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RENATO LEONI

Analisi semplice dellecorrispondenze( P a r t e p r i m a )

UNIVERSITÀ DI FIRENZE

DIPARTIMENTO DI STATISTICA "G. PARENTI"

FIRENZE, 2007

Questo lavoro è destinato a un uso personale e ne è vietata la

commercializzazione.

ANALISI SEMPLICE DELLE CORRISPONDENZE (Parte prima) 3

1 PREMESSA

Essenzialmente, l'analisi semplice delle corrispondenze (ASC) ha

come obiettivo lo studio della struttura di una distribuzione doppia di

frequenze.

Della ASC esistono varie versioni. Una di queste, probabilmente la più

diffusa, è esposta in questo lavoro (1).

(1) Esempi numerici, basati sia su dati fittizi sia su dati reali, sono forniti a parte. Le nozioni dialgebra lineare, necessarie per una piena comprensione degli argomenti qui esposti, sono presentatein [14].

4 RENATO LEONI

2 I DATI DI BASE E LA LORO STRUTTURA ALGEBRICA

2.1 I DATI DI BASE

2.1.1 DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE ASSOLUTE

Si consideri una distribuzione di frequenze assolute riferita a due carat-

teri qualitativi sconnessi A e B le cui modalità sono date, rispettivamente,

da a 1 , ... , a p e b1 , ... , bq .

La distribuzione in questione si può rappresentare nei termini del pro-

spetto seguente (tavola di contingenza)

Modalità Modalità di B Totale

di A b1 bq

a 1 n1 1 n1 q n1+

a p np 1 np q np+

Totale n+1 n+q n

in cui (i = 1, ... , p ; j = 1, ... , q)

• ni j indica la frequenza assoluta delle unità che presentano congiuntamen-

te la modalità a i di A e la modalità bj di B;

• ni+ = Σ jq n i j e n+j = Σ i

p n i j indicano le frequenze assolute marginali (2) ;

• n = Σ ip Σ j

q n i j = Σ ip n i+ = Σ j

q n +j indica la numerosità complessiva della

collettività esaminata.

La distribuzione di frequenze assolute in questione dà luogo alle p distri-

buzioni di frequenze assolute di B condizionate alle modalità di A, ciascuna

delle quali è rappresentata da

(2) Conveniamo che tali frequenze marginali siano positive.


Modalitàdi B b1 bq Totale

Frequenzeassolute

condizionateni 1 ni q ni+

e alla distribuzione di frequenze assolute marginali di B, rappresentata da


Frequenzeassolutemarginali

n+1 n+q n

La distribuzione di frequenze assolute di cui sopra dà luogo poi alle q

distribuzioni di frequenze assolute di A condizionate alle modalità di B, cia-

scuna delle quali è rappresentata da

Modalitàdi A a 1 a p Totale

Frequenzeassolute

condizionaten1 j np j n+j

e alla distribuzione di frequenze assolute marginali di A, rappresentata da


Frequenzeassolutemarginali

n1+ np+ n

2.1.2 DISTRIBUZIONI DI FREQUENZE RELATIVE

(i) Si considerino le p distribuzioni di frequenze relative di B condizionate

alle modalità di A, ciascuna delle quali è rappresentata da

6 RENATO LEONI


Frequenzerelative

condizionate

ni 1

ni +

ni q

ni +

1

e la distribuzione di frequenze relative marginali di B, rappresentata da


Frequenzerelative

marginali

n+1

n

n+q

n1

Riassuntivamente, tali distribuzioni di frequenze relative si possono rap-

presentare mediante il prospetto seguente

Modalità Modalità di B Totale

di A b1 bq

a 1n1 1

n1 +

n1 q

n1 +

1

a pnp 1

np +

np q

np +

1

n+1

n

n+q

n1

Ciò premesso, si consideri la matrice

X (1) =

n1 1

n1+

n1 q

n1+

np 1

np+

np q

np+

.

Posto (j = 1, ... , q)


x (1) j =

n1 j

n1+

np j

np+

e (i = 1, ... , p)

x (1) i =

n i 1

n i+

ni q

ni+

,

possiamo scrivere

X (1) = x (1) 1 x (1) q = x (1) 1'

x (1) p'

.

I q vettori x (1) 1 , ... , x (1) q sono detti genericamente variabili associate alla

matrice X (1) ; a loro volta, i p vettori x (1) 1 , ... , x (1) p , che caratterizzano le di-

stribuzioni di frequenze relative di B condizionate alle modalità di A, sono

denominati profili riga e la matrice X (1) è detta matrice dei profili riga.

Infine, il vettore

g (1) =

n+1

n

n+q

n

,

che caratterizza la distribuzione di frequenze relative marginali di B, è detto

profilo marginale di riga.

(ii) Successivamente, si considerino le q distribuzioni di frequenze relative

di A condizionate alle modalità di B, ciascuna delle quali è rappresentata da

8 RENATO LEONI


Frequenzerelative

condizionate

n1 j

n+j

np j

n+j

1

e la distribuzione di frequenze relative marginali di A, rappresentata da


Frequenzerelative

marginali

n1+

n

np+

n1

Riassuntivamente, tali distribuzioni di frequenze relative si possono rap-

presentare mediante il prospetto seguente

Modalità Modalità di B

di A b1 bq

a 1n1 1

n+1

n1 q

n+q

n1+

n

a pnp 1

n+1

np q

n+q

np+

n

Totale 1 1 1

Ciò premesso, si consideri la matrice (3)

X (2) =

n1 1

n+1

np 1

n+1

n1 q

n+q

np q

n+q

.

(3) Si ponga attenzione al fatto che nella matrice che segue le frequenze relative di A condizionatealle modalità di B compaiono nelle righe.


Posto (i = 1, ... , p)

x (2) i =

n i 1

n+1

ni q

n+q

e (j = 1, ... , q)

x (2) j =

n1 j

n+ j

np j

n+ j

,

possiamo scrivere

X (2) = x (2) 1 x (2) p = x (2) 1'

x (2) q'

.

I p vettori x (2) 1 , ... , x (2) p sono detti genericamente variabili associate alla

matrice X (2) ; a loro volta, i q vettori x (2) 1 , ... , x (2) q , che caratterizzano le di-

stribuzioni di frequenze relative di A condizionate alle modalità di B, sono

denominati profili colonna e la matrice X (2) è detta matrice dei profili

colonna.

