Rel Met Rice

8/16/2019 Rel Met Rice

http://slidepdf.com/reader/full/rel-met-rice 1/15

Geometrie - clasa a VII-a prof. Silvia Doandeş

Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

• Proiecţii ortogonale pe o dreaptă• Teorema înălţimii• Teorema catetei

• Teorema lui Pitagora• elaţii metrice în triung!iul dreptung!ic "aplica iiț

• Terenul pentru grădină "problemă rezolvată• Teorema lui Pitagora "aplica ii practiceț

• eciproca teoremei lui Pitagora(lucru pe grupe)• eciproca teoremei lui Pitagora "aplica iiț

• Schemă recapitulativă

• Test• Paradoxul lui Pitagora

#




Proiec ii ortogonale pe o dreaptăț

1) $are dintre punctele %&'&$&D repre(intă proiec ia punctului ) pe dreapta d *ț

pr d ) + ...

) $onstrui i proiec iile punctelor %& '& $& D& , pe dreapta a i proiec iile lui ) pe dreptele d i gț ț ș ț ș

!) $onstrui i proiec iile segmentelor %'/& $D/& ,0/& G1/& )2/ pe dreapta d în desenul de mai 3ț ț0olosind ca unitate de măsură lungimea laturii pătratului de re ea& afla i lungimile acestor proiec ii.ț ț ț

") $are dintre afirma iile următoare sunt corecte *ț

Proiec ia unui punct pe o dreapta esteț Proiec ia unui segment pe o dreapta esteț a# o linie4 a# o lungime4 b# o lungime4 b# măsura unui segment4 c# un punct4 c# întotdeauna un segment4 d# un segment. d# un segment sau un punct.

$) 5ntr-un sistem de a6e ortogonale x7 y se consideră punctele %8#& 9:& '89& #:& $8;& #: i D8- <& - 9:șPreci(a i care sunt proiec iile segmentelor %'/ i $D/ pe a6ele de coordonate.ț ț ș

%) Pentru triung!iul %'$ 8dreptung!ic în %: din desenul alăturata) proiec ia punctului % pe ipotenu(a '$/ este =țb) proiec ia punctului ' pe cateta %$/ este =țc) proiec ia punctului $ pe cateta %'/ este =țd) proiec ia catetei %'/ pe ipotenu(a '$/ este =țe) proiec ia catetei %$/ pe ipotenu(a '$/ este =ț

&) Determina i lungimile proiec iilor segmentelor %D/& $D/ i %$/ pe dreapta suport a >a(ei mari ț ț ștrape(ului.

<




T' R' * +,-./0 00

'nunţ5ntr-un triung!i dreptung!ic& lungimea înălţimii din v?rful drept este mediageometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenu(ă.

'xerciţii1)Pentru triung!iurile dreptung!ice de mai 3os& aflaţi lungimea înălţimii din v?rful drept.

)Pentru triung!iurile dreptung!ice de mai 3os& aflaţi lungimile notate cu litere.

!) $alculaţi lungimea înălţimii corespun(ătoare ipotenu(ei.

") 5n figura alăturată avem un dreptung!i %'$D&D,⊥%$& ,∈8%$:.

Dacă 7' + @ cm şi #A

AE EC

= & atunci aflaţi D,.

$)$alculaţi ariile patrulaterelor din figurile următoare.%'$D + trape( %'$D + rom>

9

1 (1)

1 (%)




T' R' * 2*T'T'0

'nunţ5ntr-un triung!i dreptung!ic& lungimea unei catete este media geometrică alungimii ipotenu(ei şi a lungimii proiecţiei ortogonale pe ipotenu(ă.

'xerciţii1) %plicaţi teorema catetei şi aflaţi lungimile notate cu litere.

)Pentru triung!iurile dreptung!ice de mai 3os& aflaţi lungimile notate cu litere.

!) Triung!iul %'$ este isoscel de >a(ă '$/. %D⊥'$& D∈8'$:& D,⊥%$& ,∈8%$:. $alculaţi perimetrul triung!iului %'$& ştiind că %D + #; cm şi %, + B cm.

") 0olosiţi teorema catetei şi teorema înălţimii pentru a calcula perimetrele şi ariile patrulaterelor dinfigurile următoare.

%'$D + dreptumg!i %'$D + trape(

A

1 3 m & m

c b

! cm

" cm

a

c




Teorema lui Pitagora

'nunţ5ntr-un triung!i dreptung!ic& suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimii ipotenu(ei.

'xerci iiț

1) %flaţi lungimile ipotenu(elor din figurile de mai 3os.

) %flaţi lungimile catetelor din figurile de mai 3os.

