regi.tankonyvtar.hu · Web viewEgy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek,...

Irodalomjegyzék

Irodalomjegyzék

Mechatronikai Modellezés

Dr. Szabó, Tamás

Mechatronikai modellezés

írta Dr. Szabó, Tamás

Publication date 2014

Szerzői jog © 2014 Miskolci Egyetem

A tananyag a TÁMOP-4.1.2.A/1-11/1-2011-0042 azonosító számú „ Mechatronikai mérnök MSc tananyagfejlesztés ” projekt keretében készült. A tananyagfejlesztés az Európai Unió támogatásával és az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg.

Kézirat lezárva: 2014 február

A kiadásért felel a(z): Miskolci Egyetem

Felelős szerkesztő: Miskolci Egyetem

Created by XMLmind XSL-FO Converter.



Tartalom

1. Bevezetés 0

1. Bevezető példák 0

2. A dinamikai rendszer 0

2.1. Definíciók 0

2.2. A rendszerek osztályozása 0

3. Rendszermodellek 0

3.1. Modelltípusok 0

3.2. Rendszerelemzés 0

3.3. Rendszer szimuláció 0

3.4. Rendszeridentifikáció lásd Identifikáció és optimalizálás, stabilitás . fejezet) 0

3.5. Rendszeroptimalizálás lásd Identifikáció és optimalizálás, stabilitás . fejezet) 0

3.6. Modell sémák és blokkvázlatok 0

4. A rendszerdinamika feladata 0

5. Összefoglalás 0

2. A dinamikai rendszerek matematikai leírása 0

1. Differenciál-egyenletek 0

2. Állapotegyenletek 0

3. Állandósult megoldások és egyensúlyi helyzetek 0

4. Lineáris állapotegyenletek 0

5. Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével [3] 0

3. Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer 0

1. Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek) 0

2. A hálózati módszer (“Cut-Set” vagy Multiport módszer) 0

2.1. Alapgondolat 0

2.2. Az egyenlet szerkezete 0

2.3. Példák 0

2.3.1. Elektromos komponensek 0

2.3.2. Mechanikai rendszerek 0

4. Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon 0

1. A megoldás tervezése a fázissíkon 0

2. Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei 0

2.1. A homogén rendszer megoldása, alapmátrix 0

2.2. Az inhomogén állapotegyenlet megoldása 0

5. Az állapot egyenletek normál koordinátákkal 0

1. Normál koordináták 0

2. Többszörös sajátértékű rendszerek viselkedése 0

2.1. Többszörös sajátértékek hatása [3] 0

2.2. Jordan-féle normálalak 0

6. Dinamikai rendszerek numerikus módszerei 0

1. Bevezetés 0

1.1. Taylor-sorfejtés 0

1.2. Numerikus algoritmusok 0

1.3. Kerekítési hiba és a hiba terjedése 0

7. Kezdeti érték feladat megoldásának numerikus módszerei 0

1. Kezdetiérték feladat numerikus megoldása 0

1.1. Explicit Euler módszer 0

1.2. Numerikus stabilitás és stabilitási tartomány 0

1.3. Módosított Euler módszer (Trapézszabály) 0

1.4. Implicit Euler módszer 0

1.5. Az Euler módszerek összefoglalása 0

1.6. Általános egylépéses eljárás 0

1.6.1. Klasszikus Runge-Kutta módszerek 0

1.6.2. Általános Runga-Kutta módszerek 0

1.6.3. Az 1≤p≤4 rendű Runge-Kutta módszerek stabilitási területei 0

1.7. Adaptív lépésválasztás 0

1.7.1. Harmadrendű Runge-Kutta módszer, egy integrálási lépés kétféle kiszámítása 0

1.7.2. Beágyazott módszerek 0

1.8. Lineáris többlépéses módszerek 0

1.9. Lineáris többlépéses eljárás aktiválása 0

1.10. Differenciál egyenletrendszer 0

1.11. BDF módszerek [11] 0

1.12. Megjegyzések a stiff differenciálegyenletekre 0

1.13. Implicit Runge-Kutta módszerek 0

1.14. Kezdetiérték feladatok numerikus megoldási módszerereinek összehasonlítása 0

8. Nemfolytonos rendszerek integrálása, DAE 0

1. Nem folytonos rendszerek integrálása 0

2. Differenciál algebrai egyenletek (DAE) 0

9. Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása 0

1. Nemlineáris egyenletek 0

2. Megoldás numerikus integrálás 0

3. Fixpont iteráció 0

4. Newton-Raphson iteráció 0

10. Identifikáció és optimalizálás, stabilitás 0

1. Lineáris kompenzációs feladat 0

2. Nemlineáris paraméterfüggés 0

3. Dinamikai rendszerek stabilitása 0

3.1. Szakkifejezések és meghatározások 0

4. Lineáris rendszerek stabilitási kritériumai 0

4.1. Stodola-féle stabilitási kritériumok 0

4.2. Hurwitz kritérium 0

4.3. Routh-féle stabilitási kritériumok 0

11. Mechanikai rendszerek modellezése 0

1. Alapfogalmak 0

1.1. Modellezés: tömeg, rugalmasság és csillapítás 0

1.2. Erők, rendszerhatár, részekre bontás módszere 0

1.3. Kényszerek 0

1.4. Virtuális elmozdulások 0

1.5. Kinematika 0

1.5.1. Koordinátarendszerek és koordináták 0

1.5.2. Haladó mozgás 0

1.5.3. Kinematikai Differenciálok 0

2. Impulzus- és perdülettételek 0

3. A kényszerek figyelembevétele és a d’Alembert elv 0

4. Mozgásegyenletek 0

5. Kettős inga mozgásegyenletei 0

6. Lineáris mozgásegyenletek 0

7. Állapotegyenletek 0

12. Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlet 0

13. Nemlineáris egynyomvonalú modell [10] 0

1. Az alváz mozgásegyenlete 0

2. Abroncsmodell 0

2.1. Stacionárius abroncsmodell 0

2.2. Dinamikus abroncsmodell 0

14. Dinamikus kerékforgás [10] 0

1. Meghajtó nyomatékok 0

2. Fékező nyomaték 0

15. A teljes modell [10] 0

1. Szimulációs eredmények 0

2. Animációk 0

3. Videók 0

16. Matematikai alapok 0

1. Mátrixszámítások 0

1.1. Mátrix műveletek 0

1.2. Determináns 0

1.3. Normák 0

1.3.1. Vektorok normái 0

1.3.2. Mátrixnormák 0

17. Feladatlapok 0

18. Gyakorlatok 0

Irodalomjegyzék 0






Az ábrák listája

1.1. Több tudományterület rendszer leírása [1] . 0

1.2. ABS-mágnesszelep, csatlakozások. 0

1.3. Fent: Fúrókalapács [2] ; Lent: A fúrókalapács szimulációs modellje. 0

1.4. A rendszer szemléltetése blokksémán. 0

1.5. Egy járműrendszer (Ammon, 1997). 0

1.6. Két nyomvonalú jármű szabadságfokai [5] . 0

1.7. A rendszer szimuláció alapelve. 0

1.8. A paraméter identifikáció folyamata. 0

1.9. A rendszer optimalizálás folyamata. 0

1.10. Példa hatásvázlatra (egyszerű rezgőrendszer). 0

1.11. Kerékfelfüggesztés egyszerű modellje. 0

1.12. A felfüggesztés hatásvázlata, és a lehetséges részletezési szintek. 0

1.13. Elektromos aluláteresztő szűrő. 0

1.14. Elektromos aluláteresztő szűrő blokkvázlata, lehetséges részletezési szintek. 0

1.15. Jelfolyam-ábra a) felfüggesztés és b) aluláteresztő szűrő. 0

2.1. Matematikai inga. 0

2.2. Rúd longitudinális rezgései. 0

2.3. A longitudinális rezgéseket leíró diszkrét modell. 0

2.4. Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer. 0

2.5. Nemlineáris állapotegyenlet blokkvázlata. 0

2.6. Blokkvázlat: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál. 0

2.7. Egyváltozós skalárfüggvény linearizálása. 0

2.8. Az additivitás blokkvázlata. 0

2.9. Nemlineáris erő karakterisztika (hézaggal kombinálva). 0

2.10. A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata. 0

3.1. Nemlineáris, egyszerű inga. 0

3.2. Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció. 0

3.3. Objektum-orientált modellezés/szimuláció. 0

3.4. Blokkvázlat. 0

3.5. Különbség mérése (keresztváltozó). 0

3.6. Áramlás mérése (átmenő változó). 0

3.7. Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel. 0

3.8. Matematikai inga. 0

3.9. Grafikus személtetés. 0

3.10. Előjel konvenció. 0

3.11. Ohmikus ellenállás. 0

3.12. Induktív ellenállás. 0

3.13. Kapacitás. 0

3.14. Egyszerű villamos hálózat. 0

3.15. Rugó. 0

3.16. Multi-port rugó modell. 0

3.17. Tömeg. 0

3.18. Multi-port tömeg modell 0

3.19. Rugó-tömeg rendszer. 0

3.20. Multi-port. 0

4.1. Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív). 0

4.2. A matematikai inga fázisgörbéje. 0

5.1. Csökkenő viselkedés negatíve valós sajátértékkel. 0

5.2. Csökkenő viselkedés komplex sajátértéknél. 0

5.3. Lineáris rendszerek viselkedése a sajátértékek komplex síkon való helyzetének függvényében. 0

5.4. Negyed autó. 0

5.5. A negyed autó sajátértékei 1500 Ns/m ≤ dA ≤ 6500 Ns/m csillapításnál. 0

7.1. Explicit Euler módszer. 0

7.2. Az explicit Euler módszer alkalmazása. 0

7.3. Explicit Euler módszer; instabilitás. 0

7.4. Az Euler módszer stabilitási tartománya. 0

7.5. A trapézszabály származtatása. 0

7.6. Stabilitási tartomány a fixpont iteráció után. 0

7.7. Az Implicit Euler módszer. 0

7.8. A 4-ed rendű Runga-Kutta módszer instabilitási tartománya. 0

7.9. A Runge-Kutta módszer átmeneti pontjai. 0

7.10. Az 1≤p≤4 rendű Runge-Kutta módszerek stabilitási tartományai. 0

7.11. A lépésválasztás szabályozási feladatnak megfelelő hatásvázlata 0

7.12. Egy tömegű inga integrálása az explicit Euler módszerrel. 0

7.13. Egytömegű rezgőrendszer integrálása implicit Euler módszerrel. 0

7.14. A rezgés energiájának változása. 0

7.15. A(0)-stabilitás. 0

8.1. Pattogó labda. 0

8.2. Pattogó Labda (szimulációs eredmény). 0

9.1. Síkbeli négycsuklós mechanizmus. 0

9.2. A négy csuklós mechanizmus megoldásai. 0

9.3. Öt lengőkaros kerékfelfüggesztés. 0

9.4. Az ötpontos kerékfelfüggesztés vektorai. 0

9.5. Az ötpontos valós kerékfelfüggesztés kerékközéppontjának trajektóriája. 0

9.6. Konvergens fixpont iteráció; gradiens a fixpontban. 0

9.7. Divergens fixpont iteráció 0

9.8. Newton-Raphson iterációs lépések. 0

10.1. Paraméterek által meghatározott rendszer. 0

10.2. Célrendszer. 0

10.3. A pszeudóinverz geometriai illusztrációja. 0

10.4. Szimulátor modell 0

