relatividad general - alonso sepulveda.

8/10/2019 relatividad general - alonso sepulveda.

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Elementos

derelatividad general

Alonso Sepulveda S.

Instituto de FsicaUniversidad de Antioquia

Medelln, julio 2013


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El espacio de Einstein

no esta mas proximo a la realidad

que un cielo de Van Gogh.

La gloria de la ciencia no esta

en una verdad mas absoluta

que la verdad de Bach o Tolstoi,

sino en el acto de la creacion misma.

Los descubrimientos de los cientficos

imponen su propio orden en el caos,

como el compositor o el pintor impone

el suyo; un orden que se refiere siempre

a aspectos limitados de la realidad,

influido por el marcode referencia del observador,

que difiere de un perodo a otro,

de la misma manera que

un desnudo de Rembrandt

difiere de un desnudo de Manet.

Arthur Koestler


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Indice general/v

2.14. El principio de equivalenciay la solucion de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

2.15.Orbitas en un campo de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . 1142.15.1. Solucion newtoniana al problema de Kepler . . . . . . . . . . 1162.15.2. Precesion del perihelio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

2.15.3. Deflexion de la luz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212.15.4. Cada libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1242.15.5. El radio de Schwarzschild . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

2.16. La gravitacion y los sistemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1262.17. El problema variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

2.17.1. Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1272.17.2. La accion gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1282.17.3. Mnima accion gravitacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.17.4. Momento-energa de la gravitacion . . . . . . . . . . . . . . . 133

3. Cosmologa relativista 139

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1393.2. Espacios de curvatura constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

3.2.1. Espacio bidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1413.2.2. Espacio tridimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

3.3. Coordenadas gaussianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1453.4. La metrica cosmologica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1463.5. Ley de Hubble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

3.5.1. La expansion del espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1513.6. Modelos cosmologicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

3.6.1. Modelos estaticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1553.6.2. Modelos dinamicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

Bibliografa 161

Indice alfabetico 163


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Prologo

La teora general de la relatividad propuesta por Einstein en su forma final el 24de noviembre de 1915 en el seminario dirigido por David Hilbert en Gottinga es unaampliacion y continuacion natural de la teora especial, en el sentido de que comienzabuscando una generalizacion de la nocion de relatividad del movimiento, concebidainicialmente en 1905 solo para el movimiento uniforme. En los anos sucesivos labusqueda de Einstein se orienta hacia la extension de la relatividad a los sistemasde referencia acelerados. Siguiendo este camino descubre en 1907 la identidad de losefectos fsicos en campos gravitacionales uniformes y sistemas de referencia que semueven respecto a uno inercial con aceleracion constante. Aparece aqu el principiode equivalencia.

El analisis de las consecuencias que de el provienen le condujeron en 1913conla asistencia de su amigo Marcel Grossmann a la idea de la gravitacion como unfenomeno asociado a la estructura del espacio-tiempo. Este nuevo concepto geome-trico haba sido introducido en 1908 por Hermann Minkowski en el contexto de larelatividad especial y trajo a la luz un nuevo absoluto inmodificable, el escenario delos fenomenos fsicos. La nocion que entra a comandar la construccion de la nuevateora es la de metrica de un espacio de Riemann de cuatro dimensiones. En estemomento Einstein ha comprendido que la construccion de una teora general derelatividad exige a la vez la proposicion de una nueva teora de la gravitacion enla que las acciones gravitacionales deberan propagarse con velocidad finita. Surgeas, en un intervalo que va desde 1907 a 1915, una de las teoras con mas esteticaconstruda en todos los tiempos.

La relatividad general no tiene solo una amplia aplicacion a nivel cosmologico; enella se fundamenta la descripcion de muy diversos fenomenos astrofsicos, deflexiongravitacional de la luz, agujeros negros, lentes gravitacionales, orbitas planetarias,ondas de gravitacion, entre ellos.

Este textosurgido de cursos sobre el tema dictados por el autor en la Uni-versidad de Antioquia y en la II Escuela Nacional de Fsica Teorica en Pereira,1982pretende ser un programa mnimo y consistente de relatividad general, para1 semestre. Esto significa que introduce, para comenzar, las nociones fundamentalesde los espacios de Riemann: coordenadas curvilneas generales, transformaciones decoordenadas, tensores de Riemann y de Ricci-Einstein; avanza introduciendo losprincipios de equivalencia y covarianza general, las ecuaciones de Einstein para elcampo gravitacional, las ondas gravitacionales, entre otros, y culmina con el estudiode espacios de diferentes curvaturas y los modelos cosmologicos mas simples.


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**********************************Bernhard Riemann (1826-1866). Tomado de http://commons.wikimedia.org


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Geometra diferencial

1.1. Introduccion

La relatividad general es una teora sobre el espacio y el tiempo. Fue precedida

por la relatividad especial, teora que permitio entender que el tiempo y las trescoordenadas del espacio son partecomo descubrio Minkowski de un espacio-tiempo de 4 dimensiones que es el escenario de los fenomenos fsicos.

Resulta logico por ello que una presentacion de los fundamentos de la relatividadgeneral comience por introducir temas geometricos, en particular sistemas de coor-denadas, a partir de los cuales es posible definir puntos en espacios N dimensionales;uno de estos espacios podra describir el espacio-tiempo.

Ninguna mencion sera hecha en este captulo a la posibilidad de que la estructurade estos espacios, o de alguno de ellos, este conectada con la existencia del mundomaterial que la fsica pretende describir. Por ello una idea simple anima el comienzode esta exposicion: proponer la nocion de coordenadas curvilneas no ortogonalesen 3D, extensible sin dificultad a espacios multidimensionales, sin asumir que el

espacio N dimensional es euclidiano, ni que las coordenadas cartesianas tienen algunprivilegio. Conviene entonces acentuar que en cada punto del N-espacio es posibleconstruir una red coordenada, lo que no supone un conocimiento de la estructurafsica del espacio. Vale decir que la presentacion que sigue se inicia desde un divorciode principio entre la geometra y la fsica. Ningun argumento fsico inspirara laconstruccion matematica aqu presentada. Por ello este captulo bien puede hacerparte de un texto de geometra pura, de geometra diferencial. No seran pertinentes,ni necesarios por ahora los comentarios a las sugerencias de Leibniz o de Mach acercade que el mundo de los fenomenos esta inevitablemente asociado a un espacio y untiempo determinados por el contenido material del mundo, punto de vista desde elcual cualquier discusion sobre la geometra fsica y la posibilidad de una medida dedistancias y tiempos, habra de incluir el universo material entero.

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1. Geometra diferencial/3

En este sentido este no es un captulo sobre geometra fsica sino sobre geometramatematica, sin compromiso alguno con la experiencia. Es un captulo completa-mente aseptico, no contaminado con la presencia del mundo. Como se vera luegoesta inicial asepsia tiene una consecuencia epistemologica fundamental que no esposible soslayar y que es una de las debilidades de la teora de Einstein y de todas

las teoras modernas sobre el espacio y el tiempo, pues si una discusion sobre elmundo de la materia comienza con una disquisicion abstracta que no la involucra,entonces toda elaboracion teorica posterior carecera del elemento esencial que a ello refiera. La imagen del mundo que de aqu provenga sera entonces, a su pesar,la base de un conocimiento incompleto sobre el universo real.

En cierto sentido, entonces, las paginas que siguen, resultado de la geometrapura, seran, respecto al conocimiento del mundo material , una especie de meta-fsica, de fundamento sin sustrato, no una parte de la fsica. Como se vera en elcaptulo 2, la relatividad especial y general, las mejores teoras de nuestra epocasobre el espacio y el tiempo, comenzaron por asumirlos como una estructura queprecede al mundo fenomenico.

La nocion matematica de espacio comienza su camino a partir de la creaci on

de la geometra analtica, disciplina que, con Descartes algebrizo el espacio e hizoposible la descripcion del movimiento a partir del calculo diferencial. La nocion dedistancia entre dos puntos resulto ser tanto un ob jeto de la geometra algebraicacomo del calculo diferencial.

Se trata aqu, dicho otra vez, de ampliar las nociones cartesianas, introduciendolas coordenadas curvilneas N dimensionales. El desarrollo permitira mostrar, intro-duciendo una notacion conveniente, que es posible escribir ecuaciones cuya formageneral es la misma para todos los sistemas coordenados curvilneos en el N-espacio.La disciplina que permite esta invarianza es el calculo tensorial, una forma elegantey poderosa de lograr esa sublimacion algebraica de la geometra que es la geometrade Riemann, una estructura quereinventando a Euclides permitio una nuevadescripcion del mundo.

El proyecto de escribir leyes invariantes es interesante, importante y de altaestetica, pues la fsica pretende fabricar leyes del mundo que sean validas en todoslos sistemas de coordenadas o de referencia. Con estas ideas Einstein hizo su obrade arte, la relatividad general.

De acuerdo con lo dicho, lo que aqu se expondra sera una teora de espacios geo-metricos, no deespacios fsicos, pues en lo que sigue, y a pesar de que los ge ometrasocasionalmente pensaron en el mundo fsico, ningun argumento surgido del mundode los fenomenos impondra condicion alguna sobre la construccion de estos espacios.

La relatividad general utiliza la teora geometricaaqu descrita, asumiendolacomo una teora fsicasobre el espacio (en nuestro caso el espacio-tiempo), segun lacual su estructura depende de la materia, aunque el espacio persiste aun en ausenciade ella.


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4/ Relatividad general

Conviene, para finalizar, hacer una reflexion sobre temas newtonianos. La solu-cion a la ley de Gauss para la gravitaci on en el interior de un cascaron esfericode masa muestra que el campo de gravitacion es nulo, vale decir que el potencialgravitacional es constante en un espacio y tiempo que ya estaban presentes, al igualque estaba presente la posibilidad de los infinitos sistemas inerciales. Puede sugerir-

se, sin embargo, alterando el orden de las ideas, que los sistemas inerciales estanasociados a potenciales gravitacionales constantes generados por las grandes masaslejanas y que la ilusion de Newton es que el espacio y el tiempo estaban antes deellas y que no era necesario fsicamente el cascaron. Segun esto, podra pensarseque Newton supuso la existencia previa del espacio y el tiempo en el interior delcascaron cosmico que nos rodea sin sospechar que la estructura del espacio y eltiempo podra deberse por entero a la masa circundante. Es decir que Newton des-cribe el problema a la inversa; primero asume el espacio y tiempo absolutos y luegodescubre que en el interior del cascaron esferico que es el universo que nos circundahay un potencial gravitacional constante. Esto significa que el espacio y el tiemposon ontologicamente diferentes del mundo y no lo implican. En estas lneas se muevela teora geometrica sin mundo que sigue a continuacion. Como se vera, la nocion

se masa no aparece en parte alguna en este primer captulo.

