Recordatorio de Relaciones y Funciones Dr. Felipe Orihuela-Espina.
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Recordatorio deRelaciones y Funciones
Dr. Felipe Orihuela-Espina
Contenido
Relaciones Propiedades de las relaciones Clases de equivalencia Conjuntos parcial y totalmente ordenados Funciones Tipos de funciones
(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 2
(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 3
RELACIONES
Relaciones
Una relación (n-aria) R es un subconjunto del producto cartesiano de n conjuntos A1x…xAn. R⊆ A1x…xAn Ai se denominan los dominios de la relación A n se le denomina el grado de la relación, y se
cumple que n≥0.
R consiste de un conjunto de n-tuplas ordenadas, tal que el i-ésimo elemento de la tupla proviene del conjunto Ai. R={(a11,a21,a31),…}
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Relaciones
Ejemplo: R=AxBxC
A B C
R{ , , }
{ , , }
{ , , }
Relaciones
Ejemplo: Supongamos los conjuntos: Alumno={Juan, María, Pepe, Luis, Pedro} Profesor={Santiago, Pilar, Pablo, Rosa} Asignatura={Matemáticas, Lengua, Filosofía} Horario={10am, 11am, 12pm, 13pm}
La relación 4-aria Rcurso se define sobre los dominios anteriores: Rcurso ={(Juan, Santiago, Lengua, 11am), …}
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Relaciones
En particular, una relación binaria (n=2) R de un conjunto A a otro conjunto B es un subconjunto del producto cartesiano AxB (R⊆AxB) tal que si los elementos a∊A y b∊B están relacionados entonces (a,b)∊R Esto lo se denota ARB en el caso de referirse a la
relación de los conjuntos, o aRb en el caso de referirse a la relación de los elementos y se lee “A/a está relacionado con B/b”
A se denomina el conjunto dominio o inicio B se denomina el conjunto codominio o destino
Si los “dos” conjuntos son el mismo, i.e. A=B, entonces se dice que R es una relación binaria sobre A.
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Relaciones
Ejemplo: Relacion “divisible por” (resto 0) Sea el conjunto A={2,3,4,5,6,7,8} Sea la relación binaria sobre A, R/
Entonces: R/ ={(x,y)∈AxA | mod(y,x)=0}
= {(2,2), (2,4), (2,6), (2,8), (3,3), (3,6), (4,4), (4,8),(5,5), (6,6), (7,7),(8,8)}
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Ejemplo corregido de: [http://www.youtube.com/watch?v=h34hZ_hynzE]
Relaciones
Ejemplo: Relacion “cuadrado de” Sea el conjunto A={R} de los números reales Sea la relación binaria sobre A, R^2
Entonces: R^2 ={(x,y)∈ R2 | y=x2}
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Relaciones
Ejemplo: Relacion “menor que” Sea el conjunto A={1,2,3,4} Sea la relación binaria sobre A, R<
Entonces: R< ={(x,y)∈AxA | x<y}
= {(1,2), (1,3), (1,4), (2,3), (2,4), (3,4)}
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Ejemplo de: [http://www.youtube.com/watch?v=h34hZ_hynzE]
☞ Más adelante, veremos que esta relación cumple que es una relación de orden o simplemente un orden (es decir que tiene las propiedades reflexiva, antisimétrica y transitiva).
Relaciones
Sean dos conjuntos B={b1, …, bn} y C={c1, …, cm} y la relación R⊆BxC.
Se denomina matriz de adyacencia AR a la matriz* de tamaño nxm cuyas filas indexan a B y sus columnas indexan a C de tal forma que:
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* Una matriz se define como un vector de rango 2 (relación binaria). Un vector se define como un conjunto de elementos estructurados en sólidos rectangulares. Estructurados significa que el conjunto está dotado de una estructura algebraica. Una estructura algebraica es un conjunto de operaciones (relaciones de tipo función –a lo sumo 1 imagen por cada elemento del dominio- sobre el conjunto potencia).
Relaciones
Ejemplo: Matriz de adyacencia
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Figura de [http://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Relations_%28mathematics%29]
Relaciones
A partir de la matriz de adyacencia es fácil definir/dibujar un grafo* que represente la relación:
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a b
c d
Figuras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia]Figuras de los grafos: [Elaboración propia]
* Sea V un conjunto de elementos que se denominan nodos. Sea E una relación (binaria) sobre V, E:VxV, donde a cada elemento de E se denomina arista. Un grafo G es una relación E, aunque por conveniencia normalmente se indica de forma explícita el conjunto de nodos; G=<V,E>.
