Rectas e hipérbolas - · PDF file1. Funciones constantes y lineales Halla mentalmente...

1. Funciones constantes y lineales

Halla mentalmente el valor de la constante de proporcionalidad directa en la compra de perassabiendo que 5 kg de peras cuestan 10 €

Solución:Constante = 10 : 5 = 2

P I E N S A Y C A L C U L A

242 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Halla mentalmente la pendiente de las siguientes fun-ciones lineales o de proporcionalidad directa, y di sison crecientes o decrecientes:

y = 3x

y = – x/3

y = 3x/2

y = – 4x/3

Halla la ecuación de la siguiente función definidapor una tabla de valores y clasifícala:

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini-das verbalmente y clasifícalas:

La temperatura baja 2 grados cada hora. Halla latemperatura en función del tiempo.

La entrada al zoo cuesta 5 €. Halla el coste en fun-ción del tiempo que dura la visita.

Solución:

y = 5 ⇒ Es una función constante.

7

Solución:

y = – 2x ⇒ Es una función lineal.

6

Solución:

y = 1,2xEs una función lineal o de proporcionalidad directa.

5

Solución:

m = – 4/3 < 0 ⇒ función decreciente.

4

Solución:

m = 3/2 > 0 ⇒ función creciente.

3

Solución:

m = –1/3 < 0 ⇒ función decreciente.

2

Solución:

m = 3 > 0 ⇒ función creciente.

1

A P L I C A L A T E O R Í A

9 Rectas e hipérbolas

x

y

1

1,2

2

2,4

5

6

10

12

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UNIDAD 9. RECTAS E HIPÉRBOLAS 243

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rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones. Dicuáles son funciones y clasifícalas:

y = 2x

y = –3

x = 5

y = x

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, di cuálesson funciones y clasifica éstas:

Solución:

a) P(0, – 4) ⇒ m = 0 ⇒ y = – 4 ⇒ Función constante.b) P(1, – 2) ⇒ m = – 2 ⇒ y = – 2x ⇒ Función lineal.

X

Y

a)

b)13

Solución:

a) P(3, 2) ⇒ m = 2/3 ⇒ y = 2x/3 ⇒ Función lineal.b) P(2, 0) ⇒ x = 2 ⇒ No es función.

X

a)

b)Y12

Solución:

Función lineal.

11

Solución:

No es función.

10

Solución:

Función constante.

9

Solución:

Función lineal.

8

X

Y

y = 2x

X

Y

y = –3

X

Y

x = 5

X

Y

y = x


2. Función afín

Dibuja la recta que pasa por el punto A(0, 2) y tiene de pendiente m = 2/3

Solución:


244 SOLUCIONARIO

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Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en elorigen de las funciones afines siguientes:

y = 2x + 1

y = – x/2 + 3

y = 2x/3 – 4

y = – 3x/4 – 2

Dibuja la gráfica de las funciones afines siguientes. Hallaen cada una de ellas la pendiente y la ordenada en elorigen. ¿Cuál es creciente? ¿Cuál es decreciente?

y = 3x/2 – 1

y = – x/3 + 2

Solución:

La pendiente: m = – 1/3 > 0 ⇒ Función decreciente.La ordenada en el origen: b = 2

19

Solución:

La pendiente: m = 3/2 > 0 ⇒ Función creciente.La ordenada en el origen: b = –1

18

Solución:

Pendiente: m = – 3/4Ordenada en el origen: b = – 2

17

Solución:

Pendiente: m = 2/3Ordenada en el origen: b = – 4

16

Solución:

Pendiente: m = – 12Ordenada en el origen: b = 3

15

Solución:

Pendiente: m = 2Ordenada en el origen: b = 1

14


X

Y

A(0, 2) 2

3

X

Y

y = 3x/2 – 1

B(2, 2)

A(0, –1)3

2

X

Y

y = – — + 2x3

B(3, 1)A(0, 2) –1

3



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Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Representa las siguientes rectas:

2x – y = 3

2x + 3y = 6

Representa la recta que pasa por el punto P(– 2, 1),cuya pendiente es m = 3. Halla su ecuación.

Representa la recta que pasa por los puntosA(–2, 3) y B(4, 5). Halla su ecuación.

Halla las ecuaciones de las rectas siguientes:

Solución:

A(0, 1) ⇒ b = 12

A(0, 1) y B(3, 3) ⇒ m = —3

2y = —x + 1

3

X

Y24

Solución:

5 – 3 2 1Pendiente: m = — = — = —

4 + 2 6 3Punto:A(– 2, 3)

1 1 11y – 3 = —(x + 2) ⇒ y = —x + —

3 3 3

23

Solución:

Pendiente: m = 3Punto: P(– 2, 1)y – 1 = 3(x + 2) ⇒ y = 3x + 7

22

Solución:

21

Solución:

20

X

Y

y = 2x – 3

B(1, –1)

A(0, –3) 2

1

X

Y

y = x/3 + 11/3

A(–2, 3)

B(4, 5)

2

6

X

Y

A(0, 1)

B(3, 3)

23

X

Y

y = –— + 22x3

B(3, 0)

A(0, 2) –2

3

X

Y

y = 3x + 7

P(–2, 1)3

1


3. Función de proporcionalidad inversa

Halla mentalmente el valor de la constante de proporcionalidad inversa k sabiendo que cuatroalumnos o alumnas tardan nueve tardes en editar la revista del centro en la sala de ordenadores.

Solución:k = 9 · 4 = 36


246 SOLUCIONARIO

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Halla mentalmente la constante de proporcionalidadinversa de las siguientes funciones, y di si son crecien-tes o decrecientes:

y = 3/x

y = – 2/x

y = – 6/x

y = 4/x

Solución:

k = 4 > 0 ⇒ Decreciente.

30

Solución:

k = – 6 < 0 ⇒ Creciente.

