Relazioni binarie. Consideriamo due insiemi A e B A Palermo. Torino. Milano....

Relazioni binarie

Consideriamo due insiemi A e B

A

Palermo.

Torino.

Milano.

Venezia.

.Sicilia

.Veneto

.Lazio

.Piemonte

.Toscana

Catania.

B

R={(Catania , Sicilia) ; (Palermo , Sicilia) ; (Torino , Piemonte) ; (Venezia , Veneto)}

Una relazione tra due insiemi A e B è costituita da tutte le coppie ordinate (x,y) con xA e yB che rendono vera una determinata proposizione aperta p(x,y) che costituisce la legge della relazione

Per definire una relazione sono necessari due insiemi e una proposizione logica aperta

InsiemiA={Catania; Palermo;Torino;Venezia;Roma}B={Sicilia; Piemonte;Veneto;Toscana; Lazio}

Legge della relazione p(x,y):<<x si trova nella regione y>>

Dominio : Sottoinsieme di A che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di B

Codominio: Sottoinsieme di B che contiene tutti gli elementi che sono in relazione con elementi di A

D={Catania; Palermo;Torino; Venezia}

C={Sicilia; Veneto, Piemonte}

A

Palermo.

Torino.

Milano.

Venezia.

.Sicilia

.Veneto.Lazio

.Piemonte

.Toscana

Catania.B

Controimmagini

Immagini

Esempio:

1 10,8,5,1A 12,8,3,0B

Legge della relazione P(x,y):<<x + y è dispari>>

5 R 3 5 + 3 è pari, quindi 5 R 3

8 R 3 8 + 3 è dispari, quindi 8 R 3

1 R 8 1 + 8 è dispari, quindi 1 R 8

10 R 12 10 + 12 è pari, quindi 10 R 12

Esempio: 10,8,5,1A 12,8,3,0B

Legge della relazione p(x,y):<<x + y è dispari>>

Modi per rappresentare una relazione

Rappresentazione per elencazione

R = {(1,0),(1,8),(1,12),(5,0),(5,8),(5,12),(8,3),(10,3)}

Rappresentazione sagittale

.0 B.1

.3

.8

.12

.5.8

.10

A

Esempio: 10,8,5,1A 12,8,3,0B


Rappresentazione mediante tabella a doppia entrata

Rappresentazione mediante diagramma cartesiano

A\B 0 3 8 12

1 V F V V

5 V F V V

8 F V F F

10 F V F F 1 5 8 10 xA

yB

0

3

8

12

Legge della relazione p(x,y):<<x + y è dispari>>

Legge della relazione p(x,y):<<x y>>


Quando gli insiemi A e B coincidono la rappresentazione sagittale assume una forma particolare

Rappresentazione mediante grafo

A=B=2;3;4;6;7

6

4

3

2

7

RELAZIONE INVERSA

Dati due insiemi A e B e una relazione R si chiama relazione inversa della R e si indica R –1 la relazione da B verso A che fa corrispondere alle immagini nell’insieme B le controimmagini nell’insieme A. Nella relazione inversa R –1 rispetto alla relazione R il dominio e il codominio si scambiano.

Esempio:

RELAZIONE INVERSA

A=1;2;3;4;6 B=2;3;4;6;9,12

.2 B.1

.3.4.6

.2.3.4

A

.6.9

.12

.2 B.1

.3.4.6

.2.3

.4

A

.6

.9

.12

Legge della relazione R

p(x,y):<<x è la metà di y>>

Legge della relazione R-1

p(x,y):<<y è il doppio di x>>

Dominio della R

Codominio della R

Dominio della R-1

Codominio della R-1

Proprietà delle relazioni binarieProprietà delle

relazioni binarie

Consideriamo il caso in cui gli insiemi A e B coincidono

A = B

1 Proprietà Riflessiva

xRx

Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà riflessiva quando ciascun elemento è in relazione con se stesso

In simboli :Ax

Proprietà Riflessiva

esempio ΝBA

Relazione R definita da P(x,y) = <<x è multiplo di y>>

3 R 3 perché 3 è multiplo di se stesso,

10 R 10 perché 10 è multiplo di se stesso,

………………………………., in generale

x R x perché un numero x è multiplo di se stesso.

xN x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva


esempio ZBA

Relazione R definita da p(x,y)=<<x + y > 0>>

3 R 3 perché 3 +3 >0,

Poiché abbiamo già individuato almeno un elemento di Z che non è in relazione con se stesso non vale la proprietà riflessiva

-10 R -10 perché (-10)+(-10)<0.

