Problema 1 Primavera 04 Dos condensadores planos estn conectados en paralelo a una fuente de tensin V=50V. El condensador C1 tiene una superficie A1=2,0cm2 y una separacin entre placas d1=0,50mm, mientras que el otro condensador tiene A2=4,0cm2 y d2=1,00mm. Ambos condensadores no contienen ningn dielctrico (vaco). a) Obtenga razonadamente la relacin entre carga elctrica de cada placa y el valor de la diferencia de potencial entre placas para un condensador plano. b) Calcule, para cada condensador, el valor del campo elctrico E1 y E2, C1 el valor de las capacidades C1 y C2 , as como de las cargas Q1 y Q2 . c) Calcule la energa almacenada en cada condensador. Se separa el conjunto de los 2 condensadores de la fuente de tensin, pero se C2 sigue manteniendo las conexiones entre ambos condensadores, que siguen estando en paralelo. Se introduce en el condensador C1 un dielctrico de +V permitividad dielctrica r1=5: d) Calcule, para cada condensador, los nuevos valores de los campos elctricos E1 y E2, as como de las cargas Q1 y Q2 . e) Calcule las diferencias de potencial V1 y V2 sobre cada condensador. Soluci a) Si d es muy pequeo comparada con las dimensiones de las placas, podemos considerar stas como planos indefinidos. En esta simetra, la carga se repartir de manera uniforme y podemos considerar que el campo elctrico es uniforme en el espacio entre placas. Aplicando Gauss a la superficie de un cilindro de base s o como resultado de las propiedades del campo elctrico en la superficie de un conductor cualquiera E = circulacin del campo entre las dos placas: . Calculando la 0 - d A

Q d A C = 0 V = E dl = Edl = E dl = Ed = d = 0 0 A dE dlb)V E1 = d 1 V = Ed V E 2 = d2

E 1 = 100KV/m E 2 = 50KV/m

Q = CV A C = 0 C1 = C 2 = 3,54pF d Q = Q 2 = 177pC A 2 = 2A1 1 d 2 = 2d1

Q = A1 0 E1 Q = A 0E 1 Q 2 = A 2 0 E 2

Q1 = 177pC Q2 = 177pC

c) U1 = U 2 = Q V = 4,42 nJ2

1

d) Como los condensadores se mantienen en paralelo, la diferencia de potencial V es la misma en ambos, pero es diferente a la anterior ya que la capacidad equivalente del sistema ha cambiado ( C '1 C1 , C '2 = C2 ) . La carga de cada condensador ser distinta a la de antes Q '1 Q1 , Q '2 Q2 pero su suma se va a mantener Q1 + Q2 = Q1 '+ Q2 '

' C1 = 0 r

A1 = 5C1 = 5C 2 d1

Q' Q' Q' ' V' = 2 = 1 = 1 Q1 = 5Q '2 ' C 2 C1 5C 2

E d = E d = V' E = 2E ' Q1 A1 d2 ' ' ' E1 = Q2 = 5Q'2 Q1 = r 0r A1 A2 d1 ' Q E'2 = 2 0 A2 ' 1 1 ' 2 2 ' 1 ' 2

' ' Q1 ' 5 ' E1 = = 33,3KV/m Q = Q Q1 = 295pC ' 0 r A1 1 3 1 Q1 = 5Q '2 ' ' ' Q1 + Q'2 = Q1 + Q 2 = 2Q1 ' 1 ' E ' = E1 = Q 2 = 16,7KV/m Q 2 = Q1 Q 2 = 59pC 2 2 0A2 3

' e) E1d1 = E '2 d 2 = V' V' = 16,7V

Problema 2 Primavera 04 Una espira tiene forma de tringulo rectngulo issceles y est introducida parcialmente en una zona rectangular donde existe un campo magntico uniforme B=B0 k. La posicin de la espira triangular es la indicada en la figura, siendo a el valor de la hipotenusa y x la abcisa del vrtice del ngulo recto.

a) Si por la espira circulase una intensidad I en contra de las agujas del reloj, exprese en funcin de a, x, I y B0, la fuerza que actuara sobre la espira (indicar mdulo, direccin y sentido). b) Considerar ahora que por la espira no circula ninguna corriente. Exprese en funcin de a, x, y B0 el flujo magntico que atraviesa la espira debida al campo magntico B . c) Si en esa posicin la espira se desplazase hacia las "x" positivas con velocidad v, calcule la fuerza electromotriz inducida e indique con un dibujo cul sera el sentido de la corriente inducida. d) Si la resistencia de la espira fuese R, obtenga la expresin (en funcin de a, x, v y B0) de la fuerza que deberamos hacer para que la espira no variase su velocidad.