1.2. Coordenadas curvilneas generales

Los sistemas coordenados son invenciones destinadas a etiquetar los puntos del es-pacio. El numero y la forma de los sistemas coordenados es en principio infinito. Elorigen de la nocion se encuentra en las coordenadas cartesianas en dos dimensiones,construccion que extendida a las tres direcciones del espacio euclidiano permitio eldesarrollo de la cinematica newtoniana. Los sistemas de coordenadas no han deser por necesidad rectilneos, ni ortogonales, ni tridimensionales. Es por ello conve-niente comenzar por introducir coordenadas curvilneas generales en el espacio 3Dy generalizar luego a Ndimensiones.

1.2.1. Base original y recproca

Sean ui, con i = 1, 2, 3, tres funciones escalares continuas, independientes yunivaluadas, correspondientes a tres superficies en el espacio tridimensional, cuyainterseccion determina un punto. Un punto en el espacio 3D se identifica con latripleta (u1, u2, u3), y a (u1, u2, u3) le corresponde un punto (figura 1.1).

El elemento diferencial de lnea se expresa como:

dr=3

i=1

r

uidui =

3i=1

ai dui. (1.1)


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u1 u1

u2

u2

u3u3

a1

a1 a2

a2

a3 a3

Figura 1.1: Coordenadas curvil neas generales

Las cantidades ai, definidas como ai = r/ui, son vectores independientes

asociados a cada punto del espacio, por lo que pueden ser considerados como unabase; son tangentes a las curvas ui que son coordenadas generales, curvilneas, no

ortogonales y no coplanares.En este texto utilizaremos la convencion suma:1. A menos que se indique explcitamente lo contrario, ndices repetidos, uno

suby otrosuper, indican suma sobre la dimension del espacio. Esto permite ignorarel smbolo de sumatoria. As,

aib

i = aibi. A los ndices repetidos se les llama

tambien ndices mudos, pues no dan informacion acerca del caracter tensorial de lasecuaciones.

2. Una pareja de ndices repetidos puede reemplazarse por otra pareja diferentede ndices repetidos. As:

dr= ai dui =

r

uidui =

r

ujduj .

Como se sigue de los dos ultimos terminos, un superndice en el denominadorequivale a un subndice en el numerador. Se vera despues por que una pareja dendices repetidos constara siemprede uno super y otro sub.

Ahora bien, sean ai los vectores de la base original, asociados a ui, y ai los

vectores de la base recproca, asociados a ui. Los vectores ai y ai coinciden en

direccion si la base ai es ortogonal. Los vectores base recprocos se definen como:

a1 = a2 a3a1 a2 a3 , a

2 = a3 a1a1 a2 a3 , a

3 = a1 a2a1 a2 a3 . (1.2)

Notese que ai yai coinciden en direccion si la base ai es ortogonal. Se concluyefacilmente que:

ai aj =ij


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El smb olo ij se conoce como delta de Kronecker, en el que un ndice es super

y el otro sub, y que se define como ij = 0 si i =j , ii = 1 (sin suma sobre i).Si el sistema coordenado (a1, a2, a3) es de mano derecha, lo sera tambien (a

1, a2, a3).De (1.2) es cierto, ademas, que:

a1 a2 a3= (a1 a2 a3)1.Las definiciones (1.2) para ai son validas solo en 3D; para un espacio N-dimensional

se asume como definicionde base recproca la relacion:

ai aj =ij i, j = 1, 2,...N. (1.3)

Lo que sigue sera valido paraNdimensiones. Teniendo en cuenta que el productoescalar es conmutativo, de (1.3) se sigue que:

ai aj =ij =aj ai =ij ij . (1.4)

Como se ve, los deltas de Kronecker tienen una simetra horizontal, segun la cual,y sin alterar los valores, el ndice superior puede desplazarse a derecha (o izquierda)mientras el inferior se desplaza a izquierda (o derecha). Por esto, puede escribirseij , sin importar si i esta a la izquierda o derecha de j. Lo que s debe conservarsees la posicion arriba-abajo. Debido a la simetra horizontal, se dice que la delta deKronecker es simetrica.

En el sistema recproco el elemento diferencial de lnea se escribe: dr= aidui yse postula que dr es el mismo en la base original y en la recproca, tal que:

dr= aidui =ajduj . (1.5)

Multiplicando escalarmente por ak:

ak aidui =ak ajduj . (1.6)Definiendo los coeficientes metricos(o metrica) como:

gkj =ak aj =gjk . (1.7)

puede escribirse (1.6) en la forma:

kidui =gkjduj, por lo cual : du

k =gkjduj .

En la ultima ecuacion, gkj puede considerarse como un operador que toma elsubndice j de duj , lo sube y lo convierte en k .


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Reemplazando dui = gijduj en (1.5) se obtiene: aigijduj = a

jduj , de donde,cancelandoduj debido a que son diferenciales linealmente independientes, se sigue:

aj =gjiai. (1.8)

Tambien, multiplicando escalarmente (1.5) por ak se obtiene, analogamente:

duk =gkidui y ai = gija

j con ak ai = gki. (1.9)El coeficiente metrico gki puede considerarse como un operador que baja el ndice

i dedui y lo convierte en k .De la segunda de las ecuaciones (1.9), multiplicando escalarmente por ak se

sigue: ak ai = gijak aj equivalente a:gijg

jk =ki (1.10)

Lo anterior significa que las matrices gij ygkj son recprocas. De (1.7) se sigue:

|a1|2 =g11, de donde|a1| =

g11 , tambien |a2| =

g22 y |a3| =

g33, (1.11)

de modo que la base{ai} no esta normalizada a la unidad. Tampoco la base{ai}.Tambien de (1.7) con k = 2,j = 3 se obtiene el coseno del angulo entre la pareja

(a2, a3):

cos(a2, a3) = g23

|a2||a3| = g23

g22g33.

Comoa1= e1|a1| =e1g11, con|e1| = 1, etc,|a1 a2 a3| = |e1 e2 e3|g11g22g33= g11g22g33

= |a1 a2 a3|1 = 1/

g11g22g33. (1.12)

El elemento de lnea en direccion a1 es dl1 = dr a1 = ai a1dui = gi1dui. Elintervaloes la distancia infinitesimal entre dos puntos en el N-espacio:

ds2 =drdr = (aidui) (ajduj) =gijduiduj= (aidu

i) (ajduj) =ijduiduj =duidui= (aidui) (ajduj) =gijduiduj .

El escalar ds2 es invariante bajo escogencia de la base (original o recproca), loque es consecuencia de la invarianza de dr.

La importancia del tensor metrico gij esta en quecomo veremos todas laspropiedades metricas de un espacioNdimensional estan determinadas por el. A esteespacio se le llama tambien continuo metrico N dimensional o espacio de RiemannN dimensional. La funcion gij es el campo tensorial fundamental en la teora de lagravitacion de Einstein.


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Ejercicio:

En coordenadas cartesianasds2 = (dx)2+(dy)2+(dz)2 por lo queg11 =g22 =g33 = 1, g12 = g23 = g31 = 0. Esto es: gij = g

ij = ij , por lo cual ai = ai,

dxi = dxi, |ai| =|gii| = 1: el sistema original y el recproco coinciden, nosiendo entonces necesaria la diferencia entre sub y super ndices.Con base en los co eficientes metricos cartesianos pueden calcularse los gij en

cualquier otro sistema coordenado si se asume la invarianza de ds2 bajo latransformacion coordenada de una base cartesiana a otra curvilnea a i:

ds2 =3

k=1

dxkdxk =gijduiduj =

xk

uixk

uj duiduj

= lkdxkdxl =gij

ui

xkuj

xl dxkdxl.

En consecuencia, eliminando duiduj en la primera lnea:

gij = xk

uixk

uj, (1.13)

y eliminando dxkdxl en la segunda lnea:

lk = gijui

xk

uj

xl. (1.14)

Considerese como ejemplo especfico el paso de coordenadas cartesianas(x1, x2, x3) = (x,y,z), a esfericas (u1, u2, u3) = (r,,). Como se sabe laregla de transformacion es:

x= r sen cos , y= r sen sen , z = r cos .

Entonces, de (1.13):

g11 = x

r

x

r +

y

r

y

r +

z

r

z

r = 1,

g22 = x

x

+

y

y

+

z

z

=r2,

g33 = x

x

+

y

y

+

z

z

=r2 sen 2.

Puede demostrarse que gij = 0 para i=j , tal que:

{gij}= 1 0 00 r2 0

0 0 r2 sen 2

.

As, ds2 =gijduiduj =dr2 + r2d2 + r2 sen 2 d2. Ademas, deg ijgjk = ik y

utilizando los gij que se acaban de calcular se obtiene:

{gij}= 1 0 00 1/r2 0

0 0 1/r2 sen 2

,

con g ij = 0 si i=j .


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Puesto que dr = aidui =3

i=1 ei

giidui =3

i=1 eidli, con|ei| = 1, elelemento de lnea en direccion ai es dli =

giidui (sin suma), por lo que, en

coordenadas esfericas: dl1 = dlr =dr, dl2 = dl =r d, dl3 = dl = r sen d.De las expresiones ai = gija

j y con ai ={ar, a,a}={er, r e, r sen e} yai ={,j, k}, se obtiene:

er = sen cos + j sen sen +k cos ,

e = cos cos + j cos sen k sen ,er = sen + j cos .

1.2.2. Teora de transformacion

El vectordr= aidui =ajduj es el primer ejemplo de lo que es una forma lineal.Un vector es una forma lineal en los vectores de la base. Como un postulado

basico, un vector es invariante bajo transformacion de coordenadas; esto es, al pasarde una base (antigua) a otra (nueva) un vector permanece invariante, aunque nolos vectores de la base ni las componentes.

Sean las coordenadas ui, vj asociadas a los vectores de la base ai, bj respecti-

vamente, pertenecientes a sistemas coordenados U y V (antiguo y nuevo). En elantiguo:ui, ai, ui, ai; en el nuevo: v i, bi, vi, bi.Para que sea posible la transformacionU Vdebe existir una relacion entre

las coordenadas, esto es ui =ui(vj), o:

dui = ui

vjdvj , (1.15)

y tambien, v j =vj(ui), equivalente a:

dvj = vj

uidui. (1.16)

La invarianza de dr bajo el cambio U V se expresa como:dr= aidu

i =bjdvj =aidui = b

jdvj .