Infine, il vettore

g (2) =

n1 +

n

np +

n

,

che caratterizza la distribuzione di frequenze relative marginali di A, è detto

profilo marginale di colonna.

10 RENATO LEONI

2.2 LA STRUTTURA ALGEBRICA

(i) Si consideri anzitutto la matrice X (1) di ordine (p , q) dei profili riga.

Riguardando x (1) 1 , ... , x (1) q e x (1) 1 , ... , x (1) p come vettori appartenenti, ri-

spettivamente, a R(1)p

e R(1)q

, in R(1)p

(spazio delle variabili associate alla

matrice X (1)) e in R(1)q

(spazio dei profili riga) si introduce una struttura di

spazio euclideo nel modo seguente.

In R(1)p

la matrice del prodotto interno − rispetto alla base naturale di R(1)p

− è data da

M (1) = diag (m(1) 1 , ... , m(1) p) = diag n1+

n, ... ,

np+

n

dove m(1) i = n i+/n (i = 1, ... , p) indica il peso attribuito all'i-esimo profilo riga.

Pertanto, poiché si può scrivere (u (1) : vettore colonna di ordine p con

elementi tutti eguali a 1)

g (1) = X (1)' M (1)u (1) ,

g (1) costituisce il baricentro dei p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p .

In R(1)q

la matrice del prodotto interno − rispetto alla base naturale di R(1)q

− è data da (metrica del chi-quadrato)

Q (1) = diag (q(1) 1 , ... , q(1) q) = diag

nn+1

, ... ,n

n+q

dove q(1) j = n/n+j (j = 1, ... , q) denota il reciproco del peso attribuito al j-

esimo profilo colonna.

Tale scelta richiede qualche giustificazione.

A questo proposito, si osservi anzitutto che la distanza (al quadrato) tra

due profili riga x (1) i e x (1) i*, non ponderata, è

Σ j

ni j

n i+ −

n i* j

n i*+

2

.

Ora, ciascuna componente


ni j

n i+ −

n i* j

n i*+

2

di quest'ultima sommatoria risulta ovviamente influenzata dalla frequenza

relativa marginale n+j /n.

Appare pertanto appropriato relativizzare ogni componente con tale fre-

quenza relativa marginale.

Ma ciò equivale a considerare quale distanza (al quadrato) tra due profili

riga l'espressione

Σ j

ni j

n i+ −

n i* j

n i*+

2

n+j

n = Σ j

ni j

n i+ −

n i* j

n i*+

2

n

n+j

,

ovvero a scegliere Q (1) come matrice rappresentativa del prodotto interno in

R(1)q

.

OSSERVAZIONE 1. La scelta di Q (1) quale matrice rappresentativa del pro-

dotto interno nello spazio dei profili riga − che, tra l'altro, giustifica la deno-

minazione di metrica del chi-quadrato sopra menzionata − implica la

cosiddetta proprietà della equivalenza distribuzionale.

In breve, ciò significa che, aggregando due modalità b j , b j* di B a cui

corrispondono frequenze n i j , n i j* (i = 1, ... , p) proporzionali, la distanza tra

due generici profili riga non muta.

(ii) Si consideri adesso la matrice X (2) di ordine (q , p) dei profili colonna.

Riguardando x (2) 1 , ... , x (2) p e x (2) 1 , ... , x (2) q come vettori appartenenti, ri-

spettivamente, a R(2)q

e R(2)p

, in R(2)q

(spazio delle variabili associate alla

matrice X (2)) e in R(2)p

(spazio dei profili colonna) si introduce una struttura

di spazio euclideo nel modo seguente.

In R(2)q

la matrice del prodotto interno − rispetto alla base naturale di R(2)q

− è data da

M (2) = diag (m(2) 1 , ... , m(2) q) = diag n+1

n, ... ,

n+q

n

dove m(2) j = n+j /n (j = 1, ... , q) denota il peso attribuito al j-esimo profilo

12 RENATO LEONI

colonna.

Pertanto, poiché si può scrivere (u (2) : vettore colonna di ordine q con

elementi tutti eguali a 1)

g (2) = X (2)' M (2)u (2) ,

g (2) costituisce il baricentro dei q profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q .

In R(2)p

la matrice del prodotto interno − rispetto alla base naturale di R(2)p

− è data da (metrica del chi-quadrato)

Q (2) = diag (q(2) 1 , ... , q(2) p) = diag

nn1+

, ... ,n

np+

dove q(2) i = n/ni+ (i = 1, ... , p) denota il reciproco del peso attribuito all'i-

esimo profilo riga.

Ovviamente, la scelta di Q (2) quale matrice rappresentativa del prodotto

interno nello spazio dei profili colonna si giustifica con un ragionamento

simile a quello svolto in precedenza a proposito di Q (1) . Vale inoltre una

considerazione analoga a quella espressa nella Osservazione 1.

OSSERVAZIONE 2. Si noti che risulta

M (1) = diag(g (2)) , Q (1) = M (2)-1 , M (2) = diag(g (1)) , Q (2) = M (1)

-1

e che, posto

X = n1 1 n1 q

np 1 np q

,

si ha

X (1) = M (1)-1 1n X , X (2) = M (2)

-1 1n X' .

OSSERVAZIONE 3. Si ponga attenzione al fatto che R(1)p

e R(2)p

, pur essendo

spazi vettoriali dello stesso ordine, sono dotati di una diversa metrica, e ciò

spiega la ragione per cui si è ritenuto di indicarli con un diverso indice.


Una annotazione analoga vale ovviamente per quanto riguarda R (1)q

e R(2)q

.

2.3 CONSIDERAZIONI ULTERIORI

(i) Si considerino i p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p e il profilo marginale di riga

g (1) .

Vogliamo mostrare che tali profili appartengono a una opportuna varietà

lineare di R(1)q

.

In effetti, i profili x (1) i (i = 1, ... , p) e g (1) soddisfano le condizioni

ni 1

ni+ +

n i 2

n i+ + ... +

n i q

n i+= 1 ,

n+1

n +

n+2

n + ... +

n+q

n= 1

da cui

ni 1

ni+= 1 −

n i 2

n i+− ... −

ni q

ni+ ,

n+1

n= 1 −

n+2

n− ... −

n+q

n .