In simboli xZ│ x R x pertanto la relazione non gode della proprietà riflessiva


esempio ZBA

-5 R -5 perché (-5) • (-5) 0,

10 R 10 perché (10) • (10) 0,

0 R 0 perché (0) • (0) 0,

x R x perché x • x = x2 0.

Relazione R definita da P(x,y) = << x • y ≥0>>

xZ x R x Pertanto vale la proprietà riflessiva


esempio

Relazione R definita da P(x,y) = << x + y è pari>>

A=B={1,2,3,4,5}


A 1 2 3 4 5

1 V V V

2 V V

3 V V V

4 V V

5 V V V

La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che tutte le caselle della diagonale principale fanno parte della relazione.

Diagonale principale


esempio


A=B={1,2,3,4,5}


La proprietà riflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che su ciascun elemento c’è un arco che ritorna su se stesso.5

2 1

3

4

2 Proprietà antiriflessiva

Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antiriflessiva quando tutti gli elementi dell’insieme non sono in relazione con se stessi

In simboli :Ax xRx

esempio

Relazione R definita da P(x,y) = << x + y è dispari>>

A=B=N

Proprietà antiriflessiva

In generale

5 R 5 perché 5+5 è pari

8 R 8 perché 8 + 8 è pari

x R x perché x + x = 2x che è sempre pari

xZ x R x Pertanto vale la proprietà antiriflessiva

esempio


A=B={1,2,3,4,5}

A 1 2 3 4 5

1 V V

2 V V V

3 V V

4 V V

5 V V

La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che nessuna delle caselle della diagonale principale fa parte della relazione.




esempio


A=B={1,2,3,4,5}


La proprietà antiriflessiva è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo. Basta verificare che nessun elemento è dotato di un arco che ritorna su se stesso.5

2 1

3

4

Proprietà riflessiva e antiriflessiva

Spesso le relazioni non godono ne della proprietà riflessiva ne di quella antiriflessiva. Ciò avviene quando alcuni elementi, ma non tutti, sono in relazione con se stessi.

Alcuni elementi sono in relazione con se stessi altri no

3 Proprietà Simmetrica

:, Ayx Se x R y allora y R x

Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà simmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y anche y è in relazione con x

In simboli

Proprietà Simmetrica

esempio

9 R 3 perché 9 + 3 è pari.

3 R 9 perché 3 + 9 è pari (proprietà commutativa)

Ragionando in generale abbiamo che:

ΝBA

Relazione R definita da P(x,y) = <<x + y è pari>>

xN se x R y anche y R x Pertanto vale la proprietà simmetrica

esempio


A=B={1,2,3,4,5}


A/B 1 2 3 4 5

1 V V V

2 V V

3 V V V

4 V V

5 V V V

La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante tabella a doppia entrata. Basta verificare che la tabella è simmetrica rispetto alla diagonale principale.



esempio


A=B={1,2,3,4,5}


La proprietà simmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che se esiste l’arco (freccia) in una direzione, esiste anche l’arco nella direzione opposta.5

2 1

3

4



esempio

ΝBA x, yN; x R y : x è multiplo di y

9 R 3 perché 9 è multiplo di 3

non vale la proprietà simmetricaBasta questo per dire che

3 R 9 perché 3 non è multiplo di 9.

Proprietà Antisimmetrica

:, Ayx

Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà antisimmetrica quando se l’elemento x è in relazione con l’elemento y allora y non è in relazione con x

In simboli

4

Se x R y allora y R x

Proprietà antisimmetrica

esempio

9 R 3 perché 9 è maggiore di 3

Ragionando in generale abbiamo che:

ΝBA

Relazione R definita da p(x,y) = <<x > y>>

3 R 9 perché 3 non è maggiore di 9

x,y N se x R y risulta y R x Pertanto vale la proprietà antisimmetrica

esempio

Relazione R definita da P(x,y) = << x < y >>

A=B={1,2,3,4,5}


La proprietà antisimmetrica è facilmente riconoscibile nella rappresentazione mediante grafo: basta verificare che l’arco (freccia) esiste solo in una direzione ma non in quella opposta.5

2 1

3

4

Proprietà antisimmetrica

Proprietà simmetrica e antisimmetrica

Spesso le relazioni non godono ne della proprietà simmetrica ne di quella antisimmetrica. Ciò avviene quando alcune coppie di elementi sono in relazione solo in un verso e altre coppie in entrambi i versi.

