UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI L’AQUILA

INGEGNERIA CHIMICA

LAUREA MAGISTRALE IN INGEGNERIA CHIMICAPercorso ingegneria di processo

CORSO DI REATTORI CHIMICI(9 CFU)

TESINA D’ESAME

Docente: Prof. Pier Ugo FoscoloStudente: Carozza PierangeloMatricola: 195531

Anno accademico 2009/2010

1

SommarioRelazione di laboratorio 1.....................................................................................................3

Studio sperimentale della cinetica di idrolisi basica (saponificazione) dell’etil acetato in un reattore batch isotermo: determinazione della costante cinetica e dell’energia di attivazione della reazione.................................................................................................3

Stechiometria della reazione e relazioni tra la conducibilità e la concentrazione.............3

Metodologie e Condizioni sperimentali.............................................................................7

Relazione di laboratorio 2...................................................................................................19

Studio sperimentale di un letto fluidizzato, determinazione dei parametri caratteristici del letto, prova del collasso..................................................................................................19

Materiali..........................................................................................................................19

Apparato sperimentale....................................................................................................19

Dati preliminari di prova..................................................................................................23

Fasi della procedura sperimentale..................................................................................23

Esercizio 1..........................................................................................................................40

Applicazione del modello a due fasi per un reattore a letto fluidizzato...........................40

Esercizio 2..........................................................................................................................47

Esercizio 3..........................................................................................................................53

Esercizio 2.b.......................................................................................................................56

2

Relazione di laboratorio 1

Studio sperimentale della cinetica di idrolisi basica (saponificazione) dell’etil acetato in un reattore batch isotermo: determinazione della costante cinetica e dell’energia di attivazione della reazione.

Si vogliono determinare la costante cinetica e l’energia di attivazione di una reazione irreversibile, la reazione in esame è la seguente:

Na+OH- + CH3COOC2H5 →CH3COO-Na+ + C2H5OH ( A + B → C + D )

Per la quale il ΔHR è trascurabile. Tale reazione viene condotta in un reattore batch isotermo di volume costante con concentrazioni equimolecolari dei reagenti e monitorata nel tempo per via conduttometria, grazie al differente contributo alla conducibilità elettrica totale delle specie reagenti.È stata scelta questa reazione perché può essere facilmente condotta a temperatura ambiente, inoltre i reagenti ed i prodotti non sono pericolosi, in particolare l’idrossido di sodio è utilizzato anche come detergente, mentre l’etil acetato è usato come solvente in profumeria.

Stechiometria della reazione e relazioni tra la conducibilità e la concentrazione.

Stechiometria e tabella delle conversioni:La stechiometria della reazione come riportato in precedenza è la seguente:

Na+OH- + CH3COOC2H5 →CH3COO-Na+ + C2H5OH ( A + B → C + D )

Possiamo scrivere la tabellina stechiometrica riferita all’unità di volume, in questo modo possiamo esprimere le moli in ingresso uscita direttamente con le concentrazioni delle specie interessate:

Ricordiamo che la conversione si esprime come:

χ A=CA 0−C A

CA 0

3

Dopo aver determinato le moli di reagenti e prodotti è possibile ricavare una relazione tra la conducibilità (che è la grandezza che viene misurata) e la conversione in modo tale da poter poi determinare successivamente la relazione tra la conducibilità e la costante cinetica che cerchiamo.

La conducibilità elettrica Gt al generico tempo t è determinata dagli ioni presenti in soluzione (per il sistema in esame tali ioni sono Na+, OH-, CH3COO-, la conducibilità totale viene determinata come somma delle singole conducibilità degli ioni coinvolti.Per ogni ione la concentrazione può essere espressa come:

Gi=ci∗liDove:

Gi rappresenta la conducibilità dello ione generico all’istante t. ci rappresenta la concentrazione dello ione i al generico istante t. li rappresentala conducibilità ionica equivalente della specie i.

La conducibilità totale del sistema può essere scritta come:

Gt=∑i

c i∗li=cOH−¿∗lOH−¿+cCH

3COO−¿∗l

C H3COO

−¿+cN a

+¿∗lNa+¿¿¿

¿¿¿¿

Esprimendo le concentrazioni in funzione della conversione utilizzando la tabella stechiometrica si ottiene:

Gt=c A0∗(1− χ A )∗lOH−¿+cA 0∗χ A∗lCH 3COO−¿+c A0∗lNa+¿ ¿¿

¿

Le conducibilità equivalente (a 25 °C ed a diluizione infinita) dei singoli ioni vale:

lOH−¿=198Siemen s∗c m2/ equivalenti¿

lCH 3COO−¿=41Siemens∗cm2 / equivalenti¿

lNa+¿=50Siemens∗c m2/ equivalenti ¿

4

Noi siamo però interessati all’evoluzione nel tempo della conversione (non al suo valore al generico istante t) in funzione della conducibilità, per questo si ricava una relazione differenziale tra conversione e conducibilità totale.

dGt

dt=

−d χ A

dt∗c A0∗l

OH−¿+d χ A

dt∗cA 0∗l

CH 3OO−¿+0=

cA 0∗d χAdt

∗¿¿¿¿

Poiché le conducibilità equivalenti di cui disponiamo sono determinate a 25°C ed a diluzione infinita, conviene per i calcoli far riferimento alle conducibilità iniziali e finali della prova per determinare tali conducibilità equivalenti (prova self consistent) si ottengono i seguenti risultati:

per t=0 χ A=0→G0=c A0∗lNa+¿+cA 0∗lOH−¿=cA 0∗¿¿ ¿

per t=∞ χ A=1→G∞=c A 0∗¿

Di conseguenza dalle relazioni precedenti possiamo ricavare:

c A0∗¿¿

Che sostituita nella relazione differenziale ci da:

dGt

dt=d χ A

dt∗(G∞−G0)

Si ottiene una relazione molto semplice tra Gt e χA che può essere integrata facilmente:

∫G0

Gt dG t

G∞−G0

=∫0

χA

d χ A→Gt−G 0

G∞−G0

= χ A

Non resta che determinare la relazione tra la conversione e la costante cinetica della reazione, per farlo è necessario scrivere il bilancio di materia per la specie A (Na+OH-) tenendo conto della cinetica della reazione e del legame tra composizione e conversione, si ha che:

c A=cB=cOH−¿=cA0∗( 1− χA )¿

FA,∈¿−F A, out−r A∗V=

V∗d cAdt

¿

Poiché siamo in un sistema Batch i termini in ingresso ed uscita sono nulli, si ha quindi:

−r A=d cAdt

A questo punto per determinare una relazione tra la conversione e la costante cinetica è necessario sostituire all’interno dell’equazione l’equazione che descrive la cinetica della reazione.

5

Si può dimostrare, come vedremo, che la cinetica di questa reazione è del secondo ordine del tipo:

r A=k∗c A∗cB=k∗c A02 ∗(1− χ A )2

Per una cinetica del primo ordine si ha invece:

r A=k∗c A=k∗c A0∗(1− χ A )

È possibile sostituire entrambe le equazioni precedenti, insieme alla relazione tra cA e la conversione, all’interno del bilancio di materia ottenendo i seguenti risultati:

Per il secondo ordine:

−c A0∗d χ A

dt=−k∗c A0

2 ∗(1− χ A )2

d χ A

(1− χ A )2=k∗c A0∗dt

Integrando si ottiene:

χ A

1− χ A

=k∗c A0∗t

Per il primo ordine:

c A0∗d χ A

dt=−k∗c A0∗(1− χ A )

d χ A

(1− χ A )=−k∗dt

Integrando si ottiene:

(1− χ A )=−k∗t

Ora è possibile sostituire in queste espressioni quella precedentemente trovata per la conversione in funzione della conducibilità, si ottengono i seguenti risultati:

Secondo ordine:

6

Gt−G0

G∞−G 0

1−G t−G0

G∞−G0

=k∗c A0∗t

Gt−G 0

G∞−Gt

=k∗c A0∗t [1]

Primo ordine:

1−Gt−G0

G∞−G0

=e−k∗t

ln (G∞−Gt

G∞−G0)=−k∗t [2]

Queste due relazioni [1] e [2], rappresentano l’equazione di una retta che collega il risultato della misura sperimentale alla costante cinetica, questa relazione può essere utilizzata anche per verificare quale cinetica segua la reazione, infatti graficando le due relazioni opportunamente riarrangiate, in base ai dati sperimentali si otterrà una retta solo in corrispondenza della cinetica “giusta”.

Per la cinetica del secondo ordine è necessario conoscere sia G∞ che G0, per quanto riguarda G0 è possibile usare la seguente relazione.

G0=0,177∗T (°C )+5,874T∈ [15 ;50 ]°C

Mentre per ovviare al fatto che G∞ non è noto si può riarrangare la funzione

Gt−G 0

G∞−Gt

=k∗c A0∗t ot tenedoGt=G0−Gt

k∗cA 0∗t+G∞

In questo modo graficando i dati sperimentali di Gt, in funzione di G0−Gt

c A0∗t si ottiene una

retta di pendenza 1/k e di intercetta con l’asse delle y pari a G∞.

Metodologie e Condizioni sperimentali

Al fine di determinare la costante cinetica e l’energia di attivazione della reazione è necessario eseguire più prove sperimentali a diverse temperature, il range di temperature nel quale si opera è compreso tra i 20°C ed i 40-50°C, non si utilizzano temperature superiori perché altrimenti avverrebbero reazioni collaterali alle quali non siamo interessati, per la prova in esame si è considerata una temperatura di 45 °C.Per quanto riguarda i reagenti per la prova in esame si utilizzano 500 ml di ciascun reagente con concentrazione 0,1 molare, le soluzioni devono essere diluite perché l’etil acetato è poco solubile in acqua, inoltre la relazione tra le conducibilità e la costante cinetica che abbiamo trovato è valida solo per soluzioni diluite.