Reemplazando (1.15) en dr se obtiene:

bj =aiui

vj. (1.17)

Reemplazando (1.16) en dr se obtiene:

ai = bjvj

ui. (1.18)


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Ahora, substituyendo los ndices i en (1.16) por k y reemplazando dvj de estaecuacion en (1.15) se sigue:

dui = ui

vjvj

ukduk, y como dui ikduk, entonces:

ui

vjvj

uk =ik y es demostrable que:

vj

uiui

vk =jk. (1.19)

La conexion entre los diferenciales coordenados de las bases recprocas se obtieneen la forma siguiente: de aidui =bjdvj, multiplicando escalarmente por ak:

duk =blv l

uk bjdvj =jl

v l

ukdvj =

vj

ukdvj , de donde:

duk = vj

ukdvj . (1.20)

Tambien, de a

i

dui = b

j

dvj , multiplicando escalarmente por bk se sigue:

dvk = ui

vkdui. (1.21)

Reemplazando las relaciones entredvj y duk en aidui = bjdv

j se obtiene:

ai =bjui

vj , y bj =ai

vj

ui. (1.22)

Las cantidades invariantes(dr, ds2, etc) no tienen ndices flotantes, solo ndicesrepetidos, uno sub y el otro super.

1.2.2.1. Cambio de notacion

En esta seccion se propone un cambio de notacion para estar mas de acuerdocon las convenciones usuales de los textos. La nueva notacionx y x de ningun modose refiere a coordenadas cartesianas: xi, xi y x

i, xi son coordenadas generales. Seproponen, entonces, los siguientes cambios:

U S V Sui xi vj xjui xi vj xjai ai bj ajai ai bj aj


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En consecuencia, las reglas de transformacion son ahora:

dxi =gijdxj dxi =gijdxj,

dxi = gijdxj dxi = g

ijdx

j ,

dxi =xi

xj dxj dxi = xj

xi dxj ,

dxi = xi

xjdxj dxi =

xj

xi dxj, (1.23)

ai =ajxi

xj ai = a

j

xj

xi,

ai =ajxi

xj ai = aj

xj

xi.

Tambien es cierto que:

dr = aidui =bjdv

j =aidui = bjdvj ,

ds2 = gijdxidxj =gijdxidxj =dx

idxi

= gijdxidxj =g ijdxidxj =dxidxi. (1.24)

Por convencion, los superndices se llamaran contravariantes; Tij es completa-mente contravariante. Los subndices se llamarancovariantes;Tij es completamentecovariante. Ti..j es mixto. Con el uso de gij o g

ij pueden convertirse ndices contra-

variantes en covariantes y recprocamente; por ejemplo: Tij =gikT.jk. .

1.3. Formas multilineales

Hasta ahora se han introducido vectores base y diferenciales coordenados en lossistemas original y recproco. El elemento infinitesimal de distancia dr se expresacomo una combinacion lineal de vectores de la base. Se define un vector A como unacombinacion lineal A = aiAi, en la queAi son las componentes contravariantes delvector. Tambien A = aiAi, donde Ai son las componentes covariantes del vector.En general, las componentes de un vector son funciones de las coordenadas. Deeste modo, las componentes Ai(r) y Ai(r) pueden utilizarse para describir lo queen fsica se conoce como componentes de un campo vectorial. Estas componentesestan sujetas a las mismas reglas de transformacion (1.23) que los diferencialescoordenados. As pues:

Ai = xi

xj Aj Ai =

xj

xiAj (1.25)

Ai = xi

xjAj Ai =

xj

xi Aj . (1.26)


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Los vectores, o formas lineales, son invariantes bajo transformacion coordenaday ba jo cambio del sistema original al recproco, esto es:

A= aiAi =A =aiA

i =aiAi = aiAi.

Ahora bien, una forma de introducir formas bilinealeses a traves del productodiadicode dos vectores Ay Bdefinido como:

AB= (aiAi)(ajB

j) =aiajAiBj.

La cantidad T= AB es una dadacon componentes Tij =AiBj .

1.3.0.2. Productos

a.El producto punto (o escalar) entre dos vectores Ay Bproduce un escalar:

A B= gijAiBj =gijAiBj =AiBi = AiBi.

b.El productocruz

entreA

yB

en 3D produce unvector

:

A B= ai ajAiBj =ak|a1 a2 a3|ijkAiBj =ak

g11g22g33 ijkAiBj .

Se ha tenido en cuenta la ecuacion (1.2) escrita en la forma:

ai aj = |a1 a2 a3| ijkak,

donde ijk

es el smbolo de Levi-Civita, antisimetrico en cada pareja de ndicescontiguos y con

123= 1.

c.El producto diadicoAB entre los vectores Ay Bes un tercer tipo de opera-cion; no produce ni un escalar ni un vector, sino una base bilinealaiaj .

1.3.0.3. Dadas

En forma general, la cantidad T = aiajTij es unaforma bilinealo dadao tensor

de 2 orden, cantidad que es invariante bajo transformacion coordenada, esto es:T= T , o tambien:

T= aiajTij = T =aka

lTkl. (1.27)

Es facil comprobar que las siguientes formas son equivalentes:

T= aiajTij =aiajT

ji =aia

jTij =aiajTij .

Los puntos, como enTji, se colocan en los lugares vacos para mantener memoriade las p osiciones de los ndices. Con la practica seran suprimidos.


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Aplicando a (1.27) las reglas (1.23) para ai y aj escritas en la forma:

ai = ak

xk

xi , aj =a

l

xl

xj,

se obtiene la regla de transformacion de las componentes de un tensor de segundoorden doblemente contravariante:

Tkl = xk

xixl

xjTij . (1.28)

Aplicando a (1.27) la regla inversa de transformacion se obtiene:

Tij = xi

xkxj

xkTkl. (1.29)

Tambien, de T= T =aiajTij =a

kalTkl se obtiene la regla de transformacion

de la forma mixta Tij :

Tk l = x

k

xi x

j

xl Tij . (1.30)

Tambien es cierto que:

Tkl = xi

xkxj

xlTij .

1.3.0.4. Tensores

Generalizando, untensorde orden (o rango)r es una funcionr-lineal expresableen los vectores base, cuyos coeficientes son, en general, funcion de las coordenadas.El tensor es un invariante bajo transformacion de coordenadas; esto es:

M =aiajak. . . M ijk =ala

ma

n . . . M

lmn

La regla de transformacion de las componentes de un tensor de rango r comple-tamente contravariante es:

Tijk = xi

xlxj

xmxk

xn Tlmn (1.31)

recprocamente:

Tlmn = xl

xixm

xjxn

xk Tijk (1.32)

En particular: Un escalar es una forma 0-lineal, o tensor de orden 0: = .


20/172


Un vector es una forma 1-lineal o tensor de orden 1:

Ai =xi

xlAl.

Un tensor de segundo orden es una forma 2-lineal o tensor de orden 2:

Tij = xi

xlxj

xmTlm.

Un tensor de orden 0,1,2,3, etc. en un espacio N-dimensional tiene, respectiva-mente, 1, N , N 2, N3 etc. componentes. No es solo el numero de componentes lo quedefine un tensor sino, ante todo, la regla de transformaci on de sus componentes.

Un tensor de segundo orden es simetrico si: Tij =Tji . Multiplicando por gik seobtiene:

Tjk =Tjk . (1.33)

Tambien, multiplicando por gji se sigue: Tki = Tik.Por definicion, un tensor de segundo orden es antisimetrico si: Tij = Tji , que

equivale aTij

=

Tji

, o tambien:

Tjk = Tjk . (1.34)Observese que las dos anteriores definiciones implican un movimiento hori-

zontal de los ndices.

Ejercicios:

a. Demostrar que la delta de Kronecker kl tiene el mismo valor en todos lossistemas coordenados.ReemplazandoTi

j =ij y T

k l =

kl en (1.30) se sigue:

Tk l =

kl =

xk

xixj

xlij =

xk

xixi

xl =kl;

por tanto:kl = kl . La delta de Kronecker es un tensor isotropico.

b. Demostrar que gij es un tensor de segundo orden.Reemplazandodxi y dxj de (1.23) en ds2 =gijdxidxj =g kldx

kdxl se sigue:

gkl = xi

xkxj

xlgij . (1.35)

Esta es, efectivamente, la regla de transformacion de un tensor de segundoorden. El tensorgij contienetodala informacion sobre la estructura del espacioN-dimensional.

1.4. Algebra tensorial

a.La suma o resta de tensores se define solo entre los que tengan el mismo rangoy su resultado es un tensor del mismo rango. Los tensores a sumar o restar deben


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tener la misma estructura de ndices. Es decir, solo tensores con los mismos ndicessuperior e inferior pueden sumarse para formar tensores. Por ejemplo:

T= A + B= aiajAij + aiajB

ij =aiaj(Aij + Bij) =Tij .

b.Producto externo: sean A = aiAi y B= a

jak

Bjk ; su producto externoes:

T= AB= aiajakAiBjk =aiajakT

ijk .

El tensor obtenido del producto externo de dos tensores de rangos r y s tienerangor+s. Ha de observarse que el producto externo es, en general, no conmutativo,incluso entre tensores del mismo rango.

c.El producto escalar simple (o producto interno) de dos tensores F= aiajFij

y G= alamanGlmn se define como:

F G= aiaj alamanFijGlmn,donde aj al = gjl es el producto escalar entre los dos vectores contiguos. Al reem-plazar se obtiene:

F G= aiamanFil Glmn.El resultado del producto escalar simple de dos tensores de rangos r y s es un

tensor de rango r + s 2.d.El producto escalar doblede los tensores F y G se define como:

F: G = aiaj :alamanFijGlmn

= (aj al)(ai am)anFijGlmn =gjlgimanFijGlmn =anFijG nji Como se ve, el producto se realiza desde dentro hacia afuera: primero los que

contienenj y l , luego los que contienen i y m. El doble producto escalar genera untensor de rango r + s 4. Puede tambien definirse el producto escalar triple, etc.

El producto externo de F = aiajFij y G = alamanG

lmn da lugar a un tensor

con componentesFij

Glmn

. El producto escalar simple generaFi l G

lmn

y el doble dalugar a FijG nji . Observese la aparicion de ndices repetidos, operacion que resultade lo que se conoce como contraccionde ndices. Cada vez que hay contraccion elrango del tensor disminuye en 2. En FijkGjkn hay producto doble de dos tensores,por tanto hay contraccion doble. El tensor resultante es de rango 3+322=2 y esde la forma Ai n.

e.La division entre vectores A/B no esta definida, ya que en principio noesta definida la cantidad 1/ai.

f.El tensor identidado unidadse define como I = aiajgij = aiajgij = aiai =

aiajji =aia

i =aiajij .El producto escalar simple de Icon cualquier vector repro-

duce el vector:I A= A I= A.


