Razonamiento Matemático 2016
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39
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
Es el proceso que consiste en determinar la máxima cantidad de figuras de cierto tipo, presentes en una figura dada.
MÉTODOS
A. CONTEO DIRECTOConsiste en enumerar a todas las figuras simples, mediante números y/o letras, posteriormente se procede al conteo ordenado (en forma creciente) de figuras de un número, al unir dos números, al unir tres números, ... etc.
Ejemplo 1:¿Cuántos cuadriláteros hay como máximo, en la siguiente figura?a) 9b) 18c) 25d) 30e) 35
Resolución:Asignando un número a cada figura simple:
Luego:
* Cuadriláteros de un número:
...................................................... ® .............* Cuadriláteros de dos números:
...................................................... ® .............* Cuadriláteros de tres números:
...................................................... ® .............* Cuadriláteros de cuatro números:
...................................................... ® .............* Cuadriláteros de cinco números:
...................................................... ® .............* Cuadriláteros de seis números:
...................................................... ® .............
Total de cuadriláteros = ........................................
Ejemplo 2:Calcular el número de triángulos:a) 15b) 16c) 18d) 14e) 12
Resolución:Enumerando:
Triángulos de:
* 1 # : ................................... ® ....... triángulos
* 2 # : ................................... ® ....... triángulos
* 3 # : ................................... ® ....... triángulos
* 5 # : ................................... ® ....... triángulos
Total de triángulos = ................... = ..... triángulos
B. CONTEO POR INDUCCIÓNConsiste en analizar casos particulares a la figura dada, para luego encontrar una ley de formación.
Ejemplo 1:¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
Resolución:Analizamos la figura:
* Para ® 1 triángulo « 1
* Para ® 3 triángulos « 1 + 2
* Para ® 6 triángulos « 1 + 2 + 3
* Para
Ejemplo 2:¿Cuántos ángulos agudos hay en la siguiente figura?
CONTEO DE FIGURAS
1
1 2
1 2 3
« triángulos: 1 + 2 + 3 + ... + n
1 2 3 n. . .
n(n + 1)
2
1 2 3 n
15
12
3
40 41
Resolución:N° de ángulos agudos:
\ Hay ........... ángulos agudos
Ejemplo 3:Hallar el número de sectores circulares en la figura:
Resolución:En la figura observamos que hay 20 espacios.Entonces:
N° de sectores circulares = ...............................
Ejemplo 4:¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
Resolución:Analizamos la figura:
Luego:
N° de cuadriláteros = .....................................
\ Hay .......... cuadriláteros
Ejemplo 5:Calcular el máximo número de triángulos en la siguiente figura:
Resolución:
* En r ABC:
* En r DBE:
* En r FBG:
\ Total de triángulos = ....................... = ...........
Nota: La ley de formación (fórmula) sirve para hallar el número de triángulos, ángulos, segmentos, cuadriláteros, sectores circulares, trapecios, hexágonos, ... etc, siempre y cuando las figuras estén alineadas.
01. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico?
a) 6
b) 10
c) 7
d) 8
e) 9
02. Hallar el total de triángulos en el gráfico:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 12
e) 13
NIVEL I
321
20
A
D
F G
E
C
B
N° de r = .....................
54321
N° de r = .....................
321
N° de r = .....................
03. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico?
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
04. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 26
b) 8
c) 12
d) 10
e) 28
05. Hallar el total de cuadriláteros en el gráfico:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 13
e) 12
06. La suma de los triángulos de las figuras I y II, es:
a) 24
b) 20
c) 19
d) 25
e) 17
07. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 23
b) 24
c) 25
d) 27
e) 28
08. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en total en la figura?
a) 26
b) 28
c) 27
d) 24
e) 30
09. ¿Cuántos cuadriláteros que contengan un “p”, existen en la figura?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
10. Hallar el máximo número de triángulos en la siguiente figura:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
11. ¿Cuántos cuadriláteros contiene la figura?
a) 22
b) 18
c) 25
d) 16
e) 24
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 12
b) 13
c) 15
d) 18
e) 19
13. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
a) 19
b) 25
c) 18
d) 29
e) 26
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
15. ¿Cuántos triángulos y cuadriláteros hay en esta figura?
a) 10 - 6
b) 12 - 10
c) 12 - 23
d) 10 - 10
e) 12 - 6
16. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden obtener como máximo en esta figura?
a) 5
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
I II
B
A C
D
B
E
B
F G
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
40 41
Resolución:N° de ángulos agudos:
\ Hay ........... ángulos agudos
Ejemplo 3:Hallar el número de sectores circulares en la figura:
Resolución:En la figura observamos que hay 20 espacios.Entonces:
N° de sectores circulares = ...............................
