Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het...
66
FACULTEIT PSYCHOLOGIE EN PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN Academiejaar 2009-2010 Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het handelen van leerkrachten in het vierde leerjaar. Masterproef tot het behalen van de graad van MASTER IN DE PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN afstudeerrichting: pedagogiek en onderwijskunde Promotor: Prof. Dr. M. Valcke Ines De Ridder & Saar Vanwalleghem
Transcript of Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het...
FACULTEIT PSYCHOLOGIE EN PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN
Academiejaar 2009-2010
Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het handelen van leerkrachten in het vierde
leerjaar.
Masterproef tot het behalen van de graad van
MASTER IN DE PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN
afstudeerrichting: pedagogiek en onderwijskunde
Promotor: Prof. Dr. M. Valcke
Ines De Ridder & Saar Vanwalleghem
2
3
FACULTEIT PSYCHOLOGIE EN PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN
Academiejaar 2009-2010
Realistisch rekenen in de klas. Een studie naar het handelen van leerkrachten in het vierde
leerjaar.
Masterproef tot het behalen van de graad van
MASTER IN DE PEDAGOGISCHE WETENSCHAPPEN
afstudeerrichting: pedagogiek en onderwijskunde
Promotor: Prof. Dr. M. Valcke
Ines De Ridder & Saar Vanwalleghem
4
VOORWOORD
Deze masterproef is tot stand gekomen door een nauwe samenwerking tussen Ines De
Ridder en Saar Vanwalleghem.
De keuze voor een onderwerp met betrekking tot realistisch rekenen is er niet zomaar
gekomen. Zonder medeweten van elkaar, hadden we initieel allebei het verlangen om
voor de uitwerking van onze masterproef ons te verdiepen in een bepaald aspect van
het wiskundeonderwijs.
Ines heeft altijd grote interesse getoond in alles wat met wiskunde te maken heeft,
zowel in het lager als in het secundair onderwijs. Tijdens haar opleiding tot pedagoog
groeide haar interesse in wiskundedidactiek. Deze masterproef is voor haar een kans
om deze twee interessevelden te combineren.
Bij Saar ontstond de interesse voor het wiskunde-onderwijs vanuit haar wiskunde-
ervaringen in haar studierichting ‘Economie-Wiskunde’ in het secundair onderwijs.
Deze ervaringen hadden haar reeds veel doen nadenken over de organisatie en de
inhoud van het Vlaamse wiskunde-onderwijs. Een verdieping in de nieuwste stroming
binnen het wiskunde-onderwijs sprak haar dan ook sterk aan, waardoor het werken
aan deze masterproef een persoonlijke meerwaarde kreeg.
Deze masterproef is het resultaat van een anderhalf jaar durend proces waarin we
samen nadachten, opzochten, onderzochten, vaststelden en concludeerden. We
konden elkaar steeds op een boeiende en interessante manier uitdagen en aanvullen.
Bovendien gaf het ‘partnerschap’ ook een morele meerwaarde aan het proces.
Momenten van ontmoediging, onzekerheid of frustratie konden samen gedeeld
worden, wat een enorm bemoedigend effect had.
Graag zouden we alsnog enkele mensen bedanken. Deze masterproef zou er nooit
gekomen zijn zonder het vertrouwen dat onze promotOr Prof. Dr. M. Valcke ons
hiervoor gaf. Daarnaast willen we ook doctoraatassistent Hendrik Van Steenbrugge
oprecht bedanken voor zijn hulp en begeleiding. Hij stelde ons dit onderzoek voor en
stond ons gedurende het proces bij met raad en daad. Tot slot zijn we ook onze ouders
en de echtgenoot van Saar zeer dankbaar voor het geduld, de aanmoedigingen en de
hulp waarmee zij ons de afgelopen tijd hielpen focussen en doorzetten.
5
ABSTRACT
Onderzoek naar de impact van curriculummaterialen kent de laatste jaren een
toenemende interesse. Evidence-based onderzoek gaat na of verschillende methoden
ook resulteren in verschillende leerresultaten bij de leerlingen. Deze onderzoeken zijn
echter blind voor de processen die zich afspelen tussen de rekenmethode enerzijds en
de leerresultaten anderzijds. Dit onderzoek gaat hier verder op in en focust op de
leerkracht als mediërende factor tussen de rekenmethode en de leerlingen. Er wordt
onderzocht hoe leerkrachten in hun klaspraktijk concreet vorm geven aan rekenlessen
‘breuken’ en ‘tijd’, alsook in welke mate het handelen van de leerkracht aansluit bij de
principes van het realistisch rekenonderwijs. Daarnaast wordt ook nagegaan of de
gebruikte methode een significante invloed heeft op de mate van aansluiting bij de
realistische principes. Hiertoe werden met behulp van het programma NVivo8 75
gefilmde wiskundelessen gecodeerd aan de hand van een boomstructuur met 24
items. Een analyse van de frequenties van de verschillende items toonde aan dat in
het merendeel van de lessen de leerkracht nauwelijks aandacht heeft voor de
uitwerking van de realistische principes. Daarnaast blijkt de gebruikte methode geen
significante invloed te hebben op de uitwerking van de realistische principes in de
klaspraktijk. Naar aanleiding van deze resultaten, wordt nagedacht over eventuele
verklarende en/of beïnvloedende factoren in het implementatieproces van het
realistisch rekenonderwijs. Zo werden de kenmerken van de methode, de kenmerken
van de leerkracht, de kenmerken van de school, de mate van scholing en vorming voor
leerkrachten, de kenmerken van de leerlingen en het wiskundedomein als mogelijk
beïnvloedende factoren en als voorstellen tot vervolgonderzoek opgenomen.
6
INHOUDSTAFEL
1. Inleiding....................................................................................................... 7 1.1 Geschiedenis – leertheorieën in het onderwijs..................................... 7
1.1.1 Mechanistisch rekenonderwijs ...................................................... 7 1.1.2 Structuralistisch rekenonderwijs.................................................... 8 1.1.3 Realistisch rekenonderwijs ......................................................... 10
1. Constructivisme.............................................................................. 10 2. Wiskobas als basis voor het realistisch rekenonderwijs ................. 10 3. Naar realistisch rekenonderwijs...................................................... 13
a) Niveautheorie van Van Hiele ...................................................... 13 b) Didactische fenomenologie van Freudenthal .............................. 14 c) Progressief mathematiseren volgens Wiskobas ......................... 14 d) Kenmerken van het realistisch rekenonderwijs ........................... 15
1.2 Impact leermaterialen......................................................................... 18 1.3 Probleemstelling en onderzoeksvragen ............................................. 21
2. Methodologie............................................................................................. 23 2.1 Kwalitatief onderzoek.............................................................................. 23 2.2 Steekproef/respondenten........................................................................ 23 2.3 Meetinstrument ....................................................................................... 24
2.3.1 Ontwikkeling instrument ................................................................... 24 2.3.2 Beschrijving instrument .................................................................... 25
2.4 Procedure ............................................................................................... 25 2.5 Verwerking data...................................................................................... 26
3. Resultaten ................................................................................................. 28 3.1 De methode in de klaspraktijk: algemene schets.................................... 28 3.2 Didactisch handelen en de realistische principes ................................... 36 3.3 Verband methode en de realistische principes ....................................... 42
4. Discussie................................................................................................... 45 5. Conclusie .................................................................................................. 49 6. Referenties................................................................................................ 51 7. Bijlagen ..................................................................................................... 56
7
1. Inleiding
1.1 Geschiedenis – leertheorieën in het onderwijs
Het realistisch rekenonderwijs is er niet zomaar gekomen. Een aantal ontwikkelingen in
het wiskundeonderwijs gingen hieraan vooraf, en bepalen ook de context waarin de
realistische onderwijstheorie ontstaan is. Zonder aandacht voor en kennis van deze
ontwikkelingen kunnen we de realistische visie nooit ten volle situeren en begrijpen.
Daarom achten we het van belang een korte geschiedenis te schetsen van de
ontwikkelingen, programma’s, stromingen en visies die het wiskundeonderwijs de
laatste decennia gekenmerkt hebben.
Deze ontwikkeling komen globaal overeen met drie algemene leertheorieën in het
rekenonderwijs: de mechanistische, structuralistische en de realistische
onderwijstheorie. Hieronder situeren we elke leertheorie binnen z’n tijdsperiode.
1.1.1 Mechanistisch rekenonderwijs
De mechanistische visie op rekenonderwijs, vaak aangeduid in termen als ‘traditioneel
rekenonderwijs’, wordt als de oudste benadering beschouwd. Verschillende auteurs
stellen evenwel vast dat er nog duidelijke sporen van het mechanistisch rekenen terug
te vinden zijn in recente leermaterialen en leermiddelen (Verschaffel, 1995;
Gravemeijer e.a., 1993; KNAW, 2009).
Het mechanistisch rekenonderwijs kan gerelateerd worden aan een taakanalytische
onderwijstheorie. (Gravemeijer e.a., 1993). Omdat er niet echt sprake is van een
uitgewerkte theorie of een geëxpliciteerde visie, blijft het moeilijk om het mechanistisch
rekenonderwijs te omschrijven (KNAW, 2009).
De kern van de mechanistische onderwijsvisie valt terug op de oorspronkelijke theorie
van Gagné (1969). Namelijk: complexe leertaken vereisen de voorwaarde van de
beheersing van eenvoudigere gedragingen. Men dacht na over wat de leerling al zou
moeten kunnen om hetgeen beoogd wordt te kunnen leren. Hiervoor was een
uitsplitsing van de leerstof nodig. De eindhandeling werd uiteengelegd in een aantal
deelstapjes, die geordend werden in een leerhiërarchie (learning structure). Deze
hiërarchische opbouw werd dan ook in deze vaste volgorde aan de leerlingen
8
onderwezen (Gravemeijer e.a., 1993). Centraal staat steeds het uitgebreid, individueel
en op papier inoefenen van de door de leraar gedemonstreerde en uitgelegde
standaardaanpak voor de betreffende opgave. Voor concreet materiaal was er slechts
plaats in een korte oriënteringsfase (KNAW, 2009).
Een volledige planning vooraf was in deze rekenonderwijsvisie van noodzakelijk belang
(Gravemeijer e.a., 1993).
Gedurende de jaren ’50-’60 rezen in vele landen van de westerse wereld innovaties
voor wiskunde op. Globaal gezien werd de vernieuwing van het wiskundeonderwijs op
drie manieren gerealiseerd: de aritmetische, structurele en empirische richting
(Treffers, 1978). Zowel de aritmetische als de structurele richting vallen te
categoriseren binnen het structuralistisch rekenonderwijs terwijl de empirische richting
thuishoort onder het realistisch rekenonderwijs. Beide richtingen worden hieronder
verder besproken.
1.1.2 Structuralistisch rekenonderwijs
De modernisering van het wiskundeonderwijs in Europa kende in 1959 een eerste
sterke impuls onder de naam ‘New Thinking in schoolmathematics’, of anders gezegd
‘New Math’ (in het Nederlands: Moderne Wiskunde). Onderzoekers als P. Suppes, J.S.
Bruner en Z.P. Dienes dachten na over de ontwikkeling van het wiskundig denken, en
hielden zich bezig met de vraag: ‘Welke wiskundige begrippen liggen aan het
rekenonderwijs in de basisschool ten grondslag en op welke wijze kunnen jongere
leerlingen met deze begrippen leren werken?’ (van Gelder e.a., 1968).
De methode van Dienes (jaren ’70) was hierin het meest revolutionair. Zijn
uitgangspunt wordt gevormd door drie fasen van spelen: het voorbereidende spel (kind
wordt uitgenodigd tot een grotere vrijheid in het spelen), het gestructureerde spel (meer
gericht, het kind doet verschillende ervaringen op om een begrip te verwerven), en het
oefenspel (om de verkregen ervaring vast te leggen). Het materiaal waarmee in deze
spelen gewerkt werd, bestond voornamelijk uit blokken.
Door een grote nadruk te leggen op élke fase, legt Dienes bezwaar tegen het
gebruikelijke rekenonderwijs, waarin het materiaal volgens hem te vroeg
gestructureerd aangeboden wordt, waardoor het kind te weinig vrijheid krijgt om zelf
inventief te zijn. Het traditionele onderwijs richtte zich volgens Dienes te sterk op het
9
aanbrengen van een mechanisme, zonder daarbij beroep te doen op het logisch
denkvermogen.
Dienes heeft getracht een aantal wiskundige denkpatronen (niveaus) te
onderscheiden, waarvoor hij vervolgens verschillende opdrachten bedacht. Op die
manier werden de kinderen in zijn experimenten gestimuleerd tot een vorm van
inventief wiskundig denken (van Gelder e.a., 1968).
Een ander fundamenteel resultaat uit deze periode van onderzoekingen, is dat van de
‘multiple embodiment’ (veelvoudige inbedding). Daarmee geeft Dienes aan dat
abstracties en generalisaties van begrippen/structuren moeten plaatsvinden vanuit
ervaringen met een groot aantal rijk gevarieerde situaties (materialen), waarin het te
abstraheren aspect gemeenschappelijk ligt ingebed. Dienes gaat hierbij uit van de
stelling dat kinderen gemakkelijker abstraheren dan generaliseren (van Gelder e.a.,
1968). Op die manier vormen formalisatie en abstractie een belangrijke kern van de
New Math (KNAW, 2009).
Deze onderzoekingen en inzichten van Dienes hebben geleid tot ‘het principe van de
verzamelingtheoretische introductie’, waarin de relaties tussen een verzameling en zijn
elementen en tussen verzamelingen onderling worden behandeld. Het uitgangspunt
hierbij is dat men kinderen via de drie fasen van spelen eerst met het begrip
verzameling moet confronteren, alvorens over te gaan tot het getalbegrip (van Gelder
e.a., 1968). Deze vroegtijdige introductie van de verzamelingentaal is een belangrijk
kenmerk van de ‘New Math’, en staat centraal in de aritmetische richting (Treffers,
1978).
Tegelijk richt de New Math zich op het kunnen doorgronden van structuren in
verschillende gebieden van de wiskunde (van Gelder e.a., 1968). Dit komt overeen met
de structurele richting , waarin de nadruk op wiskundige structuren en verbanden
gelegd wordt. Via spel en onderzoek wordt naar gemeenschappelijke eigenschappen
van wiskundige structuren gezocht (Treffers, 1978).
Zowel de aritmetische als de structurele richting zijn kenmerkend voor het
structuralistisch rekenonderwijs.
Zoals reeds aangehaald, gaat het hier over de modernisering van het
wiskundeonderwijs in Europa. Wanneer we echter wat dieper inzoomen op België en
Nederland, stellen we vast dat vooral België vanaf het eind van de jaren ‘60 helemaal
in de ban van de structuralistisch georiënteerde Moderne Wiskunde raakt. Onder
10
invloed van de Brusselse wiskundedidacticus Papy kwam er een veralgemeende en
verplichte invoering van de Moderne Wiskunde in de lagere scholen. Nieuwe
leerplannen, nieuwe rekenmethoden, herscholingscursussen voor leerkrachten,…
waren hier het resultaat van (Verschaffel, 2004).
Nederland daarentegen heeft de invloed van de structuralistische ‘New Math’ bijzonder
sterk tegengehouden. Als alternatief kwam de Wiskobasbeweging met een gans
andere denkpiste naar voor, namelijk het realistisch rekenonderwijs (Verschaffel,
2004).
1.1.3 Realistisch rekenonderwijs
1. Constructivisme
Het realistisch rekenonderwijs bouwt verder op de principes van de constructivistische
leertheorie (Streefland, 1991). Constructivisten argumenteren dat kennis geen
objectieve vaste waarde heeft, en dat we deze dus ook niet ‘objectief’ kunnen kennen.
Deze algemene leertheorie beschouwt de wereld en kennis niet als een vaststaand,
stabiel gegeven, maar als iets dat door de lerende zelf geconstrueerd wordt op basis
van opgedane ervaringen (Valcke, 2005). Von Glaserfeld (1995) stelt dat iedereen de
werkelijkheid interpreteert en construeert op basis van de eigen ervaringen en
interacties met de werkelijkheid.
Deze visie op kennis was zeer controversieel ten opzichte van de klassieke
epistemologie. Echter, doorheen de jaren heeft deze leertheorie steeds meer ingang
gevonden in het nadenken over leren en instructie. Ook wanneer we nadenken over
wiskunde, zien we vandaag nog steeds een ‘strijd’ tussen enerzijds het model van de
klassieke wiskundige structuren die de zekerheid waarborgen (Freudenthal, 1991), en
anderzijds het ‘realistische model’ van het zelf organiseren en (re)construeren van
kennis.
2. Wiskobas als basis voor het realistisch rekenonderwijs
Naast de aritmetische en structurele richting, kwam in de zestiger jaren -onder invloed
van het constructivisme- de empirische stroming op. Bij deze richting zoekt men het
startpunt van de wiskundige activiteiten in de buurt van de levenssituaties van het kind.
In de praktijk leidde dit tot een verrijking van het rekenonderwijs, doch ook soms tot
11
een tamelijk ongeorganiseerd geheel van weinig afgestemde activiteiten die hun
aanzet kregen in ‘environmental situations’ (Treffers, 1978).
Doorheen deze heterogeniteit aan richtingen/stromingen, kwam de noodzaak van één
richtpunt op. In dit licht ontstond begin jaren ’70 in Nederland het ‘wiskobasproject’
(Treffers, 1978). Wiskobas staat voor ‘Wiskunde op de basisschool’. Deze
vernieuwingsbeweging trad op als alternatief voor het traditioneel rekenen en de
structuralistische New Math (KNAW, 2009; De Jong, 1986; Verschaffel, 2004). Via het
ontwerpen van een model voor een schoolwerkplan, wilde men richting geven aan de
vernieuwing van het wiskundeonderwijs in Nederland. Nieuwe gebieden voor het
wiskundeonderwijs werden hiervoor verkend. Het is duidelijk dat Wiskobas géén
methode is, doch een inspiratiebron voor heroriëntering, opleiding, begeleiding en
kadervorming (Gravemeijer e.a., 1993).
