Redes Depetris

7/25/2019 Redes Depetris

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NIVERSIDAD DE B ENOS AIRES

Facultad de Ingeniera

75.66 - Manufactura Integrada PorComputador II

Trabajo Grupal

Teora de Redes de Petri

78.!" - #$col%& Germ%n Cal'o (n$cola&.g.cal'o)gma$l.com*

8+.756 - Gon,alo una (gnlluna)gma$l.com*8!.5/ 0 Pablo 1$anc2$ (pablo.b$anc2$)gma$l.com*

8.7/" 0 3uan Pablo 4$ta (jp'$ta)2otma$l.com*


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ndice

INTRODUCCIN 4

DEFINICIONES 5

DEFINICINFORMAL 5REPRESENTACIN 6REPRESENTACINGRFICA 6REPRESENTACINMATRICIAL 7EJEMPLO1 7MARCADO 9EVOLUCINDEMARCADO 9SUBCLASESDEREDESDEPETRI 10GRAFODEESTADOS 10

GRAFOMARCADO 10REDDELIBREELECCIN 10REDSIMPLE 10

ESTRUCTURAS BSICAS 11

SELECCIN 11ATRIBUCIN 11DISTRIBUCIN 11CONJUNCIN 12EJECUCINSECUENCIAL 12

SINCRONIZACIN 12CONCURRENCIA 13CONFLICTOS 13

PROPIEDADES 14

PROPIEDADESESTRUCTURALES 14RDP PURA 14REDDEPETRIACOTADAESTRUCTURALMENTE 14REDDEPETRIESTRUCTURALMENTEVIVA 14REDDEPETRICOMPLETAMENTECONTROLABLE 14

REDDEPETRIESTRUCTURALMENTECONSERVATIVA 14REDDEPETRIPARCIALMENTE! REPETITIVA 14REDDEPETRIPARCIALMENTE! CONSISTENTE 14PROPIEDADESDECOMPORTAMIENTO 15VIVACIDAD 1"CICLICIDAD 16ACOTAMIENTO 17CONSERVATIVIDAD 1#ALCANZABILIDAD 1#

EXTENSIONES 20

RECURSOSCOMPARTIDOS 20

I


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ARCOSINHIBIDORES: 20

VALIDACIN 21

MTODOS DE ANLISIS 21

TCNICASENUMERATIVAS 21TCNICASDETRANSFORMACIN 22TCNICASESTRUCTURALES 2

TIPOS DE RED 25

RDP CONPESO 25RDP CONTIEMPO 25RDP COLOREADAS 25

RDP !ERR"UICAS 26ESTOCSTICAS 26REDESDEPETRIESTOCSTICASGENERALIZADAS 27

E!ERCICIOS 2#

E!ERCICION$ 1: 2#E!ERCICION$ 2: 2#E!ERCICION$ : 29%CMOMODELAR&ALASITUACINDE"UECUANDONOHA'MSBEBIDASLAM"UINARETORNELAMONEDA( 29

E!ERCICION$ 4: 29E!ERCICION$ 5: 29E!ERCICION$ 6: 0E!ERCICIO) 0E!ERCICIO# 0

RESPUESTAS A LOS E!ERCICIOS 1

E!ERCICIO1 1E!ERCICIO2 1E!ERCICIO 2

E!ERCICIO4 2E!ERCICIO5 E!ERCICIO6 E!ERCICIO) E!ERCICIO# 5

*LOSARIO 6

CON!UNTOS 6L*ICA 6

&NDICE DE IM*ENES )

II


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BIBLIO*RAF&A #

III


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IntroduccinLas Redes de Petri (RdP) son una teora matemtica, creada por el alemnCarl Adam Petri en 1962, ue proporciona una !erramienta "r#ca $

matemtica de modelado para la descripci%n &ormal de sistemas cu$adinmica se caracteri'a por la concurrencia, sincroni'aci%n, eclusi%n mutua$ conictos, las cuales son caractersticas tpicas de sistemas distri*uidos+

La principal aplicaci%n de las redes de Petri es el modelado $ el anlisis desistemas con componentes concurrentes ue interactan+ -n modelo es unarepresentaci%n de las caractersticas ms importantes de un sistema deestudio+ .anipulando esta representaci%n, se pueden o*tener nue/osconocimientos del sistema modelado sin nin"n coste o peli"ro para elsistema real+ 0in em*ar"o, el modelado por s solo sir/e de poco, esnecesario anali'ar el sistema modelado+

l sistema se modela primero como una RdP $ despus, este modelo seanali'a+ ste anlisis nos lle/a a una me3or comprensi%n delcomportamiento del sistema modelado+ Para reali'ar el anlisis de laspropiedades de una red de Petri se !an desarrollado di&erentes tcnicas, uepermiten la /eri#caci%n de las propiedades ue el sistema construido posea+

Las RdP se !an utili'ado en distintas reas de aplicaci%n como en umica,redes in&ormticas, Inteli"encia arti#cial, trnsito, etc+

Glosario 4


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Defniciones-na RdP est &ormada por lu"ares $ transiciones, unidos alternati/amentepor arcos diri"idos+ -n lu"ar puede o no contener marcas+ l con3unto de

marcas asociadas a cada uno de los lu"ares en un momento dado,constitu$e un marcado de la RdP+ Para la descripci%n &uncional de sistemasconcurrentes los marcados representan estados $ las transiciones sucesos,ue dependen del cumplimiento de determinadas condiciones+