10.5. Az y(t) beolvasása 0

11.1. Példák többtest rendszer elemeire. 0

11.2. A részekre bontás módszere a mechanikában. 0

11.3. Példák kényszerekre. 0

11.4. Gömbi inga. 0

11.5. Virtuális elmozdulás. 0

11.6. A z tengely körüli forgatással nyert koordináta transzformáció. 0

11.7. Kettős inga. 0

13.1. Nemlineáris egynyomvonalú modell (bicikli modell), felülnézet 0

13.2. Nemlineáris egynyomvonalú modell, oldalnézet 0

14.1. Dinamikus kerékforgás. 0

14.2. Motor karakterisztika. 0

14.3. Fékező nyomaték karakterisztika. 0

15.1. Nemlineáris egynyomvonalú modell: különböző, ugrásszerűen beállított kormánykerék állásoknál 0

17.1. Fúrókalapács [2] 0

17.2. Matematikai inga 0

17.3. Módosított inga 0

17.4. Kettősinga és a szétszedett inga elem 0

17.5. Ötlengőkaros hátsó kerékfelfüggesztés 0






1. fejezet - Bevezetés

Ez a tananyag a modellezési módszerek leírását tartalmazza és a komplex dinamikai rendszerek tulajdonságainak megértését célozza hatékony alkalmazásuk érdekében. Következésképp megfelelő mélységben kell megismernünk a mechatronikai rendszerek, alrendszereik és elemeik elemzésének, valamint vizsgálatának módszereit és alkalmazásukat.

Ez a tananyag az alábbi témákkal foglalkozik:

1. dinamikai rendszerek matematikai megfogalmazásával,

2. modellezési technikákkal,

3. szimulációval,

4. differenciál egyenletek integrálási és nemlineáris egyenletek megoldási módszereivel,

5. a rendszerparaméterek meghatározásával (identifikációjával) illetve becslésével,

6. a dinamikai rendszerek stabilitási tulajdonságaival.

Ebben az értelemben fontos hangsúlyoznunk, hogy a vizsgált rendszerek nem csupán egyetlen tudomány keretébe tartoznak, hanem leírásukhoz több tudományterületet ötvözve kell alkalmazni lásd [ Több tudományterület rendszer leírása . ]

1.1. ábra - Több tudományterület rendszer leírása [ 1 ].

1. Bevezető példák

Az alábbi példák az előadáson ennél részletesebben kerülhetnek ismertetésre.

1.1. példa: ABS – Mágnesszelep, [ ABS-mágnesszelep, csatlakozások. ]

Rendszer: ABS

Alrendszer (komponensek, alkatrészek): mágnesszelep

Lehetséges célok:

1. Az armatúra elmozdulás-időfüggvényének leírása működés közben.

2. Hol és hogyan lehet befolyásolni a dinamikai viselkedést (pl.: a teljes út 90 %-ának gyorsabb megtételéhez)?

3. Milyen más nem dinamikai természetű célkitűzések lehetségesek ebben az összefüggésben?

4. Milyen más lehetőségek létezhetnek a dinamikai rendszerek pozitív módon való befolyásolására (mit jelent a "pozitív" jelző ebben a szövegkörnyezetben?)?

Az ABS felépítése különböző mérnöki tudományokat foglal magában, pl.:

1. mechanika (fék mechanizmusa, hajtás dinamikája),

2. hidraulika (szelepek, szivattyúk, csövek, ...),

3. elektrotechnika (vezérlés, teljesítményelektronika, …),

4. irányítástechnika (ABS-algoritmus).

1.2. ábra - ABS-mágnesszelep, csatlakozások.

1.2. példa: Fúrókalapács, [ Fent: Fúrókalapács ; Lent: A fúrókalapács szimulációs modellje. ]

Rendszer: fúrókalapács

Alrendszer (komponens): forgattyús mechanizmus

Lehetséges célok:

1. Az ütés impulzusának maximalizálása.

2. A szerszámfogantyú rezgésének minimalizálása az ütési teljesítmény állandó szinten tartása mellett.

3. Hogyan kell a forgattyús mechanizmus elemeit megtervezni a hatékony fúrás érdekében?

4. Felléphet-e törés a forgattyús mechanizmus elemeire ható nagy dinamikai terhelések következtében?

1.3. ábra - Fent: Fúrókalapács [ 2 ]; Lent: A fúrókalapács szimulációs modellje.

⇒ [ 17. fejezet - Feladatlapok ]

2. A dinamikai rendszer

A rendszer kifejezés hétköznapi értelemben is gyakran alkalmazott fogalom pl. közlekedési rendszer, naprendszer, számítógéprendszer, szív és érrendszer, idegrendszer, stb.

Jelen szövegkörnyezet a mérnöki és tudományos területeken a rendszer kifejezést komplex és nem átlátható műveletek és folyamatokkal összefüggésben alkalmazza. A mechatronikában általában a különböző tudományterületek együttműködése figyelhető meg.

2.1. Definíciók

1.1. definíció [ 3 ]:

A rendszer elemek (alkatrészek, komponensek, objektumok) halmaza,

1. amelyek egymásra kölcsönösen hatnak (kölcsönhatás),

2. amelyek külső hatásoknak (input) vannak kitéve és

3. amelyek kifelé (output) is hatnak.

1.1. Megjegyzés:

A tudomány a rendszer fogalomra többféle definíciót is megfogalmaz, pl.:


Egy objektum mindaddig rendszerként azonosítható, amíg minden egyes részeleme és minden sajátossága az egymástól való kölcsönös függésükkel (rendszer környezetével is) valamilyen logikai értelemben egy nagyobb egésznek a komponenseiként tekinthetők. Ehhez jönnek az axiómák.

Elemek lehetnek pl. építőelemek, alkatrészek, komponensek, objektumok, részek.

A jellemző sajátosságok lehetnek tulajdonságok, ismertetőjelek és a rendszer, valamint környezete közötti kapcsolatok. A rendszer állapotát leíró jelek a rendszer állapotváltozói.


A rendszer egymásra ható képződmények elhatárolt rendezettsége. Ezt a rendezettséget egy határfelület vagy perem határolja (környezettel kapcsolatban lévő rendszerelemek egy halmaza). A burkolat a rendszert elhatárolja a hozzá kapcsolódó környezetétől. Ezen a kapcsolaton átvitt tulajdonságok és állapotok azok a mennyiségek, amelyek közötti összefüggések leírják a rendszer sajátos viselkedését.

A rendszert szimbolikusan egy blokkal szemléltetjük. A blokk pereme a határfelület, amely a környezetétől való elhatárolást szimbolizálja.

1.4. ábra - A rendszer szemléltetése blokksémán.

A blokk kapcsolata a környezettel, adott esetben, lehet

1. számú bemenő (input) mennyiség,

2. számú kimenő (output) mennyiség és

3. számú zavaró mennyiség.

Ha a rendszernek nincs kapcsolata a környezettel, akkor zárt rendszerről beszélünk. A rendszer teljes állapotát számú állapotváltozóval írjuk le.

1.4. definíció:

Állapotváltozóknak nevezzük a rendszer azon változóit, amelyek ismerete elegendő ahhoz, hogy a rendszer viselkedését teljes mértékben leírjuk. Az állapotváltozók az idő függvényei. Értékük összessége a rendszer állapotát írja le.

1.2. Megjegyzések:

1. Az állapotváltozók a rendszer belső változói.

2. Az állapotváltozók megválasztása többféle is lehet. A választott állapotváltozóknak egyértelműeknek, függetleneknek és redundáns menteseknek kell lenniük. Az utóbbi tulajdonságból következik, hogy az állapotváltozók megválasztása teljesen tetszőleges lehet, azonban számuk egyértelműen rögzített.

3. A gyakorlati alkalmazásoknál nem minden állapotváltozó érdekes, hanem csak a mindenkori alkalmazás szempontjából szükséges változók. Ezeket a változókat nevezzük kimeneti (output) változóknak, amelyek az állapotváltozók kombinációjából is képezhetők.

Az [ 2.1. szakasz - Definíciók ] táblázat példákat tartalmaz a különböző tudományterületekről származó állapotváltozókra.

1.1 táblázat: Példák a különböző tudományterületeken előforduló állapotváltozókra.

Elektrotechnika

Mechanika

Eljárástechnika

Környezetvédelem

áram

helyzet

hőmérséklet

népesség

feszültség

sebesség

tömegáram

környezet állapota

töltés

gyorsulás

CO2 kibocsátás

kinetikai energia

ózon érték

potenciál energia

1.3. példa: Járműrendszer

Egy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek, mint pl. kormánykerék szöge, fékpedál és a gázpedál állásai, jelentik a rendszer bemenő jeleit (inputs). A jármű mozgását leíró változókat állapotváltozóknak nevezzük. Ezen változók kombinációit, illetve részhalmazait kimenő jeleknek (outputs) nevezzük, és az útról átadódó hatásokat pedig zavaró jeleknek nevezzük lásd [ Egy járműrendszer (Ammon, 1997). ].

1.5. ábra - Egy járműrendszer (Ammon, 1997).

Egy járműdinamikai rendszer példáját mutatja az [ Két nyomvonalú jármű szabadságfokai . ].

1.6. ábra - Két nyomvonalú jármű szabadságfokai [ 5 ].

1.4. példa: Rácsos szerkezet

Egy rácsos szerkezet egyes rúdjai képezik a rendszer elemeit. A rudak között fellépő belső kölcsönhatások a csomóponti erők. Bemenő mennyiségek a külső terhelések, és kimenő mennyiségekként a kényszerekben fellépő kényszererőket érthetjük

1.5. példa: Az utak forgalmi rendszere

Rendszerelemként felfoghatók az elhatárolt utcai- és alhálózatban közlekedő egyes járművek. Alrendszereket képezhetnek a mindenkori járműjükkel közlekedő vezetők. A belső kölcsönhatások a jármű relatív távolságainak és sebességeinek felelnek meg.

1.5. definíció:

A több mint egy bemenő és több mint egy kimenő mennyiséggel rendelkező rendszert többváltozós rendszernek, azaz “MIMO” (multiple-input- multiple-output) rendszernek nevezzük.

Az [ 2.1. szakasz - Definíciók ] különböző szakterületek rendszerelemeit tartalmazza.

1.2 táblázat: Példák különböző szakterületek rendszerelemeire.

Elektrotechnika

Mechanika

Eljárástechnika

Népesség alakulása

ellenállás

tömeg

tartály

születés

kapacitás

rugó

szelep

halál

vezeték

csillapítás

csővezeték

betegség

tranzisztor

rúd

keverőüst

fogyasztás

erősítő

csapágy

szűrő

szűrő

vezeték

reaktor

végállás

helyzet aktuátor

erő aktuátor

A rendszerelemek közötti kölcsönhatások jellege meghatározza rendszer szerkezetét. A rendszer alrendszerekre (komponensekre) bonthatók.