7

L’apparato sperimentale è costituito da 2 reattori in vetro batch muniti di una camicia riscaldante (all’interno della quale viene inviata acqua proveniente da un termostato in modo tale da mantenere la temperatura dei reagenti costante) e di un agitatore (per garantire il mescolamento dei reagenti), su ogni reattore è installata una termocoppia per il controllo della temperatura, mentre su uno solo di essi un conduttimetro che sarà utilizzato per monitorare la reazionePer procedere con l’esperimento bisogna innanzitutto prelevare i reagenti nella quantità desiderata (500 ml) utilizzando un pallone tarato (se si fa in modo che la tangente alla superficie inferiore del menisco coincida con la linea che sul pallone individua i 500 ml si avrà una tolleranza di 0,25 ml), per essere sicuri di essere precisi nel riempimento si utilizzano durante la fase finale di quest’ultimo un becker ed una siringa in modo tale da aggiungere gradualmente la soluzione.Una volta prelevata la quantità di reagenti necessaria questi vengono posti all’interno dei 2 reattori incamiciati (uno in ogni reattore) per portarli alla temperatura di reazione (sono necessari all’incirca 20 minuti), una volta raggiunti i 45°C si preleva uno dei reagenti e lo si versa nel reattore contente l’altro, su questo reattore è installato, oltre ad una termocoppia per la misura della temperatura, un conduttimetro necessario per misurare la conducibilità (entrambi gli strumenti sono stati provati prima della prova per assicurare il loro corretto funzionamento).L’acquisizione dei dati inizia appena vengono mescolati i reagenti e si ferma dopo 16 minuti, ed avviene con una frequenza di 3 secondi, si osserva che inizialmente la conducibilità ha un andamento oscillante, questo è dovuto al processo di mescolamento dei reagenti, una volta che i reagenti sono perfettamente miscelati la conducibilità inizia a diminuire come ci si aspettava (infatti con il progredire della reazione si ha produzione di ione acetato mentre sparisce lo ione OH-, poiché come vedremo lo ione acetato ha una conducibilità ionica minore di quella dello OH- l’effetto complessivo è quello di una diminuzione della conducibilità.

A seguito della prova si ottengono i seguenti dati:tempo s Conducibilità mS temperatura °C

0 9,941 423 9,6 42,16 9,341 42,19 8,948 42,2

12 8,885 42,215 8,757 42,318 8,46 42,421 8,358 42,524 8,074 42,627 7,887 42,730 10,276 42,833 10,506 42,936 10,345 4339 10,189 4342 10,067 43,145 9,929 43,248 9,804 43,351 9,687 43,454 9,593 43,457 9,485 43,5

8

60 9,384 43,663 9,288 43,666 9,193 43,769 9,106 43,772 9,021 43,875 8,957 43,878 8,881 43,981 8,808 43,984 8,737 4487 8,669 4490 8,607 4493 8,556 44,196 8,489 44,199 8,432 44,1

102 8,389 44,2105 8,339 44,2108 8,29 44,2111 8,242 44,3114 8,195 44,3117 8,15 44,3120 8,106 44,3123 8,064 44,3126 8,024 44,4129 7,986 44,4132 7,947 44,4135 7,909 44,4138 7,874 44,4141 7,839 44,5144 7,805 44,5147 7,767 44,5150 7,735 44,5153 7,704 44,5156 7,673 44,5159 7,645 44,5162 7,616 44,6165 7,589 44,6168 7,56 44,6171 7,535 44,6174 7,509 44,6177 7,485 44,6180 7,46 44,6183 7,437 44,6186 7,412 44,6189 7,391 44,6192 7,368 44,6195 7,348 44,7198 7,326 44,7201 7,306 44,7

9

204 7,283 44,7207 7,264 44,7210 7,245 44,7213 7,227 44,7216 7,21 44,7219 7,192 44,7222 7,175 44,7225 7,155 44,7228 7,138 44,7231 7,122 44,7234 7,106 44,7237 7,091 44,7240 7,075 44,7243 7,062 44,7246 7,047 44,7249 7,031 44,7252 7,017 44,8255 7,002 44,8258 6,99 44,8261 6,976 44,8264 6,963 44,8267 6,951 44,8270 6,939 44,8273 6,924 44,8276 6,912 44,8279 6,901 44,8282 6,889 44,8285 6,877 44,8288 6,866 44,8291 6,855 44,8294 6,842 44,8297 6,832 44,8300 6,822 44,8303 6,81 44,8306 6,798 44,8309 6,789 44,8312 6,779 44,8315 6,77 44,8318 6,759 44,8321 6,75 44,8324 6,74 44,8327 6,732 44,8330 6,723 44,8333 6,714 44,8336 6,704 44,8339 6,696 44,8342 6,688 44,8345 6,677 44,8

10

348 6,671 44,8351 6,663 44,8354 6,655 44,9357 6,648 44,9360 6,639 44,9363 6,631 44,9366 6,623 44,9369 6,615 44,9372 6,608 44,9375 6,601 44,9378 6,595 44,9381 6,587 44,9384 6,58 44,9387 6,573 44,9390 6,563 44,9393 6,559 44,9396 6,553 44,9399 6,548 44,9402 6,54 44,9405 6,534 44,9408 6,527 44,9411 6,521 44,9414 6,514 44,9417 6,508 44,9420 6,503 44,9423 6,499 44,9426 6,491 44,9429 6,486 44,9432 6,479 44,9435 6,474 44,9438 6,469 44,9441 6,464 44,9444 6,458 44,9447 6,452 44,9450 6,448 44,9453 6,443 44,9456 6,437 44,9459 6,432 44,9462 6,427 44,9465 6,422 44,9468 6,417 44,9471 6,412 44,9474 6,407 44,9477 6,402 44,9480 6,399 44,9483 6,394 44,9486 6,389 44,9489 6,385 44,9

11

492 6,38 44,9495 6,375 44,9498 6,371 44,9501 6,367 44,9504 6,362 44,9507 6,358 44,9510 6,354 44,9513 6,35 44,9516 6,347 44,9519 6,341 44,9522 6,338 44,9525 6,333 44,9528 6,33 44,9531 6,326 44,9534 6,323 44,9537 6,318 44,9540 6,314 44,9543 6,31 44,9546 6,306 44,9549 6,303 44,9552 6,3 44,9555 6,297 44,9558 6,293 44,9561 6,289 44,9564 6,285 44,9567 6,283 44,9570 6,279 44,9573 6,276 44,9576 6,272 44,9579 6,268 44,9582 6,265 44,9585 6,261 44,9588 6,258 44,9591 6,255 44,9594 6,252 44,9597 6,249 44,9600 6,246 44,9603 6,242 44,9606 6,24 44,9609 6,237 44,9612 6,234 44,9615 6,231 44,9618 6,228 44,9621 6,225 44,9624 6,222 44,9627 6,219 44,9630 6,216 44,9633 6,213 44,9

12

636 6,21 44,9639 6,208 44,9642 6,205 44,9645 6,202 44,9648 6,199 44,9651 6,197 44,9654 6,195 44,9657 6,192 44,9660 6,189 44,9663 6,187 44,9666 6,184 44,9669 6,182 44,9672 6,179 44,9675 6,176 44,9678 6,174 44,9681 6,171 44,9684 6,169 44,9687 6,167 44,9690 6,164 44,9693 6,16 44,9696 6,159 44,9699 6,156 44,9702 6,154 44,9705 6,152 44,9708 6,15 44,9711 6,148 44,9714 6,146 44,9717 6,144 44,9720 6,142 44,9723 6,139 44,9726 6,137 44,9729 6,135 44,9732 6,132 44,9735 6,13 44,9738 6,128 44,9741 6,126 44,9744 6,124 44,9747 6,122 44,9750 6,119 44,9753 6,117 44,9756 6,114 44,9759 6,112 44,9762 6,11 44,9765 6,108 44,9768 6,106 44,9771 6,105 44,9774 6,103 44,9777 6,101 44,9

13

780 6,1 44,9783 6,098 44,9786 6,096 44,9789 6,094 44,9792 6,093 44,9795 6,091 44,9798 6,088 44,9801 6,087 44,9804 6,084 44,9807 6,083 45810 6,081 44,9813 6,079 44,9816 6,078 45819 6,075 44,9822 6,074 44,9825 6,072 45828 6,07 45831 6,063 45834 6,067 45837 6,065 45840 6,063 45843 6,061 45846 6,061 45849 6,059 45852 6,057 45855 6,055 45858 6,054 45861 6,052 45864 6,05 45867 6,05 45870 6,049 45873 6,047 45876 6,046 45879 6,044 45882 6,042 45885 6,04 45888 6,04 45891 6,037 45894 6,034 45897 6,035 45900 6,033 45903 6,028 45906 6,029 45909 6,028 45912 6,027 45915 6,026 45918 6,024 45921 6,023 45

14

924 6,021 45927 6,02 45930 6,018 45933 6,017 45936 6,016 45939 6,015 45

media 44,7

Per poter graficare i dati sperimentali è necessario calcolare G0 alla temperatura media di 44,7 °C (e determinare il valore di G∞ per il 1° ordine)

G0=0,177∗T (°C )+5,874G0=0,177∗45+5,874=13,79mS

Graficando in excel

Gt=G0−Gt

k∗cA 0∗t+G∞ in funzione di

G0−Gt

c A0∗t

Con cA0=0,05 molare

Si ottiene il seguente grafico:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

(G0-Gt)/Ca0*t

Da questo grafico si evince come la cinetica sia del secondo ordine poiché i dati sperimentali si dispongono secondo una retta quando vengono graficati in accordo con l’espressione determinata per il secondo ordine.Per completezza si verifica se la cinetica possa essere del primo ordine.

15

Utilizzando il valore di G∞ determinato per il 2° ordine (5,5975 mS) è possibile graficare anche la relazione per il primo ordine in funzione di t:

ln (G∞−Gt

G∞−G0)=−k∗t

Si ottiene il seguente grafico:

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

Primo ordine

Primo ordine

Come si può osservare i dati non si dispongono lungo una retta, questo sta a significare che la cinetica non è del primo ordine.Dopo aver dimostrato che la reazione segue una cinetica del secondo ordine si utilizza la retta ottenuta per il secondo ordine per determinare (utilizzando lo strumento linea di tendenza di Excel) il coefficiente angolare (1/k) e l’intercetta G∞ che valgono:

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0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

2

4

6

8

10

12

f(x) = 2.60164045602346 x + 5.5974979922364

(G0-Gt)/Ca0*t

(G0-Gt)/Ca0*tLinear ((G0-Gt)/Ca0*t)

G∞ 1/k5,5975 2,6016

Di conseguenza si può determinare la costante cinetica della reazione che vale k=0,37 m3/moli*s.

Oltre alla prova in esame sono state condotte altre prove a temperature diverse, riportiamo di seguito i risultati ottenuti:

T °C k T K25,6 0,13 298,7529,6 0,16 302,7537,3 0,25 310,4544,7 0,37 317,85

Avendo a disposizione i dati cinetici ottenuti a diverse temperature è possibile applicare l’equazione di Arrenius:

k=A∗e−E a

RT

e determinare la dipendenza della costante cinetica dalla temperatura assoluta T in particolare si determinano l’energia di attivazione della reazione (Ea) ed il fattore moltiplicativo (A).Si grafica la seguente funzione:

ln (k )=ln ( A )−Ea

RT

In funzione della temperatura assoluta, si ottiene una retta di pendenza –Ea/R e di intercetta ln(A).

