ReprezentacijeVirasorovealgebre - Naslovnica | PMF · PDF...

Mentor: Dražen Adamović

Reprezentacije Virasorove algebre

Student: Ante Čeparić

Područje: algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika

Preduvjeti: poželjno je predznanje iz algebarskih kolegija

Opis: U diplomskom radu bi proučavali teoriju reprezentacija Virasorove algebre. Defi-nirali bi module najveće težine, konstruirali Vermaove module te međuserije. Proučavalibi Fockove module za Virasorovu algebru. Po mogućnosti bi za neke od ovih konstrukcijakoristili koncepte iz teorije verteks-algebri.

Literatura:V. G. Kac, A. Raina, Lectures on highest weigh representations on infinite dimensionalLie algebrasVertex Algebras for Beginners, University Lecture Series, Second Edition, Amer. Math. Soc.,1998, Vol. 10.K. Iohara, Y. Koga, Representation theory of the Virasoro algebra, Springer-Verlag, Lon-don Limited (2011)

1


Slobodne grupe i prezentacije

Student: Petra Čukec

Područje: algebra

Prikladno za studij: svi studiji

Preduvjeti: poželjno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi proučavali slobodne grupe, te grupe definirane pomoćuprezentacija. Dokazali bi se osnovni strukturni rezultati o slobodnim grupama. Ovisno oafinitetu i predznanju studenta, proučavale bi se prezentacije nekih zanimljivih konačnihi beskonačnih grupa.

Literatura:Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, v. 114,American Mathematical Society, 2010T.W. Hungerford, Algebra, Springer, 1980.

2


Algebarska proširenja polja

Student: Elizabeta Borovec

Područje: algebra


Preduvjeti: poželjno je predznanje iz kolegija Algebra

Opis: U diplomskom radu bi proučavali osnovne koncepte vezane s konačnim i algebar-skim proširenjima polja. Bit će dokazani osnovni rezultati o konačnim poljima. Ovisno oafinitetu studenta bit će proučavana i teorija normalnih i separabilnih proširenja.

Literatura:Joseph J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, v. 114,American Mathematical Society, 2010S. Lang, Algebra, Springer, 2002.

3

Mentor: Ljiljana Arambašić

Funkcionalne jednadžbe pridružene nekim teoremima srednjevrijednosti

Student: Daria Grozdek

Područje: matematička analiza

Prikladno za studij: nastavnički studiji

Preduvjeti: nema

Opis: Funkcionalna jednadžba je jednadžba u kojoj je nepoznanica jedna ili više funk-cija. U ovom diplomskom radu cilj je proučiti neke funkcionalne jednadžbe motiviraneLagrangeovim odnosno Pompeiuovim teoremom srednje vrijednosti.

Literatura:M. Kuczma, A survey of the theory of functional equations, Univ. Beograd. Publ. Elek-trotehn. Fak. Ser. Mat. Fiz., No. 130, Beograd 1964.S. Kurepa, Matematička analiza 2, Školska knjiga 1997, Zagreb.C. Rousseau, Rolle’s theorem: from a simple theorem to an extremely powerful tool,http://wikis.zum.de/dmuw/images/a/ad/Rolle_Khovanskii.pdfP. K. Sahoo, T. Riedel, Mean value theorems and functional equations, World ScientificPublishing Co., Inc., River Edge, NJ, 1998.

4

Mentor: Ljiljana Arambašić

Neke primjene linearne algebre

Student: Igor Kosturin

Područje: linearna algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Linearna algebra ima razne primjene, kako u ostalim područjima matematike, takoi izvan nje, na primjer, u ekonomiji, kriptografiji, fizici, biologiji. U ovom diplomskomradu proučit će se neke od njih.

Literatura:H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra: Applications Version, 8th Edition, JohnWiley & Sons, Inc., 2000.T.S. Blyth, E.F. Robertson, Basic Linear Algebra, 2nd Edition, Springer-Verlag, 2002.T. Davis, K.T. Thomson, Linear Algebra and Linear Operators in Engineering, Volume3: With Applications in Mathematica, Academic Press, 2000.

5

Mentor: Damir Bakić

Topološke baze Banachovih prostora

Student: Hrvoje Stojanović

Područje: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: U radu će se najprije izložiti osnovne činjenice o bezuvjetnoj konvergencija redova.U drugom dijelu rada prikazat će se temeljni rezultati o topološkim bazama normiranih,odnosno Banachovih prostora.

Literatura:C. Heil, An introduction to frames and Riesz bases, Birkhäuser, 2002.D. Bakić, Normirani prostori, skripta (dostupno u elektroničkom izdanju)

6

Mentor: Damir Bakić

C∗-algebre i njihove reprezentacije

Student: Ante Malenica

Područje: funkcionalna analiza

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: U radu će se najprije izložiti osnovna svojstva C∗-algebri s posebnim naglaskom naopis uređajne strukture i pozitivnih linearnih funkcionala. U drugom dijelu obradit će sepočetni rezultati o reprezentacijama C∗-algebri, te opisati veza reprezentacija i pozitivnihfunkcionala.

Literatura:G. Murphy, C∗-algebras and operator theory, Academic press, 1990.G.K. Pedersen, C∗-algebras and their automorphism groups, Academic Press, 1990.J. Dixmier, C∗-algebras, Elsevier, 1983.

7

Mentor: Bojan Basrak

Poissonov proces s klasterima

Student: Ana Bevanda

Područje: vjerojatnost, slučajni procesi


Preduvjeti:

Opis: Poissonov proces je osnovni primjer točkovnog procesa. Ipak, u mnogim primje-nama slučajno razbacane točke odstupaju od ovog modela i dolaze u grupama odn. klas-terima. Takav je slučaj npr. s dolascima zahtjeva za isplatu štete u aktuarskoj matematiciili zahtjeva koji stižu poslužitelju u računalnim sustavima.

Diplomski rad bi trebao precizno definirati Poissonove procese s klasterima naslanjajući sena apstraktnu teoriju točkovnih procesa. Cilj rada je prikazati osnovna teorijska svojstvaovih procesa, te ilustrirati njihove posljedice na primjerima.

Literatura:Daley, D.J., i Vere–Jones D. (2003). An Introduction to the Theory of Point Processes:Vol. I, 2nd ed. Springer.Mikosch, T. (2009). Non-Life Insurance Mathematics: An Introduction with the PoissonProcess, 2nd ed. Springer.

8


Poissonov proces i subordinatori

Student: Miko Martinić



Preduvjeti:

Opis: Subordinatori se mogu smatrati glavnim gradivnim elementom u konstrukciji op-ćenitih Lévyjevih procesa, a kao važan poseban slučaj uključuju i tzv. složene Poissonoveprocese. Imaju veliki značaj u teoriji slučajnih procesa, ali i u mnogim primjenjenimpodručjima, posebno u aktuarstvu i financijskoj matematici. Cilj rada je precizno defini-rati pojam subordinatora i prikazati najvažnije primjere ovakvih procesa. Rad bi trebaoprikazati i glavne teorijske rezultate koji se tiču ove klase procesa.

Literatura:Kyprianou, A. (2006) Fluctuations of Lévy Processes with Applications: Introductory Lec-tures, Springer.Bertoin, J. (1997) Subordinators: Examples and applications, In P.Bernard, Lecture Notesin Mathematics, vol 1717 , 1–91.

9


Konvergencija u prostoru càdlàg funkcija

Student: Ivo Božić



Preduvjeti:

Opis: Centralni granični teorem je osnovni rezultat teorije vjerojatnosti s važnim pri-mjenama u mnogim područjima, posebno u teorijskoj statistici. Prema njegovoj najjed-nostavnijoj varijanti, parcijalne sume nizova nezavisnih i jednako distribuiranih slučajnihvarijabli asimptotski imaju normalnu razdiobu. Pokazuje se da vrijedi i puno jača tvrdnja,čitav put koji kroz vrijeme prate ovakve sume, nakon adekvatne normalizacije konvergirapo distribuciji i to prema Brownovom gibanju. To je tvrdnja poznatog Donskerovog te-orema, koji je ujedno i najvažniji primjer tzv. funkcionalnog graničnog teorema. Ipak, dabismo ovaj teorem precizno iskazali, nužno je uvesti topologiju na prostoru tzv. càdlàgfunkcija, odn. funkcija koje su zdesna neprekidne i imaju lijevi limes. Cilj rada je preciznodefinirati ove pojmove, prikazati neke dovoljne uvjete za konvergenciju u ovom prostorute na kraju diskutirati dokaz i posljedice Donskerovog teorema.

Literatura:Billingsley, P. (1999) Convergence of probability measures, 2nd ed., WileyDurrett, R. (1996) Probability: Theory and Examples, Duxbury Press.Sarapa, N. (2003) Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga.

10


Razdioba dugih ciklusa i velikih djelitelja

Student: Ivana Antoliš

Područje: vjerojatnost, njera i integral


Preduvjeti:

Opis: Teorija slabe konvergencije vjerojatnosnih mjera ima zanimljive i vrlo produktivneprimjene u raznim područjima od teorijske biologije do analitičke teorije brojeva. Ciljrada je ilustrirati snagu ove teorije na dva naizgled nepovezana problema. Prvi od njih setiče asimpototske razdiobe dugih ciklusa slučajno izabrane permutacije duljine n. Drugiproblem je odrediti graničnu razdiobu velikih prostih djelitelja slučajno odabranog brojau skupu prirodnog brojeva od 1 do n. U oba ova slučaja ulogu granične razdiobe igratzv. Poisson–Dirichletova razdioba. Rad bi trebao rigorozno uvesti ovaj pojam i prikazatirješenje gore navedenih problema.

Literatura:Billingsley, P. (1999) Convergence of probability measures, 2nd ed., WileySarapa, N. (2003) Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga.

11

Mentor: Ivo Batistić

Provodi li led električnu struju?

Student: Karla Blasov

Područje: fizika kondenzirane tvari

Prikladno za studij: prof. matematike i fizike

Preduvjeti: položen ispit iz "Osnove fizike čvrstog stanja"

Opis: Napravila bi se mjerenja električne provodnosti leda. Eksperiment je delikatan iupitan jer led slabo vodi struju. Bez obzira na rezultat, postoji literatura o tome, pa birad sadržavao ta mjerenja i usporedbu s rezultatima iz literature. Osim toga, poznato jeda se led kristalizira u 10ak različitih kristalnih struktura ovisno o temperaturi i tlakupa bi se mogao napraviti pregled tih kristalnih struktura i koje su razlike među njima.Nadalje mogla bi se napraviti usporedba s vodom i mehanizmima vođenja električne struje.Naravno bilo bi moguće i spomenuti vodikovu vezu koja je jako važna za biološke sustave.

Literatura:E. R. Pounder, The physics of ice. Pergamon pressR. S. Bradley, The electrical conductivity of iceLech Rusiniak, Electric properties of ice near solidification and melting temperature, Actapolonika, vol 52. (2004) 363Viktor F. Petrenko, Electrical Properties of Ice

12

Mentor: Mea Bombardelli

Orijentirani kut

Student: Kristina Radaš

Područje: geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu treba definirati pojam orijentiranog kuta i opisati njegova svojstva.Nakon toga će se orijentirani kutovi primijeniti u raznim dokazima.

Literatura:Wu Wen-tsun, On the Notion of Oriented Angles in Plane Elementary Geometry andSome of its Applications, 2005. http://www.mmrc.iss.ac.cn/pub/mm24.pdf/1_wu.pdf

13


Konstruktivni problemi s visinama i ortocentrom

Student: Mia Radović



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom diplomskom radu postavit će se i riješiti niz konstruktivnih problema ukojima je zadana duljina barem jedne visine i/ili udaljenost ortocentra od neke točke ilipravca.

Literatura:D. Palman, Geometrijske konstrukcije, Zagreb, 1996.i druga stručna literatura

14


Nejednakosti između osnovnih sredina

Student: Marko Nemec

Područje: nejednakosti


Preduvjeti: nema

Opis: Cilj je ovoga rada dokazati osnovne nejednakosti među sredinama na različitenačine. Nakon toga će se prikazati primjena tih nejednakosti. Može se opisati i kako snaprednijim učenicima srednje škole obraditi ovu temu na pripremama za natjecanja.

Literatura:J. Pečarić, Nejednakosti, Zagreb, 1996.P. W. Gwanyama, The HM-GM-AM-QM Inequalities, The College Mathematics Journal35, Jan 2004.

15


Feuerbachova točka

Student: Maja Mihalic



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom radu dokazat će se Feuerbachov teorem: "U svakom trokutu upisanakružnica i Feuerbachova kružnica se diraju". Točka dodira naziva se Feuerbachova točkatrokuta. Uz to, uočit će se i dokazati neka svojstva te točke.

Literatura:D. Grinberg, From Baltic Way to Feuerbach – A Geometrical Excursion, MathematicalReflections 2/2006. http://web.mit.edu/~darij/www/BalticFeuer.zip

16

Mentor: Nela Bosner

Multigrid metoda za numeričko rješavanje Poissonove jednadžbe

Student: Ivan Lužanac

Područje: numerička linearna algebra, parcijalne diferencijalne jednadžbe

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Matematička statistika, Financijska iposlovna matematika

Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2 ili Numeričke metodefinancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 1 i 2

Opis: Poissonova jednadžba opisuje razne fizikalne procese i glasi

−∆u(x, t) = f(x, t) na Ω

u(x, t) = 0, na ∂Ω

Standardna metoda za dobivanje aproksimacija rješenja parcijalne diferencijalne jed-nadžbe, kao što je Poissonova, je metoda konačnih diferencija. U toj metodi se iz danogpodručja Ω izabire skup točaka koji čini mrežu. U svakoj točci mreže derivacija se udiferencijalnoj jednadžbi zamijenjuje sa kvocijentom koji se približava pravoj derivacijikada mreža postaje sve finija. Ovim postupkom kojeg nazivamo diskretizacija, dobiva sesustav linearnih jednadžbi kod kojeg matrica sustava ima specijalni oblik. Ako želimofiniju aproksimaciju mreža mora biti gušća, što rezultira većom dimenzijom matrice sus-tava i njenom lošom uvjetovanošću. Kako bi se premostio ovaj problem, za rješavanjesustava primijenjuje se multigrid metoda koja diferencijalnu jednadžbu diskretizira namrežama različitih gustoća. Prelazak sa mreže na mrežu na elegantan način smanjujegrešku aproksimacije rješenja sustava. Radnja bi obradila teorijske i praktične aspekteove metode, i obuhvatila bi izradu MATLAB programa koji implementira razne varijantemultigrid metode.

Literatura:A. Greenbaum, Iterative Methods for Solving Linear Systems, SIAM, 1997.W. L. Briggs, V. E. Henson, S. F. McCormick, A Multigrid Tutorial, Second Edition,SIAM, 2000.

17

Mentor: Nela Bosner

Određivanje cijene egzotičnih opcija

Student: Sara Crnić

Područje: financijska matematika, parcijalne diferencijalne jednadžbe, numeričko rješa-vanje parcijalnih diferencijalnih jednadžbi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Primijenjena matematika

Preduvjeti: Poželjno znanje iz kolegija Numerička analiza 1 i 2 ili Numeričke metodefinancijske matematike, te Parcijalnih diferencijalnih jednadžbi 1 i 2

Opis: Određivanje cijene standardnih opcija često se svodi na numeričko rješavanjeBlack–Scholes-ove parcijalne diferencijalne jednadžbe, pomoću konačnih diferencija. Eg-zotične opcije također vode ka parcijalnim diferencijalnim jednadžbama, ali nisu jednos-tavne strukture poput Black–Scholes-ove. Takve jednadžbe moraju se rješavati direktno,a pri tome može doći do pojave numeričke nestabilnosti ili neželjenih rješenja. Radnjabi dala kratak pregled važnih vrsta egzotičnih opcija, sa posebnim osvrtom na Azijskeopcije. Uz to, dao bi se i numerički aspekt konvekcijsko–difuzijske jednadžbe, u koju semože reducirati jednadžba za Azijsku opciju, te njeno rješavanje putem upwind sheme.Obradile bi se još i metode visoke rezolucije, koje nude aproksimacije višeg reda. Izradarada bi također obuhvatila i izradu MATLAB programa koji implementiraju obrađenemetode.

Literatura:R. U. Seydel, Tools for Computational Finance, Fourth Edition, Springer, 2009.

18

Mentor: Franka Miriam Brückler

Nacrtna geometrija u studiju strojarstva

Student: Marija Rendić

Područje: nacrtna geometrija

Prikladno za studij: svi nastavnički studiji

Preduvjeti: Nacrtna geometrija

Opis: U radu će se dati pregled tema iz nacrtne geometrije specifičnih za studij strojar-stva. Konkretno, obradit će se teme koje se ne obrađuju u standardnom kursu nacrtnegeometrije u sklopu studija matematike: krovne plohe, kotirana projekcija, tereni. Tako-đer, obradit će se i neke standardnije teme koje se na drugačiji ili detaljniji način od onogu istoimenim kolegijima za matematičare obrađuju u sklopu studija strojarstva, posebnoprodori oblih tijela i kosa projekcija. Obratitit će se pažnja i na moguńoct korištenjaGeogebre u nastavi nacrtne geometrije za studij strojarstva.

Literatura:J. Justinijanovć, Nacrtna geometrija I, Zagreb, 1980.J. Justinijanovć, Nacrtna geometrija II, Zagreb, 1980.I. Babić, S. Gorjanc, A. Sliepčević, V. Szirovicza, Nacrtna geometrija — zadaci, HDK-GIKG, Zagreb, 2002.M. Opalić, M. Kljajin, S. Sebastijanović, Tehničko crtanje, Zrinski d. d., Čakovec/SlavonskiBrod, 2007.S. Varošanec,materijali iz Nacrtne geometrije, http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/ng/dodatni.html

19


Matematika labirinata

Student: Marko Knežević

Područje: popularizacija matematike, teorija grafova


Preduvjeti: Programiranje 1, Kombinatorna i diskretna matematika

Opis: Labirinti imaju dugu povijest, a uz logicko razmisljanje potrebno za njihovo osmi-sljavanje i rjesavanje postoje mnogi drugi matematicki aspekti. U radu cense dati pregledtematike, s tezistem na topologiji i teoriji grafova vezanoj za labirinte te algoritmima zageneriranje i rjesavanje labirinata. Rad ce biti dopunjen i povijesnim pregledom te pri-mjerima upotrebe teme u popularizaciji matematike.

Literatura:M. Gardner, Origami, Eleusis and the Soma Cube, Mathematical Association of America,2008.O. Ore, An Excursion into Labyrinths, The Mathematics Teacher, 52 (1959.) 367–370H. Dudeney, Amusements in Mathematics, Dover Publications, 1959.C. J. Budd, C. J. Sangwin, Maths aMazes, +plus magazine, http://plus.maths.org/content/maths-amazesT. Phillips, Through Mazes to Mathematics, http://www.math.sunysb.edu/~tony/mazes/T. Phillips, The Octosphericon and the Cretan Maze, http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-octo-cretan

20


Grupa Rubikove kocke

Student: Marija Benko

Područje: popularizacija matematike, teorija grupa

Prikladno za studij: svi studiji, posebno nastavnički i Teorijska matematika

Preduvjeti: Algebarske strukture

Opis: Jedna od najpoznatijih matematičkih igračaka i ujedno jedna od najpopularnijihigračaka na svijetu je Rubikova kocka. U pozadini postupaka za rješavanje Rubikove kockeje teorija grupa. Grupa Rubikove kocke GR sastoji se od svih mogućih poteza na kocki ili,što je ekvivalentno, od svih mogućih rasporeda kvadratića na površini Rubikove kocke kojise mogu dobiti bez njena rastavljanja. Cilj ovog rada je opisati razna svojstva grupe GR,poput njenih elemenata, cikličkih podgrupa i sl., te njihovu primjenu na rješavanje kocke.Posebna će se pažnja posvetiti mogućnosti korištenja Rubikove kocke u svrhu popularnogprezentiranja osnova teorije grupa.

Literatura:D. Joyner, Adventures in Group Theory: Rubik’s Cube, Merlin’s Machine, and OtherMathematical Toys, The Johns Hopkins University Press, 2002.F. M. Brückler, Grupa Rubikove kocke, Poučak 36 (2009) 4-15D. Bump, Mathematics of the Rubik’s Cube, http://match.stanford.edu/bump/rubik.htmlT. Davis, Group Theory via Rubik’s Cube, http://www.geometer.org/rubik/group.pdfLecture Notes on the Mathematics of the Rubik’s Cube, http://www.permutationpuzzles.org/rubik/webnotes/rubik_notes.html

21


Geometrija prirode

Student: Biljana Stipetić

Područje: popularizacija matematike, geometrija

Prikladno za studij: svi studiji, posebno nastavnički

Preduvjeti: Elementarna geometrija, Analitička geometrija, Uvod u diferencijalnu ge-ometriju

Opis: Šire je poznato da se Fibonaccijevi brojevi i s njima povezan omjer zlatnog rezanerijetko mogu uočiti u raznim biljkama. Također je dobro poznato da su mnogi pri-rodni oblici – primjerice oblaci – približno fraktalni, a da pahuljice snijega pokazuju istitip simetrije kao pravilni šesterokut. Cilj ovog rada je sistematizirati geometrijske oblikei uzorke (krivulje, tijela, plohe pozitivne i negativne zakrivljenosti, fraktale, simetrije,spirale, popločavanja i dr.) koji se pojavljuju u makroskopskoj prirodi: biljkama, ži-votinjama, geološkim formacijama, . . . . Posebna će se pažnja posvetiti mogućnostimakorištenja objekata iz prirode u vizualizaciji matematičkih nastavnih tema.

Literatura:I. Stewart, Das Rätsel der Schneeflocke, Spektrum Akademischer Verlag, 2002.C. Alsina, R. B. Nelsen, Math Made Visual, The Math. Association of America, 2006.R. Knott, The Fibonacci Numbers and Golden Section in Nature, http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.htmlK. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, John Wiley& Sons, 1990.S. Colman, Harmonic proportion and form: in nature, art and architecture, Dover Publi-cations, 2003.

22

Mentor: Zvonimir Bujanović

Razvoj web aplikacija pomoću okruženja Django

Student: Nikolina Ivezić

Područje: računarstvo

Prikladno za studij: Računarstvo i matematika

Preduvjeti: poznavanje programskog jezika Python

Opis: Među brojnim okruženjima za izradu web aplikacija (eng. web application fra-mework), u posljednje vrijeme sve je popularniji Django. Django je okruženje otvorenogkoda, u potpunosti bazirano na programskom jeziku Python. Primarna mu je namjenarapidni razvoj složenih web-sjedišta zasnovanih na bazama podataka, pri čemu slijedi pa-radigmu Model-View-Controller.Cilj ovog diplomskog rada je dati osnovni pregled okruženja Django, te pomoću njegarazviti vlastitu web aplikaciju.

Literatura:Django Documentation, https://docs.djangoproject.com/en/1.7/Tango with Django – A beginner’s guide to web development with Django, http://www.tangowithdjango.com/Greenfeld, Daniel; Roy, Audrey: Two Scoops of Django: Best Practices for Django 1.6,(2nd ed.), Two Scoops Press, 2014.