Defnicin ormal

Podemos de#nir a una red de Petri como una 5upla7

RdP 8 (P, T, , :, .;), donde7

P 8 es un con3unto #nito no /aco de lu"ares

T 8 es un con3unto #nito no /aco de transiciones

P T 8

(T ? P)(P ? T) -es un con3unto de arcos diri"idos

:7 es una &unci%n de pesos

.i7 Pes el marcado inicial de la red de#ne un nmero inicialde marcas por lu"ar

Glosario 5


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Representacin

Toda !erramienta de modelado tiene una o mas &ormas de ser representada+n el caso de las RdP, podemos encontrar una representaci%n "r#ca $ otramatricial+

epre&entac$n gr%f$ca

A una RdP podemos asociarle un "ra&o diri"ido con dos clases dis3untas denodos, los lu"ares $ las transiciones+

-n crculo representa un lu"ar, una *arra representa una transici%n $ unarco diri"ido conecta lu"ares $ transiciones+

Al"unos arcos /an desde un lu"ar a una transici%n $ otros desde unatransici%n a un lu"ar+ -n arco diri"ido desde un lu"ar p a una transici%n tde#ne p como un lu"ar de entrada para t+ -n lu"ar de salida se indica conun arco desde la transici%n al lu"ar+

Los arcos se etiuetan con sus pesos (enteros positi/os)+ 0i una de esasetiuetas se omite, si"ni#ca ue el arco tiene peso uno+

Las marcas se representan como puntos ne"ros en los lu"ares+

Figura 1 Representacin grfica de una Rdp.

Los lu"ares ue contienen marcas se consideran lu"ares acti/os+

Figura 2 Lugar activo.

A las transiciones se les asocia e/entos (&unciones l%"icas de las /aria*lesde entrada)+ -na transici%n se dice ue est sensi*ili'ada cuando todos sus

lu"ares ori"en estn marcados+Figura 3 Transicin sensibilizada.

Cuando ocurre un e/ento asociado a una transici%n, se dice ue la transici%nest /alidada+

Figura 4 Transicin validada.

epre&entac$n matr$c$al

-na transici%n tiene un determinado nmero de lu"ares de entrada (oprecondiciones) $ de lu"ares de salida (o postcondiciones)+ Cada uno de

estos se puede representar por una matri' *inaria de dos dimensiones,donde las columnas representan las transiciones, las #las los lu"ares $ las

Glosario 6


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celdas la conei%n entre am*as+ Las matrices reci*en los nom*res deB.atri' de incidencia pre/ia $ B.atri' de incidencia posteriorrespecti/amente+

Podemos decir ue una RdP D se encuentra de#nida matricialmente por

medio de dos matrices+ 0ea n 8 EPE (nmero de lu"ares de P) $ m 8 ETE(nmero de transiciones de T)+

0e denominan7

.atri' de incidencia pre/ia7 CF8 GcFi3Hnmen la ue cFi38 Pre(pi, t3)+

.atri' de incidencia posterior7 CJ8 GcJi3Hnmen la ue cJi38 Post(ti, p3)+

.atri' de incidencia de D7 C 8 CJF CF+

jemplo !

Kada la RdP R18 (P, T, , :, .;), donde7

! "p1# p2# p3# p4$# T ! "t1# t2# t3$# %o!&'# (# (# ()

Figura ' Red de etri con cuatro lugares * tres transiciones.

Glosario


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.atri' de Incidencia pre/ia $ matri' de incidencia posterior7

C8 Pre(pi, t3) 8

1 ; ;

CJ 8 Post(pi, t3)

8

; ; ;

; 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ;

; ; ; ( ( (

0ea D una RdP, donde t $T $ p $P+ 0e de#nen los si"uientes con3untos7

Con3unto de lu"ares de entrada a t 7 Mt 8

Con3unto de lu"ares de salida de t 7 tM 8

Con3unto de transiciones de entrada a p 7 Mp 8

Con3unto de transiciones de salida de p 7 pM 8

Glosario O


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Marcado

-n marcado es una &unci%n ue asi"na a cada lu"ar un entero no ne"ati/o(marca), de &orma ue decimos ue un lu"ar p est marcado con marcas,si el marcado asi"na al lu"ar p un entero +

-n marcado . se representa mediante un /ector con tantos componentescomo lu"ares ten"a la red+ La cantidad de marcas en el lu"ar p ser .(p)+

-na RdP marcada es un par (D, .) &ormado por una RdP D $ un marcado .+

l marcado de la RdP del e3emplo 1 7

%(!

5

;

;

;

'oluc$n de marcado

l marcado cam*ia al disparar las transiciones+ Para disparar una transici%n!a de estar /alidada $ sensi*ili'ada+ Cuando una transici%n se disparadesaparecen las marcas de los lu"ares ori"en $ se aQade una marca a cadauno de los lu"ares destino+

-na transici%n t T est sensi*ili'ada (!a*ilitada) para un marcado . dado,sii p Mt se /eri#ca .(p) Pre(p, t)+

l "rado de !a*ilitaci%n de una transici%n indica el mimo nmero ue latransici%n puede ser disparada concurrentemente+

Re"la de e/oluci%n del marcado7

0i t est !a*ilitada para un marcado . entonces t puede dispararse+ n laoperaci%n se alcan'a un nue/o marcado .;, $ se denota por .GtH N .;, elcual resulta de uitar Pre(p, t) marcas de cada lu"ar p Mt $ aQadir Post(t,

p) marcas a cada lu"ar p tM+

l cam*io en el marcado esta dado por la ecuaci%n7

.;(p) 8 .(p) F Pre(p, t) J Post(t, p), p P

Cada disparo de una transici%n modi#ca la distri*uci%n de las marcas, $ porello produce un nue/o marcado en la red+

0i"uiendo con el e3emplo 1, al disparar la transici%n t1, o*tenemos7

M0 - Pre(p9 t* + Po&(t9 p* : Mf

Glosario 9


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5 1 ; ; ; ; ; 4

; ; 1 1 1 1 1 1

; ; ; ; ; ; ; ;

; ; ; ; ; ; ; ;

Figura + ,volucin del -arcado de la red del ee-plo 1.