Ejemplo 4:¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
Resolución:Analizamos la figura:
Luego:
N° de cuadriláteros = .....................................
\ Hay .......... cuadriláteros
Ejemplo 5:Calcular el máximo número de triángulos en la siguiente figura:
Resolución:
* En r ABC:
* En r DBE:
* En r FBG:
\ Total de triángulos = ....................... = ...........
Nota: La ley de formación (fórmula) sirve para hallar el número de triángulos, ángulos, segmentos, cuadriláteros, sectores circulares, trapecios, hexágonos, ... etc, siempre y cuando las figuras estén alineadas.
01. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico?
a) 6
b) 10
c) 7
d) 8
e) 9
02. Hallar el total de triángulos en el gráfico:
a) 8
b) 9
c) 11
d) 12
e) 13
NIVEL I
321
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A
D
F G
E
C
B
N° de r = .....................
54321
N° de r = .....................
321
N° de r = .....................
03. ¿Cuántos triángulos hay en el gráfico?
a) 17
b) 18
c) 19
d) 20
e) 21
04. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 26
b) 8
c) 12
d) 10
e) 28
05. Hallar el total de cuadriláteros en el gráfico:
a) 11
b) 14
c) 15
d) 13
e) 12
06. La suma de los triángulos de las figuras I y II, es:
a) 24
b) 20
c) 19
d) 25
e) 17
07. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 23
b) 24
c) 25
d) 27
e) 28
08. ¿Cuántos triángulos se pueden contar en total en la figura?
a) 26
b) 28
c) 27
d) 24
e) 30
09. ¿Cuántos cuadriláteros que contengan un “p”, existen en la figura?
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
10. Hallar el máximo número de triángulos en la siguiente figura:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
e) 16
11. ¿Cuántos cuadriláteros contiene la figura?
a) 22
b) 18
c) 25
d) 16
e) 24
12. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 12
b) 13
c) 15
d) 18
e) 19
13. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
a) 19
b) 25
c) 18
d) 29
e) 26
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la siguiente figura?
a) 10
b) 11
c) 12
d) 13
e) 14
15. ¿Cuántos triángulos y cuadriláteros hay en esta figura?
a) 10 - 6
b) 12 - 10
c) 12 - 23
d) 10 - 10
e) 12 - 6
16. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden obtener como máximo en esta figura?
a) 5
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
I II
B
A C
D
B
E
B
F G
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
17. Hallar el total de los cuadriláteros, en:
a) 11
b) 13
c) 12
d) 15
e) 14
18. Hallar el total de triángulos, en:
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
19. Hallar el total de triángulos, en:
a) 7
b) 6
c) 9
d) 10
e) 8
20. Hallar el total de cuadriláteros, en:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 5
21. Hallar el total de cuadriláteros, en:
a) 28
b) 30
c) 32
d) 26
e) 24
22. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figura?
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
23. El número de pentágonos, más el número de hexágonos de la siguiente figura, es:
a) 21
b) 13
c) 17
d) 15
e) 18
24. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura?
a) 20
b) 23
c) 18
d) 14
e) 16
25. La diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de triángulos de la siguiente figura, es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 6
26. La suma del número de cuadriláteros y el número de triángulos de la siguiente figura, es:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 20
e) 15
27. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figura?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
28. ¿Cuántos triángulos rectángulos existen en la figura?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 16
e) 20
29. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?
a) 26
b) 18
c) 20
d) 21
e) 24
30. El número de pentágonos en la figura, es:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
01. Hallar el número de cuadriláteros en la siguiente figura:
a) 275
b) 150
c) 125
d) 178
e) 200
02. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 21
b) 72
c) 44
d) 36
e) 55
03. Hallar el número de hexágonos, en el gráfico:
a) 23
b) 40
c) 42
d) 33
e) 21
04. Hallar la máxima cantidad de triángulos en la figura mostrada:
a) 20
b) 21
c) 23
d) 22
e) 27
05. Hallar el número total de cuadriláteros que se hayan en la siguiente figura:
a) 430
b) 420
c) 30
d) 56
e) 490
06. ¿Cuál es el número total de triángulos en la figura que sigue?
a) 43
b) 45
c) 44
d) 46
e) 48
07. ¿Cuántos cuadrados tiene un tablero de ajedrez?
a) 14 b) 70
c) 204 d) 200 e) 216
08. En el gráfico, ¿cuántos rectángulos hay?
a) 500
b) 550
c) 400
d) 450
e) 620
09. ¿Cuántos pentágonos como máximo hay en la figura mostrada?
