red recíproca
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Bibliografía:
1. Solid State Physics. Ashcroft and Mermin.
2. Solid State Chemistry. West.
Federico Williams
primer cuatrimestre 2012
Determinación de la estructura cristalina de sólidos:
Difracción de rayos X
a) Planos Cristalinos
b) Red Reciproca
c) Modelo de Bragg
d) Modelo de von Laue
e) Equivalencia entre ambos modelos
Índices de Miller: son índices para planos definidos por los valores recíprocos (h k l) de las
intercepciones en los ejes (a/h b/k c/l) donde a, b, c son los vectores de la red.
Planos cristalinos
dhkl es el espaciamiento entre planos equivalentes
Planos equivalentes
(1 1 0)
(2 3 0)
(1/2 1/3 ∞)
(1 1 ∞) (-1 1 ∞)
(∞ 1 ∞)
(0 1 0)
Determinación de los índices de Miller
(1 1 0)
Separación de los planos
2 2
2 2
0
1
kh
h k
d a
o 0 2 2 1/ 2( )
hk
ad
h k
En 3-D 2 2 2
2 2
1
hkl
h k l
d a
O 2 2 2 1/ 2( )
hkl
ad
h k l
En general para redes ortorombicas:
2 2 2
2 2 2 2
1
hkl
h k l
d a b c
La demostración de estas relaciones geométricas surge de las propiedades de redes recíprocas.
Supongamos que quisiéramos representar a todos los conjuntos de planos equivalentes de una red de Bravais…
Red Reciproca
Onda Plana. Planos de amplitud constante son perpendiculares a la distancia de propagación
Si deseamos representar todos los conjuntos posibles de planos paralelos en una red de Bravais con un
conjunto de ondas planas, que valores de debemos usar?
Red Reciproca
Existe un vector de onda por cada conjunto de planos paralelos y cada vector de onda tiene una
dirección normal a la correspondiente al plano de la red del espacio real (hkl) y una longitud de onda
igual a la distancia interplanar dhkl
El conjunto de todos los vectores de onda que generan ondas planas con la misma periodicidad
que la red de Bravais se conoce como red reciproca. Por lo tanto el onda plana tendrá el mismo valor rn
r que en r + R (R es un vector de la red de Bravais).
Bravais de red la de R válido2
1 2)(
nRG
eeee
hkl
inRGirGiRrGi hklhklhkl
hklG
)(2)(*)**( 332211321321 nknknkcnbnanckbkakRG hkl
En la red recíproca cada plano del espacio real está representado por un vector perpendicular. hklG
Si a, b y c son los vectores primitivos de la red directa, entonces a*, b* y c* son los
vectores primitivos de la red recíproca
ijji aa 2*
La red recíproca es una red de Bravais
Cada red directa en el espacio real tiene asociada una red recíproca en el espacio recíproco.
Por cada conjunto de planos paralelos en la red directa primitiva hay un punto en la red recíproca.
La red recíproca (espacio de Fourier, espacio k, espacio de los momentos a diferencia del espacio real o
directo) se define como:
“Es un conjunto de punto imaginarios construidos de tal manera que la dirección del vector de un punto a otro
coincide con la dirección de la normal a los planos del espacio real y la separación entre los puntos (módulo del
vector) es igual a 2 veces la recíproca de la distancia interplanar del espacio real.”
2 / dhkl
2/d101
2/d100
2/d001
2/d010
𝑠𝑖 𝛼 = 𝛽 = 𝛾 = 90𝑜 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝛼∗ = 𝛽∗ = 𝛾∗ = 90𝑜 𝑦
𝑎 ∥ 𝑎∗
𝑏 ∥ 𝑏∗
𝑐 ∥ 𝑐∗
𝛼 + 𝛼∗ = 180𝑜, 𝛽 + 𝛽∗ = 180𝑜 , 𝛾 + 𝛾∗ = 180𝑜
(1) Se elige un origen y desde el mismo se traza la dirección normal a cada familia de planos paralela en la dirección de la
red directa. (2) Se fija la longitud de cada normal igual a 2 veces la reciproca de la separación entre planos para ese
conjunto particular de planos. (3) Se coloca un punto donde termina el vector normal.
Cómo se construye la red recíproca a partir de la real?
En la red recíproca cada punto representa un conjunto de planos equivalentes que se encuentran a una distancia 2/dhkl del
origen O y orientados en la dirección normal al plano del mismo índice.
Cada plano de la red directa genera un punto en la red recíproca y a partir de esto se puede construir toda la red recíproca.
Alternativamente, podemos generar la red recíproca encontrando solo los puntos especificados por los planos (100), (010) y
(001). Luego se pueden realizar combinaciones lineales de estos vectores para generar toda la red.
Red en el espacio real Red en el espacio recíproco
La red recíproca se puede considerar como el mapa de los puntos de difracción obtenidos al
incidir una onda electromagnética de energía adecuada sobre el cristal
a
a* = 2/a
red recíproca de una red periódica 1D
a es paralelo a a* si y solo si a, b, c son mutuamente ortogonales
red recíproca de una red periódica 2D
Red Real → Red Recíproca
Red Cúbica de Bravais Red Recíproca Cúbica con primitiva 2/a
1 2 3
1 2 3
ˆ ˆ ˆ
2 2 2ˆ ˆ ˆ
a ax a ay a az
b x b y b za a a
Red Cúbica centrada en las caras Red Recíproca Cúbica centrada en
el Cuerpo 4/d
1
2
3
4 1ˆ ˆˆ.
2
4 1ˆ ˆˆ.
2
4 1ˆ ˆ ˆ.
