EJERCICIOS RESUELTOS

VARIABLES ALEATORIAS

Ejemplo 1: Sea X una variable aleatoria que representa el número de partes por estar mal estacionado que sacan en una hora en días laborales en Talca. La distribución de probabilidades de X es:

x 1 2 3 4 5 Probabilidad 0,10 0,20 0,30

a. Complete la tabla, suponga que P(X=1)=P(X=5).

Respuesta:

P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=0,6, por lo tanto:

( ) ( ) 20,02

40,051 ===== XPXP

La distribución de probabilidades queda:

X 1 2 3 4 5 Probabilidad 0,20 0,10 0,20 0,30 0,20

La suma de las probabilidades es uno.

b. ¿Cuál es el número esperado de partes por estar mal estacionado en Talca?

Respuesta:

El número esperado de partes es:

2,32,053,042,031,022,01)( =∗+∗+∗+∗+∗=XE

Por lo tanto, el número esperado es de 3,2 partes.

c. ¿Cuál es la desviación estándar de X?

Respuesta:

Primero calculamos la varianza de X:

222222 )2,3(2,053,042,031,022,01)( −∗+∗+∗+∗+∗=XVar

24,100,58,48,14,02,0)( −++++=XVar

96,1)( =XVar � 4,196,1 ==σ

Por lo tanto la desviación estándar es: 1,4 partes.

d. ¿Cuál es la probabilidad de que en un día de la semana cualquiera se saquen menos de 3 partes?

Respuesta:

La probabilidad de que en un día de la semana cualquiera saquen menos de 3 partes es:

P(X<3) = P(X=1)+P(X=2) = 0,2+0,1 = 0,3.

Ejemplo 2:

Los estudiantes de Psicología en general manifiestan que tienen mayor dificultad en los cursos que involucren cálculos matemáticos. Experiencias anteriores han consistido en exponer 5 palabras y 5 números ante los estudiantes durante 10 segundos al comienzo de la clase y luego preguntar por ellos al final de la clase, obteniéndose las siguientes distribuciones de probabilidades:

Cantidad de palabras que recuerdan

0

1

2

3

4

5

P(X=x) 0,05 0,15 0,20 0,25 0,30 0,05

Cantidad de números que recuerdan

0

1

2

3

4

5

P(Y=y) 0,10 0,30 0,20 0,20 0,10 0,10 a. ¿Qué es más probable que recuerden al menos 3 palabras o al menos 3

números? Justifique. Respuesta: La probabilidad que recuerden al menos 3 palabras es: P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) + P(X = 5) = 0,25 + 0,30 + 0,05 = 0,60

La probabilidad que recuerden al menos 3 números es: P(Y ≥ 3) = P(Y = 3) + P(Y = 4) + P(Y = 5) = 0,20 + 0,10 + 0,10 = 0,40

Por lo tanto es más probable que recuerden al menos 3 palabras.

b. En término medio (valor esperado), ¿Qué cantidad de palabras y qué cantidad de números recuerdan los estudiantes? Respuesta: El promedio o valor esperado de palabras es: µx = 0 (0,05) + 1 (0,15) + 2 (0,20) + 3 (0,25) + 4 (0,30) + 5 (0,05) µx = 0 + 0,15 + 0,40 + 0,75 + 1,20 + 0,25

µx = 2,75 palabras

El promedio o valor esperado de números es: µy = 0 (0,10) + 1 (0,30) + 2 (0,20) + 3 (0,20) + 4 (0,10) + 5 (0,10) µy = 0 + 0,30 + 0,40 + 0,60 + 0,40 + 0,50

µy = 2,20 números

Los estudiantes recuerdan en promedio 2,75 palabras y 2,20 números.

c. Si se sabe que recuerdan por lo menos 2 números, ¿Cuál es la probabilidad de que recuerden 3 o 4 números?

Respuesta:

Es la probabilidad condicional de recordar 3 o 4 números dado que recuerdan 2 o 3 o 4 o 5: [ ]

[ ][ ]

[ ][ ]

50,060,0

30,0

10,010,020,020,0

10,020,0

5432

43

5432

)5432()43(

5432/43

==+++

+=

=====

===

=====

====∩===

=======

XoXoXoXP

XoXP

XoXoXoXP

XoXoXoXXoXP

XoXoXoXXoXP

Ejemplo 3: Suponga que los puntajes en la PSU de matemáticas se distribuyen en forma normal con media 505 y desviación estándar 107. Si 10 mil alumnos rinden la PSU y para postular a la Universidad se exige un mínimo necesario de 400 puntos: a. ¿Cuántos alumnos podrán postular a la Universidad?

Respuesta: X: puntaje en la PSU de matemáticas. )107,505(~ == σµNX

8365,0)98,0()98,0()107

505400()400( =<=−>=

−>=> ZPZPZPXP

Luego: 0,8365 × 10.000 = 8.365 alumnos podrán postular a la Universidad

b. Si a los alumnos que obtengan puntajes superiores al percentil 90 se les ofrece una beca, ¿Qué puntaje será el mínimo para acceder a la beca?

Respuesta:

En la tabla Normal 0,9 corresponde a Z=1,28 (es el valor más cercano)

Por lo tanto el puntaje mínimo será 96,64150510728,1107

50528,1 =+×=

−=x

Por lo tanto para recibir la beca los alumnos tendrán que sacarse por lo menos 642 puntos en la PSU de matemáticas.