EUROPA-FACHBUCHREIHE

für Metallberufe

J. Dillinger W. Escherich R. GomeringerR. Kilgus B. Schellmann C. Scholer

Rechenbuch MetallLehr- und Übungsbuch

31. neu bearbeitete Auflage

VERlAG EUROPA-lEHRMIttEl · Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG

Düsselberger Straße 23 · 42781 Haan-Gruiten

Europa-Nr.: 10307

Autoren:

Dillinger, Josef Studiendirektor München

Escherich, Walter Studiendirektor München

Gomeringer, Roland Dipl.-Gwl., Studiendirektor Balingen

Kilgus, Roland Dipl.-Gwl., Oberstudiendirektor Neckartenzlingen

Schellmann, Bernhard Oberstudienrat Kißlegg

Scholer, Claudius Dipl.-Ing., Dipl.-Gwl., Studiendirektor Metzingen

Lektorat und Leitung des Arbeitskreises:

Roland Kilgus, Neckartenzlingen

Bildentwürfe: Die Autoren

Bildbearbeitung:

Zeichenbüro des Verlags Europa-Lehrmittel, Ostfildern

31. Auflage 2012Druck 5 4 3 Alle Drucke derselben Auflage sind parallel einsetzbar, da sie bis auf die Behebung von Druckfehlern untereinander unverändert sind.

ISBN 978-3-8085-1853-3

Umschlaggestaltung: Michael M. Kappenstein, Frankfurt a.M., unter Verwendung eines Fotos der Firma TESA/Brown & Sharpe, CH-Renens

Alle Rechte vorbehalten. Das Werk ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der gesetzlich geregelten Fälle muss vom Verlag schriftlich genehmigt werden.

© 2012 by Verlag Europa-Lehrmittel, Nourney, Vollmer GmbH & Co. KG, 42781 Haan-Gruitenhttp://www.europa-lehrmittel.deSatz: Satz+Layout Werkstatt Kluth GmbH, 50374 ErftstadtDruck: Konrad Triltsch Print und digitale Medien GmbH, 97199 Ochsenfurt-Hohestadt

3

Vorwort

Das Rechenbuch Metall ist ein lehr- und Übungsbuch für die Aus- und Weiterbildung in Fertigungs- und Werkzeugberufen. Es vermit-telt rechne rische Grund- und Fachkenntnisse, fördert und vertieft das Verständnis für technische Abläufe und technologische Zusam-menhänge. Das Buch eignet sich sowohl für den unterrichtsbeglei-tenden Einsatz als auch zum Selbststudium.

Zielgruppen:

• Industriemechaniker • Verfahrensmechaniker für• Feinwerkmechaniker Kunststoff- und Kautschuk-• Zerspanungsmechaniker technik• Werkzeugmechaniker • Meister- und techniker-• Fertigungsmechaniker ausbildung• technischer ProduktdesignerJeder lernbereich bildet eine in sich geschlossene Einheit mit identi-schem methodischem Aufbau. Nach der Einführung in das Fach-gebiet werden die notwendigen Formeln hergeleitet und erläutert. Nachfolgende Musterbeispiele zeigen die technische Anwendung. Daran schließen sich Übungsaufgaben an, die nach steigendem Schwierigkeitsgrad geordnet sind. Aufgaben mit höherem Schwie-rigkeitsgrad sind durch einen roten Punkt ( ) gekennzeichnet.

Die Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung im Kapitel 8 stel-len einen Querschnitt durch alle Stoffgebiete dar und können zur leistungs kontrolle und zur Prüfungsvorbereitung verwendet wer-den. Die Projektaufgaben im Kapitel 9 unterstützen in besonderer Wei se die Unterrichtskonzeption nach Lernfeldern. Sie umfassen neben den fachmathematischen Aufgaben auch Fragen der tech-nologie, Werkstofftechnik, Steuerungstechnik und Arbeitsplanung.

Die zahlreichen Bilder zu den Beispielen und Aufgaben sind in Form eines „Klebeanhanges“ erhältlich. Die „Lösungen“ zum Rechenbuch Metall ermöglichen nicht nur das Überprüfen der Ergebnisse, sondern enthalten außerdem den ausführlichen lösungsweg der Aufgaben.

Vorwort zur 31. Auflage

Der Inhalt des Rechenbuches wurde dem Stand der technik ange-passt und um 32 Seiten erweitert. Die Kapitel wurden, soweit mög-lich, so gegliedert, dass sich die Lernfeldkonzeption im Unterricht umsetzen lässt. Ein Lernfeldkompass, der sich dem Inhaltsverzeich-nis direkt anschließt, sowie ein weiterer als Einleitung zum Kapitel 8, erleichtern die Zuordnung der Kapitel des Rechenbuches zu den lernfeldern.

Neue Kapitel:

• ISO-Passungen • Durchlaufzeit• Rautiefe • Maschinenstundensatz• Schleifen • Deckungsbeitrag• Standgrößen • Projekt ZerspanungstechnikDas Kapitel 8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung wurde um 9 Seiten erweitert. Zusammen mit dem Buch wird eine CD aus-geliefert, auf der alle Bilder gespeichert sind und heruntergeladen werden können.

Kritische Hinweise und Ergänzungen, die zur Verbesserung und Weiterentwicklung des Buches beitragen, nehmen wir gerne ent-gegen unter der Verlagsadresse oder per E-Mail: lektorat@europa-lehrmittel de.

Im Sommer 2012 Die Autoren

1 Grundlagen der technischen Ma thematik

9 ... 64

2 Mechanik 65 ... 102

3 Prüftechnik und Qualitätsmanage ment

103 ... 121

4 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung

122 ... 198

5 Werkstofftechnik 199 ... 217

6 Automati sierungstechnik 218 ... 236

7 Elektrotechnik 237 ... 252

8 Aufgaben zur Wieder- holung und Vertiefung

253 ... 276

9 Projektaufgaben 277 ... 309

Vorwort

4

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

Lernfeldkompass für Industrie- und Werkzeugmechaniker 6Lernfeldkompass für Zerspanungs- und Feinwerk-mechaniker 7Mathematische und physikalische Begriffe 81 Grundlagen der technischen Mathematik 91.1 Zahlensysteme 91.1.1 Dezimales Zahlensystem 91.1.2 Duales Zahlensystem 91.1.3 Hexadezimales Zahlensystem 101.2 Grundrechnungsarten 111.2.1 Variable 111.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm) 111.2.3 Strich- und Punktrechnungen 111.2.4 Bruchrechnen 141.2.5 Potenzieren 151.2.6 Radizieren 171.3 Technische Berechnungen 191.3.1 Formeln (Größengleichungen) 191.3.2 Zahlenwertgleichungen 191.3.3 Größen und Einheiten 201.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte 201.3.5 Rechnen mit physikalischen Größen 211.3.6 Umrechnen von Einheiten 211.3.7 Umstellen von Formeln 241.3.8 technische Berechnungen mit dem taschen-

rechner 271.4 Berechnungen im Dreieck 301.4.1 lehrsatz des Pythagoras 301.4.2 Winkelfunktionen 33

• Winkelfunktionen im rechtwinkligen Dreieck 33• Winkelfunktionen im schiefwinkligen Dreieck 37

1.5 Allgemeine Berechnungen 391.5.1 Schlussrechnung (Dreisatzrechnung) 391.5.2 Prozentrechnung 401.5.3 Zeitberechnungen 411.5.4 Winkelberechnungen 421.6 Längen, Flächen, Volumen 441.6.1 längen 44

• Teilung gerader Längen 44• Kreisumfänge und Kreisteilungen 46• Gestreckte und zusammengesetzte Längen 47

1.6.2 Flächen 48• Geradlinig begrenzte Flächen 48• Kreisförmig begrenzte Flächen 50• Zusammengesetzte Flächen 52• Verschnitt 53

1.6.3 Volumen 541.6.4 Masse 551.6.5 Gewichtskraft 551.6.6 Gleichdicke Körper, Masseberechnung mithilfe

von tabellenwerten 571.6.7 Volumenänderung beim Umformen 601.7 Diagramme und Funktionen 611.7.1 Kreisdiagramm 611.7.2 Balkendiagramm 611.7.3 Histogramm und Paretodiagramm 611.7.4 Grafische Darstellungen von Funktionen und

Messreihen 622 Mechanik 652.1 Bewegungen 652.1.1 Konstante Bewegungen 65

• Konstante geradlinige Bewegungen 65• Durchschnittsgeschwindigkeit 65• Vorschubgeschwindigkeit 66• Kreisförmige Bewegungen 68

2.1.2 Beschleunigte und verzögerte Bewegungen 702.2 Zahnradmaße 722.2.1 Stirnräder mit Geradverzahnung 722.2.2 Stirnräder mit Schrägverzahnung 732.2.3 Achsabstand bei Zahnrädern 742.3 Übersetzungen bei Antrieben 762.3.1 Einfache Übersetzungen 76