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0.0031 0.00315 0.0032 0.00325 0.0033 0.00335 0.0034

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

f(x) = − 5242.87498192958 x + 15.4990808677756

lnk

lnkLinear (lnk)

Utilizzando lo strumento linea di tendenza di Excel si determinano i parametri della retta si ha:

lnA A E/R E cal/mole

15,499538431

1 -5242,9 -10417,6

Per la reazione in esame si ha un energia di attivazione di -10417,6 cal/mole, come risulta evidente la reazione è esotermica.

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Relazione di laboratorio 2

Studio sperimentale di un letto fluidizzato, determinazione dei parametri caratteristici del letto, prova del collasso.

Si vuole studiare il comportamento di un letto fluidizzato, in particolare si vogliono determinare le velocità di minimum bubbling e di minima fluidizzazione. Inoltre si vogliono utilizzare i dati sperimentali per applicare al letto in esame l’equazione di Richardson-Zaki per determinare la velocità terminale ed il parametro n in essa presente.Successivamente verrà effettuata una prova del collasso.Si confronteranno inoltre i risultati sperimentali con quelli ottenuti per via teorica.

Materiali

Per effettuare questa prova si utilizzerà un solido particellare fine costituito da allumina, il quale è contenuto in una colonna in plexiglass. Tale solido è un prodotto industriale che viene venduto come supporto per catalizzatori da ditte specializzate nella produzione di allumine, viene principalmente utilizzato nel cracking catalitico a letto fluido.Questo materiale secondo la classificazione di Gheldart rientra nella categoria A, ossia fa parte dei cosiddetti solidi aerabili (“Aeratable”) il cui comportamento è il più classico rispetto alla fluidizzazione (ossia hanno una velocità di minima fluidizzazione, attraversano le fasi di espansione omogenea ed espansione a bolle).

Apparato sperimentale

L’apparato sperimentale è costituito da una colonna in plexiglass aperta alla sommità con alla base un piatto poroso al gas che ha la doppia funzione di sostenere fisicamente il letto e di distribuire uniformemente il gas sull’intera superficie della colonna. Tale colonna contiene delle particelle fini di allumina, sul fondo di questa colonna al di sotto del piatto distributore è presente una cassa riempita di sferette di vetro che ha lo scopo di aumentare la dispersione del fluido migliorandone la distribuzione.La colonna ha sulla sommità un aspiratore per evitare che delle particelle eventualmente trascinate fuori dalla colonna dal fluido possano essere respirate da chi conduce la prova sperimentale.Inoltre sulla colonna è presente un metro che permette di misurare l’altezza del letto.Il sistema che consente di erogare e di monitorare la portata di aria è costituito da un banco rotametri. Tale banco contiene 4 rotametri che permettono di controllare istante per istante la portata erogata agendo sulle valvole poste su di essi, i rotametri sono stati tarati alle condizioni locali (a pressione atmosferica a circa 1000 m S.L.M. ed a temperatura ambiente circa 20°C) e per essi sono disponibili i dati di taratura dai quali si ricaveranno le curve di taratura.Il  rotametro  è sostanzialmente un tubo di vetro o altro materiale (solitamente) trasparente a sezione longitudinale conica, dentro il quale vi è un corpo grossolanamente cilindro-conico o sferico di diametro leggermente inferiore a quello minimo del tubo, detto impropriamente galleggiante. Se il tubo viene posto in posizione verticale, con il diametro interno maggiore in alto, ed il fluido la cui portata si vuole misurare entra dal basso, si esercita sul galleggiante una forza che dipende dalla forma e dalla velocità del fluido nella corona circolare tra tubo e galleggiante stesso. La pressione decresce all'aumentare della

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sezione di corona circolare che resta libera, e si raggiunge un equilibrio di forze che dipende dalla velocità (e dalla caratteristiche fisiche) del fluido, dalla massa del galleggiante e dalla sua forma. Per quanto sopra detto, appare che il rotametro può funzionare solo se posto in posizione verticale con flusso ascendente, e che il funzionamento è possibile solo con fluidi puliti.Per i 4 rotametri si hanno i seguenti dati:

Rotametro 4 red blackPosizione galleggiante Q l/min Q l/min

12 0,57 -15 0,66 -20 0,91 2,0525 1,15 2,4330 1,38 2,7835 1,6 3,140 1,81 3,5345 2,05 3,8950 2,28 4,2855 2,53 4,7460 2,85 5,2265 3,15 5,5170 3,47 6,1275 3,78 6,6780 4,07 7,1485 4,36 7,6590 4,73 8,1195 5 8,55

100 5,27 9,3

Il rotametro 4 è il più piccolo a nostra disposizione (permette di regolare le basse portate) ed al suo interno sono presenti due galleggianti che permettono di ampliare il suo campo di funzionamento. Gli altri rotametri permettono di misurare portate crescenti. Le curve di taratura relative vari rotametri si ottengono graficando i dati in Excel ed utilizzando lo strumento linea di tendenza, si ottengono i seguenti risultati:Per il rotametro 4 con riferimento alla pallina rossa

0 20 40 60 80 100 1200

1

2

3

4

5

6

f(x) = 0.00015644173707745 x² + 0.0367086954791324 x + 0.103069937107195

red Q l/min

20

L’equazione della curva di taratura è la seguente:

Q=0,0002∗P2+0,0367∗P+0,1031

Dove Q rappresenta la portata volumetrica mentre P la posizione del rotametro.

Per il rotametro 4 con riferimento alla pallina nera:

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 1100123456789

10

f(x) = 0.00029484004127967 x² + 0.0542270381836945 x + 0.865108359133126

black Q l/min - -

L’equazione della curva di taratura è la seguente:

Q=0,0003∗P2+0,0542∗P+0,8651

Dove Q rappresenta la portata volumetrica mentre P la posizione del rotametro.Per il rotametro 3:

0 20 40 60 80 100 1200

10

20

30

40

50

60

f(x) = 0.000917882942650745 x² + 0.398506560518944 x + 1.55397316821465

Rotametro 3 Q l/min

L’equazione della curva di taratura è la seguente:

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Q=0,0009∗P2+0,3985∗P+1,554

Dove Q rappresenta la portata volumetrica mentre P la posizione del rotametro.

Per il rotametro 2

0 20 40 60 80 100 1200

50

100

150

200

250

300

f(x) = 0.00556980687011646 x² + 1.94065457762052 x − 8.86728586171309

Rotametro 2 Q l/min

L’equazione della curva di taratura è la seguente:

Q=0,0056∗P2+1,9407∗P−8,8673

Dove Q rappresenta la portata volumetrica mentre P la posizione del rotametro.Le perdite di carico sono monitorate utilizzando un manometro differenziale, tale manometro ha 2 attacchi uno posto sul piatto distributore (+) ed uno aperto all’atmosfera (-) in modo tale da misurare la differenza di pressione (+,-) che corrisponde alle perdite di carico nel letto fluidizzato, tali perdite sono riportate in mbar.Per poter effettuare la prova del collasso è necessario chiudere la linea che porta l’aria in ingresso al letto ed aprire una valvola che permetta alla cassa contente le sferette di vetro di svuotarsi, il tutto deve avvenire nello stesso istante e per questo si utilizza un sistema di elettrovalvole attuate da un operatore tramite un interruttore.

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Nella seguente figura viene mostrato schematicamente l’apparato sperimentale.

Dati preliminari di prova

Tipologia del solido Allumina (supporto per FCC)Densità (envelope density) del solido ρP=950 kg/m3

Diametro medio del solido d32=65 µmMassa del solido caricata in colonna MP=5229 gDiametro interno della colonna Φcol=144 mm

Fasi della procedura sperimentale

1. Misura della velocità di minima fluidizzazione (umf)Si misura per ciascun valore della velocità superficiale del gas (u=Q/S) si misurano le perdite di carico (ΔP) nel letto. La prova viene divisa in 2 parti una parte “in salita” durante la quale si aumenta progressivamente la velocità del fluido fino a che non si raggiunge la massima altezza possibile per il letto, ed una prova “in discesa”

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condotta subito dopo quella “in salita” durante la quale la velocità viene fatta diminuire partendo dal valore massimo trovato in salita e ripercorrendo a ritroso i punti della prova in salita.Si ottengono una serie di punti che possono essere diagrammati distinguendo le 2 prove, in teoria l’andamento della pressione in funzione della velocità superficiale dovrebbe essere il seguente sia per la prova in discesa sia per la prova in salita.

Come si può notare da questo grafico la pressione dovrebbe aumentare linearmente fino a che non vengono raggiunte le condizioni di minima fluidizzazione dopo di che dovrebbero rimanere costanti, questo è dovuto al fatto che nella prima fase la velocità non è ancora sufficientemente elevata per fluidizzare il letto, che si comporta come un letto fisso (la forza peso agente sulle particelle di solido è maggiore della forza di attrito/trascinamento) quindi le perdite di carico aumentano all’aumentare della velocità in maniera lineare secondo la legge di Ergun (poiché le velocità del gas sono basse ci troviamo in regime di moto laminare) fino a raggiungere un valore massimo corrispondente alla pressione esercitata dalla massa del letto. L’aumento di velocità comporta anche un aumento della forza di attrito agente sulle particelle, tale forza aumenta fino a che non raggiunge l’equilibrio con la forza peso (condizioni di minima fluidizzazione) da questo punto in poi il letto risulta fluidizzato. Una volta raggiunte le condizioni di minima fluidizzazione si ha che le perdite di carico rimangono costanti perché il letto affinché il bilancio di forze sia verificato si espande sempre più all’aumentare della velocità in modo tale da mantenere costante il valore della velocità relativa particella-fluido e di conseguenza la forza di attrito. Tale espansione detta espansione omogenea non può per il nostro sistema protrarsi all’infinito, ci sarà infatti un valore critico della velocità detto velocità di minimum bubbling per il quale il letto cesserà di espandersi in maniera omogenea ed al suo interno inizieranno a formarsi delle bolle di gas.In realtà le perdite di carico non seguono l’andamento teorico di cui abbiamo parlato ma hanno due andamenti diversi per la prova in salita e per quella in discesa.Per la prova in salita si avrà comunque un primo tratto lineare ma le perdite di carico raggiungeranno un valore massimo per poi assestarsi sul valore costante,

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ΔP

u

ΔPmax

umf

questo comportamento è ben visibile nella figura seguente ed è dovuto al fatto che la corrente di gas deve vincere la coesione delle particelle all’interno del letto.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30

35

ΔP (mbar)

u

ΔP

Per la prova in discesa invece le perdite di carico assumono valori inferiori a quelli teorici poiché il letto è già espanso e quindi oppone una minore resistenza al passaggio del fluido, l’andamento è riportato nel seguente grafico.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30