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g. Regla del cociente. Puede demostrarse que si en la expresion AiBjk =Ci jk se

sabe que Ai es un vector y Ci jk es tensor de tercer rango, entonces Bjk es tensor

de segundo rango.

1.5. El operador gradienteUn campo escalar es una funcion (xi) de las coordenadas xi del espacio N-

dimensional. Su diferencial se escribe:

d =

xidxi.

De dr= ajdxj , por multiplicacion escalar con ai, se sigue:

ai dr= ai ajdxj =dxi.Reemplazandodxi en la expresion para d:

d =

xiai dr=

ai

xi dr dr.

Se ha definido aqu el operador gradienteen la forma:

=ai

xi. (1.36)

El gradiente es un operador vectorial invariante, puesto que:

= ai

xi =

xi

xj aj

xk

xi

xk

= aj

xi

xjxk

xi

xk =ajkj

xk =ak

xk =.

De la regla para derivadas parciales:

xi =

xk

xi

xk

as /xi transforma como las componentes de un vector covariante, ec (1.26):

Ai =xk

xiAk;

en consecuencia, introduciendo la notacion: i = /xi se sigue:

i =xk

xi k. (1.37)

En i =/xi ha de notarse que un superndice en el denominador equivale a

un subndice en el numerador. En ocasiones puede necesitarsei; se le define comoi =gijj ; observese sin embargo que

i =gijj =j(gij).


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1.6. Geodesicas en N dimensiones

La distancia infinitesimal entre dos puntos puede calcularse de (1.24) conocidoel coeficiente gque, en general, depende del sistema de coordenadas escogido yde las coordenadas del punto. A partir de los diferenciales ds es posible evaluar la

distancia extrema entre dos puntos cualesquiera A y B. En un espacio euclidiano2D o 3D es la recta usual, sobre una esfera es un arco del ecuador o de un meridiano.

En general, como evaluar la distancia extrema (la mas corta o la mas larga)entre dos puntos en un espacio del que, en algun sistema coordenado, se conocensus coeficientes metricos? Vale decir como se extremaliza la integral

ds?

Este problema es soluble en forma general desde el calculo de variaciones, el que,en general, pretende extremalizar integrales del tipo:

f(y(x), y(x), x) dx (1.38)

dondey = y(x) es la curva que extremaliza la integral. Este problema conduce a laecuacion de Euler, la que aplicada a la dinamica da lugar a la ecuacion de Lagrange.

Es importante anotar que la solucion de este problema no permite saber si elespacio del problema es o no curvo. Es conocido que la l nea mas corta en el planoes la recta, pero si el plano se enrolla para formar un cilindro, la recta previaeuclidiana, transformada ahora en curva, es tambien la distancia mas corta entrelos mismos dos puntos de la superficie cilndrica. Por lo demas, si sobre un plano sedibujan triangulos o crculos, las relaciones de la geometra euclidiana se mantienenen el cilindro obtenido del plano, lo que sugiere que la superficie de un cilindrono es intrnsecamente curva. Algo diferente es dibujar triangulos o crculos sobrela superficie de una esfera. Sobre ella no se satisfacen las reglas de la geometraeuclidiana, luego tal superficie es intrnsecamentecurva.

El problema variacional que aqu se propone no aspira a resolver el tema de lacurvatura de los espacios, sino solodada la metrica a escribir la ecuacion de latrayectoria extrema. El problema de la curvatura sera estudiado en la seccion 1.8.

Sean dos puntosA y B en el espacio N-dimensional, seal la longitud de algunacurva que los conecta y ds un elemento diferencial de la curva. Entonces:

l=

BA

ds. (1.39)

Si la curva es una extremal, esto es, si l = BA ds = 0 (donde indica una

variacion) entonces la curva se llamarageodesica. Es la lnea mas corta, o mas larga,entreA y B . El plan de la presente seccion es el de encontrar la ecuacion diferencialsatisfecha por una geodesica.

Con este fin se propone ante todo el siguiente problema general:


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Si f es una funcion dependiente de xi(s) y xi dxi(s)/ds, es decir: f =f(xi(s), xi), cual ha de ser la ecuacion diferencial de la curva parametrica xi =xi(s), tal que:

F = B

A

f(xi(s), xi(s)) ds= 0 ? (1.40)

Siguiendo los desarrollos de la seccion 2.2 del libro de H. Goldstein, que permitendemostraren particular que la variacion y la integracion conmutan, = ,y tambien la derivada y la variacion, dds (x

i) = dds (xi), es posible escribir:

F =

BA

f(xi(s), xi(s)) ds=

BA

f(xi(s), xi(s)) ds

=

BA

f

xixi +

f

xixi

ds =

BA

f

xi xi +

f

xid

ds(xi)

ds

= B

A f

xixi +

d

ds f

xixi

d

ds f

xi xi

ds=

BA

fxi

dds

fxi

xi ds +

BA

d

ds

fxi

xi

ds

=

BA

f

xi d

ds

f

xi

xi ds +

f

xi xi

BA

.

A

B

xi

x

s

Figura 1.2: En el proceso de variacion los extremos A y Bde la curva permanecen fijos

Se asume que en el proceso de variacion los extremos A y B de la curva per-manecen fijos (figura 1.2), por lo cual xi|B =xi|A= 0, tal que:

F =

BA

f

xi d

ds

f

xi

xi ds= 0.


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Para xi arbitrario, la condicion F= 0 implica la ecuacion de Euler-Lagrange:

d

ds

f

xi

f

xi = 0 . (1.41)

Ejercicios:1. En el plano euclidiano es cierto que:

l=

(dx)2 + (dy)2 =

1 + (dy/dx)2 dx

1 + y2 dx=

F(y, y, x) dx,

de modo que la ecuacion de Euler-Lagrange toma la forma:

d

dx

f

y

f

y = 0, por lo cual:

d

dx

y1 + y2

= 0,

de donde se obtiene y =constante, que corresponde a la recta euclidiana y =ax + b.2. En una superficie esferica de radio r :

f=

r2d2 + r2 sen 2 d2 =r

1 + r2 sen 2 2 d,

con = d/d. En este caso l =

f d. Reemplazando en la ecuacion deEuler-Lagrange

d

d

f

f

= 0, se obtiene:

sen 2 1 + r2 sen 2 2

=C.

Por integracion y con las condiciones: = 0 en = /2 y = /2 en = se obtiene la ecuacion de un crculo maximo, cot tan = sen , inclinado unangulo respecto al ecuador. Para = 0 corresponde a un crculo meridiano= 0 y para = /2 corresponde al crculo ecuatorial = /2.

Ahora bien, pretendemos en esta seccion extremalizarl en (1.39), es decir, hacer:

l =

BA

ds= 0.

Puesto queds2 =gijdxidxj , entonces:

1 =gijdxi

ds

dxj

ds =gijx

ixj , por tanto:

BA

ds=

BA

1 ds= BA

gijxixj

ds=

BA

f ds,


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dondef=gijxixj. Con este valor de freemplazado en (1.41) se obtiene la ecuacion

de la geodesica. Basta evaluar separadamente las cantidades:

f

xk y

d

ds

f

xk

; se sigue, entonces:

f

xk =

gijxk

xixj (1.42)

f

xk =

xk(gijx

ixj) =gij [ikx

j + jkxi]

= gkjxj + gikx

i =gkjxj + gkjx

j = 2gkjxj

de donde se sigue:

d

ds

f

xk

= 2

d

ds(gkjx

j) = 2

gkj

dxj

ds +

dgkjds

xj

= 2gkj xj + 2

gkjxi

xixj

= 2gkj xj + gkjxi

+ gkixj

xixj. (1.43)Reemplazando (1.42) y (1.43) en (1.41) puede escribirse:

gkj xj +

1

2

gkjxi

+ gkixj

gijxk

xixj = 0. (1.44)

[Ha de notarse que gkj xj = xk.] Multiplicando por gkl aparece en el primer

termino gklgkj =lj lo que conduce a:

xl +gkl

2

gkjxi

+gki

xj gij

xk

xixj = 0. (1.45)

La anterior es la ecuacion diferencial de la geodesica. En el N-espacio estaecuacion equivale aNecuaciones diferenciales de segundo orden. Cuando se integredara las ecuaciones parametricas, en terminos de s, de la geodesica. Sera necesarioproveer 2Nconstantes de integracion, que pueden ser las coordenadas de los puntosextremosAy B , o las coordenadas de un punto y la tangente xi en ese punto.

1.6.1. Smbolos de Christoffel

El parentesis (incluido el factor 1/2) que aparece en (1.45) estara a menudopresente en la geometra diferencial; se le asigna el smbolo [ij,k]:

[ij,k] =1

2

gkjxi

+ gkixj

gijxk

. (1.46)


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y se conoce como smbolo de Christoffel de primera clase. Se define, ademas, elsmbolo de Christoffel de segunda clasecomo:

l

ij

= gkl[ij,k]. (1.47)

Con esta definicion la ecuacion de la geodesica se escribe:

xl + lij

xixj = 0 . (1.48)

Dada la simetra en ij de los smbolos de Christoffel, en (1.46) hay solo N(N+1)/2 combinaciones posibles entre estos dos ndices, como si fueran los elementos deuna matriz simetrica; y como el ndice k tiene N opciones, resulta que el numerode componentes distintas es N2(N+ 1)/2.

Conviene anotar que en el espacio euclidiano tridimensional y en coordenadascartesianas es cierto que gij =ij , tal que ambos smbolos de Christoffel son cero,por lo que xl = 0, cuya solucion parametrica es la lnea recta euclidianaxl =als+bl.Las cantidades al y bl son constantes de integracion. Si bl = xl0 corresponde a las

cooordenadas de un punto sobre la recta, entonces, eliminando s, con (x1, x2, x3) =(x,y,z) y (a1, a2, a3) = (a,b,c) se obtiene la tpica ecuacion de la recta:

x x0a

= y y0

b =

z z0c

=s.