• Zahnradtrieb mit Zwischenrad 77• Zahnstangentrieb 77

2.3.2 Mehrfache Übersetzungen 79

2.4 Kräfte 812.4.1 Darstellen von Kräften 812.4.2 Grafische Ermittlung von Kräften 81

• Zusammensetzen von Kräften 81• Zerlegen von Kräften 82

2.4.3 Rechnerische Ermittlung von Kräften 832.5 Hebel 852.5.1 Drehmoment, Hebelgesetz 852.5.2 lagerkräfte 87

• Bauteile mit zwei Lagerstellen 87• Bauteile mit einer Lagerstelle 87

2.5.3 Umfangskraft und Drehmoment 892.6 Reibung 912.6.1 Haft- und Gleitreibung 912.6.2 Rollreibung 912.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungsgrad 932.7.1 Mechanische Arbeit 93

• Hubarbeit 93• Reibungsarbeit 93• Feder-Spannarbeit 93

2.7.2 Mechanische Energie 94• Potentielle Energie 94• Kinetische Energie 94

2.7.3 Mechanische leistung 96• Mechanische Leistung, allgemein 96• Leistung bei Drehbewegung 96

2.7.4 Wirkungsgrad 972.8 Einfache Maschinen 1002.8.1 Schiefe Ebene 1002.8.2 Keil 1002.8.3 Schraube 102

3 Prüftechnik und Qualitätsmanagement 1033.1 Maßtoleranzen und Passungen 1033.1.1 Maßtoleranzen 1033.1.2 Passungen 1053.1.3 ISO-Passungen 1063.2 Qualitätsmanagement 1093.2.1 Prozesskennwerte aus Stichprobenprüfung 109

• Median- , Modal-, arithmetischer Mittelwert 109• Spannweite 110• Standardabweichung 110• Urliste, Strichliste, Häufigkeitsverteilung, Histo-

gramm 111• Summenhäufigkeit 111• Wahrscheinlichkeitsnetz 112

3.2.2 Statistische Berechnungen mit dem taschen-rechner 112

3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit 114• Maschinenfähigkeit 114• Prozessfähigkeit 115

3.2.4 Statistische Prozesslenkung mit Qualitätsregel-karten 118• Urliste und Urwertkarte 118• Histogramm der Häufigkeitsverteilung 118• Qualitätsregelkarte 119• Mittelwert-Standardabweichungskarte 119• Median-Spannweitenkarte 120• Prozessbewertung 120

4 Fertigungstechnik und Fertigungsplanung 1224.1 Spanende Fertigung 1224.1.1 Drehen 122 • Schnittdaten, Anzahl der Schnitte 122 • Drehzahl 123 • Schnittkraft 124 • Schnittleistung und Antriebsleistung 125

• Rautiefe 127 • Hauptnutzungszeit mit konstanter Drehzahl 1284.1.2 Bohren 130 • Schnittdaten und Drehzahl 130 • Schnittkraft 131 • Schnittleistung 132 • Hauptnutzungszeit (Bohren, Senken, Reiben) 1334.1.3 Fräsen 135 • Schnittdaten 135

5Inhaltsverzeichnis

• Schnittkraft 136 • Schnittleistung und Antriebsleistung 137 • Hauptnutzungszeit 1394.1.4 Indirektes teilen 1414.1.5 Schleifen 143

• Hauptnutzungszeit beim Längs-Rundschleifen 143• Hauptnutzungszeit beim Umfangs-Planschleifen 145

4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen 147• Geometrische Grundlagen 147

• Koordinatenmaße 149 4.1.7 Hauptnutzungszeit beim Abtragen und Schneiden 1534.1.8 Kegelmaße 1554.2 Trennen durch Schneiden 1574.2.1 Schneidspalt 1574.2.2 Streifenmaße und Streifenausnutzung 1594.3 Umformen 1614.3.1 Biegen 161 • Zuschnittermittlung 161 • Rückfederung 1634.3.2 tiefziehen 165 • Zuschnittdurchmesser 165 • Ziehstufen und Ziehverhältnisse 1664.4 Exzenter- und Kurbelpressen 1684.4.1 Pressenauswahl 1684.4.2 Schneidarbeit 1684.5 Spritzgießen 1704.5.1 Schwindung 1704.5.2 Kühlung 1714.5.3 Dosierung der Formmasse 1724.5.4 Kräfte 1734.6 Fügen 1754.6.1 Schraubenverbindung 175 • mit axialer Betriebskraft 175 • ohne Betriebskraft 1774.6.2 Schmelzschweißen 179 • Nahtquerschnitt und Elektrodenbedarf 1794.7 Fertigungsplanung 1824.7.1 Standgrößen (Standzeit, Standmenge, Standweg,

Standvolumen) 1824.7.2 Durchlaufzeit, Belegungszeit 1834.7.3 Auftragszeit 1864.7.4 Kostenrechnung 188

• Einfache Kalkulation 188• Erweiterte Kalkulation 188

4.7.5 Maschinenstundensatz 1924.7.6 Deckungsbeitrag 1944.7.7 lohnberechnung 196

5 Werkstofftechnik 1995.1 Wärmetechnik 1995.1.1 temperatur 1995.1.2 längen- und Volumenänderung 1995.1.3 Schwindung beim Gießen 2005.1.4 Wärmemenge 202

• Wärmemenge beim Erwärmen und Abkühlen 202• Schmelzwärme 202

5.2 Werkstoffprüfung 2045.2.1 Zugversuch 204

• Kraft-Verlängerungs-Diagramm 204• Werkstoffkennwerte 204• Spannungs-Dehnungs-Diagramm 205• Dehngrenze 205

5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches Gesetz 207• bei Zugbeanspruchung 207• bei Federn 208

5.3 Festigkeitsberechnungen 2105.3.1 Beanspruchung auf Zug 2105.3.2 Beanspruchung auf Druck 2125.3.3 Beanspruchung auf Flächenpressung 2135.3.4 Beanspruchung auf Abscherung, Schneiden von

Werkstoffen 2145.3.5 Beanspruchung auf Biegung 216

• Biegespannung 216• Biegemoment 216• Axiales Widerstandsmoment 216

6 Automatisierungstechnik 2186.1 Pneumatik und Hydraulik 2186.1.1 Druck und Kolbenkräfte 218

• Druckarten, Druckeinheiten 218

• Luftdruck, absoluter Druck, Überdruck 218• Kolbenkräfte 219

6.1.2 Prinzip der hydraulischen Presse 222• Kolbenkräfte und Kolbenflächen 222• Kolbenwege und Kolbenflächen 222

6.1.3 Kolben- und Durchflussgeschwindigkeiten 2246.1.4 leistungsberechnung in der Hydraulik 2266.1.5 luftverbrauch in der Pneumatik 2286.2 Logische Verknüpfungen 2306.2.1 Grundfunktionen 2306.2.2 Grundverknüpfungen 2316.2.3 Verknüpfungen mehrerer logischer Grundfunk-

tionen 2326.2.4 Speichern von Signalen, Selbsthalteschaltungen 234

7 Elektrotechnik 2377.1 Ohmsches Gesetz 2377.2 Leiterwiderstand 2387.3 Temperaturabhängige Widerstände 2397.4 Schaltung von Widerständen 240

• Reihenschaltung von Widerständen 240• Parallelschaltung von Widerständen 241• Gemischte Schaltung von Widerständen 242

7.5 Elektrische Leistung bei Gleichspannung 2447.6 Wechselspannung und Wechselstrom 246

• Periodendauer, Frequenz und Kreisfrequenz 246• Momentanwert von Spannung bzw. Strom 246• Effektivwert und Maximalwert von Spannung

und Strom 2477.7 Elektrische Leistung bei Wechselstrom und bei

Drehstrom 249• Wirkungsgrad 249

7.8 Elektrische Arbeit und Energiekosten 2517.9 Transformator 252

8 Aufgaben zur Wiederholung und Vertiefung 253Lernfeldkompass 253

8.1 Lehrsatz des Pythagoras, Winkelfunktionen 2548.2 Längen, Flächen, Volumen, Masse und Gewichts-

kraft 2558.3 Dreh- und Längsbewegungen, Getriebe 2568.4 Kräfte, Arbeit und Leistung 2578.5 Kräfte, Flächenpressung; Kennwerte 2588.6 Kräfte an Bauteilen 2598.7 Maßtoleranzen, Passungen und Teilen 2608.8 Qualitätsmanagement 1 2618.9 Qualitätsmanagement 2 2628.10 Spanende Fertigung 1 (Bohren, Senken, Reiben) 2648.11 Spanende Fertigung 2 (Drehen, Fräsen, Schleifen) 2658.12 CNC-Technik 2678.13 Schneiden und Umformen 2688.14 Fügen: Schraub-, Stift-, Passfeder- und Löt-

verbindungen 2698.15 Wärmeausdehnung und Wärmemenge 2708.16 Pneumatik und Hydraulik 2718.17 Elektrotechnik: Grundlagen 2738.18 Elektrotechnik: Leistung und Wirkungsgrad 2748.19 Elektrische Antriebe und Steuerungen 2758.20 Kostenrechnung 276

