tenemos que sumándole al primer término de la sucesión dos,
obtenemos, el segundo. Pero sumando esa misma cantidad al segundo término no
obtenemos el tercero.
Por lo tanto, la sucesión que se genera no es aritmética ya que no existe una
cantidad fija que al sumarse al anterior después de primero se obtenga cada
término de la sucesión.
¿Será la sucesión una progresión geométrica?
Sabemos que, multiplicando al primer término de la sucesión por 3, se obtiene, lo
siguiente.
, obtenemos el segundo término de la sucesión,
.
Ahora, si multiplicamos al segundo término de la sucesión por tres, obtenemos
.
Generando el tercer término de la sucesión,
.
Luego, multiplicamos al tercer término de la sucesión por tres, se tiene que,
.
Obteniéndose el cuarto término de la sucesión,
.
Y así sucesivamente, en donde cada término de la sucesión después del primero,
se obtiene multiplicando al anterior por tres.
Por lo tanto, la sucesión es una progresión geométrica.
Como cada término de la sucesión después del primero, se obtiene, multiplicando
al anterior por tres, se tiene que, la razón es igual a tres, .
85
Así, el importe de la finca viene dada por.
.
Es decir,
Nótese que, el número de términos de la sucesión es diez, la razón de la
progresión es tres mil y el primer término es 1000. Por lo tanto,
, y .
Por , se tiene que, para calcular la suma de términos de una progresión
geométrica finita viene dada por.
.
Por lo tanto, el monto a pagar por la finca es de veinte nueve mil quinientos veinte
cuatro bolívares.
Problemas de consolidación.
1. Un hombre que ahorra cada año los dos tercio de lo que ahorró el año
anterior, sabiendo que, en el primer año ha logrado ahorrar una cantidad de
ochenta y un bolívar. ¿Cuánto ha ahorrado en los cinco años?
2. El lunes gané cinco bolívares y cada día después, el doble de lo que gané
el anterior. ¿Qué cantidad de dinero se recibe al transcurrir la primera
semana, es decir, de lunes a sábado?
3. En una progresión geométrica de cinco términos el cuadrado del tercer
término es Si el último término es ¿Cuál es el primero?
4. Calcular la suma de los veinte y cinco primeros términos de las siguientes
progresiones geométricas.
a) ,
b) ,
c)
5. El cuarto término de una progresión geométrica es y el séptimo es
¿Cuál es el sexto término?
86
Interpolación de términos geométricos.
Actividad 15.
Juan es contratado en una empresa de construcción por un tiempo de cinco
meses, ganando cuatrocientos bolívares por el primer mes y seis mil cuatrocientos
bolívares por el último. Sabiendo que, por motivo de su desempeño en su trabajo
su jefe decidió aumentar su sueldo cada mes generando una progresión
geométrica. ¿Qué cantidad de dinero recibe en los meses restantes?
Analicemos el problema.
Sabemos que, por el primer mes de trabajo gana una cantidad de cuatrocientos
bolívares y por el último seis mil cuatrocientos. Además Juan es contratado por un
tiempo de cinco meses, en donde su sueldo aumenta cada mes generando una
progresión geométrica.
Como, Juan es contratado por cinco meses. Se tiene que, la progresión consta de
cinco términos.
Consideremos , , , , términos de una progresión geométrica, en
donde, el primer término de la progresión es: y el último término es:
.
Ahora, el problema consiste en calcular el (segundo término), (tercer
término) y (cuarto término).
Recordemos que, si los términos , , , , están en progresión
geométrica, se tiene que, existe una constante , tal que multiplicada a
cada término después del primero se obtienen los demás términos.
Es decir,
, , , .
¿Cuánto vale r (razón) de la progresión geométrica?
Sabemos que el término general de una de una progresión geométrica es,
, N y .
Para , se tiene que,
Así, .
Como, y . Tenemos que, .
87
Despejando, a la incógnita se obtiene que, . De donde, .
Luego, , y así, .
Como el sueldo de Juan aumenta cada mes, se tiene que, , y es .
Por lo tanto, a cada término, después del primero se obtiene multiplicando por dos.
Por lo anterior, .
Como y se tiene que, .
Tenemos que (segundo término).
Luego, .
Así, (tercer término).
Si y . Entonces .