1.6.1.1. Propiedades de los smbolos de Christoffel

a. Simetra en ij: [ij,k] = [ji, k].

b. Simetra en ij: lij

=

lji

.

c. De (1.47) multiplicando porg lm se sigue:

[ij,m] =glm lij

. (1.49)

d. De (1.49) se concluye que:

[ij,k] + [kj,i] = gki

xj.

e. De la ecuacion anterior es facil demostrar que:

gkl lij

+ gli

lkj

=

gkixj

. (1.50)


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f. Multiplicando la anterior porgkn y congkngki/xj = gkigkn/xj , resulta:

gki gkn

xj =nl

lij

+ gkngli

lkj

,

y multiplicando porgmi :

gmn

xj =gmk

nkj

+ gkn

mkj

.

g. Multiplicando (1.50) por g ik se obtiene:

iij

=

1

2gki

gkixj

. (1.51)

h. Ahora bien, en la condiciongjkgki =ij el factorg

ki puede interpretarse comoel inverso matricial de gjk . Esto es:

gki = ki

|g| , (1.52)

donde|g| es el determinante de la metrica y ki es la matriz de cofactores.Puesto que el determinante puede escribirse|g| = 11g11+ 12g12+ , escierto que:

|g|g12

= 12, o en general: |g|

gik= ik. (1.53)

Eliminando ik entre (1.52) y (1.53) se obtiene:

|g|gik

= |g|gki,

y de esta ecuacion reemplazando gki en (1.51):

llj

=

1

2|g||g|gik

gikxj

= 1

2|g||g|xj

= 1|g|

|g|xj

=

xj ln

|g|. (1.54)

La identidad (1.54) sera util en la evaluacion de la divergencia de un tensor.Si|g| es negativo, el radical se escribe

|g|.


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1.6.1.2. Los smbolos de Christoffel no son tensores

La ecuacion de la geodesica fue obtenida de una forma tal que la hace valida paratodos los sistemas de coordenadas. Es por tanto invariante bajo transformacion decoordenadas. En consecuencia, en los sistemas coordenados SyS puede escribirse:

xi + ijkxj xj = 0 , xi + i

jkxj xk = 0. (1.55)

Si de la segunda se pretende obtener la primera, en el camino se obtendr a la reglade transformacion de los smbolos de Christoffel. Ante todo conviene demostrar quexi es un vector y que xi no lo es. Para xi :

xi =dxi

ds =

xi

xdx

ds =

xi

xx, (1.56)

coincidente con la regla de transformacion (1.23) de un vector. Sin embargo, parala doble derivada xi:

xi = d2xi

ds2

= d

ds xi

x

x= d

ds xi

x x

+ xi

x

x

=

x

xi

x

x x +

xi

xx =

2xi

xxx x +

xi

xx. (1.57)

La cantidad xi no se transforma como un vector; solo lo hara si el termino inho-mogeneo (el que contiene xx) no existiera, lo que solo ocurre si la transformaciones lineal. Puesto que se trata aqu de transformaciones generales, entonces xi no esvector. En consecuencia, el segundo termino en la ecuacion (1.55) de la geodesicatampoco lo es. Substituyendo xi, xj y xk de (1.56) y (1.57) en la ecuacion de lageodesica en S se sigue:

2xi

xxx x +

xi

xx +

i

jk xj

xx

xk

xx = 0.

Multiplicando por x/xi se obtiene:

x +

ijk

xjx

xk

xx

xi+

2xi

xxx

xi

xx = 0 , es decir :

x +

xx = 0,

que es la ecuacion de la geodesica en el sistema coordenado S, si el smbolo deCristoffel de segunda clase se transforma como:

=

i

jk

xj

xxk

xx

xi+

2xi

xxx

xi . (1.58)


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El ultimo termino, el que contiene la segunda derivada, hace que

no se

transforme como un tensor de tercer orden. Es importante tener en cuenta que laregla de transformacion de un tensor es tal que si en un sistema coordenado todaslas componentes del tensor son cero, tambien lo seran en cualquier otro sistemacoordenado. Esto no ocurre con

, ni con xi, ya que sus reglas de transformacion

son inhomogeneas, es decir, no contienen un tensor en cada sumando.Si se hubiese partido de la ecuacion de la geodesica en Spara llegar a la corres-

pondiente enS se hubiera obtenido la regla recproca:

= ijk

xjx

xk

xx

xi +

2xi

xxx

xi . (1.59)

Sicon el debido cambio de ndices se reemplaza el smbolo de Christoffel de(1.58) en (1.59) puede demostrarse que:

x

xi2xi

xx +

xi

xxj

x2x

xixj = 0. (1.60)

Esta ecuacion puede escribirse:

x

xi2xi

xx +

xi

x2x

xxi = 0.

y equivale a:

x

x

xixi

x

=

x = 0,

lo que significa que la derivada parcial de es cero, as pues: la delta de Kronec-ker tiene el mismo valor en todos los sistemas coordenados. Sus elementos puedenconsiderarse como las componentes de la matriz identidad.

La identidad (1.60) puede utilizarse para escribir la regla de transformacion(1.59) en la forma equivalente:

= ijk

xjx

xk

xx

xi

2x

xixjxi

xxj

x.

1.7. Derivada covariante

La regla de transformacion de un vector covariante es:

Ai = x

xiA; derivando respecto ax

j se sigue:


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Aixj

= A

xjx

xi + A

2x

xixj (1.61)

= A

xkxk

xjx

xi + A

2x

xixj. (1.62)

En consecuencia Ai/xj no se transforma como un tensor de segundo orden.

La derivada parcial de un vector no es un tensor de segundo orden. Por esta razon,en lo que sigue, se generaliza la derivada de modo que la nueva derivada de unvector (a la que se llamara derivada covariante) se transforme como un tensor desegundo orden, y queen generalla derivada de un tensor de orden n genere untensor de ordenn + 1. Con este fin, de la regla de transformacion (1.59) del smbolode Christoffel: l

ij

=

xlx

x

xix

xj +

2xm

xixjxl

xm,

multiplicando por x/xl se obtiene:

2x

xi

xj

=x

xl

l

ij

x

xi

x

xj

;reemplazando esta segunda derivada en (1.62):

Aixj

=A

xkxk

xjx

xi + A

x

xl lij

xxi

x

xj

;

reorganizando, y con un apropiado cambio de ndices repetidos en el ultimo termino,se sigue:

Aixj

A x

xl lij

=

x

xixk

xj

Axk

Am mk

.

Puesto que el segundo termino de la izquierda es All

ij

la anterior ecuacion puede

escribirse: Aixj

Al lij

=

x

xixk

xj

Axk

Am mk

,

tal que, simbolicamente:

[ ]ij =x

xixk

xj[ ]k. (1.63)

El corchete que se acaba de definir se transforma como un tensor de segundoorden y es la generalizacion covariante de la derivada parcial. As pues,

Axk

Am

m

k


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es la derivada covariante del vector A respecto a xk. Introduciendo la notacion

A,k = A/xk para la derivada parcial y A;k para la derivada covariante, se

tiene entonces:

A;k =A,k Am

m

k

. (1.64)

En el espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas mk= 0 por lo que en talcaso no hay diferencia entre derivada parcial y derivada covariante: A;k = A,k.En cualquier otro sistema coordenado en el espacio euclidiano no todos los

mk

se

anulan.La ecuacion (1.63) es equivalente a la forma estandar de la regla de transforma-

cion de un tensor de segundo orden:

Ai;j =x

xixk

xjA;k. (1.65)

Un procedimiento similar realizado derivando un vector contravariante conducea la regla:

Ai

;j

= xi

x

x

xjA

;

, (1.66)

donde la derivada covariante de un vector contravariante se define en la forma:

Ai; =Ai,+ A

i

. (1.67)

1.7.1. Diferencial covariante

Multiplicando (1.65) por dx j :

Ai;jdxj =

x

xixk

xjA;kdx

j =x

xixk

xjA;k

xj

xl dxl

=

x

xi A;kdx

k

. (1.68)

dAi = Ai,jdxj = (Ai/x

j)dxj es el diferencial ordinario, mientras que DA =A;kdx

k es el diferencial covariante. Entonces, de (1.64) y (1.68):

DAi = dAi A

ij

dxj =

x

xiDA. (1.69)

Los tres primeros terminos definen eldiferencial covariante, en tanto que el primeroy el ultimo proveen su regla de transformacion. El diferencialDA (pero nodA) setransforma como un vector. EnAi;j la derivacion se realiza respecto a un superndicej en el denominador, que corresponde a un sub-j en el numerador; por esta razon,y porque su regla de transformacion es la de un tensor, a esta derivada se la llama


33/172


covariante. Al diferencial DAi se le llama covariante, ante todo porque su regla detransformacion es la de un vector.

Puede demostrarse que la regla de transformacion del diferencial covariante deun vector contravariante es:

DAi = xi

xjDAj .

As pues, suprimiendo primas en (1.69):

DAi = dAi kij

Akdx

j y DAi =dAi + ijk

Aj dxk. (1.70)

De aca es facil concluir que:

DAi =dAi + ijk

Aj dxk =

Ai

xk +

ijk

Aj

dxk =Ai;kdx

k. (1.71)

En general, para un campo tensorial Aij se cumple queDAij =Aij;kdxk.

De las anteriores expresiones puede evaluarse el diferencial covariante a lo largo

de una curva parametrizada por su longitud s. De (1.70), dividiendo por Ds (quees igual a ds):

DAiDs

=dAi

ds k

ij

Ak

dxj

ds y

DAi

Ds =

dAi

ds +

ijk

Aj

dxk

ds . (1.72)

En el espacio euclidiano una lnea recta se caracteriza por la propiedad de queun vector A tangente a ella no cambia cuando se le desplaza paralelamente, esto esdA= 0. Esta regla de transporte paralelo puede usarse para definir la recta gene-ralizada, es decir, la geodesica en un espacio N-dimensional. De acuerdo con estaregla un vector es trasladado paralelamente a s mismo a lo largo de una curva siDAi/Ds = 0; esto es, si su diferencial covariante a lo largo de la curvaes cero; enconsecuencia, de (1.72):

dAids

+ ijkAj dxk

ds = 0.

La ecuacion de la geodesica puede obtenerse con facilidad si se toma en cuentaque el vectorAi mas simple asociado a cualquier curva es su tangente, escrita comoAi = dxi/ds = xi. La pregunta por la geodesica tiene entonces el siguiente tono:cual es la curva cuya tangente tiene diferencial covariante nulo? La respuesta seconsigue reemplazando la tangente xi en la anterior ecuacion:

dxi

ds +

ijk

dxjds

dxk

ds = 0,

coincidente con la ecuacion de la geodesica (1.48).


34/172


1.7.2. Derivacion covariante de un producto y de un tensor

Ante todo, no es difcil demostrar que la derivada covariante de una suma es lasuma de las derivadas covariantes.

La derivacion parcial de un producto satisface la regla de Leibniz:

(AiBj),k =Ai,kBj + A

iBj,k.

La derivacion covariante puede definirse en una forma analoga:

(AiBj);k = Ai;kBj + A

iBj;k.

