Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013 4 / 7

Menentukan Relasi Rekursi Linier Homogen dengan

Koefisien Konstan

Contoh 1

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2, dengan 𝑎0 = 2,

dan 𝑎1 = 7.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 +

2𝑎𝑛−2.

Pindahkan semua suku ke ruas kiri.

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

Karena relasi di atas memiliki derajat 2, maka bentuk polinomial

derajat 2 yang bersesuaian dengan masing-masing suku dari relasi

tersebut, perhatikan setiap koefisien dan tanda tiap suku.

𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 − 2𝑎𝑛−2 = 0

↓

𝑟2 − 𝑟 − 2𝑟0 = 0

𝑟2 − 𝑟 − 2 = 0

Persamaan di atas disebut persamaan karakteristik, dan memiliki 2

akar berbeda yaitu 𝑟1 = 2 dan 𝑟2 = −1 yang disebut akar-akar

karakteristik.

Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar

berbeda adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛

Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 2𝑛 + 𝑐2 ∙ (−1)

𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.

Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013 5 / 7

Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang

diketahui.

𝑎0 = 2 = 𝑐1 ∙ 20 + 𝑐2 ∙ (−1)

0

2 = 𝑐1 + 𝑐2 .................................................... (1)

𝑎1 = 7 = 𝑐1 ∙ 21 + 𝑐2 ∙ (−1)

1

7 = 2𝑐1 − 𝑐2 ................................................... (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 3 dan 𝑐2 = −1.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 + 2𝑎𝑛−2 adalah

𝑎𝑛 = 3 ∙ 2𝑛 − (−1)𝑛.

Contoh 2

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2, dengan

𝑎0 = 1, dan 𝑎1 = 6.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2

↓

𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 9𝑎𝑛−2 = 0

↓

𝑟2 − 6𝑟 + 9 = 0

Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik

kembar yaitu 𝑟1 = 𝑟2 = 3.

Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 2 akar

kembar adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛𝑟1

𝑛

Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013 6 / 7

Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 3𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑛(3)

𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2 bilangan real.

Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang

diketahui.

𝑎0 = 1 = 𝑐1 ∙ 30 + 𝑐2 ∙ 0(−1)

0

1 = 𝑐1 ......................................................... (1)

𝑎1 = 6 = 𝑐1 ∙ 31 + 𝑐2 ∙ 1(3)

1

6 = 3𝑐1 + 3𝑐2 .................................................. (2)

Persamaan (1) dan (2) dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1 dan 𝑐2 = 1.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 9𝑎𝑛−2 adalah

𝑎𝑛 = 3𝑛 + 𝑛 ∙ 3𝑛.

Contoh 3

Tentukan solusi dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3,

dengan 𝑎0 = 2, 𝑎1 = 5 dan 𝑎2 = 15.

Jawab

Bentuk persamaan karakteristik dari relasi rekursi tersebut.

𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 + 6𝑎𝑛−3

↓

𝑎𝑛 − 6𝑎𝑛−1 + 11𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3 = 0

↓

𝑟3 − 6𝑟2 + 11𝑟 − 6 = 0

Relasi Rekursi – @OnggoWr – 2013 7 / 7

Persamaan karakteristik di atas memiliki akar-akar karakteristik

berbeda yaitu 𝑟1 = 1, 𝑟2 = 2 dan 𝑟3 = 3.

Bentuk solusi umum dari relasi rekursi yang memiliki 3 akar

berbeda adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 𝑟1𝑛 + 𝑐2 ∙ 𝑟2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 𝑟3𝑛

Sehingga solusi umum dari relasi rekursi di atas adalah

𝑎𝑛 = 𝑐1 ∙ 1𝑛 + 𝑐2 ∙ 2

𝑛 + 𝑐3 ∙ 3𝑛

Untuk suatu 𝑐1, 𝑐2, 𝑐3 bilangan real.

Untuk mendapatkan solusi khusus, gunakan nilai awal yang

diketahui.

𝑎0 = 2 = 𝑐1 + 𝑐2 + 𝑐3

𝑎1 = 5 = 𝑐1 + 2𝑐2 + 3𝑐3

𝑎2 = 15 = 𝑐1 + 4𝑐2 + 9𝑐3

3 persamaan di atas dapat diselesaikan dengan metode

substitusi/eliminasi untuk mendapatkan 𝑐1 = 1, 𝑐2 = −1 dan 𝑐3 = 2.

Sehingga solusi khusus dari relasi rekursi 𝑎𝑛 = 6𝑎𝑛−1 − 11𝑎𝑛−2 +

6𝑎𝑛−3 adalah 𝑎𝑛 = 1 − 2𝑛 + 2 ∙ 3𝑛.

Latihan

Tentukan solusi khusus dari relasi-relasi rekursi berikut ini.

1. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1, 𝑎0 = 3

2. 𝑎𝑛 = 5𝑎𝑛−1 − 6𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 1, 𝑎1 = 0

3. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−1 − 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 6, 𝑎1 = 8

4. 𝑎𝑛 = 4𝑎𝑛−2, 𝑎0 = 0, 𝑎1 = 4

5. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 𝑎𝑛−2 − 2𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 3, 𝑎1 = 6 dan 𝑎2 = 0

6. 𝑎𝑛 = 2𝑎𝑛−1 + 5𝑎𝑛−2 − 6𝑎𝑛−3, 𝑎0 = 7, 𝑎1 = −4 dan 𝑎2 = 8