Regra de TrêsA regra de três é simplesmente um método

para resolver as proporções sem precisar de armá-las.

A regra de três ganha seu nome do seu uso, pois é usada para determinar um quarto valor de um proporção quando são conhecidos três deles.

Tabela de Valores

A regra de três se vale muito de tabelas para a fácil visualização do problema.

Faz-se assim:

Manoel decide fazer um túnel de1Km de extensão.

Como o túnel em questão é estreito, somente um máximo de 20 trabalhadores pode trabalhar na escavação ao mesmo tempo.

Pesquisa google;julho 2008

Como dispunha de 30 trabalhadores, Manoel resolveu dividi-los em 2 grupos de 15 trabalhadores, cada grupo escavando de um lado da montanha a fim de aumentar produtividade.

Originalmente, a escavação gastaria 3 meses. Em quanto tempo terminará a escavação com o novo arranjo?

Primeiro colocamos o problema em uma tabela:

Importante lembrar que devemos sempre usar a mesma unidade para grandezas do mesmo tipo nas tabelas.

Agora, marcamos o sentido de crescimento, das grandezas, com setas. Neste caso o tempo diminuiu por que o número de trabalhadores aumentou.

Se as setas marcam o mesmo sentido, as grandezas são diretamente proporcionais. Se marcam sentidos opostos, são inversamente proporcionais.

No caso de proporção inversa, multiplicamos os valores da tabela em linha reta e igualando, obtendo:

Que é a própria proporção inversa em forma de produto, previamente mostrada.

O túnel em questão media 1km, se 30 trabalhadores terminaram essa distância em 2 meses, qual distância cada grupo de 15 trabalhadores percorreu no mesmo intervalo de tempo?

Proporção direta, multiplica-se cruzado e igual a:

Observamos que a relação obtida é uma forma da proporção:

Regra de Três compostaPodemos interpretar de outra maneira o problema anterior:

Ao dividir os grupos, de 20 trabalhadores cavando 1km em 3 meses, chegamos ao problema de quanto tempo levou para que os 30 trabalhadores cavassem apenas a metade, 500m?

Devemos agora, assumir um sentido arbitrário para o tempo. No caso, consideramos o tempo diminuindo. Em relação aos trabalhadores, quanto menos tempo mais trabalhadores são necessários. Em relação a distância, menos tempo faz com que a distância diminua.

Separamos a incógnita de um lado da tabela e começamos um processo de multiplicações sucessivas. A primeira segue as mesmas regras da regra de três simples, e neste caso será cruzada.

Depois, quando as duas grandezas vizinhas forem diretamente proporcionais (setas na mesma direção), multiplica-se cruzado, quando inversamente proporcionais (setas em posição invertida), multiplica-se cruzado. Igualamos os caminhos.

Obtemos então a solução:

2 meses

PROBLEMAS PROPOSTOS 1. (Ufg) Em uma pesquisa sobre o analfabetismo em matemática,

foram entrevistadas 2000 pessoas, amostra que representa 110 milhões de brasileiros entre 15 e 64 anos de idade. Dentre os entrevistados, 60 foram considerados analfabetos absolutos em matemática.

Com base nas informações do texto, calcule o número estimado de brasileiros entre 15 e 64 anos, analfabetos absolutos em matemática.

Resolução:

2000 60

110

PESSOAS ANALFABETOS

MILHÕES X

2000 60 110x milhões

3.300.000x

2. (Ufg) Um feirante vende uma dúzia de laranjas por R$1,50. Se um cliente comprar 20 laranjas, quanto ele irá pagar ao feirante?

Resolução:

12 1,5

20

laranjas valor

x

12 20 1,5x 2,5x

3. (Ufpe) Suponha que a casca de banana corresponda a 1/9 do peso da banana. Ao comprarmos 4,5 kg de banana a R$1,90 o quilo, quantos centavos de real estamos pagando pela casca?

Resolução:

14,5 0,5

9

peso da casca

kg kg

4,5 _________ 4,5 1,9

0,5 _________

peso pago

kg

kg x

4,5 0,5 4,5 1,9x

0,5 1,9x

$0,95x R

4. Para uma viagem, a capacidade de passageiros de um barco de turismo é equivalente ou a 30 adultos ou a 36 crianças. Se 24 crianças já estão a bordo desse barco, o número máximo de adultos que ainda podem embarcar é de: a) 6. b) 8. c) 10. d) 12. e) 14.

