recent papers of Massachusetts Institute o Technology Cambridge, Massachusetts

7/24/2019 recent papers of Massachusetts Institute o Technology Cambridge, Massachusetts

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S O M E C U R I O U S S E Q U E N C E S C O N S T R U C T E D W I T H T H E G R E E D Y

A L G O R I T H M

A . M . O d l y z k o

B e l l L a b o r a t o r i e s

M u r r a y H i l l , N e w J e r s e y

R . P . S t a n l e y

M a s s a c h u s e t t s I n s t i t u t e o f T e c h n o l o g y

C a m b r i d g e , M a s s a c h u s e t t s

J a n u a r y 1 9 7 8

G i v e n a x e d p o s i t i v e i n t e g e r k , d e n e a s e q u e n c e S ( k ) o f p o s i t i v e i n t e g e r s 0 = a

0

< a

1

< : : :

b y t h e c o n d i t i o n s :

( i ) a

1

= k

( i i ) h a v i n g c h o s e n a

0

, a

1

; : : : ; a

n

( n 1 ) , l e t a

n + 1

b e t h e l e a s t i n t e g e r s u c h t h a t a

n + 1

> a

n

a n d s u c h t h a t t h e s e q u e n c e a

1

, a

1

; : : : ; a

n

; a

n + 1

c o n t a i n s n o t h r e e t e r m s ( n o t n e c e s s a r i l y

c o n s e c u t i v e ) i n a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n .

F o r i n s t a n c e , f o r k = 1 ; 2 ; 3 ; 4 w e o b t a i n t h e s e q u e n c e .

S ( 1 ) : 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 0 ; 1 2 ; 1 3 ; 2 7 ; : : :

S ( 2 ) : 0 ; 2 ; 3 ; 5 ; 9 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 4 ; 1 7 ; : : :

S ( 3 ) : 0 ; 3 ; 4 ; 7 ; 9 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 6 ; 2 7 ; : : :

S ( 4 ) : 0 ; 4 ; 5 ; 7 ; 1 1 ; 1 2 ; 1 6 ; 2 3 ; 2 6 ; : : :

O n e m i g h t h o p e t h a t t h e s e q u e n c e S ( k ) ( f o r a s u i t a b l e v a l u e o f k ) h a s t h e l e a s t r a t e o f

g r o w t h a m o n g a l l s e q u e n c e s 0 = b

0

< b

1

< : : : c o n t a i n i n g n o t h r e e t e r m s i n a n a r i t h m e t i c

p r o g r e s s i o n . I t r e m a i n s a n o p e n p r o b l e m t o n d t h i s l e a s t p o s s i b l e r a t e o f g r o w t h . A r e s u l t o f

R o t h 2 ] ( s e e a l s o 3 ] ) i m p l i e s t h a t l i m i n f

n ! 1

b

n

n l o g l o g n

> 0 . I n t h e o t h e r d i r e c t i o n , i t i s k n o w n 1 ]

t h a t t h e r e e x i s t s a s e q u e n c e w i t h

b

n

< n

1 + c ( l o g n )

1 = 2

: ( 1 )

U n f o r t u n a t e l y , i t a p p e a r s t h a t t h e \ g r e e d y a l g o r i t h m " w h i c h w e h a v e u s e d t o d e n e a

n

d o e s n o t i m p r o v e ( 1 ) . T h i s i s c e r t a i n l y t r u e f o r c e r t a i n v a l u e s o f k ( c a l l e d r e g u l a r v a l u e s ) f o r

w h i c h t h e s e q u e n c e a

n

c a n b e e x p l i c i t l y d e s c r i b e d . F o r o t h e r v a l u e s o f b ( c a l l e d i r r e g u l a r ) i t


2/5

a p p e a r s t h a t a

n

i n c r e a s e s e v e n m o r e r a p i d l y t h a n i n t h e r e g u l a r c a s e . W e c a n n o t p r o v e t h i s ,

a l t h o u g h w e c a n g i v e a h e u r i s t i c a r g u m e n t a s t o t h e r a t e o f g r o w t h o f a

n

.