Egy rendszert alrendszerekké (komponensekké, összetevőkké, alkotórészekké) lehet felosztani és strukturálni. Egy folyamat alrendszerekké történő bontása azzal az előnnyel jár, hogy a rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kapunk és hogy az egyes alrendszereket különböző emberek építhetik fel. A strukturálást úgy kell megvalósítani, hogy az alrendszerek a teljes rendszerbe beilleszthetők legyenek. Az illesztési felületek világos meghatározása alapvető, és ez jelenti az egyik fő problémát a komplex dinamikai rendszereknél.

A rendszer határa (pereme) tetszőlegesen kijelölhető. De általában ott húzunk határokat, ahol néhány egyértelműen meghatározott kapcsolattal a környezettől való elhatárolás világos és a rendszer nem hat vissza a környezetére.

1.6. definíció:

A dinamikai rendszerek mozgása alatt a rendszer változóinak időbeli megváltozását értjük. Ezért a mechanikai mozgás (helyváltoztatás) a mozgások összes általános típusainak egy speciális esete.

A már leírt mozgások mellett, az irodalomban lásd [ 6 ], további mozgások is előfordulnak.

A rendszerparaméterek olyan mennyiségek, amelyek állandók maradnak a rendszer megfigyelése során. Erre vonatkozó példák a természeti állandók, rugóállandók és csillapítási tényezők, ellenállások, stb.

A környezeti hatások olyan mennyiségek, amelyek a rendszerre kívülről hatnak, de amelyre a rendszer nincs visszahatással (visszahatás mentesség). Erre vonatkozó példák a nagy termek hőmérsékleti változása, a kényszermozgások, stb.

Az állapotváltozók kezdeti értékei.

A sebesség az állapotváltozók megváltozásának mértéke, amely az állapotváltozó értékének megváltozása egységnyi idő alatt. Példák erre a sebesség, a gyorsulás, a népesség születési és halálozási rátája, a tömegáram és a nyomásváltozás, stb. Mint ahogy a sebesség példája mutatja, az állapotváltozók egyaránt lehetnek az állapotváltozók változási sebességei és az állapotváltozók önmaguk. Ez elsősorban a mechanikában bír jelentőséggel.

A matematikában a dinamikai rendszereket differenciálegyenletek (DE), -ed rendű algebrai egyenletek és differenciál-algebrai egyenletek (DAE) írják le (lásd a [ Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer ]. fejezetet).

2.2. A rendszerek osztályozása

1.7. definíció:

Egy rendszer

1. statikus, ha a rendszer állapota a rendszer határán (peremén) belül nem változik a megfigyelés alatt. A statikus rendszer modellje algebrai egyenletekből áll.

2. dinamikus, ha az pillanatnyi állapot határozottan függ az kezdeti állapotától és az input mennyiségtől a időintervallum alatt . A dinamikai rendszerek mindig tartalmaznak tároló elemeket, mint pl. energia, anyag, információ, stb. A dinamikai elemek viselkedéseit ezért differenciálegyenletekkel vagy differenciál-algebrai egyenletekkel írjuk le.

3. koncentrált paraméterű rendszernek nevezzük, ha a rendszerváltozók, úgy, mint tömegek, kapacitások, rugók, csillapítók, stb., azaz, ha a rendszer változói a helynek nem függvényei (pl.: rugó-tömeg-inga). A dinamikában az ilyen rendszereket közönséges differenciálegyenletekkel írják le. Ha ez az egyszerűsítés nem megengedett, (ha pl. a helytől való függést figyelembe kell venni) megosztott paraméterű rendszerről beszélünk. Ebben az esetben a rendszer leírása parciális differenciálegyenlettel történik (pl.: rúd rezgése).

4. időinvariáns, ha a paraméterei időben állandóak maradnak. Ha a paraméterek változnak az időben, akkor idővariáns rendszerről beszélünk (pl.: a rakéta, amelynek a tömege az üzemanyagfogyásával megváltozik, vagy olyan műanyag alkatrészek, amelyek rugalmassági együtthatója csökken a hőmérséklet emelkedésével).

5. kauzális, ha a kimeneti jele egy tetszőleges időpontban csak a bemeneti jel értékétől függ az adott és az ezt megelőző időpontban (kauzalitás elve = ok és okozat elve). Tananyagunk kizárólag a kauzális rendszerekkel foglalkozik.

6. determinisztikus, ha matematikai egyenletek alapján elvileg egzakt módon kiszámítható a rendszer viselkedése. Ha a rendszer viselkedése csak valószínűség-számítással és statisztikai módszerrel jósolható meg előre, akkor sztochasztikus rendszerről beszélünk.

Ebben a tananyagban (elsősorban a technikai) rendszerek dinamikai viselkedését vizsgáljuk. Ezért a dinamika fogalmát is meg kell magyaráznunk. Történelmileg tekintve dinamika alatt (gör. dynamis = erő) elsősorban a mechanikai rendszerekre ható erőhatások okozta mozgásváltozások tanát értették és megfordítva (inverz dinamika). Ma már dinamika alatt általában az időbeli változások és ennek során fellépő jelenségek leírását és vizsgálatát értjük, valamint azt, hogy hogyan zajlanak le az általános gerjesztések és események (erők, feszültségek, halálozások, születések, tömegáram, stb.) hatása következtében. Valójában a dinamika mozgást, változást jelent.

3. Rendszermodellek

A modell a valóság leegyszerűsített mása azért, hogy bizonyos funkciókat elemezni tudjunk. Nincsen olyan modell, amely a valóság hű másolata lenne. Ugyanis mindig van eltérés a valós rendszer viselkedése és annak modellje között. Ezt az eltérést modellezési hibának nevezzük.

3.1. Modelltípusok

A különböző vizsgálatokhoz, különösen a különböző részletesség esetén, különböző modellek szükségesek:

1. kisminta modellek: kicsinyített jármű- vagy repülőgép modellek a szélcsatornában végzett kísérletekhez,

2. koncepcionális modellek, tisztán elvi modellek,

3. matematikai-fizikai modellek.

Ebben a tananyagban, a továbbiakban kizárólag a matematikai-fizikai modellekkel foglalkozunk.

1.6. példa:

1. Járművek, repülőgépek vagy hajók mérethűen kicsinyített modelljei a szél- és vízcsatornában végzett aero- és fluid dinamikai tulajdonságok mérésére. Ennek során az áramlástechnikai hasonlósági törvényeket használjuk: hasonló Reynolds-szám esetén a térfogatáram hasonló, még akkor is, ha az áramló közeg léptéke eltérő.

2. Analóg számítási modellek, amelyekben az elektronikus kapcsolás a vizsgált rendszer modelljéül szolgál. Ez az eljárás a mechanikai és elektromos rendszerek közötti hasonlóságon alapszik, pl.: egy csillapított rezgő rendszer differenciálegyenlete

,

ahol az elmozdulás, a tömeg, a csillapítási tényező, a rúgó merevsége és a gerjesztő erő. Ha a kondenzátorban tárolt töltést az elmozdulással, az induktivitást az tömeggel, az ellenállást a csillapítási tényezővel, a kapacitást az rugómerevség reciprokjával és az feszültségforrást az gerjesztő erővel azonosítjuk, akkor a következő egyenletet kapjuk:

.

1. A „Hardware-in-the-Loop” (HIL, valódi eszköz szimulált környezetben) szimulációban a matematikai modellek a vizsgált rendszer valós alrendszereihez kapcsolódnak, pl.: az elektromos kormányrendszer. Ebben az esetben tulajdonképpen a „fizikai” alkatrészek nem modellek, hanem a vizsgált rendszer egy része.

3.2. Rendszerelemzés

A vizsgált rendszer elemzése során megpróbáljuk a rendszer ki– és bemeneti viselkedését meghatározni azért, hogy így megértsük a rendszer viselkedését és adott esetben a befolyásolás lehetőségét kidolgozzuk.

Alapvető, hogy lehessen a rendszer gerjeszteni, miközben a bevitt adatokat tároljuk és a kimenő adatokat pedig mérjük.

Ezek a folyamatok mégis gyakran nehézségeket okoznak, mert

1. a vizsgált rendszer számos esetben még egyáltalán nem (új termékek fejlesztése), vagy már nem (baleseti rekonstrukció) létezik,

2. a rendszer geometriai méretei vagy túl nagyok vagy túl kicsik a mérések elvégezéséhez,

3. a rendszer tulajdonságainak megméréséhez nem állnak rendelkezésre a megfelelő szenzorok vagy túl drágák,

4. a megfelelő kísérletek túl sokáig tartanak, mert a rendszer nagyon lassú,

5. a vizsgált rendszerekkel végzett kísérletek túl veszélyesek, nagyon drágák vagy más okokból kifolyólag nem helyettesíthetők (úttartási tesztek, ütközési tesztek, biomechanika),

6. a rendszerből egy példány van és egyáltalán nem szabad vagy nem lehet gerjeszteni (gazdasági rendszerek, biológia, időjárás, …).

3.3. Rendszer szimuláció

Számos esetben, az [ Rendszerelemzés ] pont alatt bemutatott eljárást nem alkalmazzuk az éppen vizsgált rendszerre (legalábbis nem a fent említett megfontolások alapján, vagy más gyakorlati okokból). Helyette, egy alkalmas modellt választunk.

Azt az eljárást, szintén rendszer szimulációnak nevezzük, amelyben a kísérleteket de facto nem a valós rendszereken, hanem a rendszermodelleken folytatjuk le. Az [ A rendszer szimuláció alapelve. ] egy alapvető sémát szemléltet az ilyen rendszeranalízis lefolytatására:

1.7. ábra - A rendszer szimuláció alapelve.

A szimulációs eljárás általában a valós rendszer helyett a dinamikai rendszer matematikai modelljei alapján folytatott kísérleteket jelent.

A szimuláció számos előnnyel rendelkezik, mint pl.

1. elmélyíthető a rendszer működésének a megértése,

2. sok esetben a rendszer szimuláció lényegesen gyorsabb és olcsóbb, mint a kísérletek lefolytatása és kiértékelése,

3. a szimulációk könnyen megismételhetők és jól összehasonlíthatók.

A matematikai szimulációs modelleken a kísérletek lefolytatásához, először is, az egyenleteket elő kell állítani és meg kell oldani. Az egyenletek felállításához különböző tudomány-területek alapvető fizikai törvényeire van szükség, pl.

1. Euler egyenletek és Newton törvényei,

2. az energia megmaradásának törvénye,

3. az anyagtörvény,

4. d’ Alembert elve,

5. a Maxwell egyenletek

6. Navier-Stokes egyenletek

Ezt a témát mechanikai rendszerek vonatkozásában a [ Mechanikai rendszerek modellezése ]-[ A teljes modell ]. fejezetek tárgyalják. Az egyenletrendszerek megoldásával [ Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon ]-[ Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása ]. fejezetek foglalkoznak.

Egy szimulációs rendszer kidolgozásához (amely az egyenletek levezetését és megoldását jelenti), a modell alapvető egyszerűsítéseket követel meg, mint pl.:

1. rugalmas és megoszló tömegű testek helyettesítése merev és koncentrált tömegű testekkel (tömeg és tehetetlenségi nyomaték),

2. a nemlineáris anyagtörvények helyettesítése lineárisokkal,

3. egyszerű lineáris kinematikai összefüggések alkalmazása nemlineárisak helyett,

4. a súrlódás hatásának elhanyagolása vagy teljes leegyszerűsítése.