De vernieuwingsbeweging Wiskobas werd voornamelijk geïnspireerd door de ideeën
van Hans Freudenthal. Hij richtte in 1971 in Nederland het Freudenthalinstituut op,
onder de naam ‘Instituut voor de Ontwikkeling van het Wiskunde Onderwijs’ (IOWO)
(Fijma&Vink, 2003; van den Heuvel-Panhuizen, 1998).
Zoals reeds aangehaald, betekent het ontstaan van deze vernieuwingsbeweging in
Nederland niet meteen een verschuiving van het gedachtegoed in het Vlaamse
wiskundeonderwijs, dat nog steeds hoofdzakelijk op het structuralistisch gedachtegoed
georganiseerd was. Geleidelijk aan verschenen in Vlaanderen echter kritische
bijdragen over de Moderne Wiskunde (New Math), en werd ook duidelijk dat
leerkrachten steeds meer vernieuwende, realistische elementen in hun wiskundelessen
opnamen (Verschaffel, 2002). Een echte kentering kwam er echter pas in het midden
van de jaren ’90, toen de Moderne Wiskunde definitief uit de eindtermen gehouden
werd. Op die manier werd er ook in het Vlaamse onderwijs ruimte gecreëerd voor een
vernieuwende kijk op het wiskundeonderwijs, in de lijn van het werk van Wiskobas
(Verschaffel, 2004).
Kenmerkend voor de visie van Freudenthal is dat hij wiskunde ziet als een menselijke
activiteit (Treffers, 1978; Gravemeijer, 2005). In 1973 introduceerde hij deze slogan
(Boswinkel & Moerlands, 1996, 3), waarin de activiteit van het individu centraal staat
(Gravemeijer, 2005). In tegenstelling tot het pluriforme rekenonderwijs waarin de mens
als een doelmatig te programmeren computer beschouwd wordt, streeft Freudenthal
ernaar om de leerling bij het probleem te betrekken zodat het probleem
realiteitswaarde voor hem/haar krijgt (Treffers, 1978).
12
Tegelijk wordt het wiskundeonderwijs door Freudenthal als een organiserende
activiteit beschouwd. Zowel Treffers als Freudenthal omschrijven mathematiseren als
een organiserende activiteit (Gravemeijer, 2005). In functie van het verwerven van
feitenkennis, aanleren van vaardigheden, leren gebruiken van taal en andere
ordeningsmiddelen,… moet het veld van ervaringen georganiseerd worden. Deze kern
van de wiskundige activiteit wordt omschreven als ‘mathematiseren ’, en behelst
generaliseren, bewijzen, schematiseren, symboliseren, gebruik maken van modellen
en reflecteren (Treffers, 1978). De leerlingen moeten niet zozeer wiskunde uitvinden,
maar mathematiseren en, als middel daartoe leren abstraheren, schematiseren,
formaliseren, algoritmiseren, verbaliseren,… Op die manier wordt de leerstof het
gebied waarin het geleid heruitvinden plaatsvindt (Gravemeijer, 2005). Hier is duidelijk
de constructivistische invloed te herkennen.
In het idee van ‘guided reinvention’ (Gravemeijer, 1995) benadruk Freudenthal de
noodzaak benadrukt van het leiden van leerlingen bij het leren van wiskunde (Keijzer,
2000). ‘Reinvention’ verwijst naar het ‘her-uitvinden’ van de wiskunde
(Boswinkel&Moerlands, 1996). Doorheen het proces van organiseren komt de lerende
tot eigen uitvindingen, producties en inzichten. ‘Guided’ verwijst dan naar de
(bege)leidende taak van de leerkracht in dit proces. Het gaat hier om het (bege)leiden
van de lerende naar het abstraheren in plaats van naar abstracties, het schematiseren
in plaats van schema’s, het formaliseren in plaats van formules,… Kortom: het leiden
van de lerende naar de wiskundige organiserende activiteit van het uitvinden, in plaats
van naar de wiskunde zelf. Dit is geen evidente opdracht voor de leerkracht. Het vergt
een zoeken naar een evenwicht tussen de kracht van de instructie (het lesgeven) en
de vrijheid van het leren (Freudenthal, 1991).
De organiserende wiskundige activiteit bestaat volgens Treffers en Freudenthal uit
twee essentiële elementen: horizontaal mathematiseren (wiskundig organiseren van
een stuk van de ervaren werkelijkheid), en verticaal mathematiseren (de
gesofisticeerde wiskundige verwerking) (Gravemeijer, 2005). Situaties uit de
alledaagse werkelijkheid worden georganiseerd en samengebracht in regels. Die
regels worden op hun beurt ‘common sense’ van hogere orde, waarop weer verder kan
gebouwd worden,…. Op die manier vormt het mathematiseren een steeds voortgaand
proces van verbreding en verhoging, met als resultaat een georganiseerd geheel van
kennis (Treffers, 1978). Er is met andere woorden een geleidelijke opbouw van het
mathematiseringproces (Gravemeijer e.a., 1993).
13
3. Naar realistisch rekenonderwijs
De vernieuwingsgedachte die de wiskobasbeweging gedurende de jaren ’70 in het
reken-wiskundeonderwijs op gang gebracht heeft, vond in de loop der jaren steeds
meer ingang als uitgangspunt voor rekenmethoden. Zo werden in de jaren ’90 massaal
de realistische rekenmethoden ingevoerd (Treffers & de Goeij, 2004). Uit het
onderzoek van De Jong (1986) blijkt dat vrijwel alle recente reken-wiskundemethoden
in een vrij sterke mate beïnvloed zijn door het werk van Wiskobas. De grootste reden
hiervoor zijn de nieuw geformuleerde kerndoelen, die met het traditioneel
rekenonderwijs niet konden bereikt worden (KNAW, 2009). Deze moderne methodes,
die een operationalisatie vormen van Wiskobas’ vernieuwingsgedachten, werden
inmiddels aangeduid als ‘realistische onderwijsmethoden’. Ze staan tegenover
traditionele methoden, die gebaseerd zijn op de mechanistische rekenonderwijstheorie
(Gravemeijer e.a., 1993).
In 1979 voerde Treffers de term ‘realistisch reken –en wiskundeonderwijs’ in, omdat in
dit nieuwe rekenen het leren veelal begon in contexten waar de leerlingen zich iets bij
konden voorstellen. Deze contexten moesten de kinderen in staat stellen zelf kennis te
construeren en het rekenen betekenisvoller te maken (KNAW-rapport, 2009). Treffers
(1986) omschrijft het begrip ‘realistisch’ als de gerichtheid van deze onderwijsaanpak
op de realiteit i.c. op contextproblemen.
Zoals reeds aangehaald, vormt Freudenthal met zijn visie op wiskunde als menselijke
(mentale) activiteit de basis voor het realistisch reken-wiskundeonderwijs (Freudenthal,
1973; Gravemeijer & Terwel, 2000 in Keijzer, 2003). Binnen dit onderwijs vormt het
mathematiseren de belangrijkste activiteit van de lerende (Keijzer, 2003).
De realistische wiskunde-onderwijstheorie kan omschreven worden aan de hand van
een drietal theoretische inzichten: de niveautheorie van Van Hiele (1973), de
didactische fenomenologie van Freudenthal (1983) en het progressief mathematiseren
volgens Wiskobas (Treffers, 1987; de Vos, 1998; Gravemeijer e.a., 1993).
a) Niveautheorie van Van Hiele
Van Hiele (1973) onderscheidt drie denkniveaus in het wiskundeonderwijs:
1) het grondniveau: op dit niveau zijn getallen gebonden aan waarneembare
hoeveelheden en aan handelingen met concreet materiaal.
14
2) relaties tussen getallen en hoeveelheden: begrippen hebben het karakter
gekregen van knooppunten in een relatienet.
3) analyse van de relaties tussen de relaties: op dit niveau wordt naar samenhang
gezocht en wordt getracht dit in een betekenisvol systeem onder te brengen.
Van Hiele gaat uit van het principe dat er gestart dient te worden op een niveau waar
de gehanteerde begrippen een grote mate van vertrouwdheid voor de leerlingen
hebben. Alleen van daaruit kan betekenisvolle kennis worden opgebouwd (Gravemeijer
e.a., 1993).
b) Didactische fenomenologie van Freudenthal
In zijn didactische fenomenologie stelt Freudenthal dat men voor het ontwerpen van
onderwijs op zoek dient te gaan naar fenomenen uit de realiteit. Deze fenomenen
kunnen zowel fysisch als wiskundig van aard zijn, en kunnen door een proces van
structureren georganiseerd worden (Gravemeijer, 2005; Freudenthal, 1991).
Door de realiteit als startpunt voor het mathematiseringproces te nemen, worden de
leerlingen uitgelokt om deze verschijnselen wiskundig te organiseren en de beoogde
mentale objecten te vormen. Met andere woorden: verschijnselen uit de realiteit
vormen de basis voor de te vormen wiskundige begrippen (Gravemeijer e.a., 1993).
Freudenthal creëert hiermee de mogelijkheid om in het onderwijs te starten bij een
basis die betekenisvol is voor de leerling.
c) Progressief mathematiseren volgens Wiskobas
Zoals reeds werd aangehaald, vormt het mathematiseren de kern van de wiskundige
activiteit volgens Wiskobas. Dit is een steeds voortgaand proces van verbreding en
verhoging, vandaar de naam ‘progressief mathematiseren’. Dit aspect van progressie
staat centraal in de wiskundige activiteit (Gravemeijer, 2005).
Zowel Freudenthal als Treffers maken een indeling tussen horizontaal en verticaal
mathematiseren. Deze essentiële elementen van dit mathematiseringproces worden
hier wat uitgebreider toegelicht.
Treffers en Freudenthal omschrijven horizontaal mathematiseren als het organiseren
van zaken uit de realiteit, het toegankelijk maken van een probleemgebied voor een
wiskundige aanpak (Freudenthal, 1999); Gravemeijer, 2005). In zijn artikel
‘betekenisvol rekenen’ onderstreept Freudenthal (2002) dat door aandacht te besteden
aan de wiskundige interpretatie van de context, recht wordt gedaan aan wat bedoeld
wordt met ‘realistisch’. Dat woord verwijst naar ‘zich realiseren’. De lerenden dienen
15
zich te realiseren waar de getallen en de bewerkingen voor staan en wat ze in de
context betekenen. Dit interpreteren en organiseren vormt het startpunt van de
wiskundige activiteit (Gravemeijer, 2005).
Een misverstand hierbij is dat bij ‘realistisch’ en ‘context’ maar al te vaak wordt gedacht
aan situaties uit de alledaagse realiteit. Contexten in de realistische benadering kunnen
immers ook wiskundig van aard zijn (Gravemeijer, 2005). Ook Freudenthal heeft het
over het structureren van zowel fysische en wiskundige fenomenen (Freudenthal,
1991).
Verticaal mathematiseren verwijst dan naar de gesofisticeerde wiskundige verwerking
(Gravemeijer, 2005).
Freudenthal waarschuwt om deze opsplitsing niet als iets absoluuts te beschouwen.
Horizontaal mathematiseren verwijst naar de wereld die de lerende ervaart. Verticaal
mathematiseren verwijst naar de wereld van symbolen die geschapen, herschapen,
gemanipuleerd,… worden. Deze twee werelden staan echter niet volledig los van
elkaar, ze kunnen op elk moment overlappen, in elkaar overvloeien. Een attentieve
houding, waarbij je je steeds flexibel ten opzichte van deze indeling opstelt, is daarom
van noodzakelijk belang, wil je recht blijven doen aan de volheid van de wiskundige
activiteit (Freudenthal, 1991).
d) Kenmerken van het realistisch rekenonderwijs
De realistische onderwijstheorie komt vooral tot uitdrukking in het progressief
mathematiseren volgens Wiskobas (de Vos, 1998). Uitgaande van dit concrete
Wiskobaswerk, beschrijft Treffers vijf karakteristieke kenmerken van het progressief
mathematiseren (Gravemeijer e.a., 1993). Hieronder lichten we het progressief
mathematiseren toe aan de hand van deze vijf kenmerken. Deze kenmerken bepalen
immers de aard van de realistische wiskundedidactiek (de Vos, 1998).
Kenmerk 1: Context-rijk onderwijs
Het werken vanuit de ervaringen van de leerlingen bij het ontwikkelen van wiskundig
denken en handelen is een van de meest kenmerkende aspecten van het realistisch
rekenonderwijs (de Vos, 1998). Het onderwijs en het leren in het realistisch reken-
wiskundeonderwijs start met voor leerlingen herkenbare contexten. Deze vormen de
basis voor een fenomenologische verkenning. Een proces van mathematiseren leidt er
vervolgens toe dat deze van betekenisvolle situaties verworden tot formele en
abstracte relaties (Van den Heuvel-Panhuizen, 1996, in Keijzer, 2000; Gravemeijer
16
e.a., 1993). Er ontstaat een betekenisvolle samenhang tussen de rekenopgaven en de
leefwereld van de leerlingen (de Vos, 1998).
Boswinkel&Moerlands (1996) argumenteren dat leerlingen wiskunde daardoor niet
alleen gaan zien als iets wat zich op school afspeelt, maar dat ze het ook als iets van
henzelf gaan beschouwen. Op die manier fungeren contexten niet enkel als
toepassingsgebied, maar ook als bron van het leren van wiskundige begrippen
(Gravemeijer e.a., 1993). Het herkennen van rekenen (en wiskunde) in het leven van
alledag is hiermee een onderwijsdoel op zich (Boswinkel&Moerlands, 1996).
Kenmerk 2: Modellen en schema’s
Modellen en schema’s fungeren als hulpmiddel om gegevens uit de realiteit te
schematiseren. Ze vormen een visuele representatie van de probleemsituatie.
Schema’s vervullen een brugfunctie tussen de (wiskundige) realiteit in het dagelijks
leven en het formele systeem van wiskunde (de Vos, 1998). Op die manier wordt een
brug geslaan tussen de verschillende denkniveaus (Gravemeijer e.a., 1993).
Uit onderzoek (van Dijk, 2002) blijkt dat het zinvol is om leerlingen te stimuleren hun
eigen modellen te ontwikkelen en te bediscussiëren. Leerlingen die zelf modellen
leerden ontwerpen, behaalden significant hogere leerresultaten dan leerlingen die
formele modellen door de leerkracht aangereikt kregen. Tevens werden voorbeelden
gevonden van de overgang van concrete zelfbedachte modellen naar meer abstracte
modellen, wat aantoonde dat kinderen hun zelfbedachte modellen kunnen
generaliseren en toepassen in nieuwe situaties (van Dijk, 2002).
Bovendien zijn de zelf opgestelde schema’s en modellen een prima hulpmiddel om aan
anderen uit te leggen hoe je het probleem hebt geïnterpreteerd. Op die manier worden
leerlingen geconfronteerd met modellen van medeleerlingen en met bestaande,
formele modellen en gaan ze zien hoe de verschillende rekenkundige bewerkingen met
elkaar kunnen samenhangen (van Dijk, 2002; Gravemeijer, 2002).
Kenmerk 3: Constructies en producties van de leerlingen
Constructies zijn de (mentale) handelingen van de leerlingen tijdens het uitvoeren van
reken-wiskundeopgaven (de Vos, 1998). Deze mentale handelingen creëren volgens
Freudenthal mentale objecten, die de onmisbare sleutel zijn in de vorming van
concepten. Kortom: niet het vormen van concepten, maar deze mentale handelingen
(constructies) en het vormen van mentale objecten, zijn het startpunt van een
betekenisvol wiskundeonderwijs. Voor Freudenthal zijn ze daarom een belangrijk
streefdoel in leren en instructie (Freudenthal, 1991).
17
Producties verwijzen naar de zelf ontworpen opgaven door de leerlingen (de Vos,
1998). Wiskunde is volgens Freudenthal de activiteit van het reproduceren en
organiseren van datgene wat is aangeboden, met als resultaat een nieuwe,
persoonlijke productie. Met zijn stelling ‘wiskunde als activiteit’ stelt Freudenthal dat
elke persoon in staat is om door middel van mentale handelingen bepaalde wiskundige
fenomenen zo te organiseren, dat er nieuwe producties ontstaan. Elke persoon is, al
dan niet met de nodige begeleiding, in staat om tot nieuwe (her)uitvindingen te komen
(Freudenthal, 1991). Uit onderzoek blijkt dat de stimulerende rol van de leerkracht
hierin onmisbaar is. Zonder zijn/haar stimulerende en uitdagende vragen en
aanmoedigingen, is het voor de kinderen niet zo evident om tot nieuwe producties en
te komen (cfr. ‘guided reinvention’) (Kerstens & Van Galen, 2002).
Het maken van eigen producties biedt leerlingen daarenboven de mogelijkheid op hun
eigen niveau te werken en getallen te kiezen die ze prettig vinden. Op die manier zou
er op een natuurlijke manier differentiatie kunnen ontstaan (Treffers & de Goeij, 2004).
Door uit te gaan van deze constructies en producties steun je op de eigen inbreng van
de lerende (Gravemeijer e.a., 1993), wat recht doet aan Freudenthals visie op
wiskunde als een activiteit van(uit) het individu zelf. Beiden vervullen een sleutelrol in
het realistische reken-wiskundeonderwijs en bepalen de vooruitgang van de leerling in
het proces van mathematiseren (de Vos, 1998).
Kenmerk 4: Interactief onderwijs
Onderwijs waarin leerlingen meedenken, participeren, onderhandelen en
samenwerken noemen we interactief onderwijs. Interactie behelst de relatie en de
samenwerking tussen de leraar en de leerlingen, maar ook tussen de leerlingen
onderling (de Vos, 1998). Mennne (2001) spreekt over een interactief groepsgericht
onderwijssysteem, waarin naast de individuele leerling ook de leergroep en de leraar
een belangrijke inbreng hebben in het onderwijsleerproces (Treffers & de Goeij, 2004).
