9.1 MA

ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICAÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA ÉLITE CATÓLICA

PROYECCIONES ORTOGONALESPROYECCIONES ORTOGONALESLa proyección de un punto sobre un plano es el pie de

la perpendicular trazada desde el punto al plano.

La proyección de un segmento sobre un plano es el conjunto de puntos que son las proyecciones de los puntos del segmento sobre el plano.

P´; y´Q´P;´E;´CD;´B´A L´ son las

proyecciones.

RECTA PERPENDICULAR A UN PLANORECTA PERPENDICULAR A UN PLANOUna recta es perpendicular a un plano, cuando es

perpendicular a las infinitas rectas contenidas en dicho plano.

Si: L ⊥ P

⇒ L ⊥ a

L ⊥ b

L ⊥ c

Observación:Para que una recta sea perpendicular a un plano es

condición necesaria y suficiente que sea perpendicular a dos rectas secantes contenidas en el plano.

Si: a ∩ b = {Q}

a y b ⊂ P;

L ⊥ a y L ⊥

b

⇒ L ⊥ P

TEOREMA DE LAS TRES TEOREMA DE LAS TRES

PERPENDICULARESPERPENDICULARESSi por el pie de una recta perpendicular a un plano,

trazamos una recta perpendicular a una recta contenida en dicho plano, entonces, toda recta que pase por el pie de la segunda y por un punto cualquiera de la primera, será perpendicular a la recta contenida en dicho plano.

Si: 1L ⊥ P;

a ⊂ P y

2L ⊥ a

⇒ 3L ⊥ a

Es decir: x = 90°

ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN ÁNGULO ENTRE UNA RECTA Y UN

PLANOPLANOEl ángulo entre una recta y un plano, es el ángulo que

determinan la recta con su proyección sobre dicho plano.

m : proyección de L

sobre el Pθ : medida del ángulo

entre L y el P

DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS DISTANCIA ENTRE 2 RECTAS

ALABEADASALABEADASSólo existe un segmento perpendicular a dos rectas

alabeadas cuyos extremos están en dichas rectas, quien recibe el nombre de distancia entre ellas.

d: distancia entre 1L y

2L

PLANOS PERPENDICULARESPLANOS PERPENDICULARES

Av. Universitaria 1875 Pueblo Libre (Frente a la U. Católica) – Teléfono: 261-8730

P´´

A´ B´ D´C

P

A

B D

Proyectante

E´

P

Q´ L´

E

P´

Q L

P

b

ca

L

P b

Qa

L

P

L1

a

L2

L3

x

L1

L2

d

P

L

mθ

P

L1

a

L2

L3

x

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

Dos planos son perpendiculares cuando dichos planos determinan un ángulo diedro que mide 90°.

Si: θ = 90

⇒ P ⊥ Q

1. Sobre el vértice de un rectángulo de lados 3 y 4 se levanta una perpendicular que mide 12. Hallar la distancia del vértice opuesto a la perpendicular a la parte superior de dicha perpendicular.

2. La proyección de un segmento AB, sobre un plano Q,

es el segmento AF. Si AF mide 12 cm y AB forma

con Q un ángulo de 37°, hallar la longitud de AB .

3. Las distancias de 2 puntos “A” y “B” a un plano “φ” son

de 6 y 2 m. Estando dichos puntos en diferentes semiespacios del plano de tal manera que la proyección de AB sobre el plano es de 15 m, hallar AB.

4. La distancia de un punto E a un plano H es EF = 8 cm. La distancia de E a una recta m, contenida en H, es EM = 17 cm. Hallar FM.

5. Se tienen 2 cuadrados perpendiculares ABCD y

ADEF cuyos lados miden 2 3 . Calcular la distancia

de B a E.

6. En un triángulo rectángulo ABC, recto en B se traza la

altura BH , tal que AH = 2 y CH = 3. Luego, por el

vértice B se levanta BE = 10 , perpendicular al

plano del triángulo ABC. Calcular el área del triángulo ACE.

DEFINICIÓNDEFINICIÓN

Es aquel sólido limitado por cuatro o más regiones poligonales planas, dichas regiones se denominan caras del poliedro, los lados de las caras se denominan aristas.

