Regla de la adicin para sucesos mutuamente excluyentes.si se tiene dos o ms sucesos y solamente uno de ellos puede ocurrir en un solo ensayo, se considera que los sucesos son mutuamente excluyentes. En este caso, se suman las probabilidades de ocurrencia de cada suceso; adems, es necesario la utilizacin de la disyuncin o, que en teora de conjuntos es el uso de la unin, la cual es simbolizada por U.

Ejemplo 1: una organizacin benfica vende 1000 billetes de lotera. Hay 10 premios grandes y 100 premios pequeos y todos deben repartirse. El proceso de seleccin de los ganadores es tal que al principio todos los billetes tienen las mismas probabilidades de ganar un premio grande y todos tienen las mismas probabilidades de ganar un premio pequeo. Ninguno puede ganas mas de un premio. Cul es la probabilidad de ganar un premio grande con nico billete?. Cul es la probabilidad de ganar un premio pequeo?. Cul es la probabilidad de ganar algn premio?.R/: De los 1000 billetes: 10 ganaran premio grande. 100 ganaran premio pequeo. 890 no ganaran ningn premio.Suceso A: el billete seleccionado gana un premio grande.Suceso B: el billete seleccionado gana un premio pequeo.

El suceso el billete gana algn premio es la unin de los sucesos A y B.Como solo permite un premio, estos sucesos son mutuamente excluyentes.

Ejemplo 2: (ndice Burstil Dow-Jones). Se ha examinado la evolucin del ndice burstil en dos das y se han definido 4 resultados bsicos: Suponemos que estos 4 resultados bsicos son igual de probables. Cul es la probabilidad de que el mercado suba como mnimo 1 de los 2 das?.

R/: Suceso A: el mercado sube como mnimo 1 de los 2 das .Este suceso contiene 3 de los 4 resultados bsicos: , como los resultados bsicos son todos igualmente probables, se deduce que la probabilidad de este suceso es:

Ejemplo 3: Al lanzar un dado; cul es la probabilidad de obtener la aparicin de un dos o un cinco?.

R/:

Ejemplo 4: se tiene una baraja de 40 cartas y se desea extraer una de ellas. Cul es la probabilidad de obtener una carta que sea un as, o un rey, o un seis de oros?.

R/: baraja de 40 cartas:

Orosas234567sotacaballorey

Copasas234567sotacaballorey

Bastosas234567sotacaballorey

Espadasas234567sotacaballoRey

0.225

Ejemplo 5: al realizar una encuesta a 120 personas, 51 dicen comprar hamburguesas, 47 dicen comprar perro caliente y el resto compran otro tipo de comida rpida. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar compre perro caliente o hamburguesa.

R/:

Se debe aplicar la regla de la adicin, ya estos sucesos son mutuamente excluyentes: una persona no compra a la vez perro caliente y hamburguesa.

La probabilidad de que una persona elegida al azar compre hamburguesa o perro caliente es del 81.67%.

Observacin: Recurdese que la disyuncin o es sinnimo de por lo menos, al menos.

Ejemplo 6: (prospecciones petroleras). En las primeras fases del desarrollo de una plataforma petrolera en el ocano Atlntico, una empresa petrolera estim que haba una probabilidad de 0.1 de que las reservas econmicamente recuperables superaran los 2000 millones de barriles, la probabilidad de que superaran los 1000 millones se estim en 0.5. Dada esta informacin. Cul es la probabilidad estimada de que las reservas se encuentren entre 1000 y 2000 millones de barriles?. Observacin: realizar grfico.

R/:

= 0.5

Regla de la adicin para sucesos NO mutuamente excluyentes.Sean A y B 2 sucesos entonces se tiene:

Realizar grfico. Observacin: la probabilidad de la interseccin se est contabilizando 2 veces, por lo tanto debe restarse una vez.Ejemplo 1: si se tiene una baraja de 52 cartas y se desea extraer una de ellas. cul es la probabilidad de que la carta sea as, o que la carta sea un diamante?.R/: Trbolas2345678910JQK

Coraznas2345678910JQK

Diamantesas2345678910JQK

Picasas2345678910JQK

En este ejemplo se ha hallado una carta que tiene la condicin de ser diamante y, adems, ser as.

Por tanto, la probabilidad de que al elegir una carta al azar sea un as, o diamante es de 16/52, es decir, del 30.76%Ejemplo 2: Una fbrica que produce varillas de combustible nuclear saca radiografas de cada varilla y las inspecciona antes de embarcarlas. Se sabe que por cada 1000 varillas, 10 tienen fallas en el interior, 8 en la envoltura y 5 tienen ambas fallas. Calcular la probabilidad de que al elegir una varilla al azar tenga por lo menos una de estas dos fallas.R/:

Aqu se aplica la regla de la adicin porque los sucesos no son mutuamente excluyentes, es decir, una varilla puede tener 2 fallas. + La probabilidad de que una varilla elegida al azar tenga por lo menos una de estas 2 fallas es del 1.3%.Ejemplo 3: una cadena de hamburgueseras observ que el 75% de todos los clientes consumen mostaza, el 80% consume Ktchup y el 65% consume los 2. Cul es la probabilidad de que un cliente consuma al menos 1 de las 2?.R/:

Regla de la multiplicacin para sucesos independientes.Dos o ms sucesos se consideran independientes, si la probabilidad de presentacin de cada uno de ellos, no queda afectado por la presentacin de otro. En estos caso, se debe multiplicar las probabilidades de cada suceso esperado. Adems, en el enunciado del problema, se utiliza la conjuncin (y), que es sinnimo de la interseccin en la teora de conjuntos:

Ejemplo 1: (reparacin de computadores). La experiencia de que el 90% de los computadores de un determinado modelo funcionan como mnimo 1 ao antes de que haya que efectuar alguna reparacin. Un directivo compra 3 computadores de ese modelo. Cul es la probabilidad de que los 3 funcionen 1 ao sin necesidad de reparacin alguna?.R/: en este caso es de suponer que las averas de los 3 computadores son independientes. Dado el supuesto de independencia, entonces se tiene:

Ejemplo 2: se lanzan 3 dados. Cul es la probabilidad de que en el primero aparezca el dos y en el segundo dado un cuatro y en el tercer dado el seis?.R/:

La probabilidad de que en el 1 dado aparezca dos, en el 2 dado un cuatro y en el 3 dado el seis es de 1/216, es decir, del 0.46%.Ejemplo 3: Se tienen tres talegas, y cada una contiene 5 bolas rojas, 6 azules y 9 verdes, respectivamente. Cada bola est numerada, as: en la primera talega del 1 al 5, en la segunda del 1 al 6, y en la tercera del 1 al 9. Cul es la probabilidad al extraer 3 bolas, una de cada talega, que la primera sea roja y la segunda azul con el nmero 3 y la tercera verde?.R/:

Aplicando el concepto de probabilidad y la regla de la multiplicacin se tiene:

Ejemplo 4: Ahora, si todas las bolas se encuentran en el mismo recipiente y se extraen 3 de ellas, con reposicin, es decir, primero una y luego de ser observada se regresa al recipiente, cul es la respuesta en este caso, si se formula la misma pregunta del ejemplo anterior?. Cul es la probabilidad al extraer 3 bolas, una de cada talega, que la primera sea roja y la segunda azul con el nmero 3 y la tercera verde?.R/:

Observacin: Vale la pena observar detenidamente cmo se plantean las preguntas para identificar los sucesos mutuamente excluyentes y los sucesos independientes. En el primero se utiliza la disyuncin o y el segundo caso la conjuncin y ; adems, en el primero se tiene una sola baraja, un solo dado o una talega, en cambio en el segundo caso, se tiene ms de una baraja, ms de un dado, ms de un recipiente. Por ltimo, en el primer caso se extrae una carta, se obtiene un solo nmero o una sola bola; en el segundo procedimiento se extraen varias cartas, varias bolas o nmeros.

Probabilidad condicional para sucesos dependientes.Dos sucesos son dependientes cuando la ocurrencia de uno afecta la ocurrencia del otro.: la probabilidad de que el suceso A se presenta, dado, sabiendo que ya se present el suceso B, se llama probabilidad condicional.Para esta clase de sucesos se parte de la regla de la multiplicacin y se deduce una expresin para la probabilidad condicional, teniendo en cuenta que:

Por tanto, en los sucesos dependientes:

De donde las probabilidades condicionales son: ; Ejemplo 1: en el ejemplo de la cadena de hamburgueseras, hemos sealado que el 75% de los clientes de la cadena consume mostaza, el 80% consume ktchup y el 65% consume las dos. Cules son las probabilidades de que un consumidor de ktchup utilice mostaza y de que un consumidor de mostaza utilice ktchup?.R/:

La probabilidad de que un consumidor de ktchup utilice mostaza, es la probabilidad condicionada: La probabilidad de que un consumidor de mostaza utilice ktchup, es la probabilidad condicionada:

Ejemplo 2: En una empresa, el 40% de los empleados tienen vivienda, el 25% tienen 2 hijos, y el 15% tienen vivienda y 2 hijos. Al seleccionar un empleado al azar:a). Si tiene 2 hijos, cul es la probabilidad de que tenga vivienda?.b). Si tiene vivienda, cul es la probabilidad de que tenga 2 hijos?.

R/:

a). La probabilidad de que un empleado elegido al azar tenga vivienda si tiene 2 hijos es del 60%.b). La probabilidad de que un empleado elegido al azar tenga 2 hijos si tiene vivienda es del 37.5%.

Regla del complemento.Sea A un suceso contenido en el espacio muestral S, por lo que A y su complemento , son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos.

Realizar grfico.Ejemplo 1: Al efectuar una encuesta a 50 personas, 42 afirman comprar camisas Alberto VO5. Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar no compre camisas Alberto VO5.R/:

=

Por lo tanto, la probabilidad de que una persona elegida al azar no compre camisas Alberto V05 es del 16%.

Ejemplo 2: cuando se lanza un dado al aire, la probabilidad de que salga 1 es y por lo tanto, segn la regla del complemento, la probabilidad de que no salga un 1 es .