29

Solución:


28

Solución:


27


Un fontanero cobra 12 € por ir a domicilio, más eltiempo que trabaja, de forma proporcional, a razónde 10 € por cada hora. Halla la ecuación que cal-cula el coste en función del tiempo que tarda enhacer el trabajo. ¿Qué tipo de función es?

Solución:

y = 10x + 12Es una función afín.

26

Solución:

A(0, – 3) ⇒ b = – 3A(0, – 3) y B(1, – 5) ⇒ m = – 2y = – 2x – 3

X

Y25

X

Y

A(0, – 3)

B(1, – 5)– 2

1



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Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini-das verbalmente ¿Qué tipo de funciones son?

Cinco personas tardan 8 días en hacer un trabajo.Calcula el tiempo que se tarda en hacerlo en fun-ción del número de personas.

Un vehículo hace un trayecto de 600 km a veloci-dad constante. Obtén la velocidad que lleva enfunción del tiempo.

Halla la ecuación de la siguiente función definidapor una tabla de valores. ¿Qué tipo de función es?¿Es creciente o decreciente?

Representa gráficamente las siguientes hipérbolas y dicuáles son crecientes y cuáles decrecientes:

y = 4/x

y = – 6/x

y = – 2/x

y = 3/x

Solución:


37

Solución:


36

Solución:


35

Solución:


34

Solución:

y = 8/x ⇒ Es una función de proporcionalidad inversa.k = 8 > 0 ⇒ Decreciente.

33

Solución:

v = 600/t ⇒ Es una función de proporcionalidadinversa.

32

Solución:

y = 40/x ⇒ Es una función de proporcionalidadinversa.

31

x

y

1

8

– 1

– 8

2

4

– 2

– 4

4

2

– 4

– 2

8

1

– 8

– 1

X

Y

y = –4x

4

X

Y

y = – —6x

6

X

Y

y = – —2x

2

X

Y

y = —3x

3


4. Traslaciones de la hipérbola

Halla el área del rectángulo coloreado y las ecuaciones de las asíntotas de lahipérbola del dibujo del margen.

Solución:Área = 6 unidades cuadradas.

Asíntota vertical: x = – 2

Asíntota horizontal: y = 1


248 SOLUCIONARIO

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De las siguientes funciones, halla mentalmente cuálesson de proporcionalidad y calcula en éstas la constantede proporcionalidad:

y = 5/x

y = – 5x + 3

y = – 3x

Solución:

Función de proporcionalidad directa, m = – 3

42

Solución:

Función afín, no es de proporcionalidad.

41

Solución:

Función de proporcionalidad inversa, k = 5

40


Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas:

Solución:

k = – 2 ⇒ y = – 2/x

X

Y39

Solución:

k = 2 ⇒ y = 2/x

X

Y38

X

Y

X

Y

2

X

Y

2



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ño, S

.L.

y = x3 – 2

Dibuja la hipérbola y = 2/x, trasládala 3 unidadeshacia abajo y halla su nueva ecuación.

Dibuja la hipérbola y = – 4/x, trasládala 2 unidadeshacia la derecha y halla su nueva ecuación.

Dibuja la hipérbola y = 3/x, trasládala 1 unidadhacia arriba y 2 hacia la izquierda y halla su nuevaecuación.

Dibuja la siguiente hipérbola:

y = – 1

Solución:

2x + 3

47

Solución:

46

Solución:

45

Solución:

44

Solución:

Función polinómica de grado 3, no es de proporcio-nalidad.

43

X

Y

y = —2x

2

X

Y

y = — – 32x

2

X

Y

y = —3x

3

X

Y

y = — + 13x + 2

3

X

Y

y = – —4x

4

X

Y

y = — – 12x + 3

2

X

Y

y = –—4x – 2

4


Halla el tipo de cada una de las siguientes funciones y calcula mentalmente su ecuación:

250 SOLUCIONARIO

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1) Función lineal o de pro-porcionalidad directa.

y = 2x

2) Función de proporcio-nalidad inversa.

2y = —x

3) Función constante.y = – 2

4) No es de proporcionali-dad.

4y = – — – 2x

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas:

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(–1, 1) y el punto de corte de las asíntotas,Q(– 2, 3) tiene de área 2. Como la hipérbola es cre-ciente ⇒ k = –2Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 3 ⇒ r = 3x = – 2 ⇒ s = – 2

– 2La ecuación es y = — + 3

x + 2

X

Y49

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(3, 2) y el punto de corte de las asíntotas,Q(2, – 3), tiene de área 5. Como la hipérbola esdecreciente ⇒ k = 5Las ecuaciones de las asíntotas son:y = – 3 ⇒ r = – 3x = 2 ⇒ s = 2

5La ecuación es y = — – 3

x – 2

X

Y48

X

Y

5

Q(2, – 3)

P(3, 2)

y = – 3

x =

2

X

Y

2Q(– 2, 3)P (– 1, 1)

y = 3

x =

–2



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3y = – —x

6) Función afín. No es deproporcionalidad.

3y = — x – 12

7) No es de proporcionali-dad.

3y = —x + 2

8) Función constante. Es eleje X

y = 0

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y

9) No es función.

x = 3

10) No es de proporciona-lidad.

5y = — – 2x + 3

11) Función de proporcio-nalidad directa.

y = x


2y = –— + 1x + 3

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


1y = – —x


y = – 3x + 2


1y = — – 3x – 2

16) Función de proporcio-nalidad directa.

y = – x

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


2y = – — x + 23


6y = —x

19) No es función. Es eleje Y

x = 0


4y = — + 2x – 3

X

Y

X

Y

X

Y

X

Y


252 SOLUCIONARIO

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Ejercicios y problemas

1. Funciones constantes y lineales

Halla mentalmente la pendiente de las siguientes fun-ciones lineales o de proporcionalidad directa, y di sison crecientes o decrecientes:

y = 2x

y = – 3x

y = – x

y = x/2

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini-das verbalmente y clasifica éstas:

La entrada a un parque de atracciones cuesta 6 €.Obtén el coste en función del tiempo de estancia.