Resolução: 30 A = 36 C→ 1 A = 1,2 C Faltam 12 crianças para completar a capacidade

( ) ( )

1___________ 1,2

___________ 12

n de adultos n de crianças

x

1,2 12x

10x adultos

6. (Enem) O gás natural veicular (GNV) pode substituir a gasolina ou álcool nos veículos automotores. Nas grandes cidades, essa possibi- lidade tem sido explorada, principalmente, pelos táxis, que recuperam em um tempo relativamente curto o investimento feito com a conver- são por meio da economia proporcionada pelo uso do gás natural. Atualmente, a conversão para gás natural do motor de um automóvel que utiliza a gasolina custa R$ 3.000,00. Um litro de gasolina permite percorrer cerca de 10 km e custa R$ 2,20, enquanto um metro cúbico de GNV permite percorrer cerca de 12 km e custa R$ 1,10. Desse mo- do, um taxista que percorra 6.000 km por mês recupera o investimento da conversão em aproximadamente:

a) 2 meses. b) 4 meses. c) 6 meses. d) 8 meses. e) 10 meses. Resolução: Litros gastos de gasolina por mês: 6000/10= 600 litros→ Custo 600 x 2,2 = R$1.320,00 Metros cúbicos gastos de GNV por mês: 6000/12=500m 3 → Custo 500 x 1,1 = R$ 550,00( )

1 770

3000

n de meses economia

x

3000

4770

x meses

6. (Pucsp) Paulina está sempre apressada: quando usa a escada rolante de uma certa estação de metrô, costuma subir alguns degraus no percurso para ganhar tempo. Considerando que, quando ela sobe 8 degraus, gasta 50 segundos no percurso de toda a escada e, quando sobe 12 degraus, gasta 40 segundos, então o total de degraus dessa escada é:

a) 22 b) 24 c) 28 d) 30 e) 32 Resolução: Paulina a cada 4 degraus ganha 10 segundos Ao subir 8 degraus ela ganhou 20 segundos, ou seja, se escada tivesse

parada ela teria gasto 70 segundos.

(deg ) __________

4 _____________________10

_____________________ 70

n de raus tempo

s

x s

10 70 4x

28degx raus

7 (Pucsp) Três amigos - Astolfo, Benito e Conrado - disputaram uma corrida cujo percurso era de 20 km e chegaram em primeiro, quinto e décimo lugares, respectivamente. Sabe-se que, ao cruzar a linha de chegada, Astolfo estava a 4 km de Benito e a 6 km de Conrado. Con- siderando que, ao longo de todo o percurso, cada um deles manteve a velocidade constante, então, quando Benito cruzou a linha de chegada, quantos quilômetros estava à frente de Conrado?

a) 2,5 b) 3 c) 3,5 d) 4 e) 4,5 Resolução: Percurso___________20km

4 2km kmA B C ____________

16 _______________ 2

20 _______________

distância diferença

km km

km x

16 40x

2,5x km

8 (Uerj) O excesso de gordura no organismo é nocivo à saúde. Considere uma pessoa, com massa corporal estável, que deseje perder gordura, sem alterar sua dieta alimentar. Para essa pessoa, um dispêndio energético de 9 kcal em atividades físicas corresponde à perda de 1 g de gordura corporal. Para perder 6,0 kg de gordura, o tempo, em minutos, que ela necessita dedicar a atividades físicas, despendendo, em média, 12 kcal/min, corresponde a:

a) 2,0 × 102 b) 4,5 × 103 c) 8,0 × 104 d) 6,0 × 105

Resolução:( ) __________ ( )

9 ___________________1

______________________ 6000

calorias gastas massa perdida

kcal g

x g

54000x kcal

( ) ___________ (min )

12 ____________________1min

54000 _________________

calorias gastas tempo utos

kcal

kcal y

54000

12y

34500 4,5 10y

9 (Ufpe) Suponha que 8% da população adulta do Brasil esteja desempregada e que a jornada média de trabalho semanal seja de 44 horas. Qual deveria ser a jornada média de trabalho semanal para que todos os adultos estivessem empregados?

a) 40h 01min 48s b) 40h 06min 48s c) 40h 10min 48s d) 40h 16min 48s e) 40h 28min 48s

Resolução:( ) __________ ( )

44 _________________ 92%

_______________________100%

horas semanal percentagem empregados

horas

x

44 100

92x

100 4048x 40,48x

40 28min 48x horas s

10 (Ufrs) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda dianteira mede:

a) 2,125 metros. b) 2,25 metros. c) 3,4 metros. d) 3,75 metros. e) 5 metros.

Resolução:( ) _____________

12 ________________ 4,25

15 ________________

n voltas circunferência

voltas m

voltas x

12

15 4,25

x

15 12 4,25x

3,4x metros

QUINO, Mafalda – São Paulo: Martins Fontes,1992