!) 0olosind ca unitate de măsură lungimea laturii pătratului de reţea& aflaţi ipotenu(ele triung!iurilor

!) a# Desenaţi un pătrat cu latura de @ cm.b#,stimaţi prin măsurare lungimea diagonalei pătratului.c#$alculaţi lungimea diagonalei pătratului şi comparaţi cu re(ultatul anterior.

") a# Desenaţi un triung!i ec!ilateral cu latura de C cm.b#,stimaţi prin măsurare lungimea medianei.c#$alculaţi lungimea medianei şi comparaţi cu re(ultatul anterior.

$) $alculaţi lungimile segmentelor îngroşate& folosind indicaţiile din figură.

@

a< + >< c< >< + a<− c< c< + a<− ><




Relaţii metrice în triunghiul dreptunghic

1) $alculaţi lungimile notate cu litere& folosinda#teorema înălţimii b#teorema catetei

c#teorema lui Pitagora

)5n figura de mai 3os& punctele %& '& $ şi D sunt coliniare& )%⊥)D şi )' ⊥%D.$alculaţi lungimile )%& )'& )$ şi )D.

!) %flaţi lungimile diagonalelor patrulaterului %'$D

") 5n trape(ul %'$D avem 2 + pr%' $ şi D + pr%D 2. 0olosiţi datele din figură pentru a calculalungimile 2'& 2$& 2D şi '$.

$) Doi pini cresc la o distanţă de 9Cm unul de celălalt. Enul are 9#m& iar celălalt& mai t?năr& doar #C $are este distanţa dintre v?rfurile lor*

C




Terenul pentru grădină*vem un teren cu 4orma 5i dimensiunile din 4igura de mai 6os#

Cerinţa 12are este lungimea gardului ce încon6oară acest teren 7

Rezolvare

Fungimile laturilor o>lice se calculea(ă cu teorema lui Pitagora.#G<BH<<@CA#@B <<

==+=+

<@C<@@GCAH<AG <<==+=+

A##CB##C;;B#A;H <<==+=+

P + <@ # <@ A# + #;B 8m lungime are gardul:Cerinţa 22are este supra4aţa terenului 7

Rezolvare%trape( + 8#@ <A:8B <@ : < + B; 8m<:%tr# + B⋅ #@ < + C; 8m<:%tr< + ⋅ <A < + + BA 8m<:%teren + %trape( " %tr# " %tr< + B; " C; " BA + C9C 8m< are terenul:

"8m

Bm

#@m

m<@m

<Am

9m

1&m

"1m

$m




Teorema lui P0T*: R* ; aplicaţii practice

1) 7 >arcă cu p?n(e arată ca în desen. $are esteînălţimea catargului *

)Pentru a traversa intersecţia& )i!ai a constatatcă este mai scurt să traverse(e în diagonală. $?ta c?ştigat el astfel *

*# mai puţin de # m4<# între # m şi < m42# între < m şi 9 m4=# între 9 m şi A m4'# între A m şi @ m4

!) En automo>il pleacă din punctul %& merge Am spre nord& #; m spre est& 9 m spre sud& <m spre vest şi @ m spre nord& oprindu-se în

punctul '. $are este distanţa dintre % şi ' *

") 5n centrul unui teren în formă de pătrat culatura de #@ m se găseşte un >a(in în formă de pătrat cu latura de @ m. Faturile celor două pătrate sunt paralele. %flaţi lungimea celui maiscurt drum de la un colţ al terenului la colţulopus.

%) 7 scară cu lungimea de <C; cm estespri3inită de un perete. Distanţa de la piciorulscării la perete este de #m. Jtiind că o pisicăstă la 3umătatea scării& la ce distanţă de sol seaflă pisica*

$) Pe o masă circulară cu diametrul de C; cm punem o faţă de masă pătrată cu latura de #&@;m. %şe(ăm faţa de masă astfel înc?t centrul eisă coincidă cu centrul mesei.

a) %flaţi lungimea minimă şi lungimeama6imă a părţii din faţa de masă care at?rnă pe 3os.b) 5nălţimea mesei este de @; cm. $?t de mare

poate fi latura pătratului ca faţa de masă să nua3ungă la podea

B




Reciproca teoremei lui Pitagora Lucrează împreună cu colegul tău de bancă. Aveţi nevoie de: h rtie cu pătrăţele! h rtie velină! "oar"ece! pa#tă de lipit.

1) Dintr-o foaie de !?rtie cu pătrăţele& decupea(ă pătrate cu aria deH& #C& <@& 9C& AH& CA& B#& #;;& #<#& #AA& #CH.