Pertanto,

x (1) i =

n i 1

n i+

ni 2

ni+

ni q

ni+

=

1 − n i 2

n i+− ... −

ni q

ni+

ni 2

ni+

ni q

ni+

=

10

0

+

−11

0

ni 2

ni+ + ... +

−10

1

ni q

ni+

e

g (1) =

n+1

nn+2

n

n+q

n

=

1 − n+2

n− ... −

n+q

nn+2

n

n+q

n

=

10

0

+

−11

0

n+2

n + ... +

−10

1

n+q

n .

14 RENATO LEONI

Questo vuol dire che ciascun profilo appartiene alla varietà lineare (iper-

piano di dimensione q − 1) ottenuta mediante la traslazione

10

0

del sottospazio vettoriale di R(1)q , generato dai q − 1 vettori linearmente

indipendenti

−11

0

, ... ,

−10

1

.

Inoltre, come si verifica subito, il vettore g (1) , tale che g (1)' Q (1) g (1) = 1, è

ortogonale a quest'ultimo sottospazio vettoriale.

Ovviamente, annotazioni del tutto analoghe valgono per i q profili colonna

x (2) 1 , ... , x (2) q e il profilo marginale di colonna g (2) .

(ii) Si considerino nuovamente i p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p e il profilo margi-

nale di riga g (1) .

Qui sopra abbiamo posto in evidenza che tali profili appartengono a una

opportuna variatà lineare (iperpiano di dimensione q − 1).

L'argomento può essere utilmente approfondito introducendo il concetto

di simplesso e quelle a esso collegato di coordinate baricentriche.

Siano v (1) 1 , ... , v (1) q un insieme di q vettori linearmente indipendenti

appartenenti a R(1)q

.

Si chiama simplesso di vertici v (1) 1 , ... , v (1) q l'insieme

{x (1) x (1) = c(1) 1 v (1) 1 + ... + c(1) q v (1) q , c (1) j ≥ 0 (j = 1, ... , q) , Σ j c (1) j = 1} .

I coefficienti c(1) 1 , ... , c(1) q , tali che c(1) j ≥ 0 (j = 1, ... , q) e Σj c (1) j = 1, sono

detti le coordinate baricentriche di x (1) rispetto a v (1) 1 , ... , v (1) q .

Identificando v (1) 1 , ... , v (1) q con i vettori u (1) 1 , ... , u (1) q che formano la base


naturale di R(1)q , è immediato riconoscere che sia i profili riga sia il profilo

marginale di riga appartengono al simplesso di vertici u (1) 1 , ... , u (1) q , poiché

risulta

x (1) i =

n i 1

n i+

ni 2

ni+

ni q

ni+

= ni 1

ni+

10

0

+ ... + n i q

n i+

00

1

= n i 1

n i+ u (1) 1 + ... +

n i q

n i+ u (1) q

con ni j

n i+ ≥ 0 (j = 1, ... , q) , Σ j

n i j

n i+ = 1, e

g (1) =

n+1

nn+2

n

n+q

n

= n+1

n

10

0

+ ... + n+q

n

00

1

.

con n+j

n > 0 (j = 1, ... , q) , Σ j

n+j

n = 1.

Ovviamente,

ni 1

ni+ , ... ,

n i q

n i+ e

n+1

n , ... ,

n+q

n

sono le coordinate baricentriche di x (1) i e g (1) rispetto a u (1) 1 , ... , u (1) q .

Si noti esplicitamente che (Fig. 1)

• per q = 2, il simplesso di vertici u (1) 1 , u (1) 2 è un segmento, sottoinsieme di

una retta (varietà lineare di dimensione 1);

• per q = 3, il simplesso di vertici u (1) 1 , u (1) 2 , u (1) 3 è un triangolo, sotto-

insieme di un piano (varietà lineare di dimensione 2).

16 RENATO LEONI

u (1)1

u (1)2

u (1)1

u (1)2

u (1)3

Fig. 1

Chiaramente, annotazioni del tutto analoghe a quelle qui esposte valgono

per i q profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q e il profilo marginale di colonna g (2) .

* * *

Prima di concludere questa Sezione 2, dedicata all'esposizione di alcuni

concetti preliminari riguardanti i dati di base e la loro struttura algebrica,

vogliamo svolgere una considerazione concernente la natura dei caratteri

presenti nella distribuzione doppia esaminata, che abbiamo supposto

entrambi qualitativi sconnessi. Com'è facilmente intuibile, i concetti qui

espressi rimangono invariati qualora si supponga che i caratteri della distri-

buzione siano entrambi quantitativi o misti, o che, pur essendo qualitativi,

siano ordinabili. In tali casi, tuttavia, considerando tali caratteri come fos-

sero qualitativi sconnessi, si incorre in una perdita di informazione. Nel

seguito di questa esposizione, anche se sono state sviluppate tecniche di

analisi tendenti a ricuperare tale informazione, ci limiteremo a studiare il

caso di caratteri qualitativi sconnessi.


3 LA ACP DELLE MATRICI DEI PROFILI RIGA E COLONNA

Come si è accennato nella Premessa, la ASC ha come obiettivo lo studio

della struttura di una distribuzione doppia di frequenze.

Si è anche detto che della ASC esistono varie versioni. Una di queste,

alla cui esposizione è dedicato il presente lavoro, consiste nello studio delle

configurazioni assunte dai profili riga e colonna − che caratterizzano, rispet-

tivamente, le distribuzioni di frequenze relative di B condizionate alle

modalità di A e le distribuzioni di frequenze relative di A condizionate alle

modalità di B − mediante l'applicazione della analisi delle componenti prin-

cipali (ACP) (4) sia alla matrice dei profili riga (Sezione 4) sia alla matrice

dei profili colonna (Sezione 5) (5) (6).

OSSERVAZIONE 4. Si osservi che le matrici dei profili riga e colonna sono

ciascuna del tipo «individui×variabili», come accade per la matrice dei dati di

una ordinaria ACP.

Tuttavia, mentre gli individui, rappresentati nelle righe delle matrici dei

profili, hanno un significato sostanziale, le variabili, rappresentate nei

vettori colonna delle suddette matrici, assumono in questo contesto un

significato puramente formale.

(4) Le nozioni essenziali riguardanti la ACP a cui faremo riferimento sono contenute in [15].

(5) L'esposizione contenuta nella Sezione 5, che segue lo stesso schema di quella contenuta nellaSezione 4, è svolta sia per ragioni di completezza sia per un eccesso di pedanteria da parte di chiscrive.

(6) Tra i risultati delle due ACP intercorrono molteplici relazioni che saranno poste in evidenza inun secondo momento (Sezione 6).