3.4. Rendszeridentifikáció lásd [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet)

Rendszeridentifikáció (vagy a rendszer paramétereinek azonosítása) alatt a rendszer paraméterinek szisztematikus, számítógéppel segített közelítő meghatározását értjük lásd [ A paraméter identifikáció folyamata. ].

A megfelelő rendszermodell és a vizsgált rendszer bemenő és kimenő adatainak mérése az eljárás előfeltétele. A következőkben fizikai törvényeken alapuló fizikai modellel fogunk meghatározni egy rendszer modellt. Bonyolult kérdéseket magába foglaló helyzetekben (pl. az utastérbeli áramlási viszonyok leírása a klíma vezérlés értelmezése céljából) gyakran más leírásokat alkalmazunk, pl. neurális hálózatokat, amelyek eltekintenek a fizikai szemlélettől.

Mérések alapján az ismeretlen

paramétereket oly módon változtatjuk, hogy a valós rendszer és a modell között a legjobb legyen az egyezés. Megfelelő matematikai optimalizálási módszereket alkalmazunk az ismeretlen paraméterek azonosítására lásd [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet).

Ezt a módszert különösen akkor alkalmazzuk, amikor a paraméterek nehezen mérhetők, pl.

1. súrlódási tényezők és anyagcsillapítás,

2. hőátadási tényezők,

3. áramlási ellenállás, stb.

A további fizikai mennyiségeket, mint a tömeget, rugómerevséget, geometriai méreteket, anyagtulajdonságokat (rugalmassági modulust, viszkozitást, stb.) táblázatokból, prospektusokból, CAD rajzokból és modellekből vesszük ki.

Általában a paramétereket, ha csak lehet, közvetlenül mérjük, a többit pedig paraméter identifikálással határozzuk meg.

A paraméter identifikáció alkalmazásának sikere csak korlátozott mértékű lehet. A legtöbb esetben a siker a választott modell jóságától és a mérés minőségétől függ.

1.8. ábra - A paraméter identifikáció folyamata.

3.5. Rendszeroptimalizálás lásd [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet)

A rendszeroptimalizálás egy tervezett új tulajdonságú rendszer létrehozását célozza rögzített elvárásokra való optimalizálással lásd [ A rendszer optimalizálás folyamata. ].

A matematikai modellt úgy paraméterezzük, hogy az határozottan elégítse ki a megcélzott viselkedés kritériumait. A megcélzott viselkedést, adott bemeneti és kimeneti jelekre vonatkozó célmegoldásokkal írjuk le.

Az eltéréseket, a modell pillanatnyi és a megcélzott viselkedése között, teszt jelekkel történő szimulációval határozzuk meg. A megvalósulás mértékének függvényét a pillanatnyi megoldás és a célmegoldás közötti különbséggel definiáljuk, amelyet szintén célfüggvényként azonosítunk.

Valójában hasonlóságokat figyelhetünk meg a rendszeridentifikáció és a paraméter identifikáció folyamatai között. Mind a kettő a paraméter halmaz meghatározását célozza, amely garantálja a közelítő egyenértékűségét az pillanatnyi jellemzőknek az mért értékekkel (paraméter identifikáció) és az elérendő értékekkel (rendszeroptimalizálás).

A rendszeroptimalizálás folyamatát az [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet tárgyalja.

1.9. ábra - A rendszer optimalizálás folyamata.

3.6. Modell sémák és blokkvázlatok

A modell sémák a rendszerek részletes leírásai, amelyek erősen támaszkodnak az ábrázolásra. A modell szemléltetésének módja az adott feladat és a megfelelő mérnöki tudomány közötti kapcsolattól függ. A több tudomány integrációja (“mechatronika”) növekvő fontossága megköveteli, hogy ezeket a sémákat (szerkezeti-, működési-, hatásvázlatokat), ha lehetséges univerzális diagramokkal (pl. blokkvázlatokkal) helyettesítsük. Azonban, komoly nehézségekkel kell szembenéznünk, ha egy komplex rendszerrel (pl. ha feladat mechatronikai területről származik) van dolgunk.

A blokkvázlatok (tömbvázlatok) a modell egyenleteket látványosan írják le. Ez következésképp azt jelenti, hogy két mennyiség (jel) közötti kapcsolat allegorikus formában kerül szemléltetésre.

A következő hozzárendelések alapvetőek:

1. jel ↔ a nyíl a hatás iránya

2. művelet ↔ tömb vagy blokk

Egy blokkvázlat a következőket tartalmazza:

1. a tömböket (blokkokat),

2. irányított nyilakat (hatásvonalakat), a tömb kimenő és érkező jeleit reprezentálva. A nyíl hegye a hatás irányába mutat, jelezve, hogy ki- vagy bemenő jelről van-e szó,

3. a ki- és bemenő mennyiségek jeleit,

4. az összegzéseket, amelyeket kis körök szemléltetnek,

5. a jelek elágazásait (fekete pontok).

A blokkvázlat szerkezetének és elemeinek a további részleteit a DIN19226 szabvány [ 7 ] foglalja össze.

1.10. ábra - Példa hatásvázlatra (egyszerű rezgőrendszer).

Különösen az irányítástechnika elméletében elterjedt a blokkvázlatok (hatásvázlatok) alkalmazása. A szimulációs programok támogatják a blokkvázlatok grafikus bevitelét. A program a rendszeregyenleteket a diagram alapján automatikusan építi fel lásd [ Példa hatásvázlatra (egyszerű rezgőrendszer). ].

A blokkvázlatok hierarchikusan is felépíthetők.

1.7. példa: Kerékfelfüggesztés, [ Kerékfelfüggesztés egyszerű modellje. ]

1.11. ábra - Kerékfelfüggesztés egyszerű modellje.

Modellegyenletek

Newton-féle egyenlet (impulzus tétel) a fizikai felépítményre, ahol a rugó terheletlen hossza:

,

.

Az egyensúlyi feltétel értelmében kapjuk:

.

Bevezetve az új modellváltozót

,

megkapjuk a lineáris mozgásegyenletet

,

és ez alapján megszerkesztett hatásvázlatot az [ A felfüggesztés hatásvázlata, és a lehetséges részletezési szintek. ] mutatja.

1.12. ábra - A felfüggesztés hatásvázlata, és a lehetséges részletezési szintek.

1.8. példa: Villamos áramkör, [ Elektromos aluláteresztő szűrő. ]

1.13. ábra - Elektromos aluláteresztő szűrő.

Modellegyenletek

Kirchhoff-féle hurok törvény:

Kapacitás:

Az áram és töltés közötti összefüggés: .

Eredményül kapjuk, hogy: , ,

végül .

Hatásvázlat (Blokkvázlat)

1.14. ábra - Elektromos aluláteresztő szűrő blokkvázlata, lehetséges részletezési szintek.

Jelfolyam-ábrákat elsősorban az angolszász országokban kedvelik. Nagyon egyszerű szerkezetűek és könnyen megrajzolhatók. A hátrányuk abban áll, hogy alkalmazásuk alapvetően lineáris rendszerekre korlátozódik.

A jelfolyam-ábra elemei:

1. összekötések előjeles erősítési tényezővel

2. a kapcsolódási pontok reprezentálása rendszerváltozókkal

1.15. ábra - Jelfolyam-ábra a) felfüggesztés és b) aluláteresztő szűrő.


4. A rendszerdinamika feladata

Feladat 1: Modellezés

A rendszer viselkedését leíró matematikai összefüggések levezetése: A modellezés mindig együtt jár absztrakcióval és idealizálással.

Példák: tömegpont, merev test, súlytalan rugó időkésés mentes pozicionáló hajtás, stb.

Az adott feladattól függően, ugyanazon rendszer, különböző modellezési részletességet követel meg és éppen ezért különböző idealizálást is.

1.9. példa: Járműmodell

1. Hajtásdinamikai elemzés: Komplex többtest rendszer (szabadságfok, pl., hossztengely körüli dőlési szögelfordulás, keresztirányú tengely körüli bólintási szögelfordulás, függőleges tengely körüli legyezési szögelfordulás, irányú elmozdulások). A hajtásláncot és vele együtt a hosszirányú (longitudinális) dinamikát elhanyagoljuk (helyettesítve a jármű meglévő, hosszirányú mozgásával).

2. A rángatózás elemzése: Merev test (szerkezet) négy kerékkel, a felfüggesztést elhanyagoljuk, de a hajtásláncot részletesen leírjuk.

3. Jármű szimuláció: Az egész jármű részletes dinamikai modellje.

4. Ütközési szimuláció: Az autó karosszéria és a teherviselő alkatrészek részletes végeselem modellje.

Feladat 2: Modellkutatás

A rendszer tulajdonságaira vonatkozó kutatás

Példák: stabilitási-, válaszidő-, működési vizsgálat, stb.

Feladat 3: Vezérlő jelek tervezése

A rendszer bemenő jeleit úgy kell megtervezni, hogy elérjük a célrendszer megkívánt tulajdonságait.

Példák:

1. A helyes hegesztési pontok kijelölése érdekében, a hegesztő robotok motoráramait szabályozni szükséges.

2. A fúrókalapács elegendő nagyságú impulzusának elérése céljából, a lökő dugattyút mozgásba kell hozni.

Feladat 4: Rendszerviselkedés szimulációja

Kísérletek lefolytatása a valóságban gyakran számos okból lehetetlen (pl. járműkonstrukció esetén nincs prototípus, nagyfokú veszélyhelyzet (ütközési teszt, lehetséges környezeti kár), vagy hosszú időtartam (népességváltozás)).

5. Összefoglalás

A modellezés és szimuláció során tárgyalt rendszerek eredetileg különböző területekről származnak.

Műszaki területek:

1. mechanika

2. elektrotechnika

3. hidraulika

4. pneumatika

5. informatika

6. stb.

Nem műszaki területek:

1. társadalmi tudományok

2. üzleti ügyvitel

3. közgazdaságtan

4. biológia

5. matematika

6. meteorológia

7. stb.

A rendszerdinamikában, a rendszereket hasonló módszerekkel és egységes kritériumokkal fogjuk elemezni.

Következmények:

1. A rendszerdinamika egy interdiszciplináris tudomány.

2. A különböző tudományok rendszerei közötti hasonlóságokat kihasználva egységesített elemzési technikákat alkalmazunk a vizsgálatokra.

3. A különböző tudomány területekről származó egységesített rendszerekre előnybe részesítjük az általánosított leírási technikákat.

4. De: Az idők során a különböző tudományterületek (pl. mechanika, elektrotechnika) kidolgozták a saját leíró rendszereiket (és szoftver csomagjait), amelyek nem kompatibilisek egymással. Szemléltetésül említjük a mechanikát, amelyet nehéz lenne blokkvázlattal leírni. Ezért a különböző leírási módokat matematikai rendszer szintjén meg kell tartanunk, hogy a rendszereket végül összekapcsolhassuk.