0oloseşte c?te trei pătrate pentru a construi triung!iuri&ca în imaginea alăturată.%flă dacă triung!iurile construite de tine sunt ascuţitung!ice&dreptung!ice sau o>tu(ung!ice. Dacă este necesar& comparăung!iurile triung!iului cu ung!iul drept al unui ec!er.

%ria pătratului

mic

%ria pătratuluimi3lociu

%ria pătratului

mare

$lasificarea triung!iuluidupă ung!iuri

H 9C CA9C CA #;;B# #<# #CH#C <@ 9C<@ #AA #CH<@ B# #<#H #C <@AH CA #AA

)$ompletea(ă ta>elul 8unele celule sunt completate ca model:

Pătratulmic

Pătratulmi3lociu

Pătratulmare

Suma ariilor pătratelor mic şi

mi3lociu$lasificarea triung!iului

după ung!iuri

Fatura %ria Fatura %ria Fatura %ria9 H C 9C B CA A@ CA K A@⇒ o>tu(ung!ic

9C CA #;; #;; #;; + #;; ⇒ dreptung!icB# #<# #CH <;< #CH L <;<⇒ ascuţitung!ic#C <@ 9C

<@ #AA #CH<@ B# #<#H #C <@AH CA #AA

!) 0oloseşte datele din ta>elul anterior şi completea(ă spaţiile punctate.5ntr-un triung!i a#Dacă pătratul celei mai lungi laturi este egal cu suma pătratelor celorlalte

două laturi& atunci triung!iul este =========.=..b#Dacă pătratul celei mai lungi laturi este mai mic dec?t suma pătratelorcelorlalte două laturi& atunci triung!iul este =========.=..c#Dacă pătratul celei mai lungi laturi este mai mare dec?t suma pătratelorcelorlalte două laturi& atunci triung!iul este =========.=..

H




Reciproca teoremei lui Pitagora > aplica iiț

1) $e fel de triung!i este triung!iul cu lungimile laturilor de #@ cm& <; cm& <@ cm*

) %'$D este un trape( cu %' D$& %'+'$+#; m& D$+A m& D%+B m. Demonstra i că trape(ulț

este dreptung!ic.!) 0olosiţi convenţiile de desen şi proprietăţile cunoscute pentru a calcula aria patrulaterului %'$D

din figura alăturată..

") Pentru figurile de mai 3os& demonstraţi că dreptele D) şi $) sunt perpendiculare.%'$D este dreptung!i. %)$D este trape(.

$) $alculaţi perimetrul şi aria pentrutrape(ul %'$D4 paralelogramul %'$D.

%)Pentru dreptung!iul alăturata) calculaţi perimetrul triung!iului P%)4b) demonstraţi că D)⊥ %$.

&) 5n sistemul de a6e ortogonale x7 y sunt marcate trei puncte %8<4 9:& '8C4 #:& $8;4−#:. Sta>iliţinatura triung!iului %'$.

#;




*plica iiț

1) %'$D este un trape( cu %' D$& %'+C m& '$+@ m& D$+< m& D%+9 m.Demonstra i că trape(ul este dreptung!icț

) $alculaţi înălţimea trape(ului %'$D folosind indicaţiile din figura de mai 3os.

constrium $) MM D%& )∈ %'/ şi $2 ⊥ %'& 2∈ %'/. patrulaterul %)$D este un ........................................⇒ %) + ...... şi $) + ...... triung!iul )'$ are lungimile laturilor ......& ......& ......⇒ )'$ este ..........................................

$2 + # < #@ <; 9 A #<<@

cateta catetaipotenuza

× ×= = × =

!) $alculaţi înălţimea trape(ului %'$D folosind indicaţiile din figura de mai 3os.

##

$aralelogram % &%

&% '( '% tr. dreptunghic

h

1" x x




( )

< < <

< <

<< <

< <

#A#9

<<@ #HC <B #CH#@ #A

<;<H <B #CH <B #A; @A

#A H #9 @ #< #<

)* x +) x

h x x x x

h x

x x x x

x #i h C)

= ⇒ = −= −

⇒ − + − = − ⇒= − −

⇒ + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =

⇒ − = = − = ⇒ =

") Pentru trape(ul %'$D din figura de mai 3os calculaţi înălţimea şi proiecţiile laturilor neparalele pe >a(a mare.

