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© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot N OMBRES RÉELS 1 Approxi matio ns d’ un réel 1.1 Ensem bles d e nombres Notat ion 1.1 On note R l’ense mbl e des nombres réels. On note Q l’ense mble des nombres rationnels i.e. l’ens emble des nom bres de la forme p q avec ( p, q) ∈ Z × N ∗ . Un nom bre réel non ratio nne l est dit irrationnel. On note D l’en semble des nombres décimaux i.e. l’ensemble des nombres de la forme a 10 n avec (a, n) ∈ Z × N. On note Z l’ensem ble des entiers relatifs. On note N l’ensem ble des entiers naturels. Remarque. On a N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R. Exemple 1.1 √ 2 est irrationnel. 1.2 Partie en tiè re Le théorème suivant découle de la const ructi on des ent iers . Théorème 1.1 Propriété fondamentale des entiers T oute par ti e non vi de et maj or ée ( r esp. mi nor é e) de Z admet un pl us grand él émen t ( r es p. un pl us pet i t élément). Ce théorème légi time la défini tion suiv ant e. Définition 1.1 Partie entière d’un réel Soit x ∈ R. On appe lle partie entière de x , notée x, le plu s gra nd en tie r rel ati f inf éri eur ou éga l à x . Proposition 1.1 Caractérisation de la partie entière k = x ⇐ ⇒ x − 1 < k x ⇐ ⇒ k x < k + 1 Remarque. Il pour ra être uti le dan s les exercices de remarquer que si n et p son t des entiers n < p ⇐ ⇒ n p − 1 ⇐⇒ n + 1 p Remarque. On appell e partie fractionnaire de x le réel noté {x} = x − x. On a d o n c { x} ∈ [ 0, 1[. http://laurentb.garcin.free.fr 1
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notes de cours sur les nombres réels
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NOMBRES RÉELS
1.1 Ensembles de nombres
Notation 1.1
O n n o te R l ’ e n s em b le d e s n o mb r e s réels.
O n n o te Q l ’ e n s em b le d e s n o mb r e s rationnels i . e. l ’e n se mb l e d e s n o mb r es d e l a f o rm e p q avec ( p, q) ∈
Z× N∗. U n n o mb r e r é e l n o n r a t i on n el e s t d i t irrationnel.
O n n o t e D l ’ e ns e mb l e d e s n o mb r e s décimaux i . e . l ’ e n s e m b l e d e s n o m b r e s d e l a f o r m e a 10n
avec (a, n) ∈ Z× N.
O n n o te Z l ’ e n s e mb l e d e s entiers relatifs.
O n n o te N l ’ e n s e mb l e d e s entiers naturels.
Remarque. On a N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Exemple 1.1
√ 2 est irrationnel.
1.2 Partie entière
L e t h é o rè m e s u i v an t d é c o u l e d e l a c o n s tr u c t io n d e s e n ti e r s.
Théorème 1.1 Propriété fondamentale des entiers
To ut e p ar ti e n on v id e e t m a jo ré e ( re sp . m in or ée ) d e Z a d me t u n p lu s g ra nd é lé me nt ( re sp . u n p lu s p e ti t élément).
C e t h é o rè m e l é g it i m e l a d éfin it i o n s u i va n te .
Définition 1.1 Partie entière d’un réel
Soit x ∈ R. O n a p p el l e partie entière de x , n o té e x, l e p l us g r an d e nt i er r e la t if i n fé r ie u r o u é g al à x .
Proposition 1.1 Caractérisation de la partie entière
k = x ⇐⇒ x − 1 < k x ⇐⇒ k x < k + 1
Remarque. I l p o u rr a ê t re u t il e d a ns l e s e x e r ci c es d e r e ma r qu e r q u e s i n et p s o nt d e s entiers
n < p ⇐⇒ n p − 1 ⇐⇒ n + 1 p
Remarque. O n a p p e l le partie fractionnaire de x l e r é e l n o t é {x} = x − x. O n a d o n c {x} ∈ [0, 1[.
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Proposition 1.2 Propriétés de la partie entière
( i ) L a p a rt i e e nt i èr e e s t u n e a p pl i ca t io n c r oi s sa nt e .
(ii) ∀x ∈ R, x = x ⇐⇒ x ∈ Z.
(iii) ∀(x, n) ∈R× Z, x + n = x + n.
Attention ! E n g é n é ra l , x + y = x + y et nx = nx m ê me s i n e s t e n ti e r .
Attention ! L a p a r t ie e n ti è r e e s t c r o i ss a nt e i . e .
∀(x, y) ∈R2, x y =⇒ x y
M a i s l a p a r t ie e n ti è r e n ’ e s t p a s s t r i ct e m en t c r o i s s a nt e i . e .
∀(x, y)inR2, x < y =⇒ x < y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
L a p a r t ie e n ti è r e e s t c r o is s a nt e .
L a p a r t i e e n t i è r e e s t c o n s t a n t e p a r m o r c e a u x .
L a p a rt i e e nt iè r e p r és e nt e d e s d i sc o nt i nu i té e n l e s e n ti e r s r e l a t i f s.
L a p a r t i e e n t i è r e e s t c o n t i n u e e n t o u t r é e l n o n entier.
Graphe de la partie entière
Remarque. Pour x ∈ R, l e p l us p e t it e nt i er r e la t if s u p ér i eu r o u é g al à x s e n o t e x. Si k ∈ Z, a l or s
k = x ⇐⇒ x k < x + 1 ⇐⇒ k − 1 < x k
O n a e n f a i t x = −−x.
1.3 Approximations décimales
Définition 1.2
Soient x ∈R et n ∈N. O n p o s e Dn =
a 10n
, a ∈ Z
.