D e s p i t e t h e f a c t t h a t t h e g r e e d y a l g o r i t h m d o e s n o t s e e m u s e f u l f o r t h e o r i g i n a l p r o b l e m

o f m i n i m i z i n g t h e r a t e o f g r o w t h o f b

n

, n e v e r t h e l e s s t h e s e q u e n c e s S ( k ) a r e o f i n t e r e s t i n t h e i r

o w n r i g h t , l a r g e l y b e c a u s e o f t h e s u r p r i s i n g d i c h o t o m y b e t w e e n r e g u l a r a n d i r r e g u l a r v a l u e s o f

k . T h e r e a r e a l s o a h o s t o f r e l a t e d s e q u e n c e s , d e n e d b y r u l e s s i m i l a r t o a

n

, w h i c h a p p e a r t o

e x h i b i t s i m i l a r t y p e s o f r e g u l a r a n d i r r e g u l a r b e h a v i o r . W e w i l l m e r e l y g i v e o n e s u c h e x a m p l e

h e r e , t h o u g h i t w o u l d b e i n t e r e s t i n g t o d e v e l o p a g e n e r a l t h e o r y .

F i r s t w e d e s c r i b e t h e s e q u e n c e s a

n

w h e n k i s r e g u l a r . T h e r e g u l a r v a l u e s o f k a r e b y

d e n i t i o n i n t e g e r s o f t h e f o r m 2

m

o r 2

3

m

.

T h e o r e m 1 L e t k = 3

m

, m 0 . T h e n a p o s i t i v e i n t e g e r t i s a m e m b e r o f t h e s e q u e n c e i f a n d

o n l y i f t h e t e r n a r y e x p a n s i o n t =

P

t

i

3

i

o f t s a t i s e s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) t

i

= 0 o r 1 i f i 6= m

( b ) t

m

= 0 ) t

m 1

= t

m 2

= = t

0

= 0

( c ) t

m

= 2 )

m 1

P

i = 0

a

i

> 0 :

T h e o r e m 2 L e t k = 2 3

m

, m 0 . T h e n a p o s i t i v e i n t e g e r t i s a m e m b e r o f t h e s e q u e n c e

S ( k ) i f a n d o n l y i f t h e t e r n a r y e x p a n s i o n t =

P

t

i

3

i

o f t s a t i s e s t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :

( a ) t

i

= 0 o r 1 i f i 6= m ; m + 1

( b ) t

m

= 0 o r 2

( c ) t

m + 1

= 2 ) t

m

= 0 a n d

m 1

P

i = 0

t

i

> 0 :

T h e o r e m s 1 a n d 2 a n b e p r o v e d b y a r o u t i n e t h o u g h t e d i o u s c a s e - b y - c a s e a n a l y s i s .

R e m a r k 1 . T h e s p e c i a l c a s e k = 1 i s p a r t i c u l a r l y s i m p l e t o d e s c r i b e . T h e i n t e g e r t i s

a m e m b e r o f t h e s e q u e n c e S ( 1 ) a n d o n l y i f t h e t e r n a r y e x p a n s i o n o f t c o n t a i n s n o 2 ' s . I t

f o l l o w s t h a t a

n

i s o b t a i n e d b y w r i t i n g n i n b i n a r y a n d r e a d i n g i t i n t e r n a r y . F o r i n s t a n c e ,

1 0 0 0 = 2

9

+ 2

9

+ 2

7

+ 2

6

+ 2

5

+ 2

3

, s o a

1 0 0 0

= 3

9

+ 3

8

+ 3

7

+ 3

6

+ 3

5

+ 3

3

= 2 9 4 3 0 .

R e m a r k 2 . L e t =

l o g 3

l o g 2

. F o r a n y r e g u l a r v a l u e o f k , i t f o l l o w s f r o m T h e o r e m s 1 a n d 2 t h a t

1

2

= l i m i n f

n ! 1

a

n

n


3/5

F o r a l l v a l u e s o f k e x c e p t 3

m

a n d 2 3

m

, e m p i r i c a l e v i d e n c e s u g g e s t s t h a t t h e s e q u e n c e s