a) 9
b) 8
c) 10
d) 7
e) 11
10. Calcular el número de triángulos que contengan por lo menos un aspa (x).
a) 12
b) 14
c) 13
d) 15
e) 11
NIVEL II
×
××
42 43
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
17. Hallar el total de los cuadriláteros, en:
a) 11
b) 13
c) 12
d) 15
e) 14
18. Hallar el total de triángulos, en:
a) 15
b) 13
c) 14
d) 12
e) 16
19. Hallar el total de triángulos, en:
a) 7
b) 6
c) 9
d) 10
e) 8
20. Hallar el total de cuadriláteros, en:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 5
21. Hallar el total de cuadriláteros, en:
a) 28
b) 30
c) 32
d) 26
e) 24
22. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figura?
a) 14
b) 15
c) 16
d) 17
e) 18
23. El número de pentágonos, más el número de hexágonos de la siguiente figura, es:
a) 21
b) 13
c) 17
d) 15
e) 18
24. ¿Cuántos triángulos existen en la siguiente figura?
a) 20
b) 23
c) 18
d) 14
e) 16
25. La diferencia entre el número de cuadriláteros y el número de triángulos de la siguiente figura, es:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 12
e) 6
26. La suma del número de cuadriláteros y el número de triángulos de la siguiente figura, es:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 20
e) 15
27. ¿Cuántos pentágonos hay en la siguiente figura?
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
28. ¿Cuántos triángulos rectángulos existen en la figura?
a) 12
b) 13
c) 14
d) 16
e) 20
29. ¿Cuántos rectángulos hay en la siguiente figura?
a) 26
b) 18
c) 20
d) 21
e) 24
30. El número de pentágonos en la figura, es:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
01. Hallar el número de cuadriláteros en la siguiente figura:
a) 275
b) 150
c) 125
d) 178
e) 200
02. ¿Cuántos triángulos hay en la figura?
a) 21
b) 72
c) 44
d) 36
e) 55
03. Hallar el número de hexágonos, en el gráfico:
a) 23
b) 40
c) 42
d) 33
e) 21
04. Hallar la máxima cantidad de triángulos en la figura mostrada:
a) 20
b) 21
c) 23
d) 22
e) 27
05. Hallar el número total de cuadriláteros que se hayan en la siguiente figura:
a) 430
b) 420
c) 30
d) 56
e) 490
06. ¿Cuál es el número total de triángulos en la figura que sigue?
a) 43
b) 45
c) 44
d) 46
e) 48
07. ¿Cuántos cuadrados tiene un tablero de ajedrez?
a) 14 b) 70
c) 204 d) 200 e) 216
08. En el gráfico, ¿cuántos rectángulos hay?
a) 500
b) 550
c) 400
d) 450
e) 620
09. ¿Cuántos pentágonos como máximo hay en la figura mostrada?
a) 9
b) 8
c) 10
d) 7
e) 11
10. Calcular el número de triángulos que contengan por lo menos un aspa (x).
a) 12
b) 14
c) 13
d) 15
e) 11
NIVEL II
×
××
42 43
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11. En la figura, ¿cuántos sectores circulares hay que
por lo menos contengan un “*” (asterisco)?
a) 44
b) 46
c) 41
d) 43
e) 45
12. ¿Cuál es el máximo número de cuadrados iguales que se pueden formar con 12 trozos de madera de 10 cm? (Cada trozo sin romperlo).
a) 4 b) 7
c) 8 d) 5 e) 6
13. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
a) 91
b) 90
c) 60
d) 36
e) 72
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura mostrada?
a) 19
b) 18
c) 16
d) 17
e) 20
15. ¿Cuántos segmentos hay en las figuras mostradas?
a) 42
b) 21
c) 27
d) 30
e) 28
16. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 90
b) 75
c) 150
d) 165
e) 205
17. En la figura, ¿cuál es el menor número de segmentos verticales que se deben trazar para obtener un total de 36 segmentos?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 24
18. En la figura, calcular el número de sectores circulares:
a) 12
b) 15
c) 20
d) 6
e) 8
19. Hallar el número de segmentos en la gráfica:
a) 64 b) 84
c) 118 d) 120 e) 111
20. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 96
b) 104
c) 88
d) 102
e) 94
**
**
S I S T E M A
2 0 0 0
A
A
AM
M
T
M
T
T
EE
IC
O
O
O
R
Z
N
N
I
Se entiende por conjunto, a una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C, ..., etc. o entre llaves { } y sus elementos generalmente separados con comas (,) o punto y coma (;).Ejemplos:
• A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}• B = {a ; e ; i ; o ; u}
• C = {x/x Î N ; 2 £ x £ 8}
RELACIÓN DE PERTENENCIA (Î)Se dice que un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte de dicho conjunto.
La relación de pertenencia (Î) es un vínculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjuntos.