Freudenthal (2002) benadrukt dat interactie reeds van bij de start van de wiskundige
activiteit, met andere woorden: bij de wiskundige interpretatie van een contextopgave,
van groot belang is. Het bespreken van de verschillende interpretaties die de lerenden
aan de contextopgave geven is immers een essentieel element, opdat de lerenden
zouden zien en begrijpen hoe de berekening samenhangt met de context. Regelmatig
expliciet vragen naar die samenhang kan ervoor zorgen dat de leerlingen bewuster
18
over die samenhang gaan nadenken, waardoor het oplossen van contextopgaven
meer het karakter krijgt van betekenisvol leren (Freudenthal, 2002).
In deze interactieve onderwijssituatie worden leerlingen meteen ook aangezet om te
reflecteren over hun eigen strategieën en de juistheid van hun uitkomsten (Treffers &
de Goeij, 2004), en aanpassingen of variaties te maken waar nodig. Pimm (1991) stelt
dat taal en dialoog leiden tot reflectie op het eigen wiskundig denken. Reflectie is
geïnternaliseerd in de dialoog. Tegelijk worden leerlingen geconfronteerd met de
oplossingen van anderen en gaan deze bespreken en evalueren (Gravemeijer e.a.,
1993).
Kortom, het taalaspect is van groot belang in de ontwikkeling van wiskunde als
organiserende activiteit. Het verband tussen taalvaardigheid en het oplossen van
wiskundige problemen wordt in het onderzoek van Secada (1992) bevestigd. Doorheen
de interactie krijgen de leerlingen de gelegenheid om hun denkprocessen te
verwoorden (de Vos, 1998), worden redeneerpatronen verbeterd en hogere
ordeprocessen die nodig zijn voor de transfer, gestimuleerd (Adey en Shayer, 1994).
Ook Pimm (1991) en Hajer (1996) stellen dat interactief reken-wiskundeonderwijs een
sterke stimulans is voor de ontwikkeling van hogere mentale processen zoals
argumenteren, reflecteren, voorstellen, probleemoplossen, schematiseren,… .
Kenmerk 5: Samenhang tussen de verschillende leerstofgebieden
Dit laatste kenmerk van de progressieve mathematisering doelt op een globale
verbinding tussen de verschillende leerstofdomeinen. Zo wordt er bijvoorbeeld naar
gestreefd om zoveel mogelijk verbanden en relaties te leggen tussen procenten,
breuken, verhoudingen (de Vos, 1998), maar ook tussen wiskunde en andere
domeinen zoals wereldoriëntatie,…. Ook Verschaffel e.a. (2007) benadrukken dat
leerlingen adaptieve expertise moeten ontwikkelen, en niet alleen routinematige.
Hieronder verstaan ze dat leerlingen ook in staat moeten zijn om geleerde procedures
inzichtelijk, flexibel en creatief toe te passen in andere domeinen.
1.2 Impact leermaterialen
Onderzoek naar de impact van curriculummaterialen kent de laatste jaren een
toenemende interesse (Slavin, 2008; Stein, 2007). Een gekend onderzoek hierover in
19
het Nederlands taalgebied is het MORE-onderzoek (‘methoden in het reken-
wiskundeonderwijs’) in Nederland (Gravemeijer e.a., 1993). In dit onderzoek worden
twee methoden, namelijk een methode die uitgewerkt is volgens een aantal
constructivistische principes enerzijds en een traditionele methode anderzijds met
elkaar vergeleken, en gaat men na of dit resulteert in een verschil in de
wiskundescores van de leerlingen.
Evidence-based onderzoek zoals het MORE-onderzoek focust echter sterk op de
instructional design kenmerken van de methode, waardoor de professionele kennis en
de ervaringen van de leerkracht minder bekeken worden (Bryant e.a., 2008; Sood and
Jitendra, 2007). In dergelijk onderzoek wordt effectiviteit opgevat in termen van
economische rationaliteit: de opbrengst van het onderwijs, ofwel de cognitieve
leerresultaten van leerlingen (Scheerens, 1989). Stein e.a. (2007) wijzen erop dat
sommige van de besproken vergelijkende onderzoeken blind zijn voor de processen
die zich afspelen tussen de wiskundemethoden enerzijds en het uiteindelijke
leerresultaat anderzijds. Er wordt namelijk geen informatie ingewonnen over hoe een
curriculum door de leraren begrepen en vertaald is en dan uiteindelijk in de klas
geïmplementeerd wordt. Immers, het is best mogelijk dat leerkrachten op verschillende
manieren vormgeven aan een bepaalde methode.
In de literatuur zijn de meningen over de impact van methodes op het didactisch
handelen van de leerkracht in de kraspraktijk zeer uiteenlopend. We kunnen de
verschillende standpunten op een continuüm plaatsen, waarbij het ene uiterste ervan
uitgaat dat de methode maximaal het handelen van de leerkracht beïnvloedt en/of
bepaalt. Het andere uiterste stelt dat de methode helemaal geen invloed heeft op wat
er zich in de klaspraktijk afspeelt. Meningen tussen deze twee uitersten gaan uit van
een wederzijdse aanpassing, ook wel ‘mutually adaptive process’ of
‘aanpassingsmodel’ genoemd (Mc. Laughlin , 1976; de Vos, 1998). Ook deze
wederzijdse aanpassing kan op verschillende manieren vorm krijgen.
Onderzoek toont aan dat de wiskundemethode (handboeken en werkboeken) de
onderwijsactiviteiten van leraren beïnvloedt (Tomic, 1983). Ook Kuiper (1993) stelt dat
de methode een belangrijk hulpmiddel is bij het geven van onderwijs, vooral dan op het
gebied van planning. Krammer (1984) schrijft aan de methode een grote betekenis toe
voor zowel de onderwijsactiviteiten van de leraar als de leeractiviteiten van de
leerlingen. Zijn conclusie luidt dat de onderwijsactiviteiten afhankelijk zijn van de
gebruikte methode.
20
Van den Akker (1990) daarentegen stelt dat leraren zich niet zo sterk laten leiden door
de onderwijsmethode. Het grootste deel van de onderzochte leraren valt snel terug op
traditioneel, klassiek onderwijs. Ook Harskamp en Deinum (1995) concluderen onder
andere dat de leraar wel de leerstof uit de methode aanbiedt, doch deze leerstof
onvoldoende volgens de voorziene principes vormgeeft. Durkin (1984) meent op basis
van observaties bij zestien leraren in het basisonderwijs, dat zij door tijdslimieten en
andere meningen over het belang van bepaalde onderwerpen niet trouw blijven aan de
methode.
De Vos (1998) stelt dat leerkrachten zich wel laten beïnvloeden door de methodes,
doch de richtlijnen van de ontwikkelaars niet trouw volgen en toepassen (de Vos,
1998).
De Vos (1998) maakt een onderscheid tussen twee modellen. Het
getrouwheidsperspectief stelt dat de leraar de ideeën van de ontwerpers zo getrouw
mogelijk moet uitvoeren. In het aanpassingsmodel gaat men uit van een wederzijdse
aanpassing: de leraar past de methode aan aan zijn wensen voor het op dat moment
te geven onderwijs. De bruikbaarheid van de methode staat hier centraal (Fullan,
1991). Ook Mc. Laughlin (1976) spreekt van een ‘mutually adaptive proces’: de
methode en de leraar beïnvloeden elkaar, er is een wederkerige relatie.
Figuur 1 geeft een overzicht.
Figuur 1. Impact van methode op de klaspraktijk.
GETROUWHEIDS- AANPASSINGSMODEL
PERSPECTIEF
Krammer (1984)
schrijft aan de
methode een grote
betekenis toe voor
zowel de onder-
wijsactiviteiten
van de leraar als
de leeractiviteiten
van de leerlingen.
Zijn conclusie
luidt dat de onder-
wijsactiviteiten af-
hankelijk zijn van
de gebruikte
methode.
de Vos (1998)
Leerkrachten laten zich
wel beïnvloeden door de
methode, doch gaan de
richtlijnen van de ontwik-
kelaars niet trouw volgen
en toepassen.
Fullan (1991)
De leraar past de methode
aan aan zijn wensen voor
het op dat moment te
geven onderwijs. De bruik-
baarheid van de methode
staat hier centraal.
Harskamp&
Deinum (1995)
De leraar biedt
wel de leerstof
uit de methode
aan, doch geeft
deze leerstof on-
voldoende vol-
gens de voor-
ziene principes
van de methode
vorm.
KNAW-rapport
‘Rekenonderwijs
op de basisschool’
(2009)
Niet de methode,
maar vooral het
handelen van de
leerkracht zelf
geeft de doorslag
op de klaspraktijk
en de prestaties
van de leerlingen.
21
Dat de relatie tussen de methode en de onderwijspraktijk niet eenduidig is, wordt ook
aangegeven door Dolk (1997), die benadrukt dat het gebruiken van een nieuwe
methode niet noodzakelijk betekent dat de onderwijspraktijk van de leraar verandert.
Toegespitst op realistisch rekenonderwijs, komt Tjabringa (1996) tot een gelijkaardige
conclusie: “Een nieuwe methode verandert het onderwijs enigszins, maar het werken
met een realistische methode maakt de reken-wiskundelessen niet automatisch
realistisch”. Sweers (1993) vraagt zich af of ‘realistisch’ geen modewoord begint te
worden, waaraan iedereen een andere (concrete) invulling geeft.
Het KNAW-rapport ‘Rekenonderwijs op de basisschool’ (2009) geeft zelfs aan dat niet
de effectiviteit van de rekenmethodes, maar vooral de leerkrachten zelf de doorslag
geven. Ook Gravemeijer (1994) haalt het belang aan van de instructieactiviteiten van
de leerkracht: verschillende realistische methoden leiden tot verschillende instructie, en
die verschillende instructie is de aanleiding van verschillende leerresultaten. Fennema
e.a. (1992) wijzen in dit verband op het belang van de vakkennis van de leraar in het
rekenonderwijs. Deze vakspecifieke kennis zou bepalend zijn voor hun feitelijke manier
van onderwijzen en de resultaten van de leerlingen.
Dit onderzoek gaat verder in op deze inzichten en zal focussen op de leerkracht als
mediërende factor tussen de rekenmethode en de leerlingen.
1.3 Probleemstelling en onderzoeksvragen
In dit onderzoek wordt nagegaan in welke mate de leerkracht zijn/haar
onderwijspraktijk vorm geeft volgens de principes v an realistisch rekenen.
Concreet spitsen we ons toe op hoe leerkrachten in een vierde leerjaar in Vlaanderen
omspringen met de rekenmethode die ze gebruiken in de klas. Vanuit deze hoofdvraag
stellen we vervolgens een aantal meer gerichte deelvragen die we willen
beantwoorden met het uitgevoerde onderzoek:
1. Hoe geven leerkrachten in hun klaspraktijk concreet vorm aan rekenlessen
breuken en tijd?
2. In welke mate sluit het didactisch handelen van de leerkracht aan bij de
realistische principes?
3. Is er een verband tussen ‘de mate van aansluiting bij de realistische
principes’ en de gebruikte methode?
22
Kenmerken methode
(opbouw, inhoud,…)
Didactisch handelen van de leerkracht
Mate waarin realistische principes
uitgewerkt worden in de klaspraktijk
effect op prestaties leerlingen
Figuur 2 geeft een algemene situering. De rode pijl illustreert een al dan niet
rechtstreeks verband tussen de methode en de prestaties van de leerlingen. De
blauwe pijlen geven weer waar dit onderzoek zich op richtte: de manier waarop
leerkrachten hun didactisch handelen en klaspraktijk vormgeven, zowel algemeen
(onderzoeksvraag 1), alsook toegespitst op de kenmerken van realistisch rekenen
(onderzoeksvraag 2). Daarnaast werd nagegaan of de gebruikte methode een invloed
heeft op het handelen van de leerkracht.
Figuur 2. Conceptueel kader: algemene situering van het onderzoek
Evidence-
based
onderzoek
We focussen ons op de vijf meest gebruikte rekenmethodes in het basisonderwijs in
Vlaanderen: Eurobasis (26.55%); Zo gezegd, zo gerekend (25.35%); Kompas
(15.02%); Nieuwe Tal-rijk (11.53%) en Pluspunt (10.12%) (Van Steenbrugge e.a.,
2010).
Van Galen e.a. (2005) stellen vast dat het domein ‘breuken’ een moeilijk onderwerp is
voor veel leerlingen van de basisschool. Meer concreet zorgen breuken voor
leermoeilijkheden over gans het lager onderwijs (lj. 1-6). Ook binnen het leerdomein tijd
komen vaak leermoeilijkheden voor; vooral in het eerste tot en met het vijfde leerjaar
(Van Steenbrugge e.a., 2009). Daarom wordt in dit onderzoek gefocust op deze twee
leerdomeinen.
23
2. Methodologie
2.1 Kwalitatief onderzoek
In dit onderzoek wordt het didactisch handelen van de leerkracht geanalyseerd en
vergeleken met de principes van realistisch rekenen. Hiervoor wordt gebruik gemaakt
van een kwalitatieve analyse. Deze keuze voor kwalitatief onderzoek is in
overeenstemming met de mening van Smaling & Maso (2004), die aangeven dat voor
de beschrijving en analyse van de praktijk kwalitatief onderzoek van lesobservaties
aangewezen is.
Aansluitend op Smaling & Maso (2004), werd dit onderzoek opgezet op basis van
lesobservaties. De gekozen techniek is die van de ‘non-participant’, of de ‘direct’
observatie. Dit houdt in dat de data worden verzameld door observatie van het gedrag
zonder in interactie te gaan met de deelnemer. Door het gebruik van de ‘non-
participant’ methode krijgt het onderzoek een grotere realiteitswaarde en wordt het
handelen van de deelnemer zo min mogelijk beïnvloed. De redenering achter het
gebruik van deze techniek van lesobservaties is dat observaties een groot aantal
gegevens bevatten en deze een duidelijk zicht geven op de lespraktijk (Herzog, 1996).
2.2 Steekproef/respondenten
Voor het onderzoek werden de 5 meest gebruikte rekenmethodes uit het Vlaamse
onderwijslandschap geselecteerd: Kompas, Nieuw Tal-Rijk, Rekensprong, Pluspunt en
Zo gezegd, zo gerekend.
Er hebben 35 scholen deelgenomen aan het onderzoek. Er werden in totaal 110 lessen
geobserveerd. Hiervan werden 75 lessen werkelijk geanalyseerd. Lessen werden om
verschillende redenen niet in het onderzoek opgenomen: 4 lessen konden niet worden
omgezet van videocassette naar cd-rom, 10 lessen konden niet worden omgezet naar
het gewenste format, nodig om te kunnen analyseren met NVivo8. Van 4 lessen was
de geluidskwaliteit niet goed, deze was slecht tot niet verstaanbaar. Er zijn 5 lessen
weggevallen omdat de leerkrachten geen gebruik maakten van één van de vijf meest
gebruikte rekenmethodes. De lesonderwerpen die bekeken worden in het onderzoek
zijn tijd en breuken. Er zijn uiteindelijk 12 lessen weggevallen die niet het gewenste
24
lesonderwerp behandelden. Na het wegvallen van deze lessen zijn de data van 27
leerkrachten opgenomen in het onderzoek.
2.3 Meetinstrument
2.3.1 Ontwikkeling instrument
Om de betrokken lessen en het handelen van de leerkracht te analyseren en te
coderen werd een codeerinstrument ontwikkeld. Er werd vertrokken van de aard van
de onderzoeksvragen, en van daaruit werd op zoek gegaan naar geschikte
codeeritems.
Aangezien de eerste deelvraag peilt naar hoe de leerkracht zijn/haar klaspraktijk
algemeen vorm geeft, werden de codeeritems ook in zeer algemene zin opgesteld. Er
wordt vertrokken van een aantal algemene didactische elementen die in elke les
terugkomen: lesinhoud, lesactiviteit en gebruik van materiaal. Vervolgens werden deze
steeds verder verfijnd. Hiertoe baseerde men zich in eerste instantie op een
observatieformulier van de lerarenopleiding Reno in Torhout. Vervolgens werd het
codeerschema voortdurend bijgesteld op basis van de observaties en vaststellingen
die gebeurden tijdens het ‘proefkijken’ van een aantal lessen. Uiteindelijk ontstond een
boomstructuur waarin eender welk lesmoment kon worden ondergebracht onder één
van de items.
De tweede deelvraag van dit onderzoek richt zich specifiek op de mate waarin de
kenmerken van het realistisch rekenonderwijs in de klaspraktijk uitgewerkt worden. Om
hierop een zicht te krijgen, werden deze kenmerken in de reeds bestaande
boomstructuur ingevoegd. Deze is gebaseerd op de uitgevoerde literatuurstudie. Deze
items werden vergeleken met de items die gebruikt werden tijdens het MORE-
onderzoek (Gravemeijer et. al, 1993) en het onderzoek van ‘methodegebruik op de
basisscholen’ (de Vos, 1998). De items in deze werken bleken echter nog te vaag om
de lessen nauwkeurig te kunnen coderen. Wat betreft het kenmerk interactief
onderwijs, benadrukken zowel de Vos (1998), als Menne (2001), als Treffers en de
Goeii (2004) de belangrijke plaats van zowel de leraar, leerling en de leergroep.
Daarom werd in dit codeerinstrument in de items betreffende interactie een
onderscheid gemaakt tussen welke personen de interactie plaatsvindt.
Ook het kenmerk constructies en producties van leerlingen werd niet als dusdanig
onder deze naam in het codeerschema opgenomen. Uitgaande van het belang van de
situatie waarin een leerling een eigen constructie, productie of inzicht aanbrengt
(Treffers & de Goeij, 2004), werden ook hier een aantal items van elkaar
25
onderscheiden: een leerling richt zich tot de leerkracht, een leerling richt zich klassikaal
tot een andere leerling, of een leerling richt zich in een groepswerk tot een andere
leerling).
2.3.2 Beschrijving instrument
In wat volgt wordt een nauwkeurige beschrijving gegeven van het ontwikkelde
instrument (zie bijlage 3). Het instrument bevat drie hoofdtakken: lesinhoud, lesactiviteit
en gebruik van materiaal. Deze takken werden onderverdeeld in verschillende items.