Entonces, (cuarto término).
En consecuensia, los términos de la progresión son:
, , , , .
Y, la cantidad de dinero que recibe en el segundo, tercero y cuarto mes es:
, y .
Actividad 16.
Antonio decide pedir un crédito al banco con la finalidad de comprar una casa
comprometiéndose a pagarlo en seis cuotas, si por la primera debe paga una
cantidad de cien bolívares y por la última veinte cuatro mil trescientos bolívares.
De tal forma que, el número de cuotas a pagar generen una progresión
geométrica. ¿Cuánto se debe pagar por las cuotas restantes?
Analicemos el problema.
Sabemos que, por la primera cuota debe pagar una cantidad de cien bolívares y
por la última veinte cuatro mil trescientos bolívares. Además, el número de cuotas
a pagar generan una progresión geométrica.
Como, Antonio debe pagar la deuda en seis cuotas. Se tiene que la progresión
consta de seis términos.
88
Consideremos , , , , , términos de una progresión geométrica, en
donde, el primer término de la progresión es: y el último término es:
.
Ahora, el problema consiste en calcular el (segundo término), (tercer
término), (cuarto término) y (quinto término).
Recordemos que, si los términos , , , , , están en progresión
geométrica, se tiene que existe una constante , tal que multiplicada a cada
término después del primero, se obtiene los demás términos.
Es decir,
, , , y .
¿Cuánto vale r (razón) de la progresión geométrica?
Sabemos que el término general de una de una progresión geométrica es,
, N y .
Para , se tiene que, .
Así, .
Como, y , tenemos que .
Despejando a la incógnita se obtiene que, .
De donde, .
Luego, , y así, .
Por lo tanto, a cada término, después del primero, se obtiene multiplicando por
tres.
Por lo anterior, .
Como y se tiene que, .
Tenemos que, (segundo término),
.
Así, (tercer término).
Si y . Entonces .
89
Obteniéndose, . (Cuarto término).
Si y . Se tiene que, .
Entonces, (Quinto término).
Se obtiene que, los términos de la progresión son:
, , , , , .
En conclusión, la cantidad que se debe pagar por la segunda, tercera, cuarta y
quinta cuota es: , , y .
Es importante destacar que las actividades 15 y 16 requieren en intercalar
términos entre dos previamente dados.
Este proceso de intercalar términos es una progresión se llama Interpolación.
Con lo que es pertinente definir aquí lo que sigue:
Interpolar k términos geométricos entre los números a y b de una progresión
geométrica es construir otra progresión de k + 2 términos de manera que a y b
sea los extremos.
Recordemos que, en la actividad 15 los términos a interpolar entre los dos que
están dados previamente son:
, y .
Por lo tanto, la cantidad a interpolar es de tres términos geométricos.
Así se construye una progresión geométrica de cinco términos que son:
, , , , .
Ahora retomemos la actividad 16, se tiene que los términos a interpolar son:
, , , .
Por lo tanto, la cantidad a interpolar es de cuatro términos.
Así se construye una progresión geométrica de seis términos que son:
, , , , , .
90
Problemas de consolidación.
1. Un conductor en su automóvil recorre diez kilometro en un cierto tiempo, si
por el primer kilometro dura tres minutos y por el último tres minutos.
Además el tiempo que tarda en recorrer los diez kilómetros genera una
progresión geométrica. ¿Qué tiempo tarda el conductor en recorrer los
kilómetros restantes?
2. Un hombre jugó durante ocho días y cada día gana un medio de lo que
recibe el día anterior. Si en el primer día ganó doscientos cincuenta y seis
bolívares y por el último dos bolívares. ¿Qué cantidad recibe por los días
restantes?
3. Los ahorros de ocho años de un hombre están en progresión geométrica.
Si por el primer año ahorra una cantidad de doscientos bolívares y por el
último veinte y cinco mil seiscientos bolívares. ¿Qué cantidad ahorra en los
años restantes?
4. Interpola 3 tres medios geométricos entre 5 y 3125.
5. Interpola 4 tres medios geométricos entre -7 y -224.
91
5.4 Resumen conceptual.
Sucesiones: Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los
números naturales y el rango está contenido en el conjunto de los números
reales. A las imágenes del conjunto de llegada las llamaremos términos de la
sucesión. (Sucesión infinita).