Relaciones
Sea R=SxT una relación del conjunto S al conjunto T S seria el dominio T sería el codominio
Para cada elemento s∈S podemos definir el conjunto: [s]R={t∈T | (s,t)∈R}
A este se le conoce como el conjunto imagen de s, o sea, los 1s de la fila s en la matriz de adyancencia. …y se denota más comúnmente como R(s): R(s)=[s]R
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Relaciones
Sea R=SxT una relación del conjunto S al conjunto T. S seria el dominio T sería el codominio
De igual forma, para cada elemento t∈T podemos definir el conjunto: [t] R={s∈S | (s,t)∈R}
A este se le conoce como el conjunto pre-imagen de t. o sea, los 1s de la columna t en la matriz de adyancencia ☞ No tenemos un símbolo especial para denotar a este
conjunto, aunque en determinadas circunstancias coincide con R-1.
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PROPIEDADES DE LAS RELACIONES
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Propiedades de las relaciones
Una relación binaria sobre A es: Reflexiva si ∀x∈A ⇒ xRx, léase (x,x)∈R Irreflexiva si ∀x∈A ⇒ (x,x)∉R Transitiva si xRy e yRz ⇒ xRz Simétrica si xRy ⇔ yRx Antisimétrica si xRy e yRx ⇒ x=y
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* El cuantificador universal “Para todo” (∀) es como no, una relación. ¿Te atreves a formalizarla?
Relaciones
Observa que para que sea reflexiva, toda la diagonal principal debe tener 1s en la matriz de adyacencia,
…o de forma equivalente en el grafo todos los nodos deben tener flechas hacia si mismos:
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a b
c d
a b
c d
Reflexivo No Reflexivo
Figuras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia]Figuras de los grafos: [Elaboración propia]
Relaciones
Observa que para que sea irreflexiva, ningún elemento de diagonal principal debe tener 1s en la matriz de adyacencia,
…o de forma equivalente en el grafo ningún nodo deben tener flechas hacia si mismo:
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a b
c dFiguras de la matriz de adyacencia: [Wikipedia]Figuras de los grafos: [Elaboración propia]
Relaciones
Observa que para que la relación sea simétrica, la matriz de adyacencia debe ser simétrica*,
…o de forma equivalente en el grafo todos los enlaces deben ser bidireccionales:
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a b
c d
Simétrica
Figuras de los grafos: [ambas elaboración propia]
* Aún no he definido simetría en matrices, pero por ahora, baste decir que una matriz (cuadrada) es simétrica si para aij=aji, i,j i∀ j
Propiedades de las relaciones
Ejemplo: La relación binaria R< sobre A es: ¿Reflexiva?: No, ya que para ningún x∈A
⇒ xRx ¿Irreflexiva?: Si, ya que para todo x∈A ⇒
x≮x ¿Transitiva?: Si, ya que si x<y e y<z ⇒
x<z ¿Simétrica?: No, ya que si x<y entonces
y≮x ¿Antisimétrica?: No, ya que no es
posible que x<y e y<x a la vez(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 21
Propiedades de las relaciones
Ejemplo: La relación binaria R≤ sobre A es: Reflexiva: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x≤x Irreflexiva: No, ya que para todo x∈A ⇒
x≤x Transitiva: Si, ya que si x≤y e y≤z ⇒ x≤z Simétrica: No, ya que si x≤y entonces
no necesariamente y≤x Antisimétrica: Si, ya que si x≤y e y≤x a
la vez, entonces x=y
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CLASES DE EQUIVALENCIA
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Clases de equivalencia
Una relación R sobre un conjunto S se dice que es una relación de equivalencia si y sólo si posee las siguientes propiedades: Reflexiva Simétrica, y Transitiva
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Clases de equivalencia
Ejemplo: La relación binaria R= sobre A es: Reflexiva: Si, ya que para todo x∈A ⇒ x=x Transitiva: Si, ya que si x=y e y=z ⇒ x=z Simétrica: Si, ya que si x=y entonces
y=x
…por ende; la relación “igual que” es una relación de equivalencia.