Un kilo de plátanos cuesta 1,5 €. Obtén el costeen función del peso.

Halla la ecuación de la siguiente función definidapor una tabla de valores y clasifica ésta:

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones, dicuáles son funciones y clasifícalas:

y = 2

y = x/3

Solución:

Función de proporcionalidad directa.

58

Solución:

Función constante.

57

Solución:

m = – 0,5y = – x/2 ⇒ Es una función de proporcionalidad

directa.

56

Solución:

y = 1,5x ⇒ Es una función lineal o de proporciona-lidad directa.

55

Solución:

y = 6 ⇒ Es una función constante.

54

Solución:

m = 1/2 > 0 ⇒ función creciente.

53

Solución:

m = –1 < 0 ⇒ función decreciente.

52

Solución:

m = – 3 < 0 ⇒ función decreciente.

51

Solución:


50

x

y

1

– 0,5

– 2

1

5

– 2,5

– 10

5

X

Y

y = 2

X

Y

y = —x3



© G

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.L.

y = – 2x

x = – 3


Halla la pendiente de las siguientes funciones lineales ode proporcionalidad directa y di si son crecientes odecrecientes.

y = 1,5x

y = – x/2

y = – 3x

y = x

Solución:


66

Solución:

m = – 3 < 0 ⇒ función decreciente.

65

Solución:

m = –1/2 < 0 ⇒ función decreciente.

64

Solución:

m = 1,5 > 0 ⇒ función creciente.

63

Solución:

P(1, 1) ⇒ m = 1 ⇒ y = x ⇒ Función lineal o de pro-porcionalidad directa.

X

Y62

Solución:

P(1, – 3) ⇒ m = – 3 ⇒⇒ y = – 3x ⇒ Funciónlineal o de proporcionali-dad directa.

X

Y61

Solución:

No es función.

60

Solución:


59

X

Y

y = –2x

X

Y

x = –3

X

Y

P(1, 1)1

1

X

Y

P(1, – 3)

– 3

1


254 SOLUCIONARIO

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.L.


2. Función afín

Halla mentalmente la pendiente y la ordenada en elorigen de las siguientes funciones afines:

y = – 3x + 2

y = x/3 – 2

y = 5x/4 – 3

y = – 2x/3 + 1

Dibuja la gráfica de las funciones afines siguientes yhalla en cada una de ellas la pendiente y la ordenada enel origen. ¿Cuál es creciente y cuál decreciente?

y = 2x/3 – 4

y = – x/2 + 3

Representa las siguientes rectas:

3x – y = 2

3x + 2y = 4

Solución:

3y = – —x + 2

2

74

Solución:

y = 3x – 2

73

Solución:

Pendiente: m = –1/2 < 0 ⇒ función decreciente.Ordenada en el origen: b = 3

72

Solución:

Pendiente: m = 2/3 > 0 ⇒ función creciente.Ordenada en el origen: b = – 4

71

Solución:

Pendiente: m = – 2/3Ordenada en el origen: b = 1

70

Solución:


69

Solución:


68

Solución:


67

X

Y

B(3, –2)

y = —x – 423

A(0, –4) 2

3

X

Y

B(2, 2)

y = – —x + 312

A(0, 3) –12

X

Y

B(1, 1)

y = 3x – 2

A(0, –2)3

1

X

Y

B(2, –1)

y = – —x + 232

A(0, 2)– 3

2



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Representa la recta que pasa por el puntoP(– 4, – 5) y tiene de pendiente m = 3/2. Halla suecuación.

Representa la recta que pasa por los puntosA(– 2, 5) y B(4, – 3). Halla su ecuación.

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:

3. Función de proporcionalidad inversa

Halla mentalmente la constante de proporcionalidadinversa de las siguientes funciones y di si son crecienteso decrecientes:

y = 2/x

y = – 3/x

Solución:


80

Solución:


79

Solución:

A(0, 1) ⇒ b = 1A(0, 1) y B(3, –1) ⇒ m = – 2/3y = – 2x/3 + 1

X

Y78

Solución:

A(0, 3) ⇒ b = 3A(0, 3) y B(1, 5) ⇒ m = 2y = 2x + 3

X

Y77

Solución:

– 3 – 5 8 4Pendiente: m = —= – — = – —

4 + 2 6 3Punto:A(– 2, 5)

4 4 7y – 5 = – —(x + 2) ⇒ y = – —x + —

3 3 3

76

Solución:

Pendiente: m = 3/2Punto: P(– 4, – 5)

3 3y + 5 = —(x + 4) ⇒ y = —x + 1

2 2

75

X

Y

P(– 4, – 5)

y = —x + 132

3

2

X

Y

B(4, – 3)

A(– 2, 5)

y = – —x + —43

73

– 8

6

X

Y

A(0, 3)

B(1, 5)2

1

X

Y

A(0, 1)

B(3, – 1)

– 23


256 SOLUCIONARIO

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y = – 4/x

y = 6/x

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones defini-das verbalmente. ¿De qué tipo son?

Doce personas tardan un día en recoger las pata-tas de una finca. Obtén el tiempo que se tarda enfunción del número de personas.

Un vehículo hace un trayecto de 400 km a veloci-dad constante. Obtén el tiempo del trayecto enfunción de la velocidad.


Representa gráficamente las siguientes hipérbolas, dicuáles son crecientes y cuáles decrecientes.

y = 2/x

y = – 3/x

y = – 4/x

Solución:


88

Solución:


87

Solución:


86

Solución:

y = – 9/xEs una función de proporcionalidad inversa.k = – 9 < 0 ⇒ Creciente.

85

Solución:

t = 400/v ⇒ Es una función de proporcionalidad in-versa.

84

Solución:

y = 12/x ⇒ Es una función de proporcionalidad in-versa.