Aclaratoria: Si el dominio de la función es el conjunto de los primeros números
naturales, se tiene que, el conjunto de términos de la sucesión es finito. Por lo
tanto, la sucesión se la llama finita.
Progresión: Sucesión de números o términos algebraicos entre los cuales hay una
ley de formación constante (aritmética, geométrica y armónica)
Progresiones aritméticas: Una progresión aritmética es una sucesión tal que
cada término, después del primero, se obtiene, sumándole al anterior una cantidad
fija que se denomina razón. Usualmente la razón es denotada con la letra .
Progresiones geométricas: Una progresión geométrica es una sucesión en la
que cada término, después del primero, se obtiene multiplicando al anterior por
una constante no nula fija que se le denomina razón, usualmente se denota con la
letra .
Interpolación de términos aritméticas: Interpolar k términos aritméticos entre los
números a y b de una progresión aritmética es construir otra progresión de k + 2
términos de manera que a y b sea los extremos.
Interpolación de términos geométricos: Interpolar k términos geométricos entre los
números a y b de una progresión geométrica es construir otra progresión de k +
2 términos de manera que a y b sea los extremos.
92
CAPITULO 6
Factibilidad De La Propuesta, Recomendaciones y Conclusiones.
6.1 Funcionamiento.
Se pretende seleccionar al azar una cierta cantidad de docentes en el área de Matemática
de diferentes instituciones del primer año del ciclo diversificado, que estén dispuestos a
aplicar la Propuesta de Orientación Didáctica a la hora de abordar el tema de sucesiones
numéricas en el bachillerato, con la finalidad de detectar si la herramienta de enseñanza
diseñada cumple con las metas planteadas anteriormente; para este efecto, se ha de
diseñar un instrumento de evaluación de cada clase.
Es importante observar que el diseño de la Propuesta de Orientación Didáctica está
estructurado a fin de ser desarrollada en seis clases, en las que cada una de ellas se ha
de presentar diversos contenidos matemáticos y tiene como principal función generar
conceptos a partir de problemas vivenciales, todo esto de la siguiente manera:
Clase 1. Se trabaja con problemas aplicados que tienen trascendencias históricas, esto
con la finalidad de motivar al alumnado con relación al tema, y así introducir el concepto
de sucesiones numéricas (duración de la clase noventa minutos).
Clase 2. Se presentan diversos problemas aplicados a nuestro vivir diario, con la finalidad
de relacionarlos con el tema da sucesiones numéricas, y así determinar los términos que
conforman a la sucesión, luego poder detectar ciertos comportamientos entre ellos para
obtener el término general (duración de la clase noventa minutos).
En las clases posteriores, se siguen presentando problemas aplicados, en donde surgen
nuevas interrogantes que conllevan a generar conceptos con relación al tema de
sucesiones numéricas (progresiones aritméticas y geométricas, suma de términos e
interpolaciones).
6.1.1 Fases.
. Seleccionar al azar un grupo de docentes en el área de matemáticas.
. Repartir el material (Propuesta de Orientación Didáctica, instrumento de
evaluación de cada clase) a cada docente seleccionado.
93
6.2 Personal requerido.
Para llevar a cabo las actividades planteadas en la Propuesta de Orientación Didáctica se
requiere de un grupo de veinte y cinco docentes en el área de matemáticas del primer año
del ciclo diversificado, además, una o dos personas (coordinadores).
Nota: Estos coordinadores van hacer los encargados de: seleccionar el grupo de docentes
al azar, repartir el material respectivo, y principalmente van a estar en contacto con los
docentes diariamente con la finalidad de informarse del desenvolvimiento de la Propuesta
de Orientación Didáctica a la hora de ir exponerse a los estudiantes.
6.3 Estudio de costos y financiamientos.
6.3.1 Estudio de costos.
Materiales
costo
Dos remas de papel tipo carta para impresora
de inyección de tinta (ALPES).