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Ejemplo: La relación R de rectas paralelas en el plano es una relación de equivalencia: Reflexiva: Si, ya que
para toda x∈A ⇒ x||x
Transitiva: Si, ya que si x||y e y||z ⇒ x||z
Simétrica: Si, ya que si x||y entonces y||x (c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 26
Clases de equivalencia
Figura de: [mathsmadness.wikispaces.com]
¡Cuidado! Este símbolo es también el que se usa para denotar
elementos no comparables!...pero no confundas abuso de notación
con ambigüedad
Clases de equivalencia
Sea R una relación de equivalencia del conjunto S al conjunto T.
El conjunto imagen de s en esta relación de equivalencia: [s]R=R(s)={t∈T | (s,t)∈R}
Al conjunto imagen de s en una relación de equivalencia se le conoce como la clase de equivalencia de s, y se denota s~t. [s]R=R(s)={t∈T | s~t}
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Clases de equivalencia
Bajo una relación de equivalencia sobre el conjunto S, se cumple que:
Si b [a]∈ R entonces [b]R=[a]R
En otras palabras, bajo una relación de equivalencia, si a y b están relacionados entonces son equivalentes.
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Clases de equivalencia
Una relación de equivalencia particiona el conjunto S en clases de equivalencia mutuamente excluyentes o disjuntas. ☞ A veces verás que a la partición misma también se le
llama la clase de equivalencia. Observa que no es una ambigüedad, ¡estrictamente es lo mismo!
Definir las clases de equivalencia permite definir a continuación: operaciones sobre estas clases de equivalencia usando
representantes individuales de cada clases de equivalencia.
Nuevos conjuntos a partir de los ya definidos
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Clases de equivalencia
Ejemplo: Supongamos un conjunto S={1,2,3,4,5} con la siguiente relación: [x]={y∈S | x~y} ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1),
(2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,3),(4,4),(5,5)}
Podemos comprobar que la relación es: Reflexiva Simétrica, y Transitiva
Y por ende es una relación de equivalencia
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1 2 3 4 51 x x x2 x x x3 x x x4 x5 x
Clases de equivalencia
Ejemplo (Cont.): Supongamos un conjunto S={1,2,3,4,5} con la siguiente relación: [x]={y∈S | x~y} ={(1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2),
(2,3), (3,1), (3,2), (3,3),(4,4),(5,5)}
Si es una relación de equivalencia, podemos establecer las clases de equivalencia: [s]R=R(s)={t∈T | s~t}
En particular [1]R={1,2,3} [3]R={1,2,3} [5]R={5}
[2]R={1,2,3} [4]R={4}
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Observa que elementos
equivalentes, tienen clases de equivalencia
iguales
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Ejemplo: La relación R entre los números racionales R={(x,y)∈ Q2 | y=kx ; k∈R-{0}} es una relación de equivalencia*: Reflexiva: Si, ya que para
toda x∈Q ⇒ x=kx, basta que k=1∈R.
Transitiva: Si, ya que si x=k1y e y=k2z ⇒ x=k3 z, con k3=k1k2 ∈R
Simétrica: Si, ya que si x=ky entonces y=(1/k)x y 1/k∈R. Observa que k no puede ser
0.
Ejemplo: ½=2/4=3/6=… 1/3=2/6=3/9=… …
Cada una de estas forma una clase de equivalencia en R.
Clases de equivalencia
* Estrictamente se debe exigir además que el denominador del número racional sea distinto de 0.
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Clases de equivalencia
☞ Aunque no la definiré aquí, una relación de equivalencia importante y muy útil es la que podemos definir entre los puntos de un espacio, y los vectores. Esta relación, una vez definida, permite
operar con vectores como si fuesen puntos en un espacio (o viceversa, según lo quieras entender) y es la base de todo el cálculo vectorial.
CONJUNTOS PARCIAL Y TOTALMENTE ORDENADOS
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Conjuntos parcialmente y totalmente ordenados
Una relación R ( )⊑ sobre un conjunto S se dice que es un orden o relación de orden si posee las siguientes propiedades: Reflexiva Antisimétrica, y Transitiva
Al par del conjunto S con su relación de orden , (S, )⊑ ⊑ se le llama conjunto parcialmente ordenado, o poset.