Soluci a) La fuerza que acta sobre un tramo de corriente situado en un campo magntico uniforme B , valeQ I

P

FPQ = I PQ B

Sobre la espira actuar una fuerza FE = I DA B

C

45

45

B

Y X

D F = I DA B

G x E

A

Para buscar DA , observamos que en el tringulo rectngulo issceles CEB, los ngulos C y B han de valer 45. En el tringulo pequeo los ngulos D y A tambin valdrn 45 GE x tgD = tg 45 = 1 = = DG = x . DG DG DA = 2 xj FE = I 2 xj Bo K = 2 xIB0i .

b) Escogemos dS = dSk . De esta manera el vector dS y B son paralelos. En estas condiciones, ya que el campo es uniforme: 2 aa a 2B =a B x0 es el mismo que se tendra si sustituysemos la lmina conductora por una carga de valor Q. (carga imagen), situada en el punto (0,0,-a). e) Exprese el potencial que creara la carga Q y su imagen en un punto genrico de coordenadas (x,y,z). f) Compruebe que el potencial y el campo elctrico que creara este sistema de dos cargas, cumplen las propiedades que deberan tener en la superficie de la lmina conductora en z=0. Aplicando la equivalencia entre las dos distribuciones: g) Exprese la energa de formacin del sistema lmina-carga.

h) Deduzca la expresin del campo elctrico que creara el sistema lmina-carga puntual en z=0. i) Exprese la densidad de carga superficial en funcin de las coordenadas (x,y) del plano z=0. j) Demuestre que la carga total de la lmina es Q. Ayuda para obtener la carga total de la lmina: note que la densidad de carga slo depende de la distancia al eje Z (donde =(x2 + y2)1/2).

Soluci

a)

z P(x,y,z) +Qa

y -Q xEl potencial electroesttico ser la suma de los potenciales asociados al campo creado por las cargas puntuales Q y Q 1 Q 1 Q V= + +C, 2 4 0 x 2 + y 2 + ( z a ) 4 0 x 2 + y 2 + ( z + a )2 donde C es una constante. b) Escogiendo C=0, en el plano z=0, el potencial valdr V=0. Tambin ser nulo a distancia infinita de las cargas. El campo elctrico ser perpendicular al plano z=0 ya que es una superficie equipotencial y por lo tanto verifica la propiedad que debe tener E en la superficie de un conductor. c) Aplicando la equivalencia buscamos la energa de formacin del sistema Q , Q . Para ello calculamos el trabajo que hay que hacer en contra del campo para traer las cargas desde el origen de energa potencial () hasta sus posiciones finales WQ = 0

Q Q 2 WQ = +QV Q ( 0, 0, a ) = Q = 4 0 2a 8 0 a d) El campo E se puede calcular de dos formas a) E = V b) E = EQ + E Q

E=

1

4 0 x 2 + y 2 + ( z a )2 1 4 0 x 2 + y 2 + ( z + a )2

(

Q Q

)

3/ 2

( xi + yj + ( z a ) k ) + ( xi + yj + ( z + a ) k )Qak

(

)

3/ 2

En z=0

E=

2 0 ( x 2 + y 2 + a 2 )3/ 2

1

que es perpendicular al plano z=0 como ya habamos comentado. e) Como en la superficie de un conductor E = n y para z > 0 n = k 0 la densidad superficial ser Qa ( x, y ) = 3/ 2 2 ( x 2 + y 2 + a 2 ) f) La carga del plano QP =plano

z

dS

Ya que depende de x 2 + y 2 , que es el cuadrado de la distancia al eje z,

= x 2 + y 2 , tomaremos elementos de superficie que representen anillos de grosor elemental. De este modo dS = 2 d =

QP =

=0

2 ( 2 + a 2 )

Qa

3/ 2

Qa +Qa 2 d = = 0 = Q 1/ 2 1/ 2 ( 2 + a 2 ) =0 ( 0 + a2 )

=

Problema 2 Tardor 04 Per un conductor cilndric masss molt llarg de radi R passa un corrent de intensitat total I que est distribut uniformement en tota la secci transversal del conductor. a) Calculeu el vector densitat de corrent j en els punts interiors (r