Poliedro Convexo Poliedro no Convexo o Cóncavo

POLIEDROS REGULARESPOLIEDROS REGULARESDefinición

Es aquel poliedro en el cual sus caras son regiones poligonales congruentes entre sí, de modo que en todos sus vértices concurran el mismo número de aristas.

Sólo existen cinco poliedros regulares los cuales son:

TETRAEDRO REGULARTETRAEDRO REGULARLimitado por cuatro regiones triangulares equiláteras.

Notación: Tetraedro regular L – ABC

Altura : LG = 3

6a

Área de la superficie : A = a23

Área lateral : AL = 3a2 4

3

Volumen : A = 12

2a3

Del gráfico:G : baricentro de la región triangular ABC

Desarrollo de la superficie del tetraedro regular

- 2 -

P

θ

A B

C

L

a

G

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

HEXAEDRO REGULARHEXAEDRO REGULARLimitado por seis regiones cuadradas.

Notación: Hexaedro regular ABCD – EFGH

Diagonal : AG = a 3

Área de la superficie : A = 6a2

Área lateral : AL = 4a2

Volumen : V = a3

Observación: O : centro del hexaedro regular.

Desarrollo de la superficie del hexaedro regular

OCTAEDRO REGULAROCTAEDRO REGULARLimitado por ocho regiones triangulares equiláteras.

Notación: Octaedro regular M – ABCD – N

Diagonal : MN = a 2

Área de la superficie : A = 2a2 3

Volumen : V = 3

2a3

Observación:O : centro del octaedro regular.

ABCD ; AMCN ; BMDN : cuadrados

Desarrollo de la superficie del octaedro regular

DODECAEDRO REGULARDODECAEDRO REGULARLimitado por doce regiones pentagonales regulares.

Desarrollo de la superficie del dodecaedro regular

ICOSAEDRO REGULARICOSAEDRO REGULARLimitado por veinte regiones triangulares equiláteras.

Desarrollo de la superficie del icosaedro regular

1. En un hexaedro regular, la longitud de una diagonal es 12 cm. El área de una cara es:

- 3 -

A

E

B C

D

G

H

F

O

a

a

a

A

B C

D

M

N

O

a

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

2. En un hexaedro regular cuya área total es 216 cm2, hallar la distancia entre los centros de dos caras adyacentes.

3. Calcular el área lateral de un cubo, si tomamos en su interior un punto de manera que la suma de las distancias de dicho punto a todas las caras es 18.

4. El desarrollo de la superficie lateral de un cubo es un

rectángulo de diagonal 17 m. Calcular el volumen

del cubo.

5. En un tetraedro regular de arista 9 cm, hallar la distancia del baricentro de una cara al plano de otra cara.

6. Calcular la arista del hexaedro regular, en el cual la

distancia de un vértice a diagonal del cubo es 6 m.

7. Calcular el volumen de un tetraedro regular formado

por un triángulo equilátero de 36 3 m2 de área.

8. Calcular el área del triángulo MNL, si el volumen del cubo es 64 y M, N , L son puntos medios.

1. A es un punto que está sobre un plano P. B es otro

punto fuera de P, tal que AB forma un ángulo de

30° con P. La distancia de B a P es 12. Hallar AB.A) 6 B) 8 C) 12 D) 24 E) N.A.

2. ABCD es un cuadrado de lado 4 cm. Se eleva AF ,

perpendicular al plano ABCD, tal que AF = 4 cm. Hallar FC.

A) 4 2 cm C) 8 2 cm E) 6 cm

B) 8 cm D) 4 3 cm

3. Un plano P tiene un una inclinación de 60° sobre el plano Q. ¿A qué distancia del plano Q se debe trazar

otro plano paralelo que corte a P, tal que sus intersecciones disten 42 cm?

A) 21 cm C) 21 2 cm E) 42 2 cm

B) 31,5 cm D) 21 3 cm

4. Sean A y B dos puntos situados por encima de un plano. Las perpendiculares bajadas desde A y B al plano miden BP = 7 y AQ = 13. Calcular la distancia de “M” al mismo plano, siendo M punto medio del

segmento AB .

A) 11 B) 9 C) 8 D) 10 E) 12

5. Se tiene un segmento de recta AB de 8 m situado

en un plano π y un punto P que dista 12 m de dicho

plano. Hallar la distancia de AB a la proyección del

punto P sobre el plano π si: AP = BP = 13 m.