Subclases de Redes de Petri

Grafo de e&tado&

-n "ra&o de estado (S) o muina de estados (.) es una RdP ue cumple7

t T, EMtE 8 EtME 8 1

Grafo marcado

-n "ra&o marcado (S.) o "ra&o de sincroni'aci%n es una RdP ue cumple7

p P, EMpE 8 EpME 8 1

ed de l$bre elecc$n

-na RdP de li*re elecci%n (RL) es una RdP ue cumple7

p P, si EpME N 1, entonces t pM, EMtE 8 1

ed &$mple

-na RdP simple (R0) es una RdP ue cumple7

pM1 /pM2 8 pM1 pM2 o pM1 pM2 para toda p1, p2P+

Glosario 1;


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Estructuras bsicas

;elecc$n

0elecciona el proceso a e3ecutar

Figura 0 ,structura bsica. eleccin.


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Figura 12 ,structura bsica. incronizacin.

Concurrenc$a

Las transiciones t2$ t@son concurrentes+ Con esta propiedad, las RdP escapa' de modelar sistemas de control distri*uido con mltiples procesose3ecutndose concurrentemente+

Figura 13 ,structura bsica. 6oncurrencia.

Confl$cto&

Tanto la transici%n t1como t2estn listas para ser disparadas, pero eldisparo de al"una de ellas produce ue la otra transici%n uede in!a*ilitadapara ser disparada+

Figura 14 ,structura bsica. 6onflictos.

Glosario

p1

p2

t1 p3

p1

p2

t1 p3

!7

12


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Propiedadesn las RdP podemos encontrar propiedades estructurales, ue dependen dela estructura topol%"ica de las RdP, independientes del marcado inicial $, las

propiedades de comportamiento ue s dependen del marcado inicial

Propiedades estructurales

dP Pura

-na RdP D es una red pura si no eiste nin"una transici%n ue ten"a unlu"ar ue sea al mismo tiempo de entrada $ salida de la transici%n7

t3T , piP, Pre(pi, t3) Post(t3, pi) 8 ;

ed de Petr$


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Propiedades de comportamiento

4$'ac$dad-na transici%n t est /i/a para un marcado inicial dado .;, sii eiste unasecuencia de disparos a partir de un marcado . sucesor de .;uecomprenda a t 7

. .(R, .;) 7 . 8.;tal ue t +

-na RdP marcada est /i/a para .;sii todas sus transiciones son /i/as para.;+

0e puede decir ue la propiedad de /i/acidad si"ni#ca la ausencia en el

con3unto de alcan'a*ilidad de un marcado en el ue la red se *loueetotalmente (deadloc), $a ue, para ue est /i/a, todas sus transicionesde*en ser dispara*les desde cualuier marcado alcan'a*le+

0e dice ue una RdP marcada est parcialmente /i/a para .;si, tomandocomo punto de partida cualuier marcado alcan'a*le a partir de .;, eisteal menos una transici%n dispara*le $ otra transici%n no /i/a+ Toda RdPmarcada parcialmente /i/a tiene la posi*ilidad de e/oluci%n "lo*al,independientemente de ue eistan transiciones ue no puedan serdisparadas+

3emplo7 -na red de Petri no /i/a+

Figura 1' ,e-plo de una Rd no viva.

Para la secuencia de disparos t1, t2, t1, t2, no !a$ *loueo+ 0i a!ora sedisparan las transiciones t1, t@, t4, $a no se puede disparar nin"unatransici%n ms, la red ueda B*loueada+

Podemos tener redes pseudo/i/as en las ue eisten al"unas transiciones/i/as $ no se *louea totalmente+

3emplo7 RdP Pseudo/i/a

Glosario 14


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Figura 1+ ,e-plo de una Rd pseudoviva.

C$cl$c$dad

0e dice ue una RdP posee un comportamiento "lo*almente cclico para .;si eiste una secuencia de disparos ue permite alcan'ar el marcado inicial.;a partir de cualuier marcado . alcan'a*le a partir de .;7

. .(R, .;), tal ue . 8.;+La ciclicidad o re/ersi*ilidad de una RdP marcada "aranti'a ue no eistensu*con3untos #nales de estados (marcados)+ -n su*con3unto #nal deestados (marcados) contiene estados (marcados) mutuamente alcan'a*lesentre s $ tales ue el estado inicial (marcado inicial) no es alcan'a*le apartir de nin"uno de ellos+

3emplo de una red no re/ersi*le7

Figura 10 ,e-plo de una Rd no reversible.

sta RdP es pseudo/i/a, adems no tiene la propiedad de re/ersi*ilidad $aue el marcado inicial no se puede o*tener 3ams+


