Rectangular Seifert circles and arcs system

（日本女子大学 林忠一郎、林美和との共同研究）

日本女子大学 学術研究員 安藤龍郎

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定義（link diagram）

• linkを平面 𝑅2上に正射影した像で、

多重点は高々有限個の交差的な 2 重点のみで

2 重点には上下の情報が与えられている

ものを link diagramという

2

定義（rectangular diagram）

link diagram で以下の３つを満たす

縦線と横線からなる

同一直線上に２本以上縦線（横線）はない

各交差点で縦線は横線の上を通る

3

定理（Cromwell）

任意の linkは rectangular diagram を持つ

4

定理（Dynnikov）

Trivial knot の任意の rectangular diagram は

『縦線や横線を増やさず、knot を変えない基本変形（Cromwell 変形）』 を有限回施すことで

縦線と横線が 2 本ずつしかない

rectangular diagram に変形できる

5

定義（smoothing）

Oriented link diagram の交差点を

向きが繋がるように繋ぎかえる操作のこと

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定義（Seifert circles）

• Oriented link diagram のすべての交差点にsmoothing を行うと有限個の circles を得る

• この circles を Seifert circlesという

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定理①

𝐷 ： oriented link diagram

𝑐(𝐷) ： 𝐷の交差点の数

𝑆(𝐷) ： 𝐷に smoothing を行うことで得られるSeifert circles の個数

このとき、𝐷は平面の ambient isotopy で

縦線の本数が 2𝑆 𝐷 + 𝑐(𝐷)以下の

rectangular diagram に変形できる

8

定義（connected, disconnected）

• Link diagram が connectedであるとは、交差点の下を通る線を切らずに描いたとき、連結であること

• 連結でない場合は disconnectedという

9

connected disconnected

定理②

𝐷 ： connected link diagram

𝑐(𝐷) ： 𝐷の交差点の数

このとき、𝐷は平面の ambient isotopy で

縦線の本数が 2𝑐 𝐷 − 𝑤 𝐷 + 2以下の

rectangular diagram に変形できる

※ 𝑤 𝐷 は 𝐷によって定まる非負整数

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定義（circles and arcs system (CAS)）

• 平面上の有限個の circles の disjoint union 𝐶 と平面上の有限個の arcs の disjoint union 𝐴の和集合 𝐶 ∪ 𝐴で、 𝐶 ∩ 𝐴 = 𝜕𝐴を満たすもの

• ただし、𝜕𝐴は arcs の端点すべてがなす集合

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定理③任意の CAS は、平面の ambient isotopy で次のように変形できる：