23

Mentor: Zvonimir Bujanović

Razvoj web aplikacija pomoću Node.js

Student: Ivan Lesar

Područje: računarstvo


Preduvjeti: poznavanje programskog jezika JavaScript

Opis: Programski jezik JavaScript tradicionalno se koristi za implementaciju klijentskestrane web aplikacija. Node.js je nova platforma bazirana na jeziku JavaScript, naprav-ljena s ciljem jednostavne implementacije serverske strane brzih i skalabilnih web apli-kacija. Osnovna ideja kojom se postiže takva učinkovitost je ne-blokirajući mehanizamulazno-izlaznih operacija, pokretan događajima (engl. event-driven). Uz takav pristup,Node.js je idealan za podatkovno intenzivne aplikacije koje se izvršavaju u realnom vre-menu.Cilj ovog diplomskog rada je opisati platformu Node.js i istaknuti njezine prednosti uodnosu na klasične implementacije web-servera. Student će demonstrirati njezine moguć-nosti izradom odgovarajuće složenije web aplikacije.

Literatura:Web-stranice projekta Node.js, http://nodejs.org/Nodeschool – Open source workshops that teach web software skills, http://nodeschool.io/Wilson, Jim: Node.js the Right Way, Pragmatic Bookshelf, 2013.

24

Mentor: Lavoslav Čaklović

Algoritmi određivanja Nashove ravnoteže u teoriji igara

Student: Marina Zadro

Područje: Teorija igara

Prikladno za studij:

Preduvjeti:

Opis: Cilj rada je razumjeti indukciju unazad i napisati program u pythonu koji će tražitisubgame perfect Nashovu ravnotežu. To se pokazuje kao zahtjevan programski zadatak.Biti će govora i o složenosti algoritma, s naglaskom na α−−β pruning algoritam.

Literatura:

25


Formalizacija igara

Student: Adam Nikšić

Područje: Umjetna inteligencija


Preduvjeti:

Opis: U radu će se proučavati inteligentni sustavi koji su u stanju igre na osnovi aps-traktnog Game Description Language (GDL)

Literatura:Michael Genesereth, Michael Thielscher: General Game Playing

26


Grafovi preferencije i njihova primjena

Student: Adrian Satja Kurdija

Područje: Teorija odlučivanja


Preduvjeti:

Opis: Nove metode u području odlučivanja uočavaju potrebu za grafom preferencija kaoosnovnom strukturom. U radu će biti biti proučeno poopćenje metode potencijala prekomultigrafova s raznim primjenama.

Literatura:J. Fürnkranz, E. H. Hüllermeier: Pairwise Preference Learning and Ranking,L. Čaklović: Teorija vrednovanja

27


Analiza korespodencije

Student: Vladimir Jerebić

Područje: Optimizacija i statistika


Preduvjeti:

Opis: Analiza korespodencije uvodi numeričku skalu u skup vrijednosti para kategorij-skih varijabli. U radu ce biti objasnjena matematička pozadina metode s primjenama usociologoji, znanosti o okolišu, medicini. . .

Literatura:Michael Greenacre: Correspondence Analysis in Practice

28


Ravnoteža u teoriji igara

Student: Andro Maduna

Područje: Teorija igara


Preduvjeti:

Opis: U radu će biti dokazan teorem egzistencije ravnoteže igre koristeći tehniku varija-cijskog računa.

Literatura:J. P. Aubin: Mathematical Methods of Game and Economic Theory

29


DEA - slabosti i poboljšanja

Student: Kristina Dukanović

Područje:


Preduvjeti:

Opis: Data Envelopment Analysis (DEA) je tehnika računanja efikasnosti proizvodnihstruktura (javnih ustanova) a više inputa i više outputa tehnikom linearne optimizacije.U radu će biti opisane (poznate) slabosti metode i moguća poboljšanja.

Literatura:Cooper, Seiford, Tone: Data Envelopment Analysis i vezana literatura

30


Teorija igara i dizajn mehanizma

Student: Melita Vidov

Područje: Algoritamska teorija igara


Preduvjeti:

Opis: Mechanism design proučava igre s nepotpunim informacijama. Tipičan pristuprješavanju takvih igara je preko tipova igrača a ne samih igrača. U radu će biti dokazaniosnovni teoremi iz teorije ozbora i obrađeni neki tipovi ’mehanizama’.

Literatura:T. Börgers, An Introduction to the Theory of Mechanism Design

31


Igre s ponavljanjem

Student: Ivan Petrunić

Područje:


Preduvjeti:

Opis: U radu će se proučavati igre dva igrača s ponavljanjem. Bit će dokazani osnovniteoremi koji govore o strukturi skupa ravnoteža (Folk theorem).

Literatura:J. P. Benoa, V. Krishna: The Folk Theorems for Repeated Games: A Synthesis

32

Mentor: Tomislav Došlić

Logaritamsko ponašanje nizova zadanih linearnim rekurzijama

Student: Josip Kauf

Područje: kombinatorika


Preduvjeti: nema

Opis: Niz s pozitivnim članovima je log-konveksan ako je kvadrat svakog njegovog članamanji ili jednak od umnoška susjednih mu članova. Ako je nejednakost obrnuta, niz jelog-konkavan. U radu bi se trebalo proučavati logaritamsko ponašanje nizova zadanihkratkim linearnim rekurzijama s konstantnim koeficijentima.

Literatura:D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika

33

Mentor: Andrej Dujella

Statistički testovi za polialfabetske šifre

Student: Nikolina Morić

Područje: kriptografija


Preduvjeti:

Opis: Prikazat će se napadi na klasične polialfabetske šifre koji su zasnovani na nekimstatističkim svojstvima jezika. Obradit će se i druge primjene statističkih testova u krip-toanalizi.

Literatura:A. G. Konheim, Computer Security and Cryptography, Wiley, 2007.F. L. Bauer, Decrypted Secrets. Methods and Maxims of Cryptology, Springer-Verlag,2000.W. F. Friedman, Military Cryptanalysis, Aegean Park Press, 1980.

34


Transpozicijske šifre ADFGX i ADFGVX

Student: Andrea Tolić



Preduvjeti:

Opis: Prikazat će se kriptoanalitički napadi na najpoznatije njemačke transpozicijskešifre iz prvog svjetskog rata. Dat će se prikaz i ostalih važnih kriptografskih tehnika iosoba iz tog perioda.

Literatura:C. P. Bauer, Secret History. The Story of Cryptology, CRC Press, 2013.W. F. Friedman, Military Cryptanalysis, Aegean Park Press, 1980.D. Kahn, The Codebreakers. The Story of Secret Writing, Scribner, New York, 1996.(hrvatski prijevod: Šifranti protiv špijuna, Centar za informacije i publicitet, Zagreb,1979)

35


NTRU kriptosustav

Student: Valentina Pribanić



Preduvjeti:

Opis: Obradit će se jedan od novijih kriptosustava s javnim ključem, NTRU kriptosustav.U ovom se kriptosustavu kod šifriranja koriste polinomi na kojima se definira operacijacikličke konvolucije. Pored toga se koristi redukcija ovako dobivenih polinoma po dvamarelativno prostim modulima p i q. Prikazat će se veza NTRU kriptosustava s problemomnalaženja najkraćeg vektora u rešetki.

Literatura:J. Hoffstein, J. Pipher, J. H. Silverman, An Introduction to Mathematical Cryptography,Springer, 2008.P. Q. Nguyen, B. Vallee (Eds.), The LLL Algorithm. Survey and Applications, Springer,2010.

36


Načini djelovanja blokovnih šifri

Student: Monika Ratkajec



Preduvjeti:

Opis: Blokovne šifre definiraju kako se šifrira jedan blok otvorenog teksta. Budući da je upravilu otvoreni tekst znatno duži od jednog bloka, poznato je nekoliko načina djelovanja(modes of operation) pomoći kojih blokovne šifre obrađuju dulje poruke. U radu će seopisati i usporediti ti načini djelovanja. Obradit će se i druge metode koje mogu povećatisigurnost blokovnih šifri, poput višestrukog šifiranja (na primjeru 3DES-a).

Literatura:L.R. Knudsen, M.J.B. Robshaw, The Block Cipher Companion, Springer, 2011.W. Stallings, Cryptography and Network Security. Principles and Practice, Prentice Hall,2005.

37

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Metode rješavanja Pellove jednadžbe

Student: Jasna Bagović

Područje: teorija brojeva


Preduvjeti: Položen kolegij Teorija brojeva ili Elementarna teorija brojeva

Opis: U ovom diplmoskom radu obradit će se osnovni rezultati o diofantskoj jednadžbioblika x2−dy2 = 1 te njenim poopćenjima. Naglasak će biti na povijesnom prikazu raznihmetoda korištenih u njenom rješavanju.

Literatura:M.J. Jacobson, H.C. Williams, Solving the Pell Equation, Springer, 2009.E.J. Barbeau, Pell’s Equation, Springer-Verlag, 2003.T. Nagell, Introduction to Number Theory, Chelsea, 1981.

38

Mentor: Alan Filipin Suvoditelj: Andrej Dujella

Digitalan potpis i sigurnost

Student: Josipa Nikolić

Područje: teorija brojeva, kriptografija


Preduvjeti: Položen kolegij Kriptografija

Opis: U ovom diplomskom radu odbradit će digitalan potpis s posebnim naglaskom nanjegovu sigunost.

Literatura:J. Katz, Digital signatures, Springer, 2010.S. Goldwasser, M. Bellare, Lecture notes on Cryptography, 2008.

39

Mentor: Zrinka Franušić

Fibonaccijevi i Lucasovi polinomi

Student: Ivana Šokčić



Preduvjeti:

Opis: Rekurzivnim relacijama koje nalikuju na onu pomoću koje se određuju Fibonacci-jevi brojevi mogu se definirati različite klase polinoma. Na primjer Catalan je proučavaoFibonaccijeve polinome definirane relacijom

fn(x) = xfn−l(x) + fn−2(x),

gdje je f1(x) = 1, f2(x) = x i n > 2, dok je Jacobsthal proučavao polinome

Jn(x) = Jn−1(x) + xJn−2(x),

gdje je J1(x) = J2(x) = 1 i n > 2. U radu će se izvoditi eksplicitne formula za takve i sličnepolinome, te pripadne fukcije izvodnice. Nadalje, primjenom elementarnog matričnogračuna dobit će se neki zanimljivi identiteti.

Literatura:1. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.2. A. Dujella, Fibonaccijevi brojevi, HMD, Zagreb, 2000.3. B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehnička knjiga, Zagreb, 1992.

40


Catalanovi brojevi u trokutastim shemama

Student: Goran Banjanin

Područje: tteorija brojeva, kombinatorika


Preduvjeti:

Opis: Catalanovi brojevi Cn definiraju se sa

Cn =1

n+ 1

(2n

n

), n ≥ 0.

Prvih nekoliko članova ovog niza je 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430,... Uz njih se vežumnogi kombinatorni problemi kao što su problem triangulacije konveksnog n-terokuta,putova u cjelobrojnoj mreži, binarnih stabala, itd. U radu će se najprije pokazati nekaosnovna svojstva Catalanovih brojeva. Činjenica da Catalanove brojeve možemo ’pronaći’unutar Pascalovog trokuta omogućit će dokaze nekih zanimljivih rekuzivnih formula zaCatalanove brojeve. Konačno, definirat će se i istražiti Catalanov trokut koji zapravopredstavlja donji trokut matrice čiji su elementi definirani rekuzivnom relacijom. Dat ćese i neke geometrijske i kombinatorne interpretacije Catalanovog trokuta.

Literatura:1. T. Koshy, Fibonacci and Lucas numbers with applications, John Wiley & Sons, 2001.2. D. Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Algoritam, 2001.

41


Fermatovi brojevi

Student: Ivana Lepan

Područje: Teorija brojeva


Preduvjeti:

Opis: Brojevi oblikafm = 22m + 1, m = 0, 1, 2, . . . (1)

nazivaju se Fermatovi brojevi. Ako je broj fm prost, onda ga nazivamo Fermatovimprostim brojem. Prvih pet članova niza (1) su prosti (f0 = 3, fl = 5, f2 = 17, f3 = 257,f4 = 65537) i to su zasad i jedini poznati Fermatovi prosti. Otvoreno je pitanje postojili ih još. U radu će se iskazati i dokazati najvažnija svojstva Fermatovih brojeva, te datipregled nekih neriješenih problema koji se vežu uz Fermatove brojeve.

Literatura:1. M. Křížek, F. Luca, L. Somer, 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theoryto Geometry, Springer-Verlag New York, 2001.2. L. E. Dickson, History of the Theory of Numbers, Vol. 1: Divisibility and Primality,Chelsea Publishing Company, New York, 1956.3. G. A. Jones,J. M. Jones, Elementary Number Theory, Springer, 2006.

42


Neke praktične primjene verižnih razlomaka

Student: Antonija Mohar

Područje: Teorija brojeva


Preduvjeti:

Opis: U radu će se opisati kako se pomoću verižnih razlomaka rješavaju neke diofantskejednadžbe (linearne i kvadratne), te aproksimiraju neki iracionalni brojevi. Opisat će seosnovna svojstva verižnih razlomka i konvergenti.

Literatura:1. C. G. Moore, An Introduction to Continued Fractions, National Council of Teachers ofMathematics, Washington, 1964.,2. H. M. Stark, An Introduction to Number Theory, MIT Press, 1978.

43

Mentor: Pavle Goldstein Neposredni voditelj: Maja Karaga

Provodjenje χ2-testa na Android uređajima

Student: Nela Tomić

Područje: vjerojatnost i statistika, objektno orjentirano programiranje, programiranjeza Android


Preduvjeti: znanje iz kolegija Programiranje za suvremene procesore i Vjerojatnost istatistika

Opis: Rad izlaže teorijsku pozadinu χ2-testa, kao i osnovne koncepte i specifičnosti An-droid programiranja, s naglaskom na tehnologije korištene u radu. Konačan cilj rada jeizrada potpuno funkcionalne Android aplikacije za provođenje χ2-testa.

Literatura:Wei-Meng Lee: Beginning Android 4 Application Development, Apress, 2012.Reto Meier: Professional Android 4 Application Development, Wrox, 2012.Nikola Sarapa: Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, 2002.

44

Mentor: Pavle Goldstein

Višestruko poraravnanje i HMM

Student: Mihaela Stojković

Područje:

Prikladno za studij: za sve smjerove

Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati skriveni Markovljevi modeli za poravnanje proteinskihfamilija.

Literatura:Durbin et al: Biological Sequence Analysis, CUP, 2000

45


Statistički aspekti pretraživanja proteoma

Student: Iva Sorić

Područje:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati statistika pretraživanja proteoma pomoću lokalnih porav-nanja.


46


Statistika višestrukog poravnanja

Student: Mateja Vragović

Područje:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati statistički aspekti višestrukih poravnanja proteinskih fa-milija.


47


Statistički aspekti optimizacije HMM-a

Student: Irma Valčić

Područje:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati razni algoritmi optimizacije jednostavnih skrivenih Mar-kovljevih modela i pridružene statistike.


48


Topološki Markovljevi lanci

Student: Grgo Slavica

Područje:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati topološki Markovljevi lanci i razni tipovi njihovih ekviva-lencija.

Literatura:Franks, J.: Flow equivalence of subshifts of finite typeParry, Tuncil: Classification Problems in Ergodic Theory

49


Primjena skrivenih Markovljevih modela na proučavanje genoma

Student: Maja Cigula

Područje:


Preduvjeti: nema

Opis: U radu će se proučavati skriveni Markovljevi modeli i njihova primjena pri analizigenoma.


50

Mentor: Marcela Hanzer

Analitičko produljenje funkcije

Student: Nediljka Olujić

Područje: kompleksna analiza


Preduvjeti: položen kolegij kompleksna analiza

Opis: U radu će se uvesti pojam analitičkog produljenja funkcije, pojam singularne iregularne točke te prirodne granice. Dokazali bi se teoremi Ostrowskog i Hadamarda orazvojima funkcija koje imaju prirodnu granicu. Uvelo bi se produljenje duž krivulje idokazao teorem o monodromiji. Uvele bi se modularne funkcije i pokazalo bi se da im jerealna os prirodna granica. Naposljetku, dokazao bi se mali Picardov teorem.

Literatura:Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1986.

51

Mentor: Marcela Hanzer

Od kongruencijskih brojeva do eliptičkih krivulja

Student: Borna Cicvarić

Područje: algebra, teorija brojeva, kompleksna analiza

Prikladno za studij: Teorijska, Primjenjena matematika

Preduvjeti: položen kolegij Algebarske strukture; poželjno je da položen i kolegij Algebra

Opis: U radu bi se klasični problem određivanja je li neki prirodni broj n kongruencijskiili ne, povezao s teorijom eliptičkih krivulja. Definirale bi se eliptičke krivulje, dvostrukoperiodičke funkcije, Weierstrassova forma, te promatralo zbrajanje na eliptičkoj krivulji.Proučavale bi se točke konačnog reda, te na koncu točke nad konačnim poljima i timedala veza s originalnim problem kongruencijskih brojeva.

Literatura:Koblitz, Introduction to elliptic curves and modular forms, Springer, 1984.

52

Mentor: Vjeran Hari

Nove metode za računanje spektralne dekompozicije simetričnematrice reda 3 i 4

Student: Marija Kranjčević

Područje: linearna algebra, teorija matrica


Preduvjeti: Položen kolegij Vektorski prostori

Opis: Cilj je implementirati nove algoritme za računanje spektralne dekompozicije si-metričnih matrica malog reda. Ti algoritmi se onda koriste kao jezgreni algoritmi zaračunanje blok dijagonalizacijskih algoritama za simetrične matrice reda n. Ima nekolikopristupa kako izvesti nove algoritme, a bazirani su na dolje spomenutim člancima. Udrugom članku, ideja je da se simetrična matrica reda 3 dijagonalizira pomoću tri, a reda4 pomoću 6 ravninskih rotacija. Da se to može, vidi se trećeg članka, o CS dekompozicijiortogonalnih matrica reda 3 i 4. Programi bi se pisali prvo u MATLABu, zatim u FOR-TRANu.

Literatura:Jakovčević Stor N., Slapničar I., Barlow J. L.: Accurate eigenvalue decomposition of ar-rowhead matrices and applications, prihvaćeno za objavljivanje u Linear Algebra Appl.Hari V., Matejaš J.: Diagonalization of a 4 × 4 symmetric matrix via 6 plane rotations,u pripremi.Hari V., Zadelj-Martić V.: Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda,math.e 10 (http://e.math.hr/csdekompozicija/index.html)

53

Mentor: Davor Horvatić

Otkriće ubrzanog širenja svemira

Student: Andrea Rudež

Područje: astrofizika

Prikladno za studij: Matematika i fizika

Preduvjeti: Vjerojatnost i statistika, Astronomija i astrofizika

Opis: Osnove kozmologije predstavljaju završni dio kurikuluma fizike za prirodoslovno-matematičke gimnazije. Kozmološka slika svemira izrazito se promijenila u zadnjih 15godina, tako da je jedan od ključnih problema u razradi te teme njegova prezentacijau okviru spomenutog kurikuluma. Diplomski rad metodički bi razradio temu i objasniomiskoncepcije koje se javljaju kod učenika. Dodatno bi se napravila analiza eksperimen-talnih mjerenja te odredili parametri regresijskim metodama koji opisuju širenje svemira.

Literatura:Introduction to Cosmology. Barbara Ryden, 2003 (San Francisco: Addison Wesley)

54

Mentor: Davor Horvatić

Svojstva Biot–Savartovog operatora i njegova primjena uprirodnim znanostima

Student: Marina Suton

Područje: elektrodinamika

Prikladno za studij: Matematika i fizika

Preduvjeti: Elektrodinamika, matematička analiza i linearna algebra

Opis: Biot–Savartov operator ima izrazito širok spektar primjene u prirodnim znanos-tima i tehnici. Studenti navedeni operator upoznaju u okviru Elektrodinamike i Biot-Savartovog zakona. No, kako smo naveli, njegova svojstva omogućuju njegovu izrazitoširoku primjenu te je osnovna ideja diplomskog rada dati kompletni pregled primjenekroz specifične slučajeve. Također, metodički dio biti će razrađen tako da budući prof.fizike i matematike izgradi temelj boljeg prezentiranja te, ne tako lagane teme.

Literatura:D.J. Griffiths: Introduction to Electrodynamics, by Prentice-Hall, Inc. Upper Saddler Ri-ver, New Jersey, 1999, 3rd edition, Jason Cantarell, Dennis DeTurck and Herman Gluck,The Biot–Savart operator for application to knot theory, fluid dynamics, and plasmaphysics, J. Math. Phys., Vol. 42, No. 2, February 2001.

55

Mentor: Miljenko Huzak

Modeli kratkoročnih kamatnih stopa

Student: Maria Čuljak

Područje: financijska matematika

Prikladno za studij: Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Slučajni procesi i Teorija vjerojatnosti 1, 2. Po-željno predznanje iz predmeta Financijska matematika 1, 2.

Opis: Modeli kratkoročnih kamatnih stopa (engl. short rate models) su stohastički modeliza kamatne stope kao rješenja odgovarajućih Itovih stohastičkih diferencijalnih jednadžbi.Primijenjuju se za vrednovanje određenih financijskih instrumenata (vrijednosnica i izve-denica) u financijskoj matematici. Uz definiciju i navođenje osnovnih karakteristika mo-dela kratkoročnih kamatnih stopa s posebnim naglaskom na tzv. afine modele, te analizunajvažnijih poznatih modela, tema obuhvaća i preglede potrebnih elemenata stohastičkogračuna, rezultata arbitražne teorije, vrijednosnica i izvedenica.

Literatura:D. Filipović, Term-Structure Models, Springer, 2009.Lixin Wu, Interest Rate Modeling, Theory and Practice, CRC Press, 2009.

56


Bayesovska regresijska analiza

Student: Iva Bogojević

Područje: primijenjena statistika

Prikladno za studij: Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matematička statistika i Primijenjena statistika.

Opis: Statističkoj analizi linearnog regresijskog modela pristupa se s bayesovskog aspekta:parametri modela se tretiraju kao slučajne veličine s poznatom apriornom distribucijom,a glavni cilj analize je na osnovi opaženih podataka odrediti posteriornu razdiobu para-metara s primjenom na predviđanja varijable odziva. Posebno se razmatraju problemi sneiformativnom aprirnom distribucijom i konjugirani (normalni) model.

Literatura:S.T. Rachev et al., Bayesian Methods in Finance, Wiley, 2008.C.P. Robert, The Bayesian Choice, A Decision-Theoretic Motivation, Springer, 1994.M.J. Schervish, Theory of Statistics, Springer-Verlag, 1995.

57


Faktorska analiza

Student: Sanja Srša

Područje: primijenjena statistika

Prikladno za studij: Matematička statistika

Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matematička statistika i Primijenjena statistika.

Opis: Faktorska analiza je eksplorativna statistička disciplina u kojoj se linearnim statis-tičkim metodama izučava korelacijska struktura opaženih varijabli. Tema rada obuhvaćapreciznu matematičku formulaciju faktorskog modela, matematički opis njegovih svoj-stava, procjenu i primjenu ilustriranu kroz primjere.

Literatura:A. Basilevsky, Statistical Factor Analysis and Related Methods, Theory and Applications,Wiley, 1994.