2
b y z xa
b z x ya
b x y za
Red Cúbica centrada en el Cuerpo Red Recíproca Cúbica centrada en las caras
Los vectores de la red recíproca son paralelos a los de la red real solo cuando estos
últimos son mutuamente perpendiculares entre sí.
Red recíproca cúbica centrada en el cuerpo
Red recíproca cúbica centrada en las caras
Red monoclínica:
Que ocurre cuando los Rayos X interactuan con un objeto?
Rayos X: Radiación electromagnética de muy corta longitud de onda y
Por lo tanto muy alta energía (>124 eV). Intervalo entre 0.01 y 10 nm.
Dispersion de Rayos X (Scattering) : El proceso físico en el cual los fotones de
Rayos X se deflectan al azar como resultado de colisiones, y la consecuente
disminución de la intensidad de la radiación por absorción y radiación.
Dispersión Elástica: la energía de las ondas dispersadas es la misma que la onda
incidente.
Dispersión Inelástica: Hay un cambio en la energía del haz dispersado con
respecto al haz incidente debido a interacciones de la onda incidente con la
muestra.
sin2 hkldnλ
Formulación de Bragg de la condición de difracción
Es un modelo muy simple que asume que los rayos X son dispersados por los planos de
átomos paralelos (en realidad cada átomo es una fuente de radiación dispersa). Cada plano
actúa como un espejo semitransparente, reflejando parte de la radiación incidente y
transmitiendo el resto.
La condición para interferencia constructiva es: (ley de Bragg)
Este modelo es limitado, solo permite calcular la separación entre planos dhkl que caracteriza a
la red, pero no permite calcular la geometría ni composición química de la base. Esta
información aparece en las intensidades de los picos de difracción.
Reflexiones de Bragg
2
222
2
1
a
lkh
dhkl
sin21 sin2
hkl
hkld
dnλ
2
2
2
sin41
hkld
)(4
sin 222
2
22 lkh
a
Calculemos el parámetro de red cúbica a partir de
la separación de planos {111} para el cual se
observa un máximo de difracción en un ángulo
11.2º para radiación de = 152 pm
2/11113
ad
sin2111 d
pma 687sin2
3 2/1
Notar que el ángulo de Bragg es la mitad del ángulo total (2) en el que el haz incidente es reflejado. Para cada combinación
diferente de h k y l tendremos distintos valores para d y por lo tanto distintos ángulos de difracción que se pueden utilizar para
identificar el sólido.
La formulación de von Laue
No supone reflexiones especulares en los planos de la red. Suponemos que el cristal está compuesto por un conjunto de objetos
microscópicos idénticos (iones o átomos) colocados en los sitios R de la red de Bravais, cada uno puede re-irradiar la radiación
incidente en todas las direcciones. Observaremos picos agudos de difracción solo en las direcciones y a las longitudes de onda
donde toda la radiación dispersada desde todos los puntos de la red interfiere constructivamente.
Para encontrar la condición de interferencia constructiva consideremos dos fuentes de dispersión separadas por el vector de
desplazamiento d.
Observaremos un rayo disperso en la dirección n’ con vector
de onda k’=2n’/ si la diferencia de camino óptico entre los
rayos dispersos por las dos fuentes es un número entero de
longitudes de onda. La diferencia de camino es:
la condición de interferencia constructiva es:
multiplicando cada lado por 2/:
)'('coscos nnddd
nnnd )'(
nkkd 2)'(
Consideremos ahora un arreglo de fuentes de dispersión en los sitios de la red de Bravais. Como los sitios están separados por
los vectores de red R, la condición para que todos los rayos dispersos interfieran constructivamente es que la ecuación superior
sea válida simultáneamente para todos los valores de d que son vectores de la red de Bravais, es decir:
1
, 2)'(
)'(
Rkkie
RnnkkR
que es lo mismo que: Condición de von Laue: ocurrirá interferencia
constructiva si el cambio de vector de onda K=k’k es
un vector de la red recíproca
kkK '
Si la diferencia k’-k = K es un vector de la red
recíproca y si k y k’ tienen la misma magnitud
entonces:
KKk2
1
la componente del vector de onda incidente en la dirección del vector de la red recíproca K debe tener la
mitad de la magnitud de K.
Por lo tanto un vector de onda k satisface la condición de difracción de von Laue si y solo si la punta del
vector cae sobre el plano que es la bisección perpendicular de una línea que une el origen en el espacio
k con un punto de la red recíproca K. Estos planos en el espacio k se llaman planos de Bragg.
El plano de Bragg en el espacio k asociado con un pico de difracción particular en la formulación de von
Laue es paralelo a la familia de planos de la red directa responsables por los picos en la formulación de
Bragg.
Planos de Bragg
Equivalencia de las formulaciones de Bragg y de von Laue
La equivalencia de estos dos criterios para la interferencia constructiva de rayos X por un cristal tiene una
conexión directa con la relación entre los vectores de la red recíproca y las familias de planos de la red directa.
Como k y k’ tienen la misma magnitud entonces
forman el mismo ángulo con el plano perpendicular a K
y por lo tanto la dispersión puede ser vista como una
reflexión de Bragg con un ángulo de Bragg desde
una familia de planos de la red directa perpendiculares
al vector de la red recíproca K.
d
nK
2
Como K es un vector de la red recíproca
entonces su módulo es igual a:
ndd
nk
kK
sin2 sin2
sin
sin2
Por lo tanto, un pico de difracción de Laue correspondiente a un cambio en el vector de onda dado por un
vector de la red recíproca K corresponde a una reflexión de Bragg desde la familia de planos de la red directa
perpendiculares a K. El orden n de la reflexión de Bragg es el módulo de K dividido por la longitud del vector
de la red recíproca más corto paralelo a K.