9 Projektaufgaben 2779.1 Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine 2779.2 Hubeinheit 2809.3 Zahnradpumpe 2839.4 Hydraulische Spannklaue 2869.5 Folgeschneidwerkzeug 2899.6 Tiefziehwerkzeug 2929.7 Spritzgießwerkzeug 2959.8 Qualitätsmanagement am Beispiel eines Stirn-

radgetriebes 2989.9 Pneumatische Steuerung 3019.10 Elektropneumatik – Sortieren von Materialien 3049.11 Zerspanungstechnik 307

Sachwortverzeichnis 310

6 lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall

Lernfelder für Industrie- und Werkzeugmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall

Lern-feld

Industrie - mechaniker

Kapitel im Rechenbuch Werkzeug- mechaniker

Kapitel im Rechenbuch

1 Fertigen von Bauele-menten mit handge-führten Werkzeugen

1.6.1 Längen1.6.2 Flächen1.6.3 Volumen1.6.4 Masse1.6.5 Gewichtskraft3.1.1 Maßtoleranzen4.3.1 Umformen, Biegen

Fertigen von Bauele-menten mit handge-führten Werkzeugen

1.6.1 Längen1.6.2 Flächen1.6.3 Volumen1.6.4 Masse1.6.5 Gewichtskraft3.1.1 Maßtoleranzen4.3.1 Umformen, Biegen

2 Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen

3.1.1 Passungen2.1.1 Konstante Bewegungen4.1.1 Drehen (vc; n; f)4.1.2 Bohren (vc; n; f)4.1.3 Fräsen (vc; n; f)4.7.4 Kostenrechnen

Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen

3.1.1 Passungen2.1.1 Konstante Bewegungen4.1.1 Drehen (vc; n; f)4.1.2 Bohren (vc; n; f)4.1.3 Fräsen (vc; n; f)4.7.4 Kostenrechnen

3 Herstellen von ein-fachen Baugruppen

2.4 Kräfte 2.5 Hebel2.8 Einfache Maschinen

Herstellen von ein-fachen Baugruppen

2.4 Kräfte 2.5 Hebel2.8 Einfache Maschinen

4 Warten technischer Systeme

1.7 Diagramme7.1 Ohmsches Gesetz7.4 Schaltung v. Widerständen

Warten technischer Systeme

1.7 Diagramme7.1 Ohmsches Gesetz7.4 Schaltung v. Widerständen

5 Fertigen von Einzelteilen mit Werkzeugmaschinen

3.2.1 Prozesskennwerte Stichproben4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)

Formgeben von Bauele-menten durch spanende Fertigung

4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)4.1.4 Indirektes Teilen

6 Installieren und in Betrieb nehmen steu-erungstechnischer Systeme

6.1 Pneumatik u. Hydraulik6.2 Logische Verknüpfungen (1)9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung

Herstellen technischer Teilsys teme des Werk-zeugbaus

4.3.1 Biegen, Rückfedern4.3.2 Tiefziehen4.4 Exzenter- und Kurbelpressen

7 Montieren von tech-nischen Teilsystemen

5.3 Festigkeitsberechnungen2.5.2 Lagerkräfte5.2.1 Zugversuch

Fertigen mit numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen

1.4 Berechnungen im Dreieck (1)4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (1)

8 Fertigen auf numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen

1.4 Berechnungen im Dreieck4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen

Planen und in Betrieb nehmen steuerungs-technischer Systeme

6.1 Pneumatik und Hydraulik6.2 Logische Verknüpfungen7.1 Ohmsches Gesetz7.2 Leiterwiderstand

9 Instandsetzen von tech-nischen Sys temen

2.6 Reibung5.1 Wärmetechnik (2)4.7.4 Kostenrechnung (2)

Herstellen von form-gebenden Werkzeug-oberflächen

4.1.7 Hauptnutzungszeit beim Schneiden2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungs-

grad7.6 Wechselspannung und Wechselstrom

10 Herstellen und in Be-trieb nehmen von tech-nischen Systemen

2.2 Zahnradmaße2.3 Übersetzungen2.7 Arbeit, Energie, Leistung, Wirkungs-

grad7.6 Wechselspannung und Wechselstrom7.7 El. Leistung7.8 El. Energiekosten

Fertigen von Bauele-menten in der rechner-gestützten Fertigung

1.4 Berechnungen im Dreieck4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen (2)

11 Überwachen der Produkt- und Prozess-qualität

3.2 Qualitätsmanagement9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am

Bsp. eines Stirnradgetriebes

Herstellen der tech-nischen Sys teme des Werkzeugbaus

4.2 Trennen durch Schneiden5.2 Werkstoffprüfung5.3 Festigkeitsberechnungen

12 Instandhalten von tech-nischen Sys temen

5.2 Werkstoffprüfung5.3 Festigkeitsberechnungen

In Betrieb nehmen und Instandhalten von tech-nischen Systemen des Werkzeugbaus

3.2 Qualitätsmanagement (1)7.7 El. Leistung7.8 El. Energiekosten9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug

13 Sicherstellen der Be-triebsfähigkeit automati-sierter Systeme

6.2 Logische Verknüpfungen (2)9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung9.10 Projekt: Elektropneumatik

Planen und Fertigen technischer Systeme des Werkzeugbaus

4.5 Spritzgießen9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug9.6 Projekt: Tiefziehwerkzeug

14 Planen und Realisieren technischer Systeme

9.1 Projekt: Vorschubantrieb einer CNC-Fräsmaschine

9.2 Projekt: Hubeinheit

Ändern und Anpassen technischer Systeme des Werkzeugbaus

3.2 Qualitätsmanagement (2)9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am

Bsp. eines Stirnradgetriebes

15 Optimieren von tech-nischen Systemen

9.3 Projekt: Zahnradpumpe9.4 Projekt: Hydraulische Spannklaue

– –

lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch Metall 7

Lernfelder für Zerspanungs- und Feinwerkmechaniker und die hierzu passenden Abschnitte im Rechenbuch MetallLern-feld

Zerspanungs-mechaniker

Kapitel im Rechenbuch Feinwerk- mechaniker

Kapitel im Rechenbuch

1 Fertigen von Bauele-menten mit handge-führten Werkzeugen

1.6.1 Längen1.6.2 Flächen1.6.3 Volumen1.6.4 Masse1.6.5 Gewichtskraft3.1.1 Maßtoleranzen4.3.1 Umformen, Biegen

Fertigen von Bauele-menten mit handge-führten Werkzeugen

1.6.1 Längen1.6.2 Flächen1.6.3 Volumen1.6.4 Masse1.6.5 Gewichtskraft3.1.1 Maßtoleranzen4.3.1 Umformen, Biegen

2 Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen

3.1.2 Passungen (1)2.1.1 Konstante Bewegungen4.1.1 Drehen (vc; n; f)4.1.2 Bohren (vc; n; f)4.1.3 Fräsen (vc; n; f)4.7.4 Kostenrechnen

Fertigen von Bauele-menten mit Maschinen

3.1 Passungen (1)2.1.1 Konstante Bewegungen4.1.1 Drehen (vc; n; f)4.1.2 Bohren (vc; n; f)4.1.3 Fräsen (vc; n; f)4.7.4 Kostenrechnen

3 Herstellen von ein-fachen Baugruppen

2.4 Kräfte 2.5 Hebel2.8 Einfache Maschinen

Herstellen von ein-fachen Baugruppen

2.4 Kräfte 2.5 Hebel2.8 Einfache Maschinen

4 Warten technischer Systeme

1.7 Diagramme7.1 Ohmsches Gesetz7.4 Schaltung v. Widerständen

Warten technischer Systeme

1.7 Diagramme7.1 Ohmsches Gesetz7.4 Schaltung v. Widerständen

5 Herstellen von Bauele-menten durch spanende Fertigungsverfahren

3.1 Passungen (2)4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)

Herstellen von Dreh- und Frästeilen

3.1 Passungen (2)4.1.1 Drehen (Fc; Pc; th)4.1.2 Bohren (Fc; Pc; th)4.1.3 Fräsen (Fc; Pc; th)

6 Warten und Inspizieren von Werkzeugmaschi-nen

4.7.1 Standzeit, -menge, -weg4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit5.3.3 Flächenpressung2.5.2 Lagerkräfte 2.6 Reibung

Programmieren und Fertigen auf numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen

1.4 Berechnungen im Dreieck4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen4.7.5 Maschinenstundensatz4.7.6 Deckungsbeitrag

7 In Betrieb nehmen steuerungstechnischer Systeme

6.1 Pneumatik und Hydraulik6.2 Logische Verknüpfungen9.3 Projekt: Zahnradpumpe

Herstellen technischer Teilsysteme

5.2.1 Zugversuch5.2.2 Elastizitätsmodul und Hookesches

Gesetz5.1.2 Längen- und Volumenänderung5.3.3 Flächenpressung2.5.2 Lagerkräfte (1)2.6 Reibung