35

ΔP (mbar)

u

ΔP

In rosso è riportato l’andamento teorico.Si effettua la prova sperimentale e si ottengono i seguenti dati:Le portate volumetriche di gas sono state calcolate utilizzando le curve di taratura determinate in precedenza, mentre le velocità superficiali sono state ottenute semplicemente facendo il rapporto tra la portata e la sezione della colonna.

u=QS

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Giallo “prova in salita”Blu “prova in discesa”

rotametro e pallina posizione rotametro altezza letto (cm)ΔP (mbar)misurati

ΔP (mbar)corretti Q l/min u dm/min

4 rossa 0 56,1 0,3 0 0,1031 0,0633384 rossa 13 56,1 6,8 6,5 0,614 0,3772024 rossa 18 56,1 9,1 8,8 0,8285 0,5089774 rossa 24 56,1 12,4 12,1 1,0991 0,6752164 rossa 30 56,1 15,5 15,2 1,3841 0,8503014 rossa 34 56,1 17,7 17,4 1,5821 0,971944 rossa 42 56,1 21,5 21,2 1,9973 1,2270124 rossa 50 56,1 25,4 25,1 2,4381 1,4978114 rossa 55 56,1 28,6 28,3 2,7266 1,6750464 rossa 61 56,1 32,8 32,5 3,086 1,8958384 rossa 68 58,9 31,5 31,2 3,5235 2,164614 rossa 77 61,5 31,7 31,4 4,1148 2,5278664 rossa 84 63,2 31,9 31,6 4,5971 2,824164 rossa 91 64,8 31,8 31,5 5,099 3,1324954 nera 64 67,1 31,9 31,6 5,5627 3,4173624 nera 71 69,5 31,9 31,6 6,2256 3,8246054 nera 71 71 31,9 31,6 6,2256 3,8246054 nera 64 67,8 31,7 31,4 5,5627 3,4173624 rossa 91 64,5 31,5 31,2 5,099 3,1324954 rossa 84 63,1 31,5 31,2 4,5971 2,824164 rossa 77 61,5 31,1 30,8 4,1148 2,5278664 rossa 68 59,3 30,1 29,8 3,5235 2,164614 rossa 61 58 28,2 27,9 3,086 1,8958384 rossa 55 57,3 25,8 25,5 2,7266 1,6750464 rossa 50 57 23,3 23 2,4381 1,4978114 rossa 42 56,6 20,1 19,8 1,9973 1,2270124 rossa 34 56,5 16,6 16,3 1,5821 0,971944 rossa 30 56,4 15 14,7 1,3841 0,8503014 rossa 24 56,4 12,1 11,8 1,0991 0,6752164 rossa 18 56,1 8,9 8,6 0,8285 0,5089774 rossa 13 56,1 6,7 6,4 0,614 0,377202

È possibile notare come i valori di perdite di carico misurati abbiano un errore sistematico pari a 0,3 mbar ineliminabile e legato alla taratura del manometro differenziale, di conseguenza nell’analisi dei dati si dovrà prestare particolare attenzione a sottrarre alla perdita di carico misurata tale valore in modo tale da ottenere la perdita di carico effettiva nel letto.Prima di procedere con il calcolo della velocità di minima fluidizzazione è opportuno calcolare la pressione massima teorica che come abbiamo già detto risulta proporzionale al peso del letto ed in particolare vale:

∆ Pmax=MP∗gS

=3150Pa=0,0315 ¿̄ 31,5mbar

26

Si può osservare che la perdita di carico massima corrisponde al valore calcolato e che il letto come previsto si assesta intorno a questo valore (il letto genera una perdita di carico misurata di 31,6 mbar, di poco superiore a quella calcolata).Si procederà ora al calcolo della velocità di minima fluidizzazione, viene prima però riportato il grafico delle perdite di carico in funzione della velocità superficiale relativo alla prova in discesa ed in salita.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

5

10

15

20

25

30

35

DP salitaDP discesa

u

ΔP

Si possono osservare per le due prove gli andamenti precedentemente descritti.

Per determinare la velocità di minima fluidizzazione si deve procedere nel seguente modo: Si traccia a partire dai dati sperimentali la retta corrispondente al tratto di aumento

lineare della pressione effettuando un estrapolazione. Si traccia la retta corrispondente alla pressione massima. Si determina la velocità di minima fluidizzazione come intersezione di queste 2

rette.Tale procedura deve essere condotta per entrambe le prove, sia in salita sia in discesa in modo tale da determinare la velocità di minima fluidizzazione effettiva come media delle velocità di fluidizzazione corrispondenti alle due prove.La velocità di minima fluidizzazione può essere trovata più agevolmente graficando i punti corrispondenti al tratto di aumento lineare della pressione (corrispondente al comportamento di letto fisso) per le due prove, dopo di che con lo strumento linea di tendenza di Excel se ne determina l’equazione (ΔP vs u) e tramite questa equazione si determina la velocità di minima fluidizzazione imponendo che la perdita di carico calcolata sia uguale a quella massima possibile.

27

Si ottengono i seguenti grafici:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

20

25

30f(x) = 16.8388250287323 x + 0.392772050192502

tratto lineare salita

u

ΔP

L’equazione che utilizzeremo per determinare la velocità di minima fluidizzazione è la seguente:

∆ P=16,839∗u+0,3928

Imponendo un ΔP di 31,5 mbar si ottiene per il tratto in salita una velocità di minima fluidizzazione umf,s=1,847 dm/min.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.80

5

10

15

20

25

30

f(x) = 14.514836392483 x + 1.64046523251036

Tratto lineare discesa

Series2Linear (Series2)

u

ΔP

L’equazione che utilizzeremo per determinare la velocità di minima fluidizzazione è la seguente:

∆ P=14,515∗u+1,6405

Imponendo un ΔP di 31,5 mbar si ottiene per il tratto in discesa una velocità di minima fluidizzazione umf,s=2,057 dm/min.

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La velocità di minima fluidizzazione si trova come media delle velocità trovate per il tratto in salita e per quello in discesa, si ottiene il seguente risultato:

umf=1,952dmmin

Questa velocità può essere confrontata con la velocità di minima fluidizzazione calcolata per via teorica utilizzando la seguente formula:

umf=7,9∗10−3∗d p

1,82∗( ρP−ρ )0,94

μ0,88 =1,07dmmin

Si può osservare che i 2 valori pur non essendo molto distanti differiscono notevolmente l’uno dall’altro, in particolare si ha una differenza del 45% tra le 2 velocità, questo è legato al fatto che la formula utilizzata per il calcolo della velocità terminale è una formula empirica che ha validità generale, ma non tiene conto dei fattori che intervengono nei singoli sistemi. Per calcolare la velocità di minima fluidizzazione si sarebbe potuto ricorrere anche alla relazione di Ergun, ma sarebbe stato necessario conoscere con precisione il grado di vuoto di minima fluidizzazione poiché questa relazione non solo dipende da esso, ma è anche notevolmente sensibile alle sue variazioni, tanto che bastano piccole variazioni nel grado di vuoto per modificare sensibilmente il risultato ottenuto.Utilizziamo la relazione di ergun per il calcolo della velocità di minima fluidizzazione:

∆ PL

=

150∗(1−ε )2

ε3 ∗μ∗u

d322

Sostituendo: ΔP=31,5 mbar L=56,1 cm (lunghezza del letto) Ε grado di vuoto del letto calcolato come media dei gradi di vuoto ottenuti durante

la prova a varie velocità µ viscosità dell’aria d32 diametro medio delle particelle

Si può calcolare la velocità di minima fluidizzazione che vale:

umf=1,268dm /min

Questa velocità è inferiore del 35% rispetto a quella ottenuta dai dati sperimentali, questo risultato però non è attendibile poiché l’equazione di Ergun è molto sensibile alle variazioni del grado di vuoto (bastano infatti piccole variazioni di questo parametro per far variare la velocità di minima fluidizzazione ottenuta dal calcolo), poiché non si conosce con precisione il grado di vuoto corrispondente alla minima fluidizzazione non si può calcolare con precisione il valore della velocità di minima fluidizzazione utilizzando questa relazione

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2. Misura dell’espansione omogenea del letto fluidizzato (applicazione di Richardson-Zaki)

Nella regione di fluidizzazione omogenea (cioè quando si osserva un espansione del letto omogenea senza bolle) per ciascun valore della velocità superficiale si misura il valore dell’altezza del letto fluidizzato (H); misurare inoltre il valore massimo che raggiunge tale altezza (Hmax) che viene raggiunto durante l’espansione ed al quale come vedremo corrispondono le condizioni di minimum bubbling, dopo di che si applica la relazione di Richardson-Zaki per determinare la velocità terminale e il parametro n in essa presente.Dalla prova sperimentale si ottengono i seguenti dati,a noi interessano solo i dati relativi all’espansione omogenea del letto (in giallo):

posizione rotametro altezza letto (cm) Q l/min u dm/min0 56,1 0 0

13 56,1 0,614 0,37720218 56,1 0,8285 0,50897724 56,1 1,0991 0,67521630 56,1 1,3841 0,85030134 56,1 1,5821 0,9719442 56,1 1,9973 1,22701250 56,1 2,4381 1,49781155 56,1 2,7266 1,67504661 56,1 3,086 1,89583868 58,9 3,5235 2,1646177 61,5 4,1148 2,52786684 63,2 4,5971 2,8241691 64,8 5,099 3,13249564 67,1 5,5627 3,41736271 69,5 6,2256 3,82460571 71 6,2256 3,82460564 67,8 5,5627 3,41736291 64,5 5,099 3,13249584 63,1 4,5971 2,8241677 61,5 4,1148 2,52786668 59,3 3,5235 2,1646161 58 3,086 1,89583855 57,3 2,7266 1,67504650 57 2,4381 1,49781142 56,6 1,9973 1,22701234 56,5 1,5821 0,9719430 56,4 1,3841 0,85030124 56,4 1,0991 0,67521618 56,1 0,8285 0,50897713 56,1 0,614 0,377202

Prima di analizzare i dati si calcola il numero di Reynolds corrispondente al valore di velocità superficiale più elevato, in modo tale da stabilire le condizioni di moto nelle quali ci troviamo.

30

ℜ=ρ∗u∗d32

μ=1,65

Possiamo considerare condizioni di moto laminare.

Si vuole ora applicare la relazione di Richardson-Zaki

uut

=εn

Dove u rappresenta la velocità terminale, ε il grado di vuoto del letto, ut la velocità terminale di una particella di solido isolata ed n è un parametro che in condizioni di moto laminare vale 4,8.Prima di poter utilizzare questa formula è necessario riarrangiarla e determinare il grado di vuoto.Il grado di vuoto può essere calcolato come:

ε=V−V s

V

Dove V rappresenta il volume totale del letto calcolato come prodotto della sezione della colonna per l’altezza misurata, Vs è il volume dei solidi presenti all’interno della colonna che può essere determinato dividendo la massa del letto per la densità delle particelle (la densità che si considera è la densità delle particelle pori compresi).

