Repaso Algebra Proposicional
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ESTRUCTURAS DISCRETAS
REPASO
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ÁLGEBRA PROPOSICIONALProposiciones, tablas de la verdad…
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Álgebra Proposicional
Antes de empezar, deben saber que es una proposición
ProposiciónLa proposición es el significado de una idea, enunciado, conjunto de palabras o letras a las que se les puede asignar uno y sólo uno de los valores de verdad, que pueden ser:
FALSO (F)
VERDADERO (V)
Por lo general, a las proposiciones se las representa por las letras del alfabeto desde la letra p, es decir, p, q, r, s, t, ... etc.
p : 15 + 5 = 21 (F)q: Santa Fe es una provincia Argentina. (V)r: El número 15 es divisible por 3. (V)s: El perro es un ave. (F)
Proposiciones
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Pero no todas las expresiones son proposiciones …
Expresiones No ProposicionalesSon aquellos enunciados a los que no se les puede asignar un valor de verdad. Entre ellos tenemos a los exclamativos, interrogativos o imperativos.
Clasificación de las proposiciones
Así tenemos, por ejemplo:
– ¿Cómo te llamas?– Prohibido pasar– Borra el pizarrón.
Son expresiones que su respuesta es distinta a decir Verdadero o Falso
Álgebra Proposicional Proposiciones
Aquellas proposiciones que constan o se les puede representar por una sola variable, se llaman proposiciones simples o atómicas.
"p: 3 + 6 = 9"
Cuando una proposición consta de dos o más enunciados simples, se le llama proposición compuesta o molecular. Así, por ejemplo:
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p
V
F
p qV VV FF VF F
P Q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F
En general para “n” proposiciones, se pueden presentar 2n
posibilidades
21
22
23
Las tablas de verdad son representaciones gráficas, en forma de arreglos, que sirven para analizar los posibles valores de verdad que puede tener una proposición simple o compuesta.
Álgebra Proposicional Proposiciones y valor de verdad
Por ejemplo
Por ejemplo
Por ejemplo
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Álgebra Proposicional ConectivosCONJUNCIÓNDadas dos proposiciones p y q, se denomina conjunción de estas proposiciones a la proposición p Ù q (se lee "p y q"), cuya tabla de verdad es:
DISYUNCIÓNDadas dos proposiciones p y q, la disyunción de las proposiciones p y q es la proposición p Ú q cuya tabla de valor de verdad es:
Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. En
todos los demás casos
es falsa
Si p y q son verdaderas la proposición es verdadera. Si alguna de las proposiciones es verdadera, la conclusión es verdadera. En todos los demás casos es falsa
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Implicación o CondicionalImplicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla de ⇒valores de verdad es:
En los casos que se señalan es verdadera la proposición. En
todos los demás casos es falsa
Álgebra Proposicional Conectivos
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IMPLICACIÓN O CONDICIONALImplicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (si p entonces q) cuya tabla ⇒de valores de verdad es:
DOBLE IMPLICACIÓN O BICONDICIONALDoble implicación de las proposiciones p y q es la proposición p q (se lee "p si y sólo si q") cuya tabla de valores de verdad es
Álgebra Proposicional Conectivos
En los casos que se
señalan es verdadera la proposición. En todos los demás casos
es falsa
En los casos que se señalan es verdadera la
proposición. En todos los demás
casos es falsa
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La doble implicación puede definirse como la conjunción de una implicación y su recíproca. De este modo, la tabla de valores de verdad de p Û q puede obtenerse mediante la tabla de (p q) Ù (q p), como vemos:⇒ ⇒
Álgebra Proposicional Conectivos
Se aplican los casos del
conectivo Condicional
Se aplican los casos del
conectivo And,
conociendo ya los
valores de A y B
A B
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LEYES DEL ÁLGEBRA PROPOSICIONALConociendo más de cerca los conectivos y las leyes
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Álgebra Proposicional LeyesSean p, q y s proposiciones.
1. Conmutativa:
p q q pp q q p
2. Asociativa:
(p q) s p (q s)(p q) s p (q s)
3. Distributiva
(p q) s (p s) (q s)(p q) s (p s) (q s)
4. Ley de Identidad:
p V pp V Vp F pp F V
5. Absorción:
p (p q) pq (p q) p
6. Morgan
(p q) s ( p s) s(p q) s ( p s) s
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Álgebra Proposicional LeyesSean p, q y s proposiciones.
7. Acotación
p F Fp V V
8. Complementaciónp p Verdadero (True)p p Falso (False)
4. Vamos a demostrar la ley de absorción: p (p q) p
p (p q)
V V V V V
V V V V F
F F F V V
F F F F F
Si se dan cuenta, esta columna tiene los mismos valores de p que es la conclusión de la proposición
p p
F V V V
V V V F
Tautología
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EJERCICIOS
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Álgebra Proposicional Leyes
Simplificar: (p q) (q p)] p
a. Tablas de la verdadb. Leyes del álgebra proposicionalc. ¿Es tautología?
[ (p q) (q p)] p
F V V V F F V V V V
V V F F V V V V V V
F F V V F F F F F F
V F V V V V V F V F
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Álgebra Proposicional Ejercicios
Simplificar: (p q) (q p)] p
Tenemos:
(p q) (q p)] p Equivalencia del Condicional
(p q) (q p)] p Morgan {p q (q p) p Doble negación
(p q) p Absorción
p (p q) Conmutativa p Absorción
Luego: (p q) (q p)] p p ; todo esto es la fórmula proposicional antes da-da, y lo equivale al aplicar las leyes del álgebra proposicional, osea su conclusión que es p
Debo corregir
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¿ES TAUTOLOGÍA?
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Solución
p q r ( p q ) ( p r)
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
F
F
V
V
F
F
F
F
F
F
V
V
V
V
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F
F
F F
F
F
F
V
V
V
V
F
F
V
V
V
V
V
V
V
V
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
F
V
V
V
Evaluar el siguiente esquema molecular: (p q) (p r)
Álgebra Proposicional Ejercicios