Onder lesinhoud worden aansluiten bij voorkennis, herhalen-automatiseren, inoefenen-
verdiepen, niet lesgericht, voorbereiding les en introductie lesinhoud onderverdeeld. De
items onder lesactiviteit zijn verdeeld over twee verschillende takken, namelijk
werkvorm en leerstof. Werkvorm omvat de takken interactie leerkracht-leerling,
interactie leerkracht-leerlingen, interactie leerling-leerkracht, interactie leerling-leerling,
leerkracht instrueert, leerlingen werken individueel en leerlingen werken samen.
Leerstof omvat de takken kale sommen, gebruik realistische contexten, verbanden
leggen, stap voor stap werken en gebruik schema’s en modellen. Wat verstaan wordt
onder de verschillende takken, is na te lezen in het codeerboek (zie bijlage 4).
Binnen dit boomdiagram bevinden zich de 5 kenmerken van het realistisch rekenen
(cfr. 1.1.3. d). De kenmerken het gebruik van contexten, en gebruik van modellen en
schema’s zijn terug te vinden onder de gelijknamige tak, nl ‘gebruik realistische
contexten’ en ‘gebruik van schema’s en modellen’. Kenmerk 3 constructies en
producties wordt opgesplitst in ‘interactie LL-LK’, ‘interactie LL-LL’ en ‘LLN werken
samen’. Het vierde kenmerk interactief onderwijs wordt opgesplitst in ‘interactie LK-LL’,
interactie LK-LLN’, ‘interactie LL-LK’, ‘interactie LL-LL’ en ‘LLN werken samen’. Het
vijfde kenmerk samenhang leerstofgebieden werd gecodeerd onder de term
‘verbanden leggen’.
Dit codeerinstrument zal de onderzoekers in staat stellen een antwoord te verkrijgen op
deelvraag 1 en 2 van dit onderzoek. Onrechtstreeks draagt het eveneens bij aan de
resultaten van onderzoeksvraag 3, aangezien deze gebaseerd zijn op de resultaten
van deelvraag 2.
2.4 Procedure
Scholen werden via de directeur gecontacteerd over de opzet van het onderzoek. Met
de leerkrachten zelf werd vervolgens afgesproken op welke momenten lessen breuken
en tijd zouden geobserveerd worden en welke lesonderwerpen hierbij aan bod zouden
26
komen. Alle lessen werden geobserveerd in de periode april 2009 – mei 2009 bij 27
leerkrachten uit het vierde leerjaar.
Omdat niet alles kan worden nagegaan tijdens de observatie van een les, werd gebruik
gemaakt van video-opnames. Aangezien het onderzoek zich richt op het handelen van
de leerkracht, werd de camera zo opgesteld dat hoofdzakelijk het handelen van de
leerkracht werd vastgelegd. De onderzoekers stelden zich zodanig op dat zij geen
invloed hadden op het verloop van de les. Er werd dan ook op geen enkel moment
tussengekomen in het handelen van de leerkracht.
Dit onderzoek spitst zich toe op de wiskundedomeinen ‘breuken’ en ‘tijd’. Daarom
werden lessen die zich niet op deze domeinen richten, als onbruikbaar beschouwd. Na
het uitfilteren van de onbruikbare lessen bleken 12 leerkrachten de methode Kompas
te gebruiken, 6 leerkrachten de methode Zo gezegd zo gerekend, 6 leerkrachten de
methode Nieuw Tal-Rijk, 2 leerkrachten gebruikten de methode Pluspunt en 1
leerkracht werkte met de methode Rekensprong.
2.5 Verwerking data
De geobserveerde lessen werden geanalyseerd met behulp van het
softwareprogramma Nvivo 8. In totaal werden er 75 lessen geanalyseerd. De analyse
van een les gebeurde per tijdsinterval van 20 seconden. Elk tijdsinterval werd
gecodeerd op elke tak van het codeerschema.
Aan de hand van het ‘Coding Summary Rapport’ werd per les nagegaan in welke mate
de verschillende elementen van het codeerschema aan bod kwamen. Deze gegevens
werden vervolgens geëxporteerd naar een SPSS15 databestand voor verdere analyse.
De video-opnames alsook het project dat in Nvivo 8 werd gemaakt en de resultaten
kunnen ter inzage verkregen worden op de vakgroep Onderwijskunde van de
Universiteit Gent, Prof. dr. M. Valcke.
Twee codeurs werden ongeveer 15 uur getraind in het coderen. Voor de start van het
coderen, werd een codeerboek (zie bijlage 4) opgesteld waarin precies vermeld werd
wat onder elke tak van het codeerschema verstaan werd. Vervolgens werden
lesactiviteiten door beide codeurs gezamenlijk gecodeerd. In een derde stap werden
lesactiviteiten afzonderlijk gecodeerd, maar was er nog een mogelijkheid tot overleg. In
een vierde en laatste fase, werd een volledige les afzonderlijk door beide codeurs
gecodeerd. Op basis van deze volledig afzonderlijk gecodeerde les werd de
interbeoordelaarsbetrouwbaarheid op elke tak uit het codeerschema berekend (Tabel
27
1). Zoals uit deze tabel blijkt, situeert Krippendorff’s α zich op drie takken na tussen .68
en 1.00 (n = 129), wat overeenkomt met een goede tot excellente overeenkomst
tussen beide codeurs (Banerjee et al., 1999; Neuendorf, 2002). Wat de overige vier
takken betreft (ander didactisch materiaal, op locatie en interactie ll-ll), is de
overeenkomst tussen beide codeurs eveneens zeer hoog wanneer we kijken naar de
mate van overeenkomst tussen beide codeurs (percent agreement tussen .92 en .98).
Op basis hiervan werd besloten om ook deze takken in de analyse te betrekken.
Tabel 1
Interbeoordelaarsbetrouwbaarheid (Krippendorff’s α en percent agreement )
Nodes codeerschema α % N
Ander didactisch materiaal
-.10
.96
129
Bord-beamer .68 .95 129
Extra werkbladen .88 .945 129
Kladpapier .80 .95 129
Op locatie .49 .98 129
Werkboek-handboek .79 .95 129
Gebruik realistische contexten .97 .98 129
Gebruik schema's en modellen 1.00 1.00 129
Kale sommen oplossen 1.00 1.00 129
Stap voor stap werken 1.00 1.00 129
Verbanden leggen .80 .91 129
Interactie lk-ll .98 .99 129
Interactie lk-lln 1.00 1.00 129
Interactie ll-lk .97 .99 129
Interactie ll-ll -.04 .92 129
Lkr instrueert 1.00 1.00 129
Lln werken individueel .97 .98 129
Lln werken samen .83 .92 129
Aansluiten bij voorkennis .98 .99 129
Herhalen-automatiseren .98 .99 129
Inoefenen-verdiepen 1.00 1.00 129
Introductie lesinhoud .87 .95 129
Niet lesgericht 1.00 1.00 129
Voorbereiding les
1.00 1.00 129
28
3. Resultaten
De hoofdonderzoeksvraag werd opsplitst in een aantal deelvragen, de resultaten
worden volgens deze opdeling besproken. De eerste twee deelvragen worden op een
beschrijvende manier gerapporteerd. De derde en laatste deelvraag wordt op een
inductieve statistische manier nagegaan.
De resultaten op deze deelvragen geeft de onderzoekers nadien de mogelijkheid een
antwoord te geven op de hoofdonderzoeksvraag.
3.1 De methode in de klaspraktijk: algemene schets
In het eerste deel van dit onderzoek wordt de volgende deelvraag onderzocht: Hoe
geven leerkrachten in hun klaspraktijk concreet vor m aan rekenlessen breuken
en tijd?
Per leerkracht en per les werd de frequentie van de gecodeerde takken uit het
codeerschema in kaart gebracht (zie bijlage 1). Op basis van deze frequenties wordt
er een algemene beschrijving van de gecodeerde lessen gegeven. Hiertoe worden per
node (zijtak uit het codeerschema) de frequenties gebundeld in schijven van 0-10%,
10-25%, 25-50%, 50-75% en 75-100% van de lestijd. Vervolgens wordt nagegaan
hoeveel lessen telkens aan deze frequenties voldoen. Op die manier wordt een beeld
verkregen van opvallend hoge, lage of middelmatige frequenties van bepaalde nodes.
Tak 1: Lesinhoud
Tabel 1 Lesinhoud
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Aansluiten bij voorkennis 0-10 29.33 29.33 10-25 17.33 46.67 25-50 32.00 78.67 50-75 16.00 94.67 75-100 5.33 100.00
29
Herhalen - automatiseren 0-10 69.33 69.33 10-25 2.67 72.00 25-50 5.33 77.33 50-75 5.33 82.67 75-100 17.33 100.00 Inoefenen - verdiepen 0-10 30.67 30.67 10-25 10.67 41.33 25-50 34.67 76.00 50-75 20.00 96.00 75-50 4.00 100.00 Introductie lesinhoud 0-10 89.33 89.33 10-25 8.00 97.33 25-50 2.67 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00 Niet lesgericht 0-10 94.67 94.67 10-25 5.33 100.00 25-50 .00 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00 Voorbereiding les 0-10 80.00 80.00 10-25 18.67 98.67 25-50 1.33 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00
Uit Tabel 1 is af te lezen dat er een kleine spreiding is met betrekking tot het aansluiten
bij de voorkennis. Tijdens 29.33%, 17.33%, 32.00% en 16% van de lessen werd er
respectievelijk 0-10%, 10-25%, 25-50% en 50-75% van de lestijd aandacht besteed
aan het linken met de voorkennis. Bij een kleine minderheid van de lessen, namelijk
5.33% werd er veel tijd (75-100% van de lestijd) besteed aan het aansluiten bij
voorkennis.
Verder wordt bij het merendeel (69.33%) van de lessen slechts 0-10% van lestijd
besteed aan herhaling en automatisering. In 17.33% van de lessen had 75-100% van
de lestijd betrekking op herhaling en automatisering. Dit waren effectief
herhalingslessen. Tijdens de andere gecodeerde lessen werd respectievelijk 10-25%
(2.67% van de lessen), 25-50% (5.33% van de lessen) en 50-75% (5.33% van de
lessen) van de lestijd besteed aan herhalen en automatiseren.
30
Wat betreft het inoefenen en verdiepen wordt een kleine spreiding waargenomen.
Tijdens 30.67% van de gecodeerde lessen werd slechts 0-10% van de lestijd besteed
aan verdiepen en inoefenen. In 4.00% van de lessen werd er gedurende 75-100% van
de lestijd ingeoefend en verdiept. Verder wordt waargenomen dat 10-25%, 25-50% en
50-75% van de lestijd besteed werd aan inoefenen en verdiepen dan wel in
respectievelijk 10.67%, 34.67% en 20% van de gecodeerde lessen.
Tijdens 89.33% van de gecodeerde lessen werd 0-10% van de lestijd besteed aan de
introductie van de lesinhoud. Er werd 10-25% en 25-50% van de lestijd besteed aan de
introductie van de lesinhoud in respectievelijk 8% en 2.67% van de gecodeerde lessen.
In het overgrote deel van de gecodeerde lessen (94.67%) wordt 0-10% van de lestijd
besteed aan niet-lesgerichte activiteiten. Voor 5.33% van de gecodeerde lessen gaat
het over 10-25% van de lestijd.
Verder wordt aangegeven dat tijdens 4/5 (80%) van de lessen de leerkracht 0-10% van
de duurtijd van de les spendeert aan het in orde brengen van praktische zaken, zowel
voor, tijdens als op het einde van de les. Tijdens 18.67% van de lessen nam dit 10-
25% van de lestijd in beslag. Voor 1.33% van de gecodeerde lessen geldt dat er 25-
50% van de lestijd besteed werd aan dergelijke voorbereidingen.
Tak 2: Lesactiviteit
Tak 2 wordt onderverdeeld in twee zijtakken: werkvorm en leerstof.
Tabel 2 Werkvorm
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Interactie LK - LL 0-10 4.00 4.00 10-25 18.67 22.67 25-50 72.00 94.67 50-75 5.33 100.00 75-100 .00 100.00 Interactie LK - LLN 0-10 6.67 6.67 10-25 30.67 37.33 25-50 26.67 64.00 50-75 25.33 89.33 75-100 10.67 100.00
31
Interactie LL - LK 0-10 88.00 88.00 10-25 10.67 98,67 25-50 .00 98,67 50-75 1.33 100.00 75-50 .00 100.00 Interactie LL - LL 0-10 100.00 100.00 10-25 .00 0.00 25-50 .00 0.00 50-75 .00 0.00 75-100 .00 0.00 LK instrueert 0-10 50.67 50.67 10-25 46.67 97.33 25-50 2.67 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00 LLN werken individueel 0-10 20.00 20.00 10-25 30.67 50.67 25-50 38.67 89.33 50-75 6.67 96.00 75-100 4.00 100.00 LLN werken samen 0-10 69.33 69.33 10-25 18.67 88.00 25-50 4.00 92.00 50-75 6.67 98.67 75-100 1.33 100.00
Uit Tabel 2 blijkt dat in bijna ¾ (72%) van de lessen de leerkracht in interactie gaat met
een individuele leerling gedurende 25-50% van de lestijd. In 4% van de lessen kwam
interactie van leerkracht naar leerling nauwelijks (0-10% van de lestijd) voor. Een
kleine minderheid (5.33% van de lessen) gaf veel aandacht aan deze individuele
interactie, namelijk gedurende 50-75% van de lestijd.
Wat betreft de interactie die de leerkracht aangaat met de klasgroep (interactie LK-
LLN) is er een kleine spreiding. In 30.66%, 26.67% en 25.33% van de gecodeerde
lessen lokte de leerkracht een reactie uit bij de leerlingen gedurende respectievelijk 10-
25%, 25-50% en 50-75% van de lestijd. In 6.67% van de lessen ging de leerkracht
nauwelijks (0-10% van de lestijd) in interactie met de klasgroep. Lessen waarbij
gedurende 75-100% van de lestijd de leerkracht deze vorm van interactie aanging,
komen voor met een frequentie van ongeveer 1/10 (10.67%).
32
In de grote meerderheid (88%) van de gecodeerde lessen verwoordden de leerlingen
nauwelijks (0-10% van de lestijd) eigen constructies en/of producties naar de leerkracht
toe. Voor 10.67% van de lessen wordt weergegeven dat dit al iets vaker voorkomt
(gedurende 10-25% van de lestijd). In een zeer kleine minderheid (1.33%) van de
lessen krijgen (of nemen) leerlingen hiervoor de ruimte gedurende 50-75% van de
lestijd.
De cijfers rapporteren zeer duidelijk dat het zeer weinig tot niet (0-10% van de lestijd)
voorkomt dat leerlingen klassikaal ingaan op een constructie of productie van een
andere leerling (interactie LL-LL).
Tabel 2 geeft tevens aan dat het aandeel van de leerkracht die instrueert niet zo groot
is, namelijk: voor 50.67% van de gecodeerde lessen is dat 0-10% van de lestijd en
voor 46.67% van de lessen is dat 10-25% van de lestijd. Tijdens 2.67% van de
gecodeerde lessen instrueerde de leerkracht gedurende 25-50% van de lestijd.
In 20% en 30.67% van de gecodeerde lessen de leerlingen individueel gedurende
respectievelijk 0-10% en 10-25% van de lestijd. Tijdens ongeveer 2/5 (38.67%) van de
gecodeerde lessen komt individueel werk gedurende 25-50% van de lestijd voor. In
een minderheid van de gecodeerde lessen (6.67% en 4.00%) werd er respectievelijk
gedurende 50-75% en 75-100% van de lestijd individueel gewerkt.
Tot slot blijkt dat in 69.33% van de gecodeerde lessen de leerlingen nauwelijks (0-10%
van de lestijd) ruimte krijgen om in interactie te gaan met elkaar via groepswerk.
Ongeveer 1/5 (18.67%) van de gecodeerde lessen spendeerde 10-25% van de lestijd
aan deze werkvorm. Deze tijd die vrijgemaakt werd voor het construeren en uitwisselen
van constructies en producties ziet men stijgen tot 25-50% en 50-75% van de lestijd in
respectievelijk 4.00% en 6,67% van de gecodeerde lessen. In een zeer kleine
minderheid (1.33%) van de lessen bestond het grootste deel van de les (75-100% van
de lestijd) uit deze manier van werken.
Tabel 3 Leerstof
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Gebruik realistische 0-10 60.00 60.00
33
contexten 10-25 14.67 74.67 25-50 8.00 82.67 50-75 8.00 90.67 75-100 9.33 100.00 Gebruik schema's en modellen 0-10 45.33 45.33 10-25 14.67 60.00 25-50 26.67 86.67 50-75 8.00 94.67 75-100 5.33 100.00 Kale sommen oplossen 0-10 44.00 44.00 10-25 21.33 65.33 25-50 17.33 82.67 50-75 9.33 92.00 75-50 8.00 100.00 Stap voor stap werken 0-10 97.33 97.33 10-25 2.67 100.00 25-50 .00 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00 Verbanden leggen 0-10 98.67 98.67 10-25 1.33 100.00 25-50 .00 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00
De resultaten in Tabel 3 tonen aan dat in 3/5 (60%) van de gecodeerde lessen de
leerstof nauwelijks (tussen 0 en 10% van de lestijd) ingebed werd in een context.
Tijdens 14.67% van de gecodeerde lessen wordt dit kenmerk vertoond gedurende 10-
25% van de lestijd. Verder wordt aangegeven dat in 8.00% van de gecodeerde lessen
25-50% van de lestijd gebruik maakten van contexten. In 8% en 9.33% werd de
leerstof ingebed in een context gedurende respectievelijk 50-75% en 75-100% van de
lestijd.
Tijdens 45.33% van de lessen werd nauwelijks gebruik gemaakt van schema’s en
modellen (0-10% van de lestijd). In 14,67% van de lessen werd er gewerkt met
schema’s en modellen gedurende 10-25% van de lestijd. In 26.67% van de lessen ziet
men deze manier van werken stijgen tot 25-50% van de lestijd. Tot slot, gedurende 50-
75% en 75-100% van de lestijd werden schema’s en modellen gecodeerd in
respectievelijk 8% en 5.33% van de gecodeerde lessen.