すべての circles は

異なる circles を繋ぐ arc は

ある circle に両端点を持つ arc でその circle の囲む disk 上にあるものは

or or

ある circle に両端点を持つ arc でその circle の囲む disk の外側にあるものは

or12

例（CAS→RCAS）

変形後の CAS を rectangular CAS (RCAS) という

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定義（Seifert CAS (SCAS)）

• Oriented link diagram の各交差点において、smoothing を行うと Seifert circles を得る

• このとき、『交差点の代わりに arc を配置してSeifert circles を繋ぐ』 ことで得られる図をSeifert CAS (SCAS) という

14

例（Borromean rings と SCAS）

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注意

• SCAS において、1 本の arc の 2 つの端点が同一の Seifert circle 上に存在することはない

• このことに注意して、SCAS に定理③を適用すると次が得られる

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定理④ （定理③の系）

任意の SCAS は、平面の ambient isotopy で次のように変形できる：

すべての Seifert circles は

すべての arcs は

変形後の SCAS をrectangular SCAS (RSCAS) という

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例（SCAS→RSCAS）

18

SCAS RSCAS

定義（straight merge (s-merge)）

𝑅 ：rectangular diagram

𝑒 ：交差点を持たない 𝑅の辺𝑒 とつながる 2 本の辺が 𝑒の異なる側にあるとき、

※ s-merge を 1 回行うと、縦線の本数が 1 減る

※ s-merge は link diagram を変えない

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変形手順（CAS → RCAS）

1. 各 circle を に、各 arc を『縦線と横線から成る折れ線』に変形する

2. 各 arc に対して、可能な限り s-merge を行う※ すると、どの arc も同じ側にしか折れ曲がらない折れ線になる

3. 各 arc を、定理の形に変形する※ arc の本数、arc（折れ線）を構成する縦線の本数に関する数学的帰納法を用いる

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変形手順（CAS → RCAS） 1/14

21

変形手順（CAS → RCAS） 1/14

22

変形手順（CAS → RCAS） 2/14

23

変形手順（CAS → RCAS） 2/14

24

変形手順（CAS → RCAS） 3/14

25

変形手順（CAS → RCAS） 3/14

26

変形手順（CAS → RCAS） 4/14

27

変形手順（CAS → RCAS） 4/14

28

変形手順（CAS → RCAS） 5/14

29

変形手順（CAS → RCAS） 5/14

30

変形手順（CAS → RCAS） 6/14

31

変形手順（CAS → RCAS） 6/14

32

変形手順（CAS → RCAS） 7/14

33

変形手順（CAS → RCAS） 7/14

34

変形手順（CAS → RCAS） 8/14

35

変形手順（CAS → RCAS） 8/14

36

変形手順（CAS → RCAS） 9/14

37

変形手順（CAS → RCAS） 10/14

38

変形手順（CAS → RCAS） 10/14

39

変形手順（CAS → RCAS） 11/14

40

変形手順（CAS → RCAS） 12/14

41

変形手順（CAS → RCAS） 12/14

42

変形手順（CAS → RCAS） 13/14

43

変形手順（CAS → RCAS） 14/14

44

変形手順（CAS → RCAS） 14/14

45

RCAS が得られた

概略（RSCAS → rectangular diagram）

1. RSCAS の各 arc を交差点に置き戻す

2. s-merge を行い、縦線の本数を減らす

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定理① （再掲）

𝐷 ： oriented link diagram

𝑐(𝐷) ： 𝐷の交差点の数

𝑆(𝐷) ： 𝐷に smoothing を行うことで得られるSeifert circles の個数

このとき、𝐷は平面の ambient isotopy で

縦線の本数が 2𝑆 𝐷 + 𝑐(𝐷)以下の

rectangular diagram に変形できる

47

• circle の個数が 1 つである CAS をmonadic circles and arcs system (MCAS)という

• smoothing においてlink の向きを考慮しないものをundirected smoothing という

定義（MCAS, undirected smoothing）

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補題

connected link diagram の各交差点において、適当に undirected smoothing を行うとMCAS が得られる

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定理（CAS→RCAS）を利用

MCASlink diagram RMCAS

概略（connected link diagram → MCAS）

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1. connected link diag. を CAS に変換する

2. もう一方の undirected smoothing を考え、circle の個数を 1 つずつ減らす

概略①（RMCAS → rectangular diagram）

1. RMCAS の各 arc を交差点に置き戻す

51

概略②（RMCAS → rectangular diagram）

2. s-merge を行い、縦線の本数を減らす

52

定理② （再掲）

𝐷 ： connected link diagram

𝑐(𝐷) ： 𝐷の交差点の数

このとき、𝐷は平面の ambient isotopy で

縦線の本数が 2𝑐 𝐷 − 𝑤 𝐷 + 2以下の

rectangular diagram に変形できる

※ 𝑤 𝐷 は 𝐷によって定まる非負整数

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定理③ （再掲）任意の CAS は、平面の ambient isotopy で次のように変形できる：

すべての circles は

異なる circles を繋ぐ arc は

ある circle に両端点を持つ arc でその circle の囲む disk 上にあるものは

or or

ある circle に両端点を持つ arc でその circle の囲む disk の外側にあるものは

or54

定義（black box）

𝑆 = 𝐶 ∪ 𝐴 : RCAS（𝐶は circle の disjoint union, 𝐴は arc の disjoint union）

𝑅 : 長方形型 disk

𝜕𝑅 :

𝜕𝑅 ∩ 𝐶 = ∅のとき、 𝑆 ∩ 𝑅を black box という

55

black box

補題

𝑋 : black box図の 𝛼1, … , 𝛼𝑗 , 𝛽1, … , 𝛽𝑖のいずれも、

𝛾1, … , 𝛾𝑘のいずれかと𝑋の縦線で直接つながっていないとき、

このように変形できるただし、 𝑋′は black box である

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