recta numerica, calculo
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UNIDAD 1 RECTA NUMERICA NUMERO REALES PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES Desigualdades Valor absoluto
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UNIDAD 1RECTA NUMERICA
NUMERO REALES
PROPIEDADES DE LOS NUMEROS REALES
Desigualdades
Valor absoluto
RECTA NUMERICA
Inventada por John Wallis, quien fue un matemático inglés a quien se atribuye en parte el desarrollo del cálculo moderno. Fue un precursor del cálculo infinitesimal (introdujo la utilización del símbolo ∞ para representar la noción de infinito). La recta numérica es un dibujo unidimensional de una línea en la que los números enteros son mostrados como puntos especialmente marcados espaciados uniformemente. Aunque la imagen de abajo muestra solamente los números enteros a entre -9 y 9, la recta incluye todos los números reales, continuando "ilimitadamente" en cada dirección. Frecuente es usada como ayuda para enseñar la adición y la sustracción simples, implicando especialmente números negativos
RECTA NUMERICA
Una recta numérica se puede representar como se observa en el dibujo donde está; Está dividida en dos mitades simétricas por el origen, es decir el número cero. En la recta numérica mostrada arriba, los números negativos se representan en rojo y los positivos en azul.
En una recta numérica pueden ubicarse también las fracciones y los números irracionales.
Si se dividen en tres partes iguales cada segmento unidad en la recta, podemos representar los números racionales cuya representación fraccionaria tiene como denominador 3, como se muestra en el ejemplo siguiente.
Un numero es la expresión de una cantidad con relación a su unidad. El termino proviene del latín numerus y hace referencia a un signo o conjunto de signos. La teoría de los números agrupa a estos signos en distintos grupos. Los números naturales, por ejemplo, incluyen al 1,2,3,4,5,6,7,8,9 y por lo general al 0.
El concepto de los números reales surgió a partir de la utilización de las fracciones comunes por parte de los egipcios cerca del 1.000 a.c. el desarrollo de la noción continuo con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales.
Números Reales
Propiedades de los números naturales
Si a, b y c son números reales entonces:
Identifica la propiedad:
5 ( 4 x 1.2 ) = ( 5 x 4 ) 1.2 14 + ( -14 ) = 0 3 ( 8 + 11 ) = 3 ( 8) + 3 (11) ( 5 + 7 ) 9 = 9 (7 + 5)
EjerciciosAplica la propiedad indicada:}
5(x + 8) ; (conmutativa de suma) (3 x 6) 2 ; (asociativa de
multiplicación) (9 + 11) + 0 ; (identidad aditiva) 12(x + y) ; (distributiva) 9(6 + 4) ; (conmutativa de
multiplicación) (x + y) + z ; (asociativa de suma)
Ejemplos de los números
NUMEROS POSITIVOS: 1,2,3,4,…. Los enteros son todos los números positivos y negativos junto con el numero real cero, y se obtienen sumando el numero 1 consigo mismo.
NUMEROS RACIONALES: Es un
numero real que se puede expresar
como un cociente a/b donde a y b
son enteros, pero es aquí donde los
decimales que surgen al dividir a/b
mediante expansiones infinitas no
suelen repetirse sus dígitos y los
irracionales viene siendo lo contrario.
NUMEROS REALES: esto
s
números
suelen
representarse
por
expansiones
decimales
infinitas
ejemplo,
dividiendo, se puede hallar
que la
representación
decimal del
numero
7434/2310 es 3.2181818
donde sus
dígitos se
repiten indefinidamente.
0.193650278443757 …
0.101001000100001 …
La colección de los numero reales positivos es cerrada bajo la suma y la multiplicación, es decir si a y b son positivos entonces su suma a+b y su producto ab también lo son.
El concepto de valor absoluto se puede usar para definir la distancia entre dos puntos cualesquiera sobre una recta coordenada. Generalmente se utiliza cuando se está interesado en la magnitud o valor numérico de un número real, independientemente de su signo.