A) 5 m B) 4 m C) 4,5 m D) 3 m E) 6 m

6. En un triángulo los catetos AB y BC miden 1 y 2

cm. Por el vértice B del ángulo recto se traza una

perpendicular BF = 10 cm, al plano del triángulo.

Calcular el área del triángulo AFC.

A) 6 cm2 C) 1,5 6 cm2 E) 0,5 6

cm2

B) 2 6 cm2 D) 2,5 6 cm2

7. Los triángulos equiláteros ABD y ABC de lado “a” se sitúan en dos planos perpendiculares. Hallar la distancia de baricentro del triángulo ABD al punto

medio de AC .

A) a 2 /3 C) a 3 /3 E) a 2 /2

B) a 3 /2 D) a 2 /4

8. Un triángulo equilátero ABC está en un plano perpendicular a un cuadrado ABDE. El segmento de

recta que une el punto medio de AC con el punto

medio de AD mide 1 m. Hallar el área del

cuadrado.A) 3 m2 B) 1 m2 C) 2 m2 D) 4 m2 E) 5 m2

9. En una circunferencia de 5 m de radio se traza un

diámetro AB y una cuerda AC de 8 m de

longitud. Por el punto B se levanta BF = 6 m, perpendicular al plano de la circunferencia. Hallar el área del triángulo FCA.

A) 24 2 m2 C) 36 m2 E) 48 2 m2

B) 24 m2 D) 48 m2

- 4 -

M

N

L

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

10. Existen _____ poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros.A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

11. Se da un icosaedro regular de 1 m de arista. Hallar el área total.

A) 20 m2 C) 3 5 m2 E) 2 5 m2

B) 5 2 m2 D) 5 3 m2

12. Hallar el volumen de un octaedro regular de arista 3 cm.

A) 9 cm3 C) 9 6 cm3 E) 6 3 cm3

B) 9 3 cm3 D) 9 2 cm3

13. La altura de un tetraedro regular mide 2 cm. Hallar la arista.

A) 2 6 cm C) 3 2 cm E) N.A.

B) 2 3 cm D) 6 cm

14. Hallar el ángulo formado por dos diagonales cualesquiera de un octaedro regular.A) 90° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°

15. ¿Cuánto debe medir la arista de un cubo para que su diagonal sea igual a la altura de un tetraedro regular

de arista igual a “”?

A) 3 / 2 C) 2 / 2 E) 2 / 3

B) 6 / 3 D) 3 / 3

16. En el hexaedro regular de arista “a” mostrado, hallar el área del triángulo ABM, siendo “M” punto medio de la

arista CD .

A) a2 6

B) a2 / 2

C) a2

D) a2 3 / 2

E) a2 2

17. Hallar la razón entre las áreas de un cubo y un octaedro que tiene como vértices los puntos centrales de las caras del cubo.

A) 2 2 C) 3 E) 3 3

B) 3 2 D) 2 3

18. Encontrar el área total de un octaedro regular sabiendo que el segmento que une dos vértices opuestos del octaedro mide 1 m.

A) 3 m2 C) 4 3 m2 E) N.A.

B) 2 3 m2 D) 8 3 m2

19. ¿Que relación existe entre las áreas totales de dos hexaedros regulares, si se sabe que la arista de uno de ellos es igual a la diagonal del otro?

A) 1 : 2 C) 1 : 4 E) 1 : 3

B) 1 : 3 D) 1 : 6

20. El área de una cara de un tetraedro regular es de 40 cm2. ¿Cuál es el área del polígono que se obtiene al unir los puntos medios de tres aristas?A) 20 cm2 C) 5 cm2 E) N.A.B) 10 cm2 D) 2,5 cm2

21. Si partiendo de un cierto vértice de un cubo, se trazan las diagonales de dos caras contiguas, hallar el ángulo que forman.A) 45° B) 30° C) 90° D) 60° E) 120°

22. En el cubo que se muestra, la arista mide 6 cm. Determinar el área del rectángulo ABFE.

A) 36 cm2

B) 36 2 cm2

C) 18 2 cm2

D) 18 cm2

E) 72 cm2

23. Hallar el área de la región sombreada, si el sólido es un cubo de arista “a”.

A) a2 2 / 2

B) a2 3 / 4

C) a2 3 / 8

D) a2 2 / 4

E) N.A.