34
In 44% van de gecodeerde lessen wordt gedurende 0-10% van de lestijd gewerkt aan
de hand van kale sommen. Tijdens ongeveer 1/5 (21.33%) van de gecodeerde lessen
werd 10-25% van de lestijd gebruik gemaakt van kale sommen. Deze manier van
werken komt in 17.33% van de lessen terug gedurende 25-50% van de lestijd. Tot slot,
wordt in een minderheid van de lessen (9.33% en 8%) gewerkt aan de hand van kale
sommen gedurende respectievelijk 50-75% en 75-100% van de lestijd.
In 97.33% van de gecodeerde lessen wordt slechts gedurende 0-10% van de les
gewerkt aan de hand van een stappenplan. In 2.67% van de lessen werd deze manier
van werken gecodeerd gedurende 10-25% van de lestijd.
In het overgrote deel van de lessen (98.67%) wordt slechts 0-10% van de duurtijd van
een les besteed aan het leggen van verbanden met andere leerstofdomeinen. Tijdens
1.33% van de lessen spendeer de leerkracht hier 10-25% van de lestijd aan.
Tak 3: Gebruik van materiaal
Tabel 4 Gebruik materiaal
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Ander didactisch materiaal 0-10 40.00 40.00 10-25 20.00 60.00 25-50 26.67 86.67 50-75 10.67 97.33 75-100 2.67 100.00 Bord - beamer 0-10 21.33 21.33 10-25 24.00 45.33 25-50 26.67 72.00 50-75 24.00 96.00 75-100 4.00 100.00 Extra werkbladen 0-10 65.33 65.33 10-25 10.67 76.00 25-50 12.00 88.00 50-75 9.33 97.33 75-100 2.67 100.00 Kladpapier 0-10 76.00 76.00 10-25 18.67 94.67
35
25-50 4.00 98.67 50-75 1.33 100.00 75-50 0.00 100.00 Op locatie 0-10 96.00 96.00 10-25 1.33 97.33 25-50 1.33 98.67 50-75 1.33 100.00 75-100 0.00 100.00 Werkboek - handboek 0-10 29.33 29.33 10-25 13.33 42.66 25-50 26.67 69.33 50-75 24.00 93.33 75-100 6.67 100.00
In 2/5 (40%) van de gecodeerde lessen werd er tijdens 0-10% van de lestijd gebruik
gemaakt van knipsels, tekeningen, posters, MAB-materiaal,… . Dit ‘ander didactisch
materiaal’ werd in 1/5 (20.00%) van de lessen gedurende 10-25% van de lestijd
gebruikt. Verder kwam dit didactisch materiaal aan bod in 26.67%, 10.67% en 2.66%
van de lessen gedurende respectievelijk 25-50%, 50-75% en 75-100% van de lestijd.
In tabel 4 wordt weergegeven dat er gedurende 0-10% van de lestijd gebruik gemaakt
wordt van het bord tijdens 21.33% van de gecodeerde lessen. In 24% en 26.67% van
de lessen werd het bord –of beamergebruik gecodeerd gedurende respectievelijk 10-
25% en 25-50% van de lestijd. Verder werd in 24% van de lessen het bord en/of de
beamer gecodeerd gedurende 50-75% van de lestijd. Een gebruik van het bord en/of
beamer gedurende 75-100% van de lestijd komt minder voor, namelijk in 4% van de
gecodeerde lessen.
Tijdens iets meer dan 3/5 (65,33%) van de gecodeerde lessen werd er gedurende 0-
10% van de lestijd gewerkt met extra werkbladen. Gedurende 10-25%, 25-50% en 50-
75% van de lestijd werd er gewerkt met extra werkbladen tijdens respectievelijk
10.67%, 12% en 9.33% van de gecodeerde lessen. Een gebruik van extra werkbladen
gedurende 75-100% van de lestijd komt weinig voor, namelijk in 2.67% van de
gecodeerde lessen.
Tijdens ongeveer ¾ (76%) van de gecodeerde lessen werd gedurende 0-10% van de
duurtijd van de les gebruik gemaakt van kladpapier of kladschrift. Verder wordt
weergeven dat een gebruik van dergelijk kladmateriaal voorkomt gedurende 10-25%,
36
25-50% en 50-75% van de lestijd in respectievelijk 18.67%, 4% en 1.33% van de
gecodeerde lessen.
Uit Tabel 4 blijkt tevens dat het merendeel van de lessen in het gewone klaslokaal
plaatsvindt In 96.00% van de gecodeerde lessen werd er 0-10% van de duurtijd van
een les op locatie gegeven. Een verplaatsing naar een andere locatie (bv. in
computerlokaal, op speelplaats,…) kwam voor gedurende 10-25%, 25-50% en 50-75%
van de lestijd, telkens in 1.33% van de gecodeerde lessen.
Wat betreft het gebruik van het handboek of werkboek, wordt aangegeven dat in
29.33% van de gecodeerde lessen hier nauwelijks aandacht aan wordt besteed (0-10%
van de lestijd). In 13.33%, 26.62% en 24% van de lessen wordt het handboek of
werkboek respectievelijk gedurende 10-25%, 25-50% en 50-75% van de lestijd
gebruikt. In een minderheid van de lessen (6.67%) werd het gebruik van handboek of
werkboek gecodeerd gedurende bijna de gehele les (75-100% van de lestijd).
3.2 Didactisch handelen en de realistische principe s
In het tweede deel van het onderzoek wordt de tweede deelvraag onderzocht: In welke
mate sluit het didactisch handelen van de leerkrach t aan bij de realistische
principes?
Hiervoor wordt per les per leerkracht nagegaan in welke mate de vijf kenmerken van
realistisch rekenen uitgewerkt worden. Deze kenmerken zijn: gebruik van contexten,
gebruik van modellen en schema’s, aandacht en ruimte voor constructies en producties
van leerlingen, interactief onderwijs, en samenhang tussen de verschillende
leerstofgebieden.
In Bijlage 1 wordt per les per leerkracht weergegeven hoeveel procent van de lesduur
gebruik gemaakt werd van onder andere contexten en modellen&schema’s. Zoals
reeds vermeld in de methodologie, wordt het kenmerk constructies en producties van
leerlingen uitgesplitst in ‘interactie LL-LK’, ‘interactie LL-LL’ en ‘LLN werken samen’.
Het kenmerk interactief onderwijs wordt opgesplitst in ‘interactie LK-LL’, interactie LK-
LLN’, ‘interactie LL-LK’, ‘interactie LL-LL’ en ‘LLN werken samen’. Het kenmerk
‘samenhang leerstofgebieden’ werd gecodeerd onder de naam ‘verbanden leggen’.
37
Analoog zoals in onderzoeksvraag 1, wordt hieronder dieper ingegaan op de uitwerking
van elk kenmerk. In schijven van 10, 15 of 25% wordt het aandeel van de lestijd
weergegeven waarin elk kenmerk uitgewerkt wordt.
Kenmerk 1: gebruik van contexten
Tabel 5 Gebruik van contexten
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Gebruik realistische contexten 0-10 60.00 60.00 10-25 14.67 74.67 25-50 8.00 82.67 50-75 8.00 90.67 75-100 9.33 100.00
In 3/5 (60%) van de gecodeerde lessen wordt de leerstof nauwelijks (tussen 0 en 10%
van de lestijd) ingebed in een context. Tijdens 14.67% van de gecodeerde lessen
wordt dit kenmerk vertoond gedurende 10-25% van de lestijd. Verder wordt
weergegeven dat in 8% van de gecodeerde lessen 25-50% van de lestijd gebruik
maakt van contexten. Een gebruik van contexten gedurende 50-75% en 75-100% van
de duurtijd van de les komt in respectievelijk 8% en 9.33% van de lessen voor.
Kenmerk 2: gebruik van modellen en schema’s
Tabel 6 Gebruik schema's en modellen
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Gebruik schema's en modellen 0-10 45.33 45.33 10-25 14.67 60.00 25-50 26.67 86.67 50-75 8.00 94.67 75-100 5.33 100.00
38
Uit Tabel 6 blijkt dat in 45.33% van de lessen nauwelijks gebruik gemaakt wordt van
schema’s en modellen (tussen 0 en 10% van de lestijd). In 14.67% van de lessen werkt
de leerkracht met schema’s en modellen gedurende 10-25% van de lestijd. In 26.67%
van de lessen ziet men deze manier van werken stijgen tot 25-50% van de lestijd. Tot
slot, gedurende 50-75% en 75-100% van de lestijd werden schema’s en modellen
gecodeerd in respectievelijk 8% en 5.33% van de gecodeerde lessen.
Kenmerk 3: constructies en producties leerlingen
Zoals vermeld in de bespreking van het instrument, werd dit kenmerkt gecodeerd aan
de hand van de volgende nodes:
- interactie LL-LK: LL legt eigen constructie, productie, inzicht, manier van
werken,… uit aan LK
- interactie LL-LL: LL gaat klassikaal in op een constructie, productie van een
andere leerling
- LLN werken samen: LLN wisselen constructies en producties met elkaar uit in
groepswerk
Tabel 7 Constructies en producties van LLN
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Interactie LL - LK 0-10 88.00 88.00 10-25 10.67 98,67 25-50 .00 98,67 50-75 1.33 100.00 75-50 .00 100.00 Interactie LL - LL 0-10 100.00 100.00 10-25 .00 0.00 25-50 .00 0.00 50-75 .00 0.00 75-100 .00 0.00 LLN werken samen 0-10 69.33 69.33 10-25 18.67 88.00 25-50 4.00 92.00 50-75 6.67 98.67 75-100 1.33 100.00
39
Tabel 7 toont aan dat in de grote meerderheid (88%) van de gecodeerde lessen
leerlingen nauwelijks (0-10% van de lestijd) eigen constructies en/of producties
verwoorden naar de leerkracht toe. Voor 10.67% van de lessen wordt aangegeven dat
dit al iets vaker voorkomt (gedurende 10-25% van de lestijd). In een zeer kleine
minderheid (1.33%) van de lessen krijgen (of nemen) leerlingen hiervoor de ruimte
gedurende 50-75% van de lestijd.
De cijfers rapporteren zeer duidelijk dat het in alle gecodeerde lessen zeer weinig tot
niet (0-10% van de lestijd) voorkomt dat leerlingen klassikaal ingaan op een
constructie/productie van een andere leerling.
In 69.33% van de gecodeerde lessen krijgen leerlingen nauwelijks (0-10% van de
lestijd) ruimte om in interactie te gaan met elkaar via groepswerk. In bijna 1/5 (18.67%)
van de gecodeerde lessen wordt 10-25% van de lestijd gespendeerd aan deze
werkvorm. Deze tijd, die vrijgemaakt wordt voor het construeren en uitwisselen van
constructies en producties, ziet men stijgen tot 25-50% en 50-75% van de lestijd in
respectievelijk 4% en 6.67% van de gecodeerde lessen. In een zeer kleine minderheid
(1.33%) van de lessen bestaat het grootste deel van de les (75-100% van de lestijd) uit
deze manier van werken.
Algemeen geeft Tabel 7 aan dat er in alle gecodeerde filmpjes opvallend weinig tot
geen aandacht besteed wordt aan de eigen constructies en producties van leerlingen.
Zowel wat betreft de node ‘interactie LL-LK’ als ‘interactie LL-LL’ als ‘LLN werken
samen’ kwam het gebruik van constructies en producties van de leerlingen in de
meerderheid van de lessen (respectievelijk 88%, 100% en 69.33%) gedurende slechts
0-10% van de lestijd voor.
Kenmerk 4: Interactief onderwijs
Voor het coderen van dit kenmerk werd in NVivo8 een opsplitsing gemaakt van
volgende nodes:,
- interactie LK-LL: vertrekt van LK, lokt reactie uit bij LL
- interactie LK-LLN: vertrekt van de leerkracht, lokt reactie uit bij de leerlingen
- interactie LL-LK: leerling gaat in interactie met leerkracht door eigen
constructie, productie, inzicht, manier van werken,… uit te leggen
- interactie LL-LL: leerling gaat klassikaal in interactie met een andere leerling
door in te gaan op constructie, productie van die andere leerling
40
- LLN werken samen: leerlingen gaan in interactie met elkaar in groepswerk
Tabel 8 Interactief onderwijs
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Interactie LK - LL 0-10 4.00 4.00 10-25 18.67 22.67 25-50 72.00 94.67 50-75 5.33 100.00 75-100 .00 100.00 Interactie LK - LLN 0-10 6.67 6.67 10-25 30.67 37.33 25-50 26.67 64.00 50-75 25.33 89.33 75-100 10.67 100.00 Interactie LL - LK 0-10 88.00 88.00 10-25 10.67 98,67 25-50 .00 98,67 50-75 1.33 100.00 75-50 .00 100.00 Interactie LL - LL 0-10 100.00 100.00 10-25 .00 0.00 25-50 .00 0.00 50-75 .00 0.00 75-100 .00 0.00 LLN werken samen 0-10 69.33 69.33 10-25 18.67 88.00 25-50 4.00 92.00 50-75 6.67 98.67 75-100 1.33 100.00
Uit Tabel 8 blijkt dat in bijna ¾ (72%) van de lessen de leerkracht in interactie gaat met
een individuele leerling gedurende 25-50% van de lestijd. In 4% van de lessen komt
interactie van leerkracht naar leerling nauwelijks (0-10% van de lestijd) voor. Een
kleine minderheid (5.33% van de lessen) geeft veel aandacht aan deze individuele
interactie, namelijk gedurende 50-75% van de lestijd.
In 30.66%, 26.67% en 25.33% van de gecodeerde lessen lokt de leerkracht een reactie
uit bij de leerlingen gedurende respectievelijk 10-25%, 25-50% en 50-75% van de
lestijd. In 6.67% van de lessen gaat de leerkracht nauwelijks (0-10% van de lestijd) in
41
interactie met de klasgroep. Lessen waarbij gedurende 75-100% van de lestijd de
leerkracht deze vorm van interactie aangaat, komen voor met een frequentie van
ongeveer 1/10 (10.67%).
Zoals reeds eerder werd besproken, komt de vorm van interactie waarbij een leerling
over zijn/haar manier van denken in interactie gaat met de leerkracht, zeer weinig voor
(gedurende 0-10% van de lestijd in 88% van de gecodeerde lessen). Voor
respectievelijk 10.67% en 1.33% van de gecodeerde lessen wordt aangegeven dat
deze situatie voorkomt gedurende respectievelijk 10-25% en 50-75% van de lestijd.
Verder toont Tabel 8 duidelijk aan dat in alle lessen interactie van een leerling naar een
andere leerling nauwelijks gecodeerd werd (0-10% van de lestijd). Het komt met
andere woorden zelden tot nooit voor dat een leerling klassikaal reageert op een
inzicht van een andere leerling.
In 69.33% van de lessen wordt nauwelijks (0-25% van de lestijd) tijd voorzien om
leerlingen in samenwerkingsverband in interactie met elkaar te laten gaan. In 18.67%,
4% en 6.67% van de lessen komt deze interactievorm in respectievelijk 10-25%, 25-
50% en 50-75% van de lestijd voor. Een kleine minderheid van de lessen (1.33%)
maakt hier echter wel veel tijd voor (75-100% van de lestijd).
Algemeen toont Tabel 8 aan dat interactie in de klas voornamelijk voorkomt in de vorm
van ‘interactie LK-LL’ en ‘interactie LK-LLN’. Interactief onderwijs wordt voornamelijk
geoperationaliseerd in situaties waarbij de leerkracht een vraag stelt, en interactie
uitlokt bij de klasgroep of een individuele leerling. Interactie gaat met andere woorden
voornamelijk uit van de leerkracht. Situaties waarin leerlingen uit zichzelf in interactie
gaan met de leerkracht of een andere leerling, komen bijzonder weinig voor.
Kenmerk 5: Samenhang leerstofgebieden
Voor het coderen van dit kenmerk werd de node ‘verbanden leggen’ gebruikt.
Tabel 9 Samenhang leerstofgebieden
aandeel lestijd waarin de node voorkomt (in%)
aantaal lessen (in %)
cumulatieve %
Verbanden leggen 0-10 98.67 98.67 10-25 1.33 100.00
42
25-50 .00 100.00 50-75 .00 100.00 75-100 .00 100.00
Tabel 9 toont aan dat er tijdens de gecodeerde lessen bijzonder weinig aandacht is
voor samenhang tussen de verschillende leerstofgebieden. In bijna alle lessen
(98.67%) werd nooit meer dan 10% van de lestijd hieraan besteed. Een zeer kleine
minderheid (1.33%) van de lessen legt de link met andere wiskundegebieden of
vakken gedurende 10-25% van de lestijd.
3.3 Verband methode en de realistische principes
Aan de hand van de resultaten uit de tweede deelvraag, wordt in dit derde en laatste
luik van de dataverwerking een antwoord gezocht op de derde onderzoeksvraag: Is er
een verband tussen ‘de mate van aansluiting bij de realistische principes’ en de
gebruikte methode? Zo ja, welk verband?
Er wordt nagegaan of er significante verschillen zijn tussen de methodes, wat betreft
de kenmerken van realistisch rekenen.
Er wordt op een inductieve manier te werk gegaan. In SPSS15 wordt een univariate
covariantie-analyse (ANCOVA) uitgevoerd, met als factor de gebruikte
wiskundemethode. Deze ANCOVA-procedure zal informatie weergeven of de
waargenomen verschillen tussen de gebruikte methoden al dan niet statistisch
significant zijn. Omdat het aantal jaren ervaring van de leerkracht eventuele
significante verschillen tussen de methodes mogelijks kan beïnvloeden, werd deze
ingevoerd als covariaat.
Als nulhypothese voor een bepaald kenmerk van realistisch rekenen wordt gesteld dat
alle populatiegemiddelden aan elkaar gelijk zijn. De alternatieve hypothese stelt
bijgevolg dat er tenminste één populatie is met een gemiddelde dat verschilt van de
andere populatiegemiddelden.