50 Bs
Dos cartuchos de tinta (blanco, negro) (HP 98) 300 Bs
Dos cartuchos de tinta (color) (HP 93) 180 Bs
Tres lapiceros 3 Bs
Dos cajas de marcadores expo 100 Bs
Total = 533 Bs
6.3.2 Financiamientos.
1. Ministerio de educación (Mérida).
2. Universidad de los Andes (CDCHT).
3. Gobernación y Alcaldía.
4. Otras instituciones.
6.4 Factibilidad del modelo propuesto.
94
Para determinar la factibilidad de la Propuesta de Orientación Didáctica, la misma fue
sometida a un juicio protagonizado por cinco expertos que laboran en el bachillerato en el
área de Matemáticas; para esto se utilizó un instrumento destinado a evaluar cada clase
de acuerdo a una serie de criterios como:
1. Presentación, constituye el cuerpo o forma de la propuesta.
2. Secuencia conceptual, referida al encadenamiento y organización pertinente de los
conceptos a desarrollar.
3. Ejemplos ilustrados, referida a la utilización de dibujos y/o diagramas para modelar
un tópico.
4. Problemas contextualizados, se refiere a situaciones que involucren el medio
ambiente en el que se desenvuelven los estudiantes.
5. Estrategia didáctica, correspondiente al método de enseñanza empleado.
6. Fundamento matemático, referido al basamento que nos permite construir los
contenidos de las sucesiones.
Se le plantea al grupo seleccionado evaluar la Propuesta de Orientación Didáctica
marcando con una equis (X) la calificación de cada clase, considerando cada uno de los
criterios presentados, en donde: D = deficiente, R = regular, B= bueno. (Anexo 5).
NOTA: Si la calificación obtenida es deficiente o regular se debe realizar la observación
correspondiente.
Una vez emitida la evaluación por parte de los expertos por medio del instrumento, se
pudo obtener que, cada una de las clases presentadas en la Propuesta de Orientación
Didáctica cumplen con todos los criterios dados anteriormente, por lo cual se concluye la
factibilidad de la propuesta para ser aplicada en el bachillerato.
6.5 Control y evaluación del proceso.
6.5.1 Control del proceso.
Es importante destacar que, los coordinadores encargados deben establecer parámetro
de control, con la finalidad de observar el desenvolvimiento con que se va desarrollando la
propuesta y así determinar si al aplicarse la Propuesta de Orientación Didáctica cumple
con todas las metas establecidas.
95
1. Los coordinadores deben entregar el material respectivo al grupo seleccionado
con anticipación y así ellos puedan revisar e estudiar la propuesta antes de
aplicarla.
2. Los coordinadores deberán de estar informado de las posibles fechas a aplicarse
la propuesta.
3. Es recomendadle que los coordinadores asistan al menos a una de las seis clases
presentadas en la Propuesta de Orientación Didáctica.
4. Se buscan procesos para evaluar los contenidos expuestos por los docentes.
5. Los coordinadores junto con los docentes seleccionados deben de realizar un
análisis de cada clase, en donde se presenten todas las anécdotas e inquietudes,
entre otras a la hora de aplicar la Propuesta de Orientación Didáctica.
6.5.2 Evaluación del proceso.
A medida que se van dado las clases por los docentes seleccionados, es importante
generar instrumentos de evaluación con la finalidad de detectar el desenvolvimiento del
estudiante con relación al tema de sucesiones numéricas.
Para la elaboración de los instrumentos es recomendable pruebas de desarrollo que sean
aplicadas cada dos clases dadas. Por lo tanto, plantea se ejecuten tres pruebas de
desarrollo. No obstante, todos los instrumentos de evaluación que se pretendan ejecutar
deben realizarse conjuntamente con los docentes.
6.6 Conclusiones, limitaciones y recomendaciones finalidades.
6.6.1 Conclusiones.
1. A medida que se fue desarrollando este trabajo de investigación se logró
reflexionar acerca de las importancias y consecuencias que se han presentado a
nivel académico y en el proceso de enseñanza de las sucesiones numéricas en el
primer año del ciclo diversificado, determinando así deficiencias futuras.
2. En la investigación realizada se pudo observar deficiencias en los conocimientos
relacionados al tema de sucesiones numéricas y sus contenidos. Además, el
alumnado no relaciona los contenidos con situaciones de su vivir diario.
3. Es importante destacar que a la hora de abordar diversos contenidos Matemáticos,
en particular el correspondiente a las sucesiones numéricas, la motivación en los
basamentos teóricos es fundamental para una mayor compresión del tema, por lo
96
tanto, al generar conceptos a partir de problemas aplicados al vivir diario se
tendría una mayor compresión de la misma.