24. En el cubo de arista “a”, GP = PQ = QD, hallar el área de la región sombreada.

A) a22 / 4 D) 3 a2

2 / 4

B) 2a2 E) 3a2

C) 2a22 / 3

25. En el cubo mostrado, O es centro de la cara ABCD. Hallar “x”.

- 5 -

A

B

C

DM

A

B C

D

E

FG

H

A

G

C

D

B

F

EH

P

Q

A

G

C

B

D

F

Ex

O

2a

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

A) 2

7a C) a 5 E) 2

6a

B) a 7 D) a 6

26. Calcular el volumen de un cubo, sabiendo que la

suma de sus diagonales es 12 3 .

A) 216 C) 64 E) 27

B) 9 3 D) 32

27. Hallar el volumen de un cubo, si la suma de una de sus diagonales con la diagonal de una de sus caras es

3 + 2 .

A) 1 C) 2 E) N.A.

B) 3 D) 5 + 2 2

28. Hallar la distancia GH entre los baricentros de dos caras contiguas de un tetraedro regular de arista “a”.

A) a/2B) a/2C) a/3D) 2a/3

E) a 3 / 3

29. Dado un triángulo equilátero ABC, por el vértice B se

traza un segmento BQ perpendicular al plano del

triángulo. Si BQ = AC =2 2 cm y M es punto medio

de BC , hallar QM.

A) 10 cm C) 2 6 cm E) 11 cm

B) 2 5 cm D) 10 cm

30. En un tetraedro regular, de aristas con longitud “a” cada una, hallar la distancia entre los puntos medios de dos aristas opuestas.

A) a 2 C) 3

2aE)

2

2a

B) 4

2aD) a

31. Hallar el área de la proyección de una cara sobre otra, en un tetraedro regular de arista con longitud “a”.

A) 4

3a2C)

12

3a2E)

9

3a2

B) 8

3a2D)

16

3a2

32. En un tetraedro regular de arista lateral 27 cm, hallar la longitud de la proyección de la altura sobre una cara.

A) 12 cm C) 12 2 cm E) 9 3 cm

B) 12 3 cm D) 9 cm

33. En un hexaedro regular, hallar la distancia de un vértice al centro de una cara que no lo contiene. El volumen del hexaedro es 8 cm3.

A) 3 cm C) 2 cm E) 5 cm

B) 6 cm D) 4 cm

34. Si se unen los centros de las caras de un hexaedro regular, se forma un(a):A) pirámide cuadrangularB) tetraedro regularC) hexaedro regularD) dodecaedro regularE) octaedro regular

35. ¿Cuántas caras tendrá el sólido que se forma al unir los puntos medios de las aristas de un hexaedro regular?A) 12 B) 16 C) 14 D) 18 E) 15

36. Si se unen los baricentros de las caras de un octaedro regular de arista 6 cm, se forma un sólido de volumen:

A) 16 cm3 C) 8 cm3 E) 8 2 cm3

B) 16 3 cm3 D) 16 2 cm3

37. Un cubo y un tetraedro regular tienen igual volumen. Las aristas de estos sólidos tienen longitudes que son entre sí como:

A) 1 B) 2 C) 6 72 D) 6 36 E)

6 18

38. Hallar la distancia entre los baricentros de dos caras de un tetraedro regular, cuyas aristas tienen longitud “a” cada una.

A) a B) 2

aC)

4

aD)

3

aE)

3

2

a

- 6 -

G

H

Rectas, Planos y Poliedros Reg.

39. Calcular la arista del hexaedro regular mostrado, si la distancia del centro “O” de la cara superior a la

diagonal BC es 6 m.

A) 3 m

B) 2 3 m

C) 3 m

D) 3 2

E) 6 m

40. Sobre las aristas OCyOB,OA de un

tetraedro regular se ubican los puntos M, N y L de modo que OM = 8 , NO = 6 y OL = 3. Calcular el volumen del tetraedro O – MNL.

A) 6 B) 6 2 C) 12 D) 12 2 E)

N.A.

- 7 -

H

A

B

CO