De outputs van de uitgevoerde analyses geven volgende resultaten weer:
43
Tabel 10 Significant differences in teacher ratings about the CALP teachers use
Kenmerk Hoofdeffect F
Ervaring F(1,69) = .455 Gebruik contexten
Methode F(4,69) = 2.201
Ervaring F(1,69) = 5.10 Schema’s en modellen
Methode F(4,69) = 1.69
Ervaring F(1,69) = 1.27 Interactie LK – LL
Methode F(4,69) = 1,34
Interactie LK – LLN Ervaring F(1,69) = .70
Methode F(4,69) = 3.55
Interactie LK – LL Ervaring F(1,69) = 5.98
Methode F(4,69) = .61
Interactie LL – LL Ervaring F(1,69) = .88
Methode F(4,69) = .43
LLN werken samen Ervaring F(1,69) = .53
Methode F(4,69) = .62
Verbanden leggen Ervaring F(1,69) = 1.78
Methode F(4,69) = .14
Constructies en producties van LLN Ervaring F(1,69) = .17
Methode F(4,69) = 1.00
Interactief onderwijs Ervaring F(1,69) = 1.59
Methode F(4,69) = .91
De resultaten in Tabel 10 tonen aan dat er geen significante verschillen tussen
methoden zijn wat de uitwerking in de klaspraktijk van volgende kenmerken betreft:
gebruik van contexten (F=2.201, p=0.078), gebruik van schema’s en modellen (F=1.69,
p=0.162), interactie LK-LL (F=1.335, p=0.266), interactie LL-LK (F=0.614, p=0.654),
interactie LL-LL (F=0.432, p=0.785), leerlingen werken samen (F=0.617, p=0.652) en
verbanden leggen (F=0.136, p=0.968). Ook de kenmerken ‘constructies en producties
van leerlingen’, en ‘interactief onderwijs’, berekend op basis van de somscores van de
betreffende nodes, vertonen geen significant resultaat (respectievelijk F=1.00, p= 0.414
en F=0.914, p= 0.461).
44
De interactie LK-LLN geeft wel een significant resultaat (F=3.545, p=0.011). Het aantal
jaren ervaring van de leerkracht vertoont hierbij geen significant resultaat (F= 0.695,
p=0.407), waaruit kan geconcludeerd worden dat deze variabele geen invloed heeft op
de mate van klassikale interactie tussen de leerkracht en leerlingen.
Er zijn met andere woorden significante verschillen tussen de methoden wat betreft de
klassikale interactie tussen leerkracht en leerling.
45
4. Discussie
Deze studie werd opgezet naar aanleiding van de vaststelling dat evidence-based
onderzoek naar de impact van leermaterialen vooral focust op de instructional design
kenmerken van de methode, waardoor het handelen van de leerkracht minder mee in
rekening wordt gebracht (Bryant e.a., 2008; Sood and Jitendra, 2007). Er werd hier
verder op ingegaan, en er werd ingezoomd op de leerkracht als mediërende factor
tussen de methode en de werkelijke klaspraktijk.
In de literatuur zijn de meningen over de impact van methodes op het didactisch
handelen van de leerkracht in de klaspraktijk zeer uiteenlopend. Verschillende
standpunten kunnen op een continuüm geplaatst worden, gaande van geen impact tot
een maximale impact (Fullan, 1991; Harskamp&Deinum, 1995; Mc. Laughlin, 1976;
KNAW, 2009; Krammer, 1984; de Vos, 1998).
Bovenstaande auteurs richten zich veelal tot ‘methodes’ in het algemeen. Aangezien
het realistisch rekenonderwijs steeds meer ingang vindt in het Vlaamse en
Nederlandse wiskundeonderwijs (Treffers & de Goeij, 2004), werd er toegespitst op de
vraag hoe leerkrachten in Vlaanderen in een vierde leerjaar in hun klaspraktijk concreet
vormgeven aan de gebruikte methode en in welke mate de realistische principes hierbij
aan bod komen. Vijfenzeventig gefilmde lessen werden geanalyseerd, waarin telkens
een van de volgende methodes gebruikt werd: ‘Kompas’, ‘Zo gezegd zo gerekend’,
‘Nieuwe Tal-rijk’, ‘Pluspunt’ of ‘Rekensprong’.
De resultaten uit onderzoeksvraag 3 bevestigen wat het KNAW-rapport (2009) reeds
aangaf: de gebruikte methode heeft geen significante invloed op de mate van
uitwerking van de principes van realistisch rekenen in de klas. De leerkracht laat zich
met andere woorden niet zo sterk leiden door de methode voor het vormgeven van
zijn/haar didactisch handelen in de klas.
Echter, de resultaten uit onderzoeksvraag 3 zeggen niets over de mate waarin de
realistische principes al dan niet tot hun recht komen in de concrete klaspraktijk. De
resultaten op onderzoeksvraag 2 geven hier wel een antwoord op: in 60% van de
gecodeerde lessen maakt de leerkracht nauwelijks (tussen 0-10% van de lestijd)
gebruik van contexten. In 44% van de lessen wordt nauwelijks gebruik gemaakt van
schema’s en modellen. In 88% van de gecodeerde lessen gaan leerlingen nauwelijks
46
in interactie met de leerkracht over hun eigen constructies en producties. Sterker nog,
in alle lessen gaan leerlingen nauwelijks klassikaal op elkaar reageren wat betreft de
mening over een constructie of productie. Ook voor het samenwerken in
groepsverband en daarbij te interageren krijgen leerlingen nauwelijks de ruimte in bijna
70% van de gecodeerde lessen.
Opvallend is dat de vorm van interactie startende vanuit de leerkracht, wel vaker
voorkomt. In 72% van de lessen gaat de leerkracht individueel met een leerling in
interactie gedurende 25-50% van de lestijd. Klassikale interactie van leerkracht naar
leerlingen is over het totaal aantal gecodeerde lessen ongeveer gelijkmatig verdeeld
wat betreft het voorkomen in 10-25%, 25-50%en 50-75% van de lestijd. Tot slot blijkt
dat in 98.67% van de gecodeerde ook nauwelijks aandacht besteed wordt aan het
leggen van verbanden tussen andere wiskundedomeinen of andere vakken.
Algemeen wordt geconcludeerd dat in het merendeel van de lessen de leerkracht
nauwelijks aandacht heeft voor de uitwerking en/of toepassing van de principes van
realistisch rekenen. Deze resultaten suggereren wat het KNAW-rapport (2009) reeds
beweerde: het is vooral de leerkracht zelf die bepaalt wat er wel/niet in de klaspraktijk
gebeurt.
Uit bovenstaande resultaten wordt afgeleid dat de principes van het realistisch
rekenonderwijs blijkbaar toch nog niet dermate veel ingang gevonden hebben in de
concrete klaspraktijk in het Vlaamse onderwijs.
Lagerweij (2001) stelt dat onderwijs een weerbarstig veld is als het gaat om het
invoeren van vernieuwingen. In het implementatieperspectief beschrijft hij dat naast het
object van vernieuwing ook rekening gehouden dient te worden met de persoon die de
vernieuwing moet toepassen in de praktijk. Er wordt gesproken van de ‘leerkracht als
flessenhals’: zegt de leerkracht ‘nee’, dan komt er ook niets van. Vanuit deze visie gaat
men nadenken over de vaardigheden die de leraar dient te bezitten, hoe
vernieuwingsangst overwonnen kan worden,… Naast de inhoud van de vernieuwing,
wordt ook het proces van verandering onder de aandacht gebracht.
Ook de Vos (1998) hecht bij de implementatie van methoden groot belang aan de
leerkrachten die de methode toepassen in de praktijk. Meer bepaald heeft hij het over
hun behoeften, vaardigheden, verwachtingen, opvattingen en overtuigingen. Als
leerkrachten het nut van een vernieuwing of verandering (in dit geval: de principes van
het realistisch rekenonderwijs) niet inzien, zal er in de dagelijkse praktijk weinig te
47
merken zijn van de verandering. De praktijk zal slechts minimaal en gebrekkig worden
veranderd (Vernooy, 2001). Werkelijke verandering is met andere woorden enkel
mogelijk wanneer ook de opvattingen van de leerkracht veranderen (Fullan, 1991).
Boswinkel en Moerlands (1996) stippen het belang aan van de pedagogische
deskundigheid van de leerkracht. Verschaffel e.a. (2007) verwijzen hier naar de
belangrijke rol van de scholing en opleiding in de vorming van de kennis, waarden,
opvattingen en overtuigingen van de leerkracht. Ze stellen dat een verbetering van het
wiskundeonderwijs alleen mogelijk is door een radicale verandering in de scholing en
professionele ontwikkeling van de leraren. De Vos (1998) stipt aan dat vorming en
scholing niet enkel betrekking heeft op de lerarenopleiding, doch ook om de interne en
externe (bv. nascholing) ondersteuning en begeleiding van werkende leerkrachten.
Belangrijk in deze vorming is het uitgangspunt dat leerkrachten en student-leerkrachten
niet langer beschouwd worden als uitvoerders van een voorgeschreven curriculum,
maar als professionals die zelf betekenis geven aan hun klaspraktijk (Fullan, 1982).
Deze professionaliteit impliceert mede dat leerkrachten (zowel individueel als in groep)
kritisch reflecteren over hun eigen denken en handelen, zodat er capaciteiten
ontwikkeld worden om standaarden in vraag te stellen, met vernieuwingen om te gaan
en eventueel risico’s te nemen (Hargreaves, 2003). Op die manier wordt een houding
ontwikkeld in de vorm van ‘change as the norm’, waarbij leerkrachten ernaar streven
om altijd de zaken te blijven analyseren en evalueren, zodat hun focus steeds
bijgeschaafd wordt en er een nooit-eindigend proces van groei ontstaat (House en
McQuillan, 2001). Ook Hopkins (1994) wijst op het belang van het ontwikkelen van een
dergelijk vermogen bij de leerkrachten om met veranderingen en vernieuwingen om te
gaan.
Fullan (1991) stelt dat deze professionele ontwikkeling een nooit eindigend, doch
noodzakelijk leerproces is, waarin de school als organisatie een belangrijke rol heeft.
Ook de Vos (1998) heeft het over de doorslaggevende rol van de schoolleiding,
schoolorganisatie en het lerarenteam. Is de staf een coherent enthousiast team dat op
een kritische manier samen kan nadenken over de visie en doelstellingen? Kan de
schoolleider zijn team motiveren en mee betrekken in het nemen van beslissingen? Is
de school en het team op de hoogte van onderzoek en ideeën omtrent
vernieuwingsmogelijkheden? Deze en nog vele andere gelijkaardige kenmerken
maken van de school een vruchtbare grond voor het groeiproces en de vormgeving
van vernieuwingen (Slavin, 2001). Op die manier wordt professionele ontwikkeling ook
een deel van de schoolroutine (House&McQuillan, 2001).
48
Daarnaast merkt de Vos (1998) op dat ook de kenmerken van de leerlingen een
invloed hebben op de implementatie van een methode in de concrete klaspraktijk.
Nicaise e.a. (2009) verwijzen hierbij naar het Pygmalion –of Rosenthaleffect. Dit houdt
in dat de kenmerken van de leerlingen (gedrag, sociale achtergrond, intelligentie,…)
een grote invloed hebben op de verwachtingen die de leerkrachten ontwikkelen over
hun leerlingen. Deze verwachtingen zijn (onbewust) zo sterk aanwezig dat de
leerkracht de organisatie van zijn/haar didactisch handelen hier (onbewust) op afstemt,
waardoor die verwachtingen zichzelf uiteindelijk gaan waarmaken. Op die manier
kunnen de kenmerken van de leerlingen onrechtstreeks een invloed hebben op de
mate waarin en de manier waarop de realistische rekenprincipes in de klaspraktijk
uitgewerkt worden. OK: vermelden als beperking vh onderzoek: leerlingpopulatie is niet
in rekenschap genomen. Vervolgonderzoek zou dit dus wel kunnen doen!
49
5. Conclusie
In dit onderzoek werd onderzocht hoe leerkrachten in een vierde leerjaar in het
Vlaamse onderwijs concreet vorm geven aan hun didactisch handelen (deelvraag 1),
alsook in welke mate de principes van het realistisch rekenonderwijs uitgewerkt worden
(deelvraag 2). Daarnaast werd onderzocht of de variatie in implementatie van de vijf
kenmerken van realistisch rekenen tussen de methodes groter is dan binnen een
methode (deelvraag 3).
De resultaten tonen aan dat de realistische principes in de gecodeerde lessen slechts
beperkt uitgewerkt worden, en dat de variatie in implementatie binnen een methode
groter is dan de variatie tussen de gebruikte methoden.
De aanvullingen die de auteurs geven in de discussie, wijzen er op dat in dit onderzoek
slechts een beperkt element van een veel groter geheel werd onderzocht. Immers, om
een vollediger en eerlijker zicht te krijgen op de mate van implementatie van de
realistische principes in de Vlaamse klaspraktijk, dienen de beïnvloedende factoren
ook in kaart gebracht te worden.
In dit onderzoek werden de leerlingenpopulatie, de leerlingkenmerken, de mate van
scholing of ondersteuning voor de leerkrachten, de schoolkenmerken en de kenmerken
van de methode niet in rekenschap genomen. Vervolgonderzoek zou kunnen nagaan
in welke mate deze factoren een invloed hebben op de implementatie van de principes
van het realistisch rekenonderwijs.
Een andere beperking van dit onderzoek heeft betrekking op het feit dat de
gecodeerde lessen enkel als lesonderwerp ‘breuken’ of ‘tijd’ hebben. Lessen over
andere leerstofdomeinen werden niet geselecteerd en niet in het onderzoek mee
opgenomen. Hierdoor dienen de resultaten met betrekking tot het kenmerk
‘samenhang leerstofgebieden’ misschien enigszins gerelativeerd te worden, daar dit
kenmerk misschien wel afhangt van de inhoud en de aard van de specifieke les.
Eventueel vervolgonderzoek kan ook andere wiskundedomeinen behandelen, en op
die manier nagaan of de lesinhoud (het lesonderwerp) inderdaad een beïnvloedende
factor is in de uitwerking van dit kenmerk.
Een laatste voorstel tot vervolgonderzoek heeft betrekking op ‘zWISo’; een nieuwe
Vlaamse rekenmethode, uitgegeven door Zwijsen. De uitgangspunten komen vrij goed
50
overeen met de kenmerken van realistisch rekenen.. De verspreiding en implementatie
van deze methode staat momenteel nog in z’n kinderschoenen.
Mogelijk vervolgonderzoek zou kunnen onderzoeken in welke mate deze nieuwe
rekenmethode realistisch is uitgewerkt. Daarnaast kan ook nagegaan worden of de
uitwerking van de realistische rekenprincipes in de concrete klaspraktijk al dan niet
significant verschilt in vergelijking met de andere rekenmethodes.
Figuur 3 is een uitbreiding van figuur 2. De figuur geeft een situering van dit onderzoek
(blauwe kleur) en de plaats van mogelijk vervolgonderzoek.
Figuur 3: Conceptueel kader: algemene situering + vervolgonderzoek
Kenmerken
methode (opbouw, inhoud,…)
Kenmerken leerkracht
(behoeften, verwachtingen,
opvattingen, overtuigingen,…)
Didactisch handelen
van de leerkracht
Scholing, vorming
Schoolleiding en lerarenteam
Mate waarin realistische principes
uitgewerkt worden in de klaspraktijk
Leerling- kenmerken
wiskundedomein
51
6. Referenties
Adey, P. & Shayer, M. (1994). Really Raising Standards. London: Routledge.
Akker, J. van den (1990). The use of curricula. Onderwijskundig lexicon II, E 3100, 1-
12.
Boswinkel, N. & Moerlands, F. (1996). Realistisch rekenonderwijs: een opgave of een
uitdaging? Willem Bartjens. Tijdschrift voor reken –en wiskundeonderwijs in de
basisschool, 16(3), 4-11.
Bryant, B.R. ; Bryant, D.P.; Kethley, C. ; Kim, S.A.; Pool, C. & Seo, Y. (2008).
Preventing mathematics difficulties in the primary grades: The critical features of
instruction in textbooks as part of the equation. Learning Disability Quarterly, 31, 21-
35.
Cuypers, K. (1984). De nieuwe wiskunde heeft de wind niet meer mee. Persoon &
Gemeenschap, 37, 30-36.
van Dijk, I. (2002). Altijd je rekengereedschap bij de hand. Willem Bartjens. Tijdschrift
voor reken –en wiskundeonderwijs in de basisschool, 22(4), 16-18.
van Dijk, I. (2002). The learner as designer: Processes and effects of an experimental
programme in modelling. Teachers knowledge and its impact in primary education.
Amsterdam: VU Uitgeverij.
Dolk, M. (1997). Onmiddellijk onderwijsgedrag. Over denken en handelen van leraren
in onmiddellijke onderwijssituaties. Utrecht: Instituut voor lerarenopleiding,
onderwijsontwikkeling en studievaardigheden van de Universiteit Utrecht.
Durkin, D. (1984). Is there a match between what elementary teachers to and what
basal reader manuals recommend? The Reading Teacher, april 1984, 734-745.
Fennema, E. & Franke, M.L. (1992). Teachers knowledge and its impact. In
Rekenonderwijs op de basisschool: Analyse en sleutels tot verbetering. (2009).
Alkmaar: Koninklijke Nederlands Akademie van Wetenschappen.
Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education. Dordrecht: Kluwer
Academic Publishers.
Freudenthal, H. & Goffree, F. (1987). 10 jaar leerplanontwikkeling: Het
wiskundeonderwijs. Enschede: Instituut voor Leerplanontwikkeling.
52
Fullan, M. (1982). The meaning of educational change. New York: Teachers College
Press.
Fullan, M. (1991). The new meaning of educational change. London: Cassell
Educational Limited.
van Gelder, L., Wijdeveld, E.J., Goffree, F. & Krooshof, G. (1968). Moderne wiskunde
en het basisonderwijs. Groningen: Wolters-Noordhoff.
Gravemeijer, K.. e.a. (1993). Methoden in het reken-wiskundeonderwijs, een rijke
context voor vergelijkend onderzoek. Utrecht: Technipress.