O n a p p el l e valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut l ’ u n i q ue d é c i ma l α n ∈ Dn t e l q u e α x < α + 10−n.
O n a p p e l le valeur décimale approchée de x à 10−n près par excès l’unique décimal βn ∈ Dn tel que β − 10−n < x β.
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Exemple 1.2
3, 1415 e s t u n e va l eu r d é ci ma l e a p pr o ch é e d e π à 10−4 p r ès p a r d é fa u t. 3, 1416 e s t u n e va l eu r d é ci ma l e a p pr o ch é e d e π à 10−4 p r ès p a r e x cè s .
Remarque. O n p e u t e x p r im e r α n et βn. E n f a i t ,
α n = 10nx
10n βn =
10nx 10n
Si x ∈ D, a l or s α n = βn = x. Sinon, βn = α n + 10−n.
Remarque. α e s t l e n o m b r e d é c i m a l d o n t l e s d é c i m a l e s ( c h iffr e s a p r è s l a v i r g u l e ) s o n t l e s n premières décimales de x .
1.4 Densité dans R
Définition 1.3 Densité
Soit A u n e p a rt i e d e R. O n d i t q u e A est dense dans R s i t o ut i nt e rva l le o u ve r t n o n v i de d e R c o n t ie n t a u m o in s u n é l ém e nt d e A.
Proposition 1.3 Caractérisation « epsilonesque » de la densité
Soit A u n e p a r t i e d e R. A e s t d e ns e d a ns R si et seulement si
∀x ∈R, ∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A = ∅
Proposition 1.4 Caractérisation séquentielle de la densité
Soit A u n e p ar ti e d e R. A e s t d e ns e d a ns R si et seulement si p o u r t o ut x ∈ R, i l e xi st e u ne s ui te (xn)
d’éléments de A d e l i m it e x.
Proposition 1.5 Densité de D, Q et R \Q dans R
D, Q et R \Q s o nt d e n s es d a n s R.
2 Relation d’ordre sur R
2.1 Majoration et minoration
Définition 2.1 Parties majorées, minorées, bornées
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n d i t q u e A est majorée s ’ i l e x i s te M ∈ R t e l q u e x M p o u r t o ut x ∈ A. D a n s c e c a s , o n d i t q u e M e s t u n majorant de A.
O n d it q ue A est minorée s ’ i l e x i s te m ∈ R t e l q u e x m p o u r t o ut x ∈ A. D an s c e c as , o n d it q ue m e st u n minorant de A.
O n d i t q u e A est bornée s i e l le e s t m a j o r ée e t m i no r ée .
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Proposition 2.1
Soit A u n e p a rt i e d e R. A e s t b o r né e si et seulement si i l e x i s te K ∈ R t e l q u e |x| K p o u r t o ut x ∈ A.
2.2 Maxima et minima
Définition 2.2 Maximum et minimum
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n d i t q u e M e st l e maximum o u l e plus grand élément de A si M ∈ A et M e st u n m a j or a nt d e A. O n n o t e a l o r s m = min A.
O n d i t q u e m e s t l e minimum o u l e plus petit élément de A si m ∈ A et m e s t u n m i no r an t d e A. O n n o te a l or s M = max A.
Exemple 2.1
−1 et 1 s o nt r e s p e ct i ve m e nt l e m i n im u m e t l e m a x im um d e l ’ i nt e r va l l e [−1, 1 ].
Attention ! U n e p ar ti e d e R n ’ ad m et p a s f o rc é me nt d e m a xi mu m o u d e m in i mu m . P ar e x em p le , ] − 1, 1[
n ’ a dm e t n i m i n im u m n i m a x im u m. E n p a r t ic u l ie r , −1 et 1 n e s on t p as l e m in imu m e t l e m ax imu m d e ] − 1, 1[
p u i sq u ’ i ls n ’ a p pa r t ie n n e nt p a s à c e t i n te r va l l e.
2.3 Bornes inférieures et supérieures
Définition 2.3 Borne inférieure et supérieure
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n a p p e l le borne supérieure de A l e m i ni mu m d e l ’ en s em bl e d e s m a j or a nt s d e A, s’il existe. D a n s c e c a s , o n l e n o t e s u p A.
O n a p p e l le borne inférieure de A l e m ax i mu m d e l ’ en s em bl e d e s m i no r an ts d e A, s’il existe . D an s c e c a s , o n l e n o t e i n f A.
R i en n e g a ra nt i t a p r io r i l ’e x is t en c e d ’ un e b o r ne i n fé r ie u re o u s u p ér i eu r e. O n a n é an m oi n s l e t h éo r èm e s u iva nt .
Théorème 2.1 Propriété de la borne supérieure
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R p o s s è de u n e b o r n e s u p é r i eu r e ( r e s p. i n f é ri e u r e) .
Remarque. C e t h é o r è m e e s t a d m i s c a r i l d é c o u l e d i r e c t e m e n t d e l a c o n s t r u c t i o n d e R q u i e s t h o r s p r o g r a m m e . P o u r v o t r e c u l t u r e , l e c o r p s d e s r é e l s R e s t c o n s t r u i t à p a r t i r d e s c o r p s d e s r a t i o n n e l s Q d e f a ç o n à c e q u ’ i l p o s s è d e justement cette propriété de la borne supérieure.
Proposition 2.2
Soit A u n e p a rt i e d e R.
Si M = max A, a l or s M = sup A.
Si m = min A, a l or s m = inf A.