8 Programmieren und Fertigen mit numerisch gesteuerten Werkzeug-maschinen

4.1.6 Koordinaten in NC-Programmen3.2.1 Qualitätsmanagement

Planen und in Betrieb nehmen steuerungs-technischer Systeme

6.1 Pneumatik und Hydraulik6.2 Logische Verknüpfungen9.9 Projekt: Pneumatische Steuerung9.10 Projekt: Elektropneumatik

9 Herstellen von Bauele-menten durch Feinbear-beitungsverfahren

4.1.5 Schleifen (th) 4.1.7 Abtragen und Schneiden (th)3.1.3 ISO-Passungen

Instandhalten von Funk-tionseinheiten

2.5.2 Lagerkräfte (2)4.7.1 Standzeit, -menge, -weg4.7.2 Durchlauf-, Belegungszeit5.3.3 Flächenpressung

10 Optimieren des Ferti-gungsprozesses

2.7.3 Mechanische Leistung3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit4.1 Spanende Fertigung (Schnittleis tung,

Hauptnutzungszeit)4.7 Fertigungsplanung

Feinbearbeiten von Flächen

4.1.5 Schleifen (th) 4.1.7 Abtragen und Schneiden4.7.3 Auftragszeit4.7.4 Kostenrechnung

11 Planen und Organisie-ren rechnergestützter Fertigung

3.2.4 Statistische Prozesslenkung (Urliste, Histogramm, Qualitäts-regelkarte, Standardabweichung, Prozessbewertung).

Herstellen von Bauteilen und Baugruppen aus Kunststoff

4.5 Spritzgießen9.7 Projekt: Spritzgießwerkzeug9.5 Projekt: Folgeschneidwerkzeug

12 Vorbereiten und Durch-führen eines Einzelferti-gungsauftrages

4.1 Spanende Fertigung: Schnittdaten, Schnittkräfte

9.4: Projekt Hydraulische Spannklaue4.7.5 Maschinenstundensatz4.7.6 Deckungsbeitrag

Planen und Organisie-ren rechnergestützter Fertigung

3.2.1 Prozesskennwert aus Stichproben-prüfung

13 Organisieren und Überwachen von Ferti-gungsprozessen in der Serienfertigung

9.11 Projekt: Zerspanungsmechanik9.8 Projekt: Qualitätsmanagement am

Beispiel eines Stirnradgetriebes

Instandhalten tech-nischer Systeme

3.2.3 Maschinen- und Prozessfähigkeit4.1 Spanende Fertigung (Schnittleis tung,

Hauptnutzungszeit)4.7 Fertigungsplanung

14 – – Fertigen von Schweiß-konstruktionen1)

4.6.2 Schmelzschweißen8.14 Fügen (Lötverbindungen)

15 – – Montieren, Demontieren und in Betrieb nehmen technischer Systeme1)

2.7 Arbeit, Leistung, Wirkungsgrad3.2 Qualitätsmanagement7 Elektrotechnik

16 – – Programmieren auto-matisierter Systeme und Anlagen1)

8.8 + 8.9 Qualitätsmanagement9.10 Projekt: Elektropneumatik

1) Schwerpunkt Maschinenbau

8

Mathematische und physikalische Begriffe

Begriffe Erklärung Beispiele

Größen und Einheiten

Physikalische Größen

Physikalische Größen sind objektiv messbare Eigen schaften von Zuständen und Vorgängen. Eine physi kalische Größe ist das Produkt eines Zahlenwertes mit einer Einheit.

Bei der länge Œ = 30 mm ist 30 der Zahlenwert und mm (Millimeter) die Einheit.

Basisgröße Man unterscheidet Basisgrößen und Basiseinheiten. Sie sind im internationalen Einheitensystem (Sl = Système Internatio-nal) festgelegt.

Basisgröße Formelzeichen

längeMasse

Œm

Basiseinheit Basiseinheit Zeichen

MeterKilogramm

mkg

Abgeleitete Größen und abgeleitete Einheiten

Die abgeleiteten Größen und deren Einheiten setzen sich aus den Basisgrößen und deren Einheiten zu sammen.

Kraft = Masse · Beschleunigung

Umrechnung von Einheiten

Einheiten können in größere oder kleinere Einheiten oder an-dere Maßsysteme umgerechnet werden.

1 11 000

11 000

1 1 103

·kg kgg

kgg

dm d

= =

= =— —— = 0 001 3, m

Gleichungen und Formeln

Gleichungen Gleichungen beschreiben die Abhängigkeit mathe matischer oder physikalischer Größen voneinander.

16 + 9 = 100 – 75x + 15 = 25

Formeln technische oder physikalische Gleichungen mit Formelzeichen bezeichnet man als Formeln.

s = v · t(Weg = Geschwindigkeit • Zeit)

Formel zeichen Formelzeichen bestehen aus kursiv gedruckten Buchstaben und kennzeichnen Größen. Sie ersetzen Wörter und dienen zum Rechnen mit Formeln.

m für MasseA für Fläche

Größen-gleichungen

Größengleichungen stellen Beziehungen zwischen physi-kalischen Größen dar. Sie sind unabhängig von der Wahl der Einheit und können Zahlenwerte, z.B. p, mathematische Zeichen, z.B. 022, enthalten.Kennzeichnung in diesem Buch: rote Umrandung.

Zahlenwert-gleichungen

Die Zahlenwerte aller Formelzeichen sind an vorge gebene Ein-heiten gebunden. Der Zahlenwert des Ergebnisses erhält die gewünschte Einheit nur dann, wenn alle Zahlenwerte der Glei-chung in den jeweils vorgeschriebenen Einheiten eingesetzt werden. Kennzeichnung in diesem Buch: graue Umrandung.

P in kWQ in —/minp in bar

Zahlenwerte

Konstanten Konstanten sind gleichbleibende Zahlenwerte oder Größen bei Berechnungen in der Mathematik und Physik.

p = 3,141 592 654... (Kreiszahl)c fi 300 000 km/s (lichtge-

schwindigkeit im Vakuum)

Koeffi zienten Koeffi zienten sind Größen, die den Einfl uss einer Stoffeigen-schaft auf einen physikalischen Vorgang kennzeichnen.

a = 0,000 012 1/K (a = längenausdehnungs -

koeffi zient für Stahl)

Runden Es gilt DIN 1333: Ist die über die angegebene Stel lenzahl hinausgehende Ziffer = 5 oder > 5, wird auf gerundet. Ist die Ziffer < 5, wird abgerundet.

25,5 N fi 26 N18,79 kg fi 18,8 kg164,4 cm3 fi 164 cm3

1 1 12 2

··

N kgms

kg ms

= =

dA

=4 ·p

PQ p

=·

600

Mathematische und physikalische Begriffe

9

1.1 Zahlensysteme

Beim Rechnen wird allgemein das dezimale Zahlensystem verwendet. Die elektronische Datenverarbeitung (EDV) und die Automatisierungstechnik bauen jedoch auf dem dualen und hexadezimalen Zahlemsystem auf, weil die elektronischen Bauelemente nur binäre1) Informationen, d. h. die Zustände 0 und 1, verarbeiten können.Zahlensysteme setzen sich aus der Basis und den Zeichen zusammen (Tabelle 1).

Bezeichnungen:z10 Kurzzeichen für eine Dezimalzahl2)z2 Kurzzeichen für eine Dualzahl3)z16 Kurzzeichen für eine Hexadezimalzahl2)

1.1.1 Dezimales Zahlensystem

Beim dezimalen Zahlensystem werden die Ziffern 0 bis 9 verwendet. Alle Zahlen können als Zehnerpotenzen geschrieben werden.Beispiel: Dezimalzahl z10 = 857 z10 = 8 · 102 + 5 · 101 + 7 · 100 = 800 + 50 + 7 = 857

Die Zehnerpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren (Tabelle 2).

1.1.2 Duales (binäres) Zahlensystem

Beim dualen Zahlensystem werden lediglich die Ziffern „0“ und „1“ verwendet. Alle Zahlen werden als Potenzen der Basis 2 dargestellt (Tabelle 2).

Umwandlung von Dezimal- in DualzahlenBeispiel: Die Dezimalzahl z10 = 14 ist in eine Dualzahl

umzuwandeln.Lösung: Die Dezimalzahl wird durch die höchstmög

liche Zweierpotenz dividiert (Tabelle 3). Der verbleibende Rest wird wiederum durch die höchstmögliche Zweierpotenz dividiert, usw. Die Zweierpotenzen werden nicht geschrieben, sondern nur die Faktoren: z2 = 1110

Umwandlung von Dual- in DezimalzahlenBeispiel: Die Dualzahl z2 = 1101 ist in eine Dezimalzahl

umzuwandeln.Lösung: Sämtliche Ziffern der Dualzahl erhalten un

terschiedliche Zweierpotenzen. Die letzte Ziffer wird mit der Potenz 20, die vorletzte mit 21, die davor mit 22 usw. multipliziert. Danach werden die Potenzwerte berechnet und addiert (Tabelle 4).

