REIBUNG Tm1 Lect10 Print

HAW Hamburg – FB MP – Ihlenburg – TM1/ Lektion 10 1

Lektion 10: Haftung und Reibung

An den Berührungsflächen von Körpern treten Reibungskräfte auf. Je nach Stärke der an den Körpern angreifenden Kräfte wird durch diese Kräfte:

•´Bewegung verhindert ( = Haftung)

• Bewegung verzögert ( = Reibung)

Friction makes this lorry difficult to move, but it does help by giving theman a good grip on the road.


Theorie: Haftung und Reibung bei Bewegung in der Ebene

F G

H N

F G

R N

a

Bei geringer Kraftaufwendung bleibt der Körper in Ruhe. Die Kraft wird durch die horizontal in der Kontaktfläche wirkende

Haftkraft H aufgenommen.

Bei größerer Kraft wird er Körper bewegt. Entgegen der Bewegungsrichtung wirkt eine

Gleitreibungskraft R.


Theorie: Coulomb´sche Reibungsgesetze

F G

H

F G

R

a

Die Reibungskräfte sind abhängig von

• Materialbeschaffenheit der angrenzenden Körper

• Kontaktkraft zwischen den Körpern

Die Kräfte sind unabhängig vom Areal der Kontaktfläche.

o oH H Nµ≤ =

N N

R Nµ=

Haftungskoeffizient Reibungskoeffizient


Tabelle: Haft- und Reibungskoeffizienten

Quelle: Gross/Hauger/Schnell/Schröder, TM1, Springer-Verlag 2004, S. 191


Theorie: Gleichgewicht bei Haftung

F G

Für die statische Berechnung ist nur der Zustand der Haftung relevant. Dabei befindet sich der Körper in Ruhe, es herrscht statisches Gleich-gewicht zwischen den wirkenden Kräften.

H N

Freischnitt (actio = reactio):

F GKräfte, die von der Kontakt-fläche auf den Körper wirken.

Kräfte, die vom Körper auf die Kontaktfläche wirken.

Gleichgewicht am freigeschnittenen Körper: ::H FN G

→ =

↑ =

Die Haftkraft ist gleich der horizontalen Komponente aus der Summe aller vom Körper auf die Kontaktfläche wirkenden Kräfte. Sie ist unabhängig von den vertikalen Komponenten der Kräfte.


Ein Gewicht G wird senkrecht gegen eine Mauer gedrückt.Der Haftungskoeffizient beträgt . a) Wie groß ist die Haftkraft, wenn der Klotz ruht?

b) Wie groß muss F mindestens sein damit der Klotz ruht?

Beispiel: Haftung bei Andruck

F0µ

G

0µ

Lösung: b)o

GFµ

≥


Beispiel: Rad

0M

r

Das Antriebsmoment an der Radachse steht im Gleichgewicht mit der am Kontaktpunkt wirkenden Haftkraft H. Bei starrer Lagerung der Achse wird dadurch das Fahrzeug gebremst. Andernfalls wird die Achse in Richtung der Haftkraft bewegt (Haftkraft = Antriebskraft).

Der Reifen „dreht durch“, wenn die vom Moment erzeugte Haftkraft die Grenzhaftung überschreitet bzw. wenn gilt:

0 oM rNµ>

0o

MH Nr

µ= ≤

0H H>

http://www.michelin.de/de/front/affich.jsp?codeRubrique=1043

0µH

N

G0M

Freischnitt und Gleichgewicht:

::M

↑

Auf den Mittelpunkt des stehenden Rades wird ein Antriebsmoment aufgebracht.


Wirkung des Antriebsmomentes am Rad

H

0M Die vom Antriebsmoment gegen den Boden erzeugte Haftkraft wirkt als Antriebskraft. Das Rad wird in beschleunigte Bewegung versetzt. Während dieser Phase der Bewegung gelten die Gesetze des dynamischen Gleichgewichts ( TM3).

In der Praxis treten bei jeder Bewegung Widerstandskräfte auf, die gegen die Bewegung gerichtet sind. Damit ist ein quasistatischer Zustand der Bewegung möglich, bei dem sich das Rad mit konstanter Drehzahl dreht. Es treten keine Trägheitskräfte oder –momente auf. Die Antriebskraft befindet sich im statischen Gleichgewicht mit der Widerstandskraft.

H

0MWF•

Ein statischer Zustand der Ruhe ist ebenfalls möglich, wenn das Antriebs-moment durch Bremskräfte oder –momente ausgeglichen wird (vgl. Übung). In diesem Fall wird keine Antriebskraft gegen den Boden erzeugt.