18 RENATO LEONI

4 LA ACP DELLA MATRICE DEI PROFILI RIGA

4.1 I PRINCIPALI RISULTATI ALGEBRICI

Si consideri la matrice X (1) di ordine (p , q) dei profili riga.

A questa è possibile associare la matrice dei profili riga, centrata rispetto

al baricentro g (1) , data da

Y(1) = X (1) − u (1) g (1)' =

n1 1

n1+

n1 q

n1+

np 1

np+

np q

np+

− 1

1

n+1

n

n+q

n

=

n1 1

n1+ −

n+1

n

n1 q

n1+ −

n+q

n

np 1

np+ −

n+1

n

np q

np+ −

n+q

n

la quale − posto (j = 1, ... , q; i = 1, ... , p)

y (1) j =

n1 j

n1+ −

n+ j

n

np j

np+ −

n+ j

n

, y (1) i =

n i 1

n i+ −

n+1

n

ni q

ni+ −

n+q

n

− può essere scritta nella forma

Y(1) = y (1) 1 y (1) q =

y (1) 1'

y (1) p'

.

Considerata l'equazione fondamentale della ACP

(1) V(1)Q (1)c (1) = λ (1)c (1)

dove


V(1) = Y (1)' M (1)Y(1) = X (1)' M (1)X (1) − g (1) g (1)'

rappresenta la matrice di inerzia (di ordine (q ,q)) rispetto al baricentro g (1)

dei p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p, dalla (1) si ottengono

• q autovalori (reali) λ (1) 1 , ... , λ (1) q tali che

λ (1) 1 ≥ ... ≥ λ (1) q ≥ 0 ;

• q vettori principali c (1) 1 , ... , c (1) q − associati, rispettivamente, agli autova-

lori λ (1) 1 , ... , λ (1) q − tali che, posto

C (1) = [ c (1) 1 c (1) q ] ,

si abbia

C (1)' Q(1)C (1) = I q ;

• q componenti principali y (1) 1 = Y (1)Q (1)c (1) 1 , ... , y (1) q = Y (1)Q (1)c (1) q tali che,

posto

Y (1) = [ y (1) 1 y (1) q ] , D (1) = diag (λ (1) 1 , ... , λ (1) q) ,

si abbia

Y (1)' M(1)Y (1) = D (1) .

Si noti che r (1) = r(Y(1)) = r(V (1)) = r(V (1)Q(1)) = r(Y (1)) = r(D (1)) ed è

r (1) = 0 se soltanto se Y(1) = O, vale a dire, come è facile verificare, se e

soltanto se tra i caratteri A e B sussiste indipendenza statistica.

D'altra parte, è r (1) < q perché, postmoltiplicando ambo i membri di Y(1) =X (1) − u (1) g (1)' per il vettore non nullo Q (1) g (1) , si ottiene (X (1)Q (1) g (1) = u (1) ;

g (1)' Q (1) g (1) = 1)

Y(1)Q (1) g (1) = X (1)Q (1) g (1) − u (1) g (1)' Q (1) g (1) = u (1) − u (1) = 0

e, quindi, non può risultare r (1) = q.

20 RENATO LEONI

Escluso il caso banale in cui sia Y(1) = O, da quanto detto, si deduce che,

in generale, la (1) ammette r (1) (0 < r (1) ≤ q −1) autovalori positivi λ (1) 1 ,

... , λ (1) r (1) a cui sono associati i vettori principali c (1) 1 , ... , c (1) r (1)

e q − r (1)

autovalori nulli λ (1) r (1) +1 = ... = λ (1) q a cui sono associati i vettori principali

c (1) r (1) +1 , ... , c (1) q .

Tuttavia, poiché risulta V(1)Q (1) g (1) = 0, g (1) è un autovettore corrispon-

dente a un autovalore nullo.

Infine, per quanto riguarda le componenti principali, si ha (j = 1 , ... , r (1))

y (1) j = Y (1)Q (1)c (1) j ≠ 0

e (j = r (1) +1 , ... , q)

y (1) j = Y (1)Q (1)c (1) j = 0 .

La situazione che abbiamo descritto è riassunta nel quadro seguente,

dove si è identificato c (1) r (1) +1 con g (1) .

Analisi condotta sulla base della matrice centrata Y (1) (equazione (1))

Autovalori Vettori principali Componenti principali

λ (1) 1 c (1) 1 y (1) 1 = Y(1)Q (1)c (1) 1

λ (1) r (1) c (1) r (1) y (1) r (1) = Y(1)Q (1)c (1) r (1)

λ (1) r (1) +1 = 0 g (1) y (1) r (1) +1 = 0

λ (1) q = 0

c (1) q y (1) q = 0

Si osservi adesso che si ha

• per j = 1 , ... , r (1) ( g (1)' Q (1)c (1) j = 0)

{X (1)' M (1)X (1)Q (1)c (1) j − g (1) g (1)' Q (1)c (1) j = λ (1) jc (1) j}

⇔ {X (1)' M (1)X (1)Q (1)c (1) j = λ (1) jc (1) j} ;


• per j = r (1) +1 (c (1) r (1) +1 = g (1) ; g (1)' Q (1) g (1) = 1)

{X (1)' M (1)X (1)Q (1) g (1) − g (1) g (1)' Q (1) g (1) = 0}

⇔ {X (1)' M (1)X (1)Q (1) g (1) = g (1)} ;

• per j = r (1) +2 , ... , q ( g (1)' Q (1)c (1) j = 0)

{X (1)' M (1)X (1)Q (1)c (1) j − g (1) g (1)' Q (1)c (1) j = 0}

⇔ {X (1)' M (1)X (1)Q (1)c (1) j = 0} .

Ciò significa che l'equazione

(1') S (1)Q (1)c* (1) = λ * (1)c* (1) ,

dove

S (1) = X (1)' M (1)X (1)

rappresenta la matrice di inerzia (di ordine (q ,q)) rispetto all'origine dei p

profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p , ammette gli stessi autovalori e autovettori della

equazione (1), tranne che − in luogo dell'autovalore λ (1) r (1) +1 = 0 a cui ab-

biamo associato il vettore principale c (1) r (1) +1 = g (1) − si ha l'autovalore

λ * (1) r (1) +1 = 1 a cui è associato il medesimo vettore principale g (1) .