1) binär (lat.) aus zwei Einheiten bestehend2) hexa (griech.) = sechs, dezimal (lat.) = 103) dual (lat.) aus zwei Einheiten bestehend

1 Grundlagen der technischen Mathematik

Tabelle 1: ZahlensystemeZahlensystem Basis Zeichen

Dual 2 0, 1Dezimal 10 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Hexadezimal 16 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,

A, B, C, D, E, F

Tabelle 2: Dezimal-, Dual- und Hexadezimal-zahlen

Zahlen im Dezimal-system

Zahlen im DualsystemZahlen im

Hexadezimal-system

Zehnerpotenzen

ZweierpotenzenSechzehner

potenzen101 100 24 23 22 21 20 162 161 160

0 0 0 0 0 0 01 0 0 0 0 1 12 0 0 0 1 0 23 0 0 0 1 1 34 0 0 1 0 0 45 0 0 1 0 1 56 0 0 1 1 0 67 0 0 1 1 1 78 0 1 0 0 0 89 0 1 0 0 1 9

1 0 0 1 0 1 0 A1 1 0 1 0 1 1 B1 2 0 1 1 0 0 C1 3 0 1 1 0 1 D1 4 0 1 1 1 0 E1 5 0 1 1 1 1 F1 6 1 0 0 0 0 1 0

Tabelle 3: Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Dualzahl

Rechenvorgang 23 22 21 20

14 : 23 = 14 : 8 = 1 (Rest 6) 1

16 : 22 = 16 : 4 = 1 (Rest 2) 1

12 : 21 = 12 : 2 = 1 (Rest 0) 1

10 : 20 = 10 : 1 = 0 (Rest 0) 0

Ergebnis: z2 = 1 1 1 0

Tabelle 4: Umwandlung einer Dualzahl in eine Dezimalzahl

z2 1 1 0 1

Zweierpotenz 1 · 23 1 · 22 0 · 21 1 · 20

Potenzwert 8 4 0 1z10 = 8 4 0 1

z10 = 13

+ + +

Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme

10

1.1.3 Hexadezimales Zahlensystem

Bei Mikroprozessoren verwendet man häufig auch das hexadezimale Zahlensystem. Bei diesem werden neben den Ziffern 0 bis 9 auch die Buchstaben A bis F benützt. Es hat den Vorteil, dass we niger Zeichen benötigt werden, als dies beim dezimalen und dualen Zahlensystem der Fall ist.Die Zahlen werden in Potenzen der Basis 16 angegeben (Tabelle 2, vorherige Seite), z. B. z16 = 1A (≙ z10 = 26).

Umwandlung von Dezimalzahlen in Hexa dezimalzahlen

Beispiel: Die Dezimalzahl z10 = 2007 ist in eine Hexadezimalzahl umzuwandeln.

Lösung: Die Dezimalzahl wird durch die höchstmögliche 16erPotenz dividiert. Der verbleibende Rest wird wiederum durch die höchstmögliche 16erPotenz dividiert usw. Ist der Rest schließlich nicht mehr ganzzahlig durch 16 teilbar, wird er in einer entspre chenden Hexadezimalziffer ausgedrückt (Tabelle 1).

Aufgaben Zahlensysteme

1. Umwandlung von Dezimalzahlen (Tabelle 3). Die Dezimalzahlen sind in Dualzahlen sowie in Hexadezimalzahlen umzuwandeln.

Tabelle 3 a b c d e f g h iDezimalzahl 24 30 48 64 100 144 150 255 2 000

2. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 4). Wandeln sie die folgenden Dualzahlen in Dezimalzah len um.

Tabelle 4 a b c d e fDualzahl 100 10 10 1 11 11 11 00 11 11 11 00 00 11 11 11 11

3. Umwandlung von Hexadezimalzahlen (Tabelle 5). Die Hexadezimalzahlen sind in Dezimalzah len und in Dualzahlen umzuwandeln.

Tabelle 5 a b c d e fHexadezimalzahl 68 A0 96 8F ED FF

4. Umwandlung von Dualzahlen (Tabelle 6). Die Dualzahlen sind in Hexadezimalzahlen umzuwandeln.

Tabelle 6 a b c d e fDualzahlen 10 10 10 11 10 00 11 00 11 00 11 10 00 11 10 01 00 10 10 00 01 11

Tabelle 1: Umwandlung einer Dezimalzahl in eine Hexadezimalzahl

Rechenvorgang 16er-Potenzen

162 161 160

2007 : 162 = 7 Rest 215 7

215 : 161 = 13 (≙ D) Rest 7 D

7 : 160 = 7 7

z16 = 7 D 7

Tabelle 2: Umwandlung einer Hexadezimalzahl in eine Dezimalzahl

z16 A1) 2 F2)

16erPotenz 10 · 162 2 · 161 15 · 160

Potenzwert 2 560 32 15Dezimalzahl z10 = 2 560 + 32 + 15 = 2 607

1) A ‡ 10; 2) F ‡ 15

Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Dezimalzahlen

Beispiel: Die Hexadezimalzahl z16 = A2F ist in eine Dezimalzahl umzuwandeln.

Lösung: Sämtliche Ziffern der Hexadezimalzahlen erhalten unterschiedliche 16er Potenzen gemäß Tabelle 2. Die letzte Ziffer wird mit der Potenz 160, die vorletzte mit der Potenz 161, die davor mit der Potenz 162 usw. multipliziert. Danach werden die Potenzwerte berechnet und addiert.

Grundlagen der technischen Mathematik: Zahlensysteme

11

1.2 Grundrechnungsarten

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division zählen zu den Grundrechnungsarten. In diesem Abschnitt werden außerdem das Potenzieren, Radizieren (Wurzelziehen) und das Bruchrechnen behan delt. Die Einführung der Rechenregeln wird mit Zahlenbeispielen erläutert. Die daraus abgeleiteten Beispiele aus der Algebra führen in das technische Rechnen mit Formeln ein.

1.2.1 Variable

In der Algebra werden Variable (Platzhalter) eingesetzt, die beliebige Zahlenwerte darstellen können (Tabelle 1). Als Variable werden meist Kleinbuchstaben verwendet.

1.2.2 Klammerausdrücke (Klammerterm)

Mathematische Ausdrücke können mit Klammern zusammengefasst werden. Die in Klammern stehenden Werte müssen zuerst berechnet werden. Die Rechenregeln sind in Tabelle 2 beschrieben.

Tabelle 2: KlammerausdrückeRechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel

Pluszeichen vor der KlammerKlammern, vor denen ein Pluszeichen steht, können weggelas sen werden. Die Vorzeichen der Glieder bleiben unverändert.

16 + (9 – 5) = 16 + 9 – 5 = 20

a + (b – c) = a + b – c

Minuszeichen vor der KlammerKlammern, vor denen ein Minuszeichen steht, können nur auf gelöst (weggelassen) werden, wenn alle Glieder in der Klammer entgegengesetzte Vorzeichen erhalten.

16 – (9 – 5) = 16 – 9 + 5 = 12

a – (b – c) = a – b + c

1.2.3 Strich- und Punktrechnungen

Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division können auf Grund ihrer Rechenzeichen in Strich (–, +) und Punktrechnungen (·, :) unterteilt werden.

Strichrechnungen

Zu den Strichrechnungen zählen die Addition und die Subtraktion. Die Rechenregeln für Strichrechnungen können Tabelle 3 entnommen werden.

Tabelle 3: Rechenregeln für die StrichrechnungenRechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel

Vertauschungsgesetz Zahlen und Buchstaben können ver tauscht werden.

3 – 9 + 7 = 7 + 3 – 9 = –9 + 3 + 7 = 1

a – b + c = a + c – b = –b + a + c

Zusammenfassung Einzelne Glieder können zu Teilsum men zusammengefasst werden.

3 + 7 – 9 = (3 + 7) – 9

a + b – c = (a + b) – c

Summieren von Variablen Nur gleiche Variable können addiert oder subtrahiert werden.

– 18a – 3a + 2b – 5b = 15a – 3b

Tabelle 1: Schreibweisen von VariablenZeichen Beispiele

Das Multiplikationszeichen zwischen Zahl und Variable kann weggelassen werden

3 · a = 3a a · b = ab

Der Faktor 1 wird meist nicht geschrieben 1 · b = b

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

12

Punktrechnungen

Multiplikationen und Divisionen bezeichnet man als Punktrechnungen. Die Rechenregeln für die Multiplikation sind in der Tabelle 1 zusammengestellt.

Tabelle 1: Rechenregeln für die MultiplikationRechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel

Vertauschungsgesetz: Faktoren dürfen vertauscht werden.

3 · 4 · 5 = 4 · 3 · 5 = 5 · 3 · 4 = 5 · 4 · 3

a · b · c = b · a · c = c · a · b = c · b · a

Vorzeichenregeln

Gleiche Vorzeichen Haben zwei Faktoren gleiche Vorzeichen, so wird das Produkt positiv; + mal + = +; – mal – = +

2 · 5 = 10 (–2) · (–5) = +10 = 10

a · x = ax (–a) · (–x) = +ax = ax

Ungleiche Vorzeichen Haben zwei Faktoren verschiedene Vorzeichen, so wird das Produkt negativ; – mal + = –; + mal – = –

3 · (–8) = –24 (–3) · 8 = –24

a · (–x) = –ax (–a) · x = –ax

Produkte mit Klammern

Faktor mit Klammer: Ein Klammerausdruck wird mit einem Faktor multipliziert, in dem man jedes Glied der Klammer mit dem Faktor multipliziert. Wenn möglich, sollte man zuerst den Inhalt der Klammer zusammenfassen und dann den Wert der Klammer mit dem Faktor multiplizieren.