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Attention ! L e s r é ci p ro q u es s o nt f a us s es ! U n e p a r t ie d e R p e u t p o s sé d er u n e b o r ne s u p ér i eu r e ( r es p . i n fé - r i e ur e ) s a n s p o s s é d er d e m a x im u m ( r e s p . m i n im um ) .
Exemple 2.2
L e s b o r ne s i n fé r ie u re s e t s u p ér i eu r es d e [−2, 1[ sont −2 et 1. D e p l u s, −2 e st l e p l us p e t it é l ém e nt d e A mais [−2, 1[ n e p o s sè d e p a s d e p l us g r an d é l ém e nt .
L e s p r o p o s it i o n s s u i v an t es p e r m e tt e nt d e d é t e rm i n er d e s b o r n e s s u p é r i e u r es e t i n f ér i e u re s e n p r a t iq u e .
Proposition 2.3 Caractérisation « epsilonesque » des bornes inférieures et supérieures
Soient A u n e p a rt i e d e R et c ∈ R.
c = inf A si et seulement si c e st u n m i no r an t d e A e t s i p ou r t ou t ε > 0, i l e xi st e a ∈ A t el q u e c + ε > a.
c = sup A si et seulement si c e s t u n m a jo ra nt d e A e t s i p ou r t ou t ε > 0, i l e xi st e a ∈ A t e l q u e c − ε < a
Proposition 2.4 Caractérisation séquentielle des bornes inférieures ou supérieures
Soient A u n e p a rt i e d e R et c ∈ R.
c = inf A si et seulement si c e s t u n m i no r an t d e A e t s ’ il e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A de limite c .
c = sup A si et seulement si c e s t u n m a j o r a n t d e A e t s ’ il e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A de limite c .
Exercice 2.1
D é t er m i n er l e s b o r n e s s u p é r i e u re e t i n f ér i e u re d e
3
2p −
1
Méthode Passage à la borne supérieure/inférieure
Si ∀x ∈ A, x M, a l o r s s u p A M.
Si ∀x ∈ A, x M, a l o r s i n f A M.
Attention ! L e p a ss a ge à l a b o r ne s u p ér i eu r e/ i nf é ri e ur e n e c o ns e rv e q u e l e s i n ég a li t és larges, e x a c te m e nt c o mm e l e p a ss a ge à l a l i mi t e.
Exercice 2.2
Soient A et B d e ux p a rt i es n o n v i d e s d e R. O n d éfin i t A + B = {x + y | (x, y) ∈ A× B }.
1. O n s u pp o s e A et B m a j o r é es . M o nt r e r q u e s u p A + B = sup A + sup B.
2. O n s u pp o s e A et B m i n or é e s . M o n t r er q u e i n f A + B = inf A + inf B.
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Définition 2.4 Droite achevée R
O n a p p e l l e d r o i t e a c h e v é e R l’ensemble R∪ {−∞, +∞} o ù l e s é l é m e n t s −∞ et +∞ s o n t d éfin i s p a r l e s p r o p r i é t é s suivantes :
Prolongement de l’ordre ∀x ∈ R,−∞ x +∞.
Prolongement de l’addition
(+∞) × (+∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = −∞, (−∞) × (−∞) = +∞
Attention ! Fo r m es i n d é te r m in é e s C e t t e d éfin i t i on n e d o n n e a u c u n s e n s a u x e x p r es s i o ns s u i va n te s ∞ −∞,
0 ×∞ et ∞ ∞
Corollaire 2.1
To u te p a rt i e n o n v i de d e R p o s s èd e u n e b o r ne s u p ér i eu r e e t i n fé r ie u re d a ns R.
Proposition 2.5
Soit A u ne p a rt i e n o n v i de d e R.
inf A = −∞ si et seulement si p o u r t o ut m ∈ R, i l e xi st e x ∈ A t el q ue x m (i.e. A e st n on minorée).
sup A = +∞ si et seulement si p o u r t o ut M ∈ R, i l e xi st e x ∈ A t el q u e x M (i.e. A e st n on majorée).
Proposition 2.6 Caractérisation séquentielle
Soit A u n e p a r t i e d e R.
inf A = −∞ si et seulement si i l e x is t e u n e s u it e (an) d ’ é l é me n ts d e A d e l i m it e −∞.
sup A = +∞ si et seulement si i l e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A d e l i m it e +∞.
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2.5 Application aux fonctions
Définition 2.5 Fonction majorée/minorée
Soient E u n e n se mb l e ( t rè s s o uv en t u n e p a rt i e d e R) et f : E → R u n e a p pl i ca t io n . O n d i t q u e f e s t m a j or é e ( r e s p . m i n o r é e ) s u r E si f(E) ( q u i e s t u n e p a r t i e d e R) e s t m a j o r é e ( r e s p . m i n o r é e ) . U n m a j o r a n t ( r e s p . m i n o r a n t ) de f(E) e s t a p p el é u n m a j or a nt ( r es p . m i no r an t) d e f sur E . U n m a j or a nt ( r es p . u n m in o ra nt ) d e f(E) e s t a p p el é u n m a j or a nt ( r es p . u n m in o ra nt d e f sur E ). O n d i t q u e f e s t b o r n é e s u r E si f e s t m in o ré e e t m a j or é e s u r E.
Remarque. O n r e tr o uv e e n f a it l a d éfin i ti o n c l as s iq u e.
f e s t m a j or é e s u r E s ’ i l e x i s te M ∈ R t e l q u e ∀x ∈ E, f(x) M.
f e s t m in o ré e s u r E s ’ i l e x i s te m ∈R t e l q u e ∀x ∈ E, f(x) m .
D an s c e c a s, M et m s o nt r e sp e c ti ve m en t u n m a j or a nt e t u n m i no r an t d e f sur E.