4. Se debe tomar en cuenta que, una Propuesta de Orientación Didáctica no es la
única manera de afronta los diversos problemas que se plantean en esta
investigación, pero se puede considerar como una herramienta didáctica viable a
la hora de abordas diversos contenidos.
6.6.2 Limitaciones.
A la hora de ser aplicada la Propuesta de Orientación Didáctica diseñada, es posible que
se presenten ciertas limitaciones, entre ellas:
1. La disponibilidad por parte de los docentes para aplicar la propuesta.
2. La falta de tiempo puede conllevar al abordaje de ciertos contenidos más no de
todos los temas planteados en la propuesta.
3. Dificultades por parte de los docentes a la hora de abordar el tema de sucesiones
numéricas, lo que conllevaría a la no aplicabilidad de la propuesta.
4. El tiempo que se debe emplear en cada clase presentada en la Propuesta de
Orientación Didáctica, puede llegarse a no cumplirse por parte de los docentes
seleccionados.
6.6.3 Recomendaciones finalidades.
Este trabajo de investigación posee diversos objetivos, en particular el de solventar las
deficiencias que atenúan al alumnado en el primer año del ciclo diversificado en el tema
de sucesiones numéricas. Por lo tanto se diseña una Propuesta de Orientación Didáctica,
en la cual se pretende generar posibles soluciones a la problemática dada y a muchas
más. Es por ello que resulta recomendable que durante su posterior aplicación se intenten
cubrir todos los aspectos que se exponen en esta herramienta de enseñanza, esto con la
finalidad de comprobar que la mencionada propuesta didáctica cumple con todos los
objetivos planteados y así presentar una solución satisfactoria que contribuya a una
mayor compresión del tema.
97
6.7 Observaciones.
Es importante destacar que, después de haberse emitido la evaluación por partes de
los expertos seleccionados no se presentaron ningún tipo de sugerencia o
recomendación, por lo cual se pudo observar la falta de interés por parte del grupo lo
cual es recomendable ir en la búsqueda de docentes universitarios que contribuyan
también a la validación de la Propuesta de Orientación Didáctica. A mi criterio el
diseño de la propuesta está bien estructurado ya que presenta secuencia conceptual,
diversidad de problemas aplicados a la realidad y cubre en gran parte el contexto
curricular del 1º año del ciclo diversificado. Pero esta propuesta puede ser mejorada
ya que el tema de sucesiones numéricas es amplio, lo cual se puede también pensar
en el crecimiento y decrecimiento de una sucesión o problemas aplicamos la
economía y otros.
98
ANEXOS
99
ANEXO 1
100
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Área de Matemática
Prueba de conocimiento
Test para determinar el nivel de conocimientos alcanzado por los alumnos
de primer año de ciencias del ciclo diversificado sobre sucesiones de
números reales:
Sección: Institución: .
Estimado alumno:
A continuación se presentan las siguientes instrucciones generales para
responder la prueba:
1). Lea con detenimiento las instrucciones de cada una de las partes de la prueba
y sus respectivos ítems antes de responderlos.
2). En caso de duda, consulte a la persona que aplica la prueba.
3). Trate de responder la prueba en su totalidad.
4). Usted dispone de cuarenta minutos para responder la totalidad de la prueba.
Selección simple:
Instrucciones:
Entre los siguientes ítems seleccione una de las cuatro opciones que se
presentan, encerrando en un círculo la letra correspondiente a la opción que usted
considere correcta; sólo una de las opciones es correcta.
1) ¿Cuál de las siguientes sucesiones es una progresión aritmética?
a)
b)
c)
d)
101
2) ¿Cuál de las siguientes sucesiones es una progresión geométrica?
a)
b)
c)
d)
3) Si son términos de una sucesión entonces el término general viene
dado por:
a)
b)
c)
d)
4) Si el término general de una sucesión es entonces los cinco
primeros términos son:
a) ,
b) ,
c)
d)
5) Un hombre compró una cierta cantidad de libros, en donde, por el primero paga
veintisiete bolívares, por el segundo treinta y así sucesivamente. ¿Cuál es el
valor del décimo libro?
a) 48 Bs.
b) 60 Bs.
c) 69 Bs.
d) 54 Bs.