Per il grado di vuoto si ottengono i seguenti risultati:

V ε9,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,131823 0,397259,587601 0,42590310,01082 0,45017410,28754 0,46496410,54799 0,47817410,92238 0,49606111,31304 0,51346311,55721 0,52374211,03632 0,50126410,49916 0,47574710,27127 0,464116

31

10,01082 0,4501749,652712 0,4297769,441101 0,4169959,327156 0,4098739,278323 0,4067679,213212 0,4025749,196934 0,4015179,180657 0,4004569,180657 0,4004569,131823 0,397259,131823 0,39725

La relazione di Richardson-Zaki può essere riscritta nel seguente modo.

ln (u )=ln (ut )+n∗ln (ε )

Graficando il logaritmo di u in funzione del logaritmo di ε si ottiene una retta di pendenza n e di intercetta con l’asse delle y pari alla velocità terminale

Graficando in Excel i dati sperimentali sia per la prova in salita che per quella in discesa si ottengono i seguenti grafici:Per la prova in salita

32

ln(ε)

ln(u)

n

ut

-0.95 -0.9 -0.85 -0.8 -0.75 -0.7 -0.65 -0.60

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

f(x) = 2.73468069657149 x + 3.13662646765295

salita ln(u)

ln(u)Linear (ln(u))

ln(ε)

ln(u

)

Utilizzando lo strumento linea di tendenza di excel si può determinare l’equazione della retta passante per i punti sperimentali e di conseguenza ut ed n si ha che:

ln (u )=3,1366→u=e3,1366=23,02dmmin

n=2,7347

Per la prova in discesa si ha:

-0.95 -0.9 -0.85 -0.8 -0.75 -0.7 -0.65-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

f(x) = 5.09126633939862 x + 5.02421854683274

discesa ln(u)

Series2Linear (Series2)

ln(ε)

ln(u

)

Come si può osservare i dati sperimentali non si dispongo su una retta quindi la stima della velocità terminale e del parametro n risulta non solo più difficile ma anche affetta da più errori. Utilizzando lo strumento linea di tendenza di ha.

33

ln (u )=5,01242→u=e5,0242=152,05dmmin

n=5,0913

Si procede ora al calcolo della velocità terminale utilizzando un bilancio di forze in maniera tale da poter confrontare questo risultato con quelli ottenuti sperimentalmente.

f∗A∗Ec=F P−F A

Dove f rappresenta il fattore di attrito, A la superficie della particella investita dal flusso del fluido, Ec l’energia cinetica, FP la forza peso, FA la spinta di archimede.Effettuando le sostituzioni opportune si ottiene:

24ℜ⏞∗

fπd32

2

4

⏞A

∗12∗ρ∗ut

2

⏞Ec

=πd32

2∗ρP∗g6

⏞−FP π

d322∗ρ∗g

6

ut=d32

2∗(ρP−ρ )∗g18∗μ

La velocità terminale così calcolata vale:

ut=72,82 dm/min

Si può osservare che questo valore è ben lontano da quello ricavato con Richardson-Zaki per entrambe le prove, questo risultato è legato al fatto che l’espansione omogenea per un letto fluidizzato con un gas ha una breve durata e quindi non si hanno a disposizione punti sperimentali a sufficienza per ottenere un buon risultato, questo è evidente soprattutto per la prova in salita dove i dati sperimentali pur disponendosi su di una retta non riprendono i valori attesi ne di n (che vale 2,7 contro i 4,8 teorici) ne della velocità terminale (23,02 dm/min contro 72,82 dm/min teorici). Per la prova in salita invece il pessimo risultato è legato anche al fatto che i punti non si allineano perfettamente su di una retta.

Questo tipo di prova permette di determinare agevolmente le condizioni di minimum bubbling, infatti queste corrispondo alla massima altezza raggiunta dal letto durante l’espansione omogenea. Questo perché l’espansione del letto segue l’andamento riportato nel seguente grafico.

34

Altezza

Inizialmente il letto si comporta come un letto fisso e la sua altezza rimane costante, dopo di che quando si raggiungono le condizioni di minima fluidizzazione inizia ad espandersi in maniera omogenea fino a che non raggiunge le condizioni di minimum bubbling, da questo punto in poi l’altezza del letto diminuisce perché parte del gas bypassa il letto sottoforma di bolle e quindi non contribuisce alla fluidizzazione del letto.

Dai dati sperimentali si ottiene:

posizione rotametro altezza letto (cm) ΔP (mbar)ΔP (mbar) Q l/min

u dm/min V tot ε

71 71 31,9 31,6 6,22 3,82 11,56 0,524

L’altezza di minimum bubbling HMB=71 cm (il letto si è espanso di 14 centimetri), mentre la velocità di minimum bubbling vale uMB=3,82 dm/min ed il grado di vuoto εMB=0,524.Possiamo confrontare questi dati con quelli calcolabili per via teorica in particolare con il grado di vuoto e la velocità di minimum bubbling.

n∗ut∗(1−εMB )∗εMBn−1=√ 3,2∗g∗d32∗( 1−εMB )∗ρP−ρ

ρP

Dove il termine n è quello che compare nella relazione di Richardson-Zaki e vale per il moto laminare 4,8.Mentre la velocità di minimum bubbling si può calcolare tramite Richardson-Zaki

uMB=u t∗εMBn

Si ottengono i seguenti risultati:

εMB=0,357uMB=3,93 dm/min

35

tempo

Mentre le due velocità sono molto simili si osserva una sensibile differenza nel grado di vuoto, di conseguenza si può dire che il letto si è espanso in maniera maggiore rispetto a quella che ci aspetteremmo, anche in questo caso però bisogna tener conto dell’incertezza legata agli errori sperimentali.

3. Prova del collasso.

In condizioni di letto fluidizzato bollente a velocità superficiale nota si interrompe istantaneamente la portata di gas e si misura la velocità di sedimentazione del letto, poiché tale fenomeno è molto veloce 20-30 s si utilizza una telecamera per registrare il fenomeno ed un cronometro per monitorarne la durata. Successivamente si procede alla riproduzione del filmato al rallentatore in modo tale da poter misurare l’altezza del letto fluidizzato in funzione del tempo trascorso dall’istante del collasso.Innanzitutto bisogna fissare le condizioni alle quali verrà condotta la prova, si fissa una velocità superficiale pari a 4 volte la velocità di minima fluidizzazione (di conseguenza essendo la sezione della colonna costante si utilizza una portata pari a 4 volte la portata di minimum bubbling).

posizione rotametro Q l/minu dm/min

Minimum bubbling Rotametro 4 pallina nera posizione 71 6,22 3,82Prova del collasso Rotametro 3 posizione 52,34 24,88 15,28

La portata di 24,88 corrisponderebbe ad una posizione del rotametro pari a 52,34 per essere conservativi e poiché la prova precedente era stata condotta alla posizione 45 si è scelto di utilizzare la posizione 55 che corrisponde ad una portata di 26,4 l/min.I risultai della prova del collasso dovrebbero avere il seguente andamento.

Si osserva un primo tratto nel quale l’altezza del letto diminuisce bruscamente a causa della fuoriuscita delle bolle dal letto, dopo di che inizia la “sedimentazione” del letto che torna alle condizioni di letto fisso. Quello che con questa prova si vuole valutare è la capacità di incamerare area delle particelle, in particolare valutando la differenza tra l’espansione del letto dalla minima fluidizzazione del letto al minimum bubbling della prova precedente e l’espansione del letto tra la condizione di letto fisso e l’altezza di minimum

36

altezza

tempo0

bubbling ottenuta per estrapolazione della retta di “sedimentazione” a zero. Si valuterà inoltre il tempo necessario al letto per tornare alle condizioni di letto fisso.

Si ottengono i seguenti risultati a seguito della prova del collasso:

altezza del letto cm tempo sec59,4 0,9759,3 1,97

59 2,8758,8 3,1958,6 3,9758,3 4,9957,8 6,1957,5 6,9757,3 8,0556,9 9,0556,4 10,97

56 13,0355,5 17,25

Graficando i dati sperimentali si ottiene il seguente andamento.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 1953

54

55

56

57

58

59

60

altezza del letto m

tempo

alte

zza

del l

etto

Si può osservare che gli ultimi 2 punti rappresentano la fase di assestamento del letto mentre manca il vero e proprio collasso (non si è misurata l’altezza al tempo zero).Si procede quindi a graficare i dati sperimentali relativi alla sedimentazione del letto e con lo strumento linea di tendenza di Excel si determina l’equazione relativa a questa retta che verrà poi utilizzata per determinare l’altezza di minimum bubbling e il tempo di sedimentazione del letto.

37

Si ottiene il seguente grafico.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 2053

54

55

56

57

58

59

60

f(x) = − 0.303918904696545 x + 59.770751941432

tempo

alte

zza

del l

etto

Gli ultimi 2 punti rappresentano la fase di assestamento del letto.L’equazione della retta è la seguente:

H=−0,3039∗t+59,771

Dove H rappresenta l’altezza del letto mentre t il tempo.

Si ha che al tempo zero l’altezza del letto vale HD=59,771 cm, mentre il tempo di sedimentazione è pari a circa 14 s.La velocità di sedimentazione del letto può essere calcolata come rapporto tra l’altezza della fase densa meno l’altezza di minima fluidizzazione (ΔH) e il tempo di sedimentazione.

vsed=H D−H mf

t S=59,771−55,5

14=0,303

dms

Si può inoltre determinare la percentuale di aria intrappolata in relazione al volume dei solidi contenuti nella colonna:

θ=∆ H∗SV s

=1,26=126 %

I solidi sono in grado di incamerare un volume di aria notevole pari al 126% del loro volume.

38

Come si può notare il letto raggiunge un’altezza minore di quella vista in precedenza, questo perché si era fatto assestare il letto per visualizzare il fatto che le particelle erano impaccate in modo disordinato e che quindi il grado di vuoto era maggiore di quello minimo possibile.Confrontando l’altezza di minimum bubbling delle prove precedenti con l’altezza della fase densa ottenuta con la prova del collasso si nota che questo valore è molto più piccolo, in particolare è inferiore di quasi 12 cm, anche l’espansione del letto che nella prova precedente era di 14 cm in questa prova si riduce a poco più di 4 cm.

39

Esercizio 1

Applicazione del modello a due fasi per un reattore a letto fluidizzato.