Proposition 2.7
Soit f : E → R une application. f e s t b o r n é e s u r E si et seulement si |f| e s t m a j or é e s u r E .
Définition 2.6 Maximum/minimum
Soient E u n e n se mb l e e t f : E → R u n e a p pl i ca t io n . O n a p p el l e m ax i mu m ( r es p . m i ni mu m ) d e f sur E le r é el m a x f(E) ( r e s p. m i n f(E)), s’il existe . O n l e n o te p l us c o ur a mm e nt m a x
E f ( r e s p. m i n
E f) o u m a x
x∈E f(x) (resp.
f(x)).
Remarque. U n m a xi mu m ( r es p . m in i mu m ) d e f sur E e s t u n m a j or a nt ( r es p . m i no r an t) d e f sur E atteint p a r l a f o nc t io n f . A u t re m e nt d i t ,
M e s t u n m a x i m u m d e f sur E si ∀x ∈ E, f(x) M e t s ’ il e x is t e c ∈ E t e l q u e f(c) = M,
m e s t u n m i ni mu m d e f sur E si ∀x ∈ E, f(x) m e t s ’ il e x is t e c ∈ E t e l q u e f(c) = m .
Attention ! I l n e f a u t p a s c o n f o n d r e l ’ e x t r e m u m d ’ u n e f o n c t i o n e t l e p o i n t e n l e q u e l i l e s t a t t e i n t . N o t a m m e n t , l ’ e x t r e m u m e s t u n i q u e m a i s p e u t ê t r e a t t e i n t p l u s i e u r s f o i s . P a r e x e m p l e , −1 et 1 sont respectivement le minimum e t l e m ax imu m d e s in s ur R, m a is i l s s o n t a t t ei nt s u n e i nfin it é d e f o i s s u r R.
Définition 2.7 Borne supérieure/inférieure
Soient E u n e n se mb l e e t f : E → R u n e a p p l ic a t i on .
O n a p p e l le borne supérieure de f sur E l e r é e l s u p f(E), s’il existe . O n l e n o t e s u p E
f o u s u p x∈E
f(x).
O n a p p e l le borne inférieure de f sur E l e r ée l i nf f(E), s’il existe . O n l e n o t e i n f E
f ou i nf x∈E
f(x).
Remarque. P o ur q u e f p o s s è de u n e b o r n e s u p é r i e u r e ( r e s p . i n f é r i e ur e ) s u r E , i l e s t n é c e ss a ir e e t s uffis a nt q u e E s oi t n o n v id e e t q ue f s o i t m a j or é e ( r es p . m in o ré e ) s u r E , e n v er t u d e l a p r o p ri é té d e l a b o r ne s u p ér i eu r e. Si E e s t n o n v i de , f a d m et t o uj o ur s u n e b o r ne s u p ér i eu r e e t u n e b o r ne i n fé r ie u re s u r E dans R.
Exemple 2.3
Soit E u n e n s e mb l e . S o i e nt f : E → R et g : E → R d e u x f o n c t i o n s b o r n é e s s u r E . A l o r s f + g e s t b o r n é e s u r E et
sup E
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R −→ R
x −→ 1
x2 + 1
. L a b o rn e s up é ri eu re d e f est 1 e t e st a tt ei nt e e n 0 ( c’ es t d on c l e m ax imu m d e f sur
R) . L a b o r ne i n fé r ie u re d e f est 0 m a i s n ’ es t p a s a t te i nt e ( d on c f n e p o s s è d e p a s d e m i n i m u m s u r R).
Méthode Déterminer la borne inférieure/supérieure d’une fonction
I l s uffit d ’ ét a bl ir l e t a bl e au d e va r ia t io n s d e l a f o nc t io n .
Exemple 2.4
C o n s id é r o ns l a f o n c ti o n f : x → e−x 2
. O n o b t ie n t f a c i l e me n t s o n t a b l ea u d e v ar i a t io n .
x
0
O n e n d éd ui t q ue f a d me t u n m a xi mu m é g al à 1 en 0 . A f o rt i or i , s u p R f = 1.
D e p l us , i n f R f = 0 mais 0 n ’ es t p a s a t t ei n t d o n c f n ’ a dm e t p a s d e m i ni mu m s u r R.
3 Intervalles de R
L a d éfin i ti o n s u iva nt e p e r me t d e d é cr i re t o us l e s i nt e rva l le s d e R ( f e rm é s, o u ve r ts , m a j or é s, m in o ré s , . . . ) .
Définition 3.1 Intervalle de R
O n a p p e l le intervalle de R t o u t e p a r t ie I de R v é r ifia nt l a p r o p ri é t é s u i va n te :
∀(x, y) ∈ I2,∀t ∈ R, x t y ⇒ t ∈ I
Proposition 3.1
U n e i n te r s e ct i o n d ’ i nt e r va l l es e s t u n i n te r va l l e.
Proposition 3.2
L e s i n te r va l l es d e R s o nt l e s e n se mb l es d u t yp e [a, b ], [a, b[, ]a, b ] ou ]a, b[ avec a, b ∈ R t e ls q u e a b et éventuellement a = −∞ ou b = +∞ e n p o s it i on d e « b o r n e o u ve r te » .
Remarque. O n r e tr o uv e d o nc b i en t o us l e s i nt e rva l le s a u s e ns p r éc é de nt d e l ’ ac c ep t io n . L ’ e ns e mb l e v i d e e s t u n i n te r va l l e o u v e r t d e R p u i sq u ’i l e s t d u t yp e ]a, a[ avec a ∈ R.