Proprietà Transitiva

:,, Azyx

Una relazione R definita in un insieme A gode della proprietà transitiva quando se x è in relazione con y e y è in relazione con z allora anche x risulta in relazione con z

In simboli

5

Se x R y e y R z risulta x R z

5 Proprietà Transitiva

esempio ΝBA

27(x) R 9(y) perché 27 è multiplo di 9,

9(y) R 3(z) perché 9 è multiplo di 3.

Infine 27(x) R 3(z) perché 27 è multiplo di 3.

Relazione R definita da p(x,y) = <<x è multiplo di y>>

36(x) R 6(y) perché 36 è multiplo di 6,

6(y) R 2(z) perché 6 è multiplo di 2.

Infine 36(x) R 2(x) perché 36 è multiplo di 2.

5 R 0 perché 5 + 0 è dispari,

0 R 9 perché 0 + 9 è dispari,

ma, 5 R 9 perché 5 + 9 è pari e non dispari.

Pertanto non vale la proprietà transitiva


esempio ΝBA

Relazione R definita da p(x,y) = <<x + y è dispari>>


Se tre elementi sono mutuamente in relazione il senso di percorrenza degli archi deve essere non circolare.

La proprietà transitiva non è immediatamente riconoscibile e verificabile con la rappresentazione mediante tabella o grafico cartesiano. Solo nella rappresentazione mediante grafo è possibile individuare detta proprietà

Relazione transitiva

z

x y

Relazione non transitiva

z

x y

Esercizi

1

Verificate di quali proprietà godono le seguenti relazioni definite in Z

2

3

4

5

R definita da p(x,y) = <<x - y è positivo>>

R definita da p(x,y) = << x • y è positivo>>

R definita da

R definita da p(x,y) =<<2x+y è multiplo di 3>>

R definita da p(x,y) = << x - 3y > 100 >>

p(x,y) = <<|x| è divisore di |y|>>

Relazioni di equivalenza

Una relazione, definita in un insieme A, si dice di equivalenza se e solo se gode delle proprietà

Riflessiva1

2

3

Simmetrica

Transitiva

esempio NBA

Riflessiva

Simmetrica

Transitiva

x R x perché x + x = 2x che è pari.

Se x R y allora x + y = 2a

Se x R y allora x + y = 2a,

Poiché anche y + x = 2a allora y R x.

se y R z allora y + z = 2b. Sommando

x + 2y + z = 2a + 2b da cui

x + z = 2a + 2b - 2y ; x + z = 2(a + b - y)

Ossia anche x + z è pari, ossia x R z


esempio NBA


Poiché la relazione considerata gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva essa è una relazione di equivalenza

Esercizi

1

Dite quali fra le seguenti relazioni definite in Z sono di equivalenza.

2

3

4

p(x,y) = << x - y è positivo>>R definita da

R definita da

R definita da

R definita da

p(x,y) = << x.y è positivo>>

p(x,y) = << x + y è dispari>>

p(x,y) = << x - y è multiplo di 3>>

Classi di equivalenza

Data una relazione di equivalenza definita in A e x un suo elemento, una classe di equivalenza, indicata con [x], è un sottoinsieme di A formato da tutti gli

elementi di A in relazione con x.

xyAyx R|

esempio

E’ facile vedere che tale relazione è di equivalenza perché soddisfa le proprietà

riflessiva simmetrica transitiva

R definita da p(x,y) = << la retta x è parallela alla retta y>>

A=B={x | x è una retta del piano}

x

Se xRy allora yRx

y

xRx

x

Se xRy e yRz allora xRz

y z

esempio

Ogni classe di equivalenza individua quella che viene detta Direzione

R definita da p(x,y) = << la retta x è parallela alla retta y>>

A=B={x | x è una retta del piano}

Relazioni di ordine

Una relazione, definita in un insieme A, si dice di ordine se e solo se gode almeno delle proprietà

1

2

Antisimmetrica

Transitiva

Una relazione è di ordine largo se gode anche della proprietà Riflessiva

Una relazione è di ordine stretto se gode anche della proprietà Antiriflessiva

esempio NBA

Antisimmetrica

Transitiva

Se x R y perché x è multiplo di y

Se x R y e y R z allora anche x R z

y R x perché y non può essere multiplo di x

Consideriamo ad esempio x=18 y=9 z=3

Relazione R definita da

p(x,y) = <<x è multiplo di y>>

Poiché la relazione gode della proprietà antisimmetrica e transitiva è una relazione d’ordine

18 R 9 e 9 R 3 anche 18 R 3

Poiché la relazione gode della proprietà riflessiva (ogni numero e multiplo di se stesso) la relazione di ordine largo