Si consideri un sistema gassoso le cui caratteristiche fisiche siano assimilabili quelle dell’aria a condizioni ambiente (ρ=1,2 kg/m3, µ=1,8*10-5 Pa*s). Le particelle del catalizzatore abbiano ρp=1500 kg/m3, dp=70 µm. nel reattore avviene una reazione catalitica del primo ordine tale che ρp*k1=5 s-1. La massa di catalizzatore caricata nel reattore sia di 250 kg per unità di sezione (espressa in m2). La velocità superficiale della corrente gassosa sia u0=0,120 m/s e si scelga dB=3,75 cm. Si assuma inoltre DA=5,2*10-5

m2/s.

Risoluzione:

Innanzitutto deve essere calcolata la velocità di minima fluidizzazione utilizzando la seguente formula:

umf=7,9∗10−3∗d p

1,82∗( ρp−ρ )0,94

µ0,88

Questa relazione empirica è molto utile perché permette di determinare la velocità di minima fluidizzazione senza che sia necessario conoscere il grado di vuoto del letto corrispondente.Sostituendo i valori numerici si ottiene:

umf=7,9∗10−3∗(70∗10−6 )1,82

∗(1500−1,2 )0,94

(1,8∗10−5)0,88 =3,14∗10−3m /s

Si può quindi passare al calcolo del grado di vuoto di minimum bubbling, prima però è necessario calcolare la velocità terminale della particella perché essa compare nell’espressione per il calcolo del grado di vuoto, la velocità terminale si calcola da un bilancio di forze, considerando il fluido in moto laminare nel letto di particelle e trascurando la spinta di Archimede:

24ℜ∗π∗d p

2

4∗1

2∗ρ∗ut

2=π∗d p

3

6∗(ρp− ρ )∗g

ℜ=ρ∗ut∗dp

μ

ut=d p

2∗ρ p∗g18∗µ

=¿¿

40

Come si può osservare la velocità di minima fluidizzazione è minore di quella terminale, il risultato è logico perché altrimenti la corrente di gas trascinerebbe fuori le particelle di solido.

Per calcolare il grado di vuoto di minimum bubbling si usa la seguente formula:

m∗u t∗(1−εMB )∗εMBn−1=√3,2∗g∗(1−εMB )∗

ρp−¿ ρ

ρp

¿

Si ottiene:

εMB=0,48

Per determinare le condizioni di moto calcoliamo il numero di Reynolds della particella isolata alla velocità terminale:

ℜ=ρ∗ut∗dp

µ=1,02

Si osserva che anche nelle condizioni di massima velocità relativa fluido-particella ci troviamo nelle condizioni di moto laminare.Si deve ora calcolare la velocità in fase densa ricordando che:

uut

=εn conn=4,8

Si ha che:

u=ut∗εn=0,006

ms=6

mms

Abbiamo una velocità superficiale pari a 120 mm/s, ma solo 6 mm/s servono per fluidizzare il letto e sospendere la particelle, la restante parte va nelle bolle. Quindi è possibile trascurare tale velocità (portata) rispetto a quella delle bolle.Si possono quindi determinare i volumi delle bolle e della fase densa, per la fase densa abbiamo:Il volume dei solidi vale

V C=MC

ρp

Inoltre possiamo determinare il volume totale della fase densa nel letto noto il grado di vuoto di minimum bubbling, poiché risulta:

V D=(1−εMB )∗V C=0,32m3

m2

Essendo espresso per unità di superficie tale volume rappresenta l’altezza del letto in assenza di bolle, dobbiamo quindi calcolare il volume delle bolle.

41

Il sistema può essere schematizzato come costituito da due fasi: la fase “bolle”(che si considera in condizioni di flusso a pistone) e la fase densa (che si considera perfettamente mescolata). Il tempo di residenza delle bolle si definisce come:

τ B=V B

Q=HuB

=V B/SQ /S

=HB

uDove:

VB rappresenta il volume delle bolle Q la portata delle bolle (che in questo caso coincide con la portata volumetrica del

gas entrante poiché solo una piccola parte di quest’ultimo contribuisce a fluidizzare il letto)

τB è il tempo di residenza delle bolle nel letto ed è dato dal tempo che una bolla impiega per passare dal piatto distributore alla sommità del letto.

Il rapporto H/uB indica che il tempo di permanenza delle bolle nel letto è pari all’altezza del letto divisa la velocità di risalita delle bolle. Mentre il rapporto HB/u si ottiene dividendo numeratore (VB) e denominatore (Q) per la sezione del letto e ci da il rapporto tra l’altezza della fase bolle e la velocità superficiale del fluido.

Si definisce come δ la frazione volumetrica occupata dalle bolle (1- δ ovviamente indica la frazione volumetrica della fase densa) dal rapporto visto prima si ottiene.

δ=QB

Q=HB

H= uuB

Poiché essendo costante la sezione il rapporto dei volumi coincide con il rapporto delle altezze, la velocità uB può essere calcolata utilizzando la seguente equazione:

uB=uB∞+uDove:

uB∞=0,71∗√g∗dB=0,43ms

u=QS

=0,12ms

Si ha che

uB=uB∞+u=0,55ms

Di conseguenza

δ=QB

Q=HB

H= uuB

=0,120,55

=0,21

Il 21% del volume del letto è occupato dalle bolle.

Il volume delle bolle vale quindi:

42

V B=δ

1−δ∗V D=0,085

m3

m2

Ora è necessario conoscere il coefficiente di trasferimento di materia tra la fase bolle e la fase densa, si utilizza la seguente relazione costituita da un primo termine che tiene conto della diffusione e da un secondo termine che tiene conto del moto d’insieme:

k B−D=DA

12∗( gdB

)14 + 3

4∗uMB=0,0335

ms

Ora dobbiamo conoscere la superficie di scambio di materia che coincide con la superficie totale delle bolle, ci conviene determinare la superficie delle bolle facendo riferimento all’unità di volume del letto, per fare ciò si seguono i seguenti step:

1. Si calcola il numero di bolle per unità di volume dividendo la frazione volumetrica delle bolle per il volume di una singola bolla

2. Si moltiplica la superficie di una singola bolla per il numero di bolle per unità di volume e si ottiene la superficie totale delle bolle per unità di volume del letto.

nB=δ

π∗dB3

6

→SB=nB∗π∗dB2 =6∗δ

dB

=33,6m2

m3

La superficie di scambio può essere aumentata riducendo il volume delle bolle (e quindi il loro diametro) utilizzando particelle di catalizzatore più piccole.Per poter scrivere i bilanci è necessario conoscere anche l’altezza totale del letto, che può essere facilmente ricavata dall’altezza della fase densa ricordando che:

H D=V D

Si ha che:

H=H D

1−δ=0,406m

Ora possiamo scrivere i bilanci, poiché siamo di fronte ad un sistema costituito da 2 fasi possiamo scrivere un bilancio di moli per ciascuna fase.

BOLLE

Q∗c A;B¿z=Q∗c A ;B ¿z+dz+kB−D∗SB∗S∗dz∗(c A ;B−c A; D )

Si fanno le seguenti semplificazioni: Si considera la sezione S unitaria. La fase densa si considera perfettamente mescolata, così risulta cA;D costante in

tutto il reattore mentre cA;B varia. Q si considera costante e poiché si è considerata una sezione unitaria la si prende

per unità di superficie. Per z=0 si considera cA;B pari alla concentrazione di alimentazione cA;0

Riarrangiando i termini dell’equazione e dividendo per Q e dz si ottiene:

43

d cA ;Bdz

=−kB−D∗SB∗dz∗(c A; B−c A; D )

Separando le variabili ed integrando tra la composizione dell’alimentazione e una generica composizione cA;B e tra il fondo della colonna ed una generica z si ottiene:

ln ( cA ;B−c A; D

c A; 0−c A; D)=−kB−D∗SB

Q∗z

c A;B−c A; D

cA ;0−c A ;D

=e−k B−D∗S B

Q∗z

Possiamo sostituire a SB l’espressione vista prima e dividere e moltiplicare l’esponente per l’altezza del letto H, si ottiene:

c A;B−c A; D

cA ;0−c A ;D

=e

−k B−D∗6∗δ∗HdBQ

∗z

H

È comparso un numero adimensionale che regola il fenomeno:

kB−D∗6∗δ∗HdBQ

=α=3,8

Che rappresenta il rapporto tra il tempo di residenza delle bolle nel reattore H∗δQ

ed il

tempo caratteristico del trasferimento di materia dB

6∗kB−D.

Se il tempo di residenza è grande diamo la possibilità al reagente di trasferirsi dalla bolla alla fase densa, se il reagente va più veloce del trasferimento di materia non ce la fa a passare nella fase densa quindi cA;B non cambia. Se invece il tempo di permanenza è lunghissimo rispetto al tempo necessario per il trasferimento di materia è come se non ci fosse resistenza al trasferimento di materia è come se anche nelle bolle ci fosse un mescolamento perfetto.Un parametro fondamentale per questo sistema è il diametro delle bolle che compare non solo in maniera esplicita al denominatore dell’esponente ma aanche in maniera implicita all’interno del coefficiente di trasferimento di materia, determina la velocità delle bolle e quindi l’hold up, è un parametro molto importante per il sistema in esame.

FASE DENSA

Tutto ciò che entra nella fase densa dalle bolle reagisce (ipotesi di quasi stazionarietà)

∫0

H

kB−D∗SB∗(c A; B−cA ;D )∗S∗dz=k1∗cA ;D∗MC

44

Per integrare questa equazione si può ricavare la differenza (cA;B-cA;D) dal bilancio scritto per la fase densa, dopo di che si può sostituire questa espressione dentro l’integrale, si ottiene:

∫0

H k B−D∗6∗δdB

∗(c A ;0−c A; D )∗e−α∗zH ∗S∗dz=k1∗cA ;D∗MC

kB−D∗6∗δdB

∗(cA ;0−cA ;D )∗e−α∗zH ∗S∗α

H¿0H=k

1

∗c A ;D∗MC

Sostituendo ad α l’espressione prima trovata si ottiene:

c A; D

c A; 0

=Q∗(1−e−α )

k1∗MC+Q∗(1−e−α )=0,123

Noto questo rapporto è possibile tornare al bilancio scritto per la fase densa e sostituire qui l’espressione appena trovata per cA;D, dopo di che si divide numeratore e denominatore per cA;0 si ottiene.

e−α=

c A;B

cA ;0−c A; D

cA ;0

1−c A; D

cA ;0

Da qui è possibile ricavare il rapporto c A;B

cA ;0

=1− χ A=0,138

Si ha quindi che la conversione vale χA=86% per un reattore a letto fluidizzato.