Notation 3.1
Si I e s t u n i nt e rva l le , o n n o te I l ’ i nt e rva l le c o mp o s é d e l a r é un i on d e I e t d es b o rn es fini es d e I e t o n n ot e I l’intervalle I p r iv é d e s e s b o r ne s .
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Remarque. I e s t l e p l u s p e t i t i n t e r va l l e f e r m é c o nt e n a nt I. I e s t l e p l u s g r a n d i n te r va l l e o u v e r t c o n t e nu d a n s I .
Exemple 3.1
Si I =] − 1, 2 ], a l or s I = [−1, 2 ] et I =] − 1, 2[.
Si I =]3, +∞[, a l or s I = [3, +∞[ et I =]3, +∞[.
Si I =] −∞, 4 ], a l or s I =] −∞, 4 ] et I =] −∞, 4[.
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1.1 Ensembles de nombres
Notation 1.1
O n n o te R l ’ e n s em b le d e s n o mb r e s réels.
O n n o te Q l ’ e n s em b le d e s n o mb r e s rationnels i . e. l ’e n se mb l e d e s n o mb r es d e l a f o rm e p q avec ( p, q) ∈
Z× N∗. U n n o mb r e r é e l n o n r a t i on n el e s t d i t irrationnel.
O n n o t e D l ’ e ns e mb l e d e s n o mb r e s décimaux i . e . l ’ e n s e m b l e d e s n o m b r e s d e l a f o r m e a 10n
avec (a, n) ∈ Z× N.
O n n o te Z l ’ e n s e mb l e d e s entiers relatifs.
O n n o te N l ’ e n s e mb l e d e s entiers naturels.
Remarque. On a N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.
Exemple 1.1
√ 2 est irrationnel.
1.2 Partie entière
L e t h é o rè m e s u i v an t d é c o u l e d e l a c o n s tr u c t io n d e s e n ti e r s.
Théorème 1.1 Propriété fondamentale des entiers
To ut e p ar ti e n on v id e e t m a jo ré e ( re sp . m in or ée ) d e Z a d me t u n p lu s g ra nd é lé me nt ( re sp . u n p lu s p e ti t élément).
C e t h é o rè m e l é g it i m e l a d éfin it i o n s u i va n te .
Définition 1.1 Partie entière d’un réel
Soit x ∈ R. O n a p p el l e partie entière de x , n o té e x, l e p l us g r an d e nt i er r e la t if i n fé r ie u r o u é g al à x .
Proposition 1.1 Caractérisation de la partie entière
k = x ⇐⇒ x − 1 < k x ⇐⇒ k x < k + 1
Remarque. I l p o u rr a ê t re u t il e d a ns l e s e x e r ci c es d e r e ma r qu e r q u e s i n et p s o nt d e s entiers
n < p ⇐⇒ n p − 1 ⇐⇒ n + 1 p
Remarque. O n a p p e l le partie fractionnaire de x l e r é e l n o t é {x} = x − x. O n a d o n c {x} ∈ [0, 1[.
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Proposition 1.2 Propriétés de la partie entière
( i ) L a p a rt i e e nt i èr e e s t u n e a p pl i ca t io n c r oi s sa nt e .
(ii) ∀x ∈ R, x = x ⇐⇒ x ∈ Z.
(iii) ∀(x, n) ∈R× Z, x + n = x + n.
Attention ! E n g é n é ra l , x + y = x + y et nx = nx m ê me s i n e s t e n ti e r .
Attention ! L a p a r t ie e n ti è r e e s t c r o i ss a nt e i . e .
∀(x, y) ∈R2, x y =⇒ x y
M a i s l a p a r t ie e n ti è r e n ’ e s t p a s s t r i ct e m en t c r o i s s a nt e i . e .
∀(x, y)inR2, x < y =⇒ x < y
−3 −2 −1 1 2 3
−3
−2
−1
1
2
3
L a p a r t ie e n ti è r e e s t c r o is s a nt e .
L a p a r t i e e n t i è r e e s t c o n s t a n t e p a r m o r c e a u x .
L a p a rt i e e nt iè r e p r és e nt e d e s d i sc o nt i nu i té e n l e s e n ti e r s r e l a t i f s.
L a p a r t i e e n t i è r e e s t c o n t i n u e e n t o u t r é e l n o n entier.
Graphe de la partie entière
Remarque. Pour x ∈ R, l e p l us p e t it e nt i er r e la t if s u p ér i eu r o u é g al à x s e n o t e x. Si k ∈ Z, a l or s
k = x ⇐⇒ x k < x + 1 ⇐⇒ k − 1 < x k
O n a e n f a i t x = −−x.
1.3 Approximations décimales
Définition 1.2
Soient x ∈R et n ∈N. O n p o s e Dn =
a 10n
, a ∈ Z
.
O n a p p el l e valeur décimale approchée de x à 10−n près par défaut l ’ u n i q ue d é c i ma l α n ∈ Dn t e l q u e α x < α + 10−n.
O n a p p e l le valeur décimale approchée de x à 10−n près par excès l’unique décimal βn ∈ Dn tel que β − 10−n < x β.
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Exemple 1.2
3, 1415 e s t u n e va l eu r d é ci ma l e a p pr o ch é e d e π à 10−4 p r ès p a r d é fa u t. 3, 1416 e s t u n e va l eu r d é ci ma l e a p pr o ch é e d e π à 10−4 p r ès p a r e x cè s .
Remarque. O n p e u t e x p r im e r α n et βn. E n f a i t ,
α n = 10nx
10n βn =
10nx 10n
Si x ∈ D, a l or s α n = βn = x. Sinon, βn = α n + 10−n.
