Realität und Mathematik – (wie) passt das zusammen? · PDF fileAnna und Paul haben...
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Prof. Dr. Gilbert Greefrath Universität zu KölnMathematisch-Naturwissenschaftliche Fakultät
Seminar für Mathematik und ihre Didaktik
Prozessorientierte
Kompetenzen
diagnostizieren und fördern im
Mathematikunterricht
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Zahlen und Operationen
Größen und Messen
Muster und StrukturenMathematisch argumentieren
Kommunizieren
Problemlösen
Modellieren
Math. Darstellungen verwenden
Mathematische Kompetenzen
Mit symbolischen, formalen,
technischen Elementen umgehen
Funktionen
Geometrie
Stochastik / Statistik
Begriffsbilden …
Arithmetik und Algebra
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Beispiel:
Pralinenaufgabe
Die Schachtel Pralinen ist 2,5 cm
hoch. Nimm für alle Pralinen eine
durchschnittliche Höhe von 1,5 cm an.
Wenn das Volumen des Inhalts 70 %
(oder weniger) des Volumens der
Verpackung beträgt, spricht man von
einer Mogelpackung.
Handelt es sich hier um eine
Mogelpackung? Begründe deine
Meinung rechnerisch.
http://www.iqb.hu-berlin.de/bista/aufbsp/masek1corn/bmk_2_5_1/bmk_2_5_1_ao.pdf
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Untersuchung
zum Problemlösen und Modellieren
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Modellieren und Problemlösen
Modellieren
• Schülerinnen und Schüler nutzen Mathematik als Werkzeug zum Erfassen von Phänomenen der realen Welt.
Problemlösen
• Schülerinnen und Schüler strukturieren und lösen inner- oder außermathematische Problemsituationen, … bei denen nicht unmittelbar auf erlernte Verfahren zurückgegriffen werden kann.
[KLP NRW]
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Transkriptausschnitt
• 00:40 S1:Ja eine Haushälfte. Warte wie lang ist ein ganzes Haus. Ein ganzes ist ungefähr mal zwölf Meter in der Länge. Dann ist das sechs Meter das andere ist auch ungefähr ne das passt nicht
• 00:58 S2:Wie lang sind die immer? Dreißig irgendwie so was
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MathematikRealität
Reale
Situation
Situations-
modell
Reales
Modell
Mathematisches
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Resultat
Interpretieren
Konsequenzen ziehen
Folgerungen im Modell anstellen
Daten
verarbeiten
Deduzieren
Mathematisieren
Modell entwerfen
Vereinfachen
Evtl. Daten
beschaffen
Verstehen
Wahrnehmen
Analysieren
Validieren, Folgerungen für die
Situation anstellen, Informationen
ermitteln, Transfers versuchen,
Bewerten
Verstehen
Planung
Ausführung
Kontrolle
Lesen
Orientierung
Analysieren, Exploration
Organisation, Ziele setzen
Vorgehensweise sichten
Ist-Soll-Vergleich
Ausführen
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Beispiele für verwendete Aufgaben
Elefant
Glas BrückeHaus
Stau
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Planung
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Ergebnisse eines schriftlichen Tests
Alle Aufgaben
• Schülerinnen und Schüler des Gymnasiums
verwenden häufiger einen Maßstab
(GY 30 %, RS 10 %, HS 5 %).
• An der Realschule wird häufiger mit in sich stimmigen
Relationen von Längen gearbeitet
(GY 19 %, RS 28 %, HS 16%).
Nur Modellierungsaufgabe
• An Real- und Hauptschulen Maßstabverwendung
gering (4% bzw. 0 %) am Gymnasium 28 %.
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■ Die Vorderseite dieses
Hauses soll außen ver-
putzt werden.
Berechne möglichst ge-
nau die zu verputzende
Fläche!
■ In der Zeichnung ist die
Vorderseite eines Hauses
zu sehen. Die weißen
Rechtecke stellen die
Fenster dar. Sie haben
eine Höhe von 1,30 m.
Die grau schraffierten
Flächen sollen verputzt
werden. Berechne mög-
lichst genau diese Fläche.
■ Die Vorderseite dieses
Hauses soll außen ver-
putzt werden.
Berechne möglichst ge-
nau die zu verputzende
Fläche!
Variante 1 Variante 2 Variante 3
Aufgaben mit unterschiedlichem Modellierungsgrad388 Schülerinnen und Schüler Klasse 7
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Weitere Ergebnisse
• Schulformunterschiede bei der Art des Modellierens auch abhängig von der Aufgabe(Anstieg Maßstab in RS u. HS bei Variante 2)
• Alle Schüler fanden die Modellierungsaufgabe (Variante 1) am interessantesten, die beiden anderen Aufgaben etwa gleich interessant,und die eingekleidete Aufgabe am leichtesten.