5. Szükségünk van egyértelmű és könnyen megtanulható leíró nyelvekre.

6. A jelenlegi irányzat szerint a matematikai leírást ábrákkal helyettesítik:

a. tömbábrák,

b. programok folyamatábrái,

c. bond-gráfok [ 8 ]

d. hálózati módszerek (Multiport and Cut Set Method)

e. stb.

Az alapvető egyenletek és a megoldási formalizmusuk ismerete elengedhetetlen ahhoz, hogy garantáltan és mélyrehatóan megértsük a rendszerelemzés alkalmazásának lehetőségeit és határait.

Bevezetés

Bevezetés




2. fejezet - A dinamikai rendszerek matematikai leírása

1. Differenciál-egyenletek

A dinamikai rendszerek viselkedésének időbeni függését differenciálegyenletekkel (DE) vagy, még általánosabban, differenciálalgebrai egyenletekkel (DAE) írhatjuk le. A mi megközelítésünk olyan rendszerekre korlátozódik, amelyek csak differenciálegyenletekkel elemezhetők. Azokkal a rendszerekkel, amelyek csak differenciálalgebrai egyenletekkel írhatók le a [ Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek) ] pontban foglalkozunk részletesebben.

2.1. definíció:

Egy közönséges differenciálegyenlet (ODE) egy olyan összefüggés, amelyben szereplő függvény egyváltozós, és ennek a független változó szerinti, ún. közönséges deriváltai lépnek fe.

Koncentrált paraméterű rendszereket (pl. többtest rendszereket) ODE-kkel írjuk le.

2.1. példa: A matematikai inga differenciálegyenlete (mozgásegyenlete), [ Matematikai inga. ]

2.1. ábra - Matematikai inga.

A 0 pontra felírt perdülettételből először a következő helyettesítéssel kapjuk:

,,

(2.1)

(2.2)

A (2.1) és (2.2) egyenleteket a mozgásegyenlet minimális reprezentációinak, vagy a rendszer állapotegyenletének is szokás hívni lásd [ Állapotegyenletek ] pontot).

2.2. definíció:

Egy parciális differenciálegyenlet egy összefüggés, amely tartalmaz egy két vagy többváltozós függvényt és annak változók szerinti parciális deriváltjait.

A (hely szerint) megoszló paraméterű rendszereket (pl. folytonos mechanikai rendszereket) parciális DE-vel írják le.

2.2. példa: Prizmatikus rúd longitudinális rezgései, [ Rúd longitudinális rezgései. ]

2.2. ábra - Rúd longitudinális rezgései.

Mivel a rúd idevágó fizikai paraméterei (merevség, tömeg és adott esetben, ha változik a keresztmetszet) megoszlanak a rúd hossza mentén, parciális differenciálegyenlet szükséges a rendszer dinamikájának a leírására.

A karcsú prizmatikus rúd longitudinális hullámegyenlete az alábbi alakú:

ahol

: a sűrűség,

: a rugalmassági modulus,

: a rúd keresztmetszetének területe,

: a rúd hossza,

: az össztömeg.

A rúdirányú elmozdulás idő szerint és hely szerinti deriváltjai is megjelennek az egyenletben. Az ilyen egyenlet egzakt megoldásával egyelőre nem foglalkozunk.


2.1. Megjegyzés:

A megoszló paraméterű rendszert egy megfelelő térbeli diszkretizációval nyert koncentrált paraméterű rendszerrel közelítjük [ A longitudinális rezgéseket leíró diszkrét modell. ]. Ebben az esetben a parciális differenciális egyenlet helyett közönséges differenciálegyenleteket kapunk.

2.3. ábra - A longitudinális rezgéseket leíró diszkrét modell.

ahol és .

Mátrixos formában a gyorsulásokat kifejezve:

,

ahol az mátrixot szokás a rendszer „merevségi” mátrixának is nevezni.

Ez a tananyag elsősorban a koncentrált paraméterű rendszereket tárgyalja. Az ilyen estekben, a dinamikai rendszerek közönséges differenciálegyenletekkel írhatók le:

(2.3)

vagy kifejezve -re,

(2.4)

2.2. Megjegyzések:

1. Nem minden esetben lehetséges implicit egyenletről áttérni analitikusan az explicit alakra.

2. A gyakorlatban vannak olyan rendszerek, amelyek csak kapcsolt differenciál- és algebrai egyenletekkel írhatók le. Erre a több testből álló kinematikai hurkokkal rendelkező rendszerek szolgálnak példával.

3. A differenciálegyenlet legmagasabb deriváltjának foka adja a DE rendjét.

4. Egy -ed rendű differenciálegyenlet megoldásához meg kell határoznunk minden folytonosan differenciálható függvényt és a deriváltjait, amelyek kielégítik a DE-et.

5. A rendszerdinamikában az ismeretlen függvény az időtől függ. Az idő szerinti deriváltjait a következőkben a mennyiség feletti ponttal () jelöljük, a felső indexbe jelzett fordított vessző () helyett.

2.3. példa: Csillapított rugó-tömeg rezgőrendszer, [ Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer. ]

(2.5)

(2.6)

2.4. ábra - Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer.

2. Állapotegyenletek

Bevezetve az állapotváltozókat és a következő helyettesítéseket

(2.7)

a (2.4) egyenlet db elsőrendű differenciálegyenletre transzformálható.

2.4. példa: Egydimenziós rezgőrendszer

Az egydimenziós rezgőrendszer mozgásegyenlete a csillapítatlan körfrekvenciával, Lehr-féle csillapítással és gerjesztéssel a következő alakú:

.

Alkalmazva a következő helyettesítéseket

,

,

megkapjuk az elsőrendű DE-rendszert:

,

.

Általában célszerű alkalmazni ezt a transzformációt ahhoz, hogy további kutatásokat folytassunk az elsőrendű differenciálegyenlet rendszeren.

2.3. definíció:

Az általános állapotegyenlet egy véges dimenziójú, nemlineáris és az időnek folytonos dinamikai rendszere, állapotváltozóval és kimenő mennyiséggel a következő alakú:

állapotegyenlet

(2.8)

mérési, megfigyelési vagy kimeneti egyenlet

(2.9)

ahol

– állapotvektor,

– a kimenő jelek vektora,

– a bemenő (vezérlő) jelek vektora,

rendre , méretű nemlineáris vektorfüggvények.

2.5. ábra - Nemlineáris állapotegyenlet blokkvázlata.

2.5. példa: Tömegpont

Impulzus tétel: .

Helyettesítés:

Állapotegyenlet:

2.6. példa: Viszko-csillapítású rugó-tömeg rezgőrendszer, [ Koncentrált paraméterű egyszerű rezgőrendszer. ]

Helyettesítés:

Állapotegyenlet:

Itt, a a gerjesztő erő képviseli az vezérlő tényezőt.

2.7. példa: Matematikai inga, [ Matematikai inga. ]

Állapot mennyiségek:

(helyzet),

(sebesség).

Állapotegyenletek:

,

.

2.8. példa: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál, [ 9 ]

Állapotmennyiség: (termés, pl. halak) .

Vezérlő tényező: (eltávolítás, pl. halászat).

Állapotegyenlet: kapacitási határ.

2.6. ábra - Blokkvázlat: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál.

2.3. Megjegyzések:

1. Az állapotegyenlet nemlinearitását a dinamikai rendszer szerkezete határozza meg, pl. az állapotváltozók kitevője vagy a nemlineáris karakterisztikák.

2. A nemlineáris állapotegyenletek megoldása analitikusan többnyire lehetetlen. Valamilyen numerikus megoldás válik szükségessé (szimuláció).


3. Állandósult megoldások és egyensúlyi helyzetek

2.4. definíció:

A dinamikai rendszer megoldását állandósult (stacionárius) megoldásnak nevezzük, ha az gerjesztésre azt találjuk, hogy

(2.10)

azaz, és ahol a szabad (nem gerjesztett, nem vezérelt) rendszer egyensúlyi helyzete.

2.4. Megjegyzés:

Általában a (2.10) egyenlet nemlineáris. A megoldások többnyire numerikus közelítésekből származnak, lásd a [ Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása ]. fejezetet.

2.9. példa: Tömegpont

és .

Azaz, egy egyensúlyi helyzetet akkor érünk el, ha a gerjesztő erő zérus és a pont az eredeti egyensúlyi helyzetben marad.

2.10. példa: Viszkózus csillapítású rugó-tömeg rezgőrendszer

, ahol

.

A tömeg az helyzetet veszi fel a gravitációs erőnek köszönhetően.

2.11. példa: Matematikai inga

azaz

Ez a példa megmutatja, hogy az egyensúlyi helyzetek különböző tulajdonságúak, ha pl. összevetjük az és egyensúlyi helyzeteket.

2.12. példa: Logisztikus növekedés állandó terméshozamnál

Az egyensúlyi helyzetet az alábbiak szerint definiáljuk:

.

Különösen érdekes, ha , akkor ezt kapjuk:

.

4. Lineáris állapotegyenletek

Valójában nemlineáris rendszerekkel inkább gyakrabban találkozunk, mint nem. Nem triviális esetektől eltekintve, ez nagy nehézségeket okozhat. Ezért vagyunk érdekeltek abban, hogy nagy erőfeszítésekkel kutatassuk a nemlineáris összefüggések lineárissal való közelítését. Ilyen módon egy lineáris közelítést kapunk, amely tükrözi az eredeti rendszer viselkedését eltekintve egy bizonyos hibától. De ezek a közelítések elsősorban könnyen kezelhetők és megoldhatók. Általában megfigyelhetjük, hogy a lineáris közelítéssel kapott összefüggések csak bizonyos mértékig érvényesek, a hiba olyan mértékben növekszik, mint amilyen mértékben megsértjük a közelítés érvényességét.

A linearizálás alapelve könnyen leírható egy elegendően sima egy változós függvény segítségével.

2.7. ábra - Egyváltozós skalárfüggvény linearizálása.

Ez a függvény egy egyenessel közelíthető az adott pont közelében. A pont környezetét a rendszer viselkedése vonatkozásában vizsgáljuk.

(2.11)

Az alábbi koordináta transzformáció alkalmazásával

(2.12)

végül megkapjuk a homogén, lineáris összefüggést:

(2.13)

A (többváltozós) függvények linearizálásának egy általános módszere a Taylor-sorfejtés (részletesen később tárgyaljuk).

2.13. példa: Szinusz függvény

Linearizáljuk az függvényt körül, ahol . A fent leírtak szerint járunk el:

.

A transzformáció után megkapjuk a lineáris összefüggést a konstans meredekséggel:

.


Kis szögre megkapjuk az inga lineáris egyenletét:

.

A lineáris kifejezés pontosabb meghatározása érdekében a következő definíciót alkalmazzuk

2.5. definíció:

Egy függvény lineáris, ha fennállnak a következő tulajdonságok:

(2.14)

(2.15)

Ez a definíció akkor is alkalmazható, ha és vektor és vektorfüggvény.

Az additivitási tulajdonság leírása blokkvázlattal:

2.8. ábra - Az additivitás blokkvázlata.

2.15. példa: Nemlineáris függvények

,

,

.

Egy példa a szakaszonként lineáris függvényre, de egészében tekintve mégis nemlineáris függvénykapcsolat, amelyet a [ A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata. ] szemléltet.