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-n lu"ar p es acotado para .;sii eiste un nmero entero tal ue .(p) V para cualuier marcado . .(R, .;)+ 0e denomina cota del lu"ar p al

menor entero ue /eri#ca la desi"ualdad anterior+

-na RdP marcada es acotada para .;sii todos sus lu"ares son acotadospara .;7

p P $ . .(R, .;), . (p) V +

.erece una consideraci%n especial la 1acotaci%n+ 0i una RdP es 1acotadapara .;, su marcado es *inario (un lu"ar est o no est marcado) $ se dirue la RdP es *inaria para .;+ -na red se"ura, es una RdP 1acotada+ -naRdP es estructuralmente acotada si es acotada para cualuier marcado

inicial $ #nito+0e dice ue la red est acotada si para todo marcado alcan'a*le tenemosue nin"n lu"ar tiene un nmero de marcas ma$or ue + Las redes 1acotadas son conocidas como *inarias+

0i la red diseQada "enerar ms marcas ue las ue su acotaci%n permite elmodelado ser err%neo+

3emplo7 -na red no acotada7

Figura 1 ,e-plo de una Rd no acotada.

Glosario 16


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Con&er'at$'$dad

Las marcas de una red se pueden entender como recursos del sistema+Dormalmente los recursos de un sistema ni se crean ni se destru$en+Cuando las marcas se conser/an, tras el disparo de una secuencia detransiciones, se dice ue la red es conser/ati/a+

0ea R 8 (P, T, Pre, Post, .;) se dice ue es estrictamente conser/ati/a sii.;.(R, .;), Wi.;(pi) 8 Wi.(pi), piP+

sto es, se !a de mantener el nmero de marcas para cualuier marcado dela red+ La de#nici%n anterior implica ue el nmero de entradas !a decoincidir con nmero de salidas, es decir7 (EI(t3)E) 8 EX(t3)E), para cadatransici%n dispara*le+


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Extensiones

Recursos compartidos

Las RdP permiten modelar sistemas donde un recurso es compartido por dosprocesos de &orma ue el uso del recurso durante la e3ecuci%n de un procesoimpide ue dic!o recurso sea utili'ado por el otro proceso+

-n recurso compartido se modela mediante un lu"ar con una marca inicial $transiciones en conicto+

3emplo7

Figura 2( ,9tensiones. Recursos co-partidos.

Arcos inhibidores:Figura 21 ,9tensiones. rcos in:ibidores.

stos tipos de arcos se relacionan con la transici%n a ser in!i*ida $ con ellu"ar ue, de tener una marca, /a a impedir el disparo de la transici%n+

Glosario 1O


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Validacin

La /alidaci%n consiste en compro*ar ue se cumplen las propiedades de7YIYACIKAKZ LI.ITACI[DZ RYR0I\ILIKAK+

]a$ ue considerar 7

.;7 marcado inicial+ Ke este se desprende el comportamiento del sistema+

G.;H 7 /ector de marcados posi*les a partir de un marcado inicial+ (marcadosalcan'a*les)+

3emplo7

Figura 22 ;alidacin de una Rd.

Mtodos de nlisisLas tcnicas para el anlisis de RdP (anlisis cualitati/o de redes) seclasi#can normalmente en tres "rupos+

Tcnicas Enumerativas

n primer lu"ar se tienen las tcnicas enumerati/as+

0e *asan en la "eneraci%n del "ra&o de alcan'a*ilidad para sistemas

limitados o del "ra&o de co*ertura para sistemas no limitados+ stastcnicas se pueden aplicar en teora, pero en la prctica estn limitadas asistemas peueQos de*ido a su ele/ada comple3idad computacional+ n este"ra&o los nodos corresponden al marcado alcan'a*le $ los arcoscorresponden al disparo de las transiciones+ n la #"ura se muestra una redde Petri $ su "ra&o de alcan'a*ilidad (Sra&o de marcados)+

Figura 23 T


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n una red no limitada, el nmero de seQales en un lu"ar puede ser in#nito+-n lu"ar ue puede lle"ar a tener un nmero in#nito de seQales serepresenta por ^+ l "ra&o resultante es llamado "ra&o de co*ertura+

Tcnicas de Transormacin

n se"undo lu"ar se tienen las tcnicas de trans&ormaci%n+ n este "rupo detcnicas el o*3eti/o es reducir el tamaQo de los modelos mediante re"las dereducci%n ue preser/en las propiedades ue se uieren estudiar+ n la#"ura puede o*ser/arse un con3unto sencillo de seis re"las de reducci%n

ue preser/an /i/acidad $ limitaci%n+

Re"las de reducci%n ue presentan /i/acidad $ limitaci%n7

Figura 24 T


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Los mtodos de l"e*ra lineal son utili'ados para determinar laspropiedades de la red+

La ecuaci%n de estado de una red de Petri se de#ne como si"ue7 el marcado.se de#ne como un /ector columna m 1+ La 3Fesima entrada de .

denota el nmero de seQales en el lu"ar 3 inmediatamente despus delFesimo disparo en la secuencia de disparos+ l Fesimo disparo o /ectorde control ues un /ector columna de n 1, con nF1 ceros $ una entrada 1en la iFesima posici%n, indicando el disparo de la transici%n i+ sto es, laiFesima #la de la matri' de incidencia C denota el cam*io de marcado comoel resultado del disparo de la transici%n i, lue"o la ecuaci%n de estado parala red de Petri se escri*e como si"ue7