Ovviamente, per quanto riguarda le componenti principali risulta

• per j = 1 , ... , r (1)

X (1)Q (1)c (1) j = (X (1) − u (1) g (1)' ) Q (1)c (1) j = Y (1)Q (1)c (1) j = y (1) j ≠ 0 ;

• per j = r (1) +1

X (1)Q (1) g (1) = u (1) ≠ y (1) j = 0 ;

• per j = r (1) +2 , ... , q

X (1)Q (1)c (1) j = (X (1) − u (1) g (1)' ) Q (1)c (1) j = Y (1)Q (1)c (1) j = y (1) j = 0 .

La situazione che abbiamo ora descritto è riassunta nel quadro seguente.

22 RENATO LEONI

Analisi condotta sulla base della matrice non centrata X (1) (equazione (1'))

Autovalori Vettori principali X (1)Q (1)c (1) j

λ * (1) 1 = λ (1) 1 c ∗ (1) 1 = c (1) 1 y (1) 1 ≠ 0

λ * (1) r (1) = λ (1) r (1) c * (1) r (1)

= c (1) r (1)y (1) r (1)

≠ 0

λ * (1) r (1) +1 = 1 c * (1) r (1) +1 = g (1) u (1)

λ * (1) q = 0 c * (1) q = c (1) q y (1) q = 0

Due ulteriori punti che occorre menzionare sono i seguenti.

Il primo riguarda il significato da attribuire all'inerzia rispetto al baricentro

g (1) dei p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p , vale a dire alla quantità

Ig (1) = tr (V (1)Q (1)) = tr (D (1)) = λ (1) 1 + ... + λ (1) r (1)

.

Ora, un semplice calcolo mostra che

tr (V (1)Q (1)) = tr ((Y (1)' M (1)Y(1))Q (1))

= tr ((X (1)' M (1)X (1) − g (1) g (1)' ) Q (1))

= tr (X (1)' M (1)X (1)Q (1)) − tr ( g (1) g (1)' Q (1))

= tr (X (1)' M (1)X (1)Q (1)) − tr ( g (1)' Q (1) g (1))

= tr (X (1)' M (1)X (1)Q (1)) − 1

= Σ i Σ j n i j

2

n i + n+ j

− 1 = ϕ 2 .

Pertanto, l'inerzia rispetto al baricentro dei p profili riga x (1) 1 , ... , x (1) p non

è altro che il noto indice di contingenza media quadratica (Pearson).

Il secondo punto riguarda la cosiddetta ricostruzione delle matrici Y(1) e

X (1) (scomposizione in valori singolari).


Nel caso di Y(1) , si ha

Y(1) = y (1) 1 c (1) 1' + ... + y (1) r (1) c (1) r (1)

'

= [ y (1) 1 y (1) r (1)0 0 ]

c (1) 1'

c (1) r (1)'

g (1)'

c (1) q'

= Y (1) C (1)' .

Nel caso di X (1) , risulta

X (1) = y (1) 1 c (1) 1' + ... + y (1) r (1) c (1) r (1)

' + u (1) g (1)'

= [ y (1) 1 y (1) r (1)u (1) 0 ]

c (1) 1'

c (1) r (1)'

g (1)'

c (1) q'

= Y* (1) C (1)' .

4.2 LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI PROFILI RIGA

Considerati i p profili riga (misurati in termini di deviazioni dal baricentro)

y (1) 1 = x (1) 1 − g (1) , ... , y (1) p = x (1) p − g (1) , la loro rappresentazione grafica

usuale si ottiene, come in una ordinaria ACP, proiettando ortogonalmente

tali profili riga nel sottospazio generato dal vettore c (1) 1 (asse principale) o

nel sottospazio generato dai vettori c (1) 1 , c (1) 2 (piano principale).

Ora, la coordinata della proiezione ortogonale y (1) i di y (1) i nel sottospazio

generato da c (1) h (h = 1 , 2), rispetto a c (1) h , è data da (u (1) i : vettore colonna

di ordine p a elementi tutti nulli tranne l'elemento i-esimo posto eguale a 1)

c (1) h' Q (1)y (1) i = c (1) h' Q (1)Y(1)' u (1) i = y (1) h' u (1) i = y(1) h , i

dove y(1) h , i denota l'elemento i-esimo della componente principale (vettore

24 RENATO LEONI

colonna di ordine p) y (1) h .

Pertanto, le coordinate della proiezione ortogonale y (1) i di y (1) i nel piano

principale, per esempio, sono (y(1) 1 , i , y (1) 2 , i).

I criteri in base ai quali si giudica della bontà di tale rappresentazione

sono analoghi a quelli di una ordinaria ACP.

Sempre con riferimento al piano principale, la qualità globale della rappre-

sentazione di y (1) 1 , ... , y (1) p si può misurare mediante l'indice

GQRI1 = λ (1) 1 + λ (1) 2

λ (1) 1 + ... + λ (1) q

.

A sua volta, la qualità della rappresentazione di y (1) i si può misurare

attraverso l'indice

QR(i ; c (1) 1 , c (1) 2) = y (1) 1 , i

2 + y (1) 2 , i2

y (1) 1 , i2 + ... + y (1) q , i

2 .

Infine, nell'interpretare i risultati dell'analisi, dato che M (1) non è in

generale una matrice scalare, risulta importante procedere all'esame degli

indici

C(i ; c (1) 1) =

n i+

n y (1) 1 , i

2

λ (1) 1

, C(i ; c (1) 2) =

n i+

n y (1) 2 , i

2

λ (1) 2

che consentono di individuare tra y (1) 1 , ... , y (1) p quel profilo riga il cui con-

tributo all'inerzia spiegata dal sottospazio in considerazione è comparati-

vamente maggiore.

Si osservi anche che la proiezione ortogonale y (1) i di y (1) i nel sottospazio

generato da c (1) h (h = 1 , 2) è eguale alla proiezione ortogonale x (1) i di x (1) i

nel medesimo sottospazio.

In effetti, tenuto conto del fatto che c (1) h' Q (1) g (1) = 0, risulta

y (1) i = c (1) h c (1) h' Q (1)y (1) i = c (1) h c (1) h' Q (1)(x (1) i − g (1)) = c (1) h c (1) h' Q (1)x (1) i = x (1) i

e questo significa che è indifferente considerare y (1) i oppure x (1) i .


5 LA ACP DELLA MATRICE DEI PROFILI COLONNA

5.1 I PRINCIPALI RISULTATI ALGEBRICI

Si consideri la matrice X (2) di ordine (q , p) dei profili colonna.

