RAZONES Y PROPORCIONES

¿Cómo se comparan dos cantidades numéricas?

• Si de dos niños uno tiene $12 y el otro $ 8, habrá dos maneras de comparar entre ellos su dinero.

RAZÓN ARITMÉTICA

• Un niño le dice al otro : “tengo S/4 más que tú, lero lero ….

• A esta comparación que los niños han hecho restando sus cantidades le llamaremos :

RAZÓN GEOMÉTRICA

• Si el otro le dijera :” Yo tengo 2/3 del dinero que tú tienes”

• A esta comparación que se ha obtenido al dividir las cantidades le llamaremos :

RESUMIENDO

Razón: Es la comparación de dos cantidades .

Existen dos tipos:

Razón Aritmética : a – b = R.A

Razón Geométrica: a/b = R.G

Es una comparación entre dos cantidades, a y b.

Expresiones:• “8 de cada diez casos registrados son varones” se expresa

como: 8:10 o 4:5

• “128 onzas fluidos cuesta $3.84” se expresaría como:

$3.84 $0.03 128onzas 1onza

• “8 yardas de papel cuesta $9.54”, el precio por yarda es:

$9.54 $1.198yardas 1yarda

Razones y proporciones

Cuando decimos “la razón entre el número a y el número b es...” estamos diciendo lo siguiente: “la división entre el número a y el número b es ...” O de otra forma: “a dividido por b es la razón entre a y b”

La palabra razón entonces es sinónimo de división. Así de simple.

¿Porqué, entonces, usar razón en vez de división?

Realicemos la siguiente división3

2

Esto es, dos divido por 3, o en nuestro nuevo lenguaje, la razón entre 2 y 3 es:

66666,03

2

Razones y proporciones

Pues bien, entonces la razón entre 2 y 3 es 0,66666.

Calculemos ahora la razón entre 4 y 6, esto es6

4

No resulta complicado verificar que la “división” entre 4 y 6 tiene como resultado la misma razón entre 2 y 3

Por lo demás,

66666,03

2

32

22

6

4

De manera que, podemos decir que existe la “misma razón” entre 2 y 3 que entre 4 y 6.

Razones y proporciones

Ahora daremos una explicación de porqué utilizar, en algunos casos, la parabra razón más que la palabra división

Observe esta antena, compuesta por una barra vertical y una horizontal. La barra vertical tiene una longitud de tres metros, y la barra horizontal tiene una longitud de dos metros. De este modo la razón entre la longitud horizontal y la longitud vertical es de 2/3

3 metros

2 metros

Razones y proporciones

Ahora construiremos una antena de longitud horizontal de 4 metros y de longitud vertical de 6 metros

Esta nueva antena, más grande, tiene la misma razón entre la barra horizontal y la barra vertical que la antena más pequeña.

3 metros

2 metros

6 metros

4 metros

De tal forma que, más que una división entre longitud vertical y longitud horizontal, la razón nos está indicando una forma de “construcción”, un cierto “patrón” de cómo construir antenas similares a la antena pequeña.

Razones y proporciones

Entendiendo ahora la razón entre la cantidad a y la cantidad b como una medida de relación entre a y b, se tiene una poderosa herramienta de medición con muchas aplicaciones al entorno real

Los demógrafos, que son los que estudian la evolución de las poblaciones establecen que la razón de natalidad anual es de

1000

17

Queriendo decir con esto de que por cada 1000 habitantes nacen al año 17 bebés.

Entonces ¿por cada 2000 habitantes cúantos nacimientos ocurrirán durante el año? (recuerde la antena, en este caso la barra horizontal son los recien nacidos y la barra vertical los habitantes)

Razones y proporciones

1000 habitantes

17 recién nacidos

2000 habitantes

x recién nacidos

Ambas antenas, que representan esquematicamente a la población, deben estar en la misma razón, esto es

20001000

17 x 34

1000

172000 x

Esto es, por cada 2000 habitantes nacerán 34 bebés anualmente.

Razones y proporciones

La razón entre población y superficie se conoce, por los demógrafos, como densidad poblacional.

Por ejemplo, se sabe que la población de la Segunda Región de Antofagasta es de 493984 personas, y también se sabe que la superficie de la Segunda Región es de 126000 kilómetros cuadrados.

Por lo tanto, la razón entre población y superficie, esto es la densidad poblacional es de

4939843,92

126000 habitantes por kilómetro cuadrado

¡Cada un kilómetro cuadrado viven aproximadamente 4 personas!