6) Las ganancias de tres años de un almacén están en progresión aritmética. En
el primer año arroja una cantidad de doce mil bolívares y en el último veinte
mil, luego la ganancia del segundo año fue:
a) 13000 Bs.
b) 19000 Bs.
c) 16000 Bs.
d) 24000 Bs.
102
7) El quinto término de una progresión aritmética es cien y la razón diez.
Entonces el valor del primer término es igual a:
a) 40
b) 60
c) 90
d) 95
8) El primer término de una progresión aritmética es diecinueve y el octavo es
cuarenta y siete. Entonces la razón viene dada por:
a) 4
b) 6
c) 9
d) 7
9) El producto del tercero y el séptimo término de una progresión geométrica de nueve términos es siete. ¿Cuál es el producto del primero por el último? a) 6 b) 7 c) 8 d) 9
10) El sexto término de una progresión geométrica es cien y la razón dos. ¿Cuál
es el valor del primer término?
a)
b)
c)
d)
11) El primer término de una progresión geométrica es cuatro y el sexto es ciento
veinte y ocho. Entonces la razón viene dada por:
a) 5
b) 2
c) 7
d) 6
103
12) Un atleta recorre una pista cinco veces, percatándose que, el tiempo que tarda
en correr cada vuelta genera una progresión aritmética. En el primera
recorrido dura diez minutos y en la última veinte. ¿Cuánto tiempo tarda en
recorrer la segunda, tercera y cuarta vuelta?
a) 11,15 y 17
b) , 15 y
c) y
d) 9, 16 y 19.
13) Al interpolar tres medios aritméticos entre diez y treinta y ocho. Se obtiene:
a) 8, 15 y 22
b) 13, 19 y 21
c) 17, 24 y 31
d) 19, 25 y 31.
14) Un hombre trabaja en una empresa durante un año, ganando ochocientos
bolívares por el primer mes pero por motivo de su desempeño en sus labores
recibe un aumento de doscientos bolívares cada mes, después del primero.
Luego el monto que recibió durante el año fue:
a) 19896
b) 22800
c) 26739
d) 27925.
15) Al sumar los cien primeros números positivos múltiplos de siete. Se obtiene:
a) 25958
b) 27854
c) 33918
d) 35350.
16) María compra una casa a crédito, comprometiéndose a pagar en cinco años.
Si por el primer año debe pagar diez mil bolívares, por el segundo veinte mil,
por el tercero cuarenta mil y así sucesivamente. ¿Cuál es el monto total a
pagar por la casa?
a) 200000
b) 310000
c) 382356
d) 335891.
104
17) Al interpolar dos medios aritméticos entre siete y dieciséis. Se obtiene:
a) 14 y 15
b) 16 y 21
c) 10 y 13
d) 18 y 21.
18) El quinto término de una progresión geométrica es un cuarto y el séptimo es
un medio. Entonces el tercer término es:
a)
b)
c)
d)
19) El octavo término de una progresión geométrica es y el primer término .
Entonces el valor de la razón viene dada por:
a)
b)
c)
d)
20) Un hombre deja caer libremente una piedra desde una azotea de un edificio,
en donde, recorre 16,1 metros en el primer segundo y en cada segundo
posterior recorre 32,2 metros más que en el segundo anterior. Si la piedra
tarda 5 segundos en llagar al suelo, ¿Cuál es la altura del edificio?
a) 209,3
b) 358,9
c) 402,5
d) 526,8
105
ANEXO 2
106
Coeficiente de Proporción de Rangos
Experto Nº_____.