Remarque. α e s t l e n o m b r e d é c i m a l d o n t l e s d é c i m a l e s ( c h iffr e s a p r è s l a v i r g u l e ) s o n t l e s n premières décimales de x .
1.4 Densité dans R
Définition 1.3 Densité
Soit A u n e p a rt i e d e R. O n d i t q u e A est dense dans R s i t o ut i nt e rva l le o u ve r t n o n v i de d e R c o n t ie n t a u m o in s u n é l ém e nt d e A.
Proposition 1.3 Caractérisation « epsilonesque » de la densité
Soit A u n e p a r t i e d e R. A e s t d e ns e d a ns R si et seulement si
∀x ∈R, ∀ε > 0, ]x − ε, x + ε[∩A = ∅
Proposition 1.4 Caractérisation séquentielle de la densité
Soit A u n e p ar ti e d e R. A e s t d e ns e d a ns R si et seulement si p o u r t o ut x ∈ R, i l e xi st e u ne s ui te (xn)
d’éléments de A d e l i m it e x.
Proposition 1.5 Densité de D, Q et R \Q dans R
D, Q et R \Q s o nt d e n s es d a n s R.
2 Relation d’ordre sur R
2.1 Majoration et minoration
Définition 2.1 Parties majorées, minorées, bornées
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n d i t q u e A est majorée s ’ i l e x i s te M ∈ R t e l q u e x M p o u r t o ut x ∈ A. D a n s c e c a s , o n d i t q u e M e s t u n majorant de A.
O n d it q ue A est minorée s ’ i l e x i s te m ∈ R t e l q u e x m p o u r t o ut x ∈ A. D an s c e c as , o n d it q ue m e st u n minorant de A.
O n d i t q u e A est bornée s i e l le e s t m a j o r ée e t m i no r ée .
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Proposition 2.1
Soit A u n e p a rt i e d e R. A e s t b o r né e si et seulement si i l e x i s te K ∈ R t e l q u e |x| K p o u r t o ut x ∈ A.
2.2 Maxima et minima
Définition 2.2 Maximum et minimum
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n d i t q u e M e st l e maximum o u l e plus grand élément de A si M ∈ A et M e st u n m a j or a nt d e A. O n n o t e a l o r s m = min A.
O n d i t q u e m e s t l e minimum o u l e plus petit élément de A si m ∈ A et m e s t u n m i no r an t d e A. O n n o te a l or s M = max A.
Exemple 2.1
−1 et 1 s o nt r e s p e ct i ve m e nt l e m i n im u m e t l e m a x im um d e l ’ i nt e r va l l e [−1, 1 ].
Attention ! U n e p ar ti e d e R n ’ ad m et p a s f o rc é me nt d e m a xi mu m o u d e m in i mu m . P ar e x em p le , ] − 1, 1[
n ’ a dm e t n i m i n im u m n i m a x im u m. E n p a r t ic u l ie r , −1 et 1 n e s on t p as l e m in imu m e t l e m ax imu m d e ] − 1, 1[
p u i sq u ’ i ls n ’ a p pa r t ie n n e nt p a s à c e t i n te r va l l e.
2.3 Bornes inférieures et supérieures
Définition 2.3 Borne inférieure et supérieure
Soit A u n e p a r t i e d e R.
O n a p p e l le borne supérieure de A l e m i ni mu m d e l ’ en s em bl e d e s m a j or a nt s d e A, s’il existe. D a n s c e c a s , o n l e n o t e s u p A.
O n a p p e l le borne inférieure de A l e m ax i mu m d e l ’ en s em bl e d e s m i no r an ts d e A, s’il existe . D an s c e c a s , o n l e n o t e i n f A.
R i en n e g a ra nt i t a p r io r i l ’e x is t en c e d ’ un e b o r ne i n fé r ie u re o u s u p ér i eu r e. O n a n é an m oi n s l e t h éo r èm e s u iva nt .
Théorème 2.1 Propriété de la borne supérieure
Toute partie non vide et majorée (resp. minorée) de R p o s s è de u n e b o r n e s u p é r i eu r e ( r e s p. i n f é ri e u r e) .
Remarque. C e t h é o r è m e e s t a d m i s c a r i l d é c o u l e d i r e c t e m e n t d e l a c o n s t r u c t i o n d e R q u i e s t h o r s p r o g r a m m e . P o u r v o t r e c u l t u r e , l e c o r p s d e s r é e l s R e s t c o n s t r u i t à p a r t i r d e s c o r p s d e s r a t i o n n e l s Q d e f a ç o n à c e q u ’ i l p o s s è d e justement cette propriété de la borne supérieure.
Proposition 2.2
Soit A u n e p a rt i e d e R.
Si M = max A, a l or s M = sup A.
Si m = min A, a l or s m = inf A.
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Attention ! L e s r é ci p ro q u es s o nt f a us s es ! U n e p a r t ie d e R p e u t p o s sé d er u n e b o r ne s u p ér i eu r e ( r es p . i n fé - r i e ur e ) s a n s p o s s é d er d e m a x im u m ( r e s p . m i n im um ) .
Exemple 2.2
L e s b o r ne s i n fé r ie u re s e t s u p ér i eu r es d e [−2, 1[ sont −2 et 1. D e p l u s, −2 e st l e p l us p e t it é l ém e nt d e A mais [−2, 1[ n e p o s sè d e p a s d e p l us g r an d é l ém e nt .
L e s p r o p o s it i o n s s u i v an t es p e r m e tt e nt d e d é t e rm i n er d e s b o r n e s s u p é r i e u r es e t i n f ér i e u re s e n p r a t iq u e .