7 · (4 + 5) = 7 · 4 + 7 · 5 = 63 oder: 7 · (4 + 5) = 7 · 9 = 63

a · (b + 2b) = a · 3b = 3ab

Klammer mit Klammer Zwei Klammerausdrücke werden miteinander multipliziert, indem man jedes Glied der einen Klammer mit jedem Glied der anderen Klammer multipliziert. Bei Zahlen können auch zuerst die Klammerausdrücke berechnet und danach kann das Produkt gebildet werden.

(3 + 5) · (10 – 7) = 3 · 10 + 3 · (–7) + 5 · 10 + 5 · (–7) = 30 – 21 + 50 – 35 = 24 oder: (3 + 5) · (10 – 7) = 8 · 3 = 24

(a + b) · (c – d) = ac – ad + bc – bd

Die Rechenregeln für die Division sind in Tabelle 2 dargestellt. Das Rechenzeichen für die Division ist der Doppelpunkt (:) oder der Bruchstrich.

Tabelle 2: Rechenregeln für die DivisionRechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel

Bruchstrich entspricht Klammer Der Bruchstrich fasst Ausdrücke in gleicher Weise zusam men wie eine Klammer und ersetzt das Divisionszeichen.

3 42

3 4 2+

= + =( ) : 3,5a b+

= +2

a b2 2

Vertauschungsgesetz gilt nicht! Zähler und Nenner dürfen nicht vertauscht werden.

3 4 4 334

43

: :≠

≠

a b b aab

ba

: :≠

≠

Vorzeichenregel

Gleiche Vorzeichen Haben Zähler und Nenner gleiche Vorzeichen, so ist das Ergebnis positiv. + geteilt durch + = + – geteilt durch – = +

153

15 3

153

15 3

= =

−−

= − − =

:

( ) : ( )

5

+5

ab

–a–b

=

=

ab

ab

Ungleiche Vorzeichen Haben Zähler und Nenner unterschiedliche Vorzeichen, so ist das Ergebnis negativ. + geteilt durch – = – – geteilt durch + = –

153

15 3

153

15 3

–: ( )

( ) :

= − =

−= − =

–5

–5

a–b

–ab

=

=

–

–

ab

ab

Klammerausdrücke

Klammer geteilt durch Wert Ein Klammerausdruck wird durch einen Wert (Zahl, Buch stabe, Klammerausdruck) dividiert, indem man jedes ein zelne Glied in der Klammer durch diesen Wert dividiert. Man kann auch den Klammerausdruck erst berechnen und danach dividieren.

(16 – 4) : 4 = 16 : 4 – 4 : 4 = 4 – 1 = 3 oder (16 – 4) = 12 : 4 = 3

a bb

ab

bb

––= =

ab

– 1

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

13

Gemischte Punkt- und Strichrechnungen

Kommen in einer Rechnung sowohl Strich als auch Punktrechnungen oder Klammern vor, so ist die Reihenfolge der Lösungsschritte zu beachten. Die Rechenregeln sind in Tabelle 1 zusammengestellt.

Tabelle 1: Rechenregeln für gemischte Punkt- und StrichrechnungenReihenfolge der Lösungsschritte Zahlenbeispiele Algebraische Beispiele

1. Punktrechnungen 2. Strichrechnungen

8 · 4 – 18 · 3 = 32 – 54 = –22

3a · 2b – 4a · 6b = 6ab – 24ab = –18ab

164

205

183

4 4 6+ − = + − = 216

43 6

24 3 3

a bb

cc

a+ − = + − = 4a

Klammerausdrücke sowie gemischte Punkt- und Strichrechnungen:

1. Klammern 2. Punktrechnungen 3. Strichrechnungen

8 · (3 – 2) + 4 (16 – 5) = 8 · 1 + 4 · 11 = 8 + 44 = 52

a · (3x + 5x) – b · (12y – 2y) = a · 8x – b · 10y = 8ax – 10by

Aufgaben Gemischte Punkt- und Strichrechnungen

Die Ergebnisse der Aufgaben 1 bis 5 sind zu berechnen und auf 2 Dezimalstellen nach dem Komma zu runden.

1. a) 217,583 – 27,14 · 0,043 + 12 c) 7,1 + 16,27 + 14,13 · 17,0203 e) 857 – 3,52 · 97,25 – 16,386 + 1,1

b) 16,25 + 14,12 · 6,21 d) 74,24 – 1,258 · 12,8 f) 119,2 + 327,351 – 7,04 · 7,36

2. a) 17,13 + 13,25 + 15,35 : 2 b) 34,89 + 241,17 : 21,35 – 12,46 : 2,2

3. a) 243 : 0,04 – 92,17 – 13,325 + 124,3 : 3,5 b) 507 : 0,05 – 261,17 – 114,325 + 142,3 : 18,4

4. a) 18 · (–5) + (–3) · (–7)

c)

b) 120 : (–6) – (–15) : 5

d)

5. a)

c)

b)

d)

Die Ergebnisse der Aufgaben 6 bis 8 sind zu berechnen.

6. a) 3a · 4b – 10a · 2b c) –8m · 2n + 7,5m · (–2n)

b) 25x · (–10y) + 13x · (–5y) d) (–16a) · (–5c) – (–5a) · (–2c)

7. a)

c)

b)

d)

8. a) –3a · (8x – 5x) – 2a · (20x – 12x) b) –3x · (8x – 5x) + 3x · (–12x – 33x)

− +−

9616

6515

14837

8517

− −

24 75 1512 6

38 7 2 080 36

44 2 13 120 05

,,

, ,,

, · ,,

+ + − −−−1 7,

( , , ) ·, ,

,23 7 2 8

15 1 3 716 9

− −

34 223 4 8 6

2 413 8 22 7

27 3 520 6, ·

, ,,

, ,,

· ,− − +

−25 20 1 16 5834 85 2 97 4 6

· ( , , )( , , ) · ,

−−

3010

152

xy

xy

+

7 52 5

3322

,,

xy

xy

+

1215

301 5

mn

mn

−,

−−

− −−

28

1560

xy

xy

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

14

1.2.4 Bruchrechnen

Der Bruchterm ist ein Zahlenverhältnis und besteht aus dem Zähler und dem Nenner. Der Nenner ist die Bezugsgröße und gibt die Gesamtheit der Teile an. Der Zähler bezeichnet die Anzahl der Teile.Das Bruchrechnen wird in der technischen Mathematik z. B. bei Teilkopf, Kegel oder Wechselräderberechnungen angewandt. Es wird hier nur so weit behandelt, als es für die genannten Anwendungen notwendig ist. In Tabelle 1 sind verschiedene Arten von Brüchen aufgeführt.

Tabelle 1: BruchartenArt Beispiel Kennzeichen Wert Bild

Echter Bruch1354

114

Zähler < Nenner Nenner >12

5

4

1 3

Gemischte Zahl

1354

114

Ganze Zahl und ein echter Bruch

>11

Dezimalbruch 0,75 Dezimalkomma

15

Ein Produkt aus mehreren gleichen Faktoren kann abgekürzt geschrieben werden. Die abgekürzte Schreibweise nennt man Potenz; der Rechenvorgang wird als Potenzieren bezeichnet. Eine Potenz (Bild 1) besteht aus der Basis (Grundzahl) und dem Exponenten (Hochzahl). Der Exponent gibt an, wie oft die Basis mit sich selbst multipliziert werden muss.

Man unterscheidet Potenzen mit positiven und Potenzen mit ne-gativen Exponenten.

Potenzen mit positiven Exponenten

Beispiele: Fläche des Quadrats A = Œ · Œ = Œ2 (Bild 2) = 5 mm · 5 mm = (5 mm)2 = 25 mm2

Volumen des Würfels V = Œ · Œ · Œ = Œ3 (Bild 3) = 5 mm · 5 mm · 5 mm = (5 mm)3

= 125 mm3

Auch Produkte, Brüche oder Klammerausdrücke können die Basis von Potenzen sein.Beispiele: Produkt: (5a)2 = 5a · 5a = 25a2

oder (5a)2 = 52 · a2 = 5 · 5 · a · a = 25a2

Bruch:

Klammer: (a + b)2 = (a + b) · (a + b) = a2 + 2ab + b2

Potenzen mit negativen Exponenten

Eine Potenz, die im Nenner steht, kann auch mit einem negativen Exponenten im Zähler geschrieben werden. Umgekehrt kann eine Potenz mit negativem Exponenten im Zähler als Potenz mit positivem Exponenten im Nenner geschrieben werden.

Beispiele:

Potenzen mit der Basis 10 (Zehnerpotenzen)

Potenzen mit der Basis 10 werden häufig als verkürzte Schreibweise für sehr kleine oder sehr große Zahlen verwendet. Werte größer 1 können als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit positivem Exponenten, Werte kleiner 1 als Vielfaches von Zehnerpotenzen mit negativem Exponenten dargestellt werden (Bild 4 und Tabelle 1).

Die Zahl vor der Zehnerpotenz wird meist im Bereich zwischen 1 und 10 angegeben.