58


Asimptotska razdioba statistika baziranih na rangovima

Student: Ena Jurilj

Područje: matematička i primijenjena statistika


Preduvjeti: Predznanje iz predmeta Matematička statistika, Primijenjena statistika, Te-orija Vjerojatnosti 1, 2.

Opis: Velik broj neparametarskih testova bazira se na statistikama koje ovise o rango-vima. U radu će se dokazati opći centralni granični teorem za statistike koje su funkcijerangova, a zatim će se taj teorem primijeniti na niz neparametarskih veličina i metodakoje se zasnivaju na analizi rangova (Spearmanov koeficijent korelacije, Wilcoxonov testrangova itd.)

Literatura:T.S. Ferguson, A Course in Large Sample Theory, Chapman & Hall, 1996.

59


Granice odredivosti izvora zaraze procesa širenja epidemije namrežama

Student: Alen Lančić

Područje: Teorija vjerojatnosti


Preduvjeti: Predznanje iz Teorije vjerojatnosti 1,2

Opis: U istraživanju širenja epidemija na kompleksnim mrežama u zadnjih godinu danaje dio istraživanja posvećen izradi algoritama koji pokušavaju odrediti vrh koji ima naj-veću vjerodostojnost kao izvor zaraze uz opaženu realizaciju širenja zaraze zaustavljenu unekom trenutku nakon početka širenja. Zbog prohibitivne složenosti egzaktnih metoda,koriste se različite aproksimacije koje daju točno rješenje na posebnim klasama mreža.Motivirani takvim razvojem događaja, u ovom se radu prvo ukazuje na fundamentalnenedostastke takvog pristupa, a pojmovi koji se često koriste u ovom području se mate-matički postavljaju na čvrste temelje. Razmatra se nova mjera, odredivost, i istražuju senjena svojstva.

Literatura:A. Lančić, N. Antulov-Fantulin, M. Šikic, H. Štefančić, Phase diagram of epidemic spre-ading - unimodal vs. bimodal probability distributions,Physica A: Statistical Mechanicsand its Applications 390 (2011) 65-76M. Šikic, A. Lančić, N. Antulov-Fantulin, H. Štefančić, Epidemic centrality and the unde-restimated epidemic impact on network peripheral nodes, The European Physical JournalB (EPJ B), 86:440 (2011) 1-13N. Antulov-Fantulin, A. Lančić, H. Štefančić, M. Šikic, FastSIR Algorithm: A Fast Al-gorithm for simulation of epidemic spread in large networks by using SIR compartmentmodel, Information Sciences 239 (2013) 226-240

60

Mentor: Goran Igaly

Fraktali u nastavi matematike i informatike

Student: Sanja Kolar

Područje: nastava matematike i informatike

Prikladno za studij: Profesor matematike i informatike

Preduvjeti: Položen kolegij Metodika nastave informatike I, poznavanje programiranjau nekom programskom jeziku

Opis: S obzirom da nisu dio obveznog osnovnoškolskog i srednješkolskog gradiva, fraktalise rijetko spominju u redovnoj nastavi te su učenici slabo upoznati s njima. Ovaj diplomskirad pokazat će na koji način povezati nastavu matematike i informatike s fraktalima iučiniti ju zanimljivijom učenicima.

Literatura:B. Mandelbrot, The Fractal Geometry of Nature, Times Books, 1982.H.O. Peitgen, H. Jurgensen, D. Saupe, Chaos and Fractals: New Frontiers of Science,Springer, 2004.K. J. Falconer, Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications, JohnWiley and Sons, 2003.

61

Mentor: Goran Igaly

OpenCV biblioteka i primjene

Student: Dino Franić

Područje: računarstvo, računarsko inžinjerstvo

Prikladno za studij: diplomski studij računarstva i matematike, diplomski sveučilišnistudij Matematika i informatika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: položen kolegij Multimedijski sustavi, poznavanje programiranja u program-skom jeziku C/C++

Opis: U ovom diplomskom radu istraživat će se programska biblioteka OpenCV (OpenSource Computer Vision Library). Posebno će se pokazati primjena ove biblioteke nakonkretnom primjeru te primijeniti neko od mogućih ubrzanja pomoću GPU jedinice.

Literatura:Daniel Lélis Baggio, Shervin Emami, David Millán Escrivá, Khvedchenia Ievgen, NaureenMahmood, Jasonl Saragih, Roy Shilkrot - Mastering OpenCV with Practical ComputerVision Projects, Packt Publishing, 2012.Kenneth Dawson-Howe - A Practical Introduction to Computer Vision with OpenCV(Wiley-IS&T Series in Imaging Science and Technology), Wiley, 2014.Samarth Brahmbhatt - Practical OpenCV (Technology in Action), Apress, 2013.The OpenCV Reference Manual, Release 2.4.9.0, dostupno 14.11.2014 na http://docs.opencv.org/opencv2refman.pdfThe OpenCV Tutorials, Release 2.4.9.0, dostupno 14.11.2014 na http://docs.opencv.org/opencv_tutorials.pdf

62

Mentor: Goran Igaly

Mogućnosti online učenja u nastavi matematike

Student: Ana Milišić

Područje: metodika nastave matematike

Prikladno za studij: Diplomski sveučilišni studij Matematika; smjer: nastavnički, Di-plomski sveučilišni studij Matematika i informatika; smjer: nastavnički, Diplomski sve-učilišni studij Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Ostvareni ECTS bodovi iz kolegija Metodika nastave matematike, Metodikanastave informatike, Primjena računala u nastavi matematike

Opis: Primjena aktivnog online učenja, uporaba elektroničkih medija, edukacijske teh-nologije te informacijskih i komunikacijskih tehnologija (ICT) u obrazovanju kod nas udanašnje vrijeme nije česta. Međutim, razvojem društva će online učenje postati neizos-tavan dio obrazovanja. Cilj ovog rada je predstaviti Moodle/Loomen, sustav za onlineučenje, te u njemu obraditi odredjeni broj nastavnih jedinica iz matematike za učenikeosnovne i/ili srednje škole i procijeniti stvarne mogućnosti sustava online učenja u nastavimatematike danas.

Literatura:1. T. Anderson, The Theory and Practice of Online Learning, Athabasca University Pres,2009.2. P. Shank, The online learning idea book, Proven ways to enhance technology - basedand blended learning, Pfeiffer, Essential resources for training and HR professionals, 2011.3. J. Seltzinger, Vodič kroz Moodle za nastavnike, http://moodle.srce.hr/2014-2015/my/, preuzeto 13.11.2014.4. Z. Bekić, Pravilnik o organizaciji i korištenju sustava za e-učenje Merlin, Zagreb,http://moodle.srce.hr/2014-2015/my/, preuzeto 13.11.2014.

63

Mentor: Goran Igaly

Algoritmi za prepoznavanje pokreta i primjena na automatskopraćenje objekata

Student: Alan Kunštek

Područje: računarstvo, računarsko inžinjerstvo

Prikladno za studij: diplomski studij računarstva i matematike

Preduvjeti: položen kolegij Multimedijski sustavi

Opis: U ovom diplomskom radu istražit će se algoritmi za analizu uzastopnih slika do-bivenih kamerom, u svrhu odredjivanja na kojem dijelu slike nastaje promjena, odnosnogdje je detektiran pokret. Od istraženih algoritama odabrat će se jedan, te se konkretnoimplementirati automatsko praćenje objekata kamerom koja snima (npr. praćenje preda-vača za vrijeme predavanja). Bit će potreban osvrt na tehnologije koje su nam potrebneza realizaciju ovakve primjene. Također će biti potrebno istražiti metode za filtriranjemanjih nebitnih pokreta, kako kamera ne bi pratila svaki pomak ruke ili premještanjegovornika s noge na nogu.

Literatura:Casey Reas and Ben Fry - Getting Started with Processing, O’Reilly Media inc., Sebas-topol, CA, June 2010.Daniel Shiffman - Learning Processing, A Beginner’s Guide to Programming Images, Ani-mation, and Interaction, Morgan Kaufmann Publishers, MA, 2008.Ester Martinez-Martin, Ángel P. del Pobil - Robust Motion Detection in Real-Life Sce-narios, Springer, 2012.Andrew Kirillov, Motion Detection Algorithms, http://www.codeproject.com/Articles/10248/Motion-Detection-Algorithms, 27 March 2007A. Manzanera, J. C. Richefeu, A Robust and Computationally Efficient Motion DetectionAlgorithm Based on Σ −∆ Background Estimation, http://perso.ensta-paristech.fr/~manzaner/Publis/icvgip04.pdf, November 2014Introduction To Motion Detection, https://www.ridgerun.com/developer/wiki/index.php/Introduction_to_Motion_Detection, November 2014Sen-Ching S. Cheung, Chandrika Kamath, Robust Techniques for Background Subtrac-tion in Urban Traffic Video, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download;?doi=10.1.1.214.6703&rep=rep1&type=pdf, 2004.Cristopher Wren, Ali Azarbayejani, Trevor Darell, Alex Pentland, Real-Time Tracking ofthe Human Body, http://pdf.aminer.org/001/033/397/pfinder_real_time_tracking_of_the_human_body.pdf, July 1997.

64

Mentor: Dijana Ilišević

Konstrukcije pravilnog sedmerokuta

Student: Nikola Lepen

Područje: elementarna geometrija

Prikladno za studij: Matematika - smjer nastavnički, Matematika i informatika - smjernastavnički, Matematika i fizika - smjer nastavnički

Preduvjeti: kolegij Elementarna geometrija

Opis: Poznato je da se pravilni sedmerokut ne može konstruirati ravnalom i šestarom. Zakonstrukcije pravilnog sedmerokuta, osim ravnala i šestara, treba koristiti svojstva konikaili neke konstrukcije koje nisu izvodljive ravnalom i šestarom. Zadatak ovog diplomskograda je opisati neke konstrukcije pravilnog sedmerokuta, primjerice Arhimedovu kons-trukciju i nekoliko konstrukcija koje su izveli srednjovjekovni arapski matematičari.

Literatura:V. Benčić, Elementarna geometrija, II dio, za pedagoške akademije, Školska knjiga, Za-greb, 1974.Ð. Paunić, Pravilni poligoni, Društvo matematičara Srbije, Beograd, 2006.B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1992.

65


Feuerbachova kružnica i Simsonov pravac

Student: Magdalena Mikulić

Područje: elementarna geometrija


Preduvjeti: kolegij Elementarna geometrija

Opis: Neka su u trokutu ABC točke A′, B′, C ′ polovišta stranica, točke A′′, B′′, C ′′ polo-višta dužina AH,BH,CH, gdje je H ortocentar, a točke A1, B1, C1 nožišta visina. Svihdevet točaka A′, B′, C ′, A′′, B′′, C ′′, A1, B1, C1 leže na istoj kružnici i ta se kružnica nazivakružnica devet točaka ili Feuerbachova kružnica. Neka je k kružnica opisana trokutuABC te neka su točke A0, B0, C0 nožišta okomica spuštenih iz bilo koje točke kružnicek na pravce na kojima leže stranice trokuta ABC. Tada točke A0, B0, C0 leže na istompravcu i taj se pravac naziva Simsonov pravac. Zadatak ovog diplomskog rada je proučitisvojstva Feuerbachove kružnice trokuta i njegovog Simsonovog pravca te njihove među-sobne veze.

Literatura:Z. Kolar-Begović, A. Tonković, Feuerbachov teorem, Osječki matematički list 9 (2009),21–30.A. Marić, Neki poučci o Simsonovom pravcu, Bilten seminara iz matematike za nastavnike–mentore 14 (2005), 58–64.D. Palman, Kružnica devet točaka i Feuerbachov teorem, Matematika 1 (1986), 54–64.D. Palman, Simsonov pravac trokuta, Matematika 2 (1985), 38–45.D. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 2004.B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika I, Tehnička knjiga, Zagreb, 1992.R. Uglešić, Feuerbachova kružnica, Matka 12 (2003/2004), 17–18.M. de Villiers, Generalizacija kružnice 9 točaka i Eulerova pravca, Poučak 9 (2008), 35–44.

66


Osnove logike sudova

Student: Petra Lucia Bakotić

Područje: osnove matematike


Preduvjeti: kolegij Uvod u matematiku

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati osnove logike sudova i ideju dokaza, kao te-melje za deduktivno zaključivanje.

Literatura:V. Devide, Matematička logika, prvi dio (klasična logika skupova), Posebna izdanja Ma-tematičkog instituta, knjiga 3, Beograd, 1972.I. Lakatos, Dokazi i opovrgavanja, Školska knjiga, Zagreb, 1991.S. Mintaković, F. Ćurić, Osnove matematike sa zbirkom zadataka, Školska knjiga, Zagreb,1985.N. Prijatelj, Osnove matematičke logike, Prvi del: Simbolizacija, DMFA, Ljubljana, 1992.

67

Mentor: Zvonko Iljazović

Dekompozicijski prostori

Student: Mihaela Moker

Područje: topologija


Preduvjeti:

Opis: Kada je (X, T ) topološki prostor te F particija od X, onda na F imamo topologijukoja se sastoji od svih G ⊆ F takvih da je

⋃G ∈ T . Pitanje je koja svojstva ima tako

dobiveni topološki prostor te na koji način ona ovise o svojstvima polaznog prostora. Uovom radu će se proučavati neki problemi s tim u vezi.

Literatura:C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.S. B. Nadler, Continuum theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.

68


Disperzija i potpuna omeđenost

Student: Tamara Bilić



Preduvjeti:

Opis: Za konačan niz točaka u metričkom prostoru kažemo da je r-raspršen ako sumeđusobne udaljenosti tih točaka veće od r. Ovaj pojam je u određenoj vezi s pojmompotpune omeđenosti metričkog prostora. Cilj ovog rada jest proučiti vezu između tihpojmova.

Literatura:W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

69


Hausdorffova metrika

Student: Marina Volarić



Preduvjeti:

Opis: Za neprazne, zatvorene i omeđene skupove A i B u nekom metričkom prostoru(X, d) definiramo njihovu Hausdorffovu udaljenost kao infimum skupa svih ε > 0 sasvojstvom da za svaki a ∈ A postoji b ∈ B takav da je d(a, b) < ε te da za svaki b ∈ Bpostoji a ∈ A takav da je d(b, a) < ε. Na ovaj način dobivamo metriku na određenojfamiliji podskupova od X. U ovom radu će se proučavati razna svojstva Hausdorffovemetrike.

Literatura:C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975.S. B. Nadler, Continuum theory, Marcel Dekker, Inc., New York, 1992.

70


Hilbertov prostor

Student: Maja Štajduhar



Preduvjeti:

Opis: U ovom radu će se proučavati Hilbertov prostor l2. Proučavat će se neka svojstvatog prostora, a naglasak će se staviti na one činjenice vezane za ovaj prostor koje su uvezi s određenim topološkim rezultatima efektivnog tipa.

Literatura:W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

71


Izometrički ekvivalentni nizovi

Student: Denis Vrdoljak



Preduvjeti:

Opis: Za konačne nizove x1, . . . , xn i y1, . . . , yn točaka u metričkom prostoru (X, d) ka-žemo da su izometrički ekvivalentni ako je d(xi, xj) = d(yi, yj) za sve i, j. Nadalje, rećićemo da su dani konačni nizovi r-izometrički ekvivalentni ako je |d(xi, xj)− d(yi, yj)| < rza sve i, j. U ovom radu će se proučavati ovi, kao i pojmovi slični ovima, te će se prouča-vati neki rezultati koji povezuju dane pojmove i izometrije od (X, d).

Literatura:W. A. Sutherland, Introduction to metric and topological spaces, Oxford University Press,1975C. O. Christenson, W. L. Voxman, Aspects of Topology, Marcel Dekker, Inc., New York,1977.

72


Izračunljivi metrički prostori

Student: Anita Kuruc

Područje: teorija izračunljivosti, topologija


Preduvjeti:

Opis: Izračunljiv metrički prostor je metrički prostor zajedno s nizom čija slika je gustai takvim da se udaljenosti između članova niza mogu efektivno izračunati. Riječ je ovažnom konceptu u izračunljivoj analizi i topologiji. U ovom radu će se proučavati nekinjegovi aspekti.

Literatura:V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:43–76, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.M. Vuković, Izračunljivost, skripta, 2009.

73


Izračunljivi topološki prostori

Student: Marija Lijović



Preduvjeti:

Opis: Izračunljiv topološki prostor je topološki prostor zajedno s enumeracijom bazepripadne topologije koja je efektivna u smislu da se određene relacije između pojedinihčlanova te baze mogu efektivno izraziti. Pitanje je kako se u tom kontekstu mogu opisatipojmovi i rezultati vezani za razne tipove izračunljivosti skupova. To je problematikakoja će se proučavati u ovom radu.

Literatura:V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:43–76, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.V. Brattka, Plottable real number functions and the computable graph theorem, SIAM J.Comput., 38(1):303–328, 2008.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.

74


Lokalna izračunljivost

Student: Igor Sušić



Preduvjeti:

Opis: Kada je riječ o izračunljivosti poluizračunljivih skupova, važnu ulogu igra pojamizračunljivosti skupa A do na skup B. Da je A izračunljiv do na B znači da se A možeefektivno prekriti proizvoljno ’malim’ skupovima od kojih svaki siječe B. U ovom raduće se proučavati ovaj pojam te neki s njim povezani koncepti.

Literatura:V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:43–76, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.V. Brattka, Plottable real number functions and the computable graph theorem, SIAM J.Comput., 38(1):303–328, 2008.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.

75


Metrička ravnina

Student: Marija Tomić Kruljac

Područje: geometrija, topologija


Preduvjeti:

Opis: Metrička ravnina je određena geometrijska struktura koja podrazumijeva i metrikuna danom skupu. Uz neke dodatne pretpostavke na tu strukturu dolazi se do pojmaapsolutne ravnine. U ovom radu će se proučavati neki aspekti ovih pojmova.

Literatura:B. Pavković, D. Veljan, Elementarna matematika 1, Tehnička knjiga, Zagreb, 1992.H. S. M. Coxeter, Introduction to Geometry J. Wiley, New York, 1969.

76


Poliedri

Student: Marijana Bradaš

Područje: geometrija, topologija


Preduvjeti:

Opis: Poliedri su objekti izgrađeni od simpleksa, pri čemu se u toj izgradnji simpleksispajaju na određeni način po svojim stranicama. Poliedri igraju važnu ulogu u topologiji.U ovom radu će se proučavati neka njihova svojstva.

Literatura:J. R. Munkres, Elements of Algebraic Topology Addison-Wesley Publishing Company,Menlo Park, California, 1984.I. M. Singer, J. A. Thorpe, Lecture Notes in Elementary Topology and Geometry Springer-Verlag, New York-Heielberg-Berlin, 1967.

77


Poluizračunljivost

Student: Eugen Čičković



Preduvjeti:

Opis: Skup S je poluizračunljiv ako se mogu efektivno prebrojati svi racionalni otvorenipokrivači tog skupa. Ovaj pojam je u određenoj vezi s pojmom korekurzivno prebrojivogskupa, kao i s nekim ostalim konceptima izračunljivosti. U ovom radu će se proučavatirazni aspekti poluizračunljivosti.

Literatura:V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:43–76, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.K. Weihrauch, T. Grubba, Elementary Computable Topology, Journal of Universal Com-puter Science, 15(6), 1381-1422, 2009.M. Vuković, Izračunljivost, skripta, 2009.

78


Rekurzivne multifunkcije

Student: Elvir Baltić

Područje: teorija izračunljivosti


Preduvjeti:

Opis: U ovom radu će se proučavati funkcije oblika Nk → P(Nn). Proučavat će serekurzivnost takvih funkcija te još neki pojmovi s tim u vezi. Obradit će se i potrebnečinjenice iz klasične teorije rekurzivnih funkcija.

Literatura:H. Rogers, Theory of recursive functions and effective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vuković, Izračunljivost, skripta, 2009.

79


Rekurzivnost realnih funkcija

Student: Ivana Šore

Područje: teorija izračunljivosti


Preduvjeti:

Opis: U ovom radu će se proučavati rekurzivne funkcije Nk → R. Proučavat će se ineki pomovi s tim u vezi kao i razna svojstva takvih funkcija. Obradit će se i potrebnečinjenice iz klasične teorije rekurzivnih funkcija.

Literatura:K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.H. Rogers, Theory of recursive functions and effective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vuković, Izračunljivost, skripta, 2009.

80


Svojstvo efektivnog pokrivanja

Student: Marko Pavičić



Preduvjeti:

Opis: Za izračunljiv metrički prostor kažemo da ima svojstvo efektivnog pokrivanja akose za danu racionalnu zatvorenu kuglu mogu efektivno prebrojati svi njeni racionalniotvoreni pokrivači i to uniformno po svim racionalnim zatvorenim kuglama. U prostorimakoji imaju to svojstvo se mogu dobiti određeni rezultati koji ne vrijede općenito. U ovomradu će se obraditi neke činjenice vezane za svojstvo efektivnog pokrivanja.

Literatura:V. Brattka, G. Presser, Computability on subsets of metric spaces, Theoretical ComputerScience, 305:43–76, 2003.K. Weihrauch, Computable Analysis, Springer, Berlin, 2000.M. B. Pour-El, I. Richards, Computability in Analysis and Physics, Springer-Verlag,Berlin-Heielberg-New York, 1989.H. Rogers, Theory of recursive functions and effective coputability, McGraw-Hill, 1967.M. Vuković, Izračunljivost, skripta, 2009.

81

Mentor: Anamarija Jazbec

Modeliranje dijabetesa pomoću logističke regresije s nominalnomzavisnom varijablom

Student: Anto Dodik

Područje: statistika


Preduvjeti:

Opis: Koristeći bazu s predavanja naći model koji najbolje predviđa pojavnost dijabetesatipa I i II pomoću varijabli koje se nalaze u bazi.

Literatura:1. Allison P.D. (1999) Logistic Regression Using SAS: Theory and Application. Cary,NC:SAS Institute Inc.2. Stokes, M.E., Davis C.S., Koch G.G. (2000) Categorical Data Analysis Using SASSystem, Second Edition. Cary, NC:SAS Institute Inc.

82


Linearna regresijska analiza simboličkih podataka

Student: Tomislav Lektorić



Preduvjeti:

Opis: Vrlo često nemamo točnu izmjeru nekog obilježja, već znamo neki interval ili uvelikim bazama podataka želimo grupirati podatke i analizirati tako grupirane podatke.U ovom radu trebalo bi definirati linearni regresijski model za simboličke podatke.

Literatura:1. Billard L, Diday E. (2006) Symbolic data Analysis: Conceptual Statistics and DataMining, John Wiely, Chichester.2. Diday E, Noirhomme M (eds.) (2008) Symbolic Data and the SODAS Software. JohnWiely, Chichester.3. http://iti.srce.hr/multimedia/ITI/snimke/2008/Lynn_Bilard.wmv

83


Klasifikacijska stabla

Student: Anja Damiš



Preduvjeti:

Opis: Klasifikacijska stabla koriste se za predviđanje članstva objekata u klase kategoričkizavisne varijable pomoću jedne ili više prediktorskih varijabli. Cilj klasifikacijskih stabalaje predvidjeti ili objasniti odgovore na kategoričku zavisnu varijablu.