83

Solución:


82

Solución:


81

x

y

1

– 9

– 1

9

3

– 3

– 3

3

9

– 1

– 9

1

X

Y

y = —2x

2

X

Y

y = – —3x

3

X

Y

y = – —4x

4



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y = 6/x

Halla las ecuaciones de las siguientes hipérbolas:4. Traslaciones de la hipérbola

Halla mentalmente cuáles de las siguientes funcionesson de proporcionalidad y calcula en ellas la constantede proporcionalidad:

y = – 2x + 1

y = – 3/x

y = x/4

y = x2 – 6x

Solución:

Función polinómica de grado 2, no es de proporcio-nalidad.

95

Solución:

Función de proporcionalidad directa, m = 1/4

94

Solución:

Función de proporcionalidad inversa, k = – 3

93

Solución:

Función afín ⇒ No es de proporcionalidad.

92

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(1, –1) y el punto de corte de las asíntotas,O(0, 0) tiene de área 1. Como la hipérbola es crecien-te: k = –1 ⇒ y = –1/x

X

Y91

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(1, 5) y el punto de corte de las asíntotas,O(0, 0) tiene de área 5. Como la hipérbola es decre-ciente: k = 5 ⇒ y = 5/x

X

Y90

Solución:


89

X

Y

y = —6x

6

X

Y

O(0, 0)

P(1, 5)

5

X

Y

O(0, 0)1

P(1, – 1)


258 SOLUCIONARIO

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Dibuja la hipérbola y = – 1/x, trasládala 2 unidadeshacia arriba y calcula la nueva ecuación.

Dibuja la hipérbola y = 2/x, trasládala 3 unidadeshacia la izquierda y halla la nueva ecuación.

Dibuja la hipérbola y = – 4/x, trasládala 2 unidadeshacia abajo y 3 unidades hacia la izquierda y obténla nueva ecuación.

Dibuja la siguiente hipérbola:

y = + 3

Solución:

1x – 2

99

Solución:

98

Solución:

97

Solución:

96

X

Y

y = – —1x

1

X

Y

y = – — + 2

y = 2

1x

1

X

Y

y = – —4x

4

X

Y

y = –— – 2

x =

–3

y = – 2

4x + 3

4

X

Y

y = —2x

2

X

Y

y = —

x =

–3

2x + 3

2

X

Y

y = — + 3

x =

2

y = 3

1x – 2

1



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.L.


Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(3, – 4) y el punto de corte de las asíntotas,Q(–2, –3), tiene de área 5. Como la hipérbola es cre-ciente: k = –5Las ecuaciones de las asíntotas son:y = – 3 ⇒ r = – 3x = – 2 ⇒ s = – 2

– 5La ecuación es y = — – 3

x + 2

X

Y101

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(5, 4) y el punto de corte de las asíntotas,Q(4, 3), tiene de área 1. Como la hipérbola es decre-ciente: k = 1Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 3 ⇒ r = 3x = 4 ⇒ s = 4

1La ecuación es y = — + 3

x – 4

X

Y100

Representa gráficamente las siguientes ecuaciones.¿A qué corresponde cada una de ellas?

a) x = 0 b) y = 0

b)

y = 0, es el eje de abscisas X

Solución:

a)

x = 0, es el eje de ordenadas Y

102

X

Y

x = 0

X

Y

y = 0

X

Y

x =

4

P(5, 4)

Q(4, 3)y = 3 1 X

Y

y = – 3

x =

–2

P(3, – 4)Q(– 2, – 3) 5

Para ampliar


260 SOLUCIONARIO

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Representa gráficamente las siguientes ecuaciones.¿Qué tipo de funciones son? Halla la pendiente decada una de ellas.

a) y = x b) y = – x

Representa la siguiente función definida por unatabla de valores:

Halla la ecuación de la siguiente función definidapor una tabla de valores y clasifica ésta:

Haz una tabla de valores para la siguiente gráfica:


y = x + 2

y = – x + 2

y = 5x + 1

Solución:


109

Solución:


108

Solución:


107

Solución:

X

Y

106

Solución:

y = 3 ⇒ Función constante.

105

Solución:

104

Solución:

a)

Es una función lineal o de proporcionalidad directa.Pendiente: m = 1

b)

Es una función lineal o de proporcionalidad directa.Pendiente: m = –1

103

x

y

1

2

– 2

2

5

2

– 10

2

x

y

1

3

– 2

3

5

3

– 10

3

X

Y

y = x

X

Y

y = – x

X

Y

y = 2

x

y

– 6

– 4

– 3

– 2

0

0

3

2

6

4



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y = – x/5 – 1


y = 2x + 1

y = – x/3 + 4

y = 6x – 2

y = – 2x/5 – 3

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas:


Solución:

xy = 1 ⇒ y = 1/xEs una función de proporcionalidad inversa.k = 1 > 0 ⇒ Decreciente.

117

Solución:

A(0, –1) ⇒ b = –1A(0, –1) y B(1, – 2) ⇒ m = –1y = –x – 1

X

Y116

Solución:

A(0, 1) ⇒ b = 1A(0, 1) y B(1, 2) ⇒ m = 1y = x + 1

X

Y115

Solución:


114

Solución:

Pendiente: m = 6Ordenada en el origen: b = – 2

113

Solución:

Pendiente: m = – 1/3Ordenada en el origen: b = 4

112

Solución:


111

Solución:


110

X

Y

A(0, 1)B(1, 2)

11

X

Y

A(0, – 1)

B(1, – 2)

– 11

x

y

1/2

2

– 1/2

– 2

1

1

– 1

– 1

2

1/2

– 2

– 1/2


262 SOLUCIONARIO

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Haz una tabla de valores para la función represen-tada en el siguiente gráfico:

Dibuja la siguiente hipérbola: y = – + 2

Dibuja la siguiente hipérbola: y =

Dibuja la siguiente hipérbola: y = – 3

Solución:

2x – 1

122

Solución:

4x – 2

121

Solución:

3x

120

Solución:

X

Y

119

Solución:

xy = – 1 ⇒ y = – 1/xEs una función de proporcionalidad inversa.k = – 1 < 0 ⇒ Creciente.