Una relazione d’ordine totale si ha quando gli elementi dell’insieme sono tutti confrontabili, cioè per ogni coppia di elementi deve esistere la relazione in un senso o in quello opposto

Una relazione d’ordine parziale si ha quando gli ele-menti dell’insieme non sono tutti confrontabili tra di loro

esempio 2,12,6,10,24BA

Questa è una relazione d’ordine totale perché tutti gli elementi sono confrontabili tra di loro

Relazione R definita da p(x,y) = <<x è maggiore di y>>

2

6

10

1224

Le relazione d’ordine totale operano un ordinamento completo degli elementi dell’insieme

esempio 60,36,24,12,10,6,2BA

Questa è una relazione d’ordine parziale perché esistono almeno due elementi che non sono confrontabili tra di loro es. (24,60) e (24,36)

Relazione R definita da p(x,y) = <<x è multiplo di y>>

2

610

12

24

3660

Le relazione d’ordine parziale operano un ordinamento parziale degli elementi dell’insieme

FUNZIONI

B A

Si chiama funzione o applicazione di A in B una relazione che ad ogni elemento dell’insieme A fa cor-rispondere uno ed un solo elemento dell’insieme B.

Le funzioni sono quindi particolari relazioni in cui il dominio coincide con l’insieme A e ad ogni elemento di A deve essere associato un solo elemento di B

FUNZIONI

Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che non è in relazione con nessun elemento di B

BA

BA Questa relazione non è una funzione perché esiste un elemento di A che è in relazione con più di un elemento di B

FUNZIONI

Una funzione si indica con la seguente simbologiaf : A→B o anche con y = f(x)

BA

Funzione f : A→B definita da y = x2

esempio A={1,-2,2,3,-4,5} B={1,4,9,16,25}

x y

1-223-45

y = 12 = 1y = (-2)2 = 4y = 22 = 4y = 32 = 9y = (-4)2 = 16y = 52 = 25

3

2

1

9

1

-2

4

-4 5

16

25

FUNZIONI

f : N→N definita da y = 2x+1esempio A=B=N

x y

1234.

12.

100.

y = 2.1+1=2+1=3y = 2.2+1=4+1=5y = 2.3+1=6+1=7y = 2.4+1=8+1=9……………………..…..y = 2.12+1=24+1=25………………………....y = 2.100+1=200+1=201………………………….

La x che fissiamo noi si chiama variabile indipendente

La y che viene calcolata in base alla legge della funzione si chiama variabile dipendente

CLASSIFICAZIONE DELLE FUNZIONI

Una funzione f: A →B si dice iniettiva quando ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B

Funzione iniettiva

BA BA

Funzione non iniettiva

Funzione iniettiva


Una funzione f: A →B si dice suriettiva quando il codominio coincide con l’insieme B

Funzione suriettiva Funzione non suriettiva

Funzione suriettiva

BA BA


Una funzione f: A →B si dice biiettiva quando è contemporaneamente iniettiva e suriettiva

Funzione biiettiva Funzione non biettiva

Funzione biiettiva

BA BA

Funzione suriettiva e non iniettiva Funzione biiettiva

BA

BA

BA

BA

Funzione generica Funzione iniettiva e non suriettiva

PRODOTTO DI FUNZIONI

Date le funzioni f: A →B e g: B →C si chiama prodotto delle funzioni g○f la funzione k : A →C che associa ad ogni elemento di A un solo elemento di C

fA CB

k = g ○ f

g


f : Z→Z definita da y = x+1esempio A=B=C=Z

x y =f(x)=x+1

-4-21 3..

y = -4+1=-3y = -2+1=-1y = 1+1= 2 y = 3+1= 4…………..

g: Z→Z definita da z = 2y-1

y z =g(y)=2y-1

-3-12 4..

z = 2. (-3)-1=-6-1=-7z = 2. (-1)-1=-2-1=-3z = 2.2-1=4-1=3 z = 2.4-1=8-1=7……………….

Funzione f Funzione g




Z ZZ

-4-3

-7

-2

1

3

-1 -3

2

4

3

7



x z = g[f(x)] =2x+1

-4-21 3..

y = 2(-4)+1=-8+1=-7y = 2(-2)+1=-4+1=-3y = 2.1+1=2+1=3 y = 2.3+1=6+1=7…………..


Funzione k = g ○ f

z = g(y) = g[f(x)] = 2y-1 = 2(x+1)-1 = 2x+2-1 = 2x+1in definitiva z = 2x+1

Z Z-4 -7

-2

1

3

-3

3

7

k = g ○ f

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