Literatura:1. Hastie T, Tibshirani R, Friedman J (2001) The Elements of Statistical Learning: DataMining, Inference and Prediction, Spirnger. New York.2. http://support.sas.com/publishing/pubcat/chaps/57587.pdf

84


Modeliranje pojavnosti endemske nefropatije pomoću logističkeregresije

Student: Maja Šekoranja



Preduvjeti:

Opis: Koristeći bazu o endemskoj nefropatiji naći model koji najbolje predviđa pojavnostendemske nefropatije pomoću varijabli koje se nalaze u bazi.

Literatura:1. Allison P.D. (1999) Logistic Regression Using SAS: Theory and Application. Cary,NC:SAS Institute Inc.2. Stokes, M.E., Davis C.S., Koch G.G. (2000) Categorical Data Analysis Using SASSystem, Second Edition. Cary, NC:SAS Institute Inc.

85


Višefaktorska analiza varijance ponovljenih mjerenja

Student: Nikolina Molnar



Preduvjeti:

Opis: Višefaktorska analiza varijance kod koje promatramo i ponovljena mjerenja anali-ziranih subjekata. Uz efekt između subjekata postoji i efekt između subjekata (autokore-lacija).

Literatura:Davis C. S. (2002) Statistical Methods for the Analysis of Repeated Measurements, Sprin-ger, New York.

86

Mentor: Matija Kazalicki

Bayesova statistika i primjene

Student: Iva Zovko



Preduvjeti: nema

Opis: Američki statističar Nate Silver je privukao pažnju nematematičke javnosti kada jena američkim predsjedničkim izborima 2012. godine točno prognozirao rezultate glasova-nja u svim saveznim državama. Njegov model je bio baziran na Bayesovoj statistici. Ciljovog diplomskog je obraditi osnove Bayesove statistike i objasniti primjene u predviđanjurezultata izbora kao i primjene u sudskoj praksi (slučaj R v Adams).

Literatura:J. Albert Bayesian computation with R, New York : Springer Science + Business Media,2009

87

Mentor: Matija Kazalicki

Bitcoin

Student: Ines Francisković



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj ovog diplomskog rada je opisati matematičku pozadinu kriptovalute Bitcoin.

Literatura:S. Nakamoto, Bitcoin: A Peer-to-Peer Electronic Cash System, bitcoin.orgA. Antonopoulos, Mastering Bitcoin - Unlocking digital currencies, https://github.com/aantonop/bitcoinbook

88

Mentor: Vjekoslav Kovač

Tehnika Bellmanovih funkcija u matematičkoj analizi

Student: Marin Bužančić

Područje: matematička analiza (harmonijska analiza)


Preduvjeti: nema

Opis: Metoda Bellmanovih funkcija je jedna od najjačih i najoriginalnijih tehnika zadokazivanje raznovrsnih ocjena u matematičkoj analizi. Osnovna ideja je proizašla iz ra-dova D. L. Burkholdera, dok su je F. Nazarov, S. Treil i A. Volberg pretvorili u sustavnuteoriju. Nazvana je u čast R. E. Bellmana jer ima dodirnih točaka s njegovim radom upodručju optimalne stohastičke kontrole, ali taj aspekt nije nužan za njenu primjenu unu-tar harmonijske analize, čime će se baviti ovaj rad. Osnovna je ideja da je dokaz ocjeneodgovarajućeg tipa ekvivalentan pronalaženju jedne jedine funkcije s traženim svojstvima,tzv. Bellmanove funkcije za dani problem.Cilj ovog rada je obrazložiti osnovni princip tehnike Bellmanovih funkcija te ga potomprimijeniti na nekoliko konkretnih problema u harmonijskoj analizi. Tako će se obraditipojam Carlesonove mjere i Carlesonov teorem ulaganja, koji će se dokazati spomenutomtehnikom. Još jedna obrađena tema bit će Ap/A∞ težine i ocjene vezane uz njih. Velikinaglasak će se staviti na elaboriranje trikova za pronalaženje samih Bellmanovih funkcija:heurističkih supstitucija kod diferencijalnih jednadžbi i numeričkih simulacija na raču-nalu.

Literatura:(1) J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Pro-vidence, 2000.(2) F. Nazarov, S. Treil, The hunt for a Bellman function: applications to estimates forsingular integral operators and to other classical problems of harmonic analysis, St. Pe-tersburg Math. J. 8 (1997), 721–824.(3) E. M. Stein, Harmonic Analysis: Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscilla-tory Integrals, Princeton University Press, Princeton, 1993.

89


Fourierova analiza na lokalno kompaktnim abelovim grupama ineke primjene

Student: Ljudevit Palle

Područje: matematička analiza (Fourierova analiza)


Preduvjeti: nema

Opis: Tema ovog rada bit će osnove Fourierove analize u kontekstu općenitih komutativ-nih lokalno kompaktnih grupa, koja se ponekad naziva i apstraktna harmonijska analiza.Preliminarne potrebne materijale činit će teorija Radonovih mjera, osnove topološkihgrupa i egzistencija Haarove mjere. U glavnom dijelu rada definirat će se dualna grupa,fundirati Fourierova transformacija, dokazati Fourierov teorem inverzije, pokazati Planc-herelov identitet te konačno dokazati Pontrjaginov teorem o bidualu. Kulminacija radnjebit će rezultati koji primjenjuju tu općenitu teoriju, poput Bochnerovog teorema ka-rakterizacije Fourierovih transformata konačnih mjera i karakterizacije skoro-periodičnihfunkcija pomoću Bohrove kompaktifikacije.

Literatura:(1) G. B. Folland, A Course in Abstract Harmonic Analysis, Studies in Advanced Mat-hematics, CRC Press, Boca Raton, 1994.(2) G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, drugo iz-danje, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1999.(3) E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Volume I: Structure of Topolo-gical Groups, Integration Theory, Group Representations, drugo izdanje, Springer-Verlag,New York, 1994.(4) E. Hewitt, K. A. Ross, Abstract Harmonic Analysis, Volume II: Structure and Analysisfor Compact Groups, Analysis on Locally Compact Abelian Groups, Springer-Verlag, NewYork, 1997.(5) D. Ramakrishnan, R. J. Valenza, Fourier Analysis on Number Fields, Graduate Textsin Mathematics, Springer-Verlag, New York, 1999.

90


Babenko-Becknerov teorem

Student: Ana Perković

Područje: matematička analiza, teorija vjerojatnosti


Preduvjeti: nema

Opis: Glavni cilj ovog rada bit će dokazati poznati rezultat o normi Fourierove transfor-macije kao linearnog operatora sa Lp u Lq, pri čemu su p i q konjugirani eksponenti te je1 ≤ p ≤ 2. Sve do 1975. godine postojala je samo slutnja o pravoj vrijednosti te norme ičinjenici da se ona postiže za Gaussove funkcije. Pomalo iznenađujuće, Becknerov origi-nalni dokaz tog rezultata je u suštini vjerojatnosni dokaz, jer koristi nizove Bernoullijevihpokusa i konvergenciju prema normalnoj razdiobi. U radu će biti izloženi svi potrebnipreliminarni koncepti iz realne analize i teorije vjerojatnosti, potom definicija i osnovnasvojstva Fourierove transformacije te konačno svi detalji dokaza glavnog teorema.

Literatura:(1) W. Beckner, Inequalities in Fourier analysis, Annals of Mathematics 102 (1975), 159–182.(2) J. Duoandikoetxea, Fourier Analysis, Graduate Studies in Mathematics, AMS, Pro-vidence, 2001.(3) N. Sarapa, Teorija vjerojatnosti, Školska knjiga, Zagreb, 1992.(4) E. M. Stein, G. Weiss, Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces, Prince-ton University Press, Princeton, 1971.

91


Valićne karakterizacije Soboljevljevih prostora

Student: Mario Stipčić



Preduvjeti: nema

Opis: Glavni cilj ovog rada je iskazati i dokazati karakterizacije Soboljevljevih prostora ipripadnih normi (do na ekvivalenciju) u terminima koeficijenata funkcije u prigodnoj or-tonormiranoj valićnoj bazi. Promatrat će se nehomogeni prostori Soboljeva Ws,p i njihovehomogene varijante Ws,p. Svaka od tih klasa prostora poopćuje Lebesgueove prostore Lp,1 < p < ∞ pa zato ovi rezultati čine dalekosežne generalizacije Littlewood-Paleyeve te-orije. U uvodnim poglavljima će se obraditi i sve potrebne činjenice o ortonormiranimvalićima, kao i osnovna svojstva Fourierove transformacije i temperiranih distribucija.

Literatura:(1) R. Coifman, Y. Meyer, Wavelets: Calderón-Zygmund and multilinear operators, Cam-bridge University Press, Cambridge, 1997.(2) G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wileyand Sons, New York, 1999.(3) E. Hernández, G. Weiss, A First Course on Wavelets, Studies in Advanced Mathema-tics, CRC Press, Boca Raton, 1996.(4) Y. Meyer, Wavelets and Operators, Cambridge University Press, Cambridge, 1992.

92

Mentor: Vedran Krčadinac

Kriptomorfizmi matroida

Student: Marija Ivančić



Preduvjeti: nema

Opis: Teorija matroida povezuje ideje iz linearne algebre, geometrije, kombinatorike i te-orije grafova. Pojam matroida može se uvesti na mnogo načina: preko nezavisnih skupova,baza, ciklusa, zatvorenih skupova, funkcije ranga, zatvarača ili hiperravnina. Činjenica dasu sve te definicije međusobno ekvivalentne poznata je pod nazivom kriptomorfizam. Ciljovog diplomskog rada je dokazati ekvivalentnost raznih definicija matroida i ilustriratičemu odgovaraju ti pojmovi u primjenama matroida u raznim područjima matematike.

Literatura:G. Gordon, J. McNulty, Matroids: a geometric introduction, Cambridge University Press,2012.

93

Mentor: Vedran Krčadinac

Rastavljivi dizajni

Student: Ilija Marković



Preduvjeti:

Opis: Paralelna klasa je skup blokova koji čine particiju skupa svih točaka. Dizajnje rastavljiv ako se skup svih blokova može particionirati na paralelne klase. U ovomdiplomskom radu obradit će se osnovni rezultati o rastavljivim dizajnima prema petompoglavlju dolje navedene knjige.

Literatura:Y.I. Ionin, M.S. Shrikhande, Combinatorics of symmetric designs, Cambridge UniversityPress, 2006.

94

Mentor: Robert Manger

Aspektno-orijentirani razvoj softvera

Student: Ivan Puntarić

Područje: softversko inženjerstvo

Prikladno za studij: Diplomski studij Računarstvo i matematika

Preduvjeti:

Opis: Aspektno-orijentirani razvoj softvera zasniva se na jednoj novoj programerskojapstrakciji, takozvanim aspektima. Jedan aspekt implementira funkcionalnost koja bimogla biti potrebna na puno različitih mjesta u programu. Osim odgovarajućeg pro-gramskog koda, aspekt također sadrži definiciju gdje se sve taj kod mora uključiti (kopi-rati) u program. Aspekti se koriste zajedno s drugim apstrakcijama kao što su objektiili metode. Izvršivi aspektno-orijentirani program stvara se automatski kombiniranjemobjekata, metoda i aspekata. U diplomskom radu potrebno je izložiti glavna svojstvaaspektno-orijentiranog razvoja softvera, te opisati barem jedan programski jezik ili alatkoji podržava aspekte. U praktičnom dijelu rada trebalo bi izraditi i testirati vlastitiprogram koji na svrsishodan način koristi aspekte.

Literatura:I. Sommerville: Software Engineering, Ninth Edition. Addidon Wesley, 2010.I. Jacobson, P-W Ng: Aspect-Oriented Software Development with Use Cases. Addison-Wesley, 2005.M.D. Groves: AOP in .NET - Practical Aspect-Oriented Programming. Manning Publi-cations, 2013.V.O. Safonov: Using Aspect-Oriented Programming for Trustworthy Software. Wiley-Interscience, 2008.

95


Temporalne baze podataka

Student: Andrea Perčinlić

Područje: baze podataka


Preduvjeti:

Opis: Podaci se vremenom mijenjaju. U većini baza podataka s promjenama se izlazi nakraj tako da se za svaki podatak pohranjuje samo njegova najnovija vrijednost. Dakle kodsvake promjene vrijednost se ažurira, a stara vrijednost se gubi. Koji put to nije dovoljnojer nas zanimaju i prethodne, a možda čak i buduće vrijednosti istog podatka. Tempo-ralne baze podataka su takve baze koje za svaki podatak mogu lako reproducirati njegovuprethodnu ili pretpostaviti njegovu buduću vrijednost. Temporalne baze dopuštaju pos-tavljanje temporalnih upita gdje uvjeti pretraživanja ovise o vremenu. U diplomskomradu potrebno je izložiti načine realizacije temporalne baze, bilo pomoću konvencionalnihrelacijskih tehnologija i konvencionalnog SQL-a, bilo pomoću specijaliziranih softverskihrješenja. Diplomski rad treba sadržavati i vlastiti studijski primjer gdje se koristi neki odizloženih načina realizacije.

Literatura:C.J. Date, H. Darwen, N. Lorentzos: Time and Relational Theory - Temporal databasesin the Relational Model and SQL. Second Edition. Morgan-Kaufmann, 2014.K. Ahsan, P. Vijay: Temporal databases - Information Systems. Booktango, 2014.T. Johnston, R. Weis: Managing Time in Relational Databases - How to Design, Updateand Query Temporal Data. Morgan-Kaufmann, 2010.

96


Protokoli za nadzor i konfiguraciju računalne mreže

Student: Marko Stojanović

Područje: mreže računala, softversko inženjerstvo


Preduvjeti:

Opis: Nadzor računalnih mreža definira se kao praćenje stanja mreže i spojenih uređajate detekcija problema unutar mrežnog sustava. Konfiguracija računalnih mreža podrazu-mijeva podešavanje parametara mrežnih uredjaja i servisa u svrhu njihovog boljeg rada.U ovom radu dati će se pregled protokola koji se koriste za nadzor i konfiguraciju raču-nalnih mreža (SNMP, DHCP, DNS, PF). Podaci prikupljeni putem protokola za nadzorpohranjivat će se u bazu podataka. Za jednostavniji prikaz trenutnih i proših stanja mrežei interakciju s bazom podataka izradit će se web sučelje. U radu će se navesti i objasnitisve tehnologije korištene za izradu baze podataka i rad s bazom, te tehnologije potrebneza izradu i ispravan rad web sučelja.

Literatura:D. R. Mauro, K. J. Schmidt: Essential SNMP ,1st Edition, O’Reilly, 2001.L.L. Peterson , B.S. Davie : Computer Networks - A Systems Approach. 4th Edition,Morgan Kaufmann Publishers, Elsevier, 2007.P.N.M. Hansteen: The Book of PF: A No-Nonsense Guide to the OpenBSD Firewall, NoStarch Press, 2011.R. Nixon: Learning PHP, MySQL, JavaScript, CSS & HTML5, 3rd Edition, O’Reilly,2014.

97


Razvoj mobilnih aplikacija pomoću alata Swift

Student: Vanja Vuković

Područje: softversko inženjerstvo, programski jezici


Preduvjeti:

Opis: U radu treba objasniti specifičnosti razvoja mobilnih aplikacija u odnosu na stan-dardne aplikacije te specifičnosti platforme iPhone u odnosu na ostale mobilne platforme.Dalje treba opisati novi programski jezik za razvoj iPhone aplikacija Swift te odrediti počemu se on razlikuje od starijih jezika. Sastavni dio rada morao bi biti studijski primjerrazvoja konkretne aplikacije za iPhone pomoću Swift.

Literatura:J. Conway, A. Hillegass, C. Keur: iOS Programming - The Big Nerd Ranch Guide, 4thEdition, Big Nerd Ranch Guides, 2014.C. Hockenberry: iPhone App Development - The Missing Manual, O’Reilly Media, 2010.M.A. Lassoff, T. Stachowitz: Swift Fundamentals - The Language of iOS Development,LearnToProgram Inc, 2014.

98


Veliki podaci (big data)

Student: Andrea Grozdek

Područje: baze podataka, distribuirani procesi


Preduvjeti:

Opis: Pojam "veliki podaci" (big data - BD) odnosi se na podatke koji premašuju ka-pacitet konvencionalnih sustava za upravljanje bazama podataka. Dakle: ili je količinapodataka prevelika, ili se podaci generiraju prebrzo, ili se oni ne uklapaju u uobičajenepodatkovne arhitekture. Da bi iz BD izvukli neku korisnu informaciju, nije nam dovoljanobični softver za baze podataka već su također potrebne i napredne tehnologije poputdistribuiranih datotečnih sustava, distribuiranog računanja te računanja u oblaku. Takvetehnologije postale su dostupne tek u novije vrijeme. Obradom BD uz pomoć naprednihtehnologija moguće je doći do preciznijih analiza i izvještaja nego što je to bilo mogućeprije. Te analize izvještaji ne moraju se više oslanjati na uzorkovanje i statističke procjeneveć se dobivaju egzaktnom obradom cijele populacije. U diplomskom radu potrebno jedati pregled sadašnjeg stanja u vezi BD te izraditi studijski primjer zasnovan na resursimadostupnim na Internetu.

Literatura:O’Reilly Team: Big Data Now - 2012 Edition. O’Reilly Media, 2012.V. Mayer-Schonberger, K. Cukier: Big Data - A Revolution That Will Transform HowWe Live, Work, and Think. Houghton Mifflin Harcourt, 2013.J. Hurwitz, A. Nugent, F. Halper, M. Kaufman: Big Data for Dummies. John Wiley andSons, 2013.

99


Rješavanje kombinatornih problema pomoću tokova u mrežama

Student: Juraj Šikonja

Područje: oblikovanje i analiza algoritama, modeliranje, optimizacija

Prikladno za studij: Diplomski studij Računarstvo i matematika, Diplomski studijPrimijenjena matematika

Preduvjeti:

Opis: Tokovi u mrežama obično služe za rješavanje nekih oblika problema linearnogprogramiranja, dakle za optimizaciju gdje su varijable realni brojevi. No zanimljivo je dase ista tehnika također može upotrijebiti za neke kombinatorne probleme, gdje varijablemoraju poprimati cjelobrojne ili čak 0/1 vrijednosti. U tu svrhu služimo se dosjetljivokonstruiranim mrežama s jediničnim tokovima i kapacitetima. U ovom diplomskom radu,student najprije treba izložiti dio teorije o tokovima u mrežama te opisati neke algoritmeza računanje tih tokova. Zatim se treba posvetiti rješavanju odabranih kombinatornihproblema kao što su optimalno pridruživanje (optimal assignment), savršeno sparivanje(perfect maching) i slični. Za svaki od promatranih kombinatornih problema potrebnoje opisati konstrukciju koja ga svodi na računanje toka u mreži. Također, u sklopu radapotrebno je razviti i testirati program koji implementira na računalu neko od razmatranihrješenja.

Literatura:S. Even: Graph Algorithms, Second Edition. Cambridge University Press, 2012.D. Jungnickel: Graphs, Networks and Algorithms, Fourth Edition. Springer, 2013.

100

Mentor: Miljenko Marušić

Određivanje indikatora uspješnosti na studiju matematike

Student: Mislav Zorko



Preduvjeti: nema

Opis: Cilj rada je na osnovu dostupnih pokazatelja kao što su bodovi na upisu, rezultatdržavne mature, ocjene iz srednje škole, ocjene položenih kolegija odrediti vezu s uspješ-nošću studiranja. Uspjeh može biti definiran na više načina: položeni svi ispiti s prveili druge godine studija, završen studij, unutar unaprijed definiranog vremensko raspona.Od statističkih metoda predvidiva je upotreba regresijskih analiza.

Literatura:

101

Mentor: Jadranka Mićić Hot Suvoditelj: Sanja Varošanec

Levinsonova nejednakost

Student: Žana Ljuboja

Područje: analiza


Preduvjeti:

Opis: Proučavanjem Levinsonove nejednakosti kroz povijest, možemo dati "mali primjerkako matematičari razvijaju matematiku". N. Levinson je 1964. g. je dokazao sljedećunejednakost:

n∑i=1

pif(xi)− f(n∑i=1

pixi) ≤n∑i=1

pif(yi)− f(n∑i=1

piyi)

uz određene uvjete na funkciju i relane brojeve pi, xi, yi, i = 1, . . . , n. Nakon toga slijediniz radova mnogih autora koji su proučavali tu nejednakost uz slabije uvjete, te dali njenugeneralizaciju i profinjenja.Cilj diplomskog rada je napraviti pregled razvoja i dokaze Levinsonove nejednakosti krozpovijest, od 1964. g. do danas.

Literatura:1) N. Levinson, Generalization of an inequality of Ky Fan, J. Math. Anal. Appl. 8(1964), 133-134.2) P.S. Bullen, An inequality of N. Levinson, Univ. Beograd. Publ. Elektrotehn. Fak.Ser. Mat. Fiz. 412-460 (1973), 109–112.3) A. McD. Mercer, Short proof of Jensen’s and Levinson’s inequalities, Math. Gazette94 (2010), 492-495

102

Mentor: Željka Milin Šipuš

Plohe konstantne negativne zakrivljenosti i Bäcklundovetransformacije

Student: Slavko Davidović

Područje: diferencijalna geometrija

Prikladno za studij: nastavnički studiji, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Plohe negativne zakrivljenosti moguće je parametrizirati tako da se parametarskekrivulje podudaraju s asimptotskim, a one su dodatno parametrizirane duljinom luka.Tada kut između asimptotskih krivulja zadovoljava sinus-Gordonovu parcijalnu diferenci-jalnu jednadžbu. Bäcklundove transformacije te jednadžbe omogućuju konstrukciju novihploha konstantne negativne zakrivljenosti. Primjerice, polazeći od pseudosfere, najpoz-natije plohe konstantne negativne zakrivljenosti, pomoću Bäcklundovih transformacijadobiva se Dinijeva ploha. Cilj je ovog diplomskog rada proučiti Bäcklundove transforma-cije, te konstruirati niz primjera ploha konstantne negativne zakrivljenosti.

Literatura:1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. C. Rogers, W.K. Schief, Bäacklund and Darboux Transformations, Geometry and Mo-dern Applications in Soliton Theory, Cambridge University Press, 2002.

103


Geometrija u graditeljstvu

Student: Josip Perić

Područje: geometrija, diferencijalna geometrija, edukacija matematike


Preduvjeti:

Opis: U suvremenom graditeljstvu, u posljednje je vrijeme došlo do velike ekspanzijeu korištenju različitih geometrijskih oblika. Cilj ovog diplomskog rada proučiti je, sastanovišta geometrije, a posebno diferencijalne geometrije, klase ploha koje se pojavljujuu arhitektonskim djelima širom svijeta, posebno u sportskim objektima. To su, primjerice,rotacijske, pravčaste, klizne, zavojne i tzv. slobodne plohe. U radu će se proučiti njihovageometrijska i diferencijalno geometrijska svojstva. Također, u radu će se napraviti pregledzanimljivih građevinskih objekata te će ih se analizirati s geometrijskog stanovišta.

Literatura:1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Differential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.3. G. Glaeser, Geometry and Its Applications in Arts, Nature and Technology, Springer,2013.4. H. Pottmann, A. Asperl, M. Hofer, A. Kilian, Architectural geometry, Springer 2010.