S ( k ) b e h a v e v e r y e r r a t i c a l l y a n d h a v e n o s i m p l e d e s c r i p t i o n . H o w e v e r , t h e y s e e m t o h a v e

r o u g h l y t h e s a m e r a t e o f g r o w t h . T h e f o l l o w i n g t a b l e o f s e l e c t e d v a l u e s o f a

n

i l l u s t r a t e s t h i s

p h e n o m e n o n .

r e g u l a r i r r e g u l a r

n

n

k

1 2 3 6 4 5 7 8

3 1 1 2 1 1 2 2 1 2 4 1 2 7 2 0 3 1 7 9 1 7 9 2 2 0

3 2 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 4 3 2 2 0 1 9 0 1 9 4 2 2 7

6 3 3 6 4 3 6 5 3 6 7 3 7 0 5 8 0 5 4 0 5 4 1 6 0 0

6 4 7 2 9 7 2 9 7 2 9 7 2 9 5 9 8 5 4 1 5 4 9 6 0 1

1 2 7 1 0 9 3 1 0 9 4 1 0 9 6 1 0 9 9 1 7 7 1 1 9 3 5 1 5 9 7 1 7 1 6

1 2 8 2 1 8 7 2 1 8 7 2 1 8 7 2 1 8 7 1 7 9 2 2 0 0 3 1 6 3 8 1 7 4 6

2 5 5 3 2 8 0 3 2 8 1 3 2 8 3 3 2 8 6 6 0 8 6 6 0 3 9 7 2 1 9 5 1 6 3

2 5 6 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 5 6 1 6 1 0 7 6 0 8 9 7 2 9 5 5 1 8 3

W e h a v e n o i d e a o f h o w t o p r o v e t h a t t h e s e q u e n c e s S ( k ) f o r k i r r e g u l a r i n d e e d d o n ' t h a v e

a s i m p l e d e s c r i p t i o n a n d d o h a v e t h e s a m e r a t e o f g r o w t h .

C o n c e i v a b l y w e h a v e o v e r l o o k e d s o m e i r r e g u l a r v a l u e t h a t d e s e r v e s t o b e c l a s s i e d a s r e g -

u l a r . I t i s a l s o c o n c e i v a b l e t h a t f o r s o m e i r r e g u l a r v a l u e t h e s e q u e n c e S ( k ) b e h a v e s e r r a t i c a l l y

u p t o 1 0

1 0 0

b u t t h e n \ s t r a i g h t e n s o u t " . A s s u m e , h o w e v e r , t h a t S ( k ) d o e s b e h a v e \ r a n d o m l y "

f o r i r r e g u l a r k .

W e n o w w a n t t o d e n e a s e q u e n c e p

0

, p

1

; : : : o f r e a l n u m b e r s , w h e r e w e t h i n k o f p

n

a s t h e

\ p r o b a b i l i t y " t h a t n a p p e a r s i n S ( k ) f o r i r r e g u l a r k . N o w n w i l l a p p e a r i n S ( k ) i f a n d o n l y i f

n i a n d n 2 i d o n o t a p p e a r f o r 1 i n = 2 . I f t h e s e e v e n t s a r e i n d e p e n d e n t t h e n w e o b t a i n

p

n

=

n = 2 ]

Y

i = 1

( 1 p

n i

p

n 2 i

) ; n 2 : ( 3 )

F o r i n i t i a l c o n d i t i o n s s e t p

0

= p

1

= : 5 , w h i c h c o r r e s p o n d s t o a \ r a n d o m " s t a r t . A s i m p l e

h e u r i s t i c a r g u m e n t ( w h i c h s h o u l d n o t b e d i c u l t t o m a k e r i g o r o u s ) s u g g e s t s t h a t

p

1

+ + p

N

C

p

n l o g n

f o r s o m e c o n s t a n t c . H e n c e f o r a s e q u e n c e S ( k ) f o r k i r r e g u l a r w e w o u l d e x p e c t n C

p

a

n

l o g a

n

,

o r

a

n

c

0

n

2

l o g n

: ( 4 )

T h i s e s t i m a t e a g r e e s q u i t e w e l l w i t h t h e n u m e r i c a l e v i d e n c e . N o t e t h a t ( 4 ) y i e l d s a f a s t e r r a t e

o f g r o w t h t h a n ( 2 ) .