Profesor: _______________________________________________________
Institución donde labora actualmente. _________________________________
Años de servicio: _____. Título recibido: _______________________________
La escala de validación de cada ítem se establece de la siguiente manera:
ÍTEMS
ESCALA
BUENO REGULAR DEFICIENTE OBSERVACIONES
Ítems 1
Ítems 2
Ítems 3
Ítems 4
Ítems 5
Ítems 6
Ítems 7
Ítems 8
Ítems 9
Ítems10
Ítems11
Ítems12
Ítems13
Ítems14
Ítems15
Ítems16
Ítems17
Ítems18
Ítems19
Ítems20
107
ANEXO 3
108
EVALUACIÓN DE LOS JUECES
JUECES
Nº ÍTEMS
J 1
J 2
J 3
ir
r
i
n
r
JuecesN
n
r
r
i
1 3 3 3 9 3 1
2 3 3 3 9 3 1
3 2 3 2 7 2,33 0,77
4 3 3 3 9 3 1
5 3 3 3 9 3 1
6 3 3 3 9 3 1
7 3 3 3 9 3 1
8 3 3 3 9 3 1
9 3 3 3 9 3 1
10 2 3 3 8 2,66 0,88
11 3 3 3 9 3 1
12 2 3 3 8 2,66 0,88
13 2 3 3 8 2,66 0,88
14 3 3 3 9 3 1
15 3 3 3 9 3 1
16 3 3 3 9 3 1
17 2 3 3 8 2,66 0,88
18 2 3 3 8 2,66 0,88
19 2 3 3 8 2,66 0,88
20 2 3 3 8 2,66 0,88
52 20,95 18,93
VALIDEZ DE CONTENIDO DEL INSTRUMENTO (Vc) 0,94
ir Sumatoria de los rangos emitidos por los expertos respecto del ésimoi
Ítem.
r
i
n
r Sumatoria de los rangos emitidos por los expertos respecto del ésimoi
Ítem, entre el número de rangos (3).
JuecesN
n
r
r
(Sumatoria de los rangos emitidos por los expertos respecto del
ésimoi ítem entre el número de rangos (3)), todo lo anterior entre el número de
jueces.
Coeficiente de proporción de rango, en donde es el número total
de ítems. Así, .
109
ANEXO 4
110
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Mención Matemática
Encuesta
Fecha: _____/_______/______
Datos del Encuestador:
Nombres y apellidos:
______________________________________________________
Datos del encuestado:
Especialidad: _____________________________Años de experiencia:
______________
Estimado encuestado: Todas las preguntas o ítems, están orientados a obtener
información sobre la enseñanza de las sucesiones de números reales que han
impartido en sus años anteriores de experiencia, por favor responda de acuerdo a
su criterio lo que considere correcto.
Preguntas o ítems:
1. ¿Considera qué es conveniente la enseñanza de las sucesiones de
números reales en el bachillerato? Si____ No____
¿Porque?__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
_______________
111
2. ¿Qué estrategia(s) didáctica(s) ha utilizado para la enseñanza de las
sucesiones numéricas?
a) Resolución de ejercicios_______
b) Resolución de situaciones problemas _______
c) Trabajos grupales _______
d) Juegos didácticos_______
e) Demostración_______
f) Otra______ Especifique
__________________________________________________
4. ¿Cuáles dificultades considera usted que el alumno presenta a la hora de
abordar diversos problemas de sucesiones numéricas?
a) Presenta deficiencia en el contenido______
b) No percibe la esencia del problema _______
c) Ausencia del pensamiento lógico matemático _______
d) dificultades para hallar el término de una sucesión______
e) Otra_____________________________ Especifique
_________________________
5. ¿Qué problemas adecuados considera usted pertinentes para abordar el
tema de sucesiones numéricas?
a) problemas aplicados a la vida cotidiana______
b) resolución de ejercicios _______
c) problemas aritméticos_______
d) Otro(s)_____________________________ Especifique
_________________________
112
6. ¿Considera usted que la mayoría de los libros de matemáticas (primer año
de ciencias del ciclo diversificado) abordan el tema de sucesiones
numéricas de una manera adecuada? Si____ No____
¿Porque?__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
________________________
7. ¿Qué contenidos mayormente usted logra dar con relación al tema de
sucesiones numéricas?
a) Sucesiones ______
b) Progresiones (aritmética y geométrica) _______
c) Interpolación de términos aritméticas y geométricas _______
c) Interpolación de términos aritméticas y geométricas _______
e) Suma de términos de una progresión aritmética (geométrica) finita _______
d) Otro(s)_________________________________________________________
8. ¿Considera usted que, los problemas que mayormente se presentan en
los libros de matemáticas (primer año de ciencias del ciclo diversificado)
están desligados de la realidad? Si____ No____
¿Porque?__________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
__________________________________________________________________
________________________
Responsable
Br. Sebastian Castro Ramirez
113
ANEXO 5
114
Universidad de Los Andes
Facultad de Humanidades y Educación
Escuela de Educación
Mención Matemática
Instrumento de evaluación de la Propuesta de Orientación Didáctica de la
enseñanza de las sucesiones numéricas Primer Año de Ciencias del Ciclo
Diversificado mediante la resolución se situaciones problemas.