104


Aksonometrija i anaglifske slike

Student: Marta Kvesić

Područje: geometrija, nacrtna geometrija, edukacija matematike


Preduvjeti:

Opis: Cilj ovog rada je izraditi didaktički materijal koji prati školske sadržaje geometrijeprostora - prikazivanje tijela (posebno, Platonovih) i njihovih ravninskih presjeka. Idejaje izraditi tzv. anaglifske slike navedenih trodimenzionalnih objekata. Anaglifska slikaprostornog objekta sastoji se od dvije aksonometrijske slike objekta (na papiru), jedneplave i jedne crvene, dobivene pogledima iz različitog oka. Koristeći naočale s plavimi crvenim staklima, te se slike integriraju u stereoskopsku sliku, čime se postiže prividtrodimenzionalne dubine. U tu svrhu, u radu će se najprije proučiti metoda paralelnogprojiciranja - aksonometrija, pomoću koje će se konstruirati projekcije tijela i njihovihravninskih presjeka. Zatim će se analizirati načini stvaranja anaglifskih slika.

Literatura:1. Vilko Niče, Deskriptivna geometrija I-II, Školska knjiga, Zagreb, 1987.2. Imre Pál, Nacrtna geometrija u anaglifskim slikama, Tehnička knjiga, Zagreb, 1966.3. Dominik Palman, Nacrtna geometrija, Element, Zagreb, 2003.4. Vlasta Szirovicza, Ana Sliepčević, Nacrtna geometrija I-II, Element i HDKGIKG,Zagreb, 1996.

105


Fokalne plohe

Student: Ivo Šokčić

Područje: geometrija, diferencijalna geometrija


Preduvjeti:

Opis: Fokalni skup plohe je skup svih njezinih središta zakrivljenosti. Primjerice, ukolikoje točka plohe umbilička, njezina dva središta zakrivljenosti degeneriraju u jedno, te jezbog toga fokalni skup sfere jedna točka (njezino središte). Općenito, (regularni) fokalniskup plohe može se sastojati od dvije plohe, tzv. fokalne plohe ili evolute, od jedne plohei jedne krivulje ili od dvije krivulje. U radu će se proučiti diferencijalno-geometrijskasvojstva tih skupova.

Literatura:1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Differential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.

106


Plohe konstantne srednje zakrivljenosti

Student: Petra Vukašinović



Preduvjeti:

Opis: Plohe konstantne srednje zakrivljenosti, H = const., sadrže dvije velike klase ploha– tzv. minimalne plohe, H = 0, i tzv. cmc-plohe, odnosno prave plohe konstantne sred-nje zakrivljenosti, H = const. 6= 0. Među njih spadaju, primjerice, helikoid i katenoidkao minimalne plohe, te sfera i Delaunayeve plohe kao cmc-plohe. U radu će se ispitatitemeljna diferencijalno-geometrijska svojstva ploha konstantne srednje zakrivljenosti, tenjihova realizacija u obliku tankog sloja, odnosno, mjehurića od sapunice.

Literatura:1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Differential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.3. J. Oprea, The mathematics of soap films: Explorations with Maple, Student Mathema-tical Library, 10, AMS, Providence, 2000.

107


Fundamentalni teorem za krivulje

Student: Ivan Bešenić



Preduvjeti:

Opis: Fundamentalni teorem diferencijalne geometrije za krivulje u prostoru tvrdi dapostoji jedinstvena (do na izometriju prostora) prostorna krivulja sa zadanom fleksijom itorzijom. Cilj rada je dokazati teorem, te proučiti primjere tako zadanih krivulja, odnosnoklase krivulja zadane funkcijskim vezama između fleksije i torzije.

Literatura:1. A. Gray, E. Abbena, S. Salamon, Modern Differential Geometry of Curves and Surfaceswith Mathematica, Chapman & Hall/CRC, 2006.2. W. Kühnel, Differential geometry, Curves - Surfaces - Manifolds, AMS, 2000.

108

Mentor: Ante Mimica

Brownovo gibanje

Student: Marija Šuker

Područje: slučajni procesi

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika, Matematička statistika

Preduvjeti: Slučajni procesi

Opis: Brownovo gibanje (Wienerov proces) je originalno bilo postavljeno kao modelengleskog botaničara Roberta Browna za gibanje male čestice u fluidu, koja se sudara smolekulama tog fluida. Danas je Brownovo gibanje standarni model u teoriji stohastičkihprocesa, statistici, fizici, ekonomiji i drugim znanostima. U ovom diplomskom radu će senakon definicije napraviti Lévyjeva konstrukcija jednodimenzionalnog Brownovog gibanjai dokazati neka njegova elementarna svojstva, kao što su skalirajuće svojstvo, principrefleksije, simetrija, jako Markovljevo svojstvo, martingalno svojstvo. Iako su trajektorijeBrownovog gibanja neprekidne, pokazuje se da nisu diferencijabilne. Naime, pokazat ćese da su lokalno α-Hölder neprekidne za α < 1

2te će se izvesti njihov modul neprekidnosti

poznat kao Lévyjev modul neprekidnosti.

Literatura:P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin, 2010.

109

Mentor: Ante Mimica

Brownov most i Kolmogorov-Smirnovljeva statistika

Student: Nikolina Blažević



Preduvjeti: Statistika, Slučajni procesi

Opis: Brownov most je stohastički proces koji je distribucijski jednak Brownovom gibanjuuvjetovanom da u trenutku t = 1 bude u početnoj poziciji i primjer je Gaussovskogprocesa. Ovaj proces se također koristi u izvođenju asimptotske razdiobe Kolmogorov-Smirnovljeve statistike, koja služi za testiranje činjenice dolazi li slučajni uzorak iz nekepopulacije s neprekidnom razdiobom. U diplomskom radu će se konstruirati Brownovmost i izvesti asimptotska razdioba Kolmogorov-Smirnovljeve statistike.

Literatura:S. I. Resnick, Adventures in Stochastic Processes, Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin, 2010.R. Durrett, Probability: Theory and Examples, Cambridge University Press, Cambridge,2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.G. G. Roussas, A Course in Mathematical Statistics, Academic Press, New York, 1997.

110

Mentor: Ante Mimica

Brownovo gibanje i Hausdorffova dimenzija

Student: Petra Lazić




Opis: Jedan od načina za proučavanje trajektorija Brownovog gibanja je koristeći konceptHausdorffove dimenzije. Pri proučavanju se mogu postaviti sljedeća pitanja:

• Koliki je velik skup koji posjeti Brownovo gibanje u ravnini (tzv. planarno Brownovogibanje)?

• Koliko je velik skup dvostrukih točaka planarnog Brownovog gibanja?

• Ako s B = Bt : t ≥ 0 označimo jednodimenzionalno Browvnovo gibanje, koliko jevelik skup t ≥ 0 : Bt = 0? Naime, iako je t 7→ Bt neprekidna funkcija, pokazuje seda je taj skup beskonačan i bez izoliranih točaka. Osim toga, primjer je fraktalnogskupa Hausdorffove dimenzije 1

2.

U ovom diplomskom radu će se istražiti svojstva trajektorija Brownovog gibanja pomoćutehnika koje koriste Hausdorffovu dimenziju i dokazati neki klasični rezultati iz te teorije,kao što su Frostmannova lema te McKeanovov rezultat o Hausdorffovoj dimenziji skupakojeg posjeti Brownovo gibanje.

Literatura:P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.P. Matilla, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces. Fractals and Rectifiability,Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

111

Mentor: Ante Mimica

Itôv integral i primjene

Student: Ana Kovačević

Područje: Slučajni procesi



Opis: Jednodimenzionalno Brownovo gibanje B(t) : t ≥ 0 se može promatrati kaoslučajna neprekidna funkcija. Budući da je, gotovo sigurno, takva funkcija neomeđenevarijacije, nije moguće definirati Lebesgue-Stieltjesov integral

∫ 1

0f(s)dB(s) . Iskoristimo

li činjenicu da se radi o slučajnim funkcijama, može se definirati tzv. Itôv (ili stohastički)integral.U ovom diplomskom radu će se napraviti konstrukcija stohastičkog integrala te će se datineke njegove primjene.Dokazat će se analogon Newton-Leinizove formule, Itôva formula, ispitat će se kako seplanarno Brownovo gibanje u skupu kompleksnih brojeve ponaša kada se transformirapomoću konformnih preslikavanja (posebno, odredit će se asimptotska distribucija tzv.namotajnog broja). Također će se dokazati Tanakina i Feynman-Kacova formula.

Literatura:P. Mörters, Y. Peres, Brownian Motion, Cambridge University Press, Cambridge, 2010.R. L. Schilling, L. Partzsch, Brownian motion: An Intorduction to Stochastic Processes,Birkhäuser, De Gruyter, Berlin/Boston, 2012.B. Øksendal, Stochastic Differential Equations, 6th Edition, Springer, Berlin, 2003.R. Durrett, Stochastic Calculus. A Practical Introduction, CRC Press, 1996.

112

Mentor: Goran Muić

Divizori na krivuljama u Pn

Student: Marin Petković

Područje: algebarska geometrija


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Studiraju se divizori i diferencijalne forme na projektivnim krivuljama, preslikava-nja među krivuljama te se iskazuje i dokazuje Bezuotov teorem za krivulju u Pn.

Literatura:I. Shafarevich, Basic algebraic geometry I, Springer Verlag, 1993.

113

Mentor: Goran Muić

Egzistencija meromorfnih funkcija na Riemannovim plohama

Student: Aleksandar Milivojević

Područje: algebarska geometrija, kompleksna analiza


Preduvjeti: Algebarske krivulje, Uvod u algebarsku geometriju

Opis: Studiraju se kompaktne Riemannove plohe, preslikavanja među njima te se doka-zuje da imaju dovoljan broj meromorfnih funkcija da se mogu uložiti u projektivni prostorkao projektivne algebarske krivulje.

Literatura:H. M. Farkas, I. Kra, Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics 71, Springer,1991

114

Mentor: Filip Najman

Lokalno-globalni princip

Student: Ivona Mrkalj



Preduvjeti: Položen kolegij Algebarske strukture

Opis: Ako polinomijalna jednadžba ima rješenje u racionalnim brojevima, tada imarealno i p-adsko rješenje za svaki prost p - globalno rješenje daje lokalna rješenja svugdje.Lokalno-globalni ili Hasseov princip je pitanje za kakve polinomijalne jednadžbe vrijediobrat ove tvrdnje. U ovom diplomskom radu proučit će se najpoznatiji rezultati o lokalno-globalnom principu, te dokazati teorem Hasse-Minkowskog, koji kaže da lokalno-globalniprincip vrijedi za sve kvadratne forme.

Literatura:H. Cohen, Number Theory, Volume I: Tools and Diophantine Equations, Springer, 2007.J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.

115


Birch-Swinnerton–Dyerova slutnja

Student: Marko Sikirić



Preduvjeti: Položen kolegij Algebarske krivulje ili Eliptičke krivulje u kriptografiji

Opis: Birch-Swinnerton–Dyerova slutnja je jedan od otvorenih milenijskih problema, tepovezuje rang eliptičke krivulje nad poljem algebarskih brojeva sa redom nultočke njeneL-funkcije u točki 1. U ovom diplomskom radu uvest će se svi pojmovi nužni za preciznoiskazivanje slutnje, te će se dati pregled dokazanih slučajeva ove slutnje.

Literatura:D. Hussemoller, Elliptic Curves, Springer, 2007.J. Silverman, The Arithmetic of Elliptic Curves, Springer, 2009.

116


Teorija brojeva kroz povijest

Student: Ana Gmajnić



Preduvjeti: nema

Opis: U ovom diplomskom radu će se dati povijesni prikaz, te će se dokazati najvažnijiklasični rezultati iz teorije brojeva.

Literatura:A. Weil, Number Theory: An approach through history from Hammurapi to Legendre,Birkhäuser, 2007.O. Ore, Number theory and its history, McGraw-Hill, 1948.

117


Primjena L-funkcija u teoriji brojeva

Student: Marija Patljak



Preduvjeti: nema

Opis: L-funkcije igraju važnu ulogu u teoriji brojeva. U ovom diplomskom radu će seobjasniti teorija Dirichletovih L-funkcija koje su generalizacija Riemannove ζ-funkcije,te će se prikazati njihova primjena u teorija brojeva. Važan primjer takve primjene jeDirichletov teorem o prostim brojevima u aritmetičkim progresijama.

Literatura:T. Apostol, Introduction to analytic number theory, Springer, 1976.J. P. Serre, A course in Arithmetic, Springer, 1973.

118

Mentor: Goranka Nogo

Uloga učeničkih aktivnosti u nastavi informatike u osnovnoj isrednjim školama

Student: Marko Gredičak

Područje: metodika nastave informatike

Prikladno za studij: Matematika i informatika; smjer: nastavnički

Preduvjeti:

Opis: Aktivno učeničko sudjelovanje u procesu učenja u skladu je sa suvremenim tenden-cijama u nastavnoj teoriji i praksi. Takav pristup ima za posljedicu bolje razumijevanjekoncepata i duže zadržavanje naučenoga. Od studenta se očekuje da osmisli i analiziraprimjere učeničkih aktivnosti čijom se provedbom realiziraju postavljeni obrazovni ci-ljevi.Očekivana učenička postignuća u navedenim aktivnostima trebaju biti usklađena sonima navedenim u HNOS-u i NOK-u.

Literatura:CSTA K–12 Computer Science Standards, (2011), http://csta.acm.org/Curriculum/sub/CurrFiles/CSTA\_K-12\_CSS.pdfComputer Science Unplugged, (2014), http://csunplugged.org/activitiesNacionalni okvirni kurikulum, (2011), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2685Nastavni plan i program za osnovnu školu, (2006), http://public.mzos.hr/Default.aspx?sec=2199

119


Aproksimacijski algoritmi za određivanje minimalnog vršnogpokrivača grafa

Student: Ana Klobučar

Područje: oblikovanje i analiza algoritama


Preduvjeti:

Opis: U radu će biti promatran sljedeći problem: za zadani graf G treba pronaći podskupK skupa vrhova u G takav da je svaki brid u G incidentan s barem jednim vrhom iz K.Skup K zove ze vršni pokrivač grafa G. Od interesa će biti vršni pokrivači najmanjegkardinaliteta. Problem je NP-težak i često se javlja u primjenama. Od studentice seočekuje da prouči postojeće aproksimacijske algoritme, dizajnira i efikasno implementiramodifikacije nekih od njih te analizira dobivene rezultate.

Literatura:T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.S.Dasgupta, C.H.Papadimitriou, U.V.Vazirani, Algorithms, 2006, http://www.cs.berkeley.edu/~vazirani/algorithms/all.pdfD.P.Williamson, D.B.Shmoys, The Design of Approximation Algorithms, Cambridge Uni-versity Press, 2010.

120


Algoritmi za djelomično podudaranje znakovnih nizova

Student: Sanjin Ružić



Preduvjeti:

Opis: U radu će biti promatran sljedeći problem: za zadani znakovni niz koji sadržizamjenske znakove treba u danom tekstu pronaći sve znakovne nizove koji se s njim"podudaraju". Riječ je o važnom problemu koji ima primjenu u mnogim područjimaračunarstva, kemije i bioinformatike. Od studenta se očekuje da prouči različite tehnikeoblikovanja algoritama za podudaranje i djelomično podudaranje znakovnih nizova te dadizajnira, analizira i implementira modificirane verzije nekih postojećih algoritama.

Literatura:T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.C.Charras, T.Lecroq, Exact String Matching Algorithms, College Publications, 2004.K.J.Krauss,Matching Wildcards: An Empirical Way to Tame an Algorithm, (2014), http://www.drdobbs.com/architecture-and-design/matching-wildcards-an-empirical-way-to-t/240169123

121


Algoritmi za podudaranje znakovnih nizova

Student: Amalia Souček



Preduvjeti:

Opis: U radu će biti promatran problem određivanja svih znakovnih nizova u tekstu kojise podudaraju sa zadanim znakovnim nizom. Riječ je o problemu koji ima primjenu umnogim područjima računarstva i bioinformatike. Od studentice se očekuje da proučipostojeće algoritme, dizajnira i efikasno implementira modifikacije nekih od njih te ana-lizira dobivene rezultate.

Literatura:T.H.Cormen, C.E.Leiserson, R.L.Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, 3rd edition,MIT Press, 2009.C.Charras, T.Lecroq, Handbook of Exact String Matching Algorithms, (2014), http://www-igm.univ-mlv.fr/~lecroq/string/S.S.Skiena, The Algorithm Design Manual, 2nd edition, Springer Verlag, 2008.

122

Mentor: Katarina Ott

Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Austrija, Mađarska, Poljska, Grčka

Student: Marin Onorato

Područje: ekonomika javnog sektora

Prikladno za studij: Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Austriji, Mađarskoj, Poljskoj i Grčkoj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, poreznirazredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izračunati iznose doprinosa iporeza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za široki raspon iznosa bruto plaće),(3) Usporediti prosječne i granične stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.

Literatura:Čok, M., M.A. Grulja, T. Turk, and M. Verbič, Taxation of wages in the Alps-Adriaticregion, Financial Theory & Practice, 37, 259-77, 2013.ISER. EUROMOD Country Reports, Institute for Social and Economic Research https://www.iser.essex.ac.uk/euromod/resources-for-euromod-users/country-reportsLambert, P.J. The distribution and redistribution of income, Manchester University Press,Manchester, 2001.Keen, M., H. Papapanagos, and A. Shorrocks, Tax Reform and Progressivity, The Econo-mic Journal, 110, 50-68, 2000.Musgrave, R.A., and T. Thin, Income Tax Progression, 1929-48, Journal of Political Eco-nomy, 56, 498-514, 1948.OECD. Taxing Wages 2014, OECD Publishing.Urban, I., The tax burden on labour in Croatia, Newsletter. Institute of Public Finance,Zagreb, 2009.

123


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Italija, Bugarska, Latvija, Španjolska

Student: Maja Cundić



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Italiji, Bugarskoj, Latviji i Španjolskoj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, poreznirazredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izračunati iznose doprinosa iporeza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za široki raspon iznosa bruto plaće),(3) Usporediti prosječne i granične stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.


124


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Slovenija, Češka Republika, Litva,

Francuska

Student: Ivana Beketić



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Sloveniji, Češkoj Republici, Litvi i Francuskoj (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici,porezni razredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izračunati iznose dopri-nosa i poreza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za široki raspon iznosa brutoplaće), (3) Usporediti prosječne i granične stope za te zemlje; usporediti progresivnostsustava u tim zemljama.


125


Progresivnost u oporezivanju dohotka od rada u odabranimzemljama EU - Hrvatska, Njemačka, Slovačka, Estonija, Belgija

Student: Ana Gabrilo



Preduvjeti: nema

Opis: (1) Skupiti podatke o obveznim doprinosima i porezu na dohodak u Hrvatskoj,Njemačkoj, Slovačkoj, Estoniji i Belgiji (osnovice i stope doprinosa; osobni odbici, po-rezni razredi i stope poreza na dohodak), (2) Za svaku zemlju izračunati iznose doprinosai poreza na dohodak za tipizirane pojedince i obitelji (za široki raspon iznosa bruto plaće),(3) Usporediti prosječne i granične stope za te zemlje; usporediti progresivnost sustava utim zemljama.


126

Mentor: Damir Pajić

Fizikalne osnove glazbenih tonova na primjeru odabranoginstrumenta

Student: Vanessa Špehar

Područje: fizika, zvuk

Prikladno za studij: Integrirani studij Matematika i fizika; smjer nastavnički

Preduvjeti: nema preduvjeta

Opis: Unutar predloženog diplomskog rada napravio bi se detaljan uvod u zvučne valove,te matematički opis glazbenih tonova. Zatim bi se razmatrao nastanak tona na odabra-nom instrumentu (najvjerojatnije bi to bila gitara) detaljnije uzimajući u obzir ulogurezonantne šupljine i druge važne parametre. Potom bi se izvršila mjerenja intenzitetazvuka konstruiranim priručnim uredjajem i radila spektralna analiza te istaknulo bitneznačajke zvuka tog instrumenta.

Literatura:H.D.Young and R.A.Freedman, Sears and Zemansky’s University Physics with modernphysics, Addison-Wesley, ili bilo koji drugi jednakovrijedan udžbenik opće fizikeRené Descartes, Kompendij o glasbi Compendium musicae, Založba ZRC, Ljubljana, 2001.Priručnici za korištenje digitalizirajućeg osciloskopa i analogno digitalnog konvertera

127

Mentor: Pavle Pandžić

Reprezentacije kompaktnih Liejevih grupa

Student: Mateja Pantaler

Područje: algebra, matematička analiza, geometrija


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je jedan od mogućih uvoda u teoriju reprezentacija, gdje se počinje od analizefunkcija na kompaktnoj Liejevoj grupi i gradi nekomutatitvni analogon Fourierove analize.U primjeru kad je grupa kružnica, dobivaju se standardni Fourierovi redovi, a u složenijimprimjerima umjesto osnovnih harmonika eint u igru ulaze matrični koeficijenti ireducibilnihreprezentacija grupe.

Literatura:A.W.Knapp, Representation theory of semisimple groups, an overview based on examples,Princeton University Press, 1986.S.Kurepa, Konačnodimenzionalni vektorski prostori i primjene, Tehnička knjiga, Zagreb,1967.V.S.Varadarajan, Lie Groups Notes, Representations of compact Lie groups, http://www.math.ucla.edu/~vsv/liegroups2007/liegroups2007.html

128


Reprezentacije simplektičkih Liejevih algebri

Student: Josip Grgurić

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: Ovo je uvod u teoriju reprezentacija sa čisto algebarske strane. Polazi se odpojma Liejeve algebre, proučava se njihova struktura i konačnodimenzionalne reprezenta-cije. Naglasak je stavljen na konkretne primjere simplektičkih Liejevih algebri, posebnona simplektičku algebru ranga 2, sp(4,C).

Literatura:W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.R.Goodman, N.Wallach, Representations and invariants of the classical groups, Cam-bridge University Press, 1998.J. Humphries, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer, 1971.

129


Reprezentacije konačnih grupa

Student: Matea Baraba

Područje: algebra


Preduvjeti: nema

Opis: U ovoj se temi obrađuju osnove teorije konačnodimenzionalnih reprezentacija ikaraktera u primjeru konačnih grupa. Uključene su i standardne konstrukcije kao induci-ranje i tenzorski produkti reprezentacija. Sve je ilustrirano konkretnim primjerima.

Literatura:J.-P.Serre, Linear representations of finite groups, Springer, 1977.W. Fulton, J.Harris, Representation theory. A first course., Springer, 1991.

130


Dirichletov teorem

Student: Mateja Škledar

Područje: teorija brojeva, matematička analiza


Preduvjeti: nema

Opis: Ova tema predstavlja uvod u analitičku teoriju brojeva. Krajnji cilj je Dirichletovteorem o prostim brojevima u aritmetičkim nizovima. Ideja je da se dio potrebnih pojmovai činjenica obradi detaljno, a dio da se samo skicira ili objasni na primjerima.

Literatura:A.J. Hildebrand, Introduction to Analytic Number Theory, http://www.math.uiuc.edu/~hildebr/antT.M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer, 1976.