2.9. ábra - Nemlineáris erő karakterisztika (hézaggal kombinálva).

Az állapotegyenletek linearizálását bármilyen és (nem feltétlenül konstans!) időfüggő célfolyamatok közelében hajthatjuk végre. Feladattól függően azonban ésszerű azon referencia folyamatok környezetében linearizálni, amelyek egyensúlyi helyzetben vannak, azaz állandósult rendszermegoldások.

,

feltéve és ,

-és -lal, amelyek a rendszer jellemzői paraméterei. Behelyettesítve ezeket az összefüggéseket a nemlineáris állapotegyenletekbe és Taylor-sorba fejtve az és függvényeket a és pontok körül a második taggal bezárólag, kapjuk:

(2.16)

(2.17)

Mivel a referencia megoldásoknak is ki kell elégíteniük a (2.8) és (2.9) alapösszefüggéseket, ebből következik, hogy

és .

Ha ezt figyelembe vesszük (2.16) és (2.17)-ben, akkor megkapjuk a lineáris állapotegyenleteket:

(2.18)

(2.19)

A Jacobi mátrixok bevezetése után

(2.20)

a lineáris egyenletek

(2.21)

(2.22)

Részletes formában kapjuk:

(2.23)

A és helyett ismét és -t írunk, és végül megkapjuk a lineáris dinamikai állapotegyenleteket:

(2.24)

(2.25)

ahol a mátrixok

– rendszermátrix,

– bemenő jelek mátrixa,

– megfigyelő mátrix (szintén: mérési mátrix vagy kimenő jelek mátrixa),

– közvetlen csatolás mátrixa.

Egy még tömörebb alakot kapunk, ha az és mátrixokat beépítjük egy méretű hipermátrixba:

(2.26)

A (2.24) and (2.25) segítségével igazoljuk a lineáris dinamikai rendszer sajátos jellemzőit:

1. Arányosság: -rel és igaz, hogy .

2. Szuperpozíció:

2.10. ábra - A lineáris állapotegyenletek blokkvázlata.

2.5. Megjegyzések:

Idővariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az és mátrixok az időnek explicit függvényei

(2.27)

Az időinvariáns rendszerről akkor beszélünk, ha az és mátrixok konstansok

(2.28)

Az időinvariáns rendszer gyakran abban az esetben áll elő, amikor .


.

2.17. példa: Csillapítatlan logisztikus növekedés

Az egyensúlyi pont körüli linearizálással kapjuk, hogy:

,

és a körül közelítve:

.

2.18. példa: Linearizálás periodikus megoldásra

,

az

referenciával.

A Jacobi mátrix:

.

Következésképp, a lineáris rendszer állapotegyenlete az alábbi alakú

.

5. Rendszerdinamika jellemző feladatainak elemzése az állapotegyenletek segítségével [ 3 ]

I. Feladat: Az állapotegyenlet megoldása [ Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon ]-[ Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása ]. fejezet)

Keressük az függvényt, azaz a idő és vezérléstől függő állapot jellemző tulajdonságait.

Három estet kell megkülönböztetni:

1. Nemlineáris állapotegyenletek:

1. Ebben az esetben, az állapotegyenletek megoldása vagy teljesen lehetetlen vagy közelítőleg határozható meg.

1. Lineáris idővariáns rendszer:

1. Csak formális közelítés létezik a megoldásra. A nehézségek nagyon hasonlóak az 1. esethez.

1. Lineáris időinvariáns állapotegyenletek:

1. Csak ebben az estben rendelkezünk explicit megoldással. De nehézségek itt is előfordulnak magasabb rendű rendszerekre.

Mivel az állapotegyenletek explicit megoldása csak ritkán lehetséges, a rendszer vizsgálatát más módon kell megtenni, és így a következőkben tárgyalt sajátos kérdésekre kell koncentrálnunk.

II. Feladat: Stabilitás [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet)

Egy műszaki rendszert nem engedhetünk sem elszabadulni, sem felrobbanni. Az állapotvektornak végesnek kell lennie. Ezzel összefüggésben, azzal a kérdéssel foglalkozunk, hogy mely paraméter értékeknél lehet stabilitás a definíció széles értelemében:

, midőn ,,

vagylagosan mikor válik a rendszer instabillá (labilissá), azaz

, midőn .

A stabilitás kérdését az egyenlet megoldása nélkül is meg kell tudnunk válaszolni. Nehézségekbe ütközhetünk nemlineáris és idővariáns rendszereknél, míg lineáris rendszerekre könnyű stabilitási megállapításokat tenni.

III. Feladat: Irányíthatóság (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

A felhasználó bizonyára egyszerű irányítási rendszer tervezésében érdekelt. Ebben a vonatkozásban felvetődik a kérdés, hogy vajon a rendszer irányítható-e vagy sem, azaz, az vezérlő értéke megválasztható-e oly módon, hogy a rendszer egy tetszőleges állapotból átvihető legyen egy célállapotba. Ez a feladat megoldható lineáris rendszerekre, ugyanakkor még nagyok a nehézségeink nemlineáris rendszerek esetén.

2.6. definíció:

Egy -ed rendű rendszer teljesen irányítható, ha a rendszer bármilyen kezdeti feltételből bármilyen állapotba vihető véges idő alatt egy irányítással (bemenő függvénnyel) a intervallumon úgy, hogy a megoldás trajektóriája, amely az -ból indul a időpontban kielégiti az értéket.

A Kálmán-féle kritériumot (Kern (2002)) biztosítani kell az irányíthatóság kézbentartása céljából.

IV. Feladat: Optimalizálás (átfogóan nem tárgyaljuk a következőkben)

Egy rendszernek egy kezdeti állapotból egy adott végállapotba történő irányítási feladata rendszerint többféle irányítási programmal megoldható. Itt az irányítást oly módon kell megválasztani, hogy egy olyan folyamatot érjünk el, amely a lehető legolcsóbb és olyan gyors, amilyen csak lehet. Az eredmények optimális kritériumok, amelyekre az optimális vezérlést alapozni kell.

V. Feladat: Irányítás (lásd Automatika)

Kétféleképpen határozhatjuk meg az irányítási módszert:

1. mint az időfüggvénye, azaz ,

2. mint az állapot függvénye, azaz .

Az első eset a szűk értelemben vett irányítás (vezérlés), míg a második esetben visszacsatolásról beszélünk, és -t a szabályozó fogja szolgáltatni. A lehető legegyszerűbb és bizonyos értelemben optimális szabályozó meghatározása az irányítástechnika legfontosabb feladata.

VI. Feladat: Szimuláció [ Az állapot egyenletek normál koordinátákkal ]-[ Nemlineáris rendszeregyenletek numerikus megoldása ]. fejezetek)

A szimuláció (a latin “simulatio= szinlelés” kifejezésből) egy valós rendszer imitációja. A szimulálás tevékenysége nem a valós rendszer elemzésén, hanem a rendszer modelljén alapszik. Az irodalomban, a szimuláció (szűk értelemben) a (többnyire numerikus) megoldásra és a rendszeregyenletek értelmezésére vonatkozik.

VII. Feladat: Identifikáció [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezet)

A rendszerelemzés elméleti megközelítése (deduktív modellezés; deduktív = az általánosról a speciálisra való következtetés) legtöbbször nem elegendő, mivel a rendszerparamétereket vagy nehéz meghatározni vagy teljesen lehetetlen. Ezekben az esetekben kísérlettel szükséges azonosítani a teljes szerkezetet vagy az elemzni kívánt szerkezet paramétereit.

A dinamikai rendszerek matematikai leírása

A dinamikai rendszerek matematikai leírása




3. fejezet - Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer

1. Differenciálalgebrai-egyenletrendszer (DAE-rendszerek)

Eddig a rendszer egyenleteket explicit alakban adtuk meg, ez azt jelenti, hogy az állapotváltozó sebessége kifejezhető az állapotot és az bemenő mennyiséget tartalmazó számítási szabállyal.

Számos alkalmazásban, a rendszeregyenletek (2.3)–mal összhangban csak implicit alakban léteznek:

(3.1)

Ebben az esetben, nem számítható ki a rendszer függvény egyszerű elemzésével, hanem (3.1) egyenletet meg kell oldani -ra.

A DAE-rendszerek speciális esetet képviselnek: Itt az állapotvektor az és két részvektorból áll, lásd [ Az egyenlet szerkezete ] pont:

(3.2)

ahol azon változókat tartalmazza, amelyek deriváltjai is szerepelnek az egyenletben, míg mindazon változókat, amelyek deriváltjai nem fordulnak elő.

A következő rendszer egy speciális eset, amely gyakran előfordul:

(3.3)

A differenciálegyenletek ezen speciális alakjait szokás Hessenberg-féle alaknak is nevezni.

Ha megoldható -ra, akkor beilleszthető és átvihető egy közönséges ODE-rendszerbe (ODE= közönséges differenciálegyenlet).

Gyakran nem pontosan ez a helyzet: Például, lehet, hogy nem függ -tól. Ebben az esetben, természetesen, nem eliminálható -val. Itt csak úgy eliminálható, ha (3.3) –at idő szerint egyszer vagy többször deriváljuk.

3.1. példa: Nemlineáris egyszerű inga, mint DAE rendszer

Egy tömegpont, amely csak az -síkban mozoghat, egy hosszúságú súlytalan rúdra fel van függesztve egy pontra, amely körül súrlódásmentesen forog.

Az és pontok távolságát vízszintes irányban , függőleges irányban jelöli.

3.1. ábra - Nemlineáris, egyszerű inga.

Az impulzus tétel és irányban:

(3.4)

A kiegészítő mennyiséggel

(3.5)

megkapjuk a következő mozgásegyenleteket:

(3.6)

Elsőrendű differenciálegyenleteket kaphatunk az alábbi helyettesítésekkel:

(3.7)

Ezután felírjuk a kinematikai kényszert

(3.8)

és a következő DAE-rendszert nyerjük:

(3.9)

Így a (3.9) alatti öt egyenletet kaptunk az öt és változóra.

Az állapotváltozók szétválasztása után kapjuk, hogy:

(3.10)

A (3.9) rendszeregyenletet természetesen közönséges egyenletrendszerré (ODE) transzformáljuk. Ez elérhető a (3.9) idő szerinti differenciálásával és megfelelő átalakításával. Idő szerint differenciálva a (3.9) utolsó egyenletét és behelyettesítve az első kettőbe, kapjuk:

(3.11)

Ezen egyenlet további differenciálásával kapjuk:

(3.12)

Harmadszor is deriválva idő szerint a továbbiakat kapjuk

(3.13)

és végül az ODE a következő lesz:

(3.14)

Tehát (3.9) DAE-t idő szerint háromszor differenciálva végül megkaptuk a (3.14) ODE-t.

A DAE szükséges differenciálásának a számát, hogy a keresett ODE-t megkapjunk, a DAE indexének nevezzük.

3.1. definíció:

A DAE Indexe a szükséges differenciálások számát jelenti, amely a DAE-nek ODE-vé történő átalakításához szükséges.