.8 .F1 J CT u, 8 1, 2, @, =+

l marcado de una red de Petri puede ser cam*iado cada /e' ue una

transici%n se dispara+ 0i no ocurre un *loueo, el nmero de disparos esilimitado+ 0in em*ar"o, no todos los marcados pueden ser alcan'ados $ notodas las secuencias de disparos pueden ser lle/adas a ca*o+ Lasrestricciones son dadas por los in/ariantes de la red+ -n marcado in/ariantees o*tenido si la suma de los pesos de el marcado de un su*con3unto delu"ares en una red es siempre constante+ Los lu"ares contenidos en estesu*con3unto son llamados componentes conser/ati/os $ el /ector uecontiene los pesos es PIn/ariante+ 0i el disparo de una cierta secuencia detransiciones resulta en el mismo marcado como cuando inicio, la secuenciaes llamada componente repetiti/o+ l /ector caracterstico de la secuencia

de disparos es el TIn/ariante+

Glosario 21


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!ipos de red

RdP con peso

Permite ue multiples toens puedan ser uitadosa"re"ados cuando sedispara una transici%n+ Las aristas estn etiuetadas con el peso (nmerode toens)+ 0i no !a$ nin"n /alor se asume ue es 1+

RdP con Tiempo

Las Redes de Petri no inclu$en concepto al"uno de tiempo, por ello,solamente es posi*le descri*ir solamente la estructura l%"ica de lossistemas $ no su e/oluci%n temporal+

La introducci%n del tiempo en el modelo permite la descripci%n de

comportamientos dinmicos de los sistemas, considerando la e/oluci%n deestados $ la duraci%n de cada acci%n tomada por el sistema+ ]a$ mltiples&ormas di&erentes de introducir el concepto de tiempo+

-na primera posi*ilidad consiste en asociar a cada transici%n un nmeroue indica, en al"una unidad temporal adecuada, el retardo entre la!a*ilitaci%n $ el disparo de la transici%n+ -na RdP Tempori'ada puede serde#nida como7

TPD 8

donde P, T, A $ .;se de#nen como antes

_8(1, 2,=,m) es el con3unto de retardos asociados a las transiciones+

-na se"unda posi*ilidad para la introducci%n del concepto de tiempoconsiste en asi"nar un retardo al proceso de con/ertir una #c!a endisponi*le lue"o ue la misma lle"a a un nue/o lu"ar+ Por ello, cada #c!apuede estar en uno de dos estados7 disponi*le $ no disponi*leZ solamente#c!as disponi*les !a*ilitan transiciones+ La &alta de disponi*ilidad de una#c!a modela el tiempo utili'ado desarrollando una acti/idad+ n estaa*stracci%n, el tiempo es asociado a los lu"ares+

La adici%n de tiempos en las Redes de Petri es un proceso crtico $ sede*er prestar atenci%n especial a la comprensi%n total de la semntica delmodelo $ a los detalles de su comportamiento+

iste una amplia /ariedad de etensiones adicionales, ue *sicamenteconsisten en adicionar tiempos a las di&erentes componentes del "ra&o*ipartito ue constitu$e la red+

RdP coloreadas

n "eneral, los toens representan o*3etos (recursos, personas, etc) en el

modelado de un sistema+ Para representar los atri*utos de estos o*3etos, seutili'an las RdP coloreadas, donde los colores representan las caractersticas

Glosario 22


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de los o*3etos modelados+ Las transiciones usan los /alores de los toensaduiridos para determinar los /alores de los toens producidos+

-na transici%n descri*e la relaci%n entre los /alores de los toens+ s posi*leespeci#car precondiciones, utili'ando el color de los toens para ser

consumidos+

RdP er!r"uicas

Las especi#caciones de sistemas reales tienen una tendencia a ser "randes$ comple3os+ -n mecanismo de a*stracci%n, estructuraci%n 3erruica, seutili'a para poder modi#car ms &cilmente el modelo+ La construcci%n

3erruica se llama su*red+ -na su*red es un a"re"ado de nmero delu"ares, transiciones $ su*sistemas+ 0e puede utili'ar para estructurar"randes procesos+ n determinados ni/eles, se uiere dar una simpledescripci%n de un proceso (sin considerar todos los detalles)+ Pero a otro

ni/el ui's, se uiera especi#car un comportamiento mas detallado+ Cadasu*red se representa con un rectn"ulo ue encapsula parte del modelo"eneral+

Estoc!sticas

Los modelos de per&ormance tratan de representar el comportamiento desistemas determinsticos comple3os por medio de procesos estocsticos+ Keesta &orma es posi*le e/itar una detallada descripci%n determinstica de lasoperaciones del sistema, sustitu$ndola por asunciones pro*a*ilsticas, uecapturen la esencia del sistema+

Las Redes de Petri stocsticas (0PD) se o*tienen asociando con cadatransici%n en una RdP una /aria*le aleatoria con distri*uci%n eponencialue eprese el retardo desde la !a*ilitaci%n !asta el disparo de la transici%n+liminando las /aria*les aleatorias de una 0PD se o*tiene la RdP asociada+

Consideremos una 0PD $ un marcado . en el cual mltiples transicionesestn simultneamente !a*ilitadas+ La transici%n ue tiene asociado elretardo ms *re/e disparar primero+ La 0PD alcan'a un nue/o marcado .`,en el cual al"unas transiciones estu/ieron !a*ilitadas en el marcado . peroue no &ueron disparadas $ pueden aun estar !a*ilitadas+ Ke*ido a lapropiedad de &alta de memoria de las /aria*les aleatorias eponencialmentedistri*uidas, o*tenemos una distri*uci%n de /ida i"ual a la distri*uci%n delretardo de disparo en s mismo+ 0e puede asumir ue la acti/idad asociadacon cada transici%n recomien'a con cualuier nue/o marcado+ sto es /lidoinclusi/e cuando se est modelando acti/idades ue se suceden en &ormacontinua7 el modelo no Bsiente la repetici%n de acti/idades asociadas conuna transici%n+