Proposition 2.3 Caractérisation « epsilonesque » des bornes inférieures et supérieures
Soient A u n e p a rt i e d e R et c ∈ R.
c = inf A si et seulement si c e st u n m i no r an t d e A e t s i p ou r t ou t ε > 0, i l e xi st e a ∈ A t el q u e c + ε > a.
c = sup A si et seulement si c e s t u n m a jo ra nt d e A e t s i p ou r t ou t ε > 0, i l e xi st e a ∈ A t e l q u e c − ε < a
Proposition 2.4 Caractérisation séquentielle des bornes inférieures ou supérieures
Soient A u n e p a rt i e d e R et c ∈ R.
c = inf A si et seulement si c e s t u n m i no r an t d e A e t s ’ il e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A de limite c .
c = sup A si et seulement si c e s t u n m a j o r a n t d e A e t s ’ il e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A de limite c .
Exercice 2.1
D é t er m i n er l e s b o r n e s s u p é r i e u re e t i n f ér i e u re d e
3
2p −
1
Méthode Passage à la borne supérieure/inférieure
Si ∀x ∈ A, x M, a l o r s s u p A M.
Si ∀x ∈ A, x M, a l o r s i n f A M.
Attention ! L e p a ss a ge à l a b o r ne s u p ér i eu r e/ i nf é ri e ur e n e c o ns e rv e q u e l e s i n ég a li t és larges, e x a c te m e nt c o mm e l e p a ss a ge à l a l i mi t e.
Exercice 2.2
Soient A et B d e ux p a rt i es n o n v i d e s d e R. O n d éfin i t A + B = {x + y | (x, y) ∈ A× B }.
1. O n s u pp o s e A et B m a j o r é es . M o nt r e r q u e s u p A + B = sup A + sup B.
2. O n s u pp o s e A et B m i n or é e s . M o n t r er q u e i n f A + B = inf A + inf B.
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Définition 2.4 Droite achevée R
O n a p p e l l e d r o i t e a c h e v é e R l’ensemble R∪ {−∞, +∞} o ù l e s é l é m e n t s −∞ et +∞ s o n t d éfin i s p a r l e s p r o p r i é t é s suivantes :
Prolongement de l’ordre ∀x ∈ R,−∞ x +∞.
Prolongement de l’addition
(+∞) × (+∞) = +∞, (+∞) × (−∞) = −∞, (−∞) × (−∞) = +∞
Attention ! Fo r m es i n d é te r m in é e s C e t t e d éfin i t i on n e d o n n e a u c u n s e n s a u x e x p r es s i o ns s u i va n te s ∞ −∞,
0 ×∞ et ∞ ∞
Corollaire 2.1
To u te p a rt i e n o n v i de d e R p o s s èd e u n e b o r ne s u p ér i eu r e e t i n fé r ie u re d a ns R.
Proposition 2.5
Soit A u ne p a rt i e n o n v i de d e R.
inf A = −∞ si et seulement si p o u r t o ut m ∈ R, i l e xi st e x ∈ A t el q ue x m (i.e. A e st n on minorée).
sup A = +∞ si et seulement si p o u r t o ut M ∈ R, i l e xi st e x ∈ A t el q u e x M (i.e. A e st n on majorée).
Proposition 2.6 Caractérisation séquentielle
Soit A u n e p a r t i e d e R.
inf A = −∞ si et seulement si i l e x is t e u n e s u it e (an) d ’ é l é me n ts d e A d e l i m it e −∞.
sup A = +∞ si et seulement si i l e x is t e u n e s u it e (an) d’éléments de A d e l i m it e +∞.
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2.5 Application aux fonctions
Définition 2.5 Fonction majorée/minorée
Soient E u n e n se mb l e ( t rè s s o uv en t u n e p a rt i e d e R) et f : E → R u n e a p pl i ca t io n . O n d i t q u e f e s t m a j or é e ( r e s p . m i n o r é e ) s u r E si f(E) ( q u i e s t u n e p a r t i e d e R) e s t m a j o r é e ( r e s p . m i n o r é e ) . U n m a j o r a n t ( r e s p . m i n o r a n t ) de f(E) e s t a p p el é u n m a j or a nt ( r es p . m i no r an t) d e f sur E . U n m a j or a nt ( r es p . u n m in o ra nt ) d e f(E) e s t a p p el é u n m a j or a nt ( r es p . u n m in o ra nt d e f sur E ). O n d i t q u e f e s t b o r n é e s u r E si f e s t m in o ré e e t m a j or é e s u r E.
Remarque. O n r e tr o uv e e n f a it l a d éfin i ti o n c l as s iq u e.
f e s t m a j or é e s u r E s ’ i l e x i s te M ∈ R t e l q u e ∀x ∈ E, f(x) M.
f e s t m in o ré e s u r E s ’ i l e x i s te m ∈R t e l q u e ∀x ∈ E, f(x) m .
D an s c e c a s, M et m s o nt r e sp e c ti ve m en t u n m a j or a nt e t u n m i no r an t d e f sur E.
Proposition 2.7
Soit f : E → R une application. f e s t b o r n é e s u r E si et seulement si |f| e s t m a j or é e s u r E .
Définition 2.6 Maximum/minimum
Soient E u n e n se mb l e e t f : E → R u n e a p pl i ca t io n . O n a p p el l e m ax i mu m ( r es p . m i ni mu m ) d e f sur E le r é el m a x f(E) ( r e s p. m i n f(E)), s’il existe . O n l e n o te p l us c o ur a mm e nt m a x
E f ( r e s p. m i n
E f) o u m a x
x∈E f(x) (resp.
f(x)).