118

x

y

1/2

– 2

– 1/2

2

1

– 1

– 1

1

2

– 1/2

– 2

1/2

x

y

– 6

– 6

– 4

– 5

– 2

– 4

0

– 3

2

– 2

4

– 1

6

0

X

Y

3

y = 2

X

Y

4

x =

2

X

Y

2

y = – 3

x =

1



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Un camión circula con velocidad constante de80 km por hora. Obtén la fórmula del espacio querecorre en función del tiempo que está circulando.¿Qué tipo de función es?

Una recta pasa por el origen de coordenadasO(0, 0) y tiene de pendiente 1,5. Halla la ecuaciónde dicha recta y represéntala gráficamente.

Una función de proporcionalidad directa pasa porel punto P(2, 5). Halla la constante de proporcio-nalidad y la ecuación correspondiente.

Escribe un enunciado verbal para una función line-al de ecuación y = 2,5x

Halla la ecuación de la función que obtiene el perí-metro de un triángulo equilátero en función de lamedida del lado. ¿Qué tipo de función es?

En una tienda hacen un 15% de descuento entodos los artículos durante las rebajas. Escribe laecuación que expresa el descuento en función delprecio. Halla también la ecuación de la función queda el precio final que se paga en función del precioinicial. ¿Qué tipo de funciones son?

Clasifica las siguientes ecuaciones como funcionesconstantes, lineales, afines o no es función. En las fun-ciones, halla la pendiente.

y = 5

y = –

y = – 7

Solución:

Función afín. Pendiente: m = 1/3

x3

131

Solución:

Función lineal o de proporcionalidad directa. Pen-diente: m = – 2/5

2x5

130

Solución:

Función constante. Pendiente: m = 0

129

Solución:

La función que expresa el descuento es:y = 0,15xLa función que expresa el precio final es:y = 0,85xAmbas son de proporcionalidad directa.

128

Solución:

y = 3x ⇒ es una funciónlineal o de proporcionali-dad directa.

127

Solución:

Solución abierta, por ejemplo:Un grifo vierte, de forma constante, 2,5 litros porminuto.

126

Solución:

P(2, 5) ⇒ m = 5/2La función es: y = 5x/2

125

Solución:

Si pasa por el origen O(0, 0) es una función lineal ode proporcionalidad directa y de pendiente m = 1,5.Luego: y = 1,5x

124

Solución:

e = 80tEs una función lineal o de proporcionalidad directa.

123

Problemas

X

Y

y = 1,5 x

x


264 SOLUCIONARIO

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x = – 4


Un taxi cobra por bajada de bandera 2,4 € y porcada paso del taxímetro 0,05 €. Halla la ecuaciónque expresa el coste en función del número depasos. ¿Qué tipo de función es?

Solución:

y = 0,05x + 2,4Es una función afín.

137

Solución:

Función lineal o de proporcionalidad directa quepasa por el origen O(0, 0) y A(3, –1)

1 xm = – — ⇒ y = – —

3 3

X

Y136

Solución:

Función constante.y = – 2

X

Y135

Solución:

No es una función.x = 1

X

Y134

Solución:

Función afín que pasa por A(– 6, – 2) y B(6, 3)3 – (– 2) 5

m = —= —6 – (– 6) 12

5 5 1y + 2 = — (x + 6) ⇒ y = — x + —

12 12 2

X

Y133

Solución:

No es función.

132

X

Y

B(6, 3)

A(– 6, – 2)

5

12

X

Y

O(0, 0)A(3, – 1)

– 13



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Halla la ecuación de una recta que pasa por elpunto A(3, – 4) y es paralela a la recta y = 2x.Representa ambas rectas.

Solución:

Si es paralela a y = 2x tiene su misma pendiente:m = 2Si pasa por el punto A(3, – 4), su ecuación será:y + 4 = 2(x – 3) ⇒ y = 2x – 10

142

Solución:

Función constante.y = 3

X

Y141

Solución:

Función lineal o de proporcionalidad directa quepasa por el origen O(0, 0) y A(2, – 3)

3 3m = – — ⇒ y = – —x

2 2

X

Y140

Solución:

Función afín que pasa por A(0, – 2) y B(3, –1)–1 – (– 2) 1

m = —— = —3 – 0 31 x

y + 2 = —x ⇒ y = — – 23 3

X

Y139

Solución:

No es una función.x = – 4

X

Y138

X

Yy = 2x

y = 2x – 10

A(3, – 4)

X

Y

A(0, – 2)

B(3, – 1)

13

X

Y

– 3

2O(0, 0)

A(2, – 3)


266 SOLUCIONARIO

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Escribe una expresión verbal para la siguienteecuación: y = 10x + 8

Dada la siguiente tabla, represéntala en unos ejescoordenados y halla la ecuación correspondiente:

Halla las ecuaciones de las siguientes funcionesdefinidas verbalmente y clasifica éstas:

a) La entrada a un jardín botánico cuesta 3 € .Obtén el coste en función del tiempo de lavisita.

b) La entrada a un jardín botánico cuesta 3 € .Obtén el coste en función del número de visi-tantes.


Solución:

Función constante.y = 0

X

Y148

Solución:

No es una función.x = 0

X

Y147

Solución:

Función lineal que pasa por el origen O(0, 0) y A(1,1)m = 1 ⇒ y = x

X

Y146

Solución:

a) y = 3Es una función constante.

b) y = 3xEs una función lineal o de proporcionalidad directa.

145

Solución:

La ordenada en el origen es b = 34 – 2 2 1

La pendiente es: m = —= — = —2 – (– 2) 4 2

xy = — + 3

2

144

Solución:

Solución abierta, por ejemplo:Un técnico cobra 8 euros por visita y a 10 euros cadahora de trabajo.

143

x

y

2

4

– 2

2

4

5

– 4

1

X

Y

B(2, 4)

A(– 2, 2) 2

4

X

Y

O(0, 0)A(1, 1)

11



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Para profundizar

Los ingresos y los gastos de una empresa en millo-nes de euros en función del número de años quelleva funcionando, vienen dados por las fórmulas:

I(x) = 3x G(x) = 2x + 5

Halla la ecuación que obtiene los beneficios.