Este es un ejemplo de valor absoluto en el cual está definiendo claramente la distancia que hay entre ciertos puntos.
5= 7-2 = 2-7
-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Números reales en la recta
Ejemplo de intervalos en la recta
En el conjunto (a,b) se llama un intervalo abierto. En particular la grafica del intervalo abierto ( ) consta de dos de los puntos que se encuentran entre los puntos correspondientes a y b en la fig. 1.5 dibujamos las graficas de un intervalo abierto y de los términos abiertos particulares (-1,3) y (2,4). Los paréntesis en la figura se usan para indicar que los puntos extremos no están incluidos.
DESIGUALDADES
Una igualdad es una oración matemática que contiene signo de igual. Por ejemplo:
6 + 4 = 10x + 6 = 10
Una igualdad que tiene variable ( valor desconocido o incógnita) se llama ecuación. Por ejemplo:
x + 6 = 10 Una desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de
desigualdad. Los signos de desigualdad son:
Una desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo:
x + 3 < 7
DESIGUALDAD
En particular, en los Números Reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vital importancia para la Matemática, que es el orden. En otras palabras R es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si X y Y pertenecen a R , entonces se puede decir si la afirmación X > Y es verdadera o no. De forma precisa se puede decir que para cada X y Y en R se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones:
x > y; x < y; x=y Esta propiedad se conoce con el nombre de Ley de Tricotomía.
una consecuencia inmediata de esta ley, es que si x < y, entonces x es distinto de y . Dicho de otra forma, no existe ningún número real x tal que x<x.
Si imagináramos que R es una recta, donde a la izquierda están los números negativos, al medio el cero y a la derecha los positivos, entonces, una interpretación geométrica de la afirmación x < y, es que está a la izquierda de y. Esta manera de visualizar R es muy conveniente, ya que permite entender con mayor claridad, algunas de las propiedades que cumplen los números reales.
Tricotomía
Una relación binaria(una relación binaria es una relación matemática R entre los elementos de dos conjuntos A y B. Una relación de este tipo se puede representar mediante pares ordenados,) R sobre un conjunto A es transitiva cuando se cumple: siempre que un elemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Una relación R es transitiva si: a R b y b R c se cumple a R c.
La propiedad anterior se conoce como transitividad.
EJEMPLOS
La relación binaria "menor que" en los enteros es transitiva:
Si a < b y b < c , entonces a < c.
Así, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2<7.
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Transitividad
EJEMPLOS
La relación binaria "menor que" en los enteros es transitiva:
Si a < b y b < c , entonces a < c.
Así, puesto que 2 < 5 y 5 < 7, la transitividad implica que 2<7.
En general las relaciones de orden (ser menor, mayor, igual, menor o igual, mayor o igual) son transitivas.
Ejemplo de transitividad
Valor absoluto
Valor absoluto de un números entero
El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta al suprimir su signo.
El valor absoluto lo escribiremos entre barras verticales. |−5| = 5 |5| = 5
Valor absoluto
TIPOS DE INTERVALOS
a = Limite inferior b = Limite superior
[ ] = Cerrado ( ) = Abierto [ a , b ] Cerrado
( a , b ) Abierto
( a , b ] Semi Abierto
Intervalo Abierto3 – ( -8 , 15 ) -8 < x < 15
Intervalo Semi Abierto4 – [ 0 , 17 ) 0 < x < 17 0
17
8 0 15
Las funciones en valor absoluto se transforman en funciones a trozos, siguiendo los siguientes pasos:
1. Se iguala a cero la función, sin el valor absoluto, y se calculan sus raíces.2. Se forman intervalos con las raíces y se evalúa el signo de cada intervalo.3. Definimos la función a trozos, teniendo en cuenta que en los intervalos donde la x es negativa se cambia el signo de la función.
4.- Representamos la función resultante.
Función valor absoluto