• Modellierungsaufgaben (Variante 1) kommen fast gar nicht im Unterricht vor (7%)
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Modellieren und Beliefs
• Beliefs von Lernenden
– Schüler/innen mit schema- oder formalismusorientiertem
Weltbild lehnen Modellierungsbeispiele ab (Maaß 2005)
– Durchgeführte Modellierungen verändern die Meinung zur
Mathematik deutlich positiv
(Galbraith & Clatworthy 1990)
• Beliefs von Lehrenden – Anwendungsorientierung (nur) zur Motivation
(Förster 2002)
– Schulformabhängigkeit: HS stärker als RS, GY
(Grigutsch 1998)
Ergebnisse auch in rein mathematischen Aufgaben besser (Gialamas 1999)
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Kompetenz Modellieren
Teilkompetenz Validieren
Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die
im mathematischen Modell gewonnenen
Lösungen an der Realsituation
Sind 12 m² Außenputz für die Vorderseite
realistisch? Das wären 3 m mal 4 m?
Konzepte für den Unterricht
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Teilkompetenzen Indikatoren
Vereinfachen Die Schülerinnen und Schüler trennen wichtige und
unwichtige Informationen einer Realsituation.
Mathematisieren Die Schülerinnen und Schüler übersetzen Realsituationen
in Mathematische Modelle (z. B. Term, Gleichung, Figur,
Diagramm, Funktion)
Rechnen Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit dem
mathematischen Modell.
Validieren I Die Schülerinnen und Schüler überprüfen die im Modell
gewonnenen Informationen an der Realsituation.
Beurteilen Die Schülerinnen und Schüler beurteilen kritisch das
verwendete mathematische Modell.
Validieren II Sie vergleichen und bewerten verschiedene mathe-
matische Modelle für eine Realsituation.
Realisieren Die Schülerinnen und Schüler ordnen einem
mathematischen Modell eine passende Realsituation zu
bzw. finden zu einem mathematischen Modell eine
passende Realsituation.
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Modellierungs-
aufgabe
Wasserturm
■ Diskutiere die Angaben auf der
Tafel vor dem Wasserturm auf
Norderney!
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Diagnoseaufgabe zum Validieren
3
3
88 88 85,5 dm
660000 dm
Quader
V = a² h
Anna und Paul haben denWasserbehälter im Wasser-turm unterschiedlich model-liert. Anna: „Mein Modell istbesser, denn meine Zahlenpassen besser als Pauls!“Überprüfe und nimm Stel-lung.
Annas ModellPauls Modell
Zylinder
V = r² h
2 3
3
44 85,5 dm
520000 dm
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(Zentrale) Prüfungsaufgaben
Mathematische
Inhalte
Kommuni-
kations-
fähigkeit
Problemlösen
u. Modellieren
Werkzeug-
kompetenz
(rechner-
unabhängig)
Sprach-
kenntnisse
Unterschied-
liche
Anforderungs-
bereiche
Ein Aufgaben-
kontext /
sinnvolle
Anwendung
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ComputerMathematikRealität
Übersetzungsprozesse
Reales
Modell
Reales
Resultat
Mathematisches
Modell
Mathematisches
Resultat
Computer-
modell
Computer-
resultat
Handhabung
Technik
Geschwindigkeit
Lösungsvielfalt
Computer-
resultat
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Beispiel: Analysisunterricht
kalkül-
orientiert
verständnis-
orientiert
innermathe-
matisch
anwendungs-
orientiert
? OK
OKOK
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Und die Prüfungen?
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Und die Prüfungen?
• Veränderungen (fast nur) in der Funktionsgleichung
• Kein vielfältiger Computereinsatz (berechnen)
• Weder richtig anwendungs- noch verständnisorientiert
Grundkurs Leistungskurs
Ohne CAS 𝑓 𝑥 = 8 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒−0,25∙𝑡 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒−0,25∙𝑡
Mit CAS 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒−0,25∙𝑡 𝑓 𝑥 = 𝑎 ∙ 𝑡 ∙ 𝑒−𝑏∙𝑡
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Wie könnte man es machen?
• Mit Experiment oder Berechnung
einzelner Daten
• Zwischenwerte bestimmen
• Deskriptive und explikative
Modelle
• Experimentieren, visualisieren,
algebraisieren, kontrollieren
• Diskrete und kontinuierliche
Sicht
• Qualitative und quantitative
Überlegungen
Volumen in Abh. von der Höhe
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Konzepte für Unterricht und Prüfungen
• Digitale Werkzeuge zum entdecken und explorieren:
Einsatz im Unterricht sinnvoll bis unabdingbar
Einsatz in der Prüfung nicht immer notwendig
Wenn, dann vielfältig einsetzen
• Sachkontexte nur sinnvoll, wenn sie authentischen Mathematikgebrauch darstellen:
Ehrlicher Umgang mit Anwendungen
Stärkere Trennung von Kalkül und Modellierung in Prüfungen
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Mathematik ist spannend und nützlich