Reductions and Parameterized Intractability - THI · Reductions and Parameterized Intractability...

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Reductions and Parameterized Intractability Seminar Parameterisierte Komplexit¨ at Arne Meier Institut f¨ ur Theoretische Informatik Leibniz Universit¨ at Hannover 09. Mai 2007

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Reductions and Parameterized IntractabilitySeminar Parameterisierte Komplexitat

Arne Meier

Institut fur Theoretische InformatikLeibniz Universitat Hannover

09. Mai 2007

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Vortragsinhalt

1 fpt-ReduktionenDefinitionen und AbschlussBeispiele fur fpt-Reduktionen

2 para-NPDefinitionBeziehung zwischen FPT und para-NP

3 XPXPnu

Definition XPp-Exp-DTM-Halt

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≤fpt-Reduktion

(Q, κ) ⊆ Σ?, (Q ′, κ′) ⊆ Γ? parameterisierbare Probleme.Abbildung R : Σ? → Γ? heißt fpt many-one reduction von (Q, κ)nach (Q ′, κ′) falls

(1) ∀x ∈ Σ? gilt x ∈ Q ⇔ R(x) ∈ Q ′

(2) R ist fpt-berechenbar in Zeit f (κ(x)) · p(|x |),f berechenbare Funktion, p Polynom

(3) es gibt berechenbare Funktion g : N → N, sodass ∀x ∈ Σ? gilt

κ′(R(x)) ≤ g(κ(x))

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FPT abgeschlossen unter ≤fpt

(Q, κ), (Q ′, κ′) parameterisierbare Probleme

(Q, κ) ≤fpt (Q ′, κ′) via x 7→ x ′

Zu zeigen: ist (Q ′, κ′) ∈ FPT, so auch (Q, κ) ∈ FPT

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Notationen

≡fpt: fpt-Aquivalenz

[(Q, κ)]fpt: Menge von auf (Q, κ) reduzierbaren param.Problemen

[C ]fpt =⋃

(Q,κ)∈C

[(Q, κ)]fpt: Abschluss fur Klasse C unter ≤fpt

Harte und Vollstandigkeit wie ublich

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Ruckblick: Clique und Independent-Set

Clique := {〈G , k〉 | G ungerichteter Graph

mit einer Clique der Große k}

Independent-Set := {〈G , k〉 | G ungerichteter Graph

mit einem Independent-Set der Große min. k}

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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set

Abbildung: 〈G , 4〉 ∈ Clique?

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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set

Abbildung: Ja! 〈G , 4〉 ∈ Clique

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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set

Abbildung: 〈G , 4〉 ∈ Independent-Set?

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Ruckblick: Clique ≡p Independent-Set

Abbildung: Ja! 〈G , 4〉 ∈ Independent-Set

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p-Clique ≡fpt p-Independent-Set

p-Clique ≤fpt p-Independent-Set

via R(x) :=

{〈G , k〉, wenn x = 〈G , k〉 fur einen Graphen G , k ∈ Nx , sonst,

wobei G die Vertauschung aller Einsen und Nullen in derAdjazenzmatrix von G ist.

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p-Clique ≡fpt p-Independent-Set

p-Clique ≤fpt p-Independent-Set

via R(x) :=

{〈G , k〉, wenn x = 〈G , k〉 fur einen Graphen G , k ∈ Nx , sonst,

wobei G die Vertauschung aller Einsen und Nullen in derAdjazenzmatrix von G ist.Diese Reduktion geht in beide Richtungen!

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Achtung: ≤p-Reduktion ist nicht immer ≤fpt-Reduktion!

Gegenbeispiel hierfur ist Reduktion von Independent-Setauf Vertex-Cover

〈G , k〉 7→ 〈G , |V | − k〉 verletzt Bedingung (3) der≤fpt-Reduktion, denn es gibt keine berechenbare Funktiong : N → N, sodass fur alle Eingaben gilt

|V | − k ≤ g(k)

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para-NP

Motivation: FPT entspricht P in der parameterisierten Welt. Gibtes eine Klasse, welche NP gegenubersteht?

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para-NP

Motivation: FPT entspricht P in der parameterisierten Welt. Gibtes eine Klasse, welche NP gegenubersteht?

Definition

Param. Problem (Q, κ) ⊆ Σ? gehort zu para-NP, wenn folgendesexistiert:

berechenbare Funktion f : N → N, Polynom p

nichtdeterministischen Algorithmus gibt, der bei Eingabex ∈ Σ? in Zeit hochstens f (κ(x)) · p(|x |) entscheidet, obx ∈ Q.

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Folgerungen

Q ∈ NP ⇒ (Q, κ) ∈ para-NP fur jede Parameterisierung κ

Damit sind

p-Clique,

p-Independent-Set,

p-Dominating-Set und

p-Hitting-Set

alle in para-NP.

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Beziehung zwischen FPT und para-NP

Satz

FPT = para-NP gdw. P = NP

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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit

Satz

Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent

(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt

(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.

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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit

Satz

Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent

(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt

(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.

Folgerung 1: p-Clique, p-Independent-Set,p-Dominating-Set, p-Hitting-Set sind nichtpara-NP-vollstandig unter ≤fpt.

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Unschone Eigenschaft der para-NP-Vollstandigkeit

Satz

Wenn (Q, κ) ∈ para-NP, dann sind aquivalent

(1) (Q, κ) ist para-NP-Vollstandig fur ≤fpt

(2) Die Vereinigung von endlich vielen Slices von (Q, κ) istNP-vollstandig.

Folgerung 1: p-Clique, p-Independent-Set,p-Dominating-Set, p-Hitting-Set sind nichtpara-NP-vollstandig unter ≤fpt.Folgerung 2: p-Colorability ist para-NP-vollstandig unter ≤fpt.

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In P-Zeit entscheidbare Slices

Definition (XPnu)

(Q, κ) ∈ XPnu (nonuniform XP), wenn fur alle k ≥ 1 (Q, κ)k ∈ P.

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In P-Zeit entscheidbare Slices

Definition (XPnu)

(Q, κ) ∈ XPnu (nonuniform XP), wenn fur alle k ≥ 1 (Q, κ)k ∈ P.

Satz

Wenn P 6= NP, dann ist para-NP 6⊆ XPnu.

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XP

Definition

(Q, κ) ∈ XP, wenn

es gibt berechenbare Funktion f : N → N und

Algorithmus, der x ∈ Q in Zeit hochstens |x |f (κ(x)) + f (κ(x))entscheidet

XP entspricht EXPTIME in param. Komplexitat

XP ist abgeschlossen unter ≤fpt

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Ein XP-vollstandiges Problem

p-Exp-DTM-Halt := {〈M, 1n, k〉 | M ist DTM, k ∈ N,

M akzeptiert die leere Eingabe in mindestens nk Schritten.}

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Beziehung von FPT zu XP

Satz

FPT ⊂ XP

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Beziehungen der Klassen untereinander

para-NP XP

FPT

Abbildung: Inklusionen von FPT, para-NP und XP

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