Un vehículo hace un trayecto de 500 km a veloci-dad constante. Obtén la ecuación que expresa lavelocidad en función del tiempo.

Una función de proporcionalidad inversa pasa porel punto P(3, 5). Halla la constante de proporcio-nalidad y la ecuación correspondiente.

Halla las ecuaciones de las siguientes funciones de pro-porcionalidad inversa:

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(2, – 3) y el punto de corte de las asíntotas,O(0, 0), tiene de área 6. Como la hipérbola es crecien-te ⇒ k = –6Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 0; x = 0 ⇒ Es de proporcionalidad inversa.

6La ecuación es y = – —

x

X

Y153

Solución:

k = 3 · 5 = 15La ecuación es:

15y = —

x

152

Solución:

500v = —

t

151

Solución:

Beneficios = Ingresos – GastosB(x) = I(x) – G(x)B(x) = 3x – (2x + 5)B(x) = x – 5

150

Solución:

Función lineal que pasa por el origen O(0,0) y A(1,–1)m = –1 ⇒ y = – x

X

Y149

X

Y

O(0, 0)A(1, – 1)

– 11

X

Y

O(0, 0)

P(2, – 3)

6


268 SOLUCIONARIO

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Halla mentalmente cuáles de las siguientes funcionesson de proporcionalidad y calcula en éstas la constantede proporcionalidad:

El tiempo que se tarda en vendimiar una finca denaranjos en función del número de personas,sabiendo que 6 personas tardan 8 días.

La altura de una persona está en función de suedad. Cuando nace mide 52 cm, a los 10 años mide1,25 m, a los 20 años mide 1,75 m y a los 30 añosmide 1,75 m

Dibuja la hipérbola que tiene como constante deproporcionalidad inversa k = 4 y cuyas asíntotasson x = – 2 e y = 3


Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(4, – 3) y el punto de corte de las asíntotas,Q(2, –1), tiene de área 4. Como la hipérbola es cre-ciente ⇒ k = – 4Las ecuaciones de las asíntotas son:y = –1 ⇒ r = –1x = 2 ⇒ s = 2

4La ecuación es y = –— – 1

x – 2

X

Y158

Solución:

k = 4x = – 2 ⇒ s = – 2y = 3 ⇒ r = 3

4La fórmula es: y = — + 3

x + 2

157

Solución:

No es de proporcionalidad.

156

Solución:

Es de proporcionalidad inversa.La constante de proporcionalidad es k = 6 · 8 = 48

155

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(2, – 2) y el punto de corte de las asíntotas,O(0, 0), tiene de área 4. Como la hipérbola es cre-ciente ⇒ k = – 4Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 0; x = 0 ⇒ Es de proporcionalidad inversa.

4La ecuación es y = – —

x

X

Y154

X

Y

O(0, 0)

P(2, – 2)

4

X

Y

Q(2, – 1)y = – 1

x =

2

P(4, – 3)

4

X

Y

x =

–2

y = 3

4



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Haz una tabla de valores para la función que obtie-ne el perímetro de un cuadrado en función de loque mide el lado.

Obtén la ecuación de la función dada por lasiguiente tabla y clasifícala.

El IVA en alimentación es de un 7%. Escribe la fór-mula que da el IVA en función del precio. Hallatambién la ecuación de la función que expresa elprecio final que se paga en función del precio ini-cial. ¿Qué tipo de funciones son?

Halla la ecuación de la recta que pasa por el puntoP(– 1, 4) y es paralela a la recta siguiente:

y = 3x/2 + 5

Halla la ecuación de la recta que pasa por el puntoP(1, 4) y es paralela a la recta siguiente:

2x + y = 5

Solución:

2x + y = 5 ⇒ y = – 2x + 5Si es paralela, tiene su misma pendiente ⇒ m = – 2Si pasa por el punto A(1, 4), su ecuación será:y – 4 = – 2 (x – 1) ⇒ y = – 2x + 6

164

Solución:

Si es paralela a y = 3x/2 + 5, tiene su misma pendien-te ⇒ m = 3/2Si pasa por el punto A(–1, 4), su ecuación será:

3 3 11y – 4 = —(x + 1) ⇒ y = —x + —

2 2 2

163

Solución:

Fórmula del IVA: y = 0,07xPrecio final con IVA: y = 1,07xAmbas funciones son de proporcionalidad directa.

162

Solución:y 3

La razón — = – — es constante.x 2

La función es lineal o de proporcionalidad directa:3

y = – —x2

161

Solución:

160

Solución:

El rectángulo que tiene como vértices opuestos elpunto P(3, 5) y el punto de corte de las asíntotas,Q(2, 3), tiene de área 2. Como la hipérbola es decre-ciente ⇒ k = 2Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 3 ⇒ r = 3x = 2 ⇒ s = 2

2La ecuación es y = — + 3

x – 2

X

Y159

x

y

2

– 3

– 2

3

6

– 9

– 6

9

X

Y

Q(2, 3)y = 3

x =

2

P(3, 5)2

Lado: x

Perímetro: y

1

4

2

8

3

12

4

16

5

20


270 SOLUCIONARIO

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Un técnico de electrodomésticos cobra 9 € por ira domicilio, más 8 € por cada hora de trabajo.Halla la ecuación que calcula el coste en funcióndel tiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Quétipo de función es?

Una oficina A de alquiler de coches cobra 12 €

por día. Otra B cobra una cantidad fija de 20 €

más 5 € por día. ¿Cuándo interesa alquilar elcoche en la oficina A? ¿Y en la oficina B?