Tabelle1: Rollwiderstand von Gummireifen

1T. Schmidt, D. Schlender, Untersuchung zum saisonalen Reifenwechsel unter Berücksichtigung technischer und klimatischer Aspekte, Projektbericht, Universität Wuppertal 2003

Der Haftungseffekt zwischen Reifen und Fahrbahn bewirkt eine Antriebskraft in Bewegungsrichtung.

In der Praxis kann das Drehmoment nicht vollständig in Bewegung umgesetzt werden. Innere Reibung in Reifen und Fahrwerk oder Bodenunebenheiten bewirken eine Widerstandskraft entgegen der Bewegungsrichtung. Dieser Rollwiderstand R kann durch Messung bestimmt werden. Der Rollwiderstandswert bestimmt sich analog zu Haftungs- und Reibungskoeffizient als Quotient aus horizontal und vertikal wirkender Kraft:

XR

Z

FcF

= XF

ZF


Theorie: Haftungskeil

H

N

ϕtan H

Nϕ =

oH H< o oH H Nµ= =

00 0tan H

Nρ µ= =

Haftungswinkel

Grenzfall für Haftreibung

0ρ 0ρ

ϕ

Grenzhaftung: Winkel der Resultierenden aus Haftkraft und Normalkraft = Haftungswinkel.Positiver und negativer Haftungswinkel bilden den Haftungskeil.

Haftung: Resultierende aus Haftkraft und Normalkraft liegt im Haftungskeil.


Beispiel: Haftung auf geneigter Ebene

α

Gegeben: Neigungswinkel α, Gewicht G, Haftungskoeffizient

Fragen:• Grenzen für Kraft F so dass Klotz sich nicht bewegt.

• maximaler Neigungswinkel für Haftung bei F=0.

0µ

F

G

0µ

α

F

GcosG α

sinG α


Beispiel: Leiter

Bis zu welcher Höhe einer Leiter kann eine Person mit Gewicht Q auf der skizzierten Leiter steigen? (Haftung zwischen Leiter und Wand kann vernachlässigt werden).


Beispiel: Schraube

F

h

dM

Geometrie:

hdH

An einer Schraube greifen eine vertikale Kraft F und ein Moment Md an. Unter welcher Bedingung herrscht Gleichgewicht, wenn Normal- und Reibungskräfte gleichmäßig über das Gewinde verteilt sind?

dN

α2 rπ

h

Abwicklung


Theorie: Seilhaftung/ Geometrie und Gleichgewicht

Betrachten Seil über Rolle (Skizze a) unter der Annahme S2>S1 Haftkraft zeigt nach rechts (Skizze b).

Der Haftkoeffizient zwischen Seil und Rolle sei .

Gleichgewicht:0µ

( )

( )

cos cos 02 2

sin sin 02 2

d dS S dS dH

d ddN S S dS

ϕ ϕ

ϕ ϕ

→ − + + =

↑ − − + =

cos 12

sin2 2

d

d d

ϕ

ϕ ϕ

≈

≈

dH dSdN Sdϕ

==


Aus Gleichgewicht und Bedingung der Grenzhaftung dH dSdN Sdϕ

==

Theorie: Seilhaftung/ Formel für Grenzhaftung

0dH dNµ=

0dS Sdµ ϕ= 0 (*)dSdS

µ ϕ =

Die Rolle wird über einen Winkel α vom Seil umschlungen (vgl. Skizze a, vorige Folie). Wird in der Beziehung (*) auf der linken Seite über den Winkel in den Grenzen von 0 bis α nach dϕ integriert, entspricht dem rechts eine Integration über die Kraft in den Grenzen von S1 bis S2 nach dS.

2

1

20 0

10

lnS

S

dS SdS S

α

µ ϕ µ α= → =∫ ∫

02 1S S eµ α= L. Euler (1707-83)


Theorie: Seilhaftung (allgemeine Bedingung) und Seilreibung

01 2S S e µ α−=

Vorseitige Bedingung der Grenzhaftung war hergeleitet unter der Annahme S2>S1 . Für S1>S2 erhält man analog den zweiten Grenzfall

0 01 2 1S e S S eµ α µ α− ≤ ≤

Die allgemeine Haftbedingung ergibt sich zwischen den Grenzfällen. Für gegebenes S1 haftet das Seil an der Rolle unter der Bedingung

Die Bedingungen für Seilreibung erhält man indem der Haftungskoeffizient ersetzt wird durch den Reibungskoeffizienten:

2 1 1 2

2 1 1 2

:

:

S S S S eS S S S e

µα

µα−

> =

< =


Übung: PKW


Übung: Bremse

Lösung:

0 0

0

0 0

0

( )a) ( )

( )b) ( )

c)

M a c RFR a bM a c RFR a b

µµ

µµ

+ +=

+− +

=+

Selbsthemmung möglich für b) 0ac R

µ ≥+

REIBUNG Tm1 Lect10 Print

Documents

Transcript of REIBUNG Tm1 Lect10 Print