( )

< < <

< <

<< <

< <

<C @ <##;

<BH AA# A< #;;# <#

<@<#@< A< #;; A< <@< CA<<# #@ #; C B

C& #@& B A, C*

)* x x

h x x x x

h x

x x x x

x #i h

pr A* A+ pr A* )* ,+ C+

= − − = −= −

⇒ − + − = − ⇒= − −

⇒ − + = ⇒ = ⇒ = ⇒ =⇒ − = = − =⇒ = = = = = =

#<

1 x




; Schemă recapitulativă ;

a " ipotenu(ăb c " catete

h " înălţimem " proiecţia catetei %$ pe ipotenu(ăn " proiecţia catetei %' pe ipotenu(ă

Teorema înălţimii5ntr-un triung!i dreptung!ic& lungimea înălţimii din v?rful drept este media geometrică a lungimilor proiecţiilor ortogonale ale catetelor pe ipotenu(ă.

h ? m ⋅ n (m @ n ? a)Teorema catetei5ntr-un triung!i dreptung!ic& lungimea unei catete este media geometrică a lungimii ipotenu(ei şi alungimii proiecţiei ortogonale pe ipotenu(ă.

b ? m⋅

a şi c ? n⋅

aTeorema lui Pitagora5ntr-un triung!i dreptung!ic& suma pătratelor lungimilor catetelor este egală cu pătratul lungimiiipotenu(ei.

b @ c ? aReciproca teoremei lui PitagoraDacă într-un triung!i suma pătratelor lungimilor a două laturi este egală pătratul lungimii laturii atreia& atunci triung!iul este dreptung!ic.

b @ c ? a ⇔ m(A*) ? 988,umere pitagoreice

H #C + <@⇔ 9< A<+ @<⋅ <≠; ⇔ 89< A<: <+ @< < ⇔

⇔ 9< < A< < + @< < ⇔ 89 :< 8A :< + 8@ :<

Deci dacă > + 9 & c + A & a + @ & ∈, & atunci >< c< + a< ⇒ %'$ + tr. dr. în %.

b c a Teorema lui Pitagora b @ c ? aB?1 9 A @ 9< A<+ @< ⇔ H #C + <@

@ #< #9 @< #<<+ #9< ⇔ <@ #AA + #CHB? C B #; C< B<+ #;< ⇔ 9C CA + #;;

<A <@ < <A<+ <@< ⇔ AH @ C + C<@B #@ # B< #@<+ # < ⇔ CA <<@ + <BH

B?! H #< #@ H< #<<+ #@< ⇔ B# #AA + <<@H A; A# H< A;<+ A#< ⇔ B# #C;; + #CB##; <A <C #; < <A<+ <C< ⇔ #;; @ C + C C## C; C# ##< C;<+ C#< ⇔ #<# 9C;; + 9 <#

B?" #< #C <; #<< #C<+ <;< ⇔ #AA <@C + A;;#A AB @; #A< AB<+ @;< ⇔ #HC <9;A + <@;;

#@ 9C 9H #@<

9C<

+ 9H<

⇔ <<@ #<HC + #@<#

#9




T'ST

• Proiecţii ortogonale pe o dreaptă• Teorema înălţimii& teorema catetei

• Teorema lui Pitagora4 teorema reciprocă a teoremei lui Pitagora

1p# 1)5n triung!iul %'$& m8∠%: + H;o& %D⊥'$& D∈8'$:. Dacă 'D+9 m şi $D+#< m& aflaţi %D.

1p# )5n triung!iul %'$& m8∠%: + H;o& %D⊥'$& D∈8'$:. Dacă 'D+H m şi $D+ m& aflaţi %'.

1p# !)Triung!iul %'$ este dreptung!ic în %. Dacă %'+@ m şi %$+#< m& aflaţi '$.

1p# ")Triung!iul %'$ este dreptung!ic în %. Dacă '$+#@ m şi %$+H m& aflaţi %'.

1p# $)$alculaţi lungimea diagonalei unui dreptung!i cu dimensiunile de m i <A m.ș

1p# %)$alculaţi lungimea diagonalei pătratului cu aria de 9C m<.

1p# &)$alculaţi lungimea înăl imii unui triung!i ec!ilateral ce are perimetrul de <A m.ț

1p# 3)5n desenul alăturat este repre(entată o fereastră. Dacă măsurăm diagonala& o>ţinem #A@ cm.,ste această fereastră dreptung!iulară*

1p# 9)5n imagine avem o scară iterioară în care %T + '$. Vrem să punem un tavan fals T$.$are va fi lungimea lui*

#A




Paradoxul lui Pitagora

- luăm un pătrat cu latura de A

- îi împărţim suprafaţa în patru figuri ca în imagine

- colorăm figurile şi apoi le decupăm

- rearan3ăm cele A figuri şi o>ţinem de această dată un pătrat cu un colţ lipsă

2um să ne explicăm acest paradox 7

#@

Rel Met Rice

Documents

Transcript of Rel Met Rice