Regla de l'Hôpital

Guillaume de l'Hôpital, fue el que dio a conocer esta regla.

En matemática, más específicamente en el cálculo diferencial, la regla de l'Hôpital o regla de l'Hôpital-

Bernoulli1 es una regla que usa derivadas para ayudar a evaluar límites de funciones que estén

en forma indeterminada.

Esta regla recibe su nombre en honor al matemático francés del siglo XVII Guillaume François Antoine,

marqués de l'Hôpital (1661 - 1704), quien dio a conocer la regla en su obra Analyse des infiniment petits

pour l'intelligence des lignes courbes (1692), el primer texto que se ha escrito sobre cálculo diferencial,

aunque actualmente se sabe que la regla se debe a Johann Bernoulli, que fue quien la desarrolló y

demostró.1

Índice

  [ocultar] 

1   Enunciado

o 1.1   Demostración

2   Ejemplos

o 2.1   Aplicación sencilla

o 2.2   Aplicación

consecutiva

3   Adaptaciones algebraicas

o 3.1   Cocientes

incompatibles

o 3.2   Indeterminaciones

no cocientes

4   Generalizaciones

5   Véase también

6   Referencias

7   Enlaces externos

[editar]Enunciado

La regla de L'Hôpital es una consecuencia del Teorema del valor medio de Cauchy que se da sólo en

el caso de las indeterminación del tipo  .2 3 4

Sean f y g dos funciones definidas en el intervalo [a,b], y sean f(c)=g(c)=0,

con c perteneciente a (a,b) y g'(x)≠0 si x≠ c .

Si f y g son derivables en (a,b), entonces si existe el límite f'/g' en c, existe el límite

de f/g (en c) y es igual al anterior. Por lo tanto,

Guillaume de l'Hôpital

[editar]Demostración

El siguiente argumento se puede tomar como una «demostración» de la regla de L'Hôpital, aunque en

realidad, una demostración rigurosa de la misma requiere de argumentos e hipótesis más fuertes para

su demostración.2 4 Se asume que tanto f como g son diferenciables en c.

Dado que f(c)=g(c)=0 el cociente f(x)/g(x) para a<x<b se puede

escribir de la siguiente manera:

Sabemos que f y g son diferenciables en c, por lo tanto, utilizando la

definición de derivada:

[editar]Ejemplos

La regla de l'Hôpital se aplica para salvar indeterminaciones que resultan de reemplazar el valor

numérico al llevar al límite las funciones dadas. La regla dice que, se deriva el numerador y el

denominador , por separado; es decir: sean las funciones originales f(x)/g(x), al aplicar la regla se

obtendrá: f'(x)/g'(x).

[editar]Aplicación sencilla

[editar]Aplicación consecutiva

Mientras la función sea n veces continua y derivable, la regla

puede aplicarse n veces:

[editar]Adaptaciones algebraicas

Dada la utilidad de la regla, resulta práctico

transformar otros tipos de indeterminaciones

al tipo   mediante

transformaciones algebraicas:

[editar]Cocientes incompatibles

Las indeterminaciones de tipo   se pueden

transformar mediante la doble inversión de

los cocientes:

De esta forma se puede demostrar que

las indeterminaciones de tipo   también

se pueden resolver por medio de la

aplicación de la regla de L'Hôpital de

forma directa, sin aplicación de la doble

inversión.

[editar]Indeterminaciones no cocientes

A veces algunos límites indeterminados

que no aparecen dados como cocientes

pueden ser hallados con esta regla.

Tipo 

[editar]Generalizaciones

La regla de

L'Hôpital se puede

extender a

funciones

escalares

de n variables que

sean

diferenciables.

Dadas dos

funciones f y g tale

s que f(c) = g(c) =

0, se tiene:

, representan los gradientes de ambas funciones

escalares.

, representa el producto escalar de dos vectores.

, representa la norma de un vector.

, es el ángulo formado por el gradiente de f y el

vector  .

, es el ángulo formado por el gradiente de g y el

vector  .

[edi

tar]

Véase tam

bién

L

í

m

i

t

e

m

a

t

e

m

á

t

i

c

o

I

n

f

i

n

i

t

e

s

i

m

a

l

L

í

m

i

t

e

d

e

u

n

a

f

u

n

c

i

ó

n

F

o

r

m

a

i

n

d

e

t

e

r

m

i

n

a

d

a

[edi

tar]

Referencias

1. ↑ a b 

Marí

a

Cristi

na

Sola

eche

Gale

ra

(199

3).