Si può confrontare con un reattore a mescolamento perfetto per vedere se è alta o bassa:

Q∗c A, 0=Q∗cA+k1'∗c A∗MC

cAc A, 0

= QQ ¿k1

'∗MC

=0,125=1− χ A→ χ A=87,5

Per un reattore a mescolamento perfetto abbiamo una conversione maggiore, anche se solo dello 1,5%, nonostante questo valore possa sembrare piccolo bisogna tener conto del fatto che di solito i reattori industriali hanno dimensioni notevoli che rendono importante dal punto di vista del ritorno economico un incremento anche piccolo del rendimento del reattore.Si valuterà ora l’effetto della dimensione delle bolle sulle prestazioni del reattore, poiché come illustrato in precedenza tale parametro influenza in maniera notevole il sistema.

dB cm dB m kB-D m/s uB∞ uB δ α Cad/CA0 CAB/CA0 χA

0,1 0,001 0,076266 0,0703220,19032

2 0,63051 976,1551 0,1258740,12587

4 0,874126

45

0,5 0,005 0,052493 0,1572450,27724

5 0,43283 92,24504 0,1258740,12587

4 0,874126

1 0,01 0,044857 0,2223790,34237

9 0,350489 31,91545 0,1258740,12587

4 0,874126

1,5 0,015 0,040967 0,2723570,39235

7 0,305844 16,95647 0,1258740,12587

4 0,874126

2 0,02 0,038436 0,3144910,43449

1 0,276185 10,77471 0,125872 0,12589 0,87411

2,5 0,025 0,036595 0,3516110,47161

1 0,254447 7,56087 0,1258170,12627

2 0,873728

3 0,03 0,035165 0,3851710,50517

1 0,237543 5,652291 0,1254880,12855

7 0,871443

3,5 0,035 0,034005 0,4160320,53603

2 0,223867 4,415365 0,1245420,13512

6 0,864874

3,75 0,0375 0,033501 0,4306340,55063

4 0,217931 3,952201 0,123755 0,14059 0,85941

4 0,04 0,033037 0,4447570,56475

7 0,212481 3,56248 0,1227420,14762

8 0,852372

4,5 0,045 0,032209 0,4717360,59173

6 0,202793 2,946521 0,1200570,16627

3 0,833727

5 0,05 0,031488 0,4972540,61725

4 0,19441 2,485385 0,1166120,19019

3 0,809807

5,5 0,055 0,030853 0,5215240,64152

4 0,187055 2,130088 0,1126010,21804

8 0,781952

6,5 0,065 0,029775 0,5669560,68695

6 0,174684 1,624374 0,1036430,28025

7 0,719743

7 0,07 0,029311 0,5883580,70835

8 0,169406 1,439982 0,0990030,31247

8 0,687522

7,5 0,075 0,028887 0,6090090,72900

9 0,164607 1,287009 0,0944020,34443

3 0,655567

8 0,08 0,028496 0,6289810,74898

1 0,160218 1,158528 0,089909 0,37563 0,62437

8,5 0,085 0,028135 0,6483390,76833

9 0,156181 1,049444 0,0855730,40574

3 0,594257

9 0,09 0,0278 0,6671360,78713

6 0,152451 0,955943 0,0814220,43456

9 0,565431

9,5 0,095 0,027487 0,6854170,80541

7 0,148991 0,875115 0,0774730,46199

5 0,538005

10 0,1 0,027194 0,7032230,82322

3 0,145769 0,80471 0,0737320,48797

5 0,512025

15 0,15 0,025007 0,8612680,98126

8 0,122291 0,413861 0,0465320,67686

3 0,323137

20 0,2 0,023584 0,9945071,11450

7 0,107671 0,257736 0,031680,77999

7 0,220003

25 0,25 0,022548 1,1118931,23189

3 0,097411 0,178351 0,0229820,84040

3 0,159597

uMB m/s Da m^2/s g m/s^2 H Q0,006 0,000052 9,81 0,406 0,12

46

Il seguente grafico mostra l’andamento della conversione in funzione del diametro delle bolle:

0 5 10 15 20 25 300

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

Conversione

dB in cm

Conv

ersio

ne

Si può osservare come all’aumentare del diametro delle bolle la conversione diminuisca, questo è dovuto al fatto che il tempo di residenza nelle bolle è aumentato mentre le altre condizioni operative (il tempo di residenza nell’apparecchiatura, le portate, il coefficiente di diffusione ecc…) sono rimaste costanti, di conseguenza è diminuisce il coefficiente di trasferimento di materia tra le bolle e la fase densa quindi una minore quantità di reagente passa nella fase densa dove poi reagisce, questo comporta una diminuzione della conversione. Inoltre la maggiore dimensione delle bolle riduce la superficie di interfaccia totale disponibile per il trasferimento di materia facendo diminuire la converione.

47

Esercizio 2

Si vuole analizzare l’andamento della temperatura e delle portate in funzione della lunghezza del reattore per un reattore a pistone dotato di una camicia per lo scambio termico, nel quale avvengono 2 reazioni in parallelo entrambe con cinetica del primo ordine, le reazioni avvengono in fase gas e la loro stechiometria può essere schematizzata come segue:

A→Br1 , A=k 1 , A∗c AA→12C r2 , A=k2 , A∗cA

2

Come si può vedere la reazione di formazione del prodotto C avviene con riduzione del numero di moli.Si hanno a disposizione i seguenti dati:

L’alimentazione è costituita da 100 moli/s di A con cA,0=0,1 moli/l ad una temperatura di 150°C

ΔH*R1,A=-20000 J/mole di A

ΔH*R2,A=-60000 J/mole di A

cP,A=90 J/mole°C cP,B=90 J/mole°C cP,C=180 J/mole°C

k 1, A=10∗e

(( E1

R )∗( 1300

−1T ))s−1

k 2, A=0,09∗e

(( E2

R )∗( 1300

−1T ))dm3∗mole−1∗s−1

E1/R=4000 K E2/R=9000 K La temperatura del fluido refrigerante vale TR=100°C Mentre il coefficiente di scambio termico per unità di volume del reattore vale

U*a=4000 J/(m3*s*°C)Il reattore opera a pressione atmosferica.Per determinare i profili richiesti è necessario scrivere i bilanci di materia per tutte e 3 le specie ed il bilancio di energia. Si procede nel seguente modo:

Per ogni componente si scrivono i bilanci di materia in stato stazionario su un elementino del PFR schematizzato come segue:

Componente A

0=F A|z−F A|z+dz−rA∗S∗dz

48

z

z+dz

Fi|z+dzFi|z

Riarrangiando si ottiene:

d F A

dV=−r A

r A=k1 , A∗c A+k2 , A∗c A2

Componente B

0=F B|z−F B|z+dz+rB∗S∗dz

Riarrangiando si ottiene:

d FB

dV=rB

r B=r1 , A=k1 , A∗c A

Componente C0=FC|z−FC|z+dz−rC∗S∗dz

Riarrangiando si ottiene:

d FC

dV=rC

rC=12∗k2 , A∗c A

2

In queste relazioni abbiamo oltre alle portate molari ed al volume anche le concentrazioni volumetriche come incognite, per poter risolvere il sistema è necessario esprimere tali concentrazioni in funzione della portata molare. Si ha che:

c j=P j

RT=y j∗PRT

=c0∗y j∗(T 0

T)

y j=F j

∑ F j

c0=P

R∗T0

concentrazione al l' ingresso delreattore

T 0temperatura al l' ingresso del reattore

Si deve ora scrivere il bilancio di energia per il sistema in esame tenendo conto del fatto che tutto il calore prodotto dalla reazione viene assorbito dalla miscela e dal sistema di scambio termico.Innanzitutto è necessario calcolare il calore di reazione alla temperatura T, si utilizza la seguente formula.

49

∆ H R, i=∆ H R,i¿ +∫

T0

T

∆cPdt

Si può dimostrare che per la reazione in esame Δcp=0, di conseguenza l’Entalpia di reazione è costante con la temperatura.

Il bilancio di energia può quindi essere scritto come:

−∆ H R1 , A∗r1 , A∗dV−∆ HR2 , A∗r2 , A∗dV=∑i=A

C

F i∗c p ,i∗dT +U∗a∗(T−T R )∗dV

Riarrangiando si ottiene:

dTdV

=−∆H R1 , A∗r1 , A

∑ F i∗c P,i

−∆HR 2, A∗r2 , A

∑ F i∗c P,i

−U∗a∗(T−T R )∑ F i∗cP,i

Ora abbiamo 4 equazioni in 4 incognite (le 3 portate molari e la temperatura) che possiamo integrare con le opportune condizioni al contorno, il sistema di equazioni si presenta nel seguente modo:

{d F A

dV=−rA

d FB

dV=rB

d FC

dV=rC

dTdV

=−∆ HR1 , A∗r1 , A

∑ Fi∗cP, i

−∆H R2 , A∗r 2, A

∑ Fi∗cP, i−U∗a∗(T−T R )∑ F i∗cP ,i

V=0 F A=100molis

FB=FC=0T=423,15K

Il sistema può essere risolto utilizzando il software Polymath®, si ottengono i seguenti risultati:

POLYMATH Report No Title Ordinary Differential Equations 05-giu-2010

Calculated values of DEQ variables

  Variable

Initial value

Minimal value

Maximal value

Final value

1 cA 0,1 2,069E-09 0,1 2,069E-09

2 cpA 90, 90, 90, 90,

3 cpB 90, 90, 90, 90,

4 cpC 180, 180, 180, 180,

5 DH1 -2,0E+04 -2,0E+04 -2,0E+04 -2,0E+04

6 DH2 -6,0E+04 -6,0E+04 -6,0E+04 -6,0E+04

50

7 E1 4000, 4000, 4000, 4000,

8 E2 9000, 9000, 9000, 9000,

9 FA 100, 2,738E-06 100, 2,738E-06

10

FB 0 0 55,04326 55,04326

11

FC 0 0 22,47837 22,47837

12

k1A 482,8247 482,8247 4,485E+04 2,426E+04

13

k2A 553,0557 553,0557 1,481E+07 3,716E+06

14

P 1, 1, 1, 1,

15

R 0,082 0,082 0,082 0,082

16

rA1 48,28247 5,019E-05 371,5115 5,019E-05

17

rA2 5,530557 1,591E-11 855,4923 1,591E-11

18

T 423, 423, 812,1912 722,0882

19

TR 373, 373, 373, 373,

20

Ua 4000, 4000, 4000, 4000,

21

V 0 0 1, 1,

Differential equations 1 d(FC)/d(V) = rA2/2 2 d(FB)/d(V) = rA1 3 d(FA)/d(V) = -rA1-rA2

4 d(T)/d(V) = ((-DH1*rA1)+(-DH2*rA2)-Ua*(T-TR))/(FA*cpA+FB*cpB+FC*cpC)

Explicit equations 1 E1 = 4000 2 E2 = 9000

3 cA = 1e-1*(FA/(FA+FB+FC))*(423/T)