La ecuación que relaciona la presión con el volu-men de una cantidad determinada de gas a tempe-ratura constante viene dada por la fórmula PV = k.Obtén la constante de proporcionalidad sabiendoque cuando la presión es de 8 atmósferas, el volu-men es de 4 litros y completa la siguiente tabla devalores:

Dibuja la hipérbola en la que k = 3 y que tienecomo asíntotas x = 1 e y = – 2

Representa gráficamente las siguientes funciones yhalla sus puntos comunes:

a) y = 6/x

b) y = – x + 1

Solución:

No tienen ningún punto en común.

169

Solución:

x = 1 ⇒ s = 1y = – 2 ⇒ r = – 2

3La fórmula es: y = — – 2

x – 1

168

Solución:

La constante k = 8 · 4 = 32

167

Solución:

Oficina A: y = 12xOficina B: y = 5x + 20Haciendo una tabla de valores para las dos oficinasse tiene:

Se observa que para uno o dos días la oficina A esmás barata, y para tres días o más la oficina B es másbarata.

166

Solución:

y = 8x + 9Es una función afín.

165

Nº de días: x

Oficina A. Dinero: y

1

12

2

24

3

36

4

48

5

60

6

72

Oficina B. Dinero: y 25 30 35 40 45 50

P

V

1 2 4 8 16

4

P (atm)

V (litros)

1 2 4 8

32 16 8 4

16

2

X

Y

y = – 2

x =

1

3

X

Y

y = – x + 1

y = —6x



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Aplica tus competencias

Un coche circula a una velocidad constante de80 km/h. Calcula la ecuación del espacio en fun-ción del tiempo. ¿Qué tipo de proporcionalidades? Calcula la constante de proporcionalidad yhaz la representación gráfica.

Un vehículo tiene que recorrer 1 200 km. Calcu-la la ecuación del tiempo que tarda en funciónde la velocidad. ¿Qué tipo de proporcionalidades? Calcula la constante de proporcionalidad yhaz la representación gráfica.

Solución:1 200t = —

vEs de proporcionalidad inversa.La constante es k = 1 200

171

Solución:e = 80tEs de proporcionalidad directa.La constante es m = 80

170

T

1 2

100

200

300

400

500

3 4 6 8 105Tiempo (h)

Long

itud

(km

)

7 9

E

e = 80t

V

40

10

20

30

40

50

80 120Velocidad (km/h)

Tie

mpo

(h)

140 180

T

Define función lineal o de proporcionalidaddirecta y pon un ejemplo.

De las siguientes funciones, halla mentalmentecuáles son de proporcionalidad, y en éstas hallala constante de proporcionalidad y di si son cre-cientes o decrecientes.

a) y = 2/x b) y = – 3x + 5 c) y = x2 – 3x d) y = – 1,5x

Solución:a) Función de proporcionalidad inversa. Constan-

te: k = 2 > 0 ⇒ Función decreciente.b) No es de proporcionalidad.c) No es de proporcionalidad.d)Función de proporcionalidad directa. Constan-

te: m = –1,5 < 0 ⇒ Función decreciente.

2

Solución:Una función es lineal o de proporcionalidaddirecta si al multiplicar la variable independientex por un número, la variable dependiente y quedamultiplicada por dicho número. Su ecuación es:y = mx (m ≠ 0, m es la constante de pro-

porcionalidad directa)Su representación gráfica es una recta que pasa porel origen de coordenadas O(0, 0)

Ejemploy = 2x

1

Comprueba lo que sabes


272 SOLUCIONARIO

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Comprueba lo que sabes

Representa gráficamente las siguientes ecuacio-nes, di cuáles son funciones y clasifica éstas:

a) y = 6/x

b) y = – x/2

c) x = 5

d) y = 2x – 3

Halla las ecuaciones de las siguientes rectas, dicuáles son funciones y clasifica éstas:

Representa la recta que pasa por los puntosA(– 2, 3) y B(4, – 5). Halla su ecuación.

Solución:

5

Solución:a) x = – 2, no es función.b) y = x/3 + 2, es una función afín.c) y = – 2x/3, es una función lineal o de proporcio-

nalidad directa.d)y = 2, es una función constante.

X

Y

X

Y

a) b)c)

d)

4

d)

Función afín.

Solución:a)

Función de proporcionalidad inversa.

b)


c)

No es función.

3

X

Y

P(2, 3)

O(0, 0)

6

X

Y

O(0, 0)

A(2, – 1)

– 12

X

Y

X

Y

B(4, – 5)

6

– 8

y = – — x + —43

13

A(– 2, 3)

X

Y

A(0, – 3)

B(1, – 1)2

1



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Un electricista cobra 10 € por ir a domicilio,más 5 € por cada hora de trabajo. Halla la ecua-ción que calcula lo que cobra en función deltiempo que tarda en hacer el trabajo. ¿Qué tipode función es? Escribe sus características funda-mentales.

Halla la ecuación de las siguientes hipérbolas: Seis personas tardan ocho días en hacer un tra-bajo. Obtén el tiempo que se tarda en hacer elmismo trabajo en función del número de perso-nas. ¿Qué tipo de función es? Escribe sus carac-terísticas fundamentales.

Solución:k = 6 · 8 = 48y = 48/xEs una función de proporcionalidad inversa, deconstante k = 48 y decreciente.

8

b) El rectángulo que tiene como vértices opuestosel punto P(3, – 4) y el punto de corte de lasasíntotas, Q(2, –1), tiene de área 3. Como lahipérbola es creciente ⇒ k = – 3Las ecuaciones de las asíntotas son:y = –1 ⇒ r = –1x = 2 ⇒ s = 2

3La ecuación es y = –— – 1x – 2

Solución:

a) El rectángulo que tiene como vértices opuestosel punto P(0, 5) y el punto de corte de las asín-totas, Q(–1, 3), tiene de área 2.Como la hipérbola es decreciente ⇒ k = 2Las ecuaciones de las asíntotas son:y = 3 ⇒ r = 3x = –1 ⇒ s = –1

2La ecuación es y = — + 3x + 1

X

Y

X

Y

7

Solución:y = 5x + 10Es una función afín. Es una recta de pendiente 5,creciente y de ordenada en el origen 10

6

Pendiente: A(– 2, 3), B(4, – 5) ⇒– 5 – 3 8 4m = —= – — = – —

4 – (– 2) 6 3Punto: A(– 2, 3)

4 4 1y – 3 = – — (x + 2) ⇒ y = – — x + —3 3 3

X

Y

Q(– 1, 3)P(0, 5)

y = 3

x =

–1

2

X

Y

Q(2, – 1)

P(3, – 4)

y = – 1

x =

2

3


274 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Representa gráficamente la siguiente función:

y = 2x + 3

Clasifícala y halla la pendiente y la ordenada enel origen. Estudia el crecimiento.