131

Mentor: Igor Pažanin

Integralne jednadžbe i primjene

Student: Helena Frančešević


Prikladno za studij: nstavnički studiji

Preduvjeti:

Opis: U ovom radu bavili bi se klasifikacijom i osnovnim metodama rješavanja integralnihjednadžbi. Posebna pažnja posvetila bi se jednadžbama Fredholmovog i Volterrinog tipate njihovim primjenama.

Literatura:M.Rahman, Integral Equations and their Applications, WIT Press, 2007.R.P.Kanwal, Linear Integral Equations: Theory & Technique, Birkhauser, 1997. H.Hochstadt,Integral Equations, J. Wiley & Sons, 1994.

132

Mentor: Ozren Perše

Abel-Ruffinijev teorem

Student: Josipa Pavković

Područje: algebra


Preduvjeti: Poželjno je poznavanje osnovnih algebarskih pojmova s kolegija Linearnaalgebra i Algebarske strukture

Opis: U ovom radu planira se obraditi Abel-Ruffinijev teorem o neriješivosti polinomi-jalne jednadžbe stupnja većeg ili jednakog pet u terminima radikala, korištenjem alata izteorije Galoisovih grupa.

Literatura:J. J. Rotman, Advanced Modern Algebra, Graduate Studies in Mathematics, AmericanMathematical Society, Providence, RI, 2010.

133


Vektorski produkt na Rn

Student: Matea Pavlek

Područje: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi teorem o postojanju vektorskog produkta naRn samo za n = 0, 1, 3, 7, te diskutirati veza s Hurwitzovim teoremom o postojanjukompozicijskih algebri samo u dimenzijama 1, 2, 4 i 8.

Literatura:N. Jacobson, Basic Algebra I, Freeman, San Francisco, 1974.W. S. Massey, Cross Products of Vectors in Higher Dimensional Euclidean Spaces, TheAmerican Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10 (Dec., 1983), 697–701.P. F. McLoughlin, When does a cross product on Rn exist?, arXiv:1212.3515.

134


Proširenja grupa

Student: Helena Schill

Područje: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi pojam proširenja (ekstenzije) grupe i veze togpojma s određenim grupama kohomologije.


135


Jordan-Hölderov teorem za grupe

Student: Mila Strpić

Područje: algebra



Opis: U ovom radu planira se obraditi teorem o jedinstvenosti kompozicijskog niza zagrupe, te neke njegove primjene.


136

Mentor: Maja Planinić

Istraživanje učeničkog razumijevanja elektromagnetske indukcije

Student: Matea Makarun

Područje: metodika nastave fizike

Prikladno za studij: Matematika i fizika; smjer: nastavnički

Preduvjeti: Metodika nastave fizike 1 (odslušana)

Opis: Mnoga edukacijska straživanja u fizici svrstala su elektromagnetsku indukciju međunajzahtjevnije koncepte srednjoškolske fizike. Učenici imaju brojne poteškoće s razumije-vanjem, matematičkim opisom i eksperimentalnim predviđanjima vezanim uz elektromag-netsku indukciju. Ovaj bi diplomski rad imao za cilj identificirati neke od tih poteškoćana uzorku od 66 hrvatskih srednjoškolaca (treći razred), koji su pisali test konstruiranupravo da bi ispitao učeničko razumijevanje elektromagnetske indukcije i s njom poveza-nih pojmova (magnetsko polje, Lorentzova sila, tok magnetskog polja, Lenzovo pravilo).Diplomandica bi kategorizirala i analizirala dobivene učeničke odgovore, proučila rele-vantnu literaturu, načinila pregled poteškoća otkrivenih u istraživanju, te ih usporedilas ranije istraženim poteškoćama vezanim uz elektromagnetsku indukciju u Hrvatskoj iu svijetu. Kroz ovaj rad diplomandica bi imala priliku steći uvid u proces provođenja irezultate edukacijskih istraživanja u fizici, produbiti svoje razumijevanje istraživane teme,te steći uvid u učeničke poteškoće i mogućnosti njihovog ublažavanja.

Literatura:Thong, W. M. & Gunstone, R. Some Student Conceptions of Electromagnetic Induction,Res. Sci. Educ. (2008) 38, 31-44.Chabay, R. W & Sherwood, B. A. Electric & Magnetic Interactions, John Wiley & Sons,Inc., 1995, New York.

137

Mentor: Rajna Rajić Suvoditelj: Damir Bakić

Normalne matrice

Student: Ana Šimić



Preduvjeti: nema

Opis: U diplomskom radu dale bi se razne karakterizacije normalnih matrica, obradileneke matrične nejednakosti za normalne matrice, proučile normalne matrice čiji su ele-menti nule i jedinice. Unutar klase normalnih matrica posebno bi se proučile unitarnematrice. Opisala bi se veza između unitarnih matrica i kontrakcija.

Literatura:C. D. Meyer, Matrix Analysis and Applied Linear Algebra, Philadelphia, SIAM, 2000.F. Zhang, Matrix Theory: Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag,New York, 2011.

138


Pozitivna preslikavanja na prostoru matrica

Student: Suzana Kerman



Preduvjeti: nema

Opis: Linearno preslikavanje ϕ : Mn(C) → Mk(C) je pozitivno ako je ϕ(A) pozitivnosemidefinitna matrica za svaku pozitivno semidefinitnu matricu A ∈ Mn(C). U ovomdiplomskom radu dao bi se prikaz osnovnih rezultata o pozitivnim preslikavanjima, unutarkojih važnu klasu čine potpuno pozitivna preslikavanja. Poseban naglasak bio bi na uloziovih preslikavanja u dokazivanju raznih matričnih nejednakosti.

Literatura:R. Bhatia, Positive definite matrices, Princeton University Press, Princeton and Oxford,2007.F. Zhang, Matrix Theory: Basic Results and Techniques, 2nd edition, Springer-Verlag,New York, 2011.

139


Geometrija kubičnih polinoma

Student: Petra Kukec



Preduvjeti: nema

Opis: Prema Rolleovom teoremu, bilo koji segment čiji su krajevi međusobno različiterealne nultočke polinoma p : R → R sadrži barem jednu stacionarnu točku polinomap. U radu bi se najprije dokazali neki kompleksni analogoni ovog teorema za polinomeproizvoljnog stupnja. Posebna pažnja posvetila bi se zatim polinomima trećeg stupnja,gdje bi se prikazali razni rezultati o geometrijskoj vezi nultočaka polinoma trećeg stupnjai njegovih stacionarnih točaka.

Literatura:A. Aziz, A new proof of Laguerre’s theorem about the zeros of polynomials, Bull. Austral.Math. Soc. 33 (1986), 131-138.C. Frayer, M. Kwon, C. Schafhauser, J. A. Swenson, The geometry of cubic polynomials,http://www.uwplatt.edu/~swensonj/gocp/GOCPv11-js.pdfD. Kalman, An elementary proof of Marden’s theorem, Amer. Math. Monthly 115 (2008),330-337.V. V. Prasolov, Polynomials, 2nd edition, Moscow Center for Continuous Math. Educa-tion, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2004.E. B. Saff, J. B. Twomey, A note on the location of critical points of polynomials, Proc.Amer. Math. Soc. 27 (2) (1971), 303-308.

140


Dvostruki redovi

Student: Jasmina Marinković



Preduvjeti: nema

Opis: Dvostruki red realnih brojeva je uređen par ((ak,l), (Am,n)) dvostruko indeksiranihnizova realnih brojeva, gdje je Am,n =

∑mk=1

∑nl=1 ak,l za (m,n) ∈ N ×N. U radu bi se

najprije dao prikaz osnovnih rezultata o dvostruko indeksiranim nizovima. Zatim bi seuveo pojam dvostrukog reda, opisali razni kriteriji za ispitivanje njegove konvergencije,proučili dvostruki redovi potencija, te posebno Taylorovi dvostruki redovi.

Literatura:B. V. Limaye, M. Zelster, On the Pringsheim convergence of double series, Proc. EstonianAcad. Sci. Phys. Math. 58 (2) (2009), 108-121.S. R. Ghorpade, B. V. Limaye, A Course in Multivariable Calculus and Analysis, Springer,New York, 2010.

141

Mentor: Daria Rovan Suvoditelj: Aleksandra Čižmešija

Motivacijska uvjerenja i konceptualna promjena pri učenjumatematike

Student: Vedran Jovanović

Područje: psihologija obrazovanja


Preduvjeti: nema

Opis: Pri učenju matematike, posebno je važno razumjeti koji sve činitelji utječu nareorganizaciju znanja prilikom usvajanja novih koncepata. Uz kognitivne faktore, u stje-canju znanja važnu ulogu imaju i afektivni, motivacijski i socijalni faktori. Prema teorijiočekivanja i vrijednosti pretpostavlja se da na kvalitetu obrazovnih ishoda u značajnojmjeri utječu motivacijska uvjerenja učenika i to posebno uvjerenje o kompetentnosti tesubjektivna vrijednost koju učenik pridaje učenju određenog sadržaja. Cilj diplomskograda je utvrditi ulogu motivacijskih uvjerenja pri usvajanju koncepata iz matematike.

Literatura:Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe;Vosniadou, S. (2013), The international handbook of conceptual change (2nd ed.). NewYork: Routledge;Vosniadou, S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual changeapproach in learning and instruction. Oxford: Elsevier.;Wentzel, K.R. i Wigfield, A. (2009). Handbook of motivation in school. New York: TaylorFrancis.

142


Konceptualna promjena i uključenost na nastavi matematike

Student: Anamarija Božić



Preduvjeti: nema

Opis: Dosad provedena istraživanja razine uključenosti ili zalaganja učenika ukazujuda se radi o složenom konstruktu koji se sastoji od različitih komponenti. Bihevioralnauključenost odnosi se na sudjelovanje u nastavnim aktivnostima, emocionalna uključenostobuhvaća pozitivne i negativne afektivne reakcije, dok kognitivna uključenost uključujespremnost da se uloži napor neophodan da se razumiju kompleksne ideje i svladaju zah-tjevne vještine. Cilj diplomskog rada je utvrditi kako su različite komponente uključenostina nastavi matematike povezane s usvajanjem novih koncepata u matematici.

Literatura:Christenson, S.L., Reschly, A.L. i Wylie, C. (2012). Handbook of research on student en-gagement. New York: Springer;Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe; Vosniadou, S. (2013), The international handbook of concep-tual change (2nd ed.). New York: Routledge;Vosniadou,S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual change ap-proach in learning and instruction. Oxford: Elsevier

143


Povezanost interesa i konceptualne promjene pri učenjumatematike

Student: Anamarija Kurtović



Preduvjeti: nema

Opis: Interes je energizirajući činitelj koji je povezan s odabirom i ustrajnošću pri ak-tivnostima koje uključuju procesiranje informacija. Kako je interes uvijek je vezan uzspecifičan objekt, aktivnost ili predmet, model razvoja interesa je posebno prikladan zaispitivanje kako je učenje novih nastavnih sadržaja povezano s motivacijom učenika. Ciljdiplomskog rada je utvrditi povezanost situacijskog i osobnog interesa s usvajanjem kon-cepata iz matematike.

Literatura:Limon, M. i Mason, L. (2002). Reconsidering conceptual change. Issues in theory andpractice. Dordrecht: Kluwe;Vosniadou, S. (2013). The international handbook of conceptual change (2nd ed.). NewYork: Routledge;Vosniadou, S., Baltas, A. i Vamvakoussi, X. (2007), Re-framing the conceptual changeapproach in learning and instruction. Oxford: Elsevier.;Wentzel, K.R. i Wigfield, A. (2009). Handbook of motivation in school. New York: TaylorFrancis.

144

Mentor: Saša Singer

Izrada strategija trgovanja električnom energijom u Njemačkojkorištenjem metode potpornih vektora

Student: Lea Balaško

Područje: strojno učenje, umjetna inteligencija


Preduvjeti: nema

Opis: Trgovina električnom energijom je razmjena velike količine električne energije zanovac, tako da svako poboljšanje strategije trgovanja može donijeti veliku zaradu. Nave-dene strategije su važne, jer, pored profita, dovode do smanjenja razmaka između kupovnei prodajne cijene, što povećava sigurnost i učinkovitost tržišta. Time izravno donose nižecijene krajnjim kupcima električne energije i dovode do smanjenja emisije CO2 u zrak.Rad bi sadržavao pregled tržišta električne energije i opis postupka izrade strategije trgova-nja električnom energijom korištenjem metode potpornih vektora. Na primjeru podatakas njemačkog tržišta električne energije izradila bi se strategija trgovanja s ciljem maksi-miziranja profita i prikazali rezultati na skupu podataka za učenje i testiranje.Savjetnik pri izradi ovog rada je dr. sc. Marin Matijaš, Petrol d.o.o., Zagreb.

Literatura:Rafal Weron, Electricity price forecasting: A review of the state-of-the-art with a look intothe future, International Journal of Forecasting 30(4), 2014, pp. 1030–1081Abhisek Ukil, Intelligent Systems and Signal Processing in Power Engineering, Springer,2007 (Poglavlje 4: Support Vector Machine)Marin Matijaš, Electric load forecasting using multivariate meta–learning, Doktorska di-sertacija, FER, Zagreb, 2013, https://bib.irb.hr/datoteka/636228.Marin_Matijas_-_PhD_thesis.pdf

145


Poravnanje više nizova

Student: Neven Grubelić

Područje: algoritmi, genetski algoritmi


Preduvjeti: nema

Opis: Poravnanje više nizova (Multiple sequence allignment) je problem poravnanja triili više nizova, porijeklom iz biologije i genetike i uglavnom se odnosi na proteine, DNAili RNA sekvence.U radu bi se izložile neke osnovne klase metoda koje se koriste za rješenje ovog problema(dinamičko programiranje, progresivno i iterativno poravnanje i sl.), a naglasak rada jekonstrukciji i usporedbi raznih varijanti genetskih algoritama.Od studenta se očekuje programiranje ovih algoritama, testiranje i analiza dobivenih re-zultata.

Literatura:Multiple sequence alignment (i literatura na toj stranici), http://en.wikipedia.org/wiki/Multiple_sequence_alignmentMax-Planck-Institut für molekulare Genetik, Online Lectures on Bioinformatics: http://lectures.molgen.mpg.de/online_lectures.htmlR. L. Haupt, S. E. Haupt, Practical genetic algorithms (second edition), Wiley Intersci-ence, 2004.C. Notredame, D. G. Higgins, SAGA: sequence alignment by genetic algorithm, http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC145823/C. Notredame, E. A. O’Brien, D. G. Higgins, RAGA: RNA sequence alignment by geneticalgorithm http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC147093/

146


Fibonaccijeve hrpe

Student: Marino Lončar

Područje: strukture podataka i algoritmi


Preduvjeti: nema

Opis: Fibonaccijeva hrpa je struktura podataka koja se sastoji od više stabala kojazadovoljavaju standardnu svojstvo uređaja u hrpi (oznaka djeteta je veća od oznake ro-ditelja).U prvom dijelu rada treba opisati strukturu obične hrpe, pripadne operacije i njihovusloženost, te nekoliko primjena hrpe u rješavanju problema kombinatorne optimizacije.Drugi dio rada posvećen je detaljnom opisu strukture Fibonaccijeve hrpe, s naglaskomna njezine prednosti za neke posebne probleme, poput traženja minimalnog razapinjućegstabla ili najkraćih puteva iz jednog vrha grafa.Od studenta se očekuje programiranje ovih algoritama, testiranje i analiza dobivenih re-zultata.

Literatura:T. H. Cormen, C. E. Leiserson, R. L. Rivest, C. Stein, Introduction to Algorithms, (SecondEdition), MIT Press and McGraw-Hill, 2001 (Poglavlje 20: Fibonacci Heaps, pp. 476–497)M. L. Fredman, R. E. Tarjan, Fibonacci heaps and their uses in improved network opti-mization algorithms, Journal of the ACM 34(3), 1987, pp. 596–615

147


Latentna semantička nanaliza, varijante i primjene

Student: Ana Marasović

Područje: Numerička matematika, Umjetna inteligencija

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo

Preduvjeti: dobro znanje numeričke linearne algebre

Opis: Latentna semantička analiza (LSA) je jedna metoda za klasifikaciju velikih količinapodataka, sa svrhom pretraživanja i rudarenja takvih skupova podataka, prvenstveno naInternetu. Problem klasifikacije svodi se na primjenu dekompozicije singularnih vrijed-nosti (SVD). Osnovna primjena metode je u klasifikaciji tekstualnih dokumenata, a unovije vrijeme koristi se i za analizu drugih vrsta podataka, poput slika i video zapisa.Ovaj rad bi obradio osnovni oblik LSA i pripadne algoritme iz numeričke linearne al-gebre. U nastavku rada, opisale bi se neke novije varijante LSA (poput probabilističkeLSA), proizasle iz primjena za posebne vrste problema. Izbor varijanti i način prikaza(veći naglasak na razradu algoritama, odnosno, na njihovu primjenu) ovisi o sklonostimastudenta prema odgovarajućim područjima (numerička matematika, računarstvo, strojnoučenje).

Literatura:Latent semantic analysis (i literatura na toj stranici) http://en.wikipedia.org/wiki/Latent_semantic_analysisThomas K. Landauer, Peter W. Foltz, Darrell Laham, An Introduction to Latent Seman-tic Analysis http://lsa.colorado.edu/papers/dp1.LSAintro.pdfChristopher D. Manning, Prabhakar Raghavan, Hinrich Schütze, Introduction to Infor-mation Retrieval, Cambridge University Press, 2008. http://nlp.stanford.edu/IR-book/information-retrieval-book.html T. Hofmann, Probalilistic Latent SemanticAnalysis, http://cs.brown.edu/~th/papers/Hofmann-UAI99.pdf

148


Klasifikacija teksta

Student: Ana Marasović

Područje: numerička matematika, umjetna inteligencija

Prikladno za studij: Primijenjena matematika, Računarstvo

Preduvjeti: Dobro znanje numeričke linearne algebre

Opis: Klasifikacija tekstualnih dokumenata je vrlo važno područje u pretraživanju i ru-darenju velikih količina tekstualnih podataka koji se mogu naći na Internetu.Ovaj rad bi obradio nekoliko metoda za klasifikaciju teksta, počev od standardne la-tentne sematičke analize (LSA), koja problem klasifikacije svodi primjenu dekompozicijesingularnih vrijednosti (SVD). U nastavku rada opisale bi se novije metode na bazi polu-nadziranog strojnog učenja, proizašle iz područja umjetne inteligencije, poput probabilis-tičke latentne semantičke analize, maksimizacije očekivanja i transduktivnog zaključivanjana bazi potpornih vektora.

Literatura:Latent semantic analysis (i literatura na toj stranici), http://en.wikipedia.org/wiki/Latent_semantic_analysisThomas K. Landauer, Peter W. Foltz, Darrell Laham, An Introduction to Latent Seman-tic Analysis, http://lsa.colorado.edu/papers/dp1.LSAintro.pdfT. Joachims, Transductive Inference for Text Classification using Support Vector Machi-nes, http://www1.cs.columbia.edu/~dplewis/candidacy/joachims99transductive.pdfK. Nigam, A. C. McCallum, S. Thrun, T. Mitchell, Text Classification from Labe-led and Unlabeled Documents using EM, http://www.kamalnigam.com/papers/emcat-mlj99.pdfT. Hofmann, Probalilistic Latent Semantic Analysis, http://cs.brown.edu/~th/papers/Hofmann-UAI99.pdf

149


Algoritmi za generiranje prostih brojeva manjih od N

Student: Karlo Peček

Područje: oblikovanje i analiza algoritama, teorija brojeva


Preduvjeti: nema

Opis: Eratostenovo sito služi za generiranje svih prostih brojeva manjih od zadanog pri-rodnog broja N i jedan je od najstarijih poznatih algoritama u povijesti. U novije vrijemepojavilo se nekoliko varijanti algoritama za isti problem, baziranih na ideji sita, s ciljempoboljšanja efikasnosti osnovnog algoritma.Cilj rada je opisati osnovni algoritam i novije varijante sita, analizirati njihovu složenost iimplementirati ih u nekom programskom jeziku (na pr. Python, zbog svojstava cjelobrojnearitmetike). Na kraju, treba napraviti analizu dobivenih rezultata u pogledu efikasnostite razmotriti moguće optimizacije ovih algoritama.

Literatura:G. H. Hardy, E. M. Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford UniversityPress, (6. izdanje 2008, originalno izdanje 1938)Melissa E. O’Neill, The Genuine Sieve of Eratosthenes, Harvey Mudd College, Claremont,CA, USA, http://www.cs.hmc.edu/~oneill/papers/Sieve-JFP.pdfPaul Pritchard, Improved Incremental Prime Number Sieves, Griffith University, Queens-land, Australia, http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.52.835&rep=rep1&type=pdfA. O. L. Atkin, D. J. Bernstein, Prime sieves using binary quadratic forms, Mathematicsof Computation, Vol. 73, No. 246, 2003, pp. 1023–1030Sundaram’s Sieve, http://en.wikipedia.org/wiki/Sieve_of_Sundaram

150

Mentor: Željko Skoko

Strukturna i električna svojstva željeznih fosfatnih stakala

Student: Nedjeljko Žuvela

Područje: fizika kondenzirane tvari

Prikladno za studij: Matematika i fizika; smjer nastavnički

Preduvjeti: položeni kolegiji Osnove fizike 1–4

Opis: Suvremeni način života, velik napredak u znanosti i razvoj tehnologije teži izradi,razvoju i primjeni novih materijala. Jedan od materijala za visoku tehnološku uporabu jestaklo, posebno fosfatno staklo koje ima široku primjenu. Fosfatna su stakla zanimljivasa znanstvenog i tehnološkog gledišta zbog svojih specifičnih strukturnih, magnetskih ielektričnih svojstava. Prednosti u odnosu na silikatna i boratna stakla uključuju: nisketemperature taljenja i staklišta, visoki termički koeficijent širenja, visoku UV transmisiju,veliku kemijsku stabilnost i kompozicijsku fleksibilnost. U okviru diplomskog rada bitiće dan dan teorijski prikaz dosadašnjih rezultata na području željeznih svojstava, zatimće biti izveden eksperimentalni dio koji će uključivati strukturna istraživanja metodomrendgenske difrakcije u polikristalu, kao i električna mjerenja metodom impedancijskespektroskopije.

Literatura:1. K. J. Rao, Structural chemistry of glasses, Elsevier, Oxford, 2002.2. J. E. Shelby, J. E. Shelby, Introduction to glass science and technology, 2. izd., TheRoyal Society of Chemistry, Cambridge, 2005.3. R. K. Brow, J. Non-Cryst. Solids, 263-264 (2000) 1-28.4. A. Šantić i A. Moguš-Milanković, Croat. Chem. Acta 85 (2012) 245-254. preglednirad5. J. A. Mydosh, Spin Glasses: An Experimental Introduction, Taylor & Francis, London,1993.

151

Mentor: Siniša Slijepčević

Procjena vrijednosti brzo rastućih poduzeća

Student: Tomislav Biljanić

Područje: financijska matematika

Prikladno za studij: Financijska matematika, Statistika

Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad će obraditi procjenu vrijednosti brzo rastućih poduzeća metodomdiskontiranog novčanog toka

Literatura:Copeland, Koller, Murrin, Valuation, Willey 2004 (4th edition).

152


Statističke metode u planiranju farmaceutskih ispitivanja

Student: Marija Radnić



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad će obraditi nekoliko statističkih metoda za segmentaciju pacijenatatemeljem rizičnih faktora.