3.1. Megjegyzések:

1. Az index azt a “távolságot” fejezi ki, amely a DAE és az ODE képei között van. A matematikai inga indexe 3.

2. Ezért egy ODE indexe 0.

3. Az olyan DAE, amelynek 1-nél nagyobb indexe, magasabb indexű DAE-nek nevezzük.

4. Egy DAE indexe a megoldás előrehaladtával változhat (helyi index).

5. Az index szintjével összhangban a numerikus megoldás nehézségei is növkedednek.

A numerikus közelítés, különösen magasabb indexű DAE-ra gyakran nagyon nehéz és bonyolult. Így még a megoldás előtt kell megpróbálnunk lecsökkenteni a rendszer indexét (lásd [ Kezdeti érték feladat megoldásának numerikus módszerei ]-[ Nemfolytonos rendszerek integrálása, DAE ]. fejezetet). A bemutatott módszert leíró alaknak is nevezik. Azonban, a kiszámítására alkalmazhatjuk a (3.12) egyenletet

és ezáltal elimináhatjuk -t a további egyenletekből.

Ebben az esetben megkapjuk az ODE-t:

Továbbá, ebben a példában és állapotmennyiségek egymástól nem függetlenek, és eltekintve az előjeltől kifejezhetők egymással

Ezt az állapot reprezentációt ezért nem minimálisnak is nevezhetjük.

3.2. Megjegyzések:

Ez a példa sokkal bonyolultabbnak látszik leíró formában, sőt még nem minimális rendszer alakjában is a (2.1) és (2.2) minimális koordinátaválasztáshoz képest. Mindazonáltal, ezen speciális állapot reprezentációkat gyakran alkalmazzuk, mert

1. a bonyolult rendszerek minimális koordinátákkal való leírása néha nagyon munkaigényesek,

2. a minimális koordinátákkal az egyenletek nagyon bonyolultak és hibára hajlamosak.

A nem minimális leírás egyik nagy hátránya, hogy a kiegészítő feltételt (a matematikai inga esetére pl. ) csak differenciális alakban vesszük figyelembe. Szükségképpen a kezdeti feltételeket úgy kell megválasztani, hogy kielégítsék a kinematikai kiegészítő feltételeket. Továbbá, a nem minimális differenciálegyenletek numerikus megoldása során a kiegészítő feltételek megváltoznak. Ez egy stabilitási eljárás alkalmazását teszi szükségessé, amely korrigálja az állapot-egyenleteket a megoldás során, úgy, hogy az algebrai kiegészítő feltételek ismét egzaktul legyenek kielégítve.

A következő fejezetben bemutatásra kerülő módszerek alkalmazásainak előnye az ilyen típusú egyenlet hatékony és pontos megoldásának képessége.

2. A hálózati módszer (“Cut-Set” vagy Multiport módszer)

2.1. Alapgondolat

Ellentétben a blokkvázlattal, a következő modell szemlétetések nem reprezentálják a modellegyenlet szerkezetét [ Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció. ], hanem a valós rendszer fizikai szerkezetét [ Objektum-orientált modellezés/szimuláció. ]. Itt minden fizikai komponenst egy blokk képvisel, amely a megfelelő interfészeken keresztül kapcsolódik és kölcsönhatásban van más komponensekkel valamint a környezettel.

3.2. ábra - Az állapotegyenleteken alapuló szimuláció.

3.3. ábra - Objektum-orientált modellezés/szimuláció.

Ezt a hálózati módszert objektumorientált módszernek is szokás nevezni.

Minden metszés (Cut) két változó jellemez:

3.4. ábra - Blokkvázlat.

ahol:

keresztváltozó: két interfész között mért mennyiség; hasonló, mint pl. a feszültség (= egy villamos kör potenciálkülönbsége),

3.5. ábra - Különbség mérése (keresztváltozó).

átmenő változó: a szerkezeten belül egy beépített eszközzel mért mennyiség; hasonló, mint a villamos áram mérése egy áramkörben.

3.6. ábra - Áramlás mérése (átmenő változó).

A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken hasonló, mint a [ 2.1. szakasz - Alapgondolat ] táblázatban.

3.1 táblázat: A keresztváltozók és az átmenő változók osztályozása az egyes tudományterületeken.

Tudomány

Keresztváltozó

Átmenő változó

mechanika

sebesség

erő

elektrotechnika

feszültség (potenciál különbség)

villamos áram

hidraulika/pneumatika

nyomás

térfogatáram

termodinamika

hőmérséklet

entrópia áram

Az objektumok csak egyféleképpen kapcsolhatók össze a hálózati (“Cut-Set“) módszerrel:

3.7. ábra - Az objektumok összekapcsolása a (“Cut-Set“) hálózati módszerrel.

A blokkok összekapcsolásánál a következő szabályokat kell betartani:

1. minden keresztváltozó azonos:

2. az átmenő változók összege zérus: .

3.3. Megjegyzés:

A kapcsolódás a fizikai komponensek közötti valóságos létező kapcsolatra épül.

Összeszerelés egy teljes rendszerré:

Az egyedi komponenseket a metszetek segítségével kapcsoljuk össze és ezek teljesítmény vesztesség nélkül viszik át a mozgást és az erőt (eltekintve disszipációtól és meghajtó hatástól, mint nyelőtől vagy forrástól).

Előnyök:

1. Itt a blokkok és kapcsolódások közvetlenül utalnak a fizikai komponensekre és a kapcsolódásaikra.

2. A matematikai modell közvetlenül a szemléltetés segítségével adódik.

2.2. Az egyenlet szerkezete

Egy általános blokk a következő két egyenletrendszer csoporton alapszik:

1. közönséges differenciálegyenlet

(3.15)

1. algebrai egyenlet

(3.16)

ahol:

1. azon változók, amelyek deriváltjait a blokkban értelmezzük ( differenciál),

2. azon változók, amelyek deriváltjai a blokkban nem jelennek meg (algebrai).

Bemenő és kimenő változók:

Azon változókat, amelyek idő szerinti deriváltjait a blokkban értelmezzük alapvetően bemenő változóknak tekintjük.

Néhányat ezen változók közül a (3.15) egyenlet segítségével a többi változóval értelmezzük.

Algebrai egyenlet példája (Matematikai inga):

3.8. ábra - Matematikai inga.

Tehát ezt kapjuk:

: bemenő változó,

: kimenő változó,

vagy

: bemenő változó,

: kimenő változó.

A (3.15) és (3.16) kombinációja eredményezi az ún. differenciál-algebrai egyenletrendszert (DAE):

, ahol

Speciális módszerek léteznek ezen rendszerek megoldására (ún. “DAE-Solver”, lásd [ Differenciál algebrai egyenletek (DAE) ] fejezetet).

3.4. Megjegyzés:

Figyelemmel a különböző típusú fizikai komponensekre (3.15) vagy (3.16) egyenletet elhagyjuk.

Grafikus szemléltetés:

Itt szintén a rendszerelemek egy fajta blokkvázlatát használjuk. Azonban, ebben az esetben a blokkok nem képviselnek matematikai műveleteket (úgy, mint a klasszikus típusú blokkvázlat), de minden esetben fizikai objektumnak felelnek meg (ac: kereszt, th: átmenő).

3.9. ábra - Grafikus személtetés.

Előjel konvenció:

3.10. ábra - Előjel konvenció.

Az átmenő változók mindig a vágás helyétől a blokkhoz mutatnak. A pozitív jel rögzítése érdekében egy vonalat rajzolunk a körhöz, a pozitív áramlási irány jelzésére.


2.3. Példák

2.3.1. Elektromos komponensek

3.2. példa: Ohmikus ellenállás

3.11. ábra - Ohmikus ellenállás.

Fizikai törvény:

csomóponti szabály,

Ohm törvénye.

3.3. példa: Induktív ellenállás

3.12. ábra - Induktív ellenállás.

Fizikai törvények:


induktivitás.

3.4. példa: Kapacitás

3.13. ábra - Kapacitás.

Fizikai törvény:


kapacitás.

3.5. Megjegyzés:

Az (a)-tól (c)-ig példák az ún. kettős csatlakozókat szemléltetik (a villamos mérnöki feladatokban gyakran alkalmazzák).

3.5. példa: Egyszerű villamos hálózatok

3.14. ábra - Egyszerű villamos hálózat.

Egyenletrendszer:

Feszültség forrás:

(algebrai).

Ohmikus ellenállás:

(algebrai),

(algebrai).

Induktív ellenállás:

(differenciál).

Kapacitás

(differenciál).

Differenciális mennyiségeket tartalmaz az egyenletrendszer:

Algebrai mennyiségek előfordulnak az egyenletrendszerben:

Ebből következik a differenciál-algebrai egyenletrendszer:


2.3.2. Mechanikai rendszerek

A mechanikai rendszerekben a multi portok ún. “kinetostatikus” átviteli elemeknek tekinthetők, amelyek a mozgást és az erőt viszik át. Tehát a „metszést” még jobban kiterjesztjük.

A helyzet, sebesség és gyorsulás kinematikai mennyiségek (keresztváltozók) az erő statikai mennyiség (átmenő változó). De a következő diagram csak egy sebességet és egy erőt foglal magába [ Multi-port rugó modell. ].

3.6. példa: Rugó

3.15. ábra - Rugó.

A pozitív erő teljesítménye pozitív a vonatkoztatási ponthoz képesti pozitív elmozdulásával.

Az erők egyensúlyából [ Rugó. ] következik:

.

A rugóra vonatkozó egyenletrendszer:

,

.

3.16. ábra - Multi-port rugó modell.

Ebben az esetben differenciálegyenletrendszer nem alkalmazható.

3.7. példa: Tömeg

3.17. ábra - Tömeg.

A tömegre vonatkozó differenciálegyenlet:

.

3.18. ábra - Multi-port tömeg modell

Szokás erre “Terminál”-ként vagy “egy-Port”-ként is hivatkozni.

3.8. példa: Rugó-tömeg rendszer.

3.19. ábra - Rugó-tömeg rendszer.

Algebrai egyenletrendszert kapunk:

,

.

A differenciálegyenlet:

.

A meglévő három egyenlet négy változót tartalmaz . Ez azt jelenti, hogy egy változó teljesen tetszőlegesen megadható. Egy rögztés előírása az lenne, egy harmonikus gerjesztés pedig lehetne.

3.6. Megjegyzés:

Mechanikai, elektromechanikai, hidraulikai és hasonló alkatrészek természetes átviteli iránnyal rendelkeznek a keresztváltozó vonatkozásában, míg az átmenő változót tekintve pedig ellentétes irányú.

3.20. ábra - Multi-port.

A metszések bal oldalon a bemenő keresztváltozóval, a jobb oldalon a kimenő átmenő változóval vannak jellemezve. A kapcsolatot a bemenő és kimenő változók között a mátrixszal írjuk le.

(3.17)

A multi-port teljesítményveszteség mentességéből következik:

(3.18)

Mátrix jelöléssel a bemenő és a kimenő kereszt- és az átmenő változók az alábbiak:

.

Ezért a (3.17) és (3.18) egyenletek tömörebb formában írhatók:

(3.19)

(3.20)

A (3.19) egyenletet beillesztve (3.20)-ba eredményül a következőt kapjuk:

.