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Conjuntos parcialmente y totalmente ordenados
Sean dos elementos x,y (S∈ ,⊑): Se dice que x e y son comparables si x y⊑ o
y x⊑ Si x e y son comparables entonces la relación es
un orden lineal o total. Un conjunto con un orden total es un conjunto
totalmente ordenado. O sea, un conjunto parcialmente ordenado donde todos
los pares de elementos son comparables.
Se dice que x e y no son comparables si x y⋢ y y x⋢
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Conjuntos parcialmente y totalmente ordenados
Implicaciones: Si ⊑ es un orden sobre el conjunto S,
entonces el grafo asociado es un grafo acíclico (no contiene
ciclos de longitud mayor a 1).
S contiene un elemento máximo y un mínimo …pero no tienen que ser únicos, …ni tienen que existir
Ejemplo: ( ,ℝ ≤)
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Diagrama de Hasse: Representación gráfica
simplificada de un conjunto parcialmente ordenado finito.
Cada elemento del conjunto se indica como un punto. Se dibujan aristas entre los
elementos del conjunto y sus predecesores inmediatos
…si y sólo si solo si uno sigue a otro sin haber otros elementos intermedios.
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Conjuntos parcialmente y totalmente ordenados
Figura de: [http://es.wikipedia.org/wiki/Diagrama_de_Hasse]
FUNCIONES
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Funciones Función matemática: Una relación que asocia miembros (subconjunto) de un
conjunto origen con miembros de otro conjunto destino. En ambos conjuntos puede haber miembros no asociados pero, para aquellos
miembros de A para los que existe una relación, esa es una relación única. PERO: En aquellos elementos de A para los que no existe una relación se dice que la función
no está definida, y formalmente esos elementos NO pertenecen al dominio …de hecho, a veces, se indica que la función requiere que CADA elemento de A tenga una
imagen.
Del mismo miembro origen no pueden salir más de una relación. Miembros del conjunto destino sin embargo, si pueden recibir varias relaciones.A B
* Las definiciones formales las podéis encontrar en libros, o en Wolfram World of Maths [http://mathworld.wolfram.com/]
Funciones
Al conjunto de elementos del conjunto A para los que está definida la función se le conoce como dominio. dominio ⊆ A
Al conjunto de elementos del conjunto B que la función puede producir se le conoce como rango. rango ⊆ B B sigue siendo conocido como codominio
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Funciones
Todas las funciones son relaciones, pero no al revés.
(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 42
Tabla de: [http://www.purplemath.com/modules/fcns.htm]*Observa que el último ejemplo en esta web (omitido aquí) es erróneo; está marcado como no función, pero si es una función!
Funciones
Ejemplo: Estas NO son funciones
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[www.mathsisfun.com]
[www.mathcaptain.com]
[en.wikipedia.org]
TIPOS DE FUNCIONES
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Tipos de funciones
Inyectiva (o uno-a-uno): Cada elemento del conjunto codominio es cómo máximo la imagen de un único elemento del dominio En otras palabras, dos elementos no pueden tener la misma imagen.
Sobreyectiva: Cada elemento del codominio tiene al menos una preimagen En otras palabras, la imagen es el codominio completo; rango=B
Biyectiva: Inyectiva + Sobreyectiva
☞ El término uno-a-uno estrictamente describe a las funciones inyectivas [Cameron PJ (2006) Notes on Algebraic Structures]. No obstante, ya que las biyectivas también son inyectivas, muchas veces vereis que a estas también se las denomina funciones uno-a-uno.
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Tipos de funciones
Formalmente [Cameron PJ (2006) Notes on Algebraic Structures]:
Inyectiva: a1a2 f(a1)f(a2) Alternativamente, también verás a veces [ Brin
(2011) Modern Algebra]; a1,a2: f(a1)=f(a2) a1=a2
Sobreyectiva: b:a tal que b=f(a)
Biyectiva: Inyectiva y sobreyectiva.
Tipos de funciones
Ejemplo: Inyectiva y no sobreyectiva
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Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function]
Tipos de funciones
Ejemplo: No inyectiva pero sobreyectiva
(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 48
Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function]
Tipos de funciones
Ejemplo: Inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)
(c) 2013-5. Dr. Felipe Orihuela-Espina 49
Ejemplo de: [http://en.wikipedia.org/wiki/Injective_function]
GRACIAS, ¿PREGUNTAS?
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