-na de#nici%n &ormal de una 0PD es7

0PD 8 donde P, T, A $ .;se de#nen como antes $

Glosario 2@


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L8(l1, l2,=,lm) es el con3unto de tasas de retardos asociados con lastransiciones, posi*lemente dependientes del marcado, asociadas con lastransiciones de la Red de Petri+

Cuando sea necesario, la dependencia con un marcado dado . se

representar como l3(.)+0e puede pro*ar ue, de*ido a la propiedad de &alta de memoria de ladistri*uci%n eponencial de los retardos en los disparos, las 0PD sonisom%r#cas a cadenas de .aro/ de tiempo continuo+ n particular, una 0PDacotada es isom%r#ca a una .C #nita+ La misma se puede o*teneraplicando las si"uientes re"las7

1+ l espacio de estados 0 de la .C corresponde al con3unto de alcanceR(.;) de la Red de Petri asociada con la 0PD (. iNi)+

2+ La tasa de transici%n del estado i (correspondiente a .i) al estado 3 (.3) es(.3) es i38 WHijlk, donde ]i3es el con3unto de transiciones !a*ilitadas porel marcado .i, cu$os disparos "eneran el marcado .3+

-na 0PD se dice er"%dica si "enera una CT.C+ s posi*le mostrar ue una0PD es er"%dica si .;, el marcado inicial, es alcan'a*le desde cualuier .iue pertenece R(.;)+

0i la 0PD es er"%dica, es posi*le calcular la pro*a*ilidad de distri*uci%n demarcados en el estado estacionario resol/iendo la ecuaci%n matricial b_ 8 ;con la restricci%n adicional Wbi8 l, donde _ es el "enerador in#nitesimal

cu$os elementos se o*tienen por el mtodo de construcci%n de la .Canterior $ p es el /ector de pro*a*ilidades del estado estacionario+ A partirde la distri*uci%n de pro*a*ilidades del estado estacionario es posi*leo*tener estimaciones cuantitati/as del comportamiento de la 0PD+

ede& de Petr$ &toc%&t$ca& General$,ada&

recuentemente no es desea*le asociar un tiempo aleatorio a cadatransici%n+ Daturalmente se tiende a asociar tiempos con las transicionesms lentas o auellas ue se cree ue tienen un ma$or impacto en laper&ormance "lo*al del sistema $ a asumir instantneas auellas mu$

*re/es o cu$a duraci%n se estima ue no tendr impacto en la per&ormance"lo*al+

-n e3emplo tpico puede ser el caso en el cual las acti/idades ue componenel sistema poseen di&erencias en duraci%n de %rdenes de ma"nitud+ Laopci%n se con/ierte en particularmente con/eniente si el nmero de estadosde la Cadena de 24aro/ asociada se reduce+ Las Redes de Petristocsticas Senerali'adas (S0PD) se o*tienen permitiendo ue lastransiciones pertene'can a dos clases di&erentes7 inmediatas $tempori'adas+ Las transiciones inmediatas disparan en tiempo cero una /e'

ue estn !a*ilitadas+ Las transiciones tempori'adas disparan lue"o de untiempo de !a*ilitaci%n aleatorio, eponencialmente distri*uido+ -na

Glosario 24


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de#nici%n &ormal para las S0PD se o*tiene !aciendo ue los elementos delarre"lo L sean solamente elementos m`, auellos asociados a transicionestempori'adas+ 0i el con3unto de transiciones !a*ilitadas ] inclu$e solamentetransiciones tempori'adas, entonces la transici%n ti (i pertenece ]) disparacon pro*a*ilidad li WHlkcomo en el caso de 0PD+ 0i ] in/olucra

transiciones tempori'adas e inmediatas simultneamente, nicamentedispararn transiciones inmediatas+ 0i ] in/olucra cero o ms transicionestempori'adas $ solamente una transici%n inmediata, solamente disparar latransici%n inmediata+ Cuando ] in/olucra /arias transiciones inmediatas, esnecesario especi#car la &unci%n de densidad de pro*a*ilidad en el con3untode transiciones inmediatas !a*ilitadas de a cuerdo a la cual se o*tiene latransici%n ue dispara+ l su*con3unto ] ue in/olucra todas las transicionesinmediatas !a*ilitadas, 3unto con las pro*a*ilidades de distri*uci%n esllamado sitc! aleatorio (random sitc!)+

Glosario 25


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E"ercicios

Eercicio #$ %:

a+ Kada la si"uiente RdP, indiue cul es la matri' de incidencia pre/ia $ lamatri' de incidencia posterior+

Figura 2' ,ercicio 1.

*+ Kado el marcado inicial ; 8 (;, 1, ;, ;) indiue cules de los si"uientes

son marcados son alcan'a*les desde ;+

a+ 8 (, 1, ;, ;), N8;

*+ 8 (1, ;, 1, 2), 1 N8;, 2 N8;

c+ 8 (;, 1, 1, ), N8;

d+ 8 (1, ;, ;, 2), 1 N8;, 2 N8;

Eercicio #$ &:

Kadas las si"uientes redes de Petri, indicar cules de ellas pueden entrar endeadloc+ (si al menos eiste un marcado en el cual no se puede dispararnin"una transici%n, entonces la red entra en deadloc)

n caso de ue as sea dar una secuencia de disparos ue lle/e a estasituaci%n+

Figura 2+ ,ercicio 2 a.