Gravemeijer, K. (1994). Educational Development and developmental research in
mathematics education. Journal for research in mathematics education, 25(5), 443-
471.
Gravemeijer, K. (1994). Realistic Mathematics Education. Utrecht: CD ß Press, Center
for Science and Mathematics Education, Freudenthal Institue, Research Group On
Mathematics Education: Utrecht University.
Gravemeijer, K. (2002). Betekenisvol rekenen. Willem Bartjens. Tijdschrift voor reken –
en wiskundeonderwijs in de basisschool, 22(4), 5-8.
Gravemeijer, K. (2005). Revisiting ‘Mathematics education revisited’. Freudenthal 100,
15-17.
Gravemeijer, K.P.E. (2006). Wiskunde leren is complexer dan je denkt. Reken-
wiskundeonderwijs: onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 25(1), 33-36.
Gravemeijer, K. & Ruesink, N. (1992). Is dat realistisch? Van methode naar onderwijs.
Willem Bartjens. Tijdschrift voor reken –en wiskunde onderwijs in de basisschool,
12(3), 4-8.
Hajer, M. (1996). Leren in een tweede taal. Groningen: Wolters Noordhoff.
Hargreaves, A. (2003). Teaching in the Knowledge Society. Education in the Age of
Insecurity. Maidendhead: Open University Press.
Harskamp, E. & Deinum, J. (1995). Verbeteringen in het gebruik van realistische
rekenmethoden. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen.
Herzog, T. (1996). Research methods in social sciences. New York: Harper Collins.
van den Heuvel-Panhuizen, M. & de Goeij, E. (2002). Rekencoordinatoren in de
basisschool. Panama-post, 21(3), 3-20.
53
Hopkins, D. (1994). Creating the conditions for school improvement. London: David
Fulton Publishers.
House, E.R. & McQuillan, P.J. (2001). Three perspectives on School Reform. In:
Hargreaves, A., Lieberman, A., Fullan, M. & Hopkins, D. International Handbook of
Educational Change. London: Kluwer Academics Publishers.
de Jong, R. (1986). Wiskobas in methoden. Utrecht: OW&OC.
Keijzer, R. (2003). Teaching formal mathematics in primary education: fraction learning
as mathematising process. Utrecht: Utrecht University/Freudenthal Institute
(doctoral dissertation).
Kerstens, K. & van Galen, F. (2002). Klieren met gummen. Willem Bartjens. Tijdschrift
voor reken –en wiskundeonderwijs in de basisschool, 22(4), 38-40.
Korthagen, F.; Kessels, J.; Koster, B.; Lagerwerf, B. & Wubbels, T. (2001). Linking
practice and theory: The pedagogy of realistic teacher education. Mahwah, NJ:
Lawrence Erlbaum.
Krammer, H.P.M. (1984). Leerboek en leraar. Harlingen: Flevodruk.
Kuiper, W.A.J.M. (1993). Curriculumvernieuwing en lespraktijk. Enschede: Instituut
voor Leerplanontwikkeling SLO.
Lagerweij, N.A.J. (2001). Met het oog op vernieuwing. In: Creemers, B. & Houtveen, A.
(red.). Onderwijsinnovatie. Onderwijskundig lexicon. Editie III. Alphen aan de Rijn:
Samson.
McLaughlin, M. (1976). Implementation as mutual adaptation: Change in classroom
organization. Teachers College Record, 77(3), 339-351.
Nelissen, J.M.C. (1998). Taal en betekenis in het realistisch reken-wiskundeonderwijs.
Panama-post. Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-
wiskundeonderwijs, 16(2), 28-39.
Nicaise, I.; Desmedt, E.; Carlier, D.; Demeuse, M.; De Rick, K. ; Lindekens, K. ;
Vandenbroucke, L. & Vettenburg, N. (2009). Gelijke kansen op school: het kan!:
Zestien sporen voor praktijk en beleid. Mechelen: Plantyn.
Pimm, D. (1991). Communicating mathematically. In: K. Durkin & B. Shire (eds).
Language in Mathematical Education. Philadelphia: Open University Press, 17-24.
Rekenonderwijs op de basisschool: Analyse en sleutels tot verbetering. (2009).
Alkmaar: Koninklijke Nederlands Akademie van Wetenschappen.
54
Scheerens, J. (1989). Wat maakt scholen effectief? ‘s Gravenshage: SVO.
Secada, W.G. (992). Race, Ethnicity, Social Class, Language, and Achievement in
Mathematics. Handbook of research on Mathematics Teaching and Learning. New
York: Mac Millan Publishing Company.
Slavin, R.E. (2001). Sand, bricks and seeds: School change strategies and readiness
for reform. In: Hargreaves, A., Lieberman, A., Fullan, M. & Hopkins, D. (red.).
International Handbook of Educational Change. London: Kluwer Academics
Publishers.
Slavin, R.E., & Lake, C. (2008). Effective programs in elementary mathematics: a best-
evidence syntheses. Review of Educational Research, 78, 427-515.
Smaling, A. & Maso, I. (2004). Kwalitatief onderzoek: praktijk en theorie. Amsterdam:
Boom.
Sood, S. & Jitendra, A.K. (2007). A comparative analysis of number senses instruction
in reformbased and traditional mathematics textbooks. Journal of Special Education,
41, 145-57.
Standaert, R. (2001). Inspectorates of education in Europe: A critical analyses. Leuven:
acco.
Stein, M.K.R., J., & Smith, M.S. (2007). How curriculum influences student learning. In
F.K. Lester (Ed.), Second handbook of research on mathematics teaching and
learning (pp. 319-370). Greenwich, CT: Information Age Publishing.
Streefland, L. (1991). Mathematics education: A paradigm of developmental research.
Dordrecht: Kluwer.
Sweers, W. (1993). Twee keer pijltjes gooien. Willem Bartjens. Tijdschrift voor reken –
en wiskundeonderwijs in de basisschool, 13(2), 20-23.
Tjabringa, L. (1996). Een zoektocht. Willem Bartjens. Tijdschrift voor reken –en
wiskundeonderwijs in de basisschool, 16(4), 4-9.
Tomic, W. (1983). Wiskundeonderwijs, context en onderwijsactiviteiten. Enschede:
T.H. Twente.
Treffers, A. (1978). Wiskobas doelgericht. Utrecht: Instituut voor Ontwikkeling van het
Wiskunde Onderwijs. .
Treffers, A. & de Goeij, E. (2004). Vierkant tegen zelfstandig werken. Panama-post.
Reken-wiskundeonderwijs; onderzoek, ontwikkeling, praktijk, 23(4), 8-13
55
de Vos, W.A. (1998). Het methodegebruik op de basisscholen. Maastricht: Shaker
Publishing B.V.
Valcke, M. (2005). Onderwijskunde als ontwerpwetenschap. Gent: Academia Press.
Van Steenbrugge, H., Valcke, M. & Desoete, A. (2010). Mathematics learning
difficulties in primary education: teachers’ professional knowledge and the use of
commercially available learning packages. Educational Studies, 2010, 59-71.
Vernooy, K. (2001). De leraar als spil van onderwijsinnovatie. In: Creemers, B. &
Houtveen, A. Onderwijsinnovatie. Alphen aan de Rijn: Kluwer.
Verschaffel, L. (2005) All you wanted to know about ‘mathematic education’ in
Flanders, but were afraid to ask. In: R. Keijzer & E. de Goeij (Eds.), Rekenen-
wiskunde als rijke bron.Utrecht: Freudenthal Instituut, 65-85.
Verschaffel, L. (2002). 25 jaar ontwikkelingen in het Nederlandse wiskundeonderwijs
vanaf de zijlijn bekeken. Uitgenodigde lezing gehouden in het kader van het achtste
Symposium van de Historische Kring Reken- en Wiskunde Onderwijs over “De
roerige jaren zestig. Van Moderne Wiskunde naar Realistisch Wiskundeonderwijs”,
25 mei 2002, Utrecht.
Verschaffel, L.; Greer, B. & De Corte, E. (2007). Whole number concepts and
operations. In Rekenonderwijs op de basisschool: Analyse en sleutels tot
verbetering. (2009). Alkmaar: Koninklijke Nederlands Akademie van
Wetenschappen.
Bryant, B.R. ; Bryant, D.P.; Kethley, C. ; Kim, S.A.; Pool, C. & Seo, Y. (2008).
Preventing mathematics difficulties in the primary grades: The critical features of
instruction in textbooks as part of the equation. Learning Disability Quarterly, 31, 21-
35.
56
7. Bijlagen
Bijlage 1. Datafile gecodeerde lessen. Zie pag. 57, 58 en 59.
57
Leerkracht
Nr. leerkracht
jaren ervaring
Les
Lesonderwerp*
Methode
ander didactisch materiaal
bord_beamer
extra werkbladen
kladpapier
op locatie
werkboek_handboek
gebruik realistische contexten
gebruik schema's en modellen
kale sommen oplossen
stap per stap werken
verbanden leggen
interactie lkr-ll
interactie lkr-lln
interactie ll-lkr
interactie ll-ll
lkr instrueert
ll werken individueel
ll werken samen
aansluiten bij voorkennis
herhalen_automatiseren
inoefenen - verdiepen
introductie lesinhoud
niet lesgericht
voorbereiding les
Somscore constructies en producties
somscore interactief onderwijs
Ann
eke
120
12
KP
79,7
60
90,6
90
00
56,2
70
7,1
00
17,4
821
,85
00
07,
180
,31
092
,33
0,55
0,55
1,64
4,46
26,7
723
,93
Cha
rlott
e2
71
1K
P0
22,0
30
20,3
80
75,4
40
31,3
983
,15
00
35,7
910
,46
2,75
012
,12
44,6
10
31,3
90
62,7
80
03,
850,
929,
80C
harlo
tte
27
21
KP
049
,88
021
,18
045
,78
14,3
545
,78
43,0
50
027
,33
20,5
0,68
023
,92
34,8
54,
7851
,25
041
,68
00
5,47
1,82
10,6
6D
irk3
241
1K
P23
,24
37,2
90
4,32
053
,50
36,7
545
,94
00
40,5
315
,13
2,7
012
,43
46,4
812
,43
45,9
40,
5443
,78
05,
943,
245,
0414
,16
Els
430
11
KP
35,5
344
,41
00
043
,15
059
,64
11,4
21,
270
24,7
567
,89
1,9
08,
2526
,65
024
,75
00
01,
2710
,15
0,63
18,9
1E
ls4
302
1K
P44
,72
41,3
80
20
20,6
911
,35
42,0
514
,02
02,
6710
,68
62,0
71,
330
19,3
514
,02
06,
010
035
,37
1,33
7,34
0,44
14,8
2E
ls4
303
1K
P38
,25
26,0
10
17,6
026
,01
038
,25
55,0
80
016
,83
57,3
83,
830
3,06
39,7
818
,36
8,42
14,5
40
0,77
015
,37,
4019
,28
Erik
525
11
KP
1,04
77,1
70
32,3
30
04,
1757
,36
732,
090
31,2
978
,21
00
13,5
617
,73
035
,46
042
,76
10,4
34,
177,
30,
0021
,90
Erik
525
21
KP
079
,39
14,8
424
,53
00,
650
078
,10
056
,15
53,2
81,
940
12,2
630
,34
01,
940
92,3
00
3,23
0,65
22,2
7H
anne
lore
64
11
KP
064
,59
00
026
,27
1,09
5,47
40,5
00
30,6
563
,49
17,5
20
10,9
517
,52
031
,75
37,2
216
,42
2,19
06,
575,
8422
,33
Han
nelo
re6
42
2K
P29
,32
8,69
27,1
40
017
,37
15,2
015
,20
031
,49
7667
04,
342,
179,
774,
3485
,78
07,
62,
1710
,86
25,5
936
,85
Jan
722
11
KP
1,83
55,4
10,
6128
,62
046
,89
032
,88
73,0
70
036
,53
23,7
52,
740,
6115
,22
32,8
80
47,4
90
46,2
80
1,22
4,87
1,12
12,7
3K
atrie
n8
81
1K
P16
,33
12:0
0,0
017
,82
020
,79
038
,646
,03
00
28,2
144
,54
2,23
014
,85
00
54,1
90,
7439
,35
0,74
1,48
2,97
0,74
15,0
0K
atrie
n8
82
1K
P15
,57
52,1
20
33,8
40
36,5
50
17,6
70,3
90
031
,14
20,3
86,
090
6,77
42,6
40
17,6
072
,42
2,03
0,68
6,77
2,03
11,5
2K
atrie
n8
83
2K
P33
,76
14,6
835
,96
00
013
,21
33,0
331
,56
00
20,5
536
,75,
870
16,8
830
,09
049
,17
5,14
31,5
60,
731,
477,
341,
9612
,62
Liev
e9
281
1K
P52
,05
63,9
50
00
6,69
044
,61
26,7
70
14,1
346
,137
,18
00
26,7
71,
490
91,4
60
2,97
0,74
02,
970,
0016
,66
Liev
e9
282
2K
P29
,75
8,18
60,9
90
014
,88
023
,06
14,8
80
2,98
6,69
13,3
92,
230
8,18
14,8
858
,01
9,67
58,0
114
,88
1,49
014
,88
20,0
816
,06
Liev
e9
283
2K
P48
,35
46,2
655
,78
00
055
,78
4,46
14,8
80
048
,35
43,1
40
010
,41
2,98
1,49
34,9
656
,53
00,
740
6,69
0,50
18,6
0Li
eve
928
41
KP
41,3
769
,34
00
026
,22
052
,44
24,4
70
049
,53
29,7
21,
170
16,3
220
,98
1,17
71,0
923
,31
00
03,
50,
7816
,32
Pau
l10
241
1K
P0,
810
27,5
10
063
,11
09,
7120
,23
00
23,4
616
,99
3,24
04,
8572
,82
00
79,2
90
03,
2416
,99
1,08
8,74
Pau
l10
242
1K
P13
,95
6,97
77,2
80
00
27,2
80
00
024
,412
,78
3,49
0,58
9,3
057
,52
075
,24
00
016
,27
20,5
319
,75
Pau
l10
243
2K
P0
0,97
17,3
70
091
,69
9,65
1,39
00
026
,06
11,5
85,
790,
9711
,58
061
,77
083
01,
930,
9713
,51
22,8
421
,23
Pau
l10
244
2K
P2,
6621
,95
15,9
70
061
,87
00
76,5
00
30,6
17,3
3,99
09,
3155
,88
021
,29
0,37
58,5
40,
6711
,97
5,99
1,33
10,3
8V
icky
118
11
KP
34,2
863
,99
00
08,
387,
627,
620
00
40,3
739
,61
00
15,2
30
082
,27
1,52
01,
520,
767,
620,
0016
,00
Vic
ky11
82
1K
P5,
1872
,48
019
,97
00
025
,89
82,8
40
034
,02
24,4
10
020
,71
19,2
30
62,8
70
30,3
20,
741,
481,
480,
0011
,69
Vic
ky11
83
1K
P0
00
00
96,7
53,
280
84,4
50
018
,04
7,38
00
3,28
83,6
30
13,1
20
24,4
50
0,82
0,82
0,00
5,08
Vic
ky11
84
2K
P38
,14
9,53
00
063
,76
36,3
50
07,
750
36,9
525
,03
00
11,9
222
,05
13,7
159
,59
028
,01
01,
795,
964,
5715
,14
Wie
s12
301
1K
P31
,11
44,9
30
11,7
50
13,1
30
42,8
620
,74
00
26,2
778
,11
12,4
40
11,0
611
,75
8,99
12,4
449
,77
31,1
10
06,
917,
1425
,16
Wie
s12
302
1K
P67
,75
17,9
767
,75
00
67,7
50
015
,90
042
,17
26,2
72,
790
8,3
62,2
167
,05
085
,03
00
013
,83
23,2
827
,66
Wie
s12
303
2K
P45
,12
50:2
4,0
1,48
00
05,
1819
,23
6,66
00
19,2
387
,28
1,48
08,
144,
4422
,93
26,6
345
,12
23,6
728
,11
03,
78,
1426
,18
Wie
s12
304
2K
P69
,53
8,14
14,0
514
,05
60,6
60
13,3
10
4,44
00
46,6
72,4
92,
220
1,48
56,2
25,
920
76,9
38,
880
014
,79
2,71
25,4
5
* 1=
bre
uken
, 2=
tijd
58
Leerkracht
Nr. leerkracht
jaren ervaring
Les
Lesonderwerp*
Methode
ander didactisch materiaal
bord_beamer
extra werkbladen
kladpapier
op locatie
werkboek_handboek
gebruik realistische contexten
gebruik schema's en modellen
kale sommen oplossen
stap per stap werken
verbanden leggen
interactie lkr-ll
interactie lkr-lln
interactie ll-lkr
interactie ll-ll
lkr instrueert
ll werken individueel
ll werken samen
aansluiten bij voorkennis
herhalen_automatiseren
inoefenen - verdiepen
introductie lesinhoud
niet lesgericht
voorbereiding les
Somscore constructies en producties
somscore interactief onderwijs
Ann
e-La
ure
137
11
ZOZO
053
,14
010
,63
026
,16
6,54
6,54
46,6
00
32,7
44,9
613
,08
1,63
0,82
16,3
511
,44
54,7
70
22,8
90,
828,
9910
,63
8,72
20,7
6A
nne-
Laur
e13
72
1ZO
ZO31
,86
34,0
40
00
45,6
214
,48
210
00
34,0
449
,96
5,07
06,
5245
,62
00
061
,55
25,3
44,
348,
691,
