INSTITUCIÓN EDUCATIVA SOLEDAD ROMAN DE NÚÑEZDEPARTAMENTO DE CIENCIAS

ASIGNATURA FÍSICAProf: Delci Pacheco Ch.

Variación lineal

Ya vimos que en la variación proporcional directa, cuya ecuación es Y = a X cuando X = 0 tenemos, Y = 0, y a si , la gráfica Y – X es una recta que pasa por el origen. Por otra parte, hay casos en que esto no sucede, es decir, cuando X = 0 tenemos Y no es igual a cero, como vemos en el ejemplo siguiente.

Experimento con un resorte: Consideremos un resorte helicoidal como el de la figura 2-6ª, cuya longitud es de 6 cm. Al colocar en su extremo una masa M, su longitud L aumenta ( Fig. 2-6b). La tabla siguiente muestra los valores de L para diversos valores de M, obtenidos en el mismo experimento.

M(g) 0 100 200 300 400L(cm) 6 9 12 15 18

Con estos datos construimos el gráfico de la figura 2-7. obsérvese que cuando M = 0, entonces L = 6cm, y así la grafica L – M es una recta que no pasa por el origen. En consecuencia la relación entre L y M no es una proporción directa

• Qué es una variación lineal . Siempre que representemos gráficamente los valores de dos

variables y obtengamos una gráfica rectilínea que no pase por el origen, diremos que ambas variables están relacionadas por una variación lineal. Así, en el ejemplo del resorte podemos decir que L varía linealmente con M.

Para obtener la relación matemática entre L y M, basta observar que si la recta de la figura 2-7 tuviese todos sus puntos desplazados 6 cm hacia abajo, pasaría por el origen. En este caso, la relación entre L y M seria L = 0.03 M, donde 0.03 cm/gr es la inclinación o pendiente de la recta. Como la gráfica de la figura 2-7 tiene sus puntos situados 6 cm arriba de la recta que pasa por el origen, es obvio que los valores de L estarán dados por L = 0.03M+6

Esta es, por lo tanto, la relación matemática entre L y M. Obsérvese que 0.03 es la pendiente del gráfico L-M, y la constante 6 representa el valor inicial de L, es decir, el valor de L cuando M = 0

Fig. 2-7

• Generalización . Acabamos de presentar un ejemplo de dos magnitudes ligadas por una variación lineal. De modo genérico, siempre que dos magnitudes cualesquiera, X y Y, se relacionen de manera que el gráfico Y-X sea una recta que no pase por el origen, como en la figura 2-8, podremos concluir que:

1.Y varía linealmente con X 2.La relación matemática entre Y y X es Y = aX

+ b3.La constante a está dada por la pendiente de

la gráfica Y – X, y b es el valor de Y cuando X = 0

Ejercicios

- Analizando la tabla con los valores de M y L presentada al inicio de esta sección, diga:a) Cuándo se duplica el valor de la masa M

suspendida del resorte (por ejemplo, de l00 g a 200 g), ¿se duplicará el valor de la longitud L del resorte?

b) Y cuando se triplica el valor de M, ¿se triplicará L?

c) Entonces, ¿podemos decir que L M?

- a) Observando el gráfico de la figura 2-7, ¿por qué podemos afirmar que L no es directamente proporcional a M?

b) ¿Cómo se denomina la relación entre L y M?

- En el gráfico de la figura 2-7, considere el primero y el último puntos señalados.á).Para estos puntos, ¿cuál es el valor de M? y

el de L?b) Con base en estos valores calcule la pen-

diente de la gráfica

- Se comprobó que entre dos magnitudes X y Y existe la relación matemática siguiente: Y = 3x + 4a) ¿Cómo se denomina este tipo de relación entre X y Y?b) ¿Cuál es el valor de Y cuando X = 0?c) Si trazáramos el gráfico Y-X,¿Cuál sería su forma?d) ¿En qué punto cortaría esta gráfica al eje Y?e) ¿Cuál sería el valor de la pendiente?

- Observe la gráfica ilustrada y diga

a)¿Es la relación entre las magnitudes Y y X del tipo Y = aX + b?b)Escoja dos puntos cualesquiera del gráfico. Determine para tales puntos los valores de X y de Y, y calcule la pendientec)Cuál es el valor de la constante a? ¿y el de b?d)Escriba la relación matemática entre Y y X?e)Construye la gráfica de Y = 3X2

f)Construye la gráfica de Y = X3

Relaciones inversasHay casos de relación entre dos variables donde el aumento de una ocasiona la reducción de la otra. En otras palabras, cuando X aumenta, Y disminuye. Vamos a estudiar dos casos en que esto sucede.

Proporción inversa.Consideremos dos magnitudes , X y Y, tales que:

al duplicar X el valor de Y quede dividido entre 2

al triplicar X el valor de Y resulte dividido entre 3

al cuadruplicar X el valor de Y quede dividido entre 4, etc.

Cuando esto ocurre decimos que “Y es inversamente proporcional a X” o bien, “Y es proporcional al inverso de X”.Por lo tanto, podemos escribir

y, al introducir la constante de proporcio-nalidad a, tenemos que

• EJEMPLO 1Supongamos que una persona realiza un viaje por automóvil en una distancia de 180 km. entre una ciudad y otra. Sea X la velocidad del auto y Y, el tiempo transcurrido en el viaje. Es fácil concluir que:

Si X = 30 km/h, entonces Y = 6hsi X = 60 km/h, entonces Y = 3 hsi X = 90 km/h, entonces Y = 2h, etc.

Vemos que al duplicar X, el valor de Y queda re-ducido a la mitad; al triplicar X, el valor de Y queda dividido entre 3, etc. Por lo tanto, pode-mos decir que: “el tiempo del viaje entre las dos ciudades es inversamente proporcional a la velocidad desarrollada”.

Si trazamos el gráfico Y - X con los datos ob-tenidos resultará la curva de la figura 2-15. Siempre que representemos gráficamente la relación , encontraremos una curva de este tipo, la cual se conoce como hipérbola.

Ejercicio:Observando la siguiente tabla diga:a. Cuando se duplica el valor de X entre cuánto queda dividido el valor de Y?b. Y cuando se triplica el valor de X qué sucede con el valor de Y?

X 1 2 3 4 5Y 30 15 10

c. Qué tipo de relación existe entre Y y X?. Con base en la respuesta complete la tabla.d. Después de completar la tabla trace la gráfica, ¿Cómo se llama la curva?