3


4/5

T h e s e q u e n c e s S ( k ) c o n t a i n n o s o l u t i o n t o x + y = 2 z f o r d i s t i n c t x ; y ; z . W e c a n d e -

n e s e q u e n c e s a n a l o g o u s t o S ( k ) f o r o t h e r e q u a t i o n s . W e m e r e l y d e s c r i b e o n e s u c h s e q u e n c e

h e r e , i n o r d e r t o s u g g e s t t h a t t h e r e m a y b e a g e n e r a l t h e o r y w a i t i n g t o b e d e v e l o p e d . L e t

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 1 2 ; 1 3 ; 1 4 ; 1 5 ; 1 6 ; 4 8 ; : : : b e t h e s e q u e n c e C

0

< C

1

< C

2

< : : : d e n e d b y t h e r u l e s :

( i ) C

0

= 0

( i i ) h a v i n g c h o s e n C

0

; : : : ; C

n

, l e t C

n + 1

b e t h e l e a s t i n t e g e r s u c h t h a t C

n + 1

> C

n

a n d s u c h t h a t

t h e s e q u e n c e C

0

, C

1

; : : : ; C

n + 1

c o n t a i n s n o f o u r d i s t i n c t t e r m s s a t i s f y i n g x + y + z = 3 w .

I t t h e n c a n b e s h o w n t h a t a p o s i t i v e i n t e g e r t i s i n t h e a b o v e s e q u e n c e i f a n d o n l y i f t h e

b a s e 4 e x p a n s i o n t =

P

t

i

4

i

s a t i s e s :

( a ) i 1 ) t

i

6= 2

( b ) t

i

= 1 ) t

i 1

= t

i 2

= = t

0

= 0 :

A n o t h e r p o t e n t i a l l y i n t e r e s t i n g q u e s t i o n h a s t o d o w i t h t h e r o b u s t n e s s o f t h e r e g u l a r i t y o f

t h e S ( k ) . T h a t i s , i f 0 = b

0

a

n

a n d

s u c h t h a t a

0

; : : : a

n + 1

c o n t a i n s n o t h r e e t e r m p r o g r e s s i o n .

I f b

0

; : : : b

r

a r e i n s o m e s e n s e c l o s e t o a n i n i t i a l s e g m e n t o f a r e g u l a r S ( k ) , w e m i g h t e x p e c t

t h a t T ( b

0

; : : : ; b

r

) w i l l a g a i n b e r e g u l a r . W e h a v e t e s t e d s o m e a p p r o x i m a t i o n s t o t h e r e g u l a r

s e q u e n c e S ( 1 ) = f 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 0 ; 1 2 ; 1 3 ; 2 7 ; : : : g . T h e f o l l o w i n g s e e m e d t o b e r e g u l a r ( i n t h e

s e n s e o f m e m b e r s h i p i n t h e m b e i n g s i m p l y d e s c r i b a b l e i n t e r m s o f t e r n a r y e x p a n s i o n s ) :

T ( 0 ; 1 ; 4 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 9 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 1 0 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 1 1 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 2 7 ) ; T ( 0 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 0 ) :

O n t h e o t h e r h a n d , t h e f o l l o w i n g s e e m e d t o b e i r r e g u l a r :

T ( 0 ; 1 ; 3 ; 7 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 1 4 ) ; T ( 0 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 1 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 ; 2 9 ) ; T ( 0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 9 ; 1 1 ) :

4


5/5

R e f e r e n c e s

1 ] L . M o s e r , O n n o n - a v e r a g i n g s e t s o f i n t e g e r s , C a n a d . J . M a t h . 5 ( 1 9 5 3 ) , 2 4 5 { 2 5 2 .

2 ] K . F . R o t h , O n C e r t a i n s e t s o f i n t e g e r s . I I , J . L o n d o n M a t h . S o c . 2 9 ( 1 9 5 4 ) , 2 0 { 2 6 .

3 ] E . S z e m e r d i , O n s e t s o f i n t e g e r s c o n t a i n i n g n o k e l e m e n t s i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n , P r o c .

1 9 7 4 I n t e r n a t . C o n g r e s s M a t h . , V a n c o u v e r , V o l . 2 , 5 0 3 { 5 0 5 .

5

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