Figura 20 ,ercicio 2 b.

Eercicio #$ ':

Constru$a una red de Petri para especi#car el &uncionamiento de unamuina ependedora de *e*idas+ La misma tiene un dep%sito de *e*idas

Glosario

Figura 3

Figura 4

26


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con una cierta car"a inicial, $ un dep%sito de monedas el cual inicialmentese encuentra /aco+

Cuando se le in"resa una moneda $ !a$ *e*idas, la muina entre"a una*e*ida $ almacena la moneda en el dep%sito correspondiente+

Cmo modelara la situacin de que cuando no hay ms bebidas la

mquina retorne la moneda?

Eercicio #$ (:

isten peueQas di&erencias entre los sistemas de luces de trnsito endi&erentes pases+ Por e3emplo, el sistema de luces alemn tiene una &aseetra en su ciclo+ Las luces no cam*ian repentinamente de ro3o a /erde sinoue antes de pasar al /erde enciende la lu' /erde 3unto con la lu' amarilla+

Constru$a una red de Petri ue se comporte como el sistema de luces detrnsito alemn+ Ase"rese ue la red no permita transiciones ue no sonposi*les+

Eercicio #$ ):

a+ Constru$a una red de Petri para especi#car el &uncionamiento de unsistema de control de *arreras de un paso a ni/el+

Cuando un tren se acerca, ste es detectado por un sensor ue ocasionaue se *a3e la *arrera del paso a ni/el+ Cuando se ale3a el tren, es detectadopor otro sensor ue ocasiona ue se ele/e la *arrera+ 0i la *arrera estele/ada, los /e!culos ue lle"uen al paso a ni/el pueden pasar a tra/s del, en caso contrario de*en esperar !asta ue la *arrera sea le/antada+

*+ Yeri#ue ue el modelo construido no permita la situaci%n en la ue la*arrera se encuentre alta, arri*e un tren $ un /e!culo, $ se le d el paso al/e!culo antes de *a3ar la *arrera+ 0i no es as modi&uelo para ue no sed dic!a situaci%n+a+ Constru$a una red de Petri para especi#car el&uncionamiento de un sistema de control de *arreras de un paso a ni/el+

Eercicio #$ *:

-sando al"una de las etensiones estudiadas, constru$a una Redes de Petriue descri*a el si"uiente pro*lema7 -n proceso despac!ador de mensa3esreci*e mensa3es pro/enientes de dos canales di&erentes+ Yeri#ca la paridadde cada mensa3e+ 0i la paridad es incorrecta, en/a un a/iso de noreconocimiento del mensa3e a tra/s de un canal de respuesta (eiste uncanal de respuesta por cada canal de entrada)Z si la paridad es correcta,coloca el mensa3e reci*ido en un *uer+ l *uer puede contener !asta die'mensa3es+ Cuando el *uer est lleno, el despac!ador en/a todo elcontenido del *uer a una unidad de procesamiento a tra/s de otro canal+Do se pueden colocar mensa3es en un *uer lleno+

Glosario 2


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Eercicio +

Resuel/a mediante una RdP el si"uiente pro*lema7

-n "rupo de 5 #l%so&os se encuentran sentados en una mesa circular donde!a sido depositada comida c!ina+ Cada #l%so&o tiene &rente a l un plato

donde ser/irse $ entre cada uno de ellos un palillo c!ino+ Como sa*emos,para comer comida c!ina necesitamos dos palillos, entonces cada #l%so&opara comer de*e tener dos palillos en su poder+

l pro*lema est en ue si cada #l%so&o tiene un s%lo palillo en su podertodos los #l%so&os entrarn en una espera eterna para comer, otro pro*lemapuede sur"ir $ es el ue un #l%so&o o*ten"a siempre los dos palillos $ semanten"a comiendo, lo ue producir ue los otros #l%so&os no puedancomer+

Eercicio ,Tres &umadores estn representados por los procesos 1, @ $ @+ Tres/endedores estn representados por los procesos Y1, Y2 $ Y@+ Para &umarccada &umador necesita ta*aco, papel para ta*aco $ un &%s&oroZ cuandodispone de estos recursos, el &umador &uma un ci"arrillo !asta terminarlo $entonces ueda ele"i*le para &umar de nue/o+ 1 tiene ta*aco, 2 tienepapel $ @ tiene &%s&oros+ Y1 /ende ta*aco $ papel, Y2 /ende papel parata*aco $ &%s&oros, $ Y@ /ende &%s&oros $ ta*aco+ Y1, Y@ $ Y@ tra*a3an eneclusi%n mutuaZ s%lo uno de los procesos puede tra*a3ar a la /e' $ elsi"uiente /endedor no puede tra*a3ar !asta ue los recursos suministrados

por el /endedor anterior !a$an sido consumidos por un &umador+

A partir de este enunciado, di*u3e una RdP ue represente el pro*lema $sus matrices de incidencia pre/ia $ posterior+

Glosario 2O


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#espuestas a los e"ercicios

Eercicio %

.atri' de incidencia pre/ia (P

t)%1 %2 %3 %4

P1 0 1 0 0

P2 0 1 0 0

P3 0 0 1 0

P4 0 0 0 1

.atri' de incidencia posterior (t P)

%1 %2 %3 %4

P1 1 0 0 0

P2 0 0 1 0

P3 0 1 0 0

P4 0 0 1 0

a+ .arcado alcan'a*le+

*+ .arcado alcan'a*le+

c+ .arcado no alcan'a*le+

d+ .arcado no alcan'a*le+

Eercicio &

a) no

*) no

Glosario 29


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Eercicio 'Figura 2 Respuesta al eercicio 3. %=uina e9pendedora de bebidas.