A questa è possibile associare la matrice dei profili colonna, centrata

rispetto al baricentro g (2) , data da

Y(2) = X (2) − u (2) g (2)' =

n1 1

n+1

np 1

n+1

n1 q

n+q

np q

n+q

− 1

1

n1 +

n

np +

n

=

n1 1

n+1

− n1 +

n

np 1

n+1

− np +

n

n1 q

n+q

− n1 +

n

np q

n+q

− np +

n

la quale − posto (j = 1, ... , q; i = 1, ... , p)

y (2) i =

n i 1

n+1

− ni +

n

ni q

n+q

− ni +

n

, y (2) j =

n1 j

n+j

− n1 +

n

np j

n+j

− np +

n

− può essere scritta nella forma

Y(1) = y (1) 1 y (1) q =

y (1) 1'

y (1) p'

.

Considerata l'equazione

(2) V(2)Q (2)c (2) = λ (2)c (2)

dove

26 RENATO LEONI

V(2) = Y (2)' M (2)Y(2) = X (2)' M (2)X (2) − g (2) g (2)'

rappresenta la matrice di inerzia (di ordine (p ,p)) rispetto al baricentro g (2) ,

dei p profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q , dalla (2) si ottengono

• p autovalori (reali) λ (2) 1 , ... , λ (2) p tali che

λ (2) 1 ≥ ... ≥ λ (2) p ≥ 0 ;

• p vettori principali c (2) 1 , ... , c (2) p − associati, rispettivamente, agli autova-

lori λ (2) 1 , ... , λ (2) p − tali che, posto

C (2) = [ c (2) 1 c (2) p ] ,

si abbia

C (2)' Q(2)C (2) = I p ;

• p componenti principali y (2) 1 = Y (2)Q (2)c (2) 1 , ... , y (2) p = Y (2)Q (2)c (2) p tali che,

posto

Y (2) = [ y (2) 1 y (2) p ] , D (2) = diag (λ (2) 1 , ... , λ (2) p) ,

si abbia

Y (2)' M(2)Y (2) = D (2) .

Si noti che r (2) = r(Y(2)) = r(V (2)) = r(V (2)Q(2)) = r(Y (2)) = r(D (2)) ed è

r (2) = 0 se soltanto se Y(2) = O, vale a dire, come è facile verificare, se e

soltanto se tra i caratteri A e B sussiste indipendenza statistica.

D'altra parte, è r (2) < p perché, postmoltiplicando ambo i membri di Y(2) =X (2) − u (2) g (2)' per il vettore non nullo Q (2) g (2) , si ottiene (X (2)Q (2) g (2) = u (2) ;

g (2)' Q (2) g (2) = 1)

Y(2)Q (2) g (2) = X (2)Q (2) g (2) − u (2) g (2)' Q (2) g (2) = u (2) − u (2) = 0

e, quindi, non può essere r (2) = p.


Escluso il caso banale in cui sia Y(2) = O, da quanto detto, si deduce che,

in generale, la (2) ammette r (2) (0 < r (2) ≤ p −1) autovalori positivi λ (2) 1 ,

... , λ (1) r (2) a cui sono associati i vettori principali c (2) 1 , ... , c (2) r (2)

e p − r (2)

autovalori nulli λ (2) r (2) +1 = ... = λ (2) p a cui sono associati i vettori principali

c (2) r (2) +1 , ... , c (2) p .

Tuttavia, poiché risulta V(2)Q (2) g (2) = 0, g (2) è un autovettore corrispon-

dente a un autovalore nullo.

Infine, per quanto riguarda le componenti principali, si ha (i = 1 , ... , r (2))

y (2) i = Y (2)Q (2)c (2) i ≠ 0

e (i = r (2) +1 , ... , p)

y (2) i = Y (2)Q (2)c (2) i = 0 .

La situazione che abbiamo descritto è riassunta nel quadro seguente,

dove si è identificato c (2) r (2) +1 con g (2) .

Analisi condotta sulla base della matrice centrata Y(2) (equazione (2))

Autovalori Vettori principali Componenti principali

λ (2) 1 c (2) 1 y (2) 1 = Y(2)Q (2)c (2) 1

λ (2) r (2) c (2) r (2) y (2) r (2)= Y(2)Q (2)c (2) r (2)

λ (2) r (2) +1 = 0 g (2) y (2) r (2) +1 = 0

λ (2) p = 0 c (2) p y (2) p = 0

Si osservi adesso che si ha

• per i = 1 , ... , r (2) ( g (2)' Q (2)c (2) i = 0)

{X (2)' M (2)X (2)Q (2)c (2) i − g (2) g (2)' Q (2)c (2) i = λ (2) ic (2) i}

⇔ {X (2)' M (2)X (2)Q (2)c (2) i = λ (2) jc (2) i} ;

28 RENATO LEONI

• per i = r (2) +1 (c (2) r (2) +1 = g (2) ; g (2)' Q (2) g (2) = 1)

{X (2)' M (2)X (2)Q (2) g (2) − g (2) g (2)' Q (2) g (2) = 0}

⇔ {X (2)' M (2)X (2)Q (2) g (2) = g (2)} ;

• per i = r (2) +2 , ... , p ( g (2)' Q (2)c (2) i = 0)

{X (2)' M (2)X (2)Q (2)c (2) i − g (2) g (2)' Q (2)c (2) i = 0}

⇔ {X (2)' M (2)X (1)Q (2)c (2) i = 0} .

Ciò significa che l'equazione

(2') S (2)Q (2)c* (2) = λ * (2)c* (2) ,

dove

S (2) = X (2)' M (2)X (2)

rappresenta la matrice di inerzia (di ordine (p ,p)) rispetto all'origine dei q

profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q , ammette gli stessi autovalori e autovettori della

equazione (2), tranne che − in luogo dell'autovalore λ (2) r (2) +1 = 0 a cui ab-

biamo associato il vettore principale c (2) r (2) +1 = g (2) − si ha l'autovalore

λ * (2) r (2) +1 = 1 a cui è associato il medesimo vettore principale g (2) .

Ovviamente, per quanto riguarda le componenti principali risulta

• per i = 1 , ... , r (2)

X (2)Q (2)c (2) i = (X (2) − u (2) g (2)' ) Q (2)c (2) i = Y (2)Q (2)c (2) i = y (2) i ≠ 0 ;

• per i = r (2) +1

X (2)Q (2) g (2) = u (2) ≠ y (2) i = 0 ;

• per i = r (2) +2 , ... , p

X (2)Q (2)c (2) i = (X (2) − u (2) g (2)' ) Q (2)c (2) i = Y (2)Q (2)c (2) i = y (2) i = 0 .