Razones y proporciones

Se dice en los organismos de salud que, en invierno, la razón de enfermedades bronquiales es que se enfermará un estudiante de cada tres

Si la población estudiantil de la ciudad de Antofagasta es de 130000 estudiantes, ¿cuántos se enfermarán este invierno aproximadamente?

1

3 130000

xrazón =

estudiantes enfermosnúmero de estudiantes

=

130000

3x 43333x

¡Aproximadamente 43333 estudiantes se enfermarán este invierno!

Razones y proporciones

Si dos cantidades a y b están en la razón r, es decir r = a/b. Entonces si se tiene que otras dos cantidades, digamos c y d, están en la misma razón, es decir r = c/d, se dice que c y d están en la misma proporción que a y b.

Suponga lo siguiente: se tiene la urna con 1 bolita blanca y tres rojas

Se quiere mantener la misma proporción pero esta vez se desea que hayan 9 bolitas rojas, ¿cuántas bolitas blancas deben estar?

1

3 9

x

93

3x bolitas blancas

1. La extensión territorial de Puerto Rico es de 3,515 millas cuadradas y su población aproximadamente es de 3,679,192.

¿Cuál es la densidad de población de Puerto Rico?

2. Los costos de producir un producto se dividen en costos fijos y costos variables. Supongamos que se ha determinado que la

relación de costos fijos a costos variables es de 3 a 5. Si el total de costos de una línea de producción es de $40,000, ¿Cómo se

distribuyen los costos?

Solución

1. 3,679,192 3515

1046.71180654338549075391180654339

La densidad es de aproximadamente 1047 habitantes por milla cuadrada.

2. Primero se determina la razón de costos fijos al costo total (3/8) y costos variables a costo total (5/8).

C. Fijos = 3 * $40.000 = $15.000 8

C. Variables = 5 * $40.000 = $25.000 8

PROPORCIÓN

• Si igualamos dos razones, por ejemplo:• 10-4 = 6 – 2 ó• 12/8 = 9/6 • Formaremos una :

Una proporción es una igualdad de dos razones equivalentes. En general una proporción se escribe:

A:B=C:D ó A/B=C/D

En ambos casos, se lee: A es a B como C es a D.

Las proporciones

pueden ser:

Directa

inversa

Compuesta

Dados cuatro números, se dice que forman o están en proporción directa si la relación del 1° número al 2° es igual a la relación entre el 3° y el 4°.

En una proporción directa a mayor cantidad una variable, mayor cantidad la otra.

Un grupo de pintores lleva una cantidad de pintura (15 litros) para 10 cuadros aprox. ¿Cuántos litros de pintura tendrán que llevar si quieren pintar 14 cuadros?

Solución

15 =

10X 14

= 15X

57

= 5X = 15 * 7= X= 15 *

75 1

3

= 21 litros

=

Proporción inversa o indirecta: Si dos variables influyen en una situación determinada, se dirán inversamente proporcional, o formarán una proporción inversa si, lógicamente al aumento de una variable la otra disminuye.

En una proporción indirecta a

mayor cantidad una variable,

menor cantidad la otra.

Ejemplo: A mayor número

de fotocopiadoras,

menor el número de tiempo que

tomará fotocopiar un

trabajo.

Un vehículo toma dos horas y media en recorrer una distancia a una velocidad promedio de 48 millas por hora. ¿cuánto tomará a una velocidad de 60 millas por hora en recorrer la misma distancia?

Solución

La proporción se estableces de la manera siguiente: 48 millas 2.5 horas

60 millas x horas

La proporción inversa correspondiente se establece como: 48 x 60 2.5

Se resuelve y obtenemos x = 2 horas. Esto es, el avión tomará dos horas.

En los problemas en que

intervienen tres o más

variables, se establecen

proporciones que se resuelven

consecutivamente. Cada

variable se relaciona

separadamente con la

incógnita.

Ejercicios de explicación:

; ;

;

Seis cajas de conserva de 8 tarros cada una valen $72.000 ¿Cuánto valen 10 cajas de 12 tarros cada una? 1. Establecemos

las razones : 6 cajas10 cajas

8 tarros12 tarros

$72.000

$ x

2. Resolvemos relacionando número de cajas y precio :

6 cajas10 cajas

$72.000

$ x