Eercicio (Figura 2 Respuesta al eercicio 4. e-foro ale-n

Eercicio )Figura 3( Respuesta al eercicio '. iste-a de control de barreras de un paso a nivel.

Eercicio *

0e utili'aron RdP coloreadas para identi#car los mensa3es ue circulan pordistintos canales+ n ro3o los mensa3es del canal A $ en a'ul los mensa3esdel canal \+

Figura 31 Respuesta al eercicio +. 5espac:ador de -ensaes.

Eercicio +

.atri' de incidencia pre/ia

V1 V2 V3 F1 F2 F3

1 1 1 1 0 0 0

2 0 0 0 0 0 1

3 0 0 0 1 0 0

4 0 0 0 0 1 0

Glosario

p1t1

t3

p2

p4

p3

t2>ngresa-oneda

5epsitoprovisorio

?ebidas

5epsito de-onedas

alida de-onedas

p'

alida debebidas

p1

t1

p2

p3

t2

p

p' t3t4

Roo

;erde

-arillo

;erde

-arillo

p1 p2

p3

t1

t2 p4 t3p'

t'

p0

t+ p

p+ t4

Tren

acercndose ensor

ensor ?

?arrera

en alto

?arrera

baa

Tren

alendose

uto-viles

para cruzar

uto-viles

=ue cruzaron

@;


32/35

.atri' de incidencia posteriorV

1V

2V

3F

1F

2F

3

1 0 0 0 1 1 1

2 1 0 0 0 0 0

3 0 1 0 0 0 0

4 0 0 1 0 0 0

Eercicio ,Figura 32 Respuesta al eercicio .

Glosario @1


33/35

Glosario

-onuntos

&'1( '2() ) ) ( '*+ C,*-.*%, /,, , 5, '5''*%, '1( '2() ) ) ( '*( , '%'*8*!':! C,*-.*%, /,, , 5, '5''*%, ' ;.'


34/35

ndice de i$%enesFIGURA1 REPRESENTACINGRFICADEUNARDP))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))6FIGURA2 LUGARACTIVO))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))6FIGURA3 TRANSICINSENSIBILIZADA)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))7

FIGURA4 TRANSICINVALIDADA)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))7FIGURA" REDDEPETRICONCUATROLUGARESTRESTRANSICIONES))))))))))))))))))))))))))))))))))))7FIGURA6 EVOLUCINDELMARCADODELAREDDELEJEMPLO1)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))10FIGURA7 ESTRUCTURABSICA) SELECCIN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))11FIGURA# ESTRUCTURABSICA) ATRIBUCIN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))11FIGURA9 ESTRUCTURABSICA) DISTRIBUCIN)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))12FIGURA10 ESTRUCTURABSICA) CONJUNCIN)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))12FIGURA11 ESTRUCTURABSICA) EJECUCINSECUENCIAL)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))12FIGURA12 ESTRUCTURABSICA) SINCRONIZACIN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))12FIGURA13 ESTRUCTURABSICA) CONCURRENCIA))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))13FIGURA14 ESTRUCTURABSICA) CONFLICTOS))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))13FIGURA1" EJEMPLODEUNARDPNOVIVA))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))1"FIGURA16 EJEMPLODEUNARDP PSEUDOVIVA)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))16FIGURA17 EJEMPLODEUNARDPNOREVERSIBLE))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))17FIGURA1# EJEMPLODEUNARDPNOACOTADA))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))1#FIGURA19 EJEMPLODEUNARDP CONSUGRAFODEALCANZABILIDAD)))))))))))))))))))))))))))))))))19FIGURA20 E@TENSIONES) RECURSOSCOMPARTIDOS)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))20FIGURA21 E@TENSIONES) ARCOSINIBIDORES))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))20FIGURA22 VALIDACINDEUNARDP)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))21FIGURA23 TCNICAENUMERATIVADEVALIDACIN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))22FIGURA24 TCNICADETRANSFORMACINDEVALIDACIN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))23FIGURA2" EJERCICIO1)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))2#FIGURA26 EJERCICIO2 A)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))29

FIGURA27 EJERCICIO2 B))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))29FIGURA2# RESPUESTAALEJERCICIO3) MHUINAE@PENDEDORADEBEBIDAS))))))))))))))))))))))32FIGURA29 RESPUESTAALEJERCICIO4) SEMFOROALEMN))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))32FIGURA30 RESPUESTAALEJERCICIO") SISTEMADECONTROLDEBARRERASDEUNPASOA

NIVEL) 33FIGURA31 RESPUESTAALEJERCICIO6) DESPACADORDEMENSAJES))))))))))))))))))))))))))))))))))))33FIGURA32 RESPUESTAALEJERCICIO#)))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))))3"

Glosario @@


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&iblio%ra'(aC+ Ramc!andan+ BAnal$sis o& As$nc!ronous concurrent s$stems *$ timed petri nets, .IT.ACTR12;, 194+

In"+ air Cer/antes Canales+ Representaci%n $ aprendi'a3e de conocimiento con redes de Petri

di&usas+ .eico 2;;5+f+ ensen, BColored Petri nets and t!e in/ariant met!od, T!eoretical Computer 0cience,/olume 14, 19O1, pp+ @1@@6+

.urata, Tadao+ BPetri Dets7 properties, anal$sis and applications+ Proceedin"s o& t!e I,YXL+ , Do+ 4+ April 19O9+

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