4 k1A = 10*exp(E1*(1/300-1/T)) 5 k2A = 9e-2*exp(E2*(1/300-1/T)) 6 TR = 373 7 DH1 = -20000 8 DH2 = -60000 9 cpA = 90 10

cpB = 90

11

cpC = 180

12

Ua = 4000

51

13

rA1 = k1A*cA

14

rA2 = k2A*cA*cA

15

P = 1

16

R = 82e-3

General Total number of equations 20

Number of differential equations 4

Number of explicit equations 16

Elapsed time 0,000 sec

Solution method RKF_45

Step size guess. h 0,000001

Truncation error tolerance. eps 0,000001

Graficamente si ha:Per le portate molari il seguente andamento:

Per la temperatura

52

Per quanto riguarda le portate molari si osserva che il componente a diminuisce fino A scomparire del tutto mentre le portate molari del componente B e C aumentano fino a raggiungere un valore stazionario che corrisponde alla completa scomparsa di A. si può inoltre osservare che la reazione non avviene con conservazione del numero di moli, in particolare, come evidenziato anche dalla cinetica, la formazione di C avviene con dimezzamento del numero di moli (la portata molare finale è di 80 moli/s mentre quella iniziale di 100 moli s).Si nota che il 60% di A va a reagire per dare B mentre il restante 40% va a formare il componente C, questo è legato al fatto che la razione di formazione di C pur avendo una costante cinetica maggiore ha anche un energia di attivazione maggiore questo implica che siano necessarie temperature più alte di quelle ottenute all’ingresso del reattore affinché la reazione avvenga, questo è evidenziato anche dall’andamento delle due curve relativa alla formazione di B e C, infatti mentre la reazione di formazione di B parte quasi istantaneamente (anche per piccoli volumi di reazione si ha B in uscita) quando la temperatura è ancora relativamente bassa, la reazione di formazione di C parte solo dopo che la temperatura si è alzata e si ha un maggiore incremento della portata molare di C quando la temperatura è nelle vicinanze del valore massimo, mentre per b l’incremento di portata molare è quasi costante al crescere della temperatura.L’andamento della temperatura è dovuto alle seguenti cause, inizialmente essendo le reazioni esotermiche prevale l’effetto della produzione di calore su quello dello scambio termico, quando però si raggiunge la totale conversione di A non si ha ulteriore reazione chimica e di conseguenza non si ha produzione di calore quindi lo scambio termico inizia a far diminuire la temperatura, questo spiega sia la presenza di un massimo nella curva T vs V sia la diminuzione di temperatura lineare che si ha nel tratto in cui si ha solo lo scambio termico con l’esterno.

53

Esercizio 3

Una reazione è condotta in 2 reattori catalitici plug flow con lo stesso riempimento connessi in serie, con questa configurazione si raggiunge una conversione dello 86,5%. Si propone di separare i 2 reattori e di farli lavorare in parallelo inviando in ciascuno dei due metà della portata da trattare in modo da ridurre i costi di pompaggio, si chiede se in termini di conversione questa scelta è conveniente, si valutino i casi in cui sia controllante il trasferimento di materia o la reazione chimica.

LA configurazione in parallelo riduce le perdite di carico che dipendono non solo dalla velocità superficiale che in questo caso risulta dimezzata, ma anche dalla lunghezza del reattore, anch’essa ridotta della metà.Esaminiamo ora come varia la conversione.

1. Reazione controllante

Dobbiamo per questo caso scrivere i bilanci di materia per entrambe le soluzioni

Soluzione in serie

{ Q∗dc A

dVV=0c A=c A, 0

=−r A rA=k∗cA

Integrando tra il volume iniziale (0) ed il volume totale dei 2 reattori (2*V) si ottiene:

∫C A,0

CA d c A

c A

=∫0

2V−kQ

dV

ln ( c A

cA ,0)=−k

Q∗2∗V→ ln (1− χ A )=−2∗τ∗k

54

Soluzione in parallelo.

Abbiamo due bilanci di materia identici per i 2 PFR

{ Q2∗d c A

dVV=0c A=c A, 0

=−r A rA=k∗cA

Integrando tra il volume iniziale (0) e quello finale di un reattore (V) si ottiene:

∫C A,0

CA d c A

c A

=∫0

V−2∗kQ

dV

ln ( c A

cA ,0)=−k

Q∗2∗V→ ln (1− χ A )=−2∗τ∗k

Come si può notare la conversione è la stessa per le due soluzioni perché se è controllante la cinetica chimica il parametro controllante è il τ (tempo di residenza nel reattore V/Q) che tra le 2 soluzioni con cambia perché sono dimezzati sia i volumi di reazione sia le portate quindi i tempi di residenza sono invariati.

2. Trasferimento di materia controllante

In questo caso la velocità di reazione è determinata dal trasferimento di materia edin particolare vale:

r A=kG∗a∗cA

Mentre la costante cinetica dipende solo dalla temperatura e come abbiamo visto se il sistema è isotermo le 2 configurazioni sono equivalenti, il kG dipende non solo dalla temperatura ma anche dalla velocità superficiale, vediamo come questo parametro influenza la reazione.Per un letto di particelle abbiamo:

Sh'=1,0∗Re '0,5∗Sc13

Ricordando che:

{ Sh'=kG∗d P

D∗ε

1−ε=Sh∗ε

1−ε

R e'=

ρ∗u∗d P

μ∗1

1−ε=ℜ∗1

1−ε

Sc=μ

ρ∗D

55

Dove: Ε grado di vuoto del letto di particelle D diffusività della specie in esame dP diametro delle particelle µ viscosità del fluido ρ densità del fluido u velocità del fluido kG coefficiente di trasferimento di materia in fase gas

Sostituendo le relazioni precedentemente viste e ricavando kG si ha:

kG=D∗(1−ε )ε∗d P

( ρ∗u∗d P

μ∗(1−ε ) )0,5

∗( μρ∗D )

13=¿

¿

Si quindi che kG è proporzionale alla radice quadrata del rapporto tra la velocità e la dimensione delle particelle.

kGα( ud P )0,5

Scriviamo ora i bilanci di materia per i 2 casi in esame:

Soluzione in serie

{ Q2∗d c A

dVV=0c A=c A, 0

=−r A rA=kG∗a∗c A

Integrando tra il volume iniziale (0) ed il volume totale dei 2 reattori (2*V) si ottiene:

∫C A,0

CA d c A

c A

=∫0

2V −kGQ

dV

ln ( c A

cA ,0)=−kG

Q∗2∗V → ln (1− χ A )=−2∗τ∗kG∗a

Poiché è nota la conversione possiamo ricavare in questo caso il valore del prodotto τ∗kG∗a che in questo caso indicheremo con (τ∗kG∗a)1 che vale:

ln (1−0,865 )=−2=−2∗( τ∗kG∗a )1

(τ∗kG∗a)1=1

Soluzione in parallelo.

Abbiamo due bilanci di materia identici per i 2 PFR

56

{ Q2∗d c A

dVV=0c A=c A, 0

=−r A rA=kG∗a∗c A

Integrando tra il volume iniziale (0) e quello finale di un reattore (V) si ottiene:

∫C A,0

CA d c A

c A

=∫0

V −2∗kG

QdV

ln ( c A

cA ,0)=−kG

Q∗2∗V → ln (1− χ A )=−2∗τ∗kG∗a

In questo caso chiameremo il prodotto τ∗kG∗acon (τ∗kG∗a)2 poiché sappiamo che kG è l’unica grandezza che varia in questo prodotto rispetto al caso precedente possiamo sfruttare la sua dipendenza dalla radice quadrata della velocità per determinare il nuovo prodotto (τ∗kG∗a)2 noto (τ∗kG∗a)1, infatti si ha che la nuova velocità superficiale risulta dimezzata rispetto alla precedente poiché a parità di sezione la portata inviata ai reattori è la metà rispetto al caso in serie.Di conseguenza possiamo scrivere:

(τ∗kG∗a )2(τ∗kG∗a )1

=( u2

u1)

12=0,5

12=0,7

Sostituendo tale valore nel bilancio di materia si ha:

ln (1− χ A )=−2∗1∗0,7=−1,4→ χ A=0,753

La soluzione in parallelo comporta una notevole diminuzione della conversione, pari circa al 10%, questo risultato evidenzia come si determinante la fluidodinamica in un reattore catalitico quando il trasferimento di materia è il fenomeno controllante.

Esercizio 2.b

Con un procedimento analogo si può valutare l’effetto della temperatura sulla configurazione in serie quando il trasferimento di materia è controllante, in particolare si vuole quantificare l’aumento della conversione quando la temperatura passa da T0=400°C del caso precedente a T=500°C. vengono fatte 2 ipotesi: un giovane ingegnere (che è colui che ha avanzato la proposta dell’aumento di temperatura) afferma che la costante cinetica aumenterà di un fattore 210 poiché sostiene che un aumento di 10 gradi centigradi della temperatura comporta un raddoppio della costate cinetica, un altro ingegnere invece afferma che tale regola vale solo per determinati valori dell’energia di attivazione e per determinati intervalli di temperatura, prospettando un aumento della costante cinetica di 23

o 24.

57

Scriviamo il bilancio di materia:

Soluzione in serie

{ Q2∗d c A

dVV=0c A=c A, 0

=−r A rA=kG∗a∗c A

Integrando tra il volume iniziale (0) ed il volume totale dei 2 reattori (2*V) si ottiene:

∫C A,0

CA d c A

c A

=∫0

2V −kGQ

dV

ln ( c A

cA ,0)=−kG

Q∗2∗V → ln (1− χ A )=−2∗τ∗kG∗a

Per kG possiamo scrivere:

kG=¿¿

Il grado di vuoto ed il diametro delle particelle sono costanti con la temperatura mentre gli altri parametri dipendono dalla temperatura nel seguente modo:

{uα T−1(u2=

u1∗T 2

T1)

Dα (T )1,75

ρα1T

μα ( TT0)

0,5

Si può quindi determinare il rapporto tra kG,400 e kG,500 in funzione della temperatura:

kG ,500

kG, 400

=( TT0 )−0,5

∗( TT0 )1,75∗2

3 ∗( TT 0 )−1

6 ∗( TT0 )−0,5∗1

6 =( TT0 )0,417

=( 773673 )

0,417

=1,059

Poiché avevamo ricavato che il prodotto τ∗kG∗a a 400°C ha valore unitario, possiamo ricavare quello a 500 °C che vale:

¿

Di conseguenza la conversione vale:

ln (1− χ A )=−2∗¿

58

χ A=0,88

La conversione è aumentata, ma risulta evidente che la costante cinetica non può essere aumentata di quanto previsto dai due ingegneri. In questo sistema è determinate il trasferimento di materia, quindi gli incrementi sono inferiori a quelli che si avrebbero se fosse controllante la cinetica chimica.

59