Reemplazando (1.64) y (1.67) en la anterior ecuacion es directo concluir que:

(AiBj);k = (AiBj),k+ (A

Bj) ik

(AiB) jk.Este resultado permite definir la derivada covariante de un tensor mixto. En

efecto, siTij =AiBj se sigue:

Tij ;k = Tij,k+ T

j ik

Ti jk

. (1.73)

De un modo analogo, desarrollando las derivadas covariantes (AiBj);k, (AiBj);ky (AiB

j);k puede demostrarse que:

Tij;k = Tij,k+ T

i jk

+ Tj

ik

,

Tij;k = Tij,k Ti jk

Tj ik,T ji ;k =T

ji ,k T j

ik + T i

j

k. (1.74)A partir de lo anterior es posible extender la derivacion covariante a tensores

de rango arbitrario, teniendo en cuenta que cada ndice de un tensor se transformaindependientemente. La regla es como sigue: la derivada covariante respecto a de un tensor Ti...k... es la derivada parcial T

i...k..., maspara cada ndice contra-

variante i un ia

multiplicado por el tensor con i reemplazado por a, quedando

inalterados los restantes ndices del tensor; o menos, para cada ndice covariantek un

mk

multiplicado por el tensor con k reemplazado por m, los demas ndices

permaneciendo sin cambio. Por ejemplo:

Tijkl; =Tijkl,+ T

ajkl

i

a

+ Tibkl

j

b

Tijcl

c

k

Tijkd

d

l

.


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1.7.2.1. Lema de Ricci

La derivada covariante del tensor metrico es cero.

De la segunda de las ecuaciones (1.74) con Tij =gij se sigue:

gij;k =gij,k + gi jk gj ik;de la propiedad ede los smbolos de Christoffel (seccion 1.6.1.1) se sigue que:

gij;k = 0. (1.75)

Es decir, bajo derivacion covariante gij es una constante, aunque en general

gij,k= 0. Tambien, de (gijgjk);l = (ki);l = 0 se sigue gjk;l = 0.Como consecuencia gijAl,m= (gijAl),m pero gijAl;m= (gijAl);m.

1.7.3. La conexion afn

En un espacio euclidiano y en coordenadas cartesianas dos vectores en puntosdiferentes del espacio, xi y xi +dxi, son iguales si sus componentes cartesianas enambos puntos son iguales.

Por ejemplo, dos fuerzas pueden ser iguales aunque se apliquen en puntos dis-tintos. Por extension, uncampovectorialA en un espacio euclidiano es constante sisus componentes cartesianas son las mismas en cada punto. Si las componentes soniguales, tambien lo sera el modulo del vector. En el caso general no euclidiano ni lascomponentes ni los modulos son iguales, pues la metrica depende de la posicion.

En espacios no euclidianos es necesario definir el trasplantede un vector de unpunto a otro cercano para poder comparar las componentes del vector en los dospuntos. Esto hace posible no solo revisar la nocion de campo constante, sino tambienconstruir la resta entre vectores que define el diferencial. Resultara que la definicion

de campo vectorial constante en terminos de la constancia de sus componentes noes aplicable en espacios generales.

En lo que sigue se quiere definir la constancia de un vector de modo independien-te del sistema de coordenadas, y tal que se reduzca a la usual definicion euclidiana.La forma mas simple es partir de un sistema coordenado cartesiano en un espacioeuclidiano, donde para un campo vectorial constante es cierto que dA i = 0, y pasara un sistema coordenado curvilneo. As, de:

Ai = xi

xjAj,

cuando se pasa de xi a xi +dxi, a lo largo de una curva parametrizada con s, se


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obtiene:

dAi

ds =

d

ds

xi

xjAj

=

2xi

xkxjdxk

ds Aj

= 2xi

xkxj xk

xm

dxm

ds xj

xnAn=

2xi

xkxj

xk

xm

xj

xndxm

ds An

= imndxm

ds An.

El ultimo parentesis define imn. As, la constancia de las componentes de unvector en S (dAi = 0) implica dAn = 0 en S, pues en general imn= 0, exceptopara transformaciones lineales.

En general, e independientemente de su procedencia, se define (suprimiendoprimas) el cambio de las componentes de un vector bajo trasplante de xi axi+dxi

de la siguiente manera:

dAi = imndxmAn . (1.76)

Esta expresion se llamaraley de trasplantevectorial, y los coeficientes imn seran

funciones no restringidas a que en el Soriginal dAi = 0. La funcion imn se llamaconexion afn. Un continuo donde esta regla se aplica se llama un espacio afn. Hade observarse que en (1.76) no es necesario utilizar la nocion de metrica, vale decirque jkl es caracterstico de un espacio afn y que no es una nocion metrica.

Se exigira que la ecuacion (1.76) sea invariante bajo transformaciones generalesde coordenadas y que si Ai(x) es un vector, tambien lo sea Ai(x+dx). Esto traera res-tricciones sobre la regla de transformacion de imn.

La ley de trasplante en un sistema de coordenadas curvilneo es tal que el vectortrasplantado se escribe:

Ai(x + dx) =Ai(x) + imndxmAn (1.77)

y la condicion de invarianza de (1.77) exige que en otro S:

Ai(x + dx) =Ai(x) + imndxmAn. (1.78)

Ademas, las reglas de transformacion deAi(x) y Ai(x + dx) son:

Ai(x) =

xi

xj

x

Aj(x) y Ai(x + dx) =

xi

xj

x+dx

Aj(x + dx). (1.79)

As, de (1.75), expandiendo el parentesis en serie de Taylor, y usando (1.78):

Ai(x + dx) = Ai(x) + imndxmAn

= (Aj(x) + jkldxkAl)

xi

xj +

2xi

xjxpdxp +

;


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de donde se sigue, despreciando diferenciales de segundo orden:

imndxmAn = jkldx

kAlxi

xj +

2xi

xjxpdxpAj

= jklxk

xm

xl

xn

xi

xj dxmAn +

2xi

xjxp

xp

xm

xj

xndxmAn;

se obtiene, entonces, la regla de transformacion de la conexion afn:

imn = jkl

xk

xmxl

xnxi

xj +

2xi

xjxpxp

xmxj

xn, (1.80)

que indica que jkl no es un tensor y que la regla es la misma para jkl

. Aunque

nada en el desarrollo anterior exige que la conexion afn sea simetrica, se asumira enlo sucesivo que lo es.

De (1.80) se sigue que, si jkl es simetrico en kl en un ciertoS, lo sera en todoslosdemas. Esto es, la simetra de la conexion afn es invariante ba jo transformacionesgenerales. Es posible demostrar (ver Adler, pag. 47) que si jkl no es simetrico en kl

entonces no existen coordenadas geodesicas (aquellas donde los jkl son cero en un

punto. Vease seccion 1.10 numeral c.). Puede tambien demostrarse (ver Adler pag.48) que la condicion necesaria y suficiente para que existan sistemas de coordenadasen los que las componentes de un vector no cambien bajo trasplante es que jkl seasimetrico.

La conexion entre jkl y gij puede establecerse si sobre (1.76) se impone la condi-cion de que el producto escalar entre dos vectores sea invariante bajo el transplante.Entonces, por derivacion del producto escalar y reemplazando (1.76) se sigue:

d

ds

gijA

iBj

= gij

xkdxk

ds AiBj + gij

Ai

dBj

ds +

dAi

ds Bj

= gij,k

dxk

ds AiBj + gij

Ai jkl

dxk

ds Bl + ikl

dxk

ds AlBj

=

glm,k+ glj

jkm+ gim

ikl

dxkds

AlBm = 0, por tanto:

glm,k+ gliikm+ gim

ikl = 0; (1.81)

por cambio cclico de ndices es tambien cierto que:

gmk,l+ gmiilk+ gik

ilm = 0, (1.82)

gkl,m+ gkiiml+ gil

imk = 0, (1.83)

de (1.81), (1.82), (1.83) se obtiene finalmente:

i

jk

= ijk . (1.84)


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Si no se impone la condicion de invarianza bajo el trasplante sobre el productoescalar, no se cumple (1.84). Esto ocurre en la geometra de Weyl, que es unageneralizacion de la geometra de Riemann en la que el producto escalar de dosvectores tiene una ley de trasplante de la forma:

Ai(x + dx)Bi

(x + dx) = (1 + jdxj

)Ai(x)Bi

(x),

dondej es un campo vectorial nuevo (ver tambien Adler, seccion 15.2). Esta geo-metra fue la base de la primera teora unificada de la gravitacion y el electromag-netismo, propuesta por Weyl en 1918. En ella j es el 4-potencial electrodinamico.

Notas:

a.Conviene volver desde un punto de vista mas cercano al calculo diferencialsobre el hecho de que el diferencial de un vector no se transforma como un vector.Considerese el campo vectorial Ai en los puntosxk yxk + dxk, en los que el vectortoma los valoresAi(x) yAi(x + dx), como se muestra en la figura 1.3. Si se cambiaa un nuevo sistema de coordenadas, el vector se transforma segun las reglas:

Ai(x) =

xi

xj

x

Aj(x) y Ai(x + dx) =

xi

xj

x+dx

Aj(x + dx). (1.85)

Ai(x) Ai(x + dx)

Ai(x + dx)

xjxj + dxj

Figura 1.3: Trasplante de un vector para definir el diferencial covariante

En cada sistema coordenado el vector se evalua en dos puntos distintos. Es facilcomprobar que la resta Ai(x + dx) Ai(x) no se transforma como un vector. Larazon esencial es que los vectores se han restado en dos puntos distintos, donde lasreglas de transformacion son distintas. Lo que se necesita para que el resultado seaun vector es restar los vectores en el mismo punto. Por tanto se requiere ante todotrasladarAj desdex hasta x + dx, para obtener el vector trasplantado Ai(x + dx).A continuacion pueden entonces restarse, en el mismo punto los vectoresAi(x + dx)y Ai(x + dx). Esta resta es un vector.


39/172


El vector trasplantado es:

Ai(x + dx) =Ai(x) + Ak(x) ikjdxj . (1.86)

ExpandiendoAi(x + dx) en serie de Taylor se obtiene, para la resta:

Ai(x + dx) Ai(x + dx) =

Ai(x) + Ai

xj dxj

Ai(x) + Ak(x) ikjdxj

=

Ai

xj Ak(x) ikj

dxj .

Esta resta es un diferencial covariante que es un vector y que se escribe DA i(x).Por tanto, con (1.84):

DAi(x) =

Ai

xj Ak(x)ikj

dxj =

Ai

xj + Ak(x)

ikj

dxj .

b.Finalmente, conviene retornar a la nocion de derivacion, considerando estavez el comportamiento del vector completo A= ajA

j , no solo de sus componentesAj . Derivando respecto a s, que es el parametro de la curva:

dA

ds =aj

dAj

ds +

dajds

Aj .