Beispiele: 4 200 000 = 4,2 · 1 000 000 = 4,2 · 106

0,000 0042 = 4,2 · 0,000 001 = 4,2 · 10–6

Die Schreibweise 4,2 · 106 ist übersichtlicher als 0,42 · 107 oder 42 · 105.

3 3 3 3 2733 3b b b b b

= =· ·· ·

14

4 151

1515

22 3

3= =− − ; km ·· h km

h− =1 15

1 1 1a

an

n g= =− −;min

min ; · kkW hg

kW h·

·( ) =−1

5 · 5 · 5 = 53 = 125

Exponent

Basis Potenzwert

Bild 1: Potenz

52 5

5

ö2

ö

ö

Bild 2: Quadrat

5 5

5

53ö3

ö

ö

ö

Bild 3: Würfel

1

11000

10–3

1100

110 1000100101

10–2 10–1 103102101100

Bild 4: Zehnerpotenzen

Tabelle 1: ZehnerpotenzenSchreibweise als

ausgeschriebene Zahl

Zehnerpotenz

Vorsatz bei Einheiten

1 000 000 100 000 10 000 1 000

100 1010,1 0,01 0,001 0,000 1 0,000 01 0,000 001

106 105 104 103 102 101

100

10–1 10–2 10–3 10–4 10–5 10–6

Mega (M) – – kilo (k) hekto (h) deka (da) – deci (d) centi (c) milli (m) – – mikro (µ)

Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

1.2.5 Potenzieren

16 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

Beim Rechnen mit Potenzen gelten besondere Regeln (Tabelle 1):

Tabelle 1: PotenzierenRechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel

1. Addition und Subtraktion von Potenzen

Potenzen dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie sowohl denselben Exponenten als auch dieselbe Basis haben.

2 · 52 + 4 · 52 = 52 · (2 + 4) = 52 · 6

a3 + a3 = 2a3axn + bxn

= (a + b) · xn

2. Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden multipliziert, indem man die Exponenten addiert und die Basis beibehält.

32 · 33 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 35

oder:

32 · 33 = 3(2 + 3) = 35

x 4 · x 2 = x · x · x · x · x · x = x 6

oder:

x 4 · x 2 = x (4 + 2) = x 6

x m · x n = x m + n

3. Multiplikation von Potenzen mit gleichem Exponenten

Potenzen mit gleichem Exponenten werden multipliziert, indem man ihre Basen multipliziert und den Exponenten beibehält.

42 · 62

= (4 · 6)2 = 242 = 576

6x 2 · 3y 2 = 18x 2y 2 = 18(x · y)2

x n · y n = (xy)n

4. Division von Potenzen mit gleicher Basis

Potenzen mit gleicher Basis werden dividiert, indem man ihre Exponenten subtrahiert und die Basis beibehält.

oder:

43 : 42 = 43 – 2 = 41 = 4

mm

m m mm m

m

m mmm

m m

3

2

3 23

23

= =

= =

· ··

:

: ·

oder

−−

−= = =

2

3 2 1m m m

xx

x x

x

m

nm n

m n

=

=

−

−

·

5. Division von Potenzen mit gleichen Exponenten

Potenzen mit gleichen Exponenten werden dividiert, indem man ihre Basen dividiert und den Exponenten beibehält.

153

153

5

25

2

2

22=

=

=

ab

ab

3

3

3

=

ab

ab

n

n

n

=

6. Multiplikation von Potenzen mit einem Faktor

Werden Potenzen mit einem Faktor multipliziert, so muss zuerst der Wert der Potenz berechnet werden.

6 · 103 = 6 · 1 000 = 6 000 – –

7. Potenzwert mit dem Exponenten Null

Jede Potenz mit dem Exponenten Null hat den Wert 1.

1010

10 10 14

44 4 0= = =− (m + n)0 = 1

a0 = 1

a Ï0

23

13

13

32 2 2

2− = = −7 4 3

3d d d

dn n n

n− = = −·ax

bx

a bx

a b x

n n n

n

+ =+

= + −( ) ·

44

4 4 44 4

43

2= =

· ··

7 107

1000 072· ,− = =

17Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

Das Radizieren1) oder Wurzelziehen ist die Umkehrung des Potenzierens. Eine Wurzel besteht aus dem Wurzelzeichen, dem Radikanden und dem Wurzelexponenten (Bild 1). Der Radikand steht unter dem Wurzelzeichen; aus dieser Zahl wird die Wurzel gezogen. Der Wurzelexponent steht über dem Wurzelzeichen und gibt an, in wie viel gleiche Faktoren der Radikand aufgeteilt werden soll.Eine Wurzelrechnung kann auch in Potenzschreibweise dargestellt werden. Der Radikand erhält im Exponenten einen Bruch. Der Zähler entspricht dem Exponenten des Radikanden, der Nenner entspricht dem Wurzelexponenten.Beispiel:

Quadratwurzel16 (sprich QuadratWurzel aus 16 oder Wurzel aus 16) bedeutet,

man sucht eine Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert 16 ergibt.Beispiel: 16 = 4, denn 4 · 4 = 16Der Wurzelexponent 2 bei der Quadratwurzel wird meist weggelassen.Beispiel:

Kubikwurzel273 (sprich 3. Wurzel aus 27 oder Kubikwurzel aus 27) bedeutet,

dass man eine Zahl sucht, die dreimal mit sich selbst multipliziert den Wert 27 ergibt.Beispiel: 273 = 3, denn 3 · 3 · 3 = 27

9 9 91212= =

16 16 4 4 4 4 16 42 22= = = = =·

1) radix (lateinisch) Wurzel

Wurzelexponent

Wert der Wurzel

Radikand

2

16 = 4

Bild 1: Darstellung einer Wurzel

Schreibweisen einer Wurzel

a a an n= =112

Quadratwurzel

a a a a2222 1= = =

Kubikwurzel

a a a a3333 1= = =

Tabelle 1: Radizieren Rechenregel Zahlenbeispiel Algebraisches Beispiel Formel

1. Addition und Subtraktion von Wurzeln

Wurzeln dürfen nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie gleiche Exponenten und Radikanden haben. Man addiert (subtrahiert) die Faktoren und behält die Wurzel bei.

2 6 3 6

2 3 6

5 6

+

= +

=

( )

8 3

8 3

5

m m

m

m

−

= −

=

( )a m b m

a b m

+

= +( )

2. Radizieren eines Produktes Ist der Radikand ein Produkt, so kann

die Wurzel entweder aus dem Produkt oder aus jedem einzelnen Faktor gezogen werden.

9 16 144 12

9 16 9 163 4 12

·

· ··

= =

== =

odera b a b· ·3 3 3= ab a bn n n= ·

3. Radizieren einer Summe oder Differenz

Ist der Radikand eine Summe oder eine Differenz, so kann nur aus dem Ergebnis die Wurzel gezogen werden.

9 16 25 5

5 4 25 16

9 3

2 2

+ = =

− = −

= =

odera b (a b)− = −3 3 a b (a b)n n− = −

4. Radizieren eines Quotienten Ist der Radikand ein Quotient (Bruch),

so kann die Wurzel aus dem Quotienten oder aus Zähler und Nenner getrennt gezogen werden.

925

0 36 0 6

925

9

25

35

0 6

= =

= = =

, ,

,

oderab

a

b4

4

4=

ab

a

bn

n

n=

1.2.6 Radizieren ( Wurzelziehen)

18 Grundlagen der technischen Mathematik: Grundrechnungsarten

Aufgaben Potenzieren und Radizieren (Wurzelziehen)

1. Potenzschreibweise. Die Ausdrücke der Aufgaben a bis f sind in Potenzform zu schreiben.

a) 4a · 2a · a b) 16 dm · 2 dm · 4 dm c) 2,5 m · 6 m · 1,3 m

d)

e)

f) 16 m2 : 8 m

2. Zehnerpotenzen. Die Zahlen sind in Zehnerpotenzen zu verwandeln.

a) 100; 1 000; 0,01; 0,001; 1 000 000; 1/1 000 000 b) 55 420; 1 647 978; 356 763; 33 200

c) 0,033; 0,756; 0,0021; 0,000 02; 0,000 000 1 d) 1/10; 5/100; 7/1 000; 33/100; 321/1 000

3. Potenzschreibweise. Die folgenden Zahlen sind in Zehnerpotenzen umzuformen.

a) Lichtgeschwindigkeit c = 299 790 000 m/s

b) Umfang des Äquators U = 40 076 594 m

c) Mittlerer Abstand der Erde von der Sonne R = 149,5 Millionen km

d) Oberflächen der Erde O = 510 100 933 km2

4. Addition und Subtraktion. Die Potenzen sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.

a) 5b3 + 7b3 + 3b3 b) 9m3 – 9n3 + 12n3 – 5m3 – n3

c) 15x4y – 3x2y 3 – 5x4y d) 2,6a2 + 5,9a3 – 3,1a3 + 19,7a2 – a3

5. Multiplikation und Division. Die Potenzen sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.

a) 42 · 43 b) a5 · a4 c) 2x2 · 4x · 5x3 d) 0,5b3 · 1,3b2 e) 441x6 : 21x2

f) 51a4b3 : 17a2b3 g)

h)

i)

k)