La situazione che abbiamo ora descritto è riassunta nel quadro seguente.


Analisi condotta sulla base della matrice non centrata X (2) (equazione (2'))

Autovalori Vettori principali X(2)Q (2)c (2) i

λ * (2) 1 = λ (2) 1 c * (2) 1 = c (2) 1 y (2) 1 ≠ 0

λ * (2) r (2) = λ (2) r (2)

c * (2) r (2)= c (2) r (2)

y (2) r (2) ≠ 0

λ * (2) r (2) +1 = 1 c * (2) r (2) +1 = g (2) u (2)

λ * (2) p = 0 c * (2) p = c (2) p y (2) p = 0

Due ulteriori punti che occorre menzionare sono i seguenti.

Il primo riguarda il significato da attribuire all'inerzia rispetto al baricentro

dei q profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q , vale a dire alla quantità

Ig (2) = tr (V (2)Q (2)) = tr (D (2)) = λ (2) 1 + ... + λ (2) r (2)

.

Ora, un semplice calcolo mostra che

tr (V (2)Q (2)) = tr ((Y (2)' M (2)Y(2))Q (2))

= tr ((X (2)' M (2)X (2) − g (2) g (2)' ) Q (2))

= tr (X (2)' M (2)X (2)Q (2)) − tr ( g (2) g (2)' Q (2))

= tr (X (2)' M (2)X (2)Q (2)) − tr ( g (2)' Q (2) g (2))

= tr (X (2)' M (1)X (2)Q (2)) − 1

= Σ i Σ j n i j

2

n i + n+j − 1 = ϕ 2 .

Pertanto, l'inerzia rispetto al baricentro dei q profili colonna x (2) 1 , ... , x (2) q

non è altro che il noto indice di contingenza media quadratica (Pearson).

Ovviamente, Ig (2) = ϕ 2 = Ig ( 1 )

.

Il secondo punto riguarda la cosiddetta ricostruzione delle matrici Y(2) e

X (2) (scomposizione in valori singolari).

Nel caso di Y(2) , si ha

30 RENATO LEONI

Y(2) = y (2) 1 c (2) 1' + ... + y (2) r (2) c (2) r (2)

'

= [ y (2) 1 y (2) r (2)0 0 ]

c (2) 1'

c (2) r (2)'

g (2)'

c (2) p'

= Y (2) C (2)' .

Nel caso di X (2) , risulta

X (2) = y (2) 1 c (2) 1' + ... + y (2) r (2) c (2) r (2)

' + u (2) g (2)'

= [ y (2) 1 y (2) r (2)u (2) 0 ]

c (2) 1'

c (2) r (2)'

g (2)'

c (2) p'

= Y* (2) C (2)' .

5.2 LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI PROFILI COLONNA

Considerati i q profili colonna (misurati in termini di deviazioni dal

baricentro) y (2) 1 = x (2) 1 − g (2) , ... , y (2) q = x (2) q − g (2) , la loro rappresentazione

grafica usuale si ottiene, come in una ordinaria ACP, proiettando

ortogonalmente tali profili colonna nel sottospazio generato dal vettore c (2) 1

(asse principale) o nel sottospazio generato dai vettori c (2) 1 , c (2) 2 (piano

principale).

Ora, la coordinata della proiezione ortogonale y (2) j di y (2) j nel sottospazio

generato da c (2) h (h = 1 , 2) è data da (u (2) j : vettore colonna di ordine q a

elementi tutti nulli tranne l'elemento j-esimo)

c (2) h' Q (2)y (2) j = c (2) h' Q (2)Y(2)' u (2) j = y (2) h' u (2) j = y(2) h , j

dove y(2) h , j denota l'elemento j-esimo della componente principale (vettore


colonna di ordine q) y (2) h .

Pertanto, le coordinate della proiezione ortogonale y (2) j di y (2) j nel piano

principale, per esempio, sono (y(2) 1 , j , y (2) 2 , j).

I criteri in base ai quali si giudica della bontà di tale rappresentazione

sono analoghi a quelli di una ordinaria ACP.

Sempre con riferimento al piano principale, la qualità globale della

rappresentazione di y (2) 1 , ... , y (2) q si può misurare mediante l'indice

GQRI2 = λ (2) 1 + λ (2) 2

λ (2) 1 + ... + λ (2) p

.

A sua volta, la qualità della rappresentazione di y (2) j si può misurare

attraverso l'indice

QR(j ; c (2) 1 , c (2) 2) = y (2) 1 , j

2 + y (2) 2 , j2

y (2) 1 , j2 + ... + y (2) p , j

2 .

Infine, nell'interpretare i risultati dell'analisi, dato che M (2) non è in

generale una matrice scalare, risulta importante esaminare gli indici

C(j ; c (2) 1) =

n+ j

n y (2) 1 , j

2

λ (2) 1

, C(j ; c (2) 2) =

n+ j

n y (2) 2 , j

2

λ (2) 2

che consentono di individuare tra y (2) 1 , ... , y (2) q quel profilo colonna il cui

contributo all'inerzia spiegata dal sottospazio in considerazione è compara-

tivamente maggiore.

Si osservi anche che la proiezione ortogonale y (2) j di y (2) j nel sottospazio

generato da c (2) h (h = 1 , 2) è eguale alla proiezione ortogonale x (2) j di x (2) j

nel medesimo sottospazio.

In effetti, tenuto conto del fatto che c (2) h' Q (2) g (2) = 0, risulta

y (2) j = c (2) h c (2) h' Q (2)y (2) j = c (2) h c (2) h' Q (2)(x (2) j − g (2)) = c (2) h c (2) h' Q (2)x (2) j = x (2) j

e questo significa che è indifferente considerare y (2) j oppure x (2) j .

32 RENATO LEONI

6 RELAZIONI TRA I RISULTATI DELLE DUE ACP

6.1 RELAZIONI ALGEBRICHE

Nelle sezioni immediatamente precedenti abbiamo indicato i principali

risultati che si ottengono da una ACP condotta sia sulla matrice dei profili

riga sia sulla matrice dei profili colonna. Vogliamo adesso porre in evidenza

le relazioni algebriche che intercorrono tra i risultati delle due ACP.