Como se ve, el cambio en el vector proviene de la variacion intrnseca de lascomponentes Aj y del cambio de magnitud y direccion de los vectores de la baseaj. Reemplazando dA

j de (1.70):

dA

ds = aj

dAj

ds +

dajds

Aj =aj

DAj

Ds

j

lk

Al

dxk

ds

+

dalds

Al

= aj DAj

Ds + Al dal

ds aj jlkdxkds = aj DAjDs + Aj DajDs. (1.87)

Es decir:dA

ds =

D

Ds(ajA

j).

De modo que la derivada ordinaria del vector completo es identica a su derivadacovariante. Bajo trasplante paralelo dA= DAj =Daj = 0, de modo que de (1.87)los cambios daj y dA

j , en un vector de la base y en la componente de un vector,bajo trasplante son:

dal = aj

j

lkdxk y dAj =

j

lkAldxk


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c.Si se modifica la ultima ecuacion escribiendo:

dAj = jlk

Aldxk + j ldx

l,

se sigue, dividiendo por ds y con A l = xl:

xj + jlkxldxk j lxl = 0,coincidente con la trayectoria de una partcula cargada en un campo electromagneticosi j l es el tensor de campo electromagnetico. Que implicaciones tiene esta modi-ficacion?

1.7.4. Divergencia

La divergencia covariante de un vector contravariante puede calcularse apartir de (1.67), mediante la contraccion de los ndices i y :

Ai;i = Ai,i+ A

ii

.

Reemplazando (1.54) en el ultimo termino se obtiene:

Ai;i = Ai,i+

ii

A =Ai,i+

A|g| |g|x

=Ai,i+ Ai|g|

|g|xi

= 1|g|

|g|A

i

xi + Ai

|g|xi

,

que se sintetiza en:

Ai;i = 1|g| xi (|g|Ai) . (1.88)

Facilmente se demuestra que Ai;i es un invariante escalar; en efecto, de la reglade transformacion (1.66) con i= j :

Ai;i =xi

x

x

xiA; =

A

; = (

A

); =A;.

La divergencia de un tensor de segundo orden, doblemente contravariante,se evalua de la primera de las ecuaciones (1.74) con j = k:

Tij;j =Tij,j+ T

i jj

Tj ij

.

Tomando en cuenta (1.54) se sigue:

Tij;j = 1

|g|

xj(|

|g|Tij) + Tj ij

.


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Si el tensor es antisimetrico: Tj =Tj y como ij

=

ij

resulta que

Tj ij

es identicamente cero, de modo que :

Tij;j = 1

|g|

xj(||g|T

ij).

La derivada covariante de un escalar coincide con su derivada parcial. Estoes, si = , entonces:

xi =

xjxj

xi o tambien: ,i =

xj

xi,j,

que es la regla de transformacion de un vector covariante. As pues, ;j = ,j .

1.7.5. Rotacional

El rotacional de un vector covarianteAi se define como (Rot A)ij =Ai;j Aj;i,siendo, por tanto, un tensor antisimetrico de segundo orden. Reemplazando (1.64):

(Rot A)ij =Ai;j Aj;i =

Ai,j A ij

Aj,i A ji = Ai,j Aj,i.El rotacional se realiza solo sobre componentes covariantes de un vector. Ademas,

si Ai = ,i entonces:

Rot grad =Ai,j Aj,i = ,ij ,ji = 0.

Puede tambien demostrarse que Div Rot A= 0

1.7.6. Laplaciano

Si en (1.88) se hace A

i

= g

ij

,j se obtiene el Laplaciano de la funcion escalar, esto es:

Ai;i = 1|g| xi (|g|gij,j) = Lapaciano . (1.89)

1.8. Tensor de Riemann-Christoffel

Dado un N-espacio con metrica conocida como obtener informacion que permitasaber si la ecuacion de la lnea que conecta dos puntos corresponde a una recta en unespacio euclidiano? Es sabido que la ecuacion de una recta en un espacio euclidianopuede tomar formas tan complejas en algun sistema de coordenadas que sea difcilreconocer en ella la recta.


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Dicho de otro modo como reconocer un espacio donde en principio no existela recta euclidiana? En principio quiere decir: descontando la presencia de unacurvatura aparentecomo en el cilindro o el cono; es decir como saber si un espacioes intrnsecamenteno euclidiano?

La geometra diferencial tiene para ello una respuesta elaborada por Riemann a

mitad del siglo XIX, basada en la definicion de un tensor de curvaturaque permitesaber si un espacio es o no euclidiano, independientemente del sistema de coorde-nadasespecfico. Es un logro sin igual para la geometra y ademas provee los criteriosde los que Einstein parte para elaborar su teora del espacio-tiempo curvado por lamateria.

Los teoremas usuales del calculo diferencial aseguran que la doble derivacionparcial de una funcion de las coordenadas es conmutativa, es decir Ai,jk = A

i,kj .

La existencia y la continuidad deAi,jk yAi,kj son suficientes para que sean iguales.

Aqu nos importa saber si la conmutacion se aplica tambien a la doble derivacioncovariante.

Si en (1.73) se haceTij =Bi;j y usando primero (1.73) y luego (1.67) se obtiene:

Ti

j;k = (Bi

;j);k = (Bi

;j),k+ (B

;j) ik (Bi;) jk=

Bi,j+ B

ij

,k

+

B,j+ B j

ik

Bi,+ B i jk.Realizando la derivacion indicada en k se sigue:

Bi;jk = Bi,jk + B

,k

ij

+ B

ij

+ B,j

i,k

+ B

j

ik

Bi, jk B i jk.Intercambiando j y k en la expresion anterior y restandolas:

Bi;jk Bi;kj = B i

j,k i

k,j +

ji

k

ki

j= BRijk. (1.90)La doble derivacion covariante, en consecuencia, no es conmutativa. De acuerdo

con la regla del cociente, aplicada a (1.90), Rijk es un tensor de cuarto orden; sele conoce como tensor de Riemann-Christoffel y se define mediante la expresion:

Rijk = ij

,k

ik

,j

+ j

ik

k

ij

. (1.91)

En un sistema de coordenadas cartesiano (gij =ij) todas las derivadas del ten-sor metrico son nulas, por lo que tambien lo son todos los smbolos de Christoffel.En consecuenciatodaslas componentes del tensor de Riemann-Christoffel son nulas


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en un espacio euclidiano, que es el unico que admite un sistema de coordenadascartesiano en todo el espacio. Todas las componentes de este tensor seran cero encualquier otro sistema coordenado obtenido del cartesiano mediante una transfor-

macion y la derivacion covariante sera conmutativa en todos ellos. Puesto que

i

jk

no es un tensor, si todas sus componentes son cero en coordenadas cartesianas enun espacio euclidiano, no todas lo seran en otros sistemas coordenados en el mismoespacio. La condicion necesaria y suficiente para que un espacio sea euclidiano esRijk = 0. El siguiente teorema resume lo anterior:

Si para un cierto espacio las componentes del tensor metricogij asociados a un

sistema de coordenadas dado son tales que los smbolos de Christoffel ijk

pueden

expandirse en serie de Taylor alrededor de un punto, entonces la condici on necesariay suficiente para que el espacio sea intrnsecamente plano en alguna region vecinaal punto es que el tensor de Riemann-Christoffel se anule en la regi on que contieneel punto.(Craig, pag 317).

Puede demostrarse (ver Weinberg, pag. 133) que Rijkl es el unico tensor quepuede construirse con gij y sus primeras y segundas derivadas que es lineal en lasegunda derivada.

Si al menos algunas Rijk son diferentes de cero en algun sistema coordenado,se dira que el espacio es curvo. En este caso no es posible una transformacionde coordenadas que permita pasar a un sistema cartesiano; Rijk es, entonces, untensor que revela la curvatura intrnseca del espacioN-dimensional.

As pues, la ecuacion de campo que describe un espacio plano, euclidiano, encualquier sistema de coordenadas, es:

Rijk = 0. (1.92)

El tensor de Riemann-Christoffel completamente covariante se define como:

Rjk =giRijk.

Este tensor satisface las siguientes condiciones (vease Adler, seccion 5.3):

Antisimetra en cada una de las parejasy j k:

Rjk = Rjk = Rkj =Rkj. (1.93)

Simetra ba jo intercambio de la primera y segunda pareja de ndices:

Rjk = Rjk. (1.94)

Condicion cclica para los tres ultimos ndices:

Rjk+ Rjk+ Rkj = 0. (1.95)


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Observese quees el primer ndice en cada uno de los sumandos. Identidad de Bianchi:

Rjk;+ Rk;j+ Rj;k = 0 . (1.96)

Observese que la posicion deen cada uno de los sumandos de la identidadde Bianchi aparece inmodificada y que el orden de los ndices jk es cclico.

El numero de componentes de Rjk puede calcularse con facilidad: los dosprimeros ndices son antisimetricos de modo que dan lugar a (N2 N)/2 combi-naciones distintas, si N es la dimension del espacio. Lo mismo ocurre con los dosultimos ndices. En consecuencia, reducidos los dos primeros a un solo ndicea conel anterior numero de valores, y los dos finales a un ndice b con el mismo numerode posibilidades (b = a), el tensor de Riemann se reduce a una matriz cuadradasimetricade dimension a a= [(N2 N)/2] [(N2 N)/2]. As pues, el numerode elementos independientes es N(N 1)(N2 N+ 2)/8.

Pero ademas, para N 3, Rjk satisface N(N 1)(N 2)(N 3)/4! condi-ciones cclicas (1.95), lo que disminuye a N2(N2

1)/12 el numero de compo-

nentes independientes. La ecuacion (1.96) no es una condicion sobre el tensor deRiemann-Christoffel sino sobre sus derivadas y por ello no se incluye en la anteriorcontabilidad.

Para ilustrar la razon por la cual la doble derivacion covariante no es conmutativapodemos tomar en cuenta que cuando se traslada diferencialmente una funcion, laoperacion se realiza a lo largo de una geodesica. Esto significa que para trasladardiferencialmente una funcion dos veces, con un diferencial dx i y luego otro dxi, coni =j , el resultado depende del orden de la operacion. Esto se ilustra en forma claraen la superficie de una esfera, en la que la operacion que comienza en el punto O dalugar a dos funciones distintas en los puntosB yD, si se siguen los caminos OAB uOCD (correspondientes a porciones de crculo maximo), en vez de una sola funcionfinal. Este resultado se debe a la curvatura intrnseca de la superficie esferica. En

el caso de un plano, los dos caminos dan lugar a una figura cuadrada (cerrada), loque indica que el resultado de la traslacion por los dos caminos es el mismo.