6. Berechnung von Wurzeln. Folgende Wurzeln sind zu berechnen bzw. vereinfacht zu schreiben.

a)

b)

7. Wurzeln mit Variablen. Wie groß ist für die folgenden Werte?

a) x = 8; y = 6 b) x = 10 m; y = 7,5 m c) x = 0,48 cm; y = 0,36 cm

Wie groß ist für die folgenden Werte?

a) c = 15; b = 12 b) c = 2,5 m; b = 1,5 m c) c = 0,2 dm; b = 0,16 dm

8. Addition und Subtraktion. Die Wurzeln sind zu addieren bzw. zu subtrahieren.

9. Multiplikation und Division. Die Ausdrücke sind zu multiplizieren bzw. zu dividieren.

62

53

15

a ba

b· · 0 51

1034

, · ·cm cm cm

497

3

3

5719

2

2

6 80 17

2

2

,,

aa

( )4aa

x

x

49 100 121 169 10003; ; ; ; ; , ; , ; ,1 21 0 36 0 0083

a a a m a b2 4 33 29 8; ; · ; ( ) ;+ 22549

22516

94

2

2

2

2; ; ;

ab

cb

x y2 2+

c b2 2−

a b c) ; ) ; )a a m m m b n b+ + +2 7 2 3 dd e) ; )5 9 3 9 2− −c c c

a b c d

e

) · ) · ) · ) ·

) ·

4 9 42 7 5 20 16 49

4 2

a a

x y22 4 281 32 8 7 7f g h) · ) : ) :m n ax a

19Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen

Technische Zusammenhänge werden häufi g in mathema tischen Formeln ausgedrückt, die dann zur Lösung von Problemstellungen, zum Beispiel zur Berechnung von Geschwindigkeiten, Kräften, Beanspruchungen und Zeiten, angewandt werden.

1.3.1 Formeln ( Größengleichungen)

Formeln bestehen aus Beispiele:

Formelzeichen P für die Leistung s für den Weg t für die Zeit

Operatoren(Rechenvorschriften)

= ist gleich (Gleichheits zeichen)· Multiplikation– (Bruchstrich), Division

Konstanten p (Zahl Pi = 3,141592654...) Zahlen 4,10,112...

Beim Lösen von Aufgaben gelten die allgemeinen Rechenregeln der Mathematik (Seite 11). Anstelle der Platzhalter werden bekannte physikalische Größen (Seite 20) in die Formel eingesetzt. Anschließend kann die gesuchte Größe berechnet werden.Das Ergebnis ist ein Zahlenwert mit einer Einheit (eine sog. Grö-ße), zum Beispiel: 4 m; 12,6 s; 145 N/mm2. Die Einheiten werden vor, während oder nach der Berech nung so umgeformt, dass der Rechengang möglich wird oder im Ergebnis die gewünschte Einheit steht (Seite 19).

1. Beispiel: Leistung. Wie groß ist die Leistung in W (Watt) für die Kraft F = 220 N, den Weg s = 0,5 m und die Zeit t = 12 s?

Lösung: siehe Tabelle 1.

Umstellung von Formeln

Steht in einer Formel die gesuchte Größe nicht allein auf einer Seite, so kann sie erst nach einer Umstellung der Formel be rechnet werden (Seite 24).

2. Beispiel: Formelumstellung. Die Formel für die mechanische Leistung P ist nach der Zeit t umzustellen.

Lösung: siehe Tabelle 2.

1.3.2 Zahlenwertgleichungen

In Zahlenwertgleichungen sind die üblichen Umrechnungen von Einheiten bereits in die Formeln eingearbeitet. Beachte:

• Die Zahlenwerte der Größen dürfen nur in den vorgeschriebenen Einheiten in die Gleichung eingegeben werden.

• Die Einheiten der einzelnen Größen werden bei der Berechnung nicht mitgeführt.

• Die Einheit der gesuchten Größe (Ergebnis) ist vorgegeben.3. Beispiel: Drehmoment M. Die Hauptspindel einer Drehmaschine wird mit

der Leistung P = 25 kW angetrieben. Wie groß ist das Drehmoment bei einer Drehzahl n = 710/min?

Lösung: M

Pn

= = =9 549 9 549 25710

336 23· ·

· , ·N m N m

Beipiel: Zahlenwertgleichung Drehmoment

vorgeschriebene Einheiten

Bezeichnung EinheitM Drehmoment N · mP Leistung kWn Drehzahl 1/min

MP

n= 9 549 ·

Beispiel: Formel zur Berechnung dermechanischen Leistung

PF s

t

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 W

1.3 Technische Berechnungen

Tabelle 1: Rechnen mit Formeln

Lösungs-schritt

Rechengang

Ausgangsformel P

F st

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 W

Einsetzen der bekannten Größen

PF s

t

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 W

Berechnung der gesuchten Größe

PF s

t

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 W

Umrechnung der Einheit

in W (Watt)

PF s

t

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 W

PF s

t

P

=

=

=

=

·

· ,

,·

,

220 0 512

9 16

9 16

N ms

N ms

NN ms

W sN m

··

··

1

= 9,16 WTabelle 2: FormelumstellungBeschreibung Lösungs-

schritt

Formel PF s

t

P tF s

tt

P tP

F sP

=

=

=

=

·

··

·

· ·

·t

F ssP

beide Formelseiten mit t multiplizieren, rechte Seite kürzen

PF s

t

P tF s

tt

P tP

F sP

=

=

=

=

·

··

·

· ·

·t

F ssP

beide Formelseiten durch P dividieren, linke Seite kürzen

PF s

t

P tF s

tt

P tP

F sP

=

=

=

=

·

··

·

· ·

·t

F ssPumgestellte Formel:

PF s

t

P tF s

tt

P tP

F sP

=

=

=

=

·

··

·

· ·

·t

F ssP

20 Grundlagen der technischen Mathematik: Technische Berechnungen

In technischen Berechnungen sind die Formelzeichen aller Formeln Platzhalter für physikalische Größen (Bild 1). Sie bestehen aus einem

• Zahlenwert, der durch Messung oder Berechnung ermittelt wird, und aus einer

• Einheit, zum Beispiel m, kg, s, N. Die Größen, ihre Kurzzeichen und ihre Einheiten

sind in DIN 1301 festgelegt (Tabelle 1).

Tabelle 1: Größen und Einheiten (Auszug)Größe Basiseinheit der Größe

Bezeichnung Formel-zeichen

Kurz-zeichen

Name

Länge Œ m MeterFläche A m2 QuadratmeterVolumen V m3 KubikmeterWinkel a, b ... ° GradMasse m kg KilogrammDichte r kg/m3 Kilogramm pro KubikmeterKraft F N NewtonGewichtskraft FG N NewtonLeistung P N · m/s Newton mal Meter pro SekundeZeit t s SekundeDrehzahl n 1/min Eins pro MinuteBeschleunigung a m/s2 Meter pro Sekunde2

In allen Kapiteln des Rechenbuches sind die nötigen Formelzeichen und ihre Einheiten unter „Bezeichnungen“ zusammengefasst.

1.3.4 Darstellung großer und kleiner Zahlenwerte

Große und kleine Zahlenwerte in physikalischen Größen lassen sich durch Vorsatzzeichen übersichtlicher darstellen (Tabelle 2). Die Vorsatz zeichen stehen ohne Zwischenraum vor der Einheit, zum Beispiel µm, kN, mm, cm.

BezeichnungenZ Zahlenwert der physikalischen Größe K Kennzahl der physikalischen Größe x Umrechnungsfaktor

Aus der Kennzahl K und dem Umrechnungsfaktor x (Tabelle 2) kann der Zahlenwert der physikalischen Größe berechnet werden.

1. Beispiel: Das Lager eine NCDrehmaschine wird mit der Kraft F = 12 kN belastet. Wie groß ist die Kraft in N?

Lösung: Z = x · K; x = 103 nach Tabelle 2

Z = x · K =103 · 12 = 12 000

F = 12 000 N

2. Beispiel: Die Masse einer Stange von 2 355 g ist in kg zu berechnen.

Lösung: Z = x · K; x = 10–3 nach Tabelle 2

Z = 10–3 · 2 355 = 2,355

m = 2,355 kg

1.3.3 Größen und Einheiten

Tabelle 2: Vorsatzzeichen und Umrechnungs-faktoren

Vorsatz-zeichen

Bezeich-nung

Faktor x

P Piko 10–12

n Nano 10–9

µ Mikro 10–6

m Milli 10–3

c Zenti 10–2

d Dezi 10–1

da Deka 101

h Hekto 102

k Kilo 103

M Mega 106

G Giga 109

T Tera 1012

Beispiel: Längenangabe

Bild 1: Physikalische Größe

Beispiel: Längenangabe

Zahlenwert

125 mm

Einheit

Beispiel: Längenangabe

Bild 2: Schreibweise mit Vorsatz-zeichen

Beispiel: Längenangabe

Kenn-zahl K

Vorsatz-zeichen

15 µm

Einheit

Zahlenwert

Z = x · K