«La

Cont

rover

sia

L'Ho

spital

-

Bern

oulli»

.

Cons

ultad

o el

9 de

agos

to de

2009

.

2. ↑ a b 

Brint

on,

Tho

mas

Geor

ge

(200

5).

«4.A

plica

cion

es

de la

deriv

ada.

La

regla

de

l'Hôp

ital» 

(en

cast

ellan

o). C

álcul

o:

Una

varia

ble (

11ª

edici

ón).

Madr

id:

Pear

son

Educ

ació

n.

pp. 2

92-

297. 

ISBN 

97026

06438

.

3. ↑  Rui

z

Zúñi

ga,

Ange

l

(199

7).

«8.5

Calc

ular

límit

es

usan

do la

deriv

ada.

La

regla

de

l'Hôp

ital» 

(en

cast

ellan

o). El

eme

ntos

de

Cálc

ulo

Difer

enci

al

Volu

men

I y

II (1ª

edici

ón).

Cost

a

Rica:

Edito

rial

Univ

ersid

ad

de

Cost

a

Rica.

pp. 6

6-69. 

ISBN

99776

7440

X.

4. ↑ a b 

«Re

gla

de

L'Hô

pital

».

Cons

ultad

o el

9 de

agos

to de

2009

.

[edi

tar]

Enlaces externos

T

e

o

r

e

m

a

d

e

L

'

H

o

p

i

t

a

l

t

e

o

r

i

a

y

e

j

e

m

p

l

o

s

Ver

las

calif

icac

ione

s de

la

pági

na

Evalúa este artículo

¿Q

ué

es

est

o?

Con

fiabl

e

Obj

etiv

o

Co

mpl

eto

Bie

n

escr

ito

Est

oy

muy

bien

infor

mad

o

sobr

e

este

tem

a

(opc

iona

l)

Envi

ar

calif

icac

ione

s

Cat

ego

ría: 

C

á

l

c

u

l

o

d

i

f

e

r

e

n

c

i

a

l

Menú de navegación

Crear una cuenta

Ingresar

Artículo

Discusión

Leer

Editar

Ver historial

Portada

Portal de la comunidad

Actualidad

Cambios recientes

Páginas nuevas

Página aleatoria

Ayuda

Donaciones

Notificar un error

Imprimir/exportar

Crear un libro

Descargar como PDF

Versión para imprimir

Herramientas

En otros idiomas

العربية Bosanski

Català

Česky

Dansk

Deutsch

English

Euskara

فارسی Suomi

Français

Galego

עברית Magyar

Bahasa Indonesia

Íslenska

Italiano

日本語 한국어 Latina

Latviešu

Македонски മലയാ�ളം�

Bahasa Melayu

Nederlands

Norsk (bokmål)

Polski

Português

Русский

සිං�හල Slovenčina

Slovenščina

Српски / srpski

Svenska ไทย Türkçe

Українська

Tiếng Việt

中文

E

s

t

a

p

á

g

i

n

a

f

u

e

m

o

d

i

f

i

c

a

d

a

p

o

r

ú

l

t

i

m

a

v

e

z

e

l

1

5

e

n

e

2

0

1

3

,

a

l

a

s

1

5

:

0

0

.

E

l

t

e

x

t

o

e

s

t

á

d

i

s

p

o

n

i

b

l

e

b

a

j

o

l

a

 

L

i

c

e

n

c

i

a

C

r

e

a

t

i

v

e

C

o

m

m

o

n

s

A

t

r

i

b

u

c

i

ó

n

C

o

m

p

a

r

t

i

r

I

g

u

a

l

 

3

.

0

;

p

o

d

r

í

a

n

s

e

r

a

p

l

i

c

a

b

l

e

s

c

l

á

u

s

u

l

a

s

a

d

i

c

i

o

n

a

l

e

s

.

L

é

a

n

s

e

l

o

s

 

t

é

r

m

i

n

o

s

d

e

u

s

o

 

p

a

r

a

m

á

s

i

n

f

o

r

m

a

c

i

ó

n

.

W

i

k

i

p

e

d

i

a

®

e

s

u

n

a

m

a

r

c

a

r

e

g

i

s

t

r

a

d

a

d

e

l

a

 

F

u

n

d

a

c

i

ó

n

W

i

k

i

m

e

d

i

a

,

I

n

c

.

,

u

n

a

o

r

g

a

n

i

z

a

c

i

ó

n

s

i

n

á

n

i

m

o

d

e

l

u

c

r

o

.

C

o

n

t

a

c

t

o