1.8.1. Tensor de Ricci-Einstein

Se obtiene como resultado de la siguiente contraccion del tensor de Riemann-Christoffel:

R =Rii . (1.97)

Explcitamente:

R =

,

,

+

. (1.98)


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B

A

O

C

D

Figura 1.4: La doble derivacion covariante no es conmutativa

El tensor de Ricci-Einstein es simetrico:R =R . El escalar de curvaturasedefine como:

R= g

R =R

=R

. (1.99)El tensor de Ricci-Einstein puede visualizarse como una matriz cuadrada NN

simetrica. Los elementos distintos son (N2 + N)/2. En el espacio-tiempo son 10.

1.8.1.1. Superficies curvas

Para N = 2 es directo ver que hay un solo elemento distinto del tensor deRiemann-Christoffel:R1212.Es facil demostrar que el tensor de Riemann-Christoffelse escribe en este caso como:

RRC=aiajakalRijkl = (a1a2 a2a1)(a1a2 a2a1)R1212.

El tensor de Ricci-Einstein, obtenido de R = Rii , tiene la forma:

RRE= (g11a2a2 g12a2a1 g21a1a2+ g22a1a1)R1212.

y el escalar de curvatura es:

R= (g11a2 a2 g12a2 a1 g21a1 a2+ g22a1 a1)R1212 = 2(g11g22 g212)R1212.

El desarrollo siguiente se restringe a superficies en las que existen coordenadascurvilneas ortogonales, es decir, donde g12 = g

12 = 0, g11 = 1/g11, g22 = 1/g

22.Puede demostrarse que:

1

11

=

g11,12g11

,

1

12

=

g11,22g11

,

1

22

= g22,1

2g11,


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211

= g11,2

2g22,

212

=

g22,12g22

, 222

=

g22,22g22

,

y en consecuencia:

R1212

= g11

2 g11,2g11 ,2 + g22,1g11 ,1+

1

4

(g11,2)

2

g11 (g22,1)

2

g22+

g11,1g22,1g11

g22,2g11,2g22

=

1

4

2(g11,22+ g22,11) (g11,2)

2

g11 (g22,1)

2

g22 g11,1g22,1

g11 g22,2g11,2

g22

,

R11= R1212

g22, R22=

R1212g11

, R= 2R1212g11g22

.

Para una superficie esferica de radio a con coordenadas angulares (u1, u2) =(, ), es cierto quedl2 =a2(d2+ sen 2 d2), por lo cualg11= a

2 yg22= a2 sen 2,

de donde se sigue que R1212=

a2 sen 2, R11=

1,R22=

sen 2 y R =

2/a2.

La curvatura gaussiana de la superficie se define como K =R/2, por lo queK= 1/a2.

Para una superficie cilndrica de radio a con coordenadas (u1, u2) = (, z), ypuesto quedl2 =a2d2 + dz2, se sigue queg11= a

2 yg22= 1, de dondeR1212 = 0,R11 = R22 = R = 0. La curvatura intrnseca es nula. Vale decir que la geometrasobre la superficie de un cilindro es euclidiana.

1.8.2. Tensor de Einstein

De la identidad de Bianchi (1.96), multiplicando por gj , teniendo en cuentaquegj;m= 0 y la antisimetra en j del ultimo termino en la identidad de Bianchi,se sigue:

(gj

Rjk);+ (gj

Rk);j (gj

Rj);k = 0.El primer y tercer parentesis corresponden al tensor de Ricci-Einstein, de modo

que se obtiene:

Rk;+ Rjk;j R;k = 0

y multiplicando porgk :

(gkRk);+ (gkRjk);j (gkR);k = 0, esto es:

R;+ Rjkk;j Rk;k = 0; ademas: (1.100)

Rjkk;j = Rkjk;j = Rj;j = Rk;k, por lo cual (1.100) toma la forma :


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R; 2Rk;k = 0; multiplicando porg :

Rk;k 1

2(gkR);k = 0 o:

Rk 1

2gkR

;k

= 0.

En consecuencia, el tensor de Einstein, definido como:

Gk =Rk 12

gkR . (1.101)

tiene divergencia covariante nula:

Gk;k = 0 . (1.102)

1.9. Densidad tensorial

La definicion de tensor permite una generalizacion hacia la nocion de densidadtensorial. Para motivarla puede recordarse que la regla (1.35) de transformacion de

gij puede expresarse en la forma:

gkl = xi

xkgij

xj

xl.

En forma matricial:g = JgJ, dondeJes la matriz con elementos xi/xk y J sutraspuesta. Tomando el determinante y teniendo en cuenta que|J| = |J|:

|g| = xx

2 |g| = xx2 |g|, o tambien: (1.103)

|g| =

x

x 2

|g| =

x

x 2

|g|.

Se ha tenido en cuenta que de la expresion:

xi

xjxj

xl =il se sigue:

xx xx

= 1.En consecuencia, el determinante (1.103) del tensor metrico no es un escalar,

sino que sigue una regla de transformacion que contiene J. Por definicion, unadensidad escalar de peso2 es la que se transforma como|g| en (1.103). En formamas general, una densidad escalar de peso W se transforma como:

=

x

x

W

=

|g||g|

W/2. (1.104)


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En general, una densidad tensorialT de pesoW se transforma de acuerdocon la regla:

T =

x

x

W

x

xx

xx

x T (1.105)

Resulta as que un tensor ordinario es una densidad tensorial de peso cero.Teniendo en cuenta (1.103), la anterior definicion puede escribirse:

T =

|g||g|

W/2x

xx

xx

x T (1.106)

o tambien:

[|g|W/2T ] = x

xx

xx

x [|g|W/2T]

De modo que si T es una densidad tensorial de peso W, entoncesgW/2T

es un tensor de peso cero. Las reglas de suma, producto, contraccion, etc, sondirectamente extensibles a densidades tensoriales.

1.9.1. Aplicaciones de la densidad tensorial

El smbolo de Levi-Civita tiene tantos ndices como la dimension del espacioy es completamente antisimetrico. El desarrollo siguiente se propone para un 4-espacio aunque los resultados tienen validez en el N-espacio. Se asumira que estesmbolo tiene la siguiente regla de transformacion:

=b x

xx

xx

xx

x =b

xx .

El ultimo termino proviene de la definicion del determinante en 4 dimensiones deuna matriz A con elementos aen teminos del smbolo de Levi-Civita:

|A| =aaaa.

Para que este smbolo sea isotropico, esto es: = , es necesario queb|x/x| = 1, es decir, b = |x/x|1 =

|g|/|g|, de acuerdo con (1.103). As, en

la ecuacion: |g|

=

x

xx

xx

xx

x

|g|

,

resulta que es una densidad tensorial de peso1 y /|g| es un tensor

de peso cero.Puede definirse

=gagbgcgdabcd donde es una densidad tensorial

de peso 1 y

|g|abcd es un tensor de peso cero.


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El volumenN-dimensional se define como:dV =ijkda

idbjdck donde dai son las componentes de la primera arista, dbj de la segunda, etc, en elsistema coordenado S. En el sistema coordenado S:

dV = ijkdaidbjdck

=

xx xaxi xbxj xcxk xixl xjxm xkxn abcdaldbmdcn

=

xx lmndaldbmdcn = xx

dV = |g|/|g|dV.Por lo tanto el invariante de volumen (escalar) es

|g|dV = |g|dV. El volumendVes una densidad escalar de orden 1.

El teorema de Gauss (o teorema de la divergencia) para un tensorAi en elN-espacio es:

|g|Ai;i dV =

|g|Aidi.

dondedi es el elemento diferencial de superficie, una cantidad (N1)-dimensional.Para un campo vectorialAi, en acuerdo con (1.88), el teorema de la divergencia

toma la forma: |g|Ai;jdV =

|g|Ai

,i

dV =

|g|Aidi.

Ejercicio:

Evaluar la derivada covariante de un campo escalar de peso W.La regla de transformacion (1.104) de un campo escalar de peso W puedeexpresarse como gW/2 = gW/2. Es cierto, ademas, que

xi(gW/2) =

x

xi

x(gW/2).

Realizando las derivaciones y con |g|/x

= 2|g|l

lj

se obtiene:

xi + W

lli

=

x

x

W

x + W

ll

xxi

.

La anterior es la regla de transformacion de una densidad vectorialde pesoW,deducible de (1.105), si la derivada covariante de la densidad escalar de pesoW es:

;i = ,i+ W lli

. (1.107)

La regla de transformacion de ;i es, entonces:

;i =

x

x

W x

xi;.

Cual es la regla de transformacion de una densidad vectorial, la de una den-sidad tensorial?


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1.10. Miscelanea

a. La transformacion entre sistemas cartesianos es lineal.

Para sistemas cartesianos los coeficientes metricos son constantes, por lo que lossmbolos de Christoffel son nulos. En la regla de transformacion (1.58) esto implica

que:2xi

xx = 0,

cuya solucion es lineal: x i =ai + bijxj .

b. La derivada covariante del determinante|g| es cero.De acuerdo con (1.103),|g| es una densidad escalar de peso2; as, de (1.107)

con = |g| y W = 2:|g|;i = |g|,i 2|g|

lli

,

y esta cantidad es cero de acuerdo con (1.54).

c. Coordenadas geodesicas

Supongase que en un cierto sistema coordenado S los smbolos de Christoffelson diferentes de cero en todo el espacio. Existe alg un S donde estos smbolossean cero en unpuntox i =pi? S. Lo que no es posible es que sean cero en todoelespacio, si este es curvo.

Para demostrarlo consideremos como regla de transformacion entre S y S lasiguiente expansion hasta segundo orden:

xi =pi + (xi qi) +12

ai(x q)(x q). (1.108)

El puntoxi =qi enScorresponde axi =pi enS. La constanteai es simetricaen los ndices .

Derivando (1.108) respecto a xj y evaluando en xi =qi se obtiene:xi

xj

q

=ij . (1.109)

Derivando (1.108) respecto a x j :

ij = xi

xj + ai(x

q) x

xj. (1.110)

Evaluando (1.110) en xi =qi: xi

xj

q

=ij . (1.111)


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Derivando (1.110) respecto a x k:

0 = 2xi

xjxk + ai

(x q)

2x

xjxk +

x

xjx

xk

. (1.112)

Evaluando (1.112) en xi

=qi

: 2xi

xjxk

q

+ ai

x

xj

q

x

xk

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