Remarque. U n m a xi mu m ( r es p . m in i mu m ) d e f sur E e s t u n m a j or a nt ( r es p . m i no r an t) d e f sur E atteint p a r l a f o nc t io n f . A u t re m e nt d i t ,
M e s t u n m a x i m u m d e f sur E si ∀x ∈ E, f(x) M e t s ’ il e x is t e c ∈ E t e l q u e f(c) = M,
m e s t u n m i ni mu m d e f sur E si ∀x ∈ E, f(x) m e t s ’ il e x is t e c ∈ E t e l q u e f(c) = m .
Attention ! I l n e f a u t p a s c o n f o n d r e l ’ e x t r e m u m d ’ u n e f o n c t i o n e t l e p o i n t e n l e q u e l i l e s t a t t e i n t . N o t a m m e n t , l ’ e x t r e m u m e s t u n i q u e m a i s p e u t ê t r e a t t e i n t p l u s i e u r s f o i s . P a r e x e m p l e , −1 et 1 sont respectivement le minimum e t l e m ax imu m d e s in s ur R, m a is i l s s o n t a t t ei nt s u n e i nfin it é d e f o i s s u r R.
Définition 2.7 Borne supérieure/inférieure
Soient E u n e n se mb l e e t f : E → R u n e a p p l ic a t i on .
O n a p p e l le borne supérieure de f sur E l e r é e l s u p f(E), s’il existe . O n l e n o t e s u p E
f o u s u p x∈E
f(x).
O n a p p e l le borne inférieure de f sur E l e r ée l i nf f(E), s’il existe . O n l e n o t e i n f E
f ou i nf x∈E
f(x).
Remarque. P o ur q u e f p o s s è de u n e b o r n e s u p é r i e u r e ( r e s p . i n f é r i e ur e ) s u r E , i l e s t n é c e ss a ir e e t s uffis a nt q u e E s oi t n o n v id e e t q ue f s o i t m a j or é e ( r es p . m in o ré e ) s u r E , e n v er t u d e l a p r o p ri é té d e l a b o r ne s u p ér i eu r e. Si E e s t n o n v i de , f a d m et t o uj o ur s u n e b o r ne s u p ér i eu r e e t u n e b o r ne i n fé r ie u re s u r E dans R.
Exemple 2.3
Soit E u n e n s e mb l e . S o i e nt f : E → R et g : E → R d e u x f o n c t i o n s b o r n é e s s u r E . A l o r s f + g e s t b o r n é e s u r E et
sup E
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R −→ R
x −→ 1
x2 + 1
. L a b o rn e s up é ri eu re d e f est 1 e t e st a tt ei nt e e n 0 ( c’ es t d on c l e m ax imu m d e f sur
R) . L a b o r ne i n fé r ie u re d e f est 0 m a i s n ’ es t p a s a t te i nt e ( d on c f n e p o s s è d e p a s d e m i n i m u m s u r R).
Méthode Déterminer la borne inférieure/supérieure d’une fonction
I l s uffit d ’ ét a bl ir l e t a bl e au d e va r ia t io n s d e l a f o nc t io n .
Exemple 2.4
C o n s id é r o ns l a f o n c ti o n f : x → e−x 2
. O n o b t ie n t f a c i l e me n t s o n t a b l ea u d e v ar i a t io n .
x
0
O n e n d éd ui t q ue f a d me t u n m a xi mu m é g al à 1 en 0 . A f o rt i or i , s u p R f = 1.
D e p l us , i n f R f = 0 mais 0 n ’ es t p a s a t t ei n t d o n c f n ’ a dm e t p a s d e m i ni mu m s u r R.
3 Intervalles de R
L a d éfin i ti o n s u iva nt e p e r me t d e d é cr i re t o us l e s i nt e rva l le s d e R ( f e rm é s, o u ve r ts , m a j or é s, m in o ré s , . . . ) .
Définition 3.1 Intervalle de R
O n a p p e l le intervalle de R t o u t e p a r t ie I de R v é r ifia nt l a p r o p ri é t é s u i va n te :
∀(x, y) ∈ I2,∀t ∈ R, x t y ⇒ t ∈ I
Proposition 3.1
U n e i n te r s e ct i o n d ’ i nt e r va l l es e s t u n i n te r va l l e.
Proposition 3.2
L e s i n te r va l l es d e R s o nt l e s e n se mb l es d u t yp e [a, b ], [a, b[, ]a, b ] ou ]a, b[ avec a, b ∈ R t e ls q u e a b et éventuellement a = −∞ ou b = +∞ e n p o s it i on d e « b o r n e o u ve r te » .
Remarque. O n r e tr o uv e d o nc b i en t o us l e s i nt e rva l le s a u s e ns p r éc é de nt d e l ’ ac c ep t io n . L ’ e ns e mb l e v i d e e s t u n i n te r va l l e o u v e r t d e R p u i sq u ’i l e s t d u t yp e ]a, a[ avec a ∈ R.
Notation 3.1
Si I e s t u n i nt e rva l le , o n n o te I l ’ i nt e rva l le c o mp o s é d e l a r é un i on d e I e t d es b o rn es fini es d e I e t o n n ot e I l’intervalle I p r iv é d e s e s b o r ne s .
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Remarque. I e s t l e p l u s p e t i t i n t e r va l l e f e r m é c o nt e n a nt I. I e s t l e p l u s g r a n d i n te r va l l e o u v e r t c o n t e nu d a n s I .
Exemple 3.1
Si I =] − 1, 2 ], a l or s I = [−1, 2 ] et I =] − 1, 2[.
Si I =]3, +∞[, a l or s I = [3, +∞[ et I =]3, +∞[.
Si I =] −∞, 4 ], a l or s I =] −∞, 4 ] et I =] −∞, 4[.
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