Representa gráficamente la siguiente función ysus asíntotas:

y = – 3

Calcula el valor de k y estudia el crecimiento.

Plantea el siguiente problema y resuélvelo con ayuda deDERIVE o GeoGebra:

Halla la fórmula que calcula el coste de las perassi un kilo cuesta 1,23 €. Represéntala gráfica-mente. ¿Qué tipo de función es? Halla la pen-diente.

Internet. Abre la web: www.editorial-bruno.esy elige Matemáticas, curso y tema.

175

Solución:Resuelto en el libro del alumnado.

174


2x – 1

173


172

Representa gráficamente las siguientes ecuacio-nes, di cuáles son funciones y clasifícalas. Hallala pendiente de las funciones y di si son crecien-tes o decrecientes:

a) y = b) y = 4

c) x = – 5 d) y = – + 2

Solución:a)

Función lineal.Pendiente: m = 2/3Creciente.

x5

2x3

176

Paso a paso

Windows Derive

X1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2

3

4

5

6

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

Y

Practica



© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Dibuja la gráfica de las funciones afines si-guientes, halla en cada una de ellas la pendientey su ordenada en el origen. ¿Cuál es creciente?¿Cuál es decreciente?

a) y = – 1

b) y = – + 3

Representa gráficamente las siguientes funcionesy sus asíntotas:

a) y = – 2 b) y = + 4

Calcula el valor de k y estudia el crecimiento.

Solución:a)


3x – 2

1x + 3

178

Solución:a)

Pendiente: m = 2/3Ordenada en el origen: b = – 1Creciente.

b)

Pendiente: m = – 1/4Ordenada en el origen: b = 3Decreciente.

x4

2x3

177

b)

Función constante.Pendiente: m = 0

c)

No es función.

d)

Función afín.Pendiente: m = –1/5Decreciente.

Linux/Windows GeoGebra

X1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

5

6

–1–2–3–4–6 2 3 4 5 6

Y

4

–5

2

3

1

X1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2

3

5

6

–1–2–3–4–5–6 2 3 4 5 6

Y

4

X1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

2

3

5

6

–1–2–3–4–6 2 3 4 5 6

Y

4

–5

X1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

3

5

6

–1–2–3–4–6 2 3 4 5 6

Y

4

–5

2

X1

1

–1

–2

–3

–4

–5

–6

5

6

–1–2–3–4–6 2 3 4 5 6

Y

4

–5

2

3

X1

1

–1

–3

–4

–5

–6

5

6

–1–4–6 2 3 4 5 6

Y

4

–5

2

3

–2–3

–2


276 SOLUCIONARIO

© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Representa las siguientes funciones, di cuáles sonde proporcionalidad directa o inversa y halla enéstas la constante de proporcionalidad:

a) y = – 3x + 1 b) y = –

c) y = d) y = x2 – 3x

Clasifica las siguientes funciones y halla medianteensayo-acierto su fórmula:

181

Solución:Función afín.

3Fórmula: y = — x + 12

180

c)

Función de proporcionalidad directa. Constante: m = 1/5

d)

Solución:a)

b)

Función de proporcionalidad inversa. Constante: k = – 4

x5

4x

179

b)


Windows Derive

X1

1

–3

–4

–5

–6

5

6

–1–4–6 3 4 5 6

Y

–5

3

–2–3

–2

2

4

2–1

X1

1

–3

–4

–5

5

6

–4–6 4 5

Y

–5

3

–2

2

4

2

–6

6–1–2–3 3–1

X1

1

–3

–4

–5

5

6

–1–4–6 3 4 5

Y

–5

3

–2–3

–2

2

4

2–1

–6

6

X1

1

–3

–4

–5

5

6

–4–6 3 4 5

Y

–5

3

–2

2

4

2–1

–6

6–1–2–3

X1

1

–1

–3

–4

–5

–6

5

6

–1–4–6 3 4 5 6

Y

–5

3

–2–3

–2

2

4

2



© G

rupo

Edi

toria

l Bru

ño, S

.L.

Plantea los siguientes problemas y resuélvelos con ayudade DERIVE o GeoGebra:

Halla la fórmula para calcular el coste de la lechesi un litro cuesta 0,85 € y represéntala gráfica-mente. ¿Qué tipo de función es? Halla la pen-diente.

Una persona tiene que recorrer 6 km a velocidadconstante.

a) Calcula el tiempo que tarda en hacer el reco-rrido en función de la velocidad.

b) ¿Qué tipo de función es?

c) Halla la constante de proporcionalidad.

d)Representa la función gráficamente.

Solución:6a) t = —v

b) Es una función de proporcionalidad inversa.c) k = 6d) Gráfica:

185

Solución:y = 0,85x

Función lineal.Pendiente: m = 0,85En el contexto del problema, la función solo tienesentido para x > 0

184

Solución:Función lineal.

2Fórmula: y = – — x3

183

Solución:Función racional.

2Fórmula: y = — – 3x + 1

182

Solución:Función constante.

5Fórmula: y = — , o bien y = 2,52

Linux/Windows GeoGebra

X1

1

–3

–4

–5

5

6

–4–6 4 5

Y

–5

3

–2

2

4

2

–6

6–2–3 3–1

–1

X1

1

–3

–4

–5

5

6

–1–4–6 3 4 5

Y

–5

3

–2–3

–2

2

4

2–1

–6

6


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