Literatura:A. L. Jorgensen, M. Pirmohamed, Risk modeling strategies for pharmacogenic studies,Pharacogenomics 12 (2011), 397-410.

153


Slabo i jako miješanje u ergodskoj teoriji

Student: Iva Barada

Područje: dinamički sustavi

Prikladno za studij: Financijska matematika, Statistika, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad će obraditi različite definicije i svojstva pojma miješanja (mixing)u ergodskoj teoriji.

Literatura:K. E. Petersen, Ergodic Theory, Cambridge University Press, 1989.

154


Statistička analiza preživljavanja i primjene

Student: Mateja Antolković



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad će obraditi neke statističke metode analize preživljavanja (Survivalanalysis), te primjenu na biomedicinu.

Literatura:J. P. Klein, M. L. Moeschberger, Survival Analysis, Techniques for Censored and Trun-cated Data, Springer, 2003.

155


Statističke metode izračuna Unisex premija u osiguranju

Student: Petra Haban



Preduvjeti:

Opis: Diplomski rad će obraditi statističke metode za izračun premija izbjegavajući dis-kriminaciju po određenom rizičnom faktoru (npr. spol).

Literatura:A. Olivieri, E. Pitacco, Introduction to insurance mathematics, Springer, 2011.

156


Takensov teorem i primjene

Student: Karla Živković

Područje: dinamički sustavi


Preduvjeti:

Opis: Takensov teorem govori o mogućnosti reprezentiranja atraktora nelinearnog dina-mičkog sustava na temelju ishoda nekog mjerenja (tj. vremenskog niza). Diplomski radće obraditi teoriju te ilustrirati primjenu na primjerima.

Literatura:J. C. Robinson, Dimensions, Embeddings and Attractors, Cambridge University Press,2010.

157

Mentor: Maja Starčević

Apsolutna vrijednost broja

Student: Danka Jelenčić

Područje: algebra, analiza

Prikladno za studij: nastavnički smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U prvom dijelu rada opisao bi se način uvođenja pojma apsolutne vrijednosti brojau nastavi matematike, kao i sama motivacija za uvođenje tog pojma. Gradivo vezano zaapsolutne vrijednosti uglavnom se doživljava kao jedno od težih dijelova gradiva. Razlogse može naći u samoj definiciji funkcije apsolutne vrijednosti koja je definirana tako da prirješavanju zadataka pripadni problem moramo često razlagati na više slučajeva. Potrebnoje prezentirati nekoliko karakterističnih zadataka koji se rješavaju na nastavi i predložitinačin njihove obrade.U drugom dijelu rada analizirat će se razna svojstva funkcije apsolutne vrijednosti i srod-nih funkcija. Objasnit će se crtanje pripadnih grafova, kao i nekih krivulja koje u definicijisadrže apsolutne vrijednosti. Dobiveni grafovi i krivulje će se primijeniti na rješavanje jed-nadžbi i nejednadžbi i pripadnih sustava.U zadnjem dijelu rada predstavit će se složeniji zadaci i tvrdnje u kojima se koriste apso-lutne vrijednosti, poput zadataka koji se pojavljuju na natjecanjima.

Literatura:Zbirke i udžbenici iz osnovne i srednje škole, zadaci s natjecanja

158


Geometrija kugle i sfere

Student: Ružica Korać



Preduvjeti:

Opis: U uvodnom dijelu rada bi se napravio osvrt na gradivo osnovne i srednje školevezano za kuglu i sferu. Navele bi se i dokazale tvrdnje koje se koriste u nastavi te bi sena nekoliko primjera objasnili karakteristični tipovi zadataka kakvi se pojavljuju u skloputih nastavnih cjelina. U ostalim poglavljima bi se iskazali i dokazali još neki složenijirezultati vezani uz ta dva pojma. Potrebno je obraditi i sferni trokut, odnosno datipregled najvažnijih činjenica iz sferne geometrije i trigonometrije. Na kraju rada trebaobjasniti kako se koriste sferne koordinate i navesti neke primjene.

Literatura:R. S. Heath, Solid geometry, Rivingtons, London, 1922.Zbirke i udžbenici iz osnovne i srednje škole, zadaci s natjecanja

159


Karakteristične točke trokuta

Student: Anita Bingula



Preduvjeti:

Opis: Četiri karakteristične točke trokuta su težište, ortocentar te središta upisane iopisane kružnice. Cilj rada je što detaljnije opisati svojstva tih točaka, dokazati nekerezultate vezane uz te točke, ali i pronaći u literaturi i navesti što više specifičnih točakatrokuta čija su svojstva dosad izučavana (npr. Fermatova točka, Brocardova točka, Feuer-bachova točka ...). Neke od odabranih točaka će se detaljnije izučiti. Potrebno je ispitatipostoje li neke veze između točaka (kao npr. u slučaju točaka koje pripadaju Eulerovompravcu).

Literatura:A. Marić, Trokut, Element, 2007.Zbirke i udžbenici iz osnovne i srednje škole, zadaci s natjecanja

160


Ravninske krivulje

Student: Renata Škrivanek

Područje: Geometrija, analiza

Prikladno za studij: Nastavnički smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U radu će se napraviti klasifikacija ravninskih krivulja, odnosno opisat će se različitinačini tvorbe krivulja u ravnini. Npr. krivulja može biti definirana kao presjek dane plohei neke ravnine, zatim može predstavljati geometrijsko mjesto točaka koje zadovoljavajudano svojstvo, može biti definirana kao rezultat nekog geometrijskog preslikavanja većpoznate krivulje ili je putanja točke koja se giba po određenom zakonu. To su samo nekiod načina zadavanja. U radu je potrebno detaljnije opisati što više načina definiranjakrivulje i navesti konkretne primjere. Neke od krivulja koje se mogu promatrati su konike,ali i druge poznate krivulje kao što su Descartesov list, strofoida, Pascalov puž, cikloida,rozeta, astroida, Descartesov oval, lemniskata, sinusoidna spirala, itd. Za svaku odabranukrivulju potrebno je opisati kako nastaje, navesti glavna obilježja, te izvesti jednadžbu ukoordinatnom sustavu.

Literatura:A.A. Savelov, Ravninske krivulje, Školska knjiga, Zagreb, 1979.

161

Mentor: Ana Sušac

Istraživanje studentskog razumijevanja grafova u fizici imatematici

Student: Elizabeta Kazotti

Područje: edukacijska istraživanja

Prikladno za studij: Matematika i fizika; nastavnički

Preduvjeti: nema

Opis: Prethodna istraživanja su pokazala da strategije koje studenti koriste u rješavanjuzadataka s grafovima ovise o kontekstu zadataka. Cilj ovog diplomskog rada je istražitistudentske strategije u rješavanju zadataka u kojima je potrebno kvalitativno i kvanti-tativno odrediti nagib i površinu ispod grafa u fizikalnom i matematičkom kontekstu.Mjereni su pokreti očiju studenata PMF-a i Filozofskog fakulteta dok su rješavali para-lelne zadatke iz fizike i matematike što je dalo dodatni uvid u njihov način rješavanja.

Literatura:Planinić M, Ivanjek L, Sušac A, Milin-Šipuš Ž. (2013) Comparison of university students’understanding of graphs in different contexts. Physical Review ST Physics Education Re-search 9:020103.Duchowski AT. Eye Tracking Methodology Theory and Practice. London, Springer-Verlag,2007

162

Mentor: Ana Sušac

Istraživanje studentskog razumijevanja mjerenja i usporedbeizmjerenih podataka

Student: Petra Martinjak



Preduvjeti: nema

Opis: Mjerenja i mjerna nesigurnost su nezaobilazni dio svih eksperimentalnih znanosti.Cilj ovog diplomskog rada je istražiti razumijevanje procesa mjerenja i usporedbe iz-mjerenih podataka kod studenata prve i treće godine nastavničkog studija fizike. Osimstandardnog testiranja, kod dijela studenata su mjereni i pokreti očiju tijekom rješavanjazadataka.

Literatura:Volkwyn TS, Allie S, Buffler A, Lubben F. (2008). Impact of a conventional introductorylaboratory course on the understanding of measurement. Physical Review ST PhysicsEducation Research 4:010108.

163

Mentor: Ana Sušac

Istraživanje učeničkih i studentskih strategija u rješavanjuzadataka s grafovima iz svakodnevnog života

Student: Nikolina Skenderović



Preduvjeti: nema

Opis: Učenici i studenti pokazuju poteškoće u rješavanju zadataka s kontekstom iz sva-kodnevnog života, posebno ako se ne susreću često s takvom vrstom zadataka. Cilj ovogdiplomskog rada je istražiti učeničko i studentsko razumijevanje grafova kao važnog izvorainformacija. Osim standardnog testiranja i mjerenja pokreta očiju tijekom rješavanja za-dataka kod studenta, određeno je i koliko je prisutan strah od matematike kod učenikasrednje škole.

Literatura:Fensham PJ. (2009) Real World Contexts in PISA Science: Implications for Context-Based Science Education. Journal of Research in Science and Teaching 46: 884–896.

164

Mentor: Dragutin Svrtan

Aranžmani hiperravnina

Student: Damjan Murković

Područje: kombinatorika, računarstvo


Preduvjeti: Poželjno predznanje obuhvaćeno kolegijima Kombinatorna i diskretna ma-tematika odnosno Kombinatorika

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o aranžmanima hiperravnina u n-dimen-zionalnom afinom prostoru

Literatura:P. Orlik and H. Terao, Arrangements of hyperplanes,Grundlehren der MathematischenWissenschaften,1992,Springer Verlag,E. Miller et al.: Geometric Combinatorics, A co-publication of the AMS and IAS/ParkCity Mathematics Institute 2007.

165


Riemannov tenzor zakrivljenosti

Student: Branimir Stojanović

Područje: diferencijalna geometrija


Preduvjeti: Poželjno predznanje obuhvaćeno kolegijima Diferencijalna geometrija 1 i 2

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate iz Riemannove geometrije s naglaskomna Riemannovom tenzoru zakrivljenosti.

Literatura:S.Gallot, D.Hulin, J.Lafontaine Riemannian Geometry, Universitext, Springer, 1987M.Berger, A panoramic view of Riemannian Geometry, Springer Verlag 2003

166


Catalanovi brojevi

Student: Jelena Babić



Preduvjeti: Poželjno predznanje obuhvaćeno kolegijima Kombinatorna i diskretna ma-tematika i Kombinatorika

Opis: Obraditi sustavno neke osnovne rezultate o Catalanovim brojevima i obraditi nekeod bijekcija za različite interpretacije.

Literatura:R.P.Stanley, Enumerative Combinatorics, Volume 1: Second Edition (Cambridge Univer-sity Press, 2012), xiii+626 pp.D.Veljan, Kombinatorna i diskretna matematika, Zagreb, Algoritam, 2001

167

Mentor: Juraj Šiftar

Schwartz-Zippelova lema i neke njezine primjene

Student: Klara Nesterović

Područje: algebra, teorija algoritama

Prikladno za studij: Teorijska matematika, nastavnički smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Polinom P stupnja d u jednoj varijabli, nad poljem F , ima najviše d različitihnultočaka u polju F . Stoga, ako je S neki k-člani podskup od F, za k > d vjerojatnostda slučajno izabrani element iz S bude nultočka polinoma P nije veća od d/k. Schwartz-Zippelova lema daje jednostavan analogni rezultat za polinom P u n varijabli: ako se izskupa S nasumce i nezavisno izabere n elemenata, vjerojatnost da P u toj n-torci poprimivrijednost 0 također nije veća od omjera d/k.Dokaz ove tvrdnje može se provesti matematičkom indukcijom, a zanimljive su različiteposljedice i primjene: testiranje jednakosti polinoma, savršeno sparivanje u grafovima,algoritam za ispitivanje asocijativnosti u grupoidu itd. Riječ je o probabilističkim algo-ritmima koji daju dobre rezultate za razmjerno mali broj evaluacija.

Literatura:J. Matoušek: Thirty-three miniatures. Mathematical and Algorithmic Applications of Li-near Algebra, AMS, 2010.R. Zippel, Probabilistic algorithms for sparse polynomials, Lecture Notes in Computerscience vol. 72(1979), 216-226.R. J. Lipton, The curious history of the Schwartz-Zippel lemma, http://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the-schwartz-zippel-lemma/

168


Izoperimetričke i izoparametričke figure u ravnini

Student: Marija Protrka


Prikladno za studij: nastavnički smjerovi, Teorijska matematika

Preduvjeti:

Opis: Ravninske figure jednakog opsega nazivaju se izoperimetričkima. Klasični je pro-blem određivanja figure zadanog opsega koja obuhvaća najveću površinu. Za figuru opsegaO i površine P standardni izoperimetrički kvocijent Q definira se s Q = 4πP/O2. VrijediQ ≤ 1, s tim što jednakost nastupa samo za krug i to je rješenje izoperimetričkog pro-blema.U radu će se prikazati neki rezultati o izoparametričkim figurama u ravnini, dakle takvimravninskim likovima kojima su pridruženi jednaki opsezi i jednake površine. Jedan smjeristraživanja bavi se izoparametričkim figurama koje nisu sukladne. U tu svrhu uvodi se,kao modifikacija Q, koeficijent k = O2/4P (contour ratio) pomoću kojeg se izražava nu-žan uvjet da bi se dvije figure „skaliranjem“ mogle svesti na izoparametričke. Navest ćese zanimljivi primjeri izoparametričkih figura koje nisu sukladne. Posebno će se istraži-vati „prsteni“, to jest figure omeđene dvjema sličnim jednostavnim zatvorenim krivuljama.Primjerice, kvadrat i krug nikad nisu izoparametrički, ali kvadratni prsten i kružni prstento mogu biti.

Literatura:Tom M. Apostol and Mamikon A. Mnatsakanian, Isoperimetric and isoparametric pro-blems Amer. Math. Monthly 111 (2) (2004), 118-136.A. Treibergs. Inequalities that imply the Isoperimetric Inequality, http://www.math.utah.edu/~treiberg/isoperim/isop.pdf

169


Primitivni tetraedri u trodimenzionalnoj cjelobrojnoj rešeci

Student: Nataša Marin

Područje: algebra, geometrija


Preduvjeti:

Opis: Primitivnim politopom u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru En naziva sepolitop čiji vrhovi pripadaju cjelobrojnoj rešeci Zn, ali nema drugih točaka rešetke unutrini ili na rubu. U radu će se prikazati neki rezultati o primitivnim tetraedrima urešeci Z3, s naglaskom na prebrojavanje klasa ekvivalencije primitivnih tetraedara zadanogvolumena. Naime, za n = 3 situacija je bitno drukčija nego za ravninski slučaj, u kojemuiz Pickove formule (površina konveksnog poligona s vrhovima u Z2 iznosi I + B/2˘1,pri čemu B je broj točaka rešetke na rubu, a I u nutrini poligona) i činjenice da takavpoligon može imati najviše 4 vrha slijedi da to može biti samo trokut površine 1/2 iliparalelogram površine 1. Za n = 3 nema gornje međe za volumen primitivnog tetraedra.Na temelju Reznickove klasifikacije primitivnih simpleksa i drugih rezultata izvode seeksplicitne formule za broj klasa unimodularne ekvivalencije primitivnih tetraedara urešeci Z3.

Literatura:M. R. Khan, A Counting Formula for Primitive Tetrahedra in Z3 Amer. Math. Monthly106 (6) (1999), 515-533.B. Reznick, Lattice Point Simplices, Discrete Math. 60 (1986), 219-242.

170


Malfattijev problem

Student: Mateja Šašo



Preduvjeti:

Opis: Izvorni problem G.F. Malfattija (1803.) odnosi se na izrezivanje tri valjka jednakevisine iz uspravne trostrane prizme tako da ukupni volumen valjaka bude maksimalan.Malfatti je problem sveo na pronalaženje tri kruga upisana u trokut tako da zbroj njihovihpovršina bude maksimalan, no njegova slutnja da rješenje čine tri kruga od kojih svakidodiruje dvije stranice trokuta i ostala dva kruga pokazala se pogrešnom. Takav problemrazmatran je inače još ranije u Japanu. U 20. stoljeću Malfattijeva slutnja opovrgnuta jekroz nekoliko radova u kojima je pokazano da za svaki trokut, kao i za još za neke likove,pohlepni algoritam daje veću površinu tri upisana kruga od Malfattijeve konfiguracije.U radu će se prikazati glavni rezultati kroz povijest rješavanja Malfattijeva problema i,posebno, konstrukcije spomenute konfiguracije.

Literatura:R. M. Andreatta, A. Bezdek and J. Boronski, The problem of Malfatti: two centuries ofdebate, Math. Intelligencer 33(1) (2010), 72-76.H. Lob and H. W. Richmond, The solution of Malfatti’s problem for a triangle, Proc.London Math. Soc. 30 (1930), 287–304.M. Goldberg, On the original Malfatti problem, Math. Mag. 40 (1967), 241–247.V. A. Zalgaller and G. A. Los, The solution of Malfatti’s problem, J. Math. Sciences,72(4) (1994), 3163–3177.

171


Fermat-Steinerov problem

Student: Monika Cikojević



Preduvjeti:

Opis: Prikazat će se povijest, različiti načini rješavanja i poopćenja klasičnog problemaiz planimetrije kojim su se bavili mnogi znameniti matematičari. U osnovnoj formulaciji,treba odrediti točku u ravnini trokuta ABC tako da zbroj njezinih udaljenosti od vrhovaA, B i C bude minimalan. Za primjene je važna i težinska varijanta tog problema, ukojoj su zadane tri pozitivne konstante kao težine vrhova. Postavlja se i inverzni Fermat-Steinerov problem, postoje li za zadanu točku P takve težine da upravo P bude rješenjeproblema, a istražuje se i takav izbor težina da bi rješenje bila neka od istaknutih točakatrokuta (ortocentar, težiste, središte upisane i opisane kružnice).

Literatura:S. Gueron and R. Tessler, The Fermat-Steiner problem, Amer. Math. Monthly 109(5)(2002), 443-451.(Ovaj članak sadrži opsežan popis literature, iz kojeg će se još neki naslovi iskoristiti zadiplomski rad).

172


Descartesov list i Fermatova metoda kvadrature

Student: Maja Nemet

Područje: diferencijalni i integralni račun, geometrija


Preduvjeti:

Opis: Descartesov list (Folium de Descartes) krivulja je s jednadžbom x3 + y3 = 3axy,koja ima mnoga zanimljiva svojstva, a s njom je povezan i glasoviti "izazov" Descartesanjegovom velikom matematičkom suvremeniku Pierreu Fermatu. Fermat ne samo štoje s lakoćom riješio zadatak određivanja tangenti kojeg je Descartes smatrao iznimnoteškim, nego je izračunao i površinu unutar "petlje" ("lista") te predložio vlastitu metodu"kvadrature" (zapravo integriranja) za širu klasu krivulja. U radu će se najprije prikazatirazličita rješenja za izračunavanje površine unutar Descartesova lista, a zatim i primjenaFermatove metode na slične i općenitije probleme, npr. za krivulje s jednadžbom oblikax2m+1 + y2m+1 = (2m+ 1)xmym. Za njegovo doba, prvu polovicu 17. stoljeća, Fermatoveideje pokazuju se posebno originalnima i dalekosežnima.

Literatura:J. Paradís, J. Pla and P. Viader Fermat and the Quadrature of the Folium of Descartes,Amer. Math. Monthly 111, No. 3 (2004), 216-229.(Ovaj članak sadrži opsežan popis literature, iz kojeg će se još neki naslovi iskoristiti zadiplomski rad).

173


Algebarski pristup iterativnim metodama tangente i sekante

Student: Marko Sačić

Područje: geometrija, algebra

Prikladno za studij: Teorijska matematika, nastavnički smjerovi

Preduvjeti:

Opis: U matematičkoj analizi i, posebno, numeričkoj matematici poznate su klasičnemetode tangente (Newton-Raphson) i sekante za približno određivanje nultočaka zadanefunkcije f . To su iterativni postupci kojima se, za početni izbor (procjenu ili "pogađa-nje") točke T0 (za tangentu) odnosno dviju točaka S1, S2 (za sekantu) formiraju nizovi Tni Sn.Uočavanjem podudarnosti među podnizovima ovih nizova kad se uzme f(x) = x2− x− 1(što vodi do vrijednosti "zlatnog reza"), zajedno s nizom verižnih razlomaka dobivenih ite-racijama funkcije m(x) = 1+1/x, dolazi se na ideju promatranja binarne operacije x∗y =(xy+1)/(x+y−1) na proširenju polja R, zatim općenito x∗y = [xf(y)˘yf(x)]/[f(y)˘f(x)]pri čemu je f diferencijabilna funkcija na proširenju R. (U prvom, posebnom slučaju ope-racija ∗ dobiva se primjenom metode sekante na funkciju f(x) = x2 − x − 1). Sadavažnu ulogu dobiva asocijativnost operacije ∗, jer ako je to svojstvo ispunjeno za nekufunkciju f onda dolazi do podudaranja podnizova nizova (Tn) i (Sn) analogno kao kodf(x) = x2 − x− 1.Asocijativnost ne vrijedi općenito, no pomoću Pascalovog teorema o šesterovrhu upi-sanom u koniku uspijeva se pokazati asocijativnost za klasu racionalnih funkcija oblikaf(x) = (ax2 + bx+ c)/(dx+ e).Uz ovakvo poopćenje, može se izložiti niz zanimljivih posebnih slučajeva i primjena, odkojih su neke poznate iz matematike i fizike (relativističko zbrajanje, grupa točaka elip-tičke krivulje itd).

Literatura:S. R. Northshield, Associativity of the secant method Amer. Math. Monthly 109 (2002),246-257. http://faculty.plattsburgh.edu/sam.northshield/monthly.pdfM. Filaseta, Newton’s method and simple continued fractions, Fibonacci Quart. 24 (1986),41-46.

174

Mentor: Tomislav Šikić Suvoditelj: Mladen Vuković

Primjeri objavljenih matematičkih zadataka PISA istraživanjavezanih uz pojam funkcije

Student: Matej Sošić

Područje: Metodika nastave matematike

Prikladno za studij: Diplomski studij Matematika; smjer: nastavnički, Diplomski stu-dij Matematika i informatika; smjer: nastavnički, Integrirani studij Matematika i fizika;smjer: nastavnički

Preduvjeti: nema

Opis: Kandidat će analizirati javno objavljene matematičke zadatke u PISA istraživanjukoji su povezani s matematičkim konceptima iz NOK-ove domene Algebra i funkcije.

