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. Triángulos: clasificación
Propiedades básicas importantes En todo triangulo se verifica: 1.- la suma de los ángulos interiores es 180º 2.- la suma de los ángulos exteriores es 360º 3.-un Angulo exterior es siempre igual a la suma de los interiores no adyacentes. 4.-en un triangulo rectángulo la suma de los dos ángulos agudos es 90º. 5.-en un mismo triangulo a mayor lado se opone mayor Angulo. 6.-la suma de las medidas de dos lados es siempre mayor que el tercer lado. 7.- la diferencia de las medidas de dos lados es siempre menor que el tercer lado. Postulados de congruencia de triángulos (igualdad) Dos o más triángulos son congruentes ssi: 1.- tienen sus tres lados respectivamente congruentes (L.L.L)
2.- dos lados y el Angulo comprendido congruente (L.A.L
3.- dos Angulo y el lado común congruente (A.L.A)
IMPORTANTE: LA RELACION DE CONGRUENCIA ES UNA RELACION DE EQUIVALENCIA, esto es porque es 1º reflexiva: todo triangulo es congruente con el mismo. 2º simétrica: si un triangulo es congruente con otro, este ultimo es congruente con el primero. 3ºtransitiva: si un triangulo es congruente con un segundo, y este es a la vez congruente con un tercero, entonces este ultimo es congruente con el primero. Aplicando la congruencia de triángulos se pueden establecer otras relaciones métricas en los triángulos y cuadriláteros. 1.-las alturas en un triangulo equilátero son congruentes. 2.- las alturas a los lados iguales en un triangulo isósceles son congruentes. 3.- la altura a la base en un triangulo isósceles divide al triangulo en dos triángulos rectángulos congruentes.
4.-las tres alturas de un triangulo equilátero divide a este en seis triángulos rectángulos congruentes. 5.-los ángulos agudos de los triángulos anteriormente mencionados están en la razón 2:1 6.-las diagonales de un cuadrado son congruentes.miden cada una el lado por raíz de dos. 7.- las diagonales de un rectángulo son congruentes. 8.-las diagonales de un cuadrado se dimidian perpendicularmente. 9.- las diagonales de un rectángulo solo se dimidian. 10.-las diagonales de un rombo se cortan perpendicularmente. 11.-cada una de las diagonales de un rombo divide a la otra en dos trazos congruentes. Además se verifica: 12.-Teorema de la mediana.-todo trazo que une los puntos medios de dos lados en un triangulo es paralelo y equivale a la mitad del lado opuesto.
13.- si en el triangulo anterior se traza la altura al lado sobre el cual se ha trazado la mediana, entonces la altura se dimidia.
14.-las transversales de gravedad se cortan en la razón 2:1.
15.- EN TODO TRIANGULO SE VERIFICA: el área es igual a la base por la altura a la base.
A=2
*
2
*
2
* cba hchbha==
16.-Las simetrales se cortan o concurren a un mismo punto denominado circunscentro. Genera la circunferencia circunscrita. (El circunscentro puede ser un punto interior o exterior al triangulo) 17.- las tres bisectrices concurren o se cortan en un mismo punto denominado incentro, que es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo. (El incentro es siempre un punto interior al triangulo) 18.-las tres transversales de gravedad se cortan o concurren en un mismo punto siempre interior denominado baricentro. 19.-las rectas notables trazadas a la base de un triangulo isósceles son congruentes. 20, Las rectas notables trazadas sobre cada uno de los lados de un triangulo equilatero son todas congruentes. 21.-los puntos notables en el triangulo equilátero son todos coincidentes. 22.-en todo triangulo equilátero las circunferencias inscrita y circunscrita son concéntricas (de centro común)
Relaciones métricas generales: Para cualquier tipo de triangulo. 1.- teorema general de Pitágoras: el cuadrado del lado opuesto a un Angulo agudo equivale a la suma de los otros dos lados menos el doble de uno de ellos por la proyección del otro sobre el.
Si el Angulo es obtuso la proyección se suma: esto es,
2.- una de las alturas HC =
a
2))()(( cpbpapp −−− donde p=
2
cba ++
Y axial cada una de las otras alturas. 3.-el área esta dada por A= ))()(( cpbpapp −−− formula de Heron.- 4.- el radio de la circunferencia inscrita esta dada por:
Rp
Ai =
5.- el radio de la circunferencia circunscrita esta dada por:
RA
cbae *4
**
6.-Teorema de los senos:γβα sen
c
sen
b
sen
a ==
7.-teorema de los cosenos: a αcos2222 −+= cb 8.- el área también se puede calcular atendiendo a la formula trigonometrica:
A = αsencb **2
1 y las otras dos variaciones de la misma.
8.- por otro lado también se puede establecer que:
γβα sen
c
sen
b
sen
a == =2Re
Formulas particulares. Triangulo rectángulo: 9.- teorema particular de Pitágoras. A 222 cb +=
Teoremas de Euclides: h2 =p*q
a2 =c*q b2 =c*p
h=c
ba *
además en el triangulo rectángulo:
senα =c
a =cosβ
cosα =c
b =senβ
tagα =c
a =cotgβ
edemas :sen2 +cos2 =1
10.-teorema de la bisectriz interior (valida para cualquier tipo de triangulo).
n
a
m
b =
n
a
nnm
ba =++
n
a
c
ba =+
11.-Teorema de la bisectriz exterior:
p
a
pc
b =+
Circulo de Apolonio.
12.-Semejanza. Dos o mas triángulos son semejantes si se cumple que 1º.los ángulos son respectivamente iguales 2º los lados son respectivamente proporcionales.
''' c
c
b
b
a
a ==
13.-teorema general de Thales.
14.- caso particular.
15 en el caso particular de la figura que se indica la proporción correcta es:
16.- un caso especial son las diagonales de un trapecio
Elementos en el círculo.
Distancia entre centros.
Arco: porción de circunferencia: se mide en grados (medida angular) Se mide en unidades de longitud (Medida lineal). Ángulos. Central: mide lo mismo que el arco.
Inscrito .mide la mitad del arco subtendido
Interior. Mide el promedio de los arcos subtendidos por los lados y las prolongaciones del mismo
Exterior: mide la sem.-diferencia de los arcos subtendidos por las intersecciones de los lados del Angulo con la circunferencia-
División de trazos en la circunferencia; Cuerdas
Secantes.
Tangente (potencia de un punto a una circunferencia)
Espero que esto no se le olvide, memorícelo y discrimine correctamente cuando lo debe aplicar. En matemática no es recomendable aprender cosas de memoria, lo importante es deducir y aplicar, pero hay relaciones que por el uso frecuente se memorizan y ayudan mucho. ATTE. MONTOYA.-