Az átalakítás segítségével írhatjuk, hogy:

.

Mivel ez alkalmazható bármelyik vektorra, ebből következik

.

Így a transzponáltjával számítható át az átmenő változó az ellentétes oldalra.

Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer

Differenciálagebrai-egyenletrendszer, multiport módszer




4. fejezet - Az állapottér egyenletek megoldásának előállítása a fázissíkon

A következő rész a differenciál-állapotegyenletek megoldásával foglalkozik. A jelölés egyszerűsítése kedvéért, vizsgáljuk meg a következő differenciálegyenletet:

(4.1)

Ha az még az -től is független és folytonos az intervallumon, a következő megoldást kapjuk

(4.2)

összhangban az analízis alapszabályával. Az egyértelmű megadásához, további információra van szükségünk, pl. a függvény értéke az kezdeti pontnál (kezdeti érték). Ez alapján a megoldás a következő:

(4.3)

A (4.1) ODE-t kombinálva a kezdeti feltétellel kezdetiérték-feladatnak nevezzük:

(4.4)

A differenciálegyenlet dinamikai feladatokra való alkalmazásának akkor van értelme, ha

1. egy megoldás létezése (egzisztenciája) általában garantált,

2. csak egy megoldása van egy adott feladatnak (unicitás).

A következő tétel mindkettőről gondoskodik a feladatok széles körére.

Picard - Lindelöf tétele:

Ha az folytonos egy adott tartomány minden pontjában:

,

és létezik egy konstans (Lipschitz konstans), amivel

(4.5)

minden -re, akkor, minden kezdeti feltételhez létezik pontosan egy megoldás a kezdetiérték-feladatra, amely folytonos és differenciálható minden -re.

Így az állapotegyenlet pontosan egy megoldása garantált, ha az általános megkötések teljesülnek.

4.1. Megjegyzés:

1. A tétel előírásai akkor teljesülnek, ha az függvény szerinti deriváltjai korlátosak a tartományon, ekkor élhetünk a következő választással:

(4.6)

1. Ez a tétel, minden nehézség nélkül, általánosítható differenciálegyenlet-rendszerekre.

2. Csak a megoldás egzisztenciája és unicitása garantált. Egy általános-analitikus eljárás nem adható meg, kivéve a speciális eseteket. Egy fontos esetet képeznek a lineáris differenciálegyenletek. Ezek az alábbi formában adhatók meg

(4.7)

1. ahol valós együttható, amely független -től, és a gerjesztő függvény. Miért is garantált ebben az esetben a megoldás egzisztenciája és unicitása?

Ez a tétel -ed rendű differenciálegyenletekre is alkalmazható, és érvényes a következő tétel.

4.1. tétel:

Az -ed rendű differenciálegyenlet

(4.8)

teljes megoldása számú tetszőleges paramétert tartalmaz. A teljes megoldás felfogható, mint a differenciálegyenlet általános megoldása. Megfelelő kiegészítő feltételek választásával, ha megadjuk a paramétereket, megkapjuk a partikuláris megoldást.

Nemlineáris differenciálegyenletekre az általános megoldás ugyan nem lehetetlen, de legalább is nagyon nehéz. Mindazonáltal, speciális esetekre lehetséges a megoldások meghatározása. Minden más esetben az egyetlen alternatíva a numerikus közelítés.

4.1. példa: Megszakítás nélküli logisztikus növekedés

Rendszeregyenlet: .

A változók szétválasztásával kapjuk:

.

Az egyenlet mindkét oldalát külön-külön integrálva kapjuk:

.

Az kitevőre emelve az -t, átalakítások után kifejezhető:

.

Az kezdeti feltétellel végül

és ezért

.

A megoldás trajektóriája aszimptotikusan közelíti a telítési határt nagy értékeknél [ Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív). ].

.

4.1. ábra - Egyenletmegoldás logisztikus növekedésre (kvalitatív).

1. A megoldás tervezése a fázissíkon

A dinamikai rendszerek viselkedése szemléltethető az állapotváltozó időfüggvényére alkalmazott kétdimenziós diagrammal.

A rendszer viselkedéséről jobb áttekintést kaphatunk, ha elimináljuk a időt az állapotegyenletből:

(4.9)

Ezt egy két állapotváltozós rendszer példáján mutathatjuk be:

(4.10)

(4.11)

a két egyenlet hányadosának képzésével

(4.12)

a időt formálisan elimináljuk és így -re egy differenciálegyenletet kapunk, amelyben a független változó. Az teret általános esetben fázis térnek hívjuk, és fázis síknak kétszabadságfokú rendszer esetén. Az fázis térben a pont egy trajektória mentén halad, amely a rendszer időfüggő megoldásának folyamatát írja le.

4.2. példa: Lineáris giroszkópikus inga, matematikai inga

Állapotegyenletek:

(4.13)

Az egyik egyenletet elosztva a másikkal megkapjuk a fázisgörbe egyenletét

(4.14)

ahol egy integrációs konstans, amely először tetszőleges, amelyet végül a megfelelő kezdeti feltételek határoznak meg.

A (4.14) integrálásával kapjuk

(4.15)

ahol és kezdeti feltételeket behelyettesítettük a jobb oldalon.

Ebben az esetben a fázisgörbék ellipszisek kis- és nagy féltengelyek, az a rendszer szabad rezgéseinek sajátfrekvenciája lásd [ A matematikai inga fázisgörbéje. ].

4.2. ábra - A matematikai inga fázisgörbéje.

2. Lineáris állapotegyenletek megoldási módszerei

2.1. A homogén rendszer megoldása, alapmátrix

A lineáris állapotegyenletek teljes megoldásai viszonylag egyszerűen előállíthatók. Bizonyos technikai nehézségek elkerülése céljából a következő szakasz pótlólagosan feltételezi, hogy a rendszermátrixnak csak egyszeres sajátértékei vannak, azaz minden sajátérték csak egyszer fordul elő.

A homogén állapotegyenlet

(4.16)

megoldását a következő alakba keressük

(4.17)

amelyet visszahelyettesítünk a differenciálegyenletbe:

(4.18)

Mivel , az egyenletet elosztjuk -val és közvetlenül egy homogén, lineáris egyenletrendszert kapunk:

(4.19)

A (4.19) egyenlet egy sajátértékfeladatot határoz meg sajátértékekkel és sajátvektorokkal, az utóbbiak egy tetszőleges konstans erejéig határozottak. A sajátvektorokat egységnyi hosszúra normalizáljuk:

.

A következőkben feltételezzük, hogy a

,

Euklideszi normát alkalmazzuk.

A teljes megoldást a sajátvektorok lineáris kombinációival írjuk fel:

(4.20)

A kezdeti feltétel -nál a következő:

(4.21)

A sajátvektorok alkotta oszlopvektorok egy ún. modális mátrixot határoznak meg

(4.22)

a sajátértékek egy diagonális mátrixot alkotnak

(4.23)

és a konstansokat egy oszlopvektorba gyűjtjük

(4.24)

végül az általános megoldásra az alábbi kifejezést kapjuk:

(4.25)

Az mátrix skaláris exponenciális elemeit sorba fejtjük. Nyilvánvalóan ez kielégíti a Taylor-sorfejtés definícióját:

(4.26)

Továbbá igaz, hogy a modális mátrix inverze létezik (mivel a sajátvektorok függetlenek egymástól):

(4.27)

Innen megkapjuk a teljes megoldást

(4.28)

A zárójelezett kifejezés képviseli az alapmátrixot, azaz:

(4.29)

A diagonális mátrixra vonatkozó definíciót alkalmazva szintén igaz, hogy

(4.30)

Az alapmátrix az kezdeti állapotból az állapotba való átmenetet írja le. Egy még általánosabb megközelítés szerint, az kezdeti feltételből kiindulva a jelölést is alkalmazhatjuk.

Az mátrix számos fontos tulajdonsággal rendelkezik, amelyek nagymértékben egybeesnek a skaláris exponenciális függvények tulajdonságaival:

1. Differenciálhatóság: .

2. Regularitás: .

3. Műveleti szabályok:

,

,

.

4.2. Megjegyzés:

A (4.30) egyenlet csak egy speciális esete egy mátrix függvénynek; pl. az szintén igaz, hogy

(4.31)

azaz, egy mátrix függvényt a (4.31)-el megadott alakkal összhangban fogjuk elemezni, az modális mátrixszal, és a függvényt a diagonális mátrix főátló elemeire egyenként alkalmazva. A további számítási módszerek a Taylor-soron és a Cayley és Hamilton tételén alapszanak.

4.3. példa: Egydimenziós rezgőrendszer

Van egy rendszerünk

,

amely egy egydimenziós rezgőrendszer gerjesztett rezgéseit írja le. Ki kell számítanunk a homogén differenciálegyenlet általános megoldását.

Az állapotegyenletek

és

,

vagy mátrix formában

(4.32)

A rendszermátrix meghatározza a és a sajátértékeket, valamint a megfelelő sajátvektorokat:

és .

Ezzel megkapjuk a modális mátrixot

(4.33)

így az alapmátrix

(4.34)

A homogén egyenlet általános megoldása, tekintettel (4.28)-ra, adott:

(4.35)

egy tetszőleges kezdeti vektorral.

2.2. Az inhomogén állapotegyenlet megoldása

Ha egy rendszer külső gerjesztésnek van kitéve, akkor a következő állapotegyenletet kapjuk:

(4.36)

Ezen kívül -ról feltételezzük, hogy konstans. A (4.36) megoldása a (4.38) homogén és a külső gerjesztésből származó inhomogén részéből áll, azaz, ezek szerint:

(4.37)

A partikuláris megoldás meghatározására használhatjuk a konstansok variálásának módszerét. Ehhez a következőből indulunk ki:

(4.38)

ahol a variált konstans.

A (4.38) időszerinti differenciálása után kapjuk:

(4.39)

Mivel , ez azt eredményezi, hogy:

(4.40)

A (4.40) egyenlet idő szerint közvetlenül integrálható:

(4.41)

Mivel csak egy partikuláris megoldásra van szükségünk a -át választjuk, miután az általános és teljes megoldás:

(4.42)

A jobb oldalon az első tag a rendszer szabad mozgását írja le az adott kezdeti feltétellel, míg a második összetevő a gerjesztett mozgást fejezi ki a gerjesztés hatására. Nagyon fontos megjegyezni, hogy az összefüggéa az első tag nullához konvergál az időben. Ez az eset akkor fordul elő, ha egy szabadrendszer megfelel bizonyos stabilitási feltételeknek, lásd [ Identifikáció és optimalizálás, stabilitás ]. fejezetet. Itt a rendszer állandósult viselkedését a második összetevő írja le.

4.4. példa: Egydimenziós gerjesztett rezgőrendszer

A következő megoldást kapjuk a [ 2.1. szakasz - A homogén rendszer megoldása, alapmátrix ] rezgőrendszerére

(4.43)

Egyenlővé tesszük a kezdeti feltételt zéróval, azaz és megkapjuk a megoldást:

regi.tankonyvtar.hu · Web viewEgy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek,...

Documents

Transcript of regi.tankonyvtar.hu · Web viewEgy járműrendszeren, a vezető által meghatározott mennyiségek,...