1. Si osservi anzitutto che, poiché

X (1) = M (1)-1 1n X , X (2) = M (2)

-1 1n X' ,

risulta (Q (1) = M (2)-1 , Q (2) = M (1)

-1 )

X (1)' M (1)X (1)Q (1) = X '1n M (1)

-1 M (1)M (1)-1 1

n XM (2)-1 = X '1

n M (1)-1 X 1

n M (2)-1 ,

X (2)' M (2)X (2)Q (2) = X 1n M (2)

-1 M (2)M (2)-1 1

n X'M (1)-1 = X 1

n M (2)-1 X ' 1

n M (1)-1 .

Ne consegue che le equazioni (1') e (2') − e, quindi, le (1) e (2) − ammet-

tono i medesimi autovalori λ (1) 1 = λ (2) 1 = λ 1 , ... , λ (1) r (1) = λ (2) r (2)

= λ r.

2. (Formule di transizione) Dalle relazioni (h = 1 , ... , r)

X '1n M (1)

-1 X 1n M (2)

-1 c (1) h = λ h c (1) h , X 1n M (2)

-1 X ' 1n M (1)

-1 c (2) h = λ h c (2) h ,

premoltiplicando la prima per X1n M (2)

-1 e moltiplicando per 1

λ h

, si ottiene

X1n M (2)

-1 X '1n M (1)

-1 ( 1

λ h

X 1n M (2)

-1 c (1) h) = λ h ( 1

λ h

X 1n M (2)

-1 c (1) h)

e, quindi,

c (2) h = 1

λ h

X 1n M (2)

-1 c (1) h = 1

λ h

X (2)' c (1) h .

Con un ragionamento simile, si dimostra poi che

c (1) h = 1

λ h

X ' 1n M (1)

-1 c (2) h = 1

λ h

X (1)' c (2) h .


3. (Formule di transizione) Tenuto conto che le formule di transizione di

cui al punto precedente, si verifica facilmente che risulta (h = 1 , ... , r)

y (2) h = 1

λ h

X (2)y (1) h , y (1) h = 1

λ h

X (1)y (2) h .

4. (Relazioni quasi baricentriche) Si ricordi anzitutto che, rispetto a c (1) h ,

la coordinata della proiezione ortogonale di y (1) i nel sottospazio generato da

c (1) h è data da y(1) h , i e che, analogamente, rispetto a c (2) h , la coordinata della

proiezione ortogonale di y (2) j nel sottospazio generato da c (2) h è data da

y(2) h , j (Sezioni 4.2 e 5.2).

Ma, tenuto conto di quanto detto al punto precedente, si ha che

y(1) h , i = y (1) h' u (1) i

= 1

λ h

y (2) h' X (1)' u (1) i = 1

λ h

y(2) h , 1 y(2) h , q

n1 1

n1+

np 1

np+

n1 q

n1+

np q

np+

u (1) i

= 1

λ h

y(2) h , 1 y(2) h , q

n i 1

n i+

ni q

ni+

= 1

λ h

Σ j y(2) h , j n i j

n i+ ,

ovvero che, a meno del fattore

1

λ h

,

la coordinata, rispetto a c (1) h , della proiezione ortogonale di y (1) i nel

sottospazio generato da c (1) h è il baricentro delle coordinate, rispetto a c (2) h ,

delle proiezioni ortogonali di y (2) 1 , ... , y (2) q nel sottospazio generato da c (2) h .

Con un ragionamento del tutto simile, si dimostra poi che

y(2) h , j = 1

λ h

Σ i y(1) h , i n i j

n+j

,

34 RENATO LEONI

ovvero che, a meno del fattore

1

λ h

,

la coordinata, rispetto a c (2) h , della proiezione ortogonale di y (2) j nel

sottospazio generato da c (2) h è il baricentro delle coordinate, rispetto a c (1) h ,

delle proiezioni ortogonali di y (1) 1 , ... , y (1) p nel sottospazio generato da c (1) h .

OSSERVAZIONE 5. Vogliamo mostrare che λ h ≤ 1 e, quindi, che 1 λ h ≥ 1

(coefficiente di dilatazione).

In effetti, tenuto conto di quanto detto al punto precedente, si ha anzitutto

che (j = 1, ... , q)

{ }λ h y(2) h , j ≤ maxi y(1) h , i ⇒ { }λ h maxj y(2) h , j ≤ maxi y(1) h , i

⇒ { }λ h maxj y(2) h , j ≤ λ h maxi y(1) h , i

e (i = 1, ... , p)

{ }λ h y(1) h , i ≤ maxj y(2) h , j ⇒ { }λ h maxi y(1) h , i ≤ maxj y(2) h , j .

Pertanto,

λ h maxj y(2) h , j ≤ λ h maxi y(1) h , i ≤ maxj y(2) h , j

e, quindi, λ h ≤ 1.

6.2 LA RAPPRESENTAZIONE GRAFICA SIMULTANEA USUALE

La rappresentazione grafica simultanea usuale consiste nel sovrapporre

le rappresentazioni ottenute separatamente per i profili riga e colonna.

Supposto, per esempio, di aver rappresentato i profili riga mediante le

loro proiezioni ortogonali (punti immagine) nel sottospazio generato dal

vettore c (1) 1 (asse principale) e i profili colonna mediante le loro proiezioni

ortogonali (punti immagine) nel sottospazio generato dal vettore c (2) 1 (asse

principale), questo significa portare a coincidere i due assi principali.


Ovviamente, la prossimità tra punti immagine di uno stesso insieme,

purché ben rappresentati sul relativo asse principale, è direttamente inter-

pretabile.

Invece, una interpretazione diretta della prossimità tra punti immagine di

insiemi diversi, ancorché ben rappresentati sull'asse principale che loro com-

pete, non è possibile, in quanto si tratta di oggetti appartenenti a spazi

euclidei differenti.

Tuttavia, tenuto conto delle relazioni quasi baricentriche che pongono in

relazione un punto immagine di un insieme con tutti i punti immagine

dell'altro insieme, è possibile arguire che i punti immagine di un insieme più

prossimi a un determinato punto immagine dell'altro insieme sono quelli che

maggiormente contribuiscono a formarne il baricentro (7).

(7) Altri tipi di rappresentazione grafica simultanea saranno esaminati in un lavoro successivo,dedicato a una esposizione della tecnica del biplot.

36 RENATO LEONI

RIFERIMENTI BIBLIOGRAFICI

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