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8/18/2019 Repas Odeca

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Repaso de CA-12.doc Repaso de Alterna

Dado un generador de tensión senoidal tal que: v(t) = Vm sen ωt ó t V t v ω sen.ˆ)( =

donde: f ..2 π ω = y V ̂ = V m = valor máximo ó de pico

Definiremos su Valor Medio y su Valor Eficaz

• Valor Medio

Por definición el valor medio de una función periódica es igual al área de un ciclo de su curva dividida por elperíodo T , expresado matemáticamente es:

V dt vT

T

t .1

0

)(∫= [01]

Para el caso de una onda senoidal , en un período su valor medio sería cero .Cuando se habla de valor medio de

una senoidal se considera solamente medio ciclo, o sea la integral entre 0 y T/2 con lo cual su valor es:

dt vT

V T

t .

2

1 2 /

0

)(∫=π

ω V

dt t senV T

T ˆ2ˆ

2 2 /

0

=∫ ⋅=

• Valor Eficaz

El valor eficaz G de una señal periódica g t ( ) , se define como el valor de la misma, que produce en unresistor, un calentamiento por efecto Joule, igual que el que se obtiene para una señal continua del mismo valor.

Matemáticamente se expresa como: dt gT

GT

t .1

0

2

)(∫= [02]

En el caso particular, de que g t ( ) sea simplemente una función senoidal : t senV t v ω ˆ)( =

Luego según la ecuación [02] tendremos:

2

ĜG = El valor eficaz de una señal senoidal es: Ĝ.7071,0

Se observa, que tanto el valor medio G , como el valor eficaz G, resultan ser independientes de la frecuencia .Para la resolución de circuitos se suele trabajar con las relaciones de valores eficaces de corriente y tensión.

v(t)


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• Circuitos

Los circuitos están formados por uno o más elementos. Estos pueden ser activos (suministran energía) o pasivos .Entre los pasivos, se tienen los elementos de circuito lineales y los alineales.Se dice que un elemento de circuito es lineal , cuando su valor no se modifica con la corriente que circula por elmismo, o con la diferencia de potencial aplicada entre sus terminales.Dentro de éstos elementos se tienen por ejemplo los resistores , los capacitores y los inductores .

Elemento Propiedad Unidad Símbolo Esquema Cumple con:

Resistor Resistencia Ω(Ohm) R i Rv .=

Capacitor Capacidad F(Faradio) C v C i dt = ∫1

.

Inductor Inductancia Hy (Henry) L v L didt = .

Por éstos elementos puede circular una corriente continua o debida a cualquier otra señal. Se observa que ladiferencia de potencial o caída de tensión en los capacitores e inductores, es una expresión que depende deltiempo.

Representación fasorialLa corriente alterna se suele representar con un vector girando a la velocidad angular ω. Este vector recibe elnombre de fasor. Su longitud coincide con el valor máximo de la tensión o corriente (según sea la magnitud que seesté representando). El ángulo sobre el eje horizontal representa la fase. La velocidad de giro ω está relacionadacon la frecuencia de la señal.

En corriente alterna se da que en muchas ocasiones, las tensiones y corrientes presentan desfasajes entre sí(distintas fases en un determinado momento). En los diagramas fasoriales esto se representa con un ángulo entrelos fasores.. En este caso el fasor rojo adelanta al azul.

• Resistor

Resistor ideal :En un resistor ideal la expresión que relaciona la corriente con la tensión es:

v R i= . y siendo i I t = $.sen ω ⇒ t R I v ω sen.ˆ=


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Luego tensión y corriente están en fase .Los diagramas temporal y fasorial para un resistor son:

• Capacitor

Capacitor ideal :Un capacitor ideal consiste básicamente de dos placas de material conductor separadas por un aislante

(dieléctrico). Los capacitores responden a la siguiente ecuación:q = C.v

donde q (coulombs) es la carga almacenada en una placa, C (faradios) es la capacidad y v (voltios) es ladiferencia de tensión entre las placas.La expresión que relaciona la corriente con la tensión en un capacitor es:

v C i d t = 1

. y siendo i I t = $.sen ω ⇒

⇒ v C I d I

C d I

C t t t t t = = = −∫∫1 $. sen .$

sen .$

cosω ω

ω ω ω

ω

ya que : − = −cos sen( )ω ω π t t 2 ⇒ v I

t t = −$

sen( )ω π 2

Se observa que la diferencia de potencial entre los extremos del capacitor, está atrasada en π 2 ó 90° con

respecto de la corriente i que la produce . Luego la representación temporal y fasorial de tensión y corriente en un

capacitor será:

Teniendo en cuenta que en una representación en el plano complejo, una multiplicación por -j corresponde a una

rotación de -90° , se puede escribir:v j C I t = − . .

$ sen1

ω o también v j C i i j C = − =. .

1ω ω

Esta es la relación entre los valores instantáneos de la diferencia de potencial v y la corriente i que circula,utilizando la notación compleja. El módulo del cociente entre ambos valores es lo que se denomina reactanciacapacitiva y se expresa como:

C iv Xc

.1

ω ==

Se observa que la reactancia capacitiva es inversamente proporcional a la velocidad angular ; o a la frecuencia

f =ω

/2 π , particularmente para f=0 ( CC) tendré que X

c es infinita, o sea que el capacitor en continua se comporta

como un circuito abierto.