6917
,81
Ann
e-La
ure
137
32
ZOZO
19,5
315
,87
00
042
,72
32,9
60
7,32
00
19,5
350
,05
7,32
01,
2228
,08
017
,09
041
,523
,19
2,44
6,1
2,44
15,3
8A
nne-
Laur
e13
74
2ZO
ZO10
,88
34,9
30
3,44
053
,26
33,7
910
,88
00
025
,77
46,9
61,
720
040
,09
16,0
330
,92
052
,68
4,01
1,15
9,74
5,92
18,1
0A
nnel
ies
141
11
ZOZO
28,0
440
,42
03,
320
,62
24,7
40
4,95
23,0
90
042
,07
61,0
40,
821,
659,
923
,92
5,77
066
,81
7,42
00
25,5
72,
7522
,27
Ann
elie
s14
12
1ZO
ZO12
,39
17,5
00
057
,618
,96
7,29
5,83
00
39,3
744
,47
5,83
08,
0235
,72
031
,35
049
,58
05,
835,
11,
9417
,93
Ann
elie
s14
13
2ZO
ZO62
,58
056
,71
00
31,2
90
00
00
60,6
213
,69
00
6,84
84,0
925
,42
031
,29
66,4
90
01,
968,
4719
,95
Julie
150
11
ZOZO
060
,45
014
,54
051
,27
6,12
26,7
819
,90
035
,263
,51
11,4
86,
129,
9527
,55
029
,84
068
,11
00
3,83
5,87
23,2
6Ju
lie15
02
2ZO
ZO0
58,8
80
17,0
50
58,8
861
,98
00
28,6
70
27,8
963
,53
7,75
014
,72
015
,519
,37
061
,68
3,1
12,4
4,65
7,75
22,9
3Ju
lie15
03
2ZO
ZO33
,18
56,5
60
11,3
10
21,1
21,
510
53,5
46,
790
24,8
974
,66
18,1
09,
84,
5229
,41
75,4
10
19,6
10
6,03
3,02
15,8
429
,41
Kris
tien
169
12
ZOZO
056
,96
00
00
88,9
781
,38
00
026
,04
12,4
88,
680
29,3
2,17
29,8
414
,65
078
,12
00
4,88
12,8
415
,41
Kris
tien
169
21
ZOZO
22,2
351
,51
00
063
,43
25,4
814
,64
61,8
10
040
,66
13,0
14,
340
17,3
530
,36
1,63
57,4
70
36,3
30
0,54
3,8
1,99
11,9
3K
ristie
n16
93
2ZO
ZO0
34,4
80
00
49,8
627
,84
3,74
26,5
90
031
,99
12,4
63,
320
12,4
611
,63
4,99
20,3
62,
9146
,21
00
1,66
2,77
10,5
5R
ita17
301
1ZO
ZO16
,63
27,7
136
,95
00
00,
6232
,02
46,8
00
30,7
914
,16
0,62
013
,55
57,2
70
53,3
70
38,7
90
06,
160,
219,
11R
ita17
302
2ZO
ZO31
,08
17,1
20
7,61
055
,81
61,5
21,
90
00
27,2
724
,14,
440
9,51
46,3
045
,03
043
,13
0,63
07,
611,
4811
,16
Rita
1730
31
ZOZO
11,7
719
,82
44,6
00
22,9
21,
2460
,08
00
027
,25
19,8
20,
620
8,67
45,8
40
57,6
016
,10
17,3
48,
050,
219,
54R
ita17
304
2ZO
ZO56
,02
22,1
60
00
57,2
658
,49
16,0
10
00
24,6
310
,47
4,93
016
,62
32,6
30
27,0
90
48,0
21,
2314
,16
9,23
1,64
8,01
Ver
oniq
ue18
21
1ZO
ZO0
17,2
210
,53
00
05,
7411
34,4
50
022
,96
8,61
00
5,74
29,1
80
16,2
70
35,4
00
5,74
0,00
6,31
Ver
oniq
ue18
22
1ZO
ZO0
21,8
50
00
27,7
70
0,91
46,8
90
030
,55,
921,
370
5,01
13,2
021
,85
025
,04
0,91
05,
920,
467,
56G
ijsbr
echt
196
11
NTR
16,6
357
,65
00
042
,13
036
,59
6,65
00
5149
,89
2,22
06,
6521
,07
00
93,1
30
2,22
2,22
3,33
0,74
20,6
2G
ijsbr
echt
196
22
NTR
047
,35
00
082
,34
94,0
10
00
032
,94
65,1
91,
370
6,18
30,1
90
12,3
50
83,0
31,
372,
740,
690,
4619
,90
Gijs
brec
ht19
63
2N
TR22
,18
88,9
20
00
26,6
290
,28,
870
00
34,0
170
,97
00
4,44
2,96
00
88,7
20
2,96
4,44
5,91
0,00
21,0
0Is
alie
n20
31
1N
TR0
30,0
62,
0522
,54
031
,42
12,3
38,9
46,
830
025
,96
58,7
58,
880
6,83
25,2
70
48,5
026
,64
4,1
8,2
14,3
42,
9618
,72
Isal
ien
203
21
NTR
060
,03
41,3
50
010
5,34
040
,68
00
48,6
947
,35
10,6
72,
678
22,6
80
085
,37
05,
340
4,67
4,45
21,8
8Is
alie
n20
33
2N
TR0
34,6
80
80
52,0
251
,36
00
00
36,6
859
,36
6,67
012
,01
27,3
510
,67
41,3
52
53,3
60
02,
675,
7822
,68
Isal
ien
203
42
NTR
048
,02
00
071
,36
94,0
40
00
027
,35
70,7
40
5,34
20,6
80
6,67
072
,716
,67
0,67
2,67
1,33
20,4
1Jo
achi
m21
21
2N
TR0
7,75
3,44
036
,17
48,2
312
,06
00
00
56,8
448
,23
10,3
30
1,72
17,2
222
,39
00
66,3
112
,06
021
,53
10,9
127
,56
Joac
him
212
21
NTR
058
,62
064
,63
00
015
,03
18,0
40
042
,09
72,1
53,
011,
50
12,0
20
30,0
60
61,6
33,
010
4,51
1,50
23,7
5Jo
achi
m21
23
1N
TR18
,11
18,9
738
,81
00
18,9
70
14,6
696
00
44,8
565
,55
12,0
70
3,45
24,1
56,
040
80,2
10
5,17
013
,86,
0425
,70
* 1=
bre
uken
2=
tijd
59
Leerkracht
Nr. leerkracht
jaren ervaring
Les
Lesonderwerp*
Methode
ander didactisch materiaal
bord_beamer
extra werkbladen
kladpapier
op locatie
werkboek_handboek
gebruik realistische contexten
gebruik schema's en modellen
kale sommen oplossen
stap per stap werken
verbanden leggen
interactie lkr-ll
interactie lkr-lln
R : interactie ll-lkr
interactie ll-ll
lkr instrueert
ll werken individueel
ll werken samen
aansluiten bij voorkennis
herhalen_automatiseren
inoefenen - verdiepen
introductie lesinhoud
niet lesgericht
voorbereiding les
Somscore constructies en producties
somscore interactief onderwijs
Nel
e22
131
1N
TR18
,23
37,0
70
12,7
60
45,0
80,
6140
,72
38,2
90
028
,57
27,3
57,
91,
2220
,66
34,6
40
38,9
054
,09
1,22
04,
253,
0413
,01
Nel
e22
132
1N
TR39
,59
48,9
00
048
,13
074
,52
17,0
80,
780
30,2
737
,26
3,88
020
,96
14,7
50
90,8
20
00,
781,
555,
431,
2914
,28
Nel
e22
133
2N
TR5,
658,
780
00
85,9
692
,24
3,14
00
025
,73
27,6
16,
90,
6321
,96
31,3
70
57,1
028
,24
4,39
1,25
5,65
2,51
12,1
7N
ele
2213
42
NTR
023
,68
00
060
,68
95,4
631
,08
00
027
,38
23,6
86,
662,
220
27,3
80
30,3
40
36,2
69,
620
1,48
2,96
11,9
9S
arah
236
11
NTR
00
61,2
80
07,
640
13,6
257
,02
00
44,2
65,
960
05,
1191
,91
03,
491
,91
00,
850
3,4
0,00
10,0
4S
arah
236
22
NTR
4,35
16,6
623
,19
00
9286
,20
00
036
,22
18,1
12,
170
10,8
70
50,7
10
90,5
50
1,45
07,
9717
,63
21,4
4S
teph
anie
249
11
NTR
41,4
144
,14
00
038
,14
078
,47
00
013
,08
38,1
40
023
,43
0,54
079
,01
00
0,54
02,
180,
0010
,24
Ste
phan
ie24
92
1N
TR0
51,5
40
00
57,1
10
76,6
10
00
28,5
625
,07
4,18
018
,820
,20
48,7
50
45,9
70
0,7
5,57
1,39
11,5
6S
teph
anie
249
32
NTR
59,9
815
,63
37,3
00
00
00
00
37,3
5,04
0,5
011
,59
31,7
60
38,3
10
32,2
61,
010
3,53
0,17
8,57
Ste
phan
ie24
94
2N
TR57
,55
23,2
652
,04
00
00,
610
023
,26
037
,96
15,9
21,
220
17,1
431
,22
040
,41
045
,92
1,84
03,
670,
4111
,02
Dan
ny25
171
1P
P36
,78
23,7
38,4
20
00
15,5
337
,622
,07
00
8,17
89,9
10,
820,
8214
,71
12,2
60
38,4
20
39,2
317
,17
0,82
4,09
0,55
19,9
4S
tefa
nie
2616
12
PP
82,3
46,
7518
,90
00
2,7
74,2
41,
358,
10
2779
,64
1,35
016
,221
,65,
474
,24
016
,20
09,
452,
2522
,68
Nat
asha
2712
11
RS
P52
,99
00
00
63,8
820
,33
31,9
410
,89
0,73
029
,04
54,4
55,
080
18,8
737
,02
027
,59
066
,79
1,45
0,73
3,63
1,69
17,7
1N
atas
ha27
122
1R
SP
15,4
354
,79
60,1
90,
770
00
18,5
217
,75
00
38,5
871
,76
5,4
01,
5425
,46
023
,92
060
,19
6,94
1,54
6,17
1,80
23,1
5N
atas
ha27
123
2R
SP
39,8
122
,04
14,9
30
022
,04
4,98
36,2
50
00
8,53
78,9
00
16,3
524
,17
041
,23
044
,07
02,
1311
,37
0,00
17,4
9
* 1=
bre
uken
2=
tijd
60
Bijlage 2. Deelnemende scholen
KOMPAS PLUSPUNT NIEUW TALRIJK REKENSPRONG
ZO GEZEGD, ZO GEREKEND
Sint Eloois Winkel Geen gegevens van school Sint Gertrudis GBS Lochristi
Vrije Lagere en Kleuterschool Grembergen
De Vlinder VBS De Pinte GVB Sint Pieter Allena Instituut
OLVA Steenbrugge
VBS Sint Pieter De Sprong
GO! De Linde VBS Taborschool Sint-Jozefcollege
VBS Ruien De Vuurtoren Sint-Andreasinstituut Basisschool "Zilvermeeuw"
De Springplank Sint-Michielsschool
SBS Erwtegem- De Smidse Sint-Pietersschool Basisschool De Vuurtoren De Ark OLV basisschool Ter Deunen
61
Bijlage 3. Boomdiagram codeerschema
1) Lesinhoud
a) Aansluiten bij voorkennis
b) Herhalen – automatiseren
c) Inoefenen – verdiepen
d) Introductie lesinhoud
e) Niet lesgericht
f) Voorbereiding les
2) Lesactiviteit
a) Werkvorm
i) Interactie LK – LL
ii) Interactie LK – LLN
iii) Interactie LL – LL
iv) Interactie LL - LK
v) LL werken samen
vi) LK instrueert
vii) LL werken individueel
b) Leerstof
i) Gebruik realistische contexten
ii) Gebruik schema’s en modellen
iii) Kale sommen oplossen
iv) Verbanden leggen
v) Stap per stap werken
3) Gebruik van materiaal
a) Ander didactisch materiaal
b) Bord – beamer
c) Extra werkbladen
d) Kladpapier
e) Op locatie
f) Werkboek – handboek
62
Bijlage 4. Codeerboek
1) Lesinhoud
a) Aansluiten bij voorkennis
� Refereren en/of op zoek gaan naar kennis die de lln reeds bezitten
Concreet voorbeeld:
- In vorige les hebben we gezien dat…
- Wie weet nog hoe we dat gisteren aangepakt hebben?
- Vorige les zagen we hoe we gelijknamige breuken kunnen optellen.
- De les begint met oefeningen op bord die de lln reeds kunnen.
b) Herhalen – automatiseren
� Verder inoefenen van de leerstof, ervan uitgaande dat iedereen de
leerstof reeds verworven heeft
Concreet voorbeeld:
- in het begin/midden/einde van de les een reeks kale oefeningen
oplossen
c) Inoefenen – verdiepen
� Inoefenen van de leerstof in functie van een volledig begrip bij iedereen
Concreet voorbeeld:
- (herhalings)oefeningen maken opdat iedereen het zou begrijpen
- Leerlingen werken individueel, leerkracht merkt dat er nog wat
problemen/vragen zijn en werkt een oefening klassikaal op het bord
uit.
- Maken van oefeningen in werkboek.
d) Introductie lesinhoud
1. Introductie lesinhoud
� Lkr bespreekt specifiek het lesonderwerp.
Concreet voorbeeld:
- Vandaag gaan we leren over breuken met gelijknamige noemers.
- Deze les leren we ook ongelijknamige breuken optellen.
- Begincontext van de les schetsen
e) Niet lesgericht
� Lkr is niet met lesinhoud bezig
63
Concreet voorbeeld:
- Agenda invullen
- Brieven uitdelen
- Geld ophalen
- Maaltijden inventariseren
- …
f) Voorbereiding les
� Lkr brengt praktische zaken voor, tijdens en op het einde van de les in
orde
Concreet voorbeeld:
- Tekening, schema of model aanbrengen op bord
- Klaarzetten van materiaal
- Uitdelen van materiaal tijdens de les
- Nadat met blokjes is gewerkt worden blokjes opgeruimd en worden
de doosjes terug in de lessenaar opgeborgen. (praktische
voorbereiding voor het volgende onderdeel van de les)
- Leerlingen nemen hun boek of leggen hun boek klaar op blz. 65
- voor en tijdens de les
- Opruimen
2) Lesactiviteit
a) Werkvorm
i) Interactie LK – LL
� LK richt zich tot één LL
� LK lokt reactie uit bij één LL
Concreet voorbeeld:
- Marie, wat is volgens jou het antwoord op deze vraag?
ii) Interactie LK – LLN
� LK richt zich tot de hele klasgroep
� LK lokt reactie uit bij de hele klasgroep
Concreet voorbeeld:
- Wie weet het antwoord op deze vraag?
- Waarom denken jullie dat dit geen goede manier van werken is?
- Leg eens ¾ met je blokjes
64
iii) Interactie LL – LL
� Leerling gaat klassikaal in interactie met een andere leerling
� Leerling gaat klassikaal in op reageert op een constructie, productie,
inzicht,… van een andere leerling
Concreet voorbeeld:
- Nee, ik heb dat anders gedaan en ik bekom dezelfde uitkomst
iv) Interactie LL – LK
� Leerling richt zich tot leerkracht uit eigen initiatief (dus niet als antwoord
op een vraag van de leerkracht
� Leerling legt eigen constructie, productie, inzicht, manier van werken,…
uit aan leerkracht.
Concreet voorbeeld:
- Meester, ik heb een andere manier gevonden om deze oefening op
te lossen. Mag dat ook?
� (!) Hier geldt niet : Leerling geeft reactie/antwoord op een vraag die de
leerkracht aan deze leerling stelde.
v) LL werken samen
� Leerlingen gaan in interactie met elkaar in groepswerk
� Leerlingen wisselen constructies en producties met elkaar uit in
groepswerk
Concreet voorbeeld:
- Hoekenwerk
- Samen met buur oefeningen oplossen
vi) LK instrueert
� Leerkracht is aan het woord, maar gaat niet in interactie met de
leerlingen
Concreet voorbeeld:
- Leerkracht staat voor bord en geeft uitleg bij het onderwerp
vii) LL werken individueel
Concreet voorbeeld:
- Leerlingen lossen individueel oefeningen op in werkboek
65
b) Leerstof
i) Gebruik realistische contexten
� De leerstof (uitleg, oefeningen) is ingebed in een context
Concreet voorbeeld:
- Vraagstukken
- Verwijzen naar zaken/situaties uit het dagelijks leven
ii) Gebruik schema’s en modellen
Concreet voorbeeld:
- Leerkracht maakt gebruik van een schematische voorstelling (aan
het bord of individueel bij kond)
- Leerlingen ontwerpen zelf een model
iii) Kale sommen oplossen
� Niet ingebed in een context
iv) Verbanden leggen
� verwijzen naar andere leerinhouden (zowel binnen het vak wiskunde
alsook binnen andere vakken)
� kunnen teruggrijpen en verbinden met eerder verworven modellen
Concreet voorbeeld:
- Breuken op een getallenas plaatsen (verwijzen naar getallenkennis)
- Bij het oplossen van breuken met ongelijknamige noemer:
terugbrengen naar gelijknamige noemers
v) Stap per stap werken
� Stappenplan gebruiken
� Doordachte opbouw: eerst de eenvoudige oefeningen, dan de meer
complexe oefeningen (noot: dit is misschien moeilijk vast te stellen in
tijdsintervallen van 20 sec.)
3) Gebruik van materiaal
a) Ander didactisch materiaal
Concreet voorbeeld:
- Knipsels
- Tekeningen, posters
66
- MAB materiaal
b) Bord – beamer
Concreet voorbeeld:
- Leerkracht legt leerstof uit aan bord
- Leerkracht verbetert de oefeningen klassikaal aan bord
c) Extra werkbladen
Concreet voorbeeld:
- Leerkracht voorziet extra werkbladen voor leerlingen die snel klaar
zijn
- Leerkracht maakte zelf een werkblad om de leerlingen kennis te
laten maken met de leerstof.
d) Kladpapier of kladschrift
Concreet voorbeeld:
- Leerkracht geeft enkele oefeningen op het bord, leerlingen lossen
die op in hun kladschrift
- Leerlingen proberen manier van werken uit in kladschrift
e) Op locatie
� Buiten de klas
Concreet voorbeeld:
- op de speelplaats
- in de pc-klas
f) Werkboek – handboek
Concreet voorbeeld:
- leerlingen maken oefeningen in het werkboek