Objetivo general
El objetivo del presente instrumento es evaluar el diseño de la Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas, para tal
efecto se necesita de su colaboración en el proceso de evaluación de cada uno de
los criterios por clase presentados en la tabla 1.
Instrucciones
1. A continuación se presenta la tabla 1 de doble entrada que están estructuradas
por seis columnas y seis filas, donde:
Las filas corresponden a las seis clases presentadas en la Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza de las sucesiones numéricas, la cual se
anexa al presente instrumento.
Las columnas hacen referencia a los criterios para evaluar la Propuesta de
Orientación Didáctica para la enseñanza e aprendizaje de las sucesiones
numéricas.
2. Evalúe la Propuesta marcando con una equis (X) la calificación de cada clase,
considerando cada uno de los criterios presentados en la tabla 1, donde: D =
deficiente, R = regular, B= bueno.
NOTA: Si la calificación obtenida es deficiente o regular se debe realizar las
correcciones correspondientes.
3. Anote sus datos, incluyendo nombres y apellidos, profesión y años de
experiencia.
Criterios de evaluación:
7. Presentación, constituye el cuerpo o forma de la propuesta.
8. Secuencia conceptual, referida al encadenamiento y organización pertinente de
los conceptos a desarrollar.
115
9. Ejemplos ilustrados, referida a la utilización de dibujos y/o diagramas para modelar
un tópico.
10. Problemas contextualizados, se refiere a situaciones que involucren el medio
ambiente en el que se desenvuelven los estudiantes.
11. Estrategia didáctica, correspondiente al método de enseñanza empleado.
12. Fundamento matemático, referido al basamento que nos permite construir los
contenidos de las sucesiones.
Tabla 1. Criterios de evaluación por clase
Nº de Criterios
Clases
Presentación
Secuencia
conceptual
Ejemplos
ilustrados
Problemas
contextualiza
dos
Estrategia
didáctica
Fundamento
matemático
D R B D R B D R B D R B D R B D R B
1
2
3
4
5
6
Observación:______________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
Nombres y Apellidos
____________________________________________________
Especialidad: _______________________________Años de experiencia:
_________
_______________________
Firma del Evaluador
116
REFERENCIAS BIBLIOHEMEROGRÁFICAS
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Castro, E. Rico L. y Romero, A. (2001). Sistema de representación y aprendizaje de
estructura numérica. Trabajo de investigación del Departamento de Didáctica de la Matemática .Universidad de Granada.
Hurtado, J. (1998). Metodología de la Investigación Holística. Caracas: Fundación Sypal. Hernández, R., Fernández, C., y Baptista, P. (2003). Metodología de la Investigación. México D.F: Mc Graw Hill.
Machado, A. (1994). Matemática na Escola do Segundo Grau. São Paulo: Atual. Monsalve, V. (2005). Análisis de los programas de matemática de la tercera etapa de
Educación Básica, Media, Diversificada y Profesional. Memoria de Grado presentada para optar al Título de Licenciado en Educación Matemáticas en la Universidad de los Andes.
Mora, J. (s.f). Sucesiones TI83 (sucesiones y calculadora). Proyecto de investigación
realizado por el equipo T3 de España para presentar a la Sociedad de Educación Matemáticas Al-Khwarizmi. Extraído el 12 de marzo de http://www.google.com/search?q=sucesiones+ti+83&rls=com.microsoft:es-us:IE-SearchBox&ie=UTF-8&oe=UTF-8&sourceid=ie7&rlz=1I7HPNN
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Ortiz, M. (2004). Aprendizaje y Didáctica de las Matemáticas en la perspectiva de la Epistemología Genética. Articulo de investigación extraído el 16 de abril de http://www.aprendes.org.co/article.php3?id_article=32.
Piaget, J. (1981). Epistemología genética y equilibración. Madrid: Fundamentos.
Tineo, A. y Uzcategui, C. (2006). Introducción al análisis real (versión no publicada). Mérida: Universidad de los Andes.
Vorobyov, N. (1973). Los Números de Fibonacci. México: Limusa.