V

I

I V

V I


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Capacitores conectados en paralelo y en serie:

Cuando se conectan capacitores en paralelo la carga total (Qtotal ) es la suma de las cargas almacenadasen cada uno:

Qtotal = Ctotal V = Q1 + Q2 + Q3 + . . . . = C1 V + C2 V + C3 V +. . . = (C1 + C2 + C3 +. . .)V

Ctotal = C1 + C2 + C3 + . . .

Cuando se conectan en serie la tensión total (Vtotal ) es la suma de las tensiones en cada uno:

Vtotal = V1 + V2 + V3 +. . . ∴ Q/ Ctotal = Q/C1 + Q/C2 + Q/C3 +. . .

1/Ctotal = 1/C1 + 1/C2 + 1/C3 +. . . .

• Inductor

Inductor ideal:Un inductor ideal consiste en un conductor, generalmente recubierto con un aislante, arrollado en espiral, en una

sucesión de vueltas de igual diámetro, sobre un núcleo de aire o de algún material ferromagnético.El símbolo circuital de un inductor es una bobina:

La expresión que relaciona en un inductor la corriente con la tensión es:

v L didt = si i I t = $.sen resulta:

v L

d I t

dt L I

d t

d t L I t = = =.( $.sen )

. $

(sen )

. $

.cos

ω

ω

ω

ω ω

pero como: cos sen( )ω ω π t t = + 2 ⇒ v L I t = +ω ω

π . $. sen( )2

Se ve que la diferencia de potencial entre los extremos del inductor L, está adelantada en π 2 90= o

con respecto

de la corriente i que la produce. Es lo mismo decir, que en un inductor L , la corriente i que circula, está atrasadaen 90° con respecto de la diferencia de potencial v aplicada al mismo. Luego la representación temporal y fasorialde tensión y corriente en un inductor será:

Utilizando notación compleja, se puede escribir:

v j L I t j L i= =. . $. sen . . .ω ω ω

El módulo del cociente entre los valores instantáneos de la tensión v y la corriente i se denomina:reactancia inductiva y se expresa como:

X v

i L L = = ω .

I

V

iv

→ i L


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La reactancia inductiva crece linealmente con la velocidad angular o con frecuencia f = ω /2 π

En particular para f = 0 (CC) tendremos X c = 0 ,o sea que el inductor se comporta como un cortocircuito.

En resumen las ecuaciones y diagramas fasoriales para R , L y C son:

i=g(t) v R i= . ∫= dt iv

C .1

v L

di

dt =

i t = sen .ω v R i= . Xc jiC ji

v .−==ω

L X i j L jiv ... ==

• Elementos reales

En la realidad los componentes R, L y C se acercan mas o menos al modelo ideal pero nunca lo son .Así tenemosque un resistor presenta inductancia y capacidad asociada. Lo mismo sucede para capacitores e inductores quepresentan principalmente una resistencia de pérdidas asociada.

Capacitor real:El modelo equivalente serie de un capacitor real es:

Y responde a las siguientes ecuaciones y al siguiente diagrama fasorial donde, ZC es la impedancia real delcapacitor real.

Inductor real:El modelo equivalente serie de un inductor real es:

Y responde a las siguientes ecuaciones y al siguiente diagrama fasorial donde, ZL es la impedancia real delinductor real.

V=I.Xc

I

I

V=I.XLV I

C R→ I

VC REAL = VC + VR (suma fasorial) = I Xc + I R= I ZC REAL

Z C REAL= R + 1/JωC

ZC REAL= [R2+(ωC)

-2]1/2

R

Xc

Zc

ϕ δ

L R

VL REAL = VL + VR (suma fasorial)= I XL + I R= I ZL REAL

Z L REAL= R + JωL

ZL REAL= [R2+(ωL)

2]1/2

R

XL

ZL


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• Ejemplo de un circuito serie

Supongamos tener el siguiente circuito conformado por elementos ideales R , L y C

Calculo de la corriente I:

I = V / Z ; III = IVI / IZI

El módulo y ángulo de Z son:

IZI = [R2 + (XL - XC)2 ]

½ ; ϕ = arctg [( XL – XC ) / R]

El diagrama vectorial de impedancia y el fasorial del circuito, tomando en este último como referencia a la corriente-que es común a todos los elementos- son los siguientes:

Nota: Para el caso de un circuito paralelo, se toma como referencia la tensión común a todas las ramas.

Bibliografia:

.- Introducción al Análisis de Circuitos Autor: Boylestad

.- Circuitos Eléctricos: Análisis de Modelos Circuitales Autor: Pueyo

.- Análisis de Circuitos en Ingeniería Autor: Hayt – Kemmerly

.- Circuitos Eléctricos para la Ingeniería Autor: Conejo

I VR

VC VL

L

C

V

R

Se cumple la ley de ohm:

V = I . Z donde Z = R + jXL - jXC = R + j( XL – XC )

y la ley de Kirchhoff de tensiones (suma fasorial):

V = VL + VC + VR ; VL= I. XL ; VC= I. - Xc ; VR= I.R

ϕ

ZXL – XC

R

XC

XL

ϕ

I

VVL + VC

VR =I.R

VC= I.(-jXC)

VL= I. jXL

j

I

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