Literatura:1. Learning Mathematics for Life; OECD http://browse.oecdbookshop.org/oecd/pdfs/free/9809111E.PDF2. PISA 2012 Released Mathematics Items; OECD http://www.oecd.org/pisa/pisaproducts/pisa2012-2006-rel-items-maths-ENG.pdf3. PISA Relased Items - Mathematics; OECD http://www.oecd.org/pisa/38709418.pdf4. NOK; http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali/NOK.pdf5. Materijali za kolegije Metodika nastave matematike 1-4 http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/metodika/materijali.php

175

Mentor: Jan Šnajder Suvoditelj: Mladen Vuković

Analiza tekstova projektnih prijedloga primjenom postupakastatističke obrade prirodnoga jezika

Student: Hermina Petric Maretić

Područje: obrada prirodnog jezika, strojno učenje


Preduvjeti: nema

Opis: U posljednje je vrijeme porastao interes za grupnim financiranjem (engl. crowd-funding) kreativnih projekata. Postoje mnoge internetske stranice, kao što su Kickstarteri RocketHub, na kojima se potencijalnim investitorima objavljuju prijedlozi takvih pro-jekata. Usporedno s time porasla je potreba za strojnom obradom tekstova projektnihprijedloga, koja bi omogućila pronalaženje, pregledavanje, klasifikaciju i usporedbu pro-jekata, analizu trendova, predviđanje uspjeha projekta, ekstrakciju informacija i sl.Tema diplomskoga rada jest primjena postupaka statističke obrade prirodnog jezika (nad-ziranog i nenadziranog strojnog učenja) za semantičku usporedbu projektnih prijedloga.U okviru rada potrebno je proučiti postupke modela tema (engl. topic model), kao štoje model latentnoga Dirichletovog zauzeća (LDA), te primjenu takvih modela za ekspolo-rativnu analizu zbirki dokumenata, označavanje tema (engl. topic labeling) i ekstrakcijuključnih riječi. Opcionalno proučiti modele za slijedno označavanje podataka (npr. modeluvjetnih slučajnih polja) i primjenu takvih modela za segmentaciju teksta prema temat-skoj odnosno funkcijskoj strukturi.U praktičnome dijelu rada potrebno je implementirati postupak za usporedbu i grupiranjeprojekata temeljen na tematskim značajkama ekstrahiranima iz tekstova projektnih pri-jedloga. Postupak primijeniti i vrednovati na prikladnome skupu podataka na engleskomejeziku (npr. prijedlozi projekata sa stranice Kickstarter).

Literatura:Manning, Christopher D. Foundations of statistical natural language processing. Ed.Hinrich Schütze. MIT press, 1999.Blei, David M., Andrew Y. Ng, and Michael I. Jordan. "Latent Dirichlet allocation." theJournal of machine Learning research 3 (2003): 993-1022.Mei, Qiaozhu, Xuehua Shen, and ChengXiang Zhai. "Automatic labeling of multino-mial topic models." Proceedings of the 13th ACM SIGKDD international conference onKnowledge discovery and data mining. ACM, 2007.Lafferty, John, Andrew McCallum, and Fernando CN Pereira. "Conditional random fi-elds: Probabilistic models for segmenting and labeling sequence data." (2001).Greenberg, Michael D., et al. "Crowdfunding support tools: predicting success & failure."CHI’13 Extended Abstracts on Human Factors in Computing Systems. ACM, 2013.Mitra, Tanushree, and Eric Gilbert. "The language that gets people to give: Phrases thatpredict success on kickstarter." Proceedings of the 17th ACM conference on Computersupported cooperative work & social computing. ACM, 2014.

176

Mentor: Kristina Šorić

Model proizvodnje i zaliha u nesavršenom proizvodnom procesu

Student: Marina Mandić

Područje: dinamički sustavi, optimizacija

Prikladno za studij: za sve studije

Preduvjeti: poznavanje metoda optimizacije i koncepata iz kolegija Dinamički sustavi uekonomiji

Opis: U literaturi se uglavnom proučavaju savršeni proizvodni procesi koji su prikladniza učenje koncepata i usvajanje teorijskih znanja. No, znamo da u praksi proizvodnjiprocesi nimalo nisu savršeni. Stoga se često događa da se proizvodi moraju popravljati iponovo dorađivati. To iziskuje dodatne troškove. Ovaj rad definira problem optimalnogupravljanja s ciljem maksimizacije dobiti poduzeća uz određivanje optimalne razine pro-izvodne produktivnosti i zaliha uzimajući u obzir te dodatne troškove.

Literatura:1. Clarke, F. (2013). Functional Analysis, Calculus of Variatons and Optimal Control.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, London2. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.3. Shib Sankar Sana, A production-inventory model in an imperfect production process,European Journal of Operational Research 200 (2010) 451-464

177


Modeliranje dinamike zaliha

Student: Frane Tomić

Područje: dinamički sustavi, optimizacija



Opis: Uzimajući u obzir potražnju za određenom robom na tržištu, kao i njezine postojećezalihe, poduzeće maksimizira svoju dobit. Problem se definira kao problem optimalnogupravljanja. Rješenje problema su optimalne vremenske putanje proizvodnje i zaliha natemelju kojih se onda provodi analiza poslovnih ciklusa u nekoj ekonomiji.

Literatura:1. Clarke, F. (2013). Functional Analysis, Calculus of Variatons and Optimal Control.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, London2. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.3. L. Pieroni, M. Ricciarelli, Modelling dynamic storage function in commodity markets:Theory and evidence, Economic Modelling 25 (2008) 1080-1092

178


Difuzijski modeli u turizmu

Student: Matea Lustek

Područje: optimizacija, dinamički sustavi



Opis: Turističko tržište je vrlo osjetljivo, pa turistička poduzeća i ostali akteri na njemumoraju optimalno rasporediti sve svoje resurse ukoliko žele privući klijente. Jedan od na-čina je i izučavati plasiranje informacije o novoj usluzi ili proizvodu koje se može odvijatiputem promocije ili prijenosom informacija sa starih na nove klijente. U tom izučavanjumože se koristiti i Bass-ov difuzijski model, kao i njegova verzija, što je slučaj u ovomradu.

Literatura:1. Koutsoyiannis A., Moderna mikroekonomika, Mate d.o.o., 1997.2. J. P. H. Hsiao, C. Jaw, T. C. Huan, Information diffusion and new product con-sumption: A bass model application to tourism facility management, Journal of BusinessResearch 62 (2009) 690-6973. Seierstad A., Sydsaeter K., Optimal control theory with economic application, North-Holland, First Edition 1987

179

Mentor: Daria Tot Suvoditelj: Aleksandra Čižmešija

Vrednovanje kao strategija učenja matematike

Student: Marijana Hunjek

Područje: didaktika, metodika nastave matematike


Preduvjeti: nema

Opis: Vrednovanje u suvremenom odgojno-obrazovnom procesu ima višestruku svrhu:vrednovanje za učenje, vrednovanje kao učenje i vrednovanje naučenog. Cilj diplomskograda je prikazati neke prednosti vrednovanja kao strategije učenja te opisati specifičnostiprimjene tog mehanizma u nastavi matematike.

Literatura:Kyriacou, C. (1995). Temeljna nastavna umijeća: metodički priručnik za uspješno po-učavanje i učenje. - Zagreb: Educa.Maleš, D. i Mužić, V. (1990). Mogućnost vrednovanja nastavnika od strane učenika, Životi škola, 39 (1), 1-22.Meyer, H. (2005). Što je dobra nastava? Zagreb: Erudita.Mužić, V. (1998). Nove mogućnosti u vrjednovanju pri usmjerenosti nastave na sudionike.U: Vrjednovanje obrazovanja. Osijek: Pedagoški fakultet.Prange, K. (2005). Kompetencije između profesionalizacije i evaluacije. Pedagogijska is-traživanja, 1, Zagreb, 49-57.Tobey, C. R. , Keeley, P. D. (2011). Mathematics Formative Assessment: 75 PracticalStrategies for Linking Assessment, Instruction, and Learning, Corwin Pr Inc.Depka, E. (2007). Designing Assessment for Mathematics, 2nd edition Corwin Pr Inc.McMillan, J. H. (2010). Classroom Assessment: Principles and Practice for EffectiveStandards-Based Instruction, 5th edition, Pearson Education.Popham, W. J. (2013). Classroom assessment: What teachers need to know, PrenticeHall.

180


Primjena metoda aktivnog učenja u nastavi algebre i funkcija uosnovnoj školi

Student: Karmen Župan



Preduvjeti: nema

Opis: Primjenom metoda aktivnog učenja učenik je postavljen u interaktivan odnos sasadržajima, dobiva ulogu kreatora i izvršioca čime nastava dobiva novu dimenziju, a uče-nje postaje izazov. Svaka metoda može biti pokretačka za učenike, ali ni jedna sama posebi ne jamči aktivno učenje. Cilj je ovoga rada prikazati na koji način aktivna nastavaosigurava obrazovne ishode i aktivan položaj učenika kao konstruktora vlastitog znanja ito putem: prilagođavanja nastavnih oblika, metoda i sredstava rada individualnim potre-bama i mogućnostima svakog učenika kako bi se djelovalo na razvoj različitih područjaučenikove posebnosti; planiranje i pripremu prema sposobnostima učenika; uvažavanjerazličitih stilova učenja učenika kao i uvažavanje razvojnih razlika; omogućavanje aktiv-nog, samostalnog učenja i praktičnog djelovanja učenika.

Literatura:Jensen, E. (2004), Različiti mozgovi, različiti učenici, Zagreb: Educa.Marzano, R. J., Pickering, D. J., Pollock, J. E. (2006). Nastavne strategije. Kako primi-jeniti devet najuspješnijih nastavnih strategija. Zagreb: Educa.Mattes, W. Nastavne metode (75 kompaktnih pregleda za nastavnike i učenike) (2007).Zagreb. Naklada Ljevak.Murdock, J., Kamischke, E., Kamischke, E. (2002). Discovering Algebra. An Investiga-tive Approach, Key Curriculum. Press.Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and MiddleSchool Mathematics: Teaching Developmentally, Pearson.Steele, J. L. , Meredith, K. S. Temple, C. Walter, S. (2001). Čitanje i pisanje za kritičkomišljenje, vodiči kroz projekt (I.-VIII.). Zagreb: Forum za slobodu odgoja.E. Terhart (2001). Metode poučavanja i učenja,. Zagreb: Educa.

181


Suradničko učenje u nastavi aritmetike u osnovnoj školi

Student: Borjana Brdar



Preduvjeti: nema

Opis: Pojam suradničkog učenja obuhvaća različite nastavne oblike s ciljem poticanjasvih učenika. Suradničko učenje ne znači da grupni rad zamjenjuje individualnu, odnosnofrontalnu nastavu. Cilj je ovoga rada prikazati pregledno te na konkretnim primjerima iznastave aritmetike u osnovnjoj školi učinkovite oblike djelovanja kojima je moguće obo-gatiti nastavu čime će učenje postati trajniji i učinkovitiji proces. Također, uputiti naintegraciju strategija suradničkog učenja u proces učenja.

Literatura:Bruening, l. Saum, T. (2008). Suradničkim učenjem do uspješne nastave. Zagreb: Nak-lada Kosinj.Cindrić, M., Miljković, D. i Strugar, V. (2010). Didaktika i kurikulum. Zagreb: IEP-D2.Jensen, E. (2003). Super-nastava. Zagreb: EducaMarzano, R. J., Pickering, D. J., Pollock, J. E. (2006). Nastavne strategije. Kako primi-jeniti devet najuspješnijih nastavnih strategija. Zagreb: Educa.Mattes, W. Nastavne metode (75 kompaktnih pregleda za nastavnike i učenike) (2007).Murdock, J., Kamischke, E., Kamischke, E. (2002). Discovering Algebra. An Investiga-tive Approach, Key Curriculum. Press.Van de Walle, J. A., Karp, K. S., Bay-Williams, J. M. (2012). Elementary and MiddleSchool Mathematics: Teaching Developmentally, Pearson.

182

Mentor: Sanja Varošanec

Jedna generalizacija konveksnih funkcija

Student: Ivana Mrvičić

Područje: analiza

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti:

Opis: Među raznim generalizacijama konveksnih funkcija posebnu ulogu igraju s-konveksnefunkcije koje je 1978. definirao W.W. Breckner. Za funkciju f : I → R kažemo da jes-konveksna ako za sve x, y ∈ I i t ∈ [0, 1] vrijedi f(tx+ (1− t)y) ≤ tsf(x) + (1− t)sf(y).U ovom radu će se opisati svojstva klase s-konveksnih funkcija.

Literatura:1. Breckner, W.W, Stetigkeitsaussagen fur eine Klasse verallgemeinerter konvexer funk-tionen in topologischen linearen Raumen, Publ. Inst. Math. 23 (1978), 13-20.2. Hudzik, H, Maligranda, L, Some remarks on s-convex functions, Aequationes Math.48, (1994), 100-111.3. Kirmaci US et al, Hadamard-type inequalities for s-convex functions, Applied Mathe-matics and Computations, 193 (2007), 26-35.

183


Homotetija i sličnost u školskoj matematici

Student: Ivana Major Šomođi


Prikladno za studij: edukacijski smjerovi

Preduvjeti:

Opis: Definirati homotetiju, sličnost, dokazati razna svojstva, osvrnuti se na ulogu tihpreslikavanja u školskoj matematici, komentirati različite pristupe ovoj problematici. Pro-učiti primjenu ovih preslikavanja u različitim dijelovima matematike.

Literatura:1. Pavković, Veljan, Elementarna matematika 1,2, Zagreb, 1992.2. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 1992.3. srednjoškolski udžbenici i drugi izvori

184


Bicentrički parovi točaka trokuta

Student: Topalović Bernarda



Preduvjeti:

Opis: Promatraju se točke ravnine čije su baricentrične koordinate oblika f(a, b, c) :f(b, c, a) : f(c, a, b) gdje je f pozitivno homogena funkcija, za koju je f(a, b, c) 6= f(a, c, b)pri čemu su a, b, c duljine stranica čvrstog trokuta. Kao što odabrani trokut ima neko-liko tisuća centara (prema Kimberlingovoj listi 5000), tako se u trokutu pojavljuje i niztočaka koje nazivamo bicentrički parovi točaka. Najpoznatiji takav par su prva i drugaBrocardova točka trokuta. U radu će se proučiti generalna svojstva ovih točaka, te nekiposebni primjeri istih.

Literatura:1. Pavković, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.2. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 1992.3. Encyclopedia of Triangle Centers, http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html

185


Težišnice trokuta i težište

Student: Škaro Tonio



Preduvjeti:

Opis: U radu će se razmotriti razna svojstva težišnica trokuta i težišta te dokazati ih pomogućnosti na više načina. Promotrit će se konstrukcije trokuta u kojima je bar jedandani element težišnica trokuta. Za potrebe rješavanja problema kad konstrukcija nijemoguća, dokazati potrebne teoreme o postojanju konstruktibilnih rješenja jednadžbe.

Literatura:1. Švrček i dr. Geometrie trojuhelnika, Praha 1988.2. D. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 1992.3. A. Marić, Planimetrija, Element, Zagreb4. Pavković, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.

186


Karakteristične točke i pravci četverokuta

Student: Grbac Irena



Preduvjeti:

Opis: Kao što u trokutu možemo promatrati mnoge karakteristične točke, tako se i ukonveksnom četverokutu pojavlju točke, pravci i figure koje imaju neka zanimljiva svoj-stva. Najpoznatije takve figure su Newtonov pravac, kvaziortocentar, težište s obziromna vrhove, težište s obzirom na stranice itd. U radu će se proučiti svojstva ovih struktura.

Literatura:1. Pavković, Veljan, Elementarna matematika 1, TK, Zagreb, 1992.2. D. Palman, Trokut i kružnica, Element, Zagreb, 1992.3. A. Myakishev, On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral, Forum Geome-tricorum 6(2006), 289-295.4. Honsberger, Ross, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry,Math. Assoc. Amer., 1995

187


(M,N) - konveksne funkcije pridružene paru sredina M i N

Student: Matija Ilić

Područje: analiza

Prikladno za studij: svi

Preduvjeti:

Opis: U prvom dijelu rada će se opisati osnovna svojstva konveksnih funkcija, a potomćemo pažnju usmjeriti prema tzv. (M,N)-konveksnim funkcijama i njihovim svojstvima.Najpoznatiji primjeri tih funkcija su logaritamski konveksne, te multiplikativno konveksnefunkcije.

Literatura:1. C. Niculescu, L.-E.Persson, Convex functions and Applications, Springer, 2006.2. F. Proschan et all, Convex functions, Partial Orderings and Statistical Applications,Acad. Press, 1992.

188

Mentor: Marko Vrdoljak

Cjelobrojno programiranje

Student: Tina Čulina

Područje: Optimizacija

Prikladno za studij: svi diplomski studiji

Preduvjeti:

Opis: Za razliku od zadaća linearnog programiranja, kod zadaća cjelobrojnog programi-ranja ne postoji analogon Farkaseve leme pa tako ni lijepe teorije dualnosti. Cilj rada jeprikazati teorijske rezultate zadaća cjelobrojnog programiranja i neke metode rješavanja.

Literatura:A. Schrijver. Theory of linear and integer programming, Wiley 1999.Y. Pochet, L. Wolsey. Production planning by mixed integer programming, Springer, 2006.

189


Mrežna optimizacija u planiranju željezničkog prometa

Student: Matej Jusup

Područje: Optimizacija

Prikladno za studij: svi diplomski studiji

Preduvjeti:

Opis: Cilj rada je modelirati niz problema organizacije željezničkog prometa kao problemeoptimizacije na grafovima i opisati algoritme za njihovo rješavanje.

Literatura:R. Ahuja, C. Cunha, G. Sahin. Network Models in Railroad Planning and Scheduling, uTutorials in operations research (ur. J. Smith), pp. 54-101, Informs, 2005.

190


Optimizacija svojstvenih vrijednosti Laplaceovog operatora

Student: Kristina Bolfek

Područje: Matematička analiza

Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijenjena matema-tika, Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe 2

Opis: Rad se bavi određivanjem domene koja optimizira k-tu svojstvenu vrijednost La-placeovog operatora, s obzirom na dane rubne i geometrijske uvjete. Povijesno, problemodređivanja otvorenog skupa zadanog volumena koji minimizira najmanju svojstvenu vri-jednost uz Dirichletov rubni uvjet proučavao je Rayleigh 1877. godine, ali su mnogapitanja još uvijek otvorena.Cilj rada je prikazati korisne tehnike (Schwarzovo preslagivanje, Steinerova simetrizacija)u rješavanju zadaća tog tipa.

Literatura:A. Henrot. Extremum problems for eigenvalues of elliptic operators, Birkhäuser, 2006.

191


Metoda nivo skupa u optimizaciji oblika

Student: Petar Kunštek

Područje: Matematička analiza

Prikladno za studij: Diplomski studiji: Teorijska matematika, Primijenjena matema-tika, Matematička statistika, Financijska i poslovna matematika

Preduvjeti: Parcijalne diferencijalne jednadžbe 2

Opis: Rad proučava zadaće optimizacije oblika kojima je cilj odrediti domenu koja mi-nimizira zadani funkcional. Ovisnost funkcionala o domeni dana je preko funkcije cilja– rješenja rubne zadaće za parcijalnu diferencijalnu jednadžbu na promatranoj domeni.Metoda je zasnovana na Hadamardovom pristupu preko derivacije funkcionala s obziromna varijaciju domene, a zapis same domene proveden je korištenjem metode nivo skupa.

Literatura:G. Allaire, F. Jouve, A.-M. Toader, Structural optimization by the level-set method, Inter-national Series of Numerical Mathematics, vol. 147, pp.1-15, Birkhäuser, 2003.J. Sethian. Level set methods and fast marching methods, Cambridge University Press,1999.

192

Mentor: Mladen Vuković

Nepotpunost i neodlučivost aritmetike

Student: Daniel Jelušić

Područje: matematička logika i računarstvo


Preduvjeti: Poželjno predznanje obuhvaćeno kolegijima Matematička logika i Izračun-ljivost

Opis: Glavni cilj diplomskog rada je dokazati Gödelove teoreme nepotpunosti, Tarskijevteorem o nedefinabilnosti aritmetičke istine, te Churchov teorem o neodlučivosti logikeprvog reda. U prvom dijelu diplomskog treba obraditi postupak aritmetizacije sintakse,te dokazati da je predikat dokazivosti rekurzivno prebrojiv ako se radi o teoriji s rekurziv-nim skupom aksioma. Nakon toga treba dokazati reprezentabilnosti rekurzivnih funkcijau Peanovoj aritmetici. Ključni posljednji korak za dokaz Gödelovih teorema je lema o fik-snim točkama. U zadnjem dijelu treba razmotriti vezu između neodlučivosti Hilbertovogdesetog problema i Gödelovih teorema.

Literatura:W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer, 2006.P. Smith, An Introduction to Gödel’s Theorems, Cambridge University Press, 2008.M. Vuković, Matematička logika, Element, 2009.

193

Mentor: Mladen Vuković Suvoditelj: Tin Perkov

Skupovne interpretacije modalne logike

Student: Filip Kiršek

Područje: matematička logika

Prikladno za studij: Teorijska matematika, Računarstvo i matematika

Preduvjeti: Poželjno predznanje obuhvaćeno kolegijima Matematička logika i Teorijaskupova

Opis: Postoje mnoge interpretacije modalne logike. Vjerojatno je najpoznatija Solo-vayeva interpretacija modalnosti kao dokazivosti. Solovay je razmatrao i sljedeće skupovneinterpretacije modalnosti: "istinito u svim tranzitivnim modelima teorije ZF" i "istinitou Vκ, za svaki nedostiživi kardinal κ." Za svaku od tih skupovnih interpretacija definirase modalni sistem i pripadna semantika. U diplomskom radu treba dokazati teoreme mo-dalne adekvatnosti i potpunosti, te zatim dokazati Solovyev teorem potpunosti modalnelogike u odnosu na navedene skupovne interpretacije.Metodu forcinga uveo je Cohen 1962. godine kako bi dokazao nezavisnost aksioma izborai hipoteze kontinuuma u odnosu na ostale aksiome Zermelo–Fraenkelove teorije skupova.Metoda forcinga je postala fundamentalna metoda u teoriji skupova. Interpretaciju mo-dalne logike pomoću forcinga uveo je Hamkins 2003. godine. Ako pretpostavimo da jeZFC konzistentna teorija tada su ZFC–dokazivo valjani principi o forcingu upravo oni kojisu dokazivi u modalnoj teoriji S4.2.

Literatura:G. Boolos, The Logic of Provability, Cambridge University Press, 1993.J. D. Hamkins, B. Löwe, The modal logic of forcing, Transection of the American Mat-hematical Society, 360 (2008), 1793–1817T. Jech, Set Theory, Springer, 2003.W. Rautenberg, A Concise Introduction to Mathematical Logic, Springer, 2006.

194

Mentor: Krešo Zadro

Toplinske pumpe

Student: Ivana Katinić

Područje: fizika čvrstog stanja

Prikladno za studij: nastavnički studiji fizike

Preduvjeti:

Opis: Toplinska pumpa akumuliranu sunčevu energiju u zemlji, vodi ili zraku uz pomoćelektrične energije pretvara u toplinsku energiju za sustav grijanja, hlađenja ili pripremepotrošne tople vode. To su sustavi obnovljivog, jeftinog i ekološki čistog načina grijanja,koji rade na principu sličnom kao i rashladni uređaji. Osnovni proces koji objašnjavanjihov rad je Carnotov kružni proces. Polazeći od termodinamičkih zakonu u radu će bitiobjašnjen način rada pumpi. Zatim će biti opisane neke neke realizacije te analizirananjihova učinkovitost.

Literatura:

195

ReprezentacijeVirasorovealgebre - Naslovnica | PMF · PDF...

Documents

Transcript of ReprezentacijeVirasorovealgebre - Naslovnica | PMF · PDF...