(Elemento) Î (Conjunto)
Observación: Ï : “No pertenece a”
Ejemplo 1:Sea: P = {2 ; 3 ; {4 ; 5} ; {6}}
· 3 ................. P · {6} .......... P
· {2} .............. P · 6 ............. P
· {4 ; 5} .......... P • 7 ............ P
Ejemplo 2:¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
• a Î {a ; b} ( )
• f Î {a ; 5 ; f} ( )
• 7 Ï {5 ; 9 ; 11} ( )
• {b} Î {b ; o ; l ; a} ( )
• {e} Î {m ; {e} ; s ; a} ( )
DIAGRAMAS DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizar qué elementos están o no en él.Ejemplo:
U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13}A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}C = {7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}
Nota: n(A) = #(A)
Se lee: “número de elementos” o cardinal de “A”, así de los ejemplos anteriores, se tiene:
n(A) = 4 ; n(B) = 9 ; #(C) = 6 ; #(U) = 13
DIAGRAMAS DE CARROL
* Para un conjunto:
* Para dos conjuntos:
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Se puede dar de dos formas:
A. Por comprensión: Es cuando se menciona una característica común a todos los elementos que forman un conjunto.
B. Por extensión: Es cuando se nombran explícitamente a cada uno de los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplo:
Determinar por comprensión y extensión, al conjunto de números pares mayores que 8 y menores que 20.
- Por comprensión: A = {”x” es par / 8 < x < 20}
- Por extensión: A = {10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18}
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
1. INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO (Ì)
Se dice que un conjunto “A” está incluido en otro “B”, cuando todos los elementos de “A” son también elementos de “B”; es decir:
A Ì B Û "x Î A ® x Î B
Notas:
* Todo conjunto está incluido en sí mismo.
A Ì A ; " A
* El conjunto vacío o nulo está incluido en todo conjunto.
f Ì A
2
431
5
6
11
12
78 910
13
AB
CU
Conjuntouniversal oreferencial
A A’
A Ç B B – A
A – B (A È B)’
A A’
B
B’
44 45
CONJUNTOS
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11. En la figura, ¿cuántos sectores circulares hay que
por lo menos contengan un “*” (asterisco)?
a) 44
b) 46
c) 41
d) 43
e) 45
12. ¿Cuál es el máximo número de cuadrados iguales que se pueden formar con 12 trozos de madera de 10 cm? (Cada trozo sin romperlo).
a) 4 b) 7
c) 8 d) 5 e) 6
13. ¿Cuántos cuadrados hay en la siguiente figura?
a) 91
b) 90
c) 60
d) 36
e) 72
14. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura mostrada?
a) 19
b) 18
c) 16
d) 17
e) 20
15. ¿Cuántos segmentos hay en las figuras mostradas?
a) 42
b) 21
c) 27
d) 30
e) 28
16. ¿Cuántos cuadriláteros hay en la figura?
a) 90
b) 75
c) 150
d) 165
e) 205
17. En la figura, ¿cuál es el menor número de segmentos verticales que se deben trazar para obtener un total de 36 segmentos?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 1
e) 24
18. En la figura, calcular el número de sectores circulares:
a) 12
b) 15
c) 20
d) 6
e) 8
19. Hallar el número de segmentos en la gráfica:
a) 64 b) 84
c) 118 d) 120 e) 111
20. ¿Cuántos triángulos hay en la siguiente figura?
a) 96
b) 104
c) 88
d) 102
e) 94
**
**
S I S T E M A
2 0 0 0
A
A
AM
M
T
M
T
T
EE
IC
O
O
O
R
Z
N
N
I
Se entiende por conjunto, a una colección de objetos bien definidos, llamados elementos y pueden ser de posibilidades reales, abstractas o imaginarias. Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A, B, C, ..., etc. o entre llaves { } y sus elementos generalmente separados con comas (,) o punto y coma (;).Ejemplos:
• A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9}• B = {a ; e ; i ; o ; u}
• C = {x/x Î N ; 2 £ x £ 8}
RELACIÓN DE PERTENENCIA (Î)Se dice que un elemento pertenece a un conjunto cuando forma parte de dicho conjunto.
La relación de pertenencia (Î) es un vínculo que va de elemento al conjunto al cual pertenece, más no así entre elementos o entre conjuntos.
(Elemento) Î (Conjunto)
Observación: Ï : “No pertenece a”
Ejemplo 1:Sea: P = {2 ; 3 ; {4 ; 5} ; {6}}
· 3 ................. P · {6} .......... P
· {2} .............. P · 6 ............. P
· {4 ; 5} .......... P • 7 ............ P
Ejemplo 2:¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
• a Î {a ; b} ( )
• f Î {a ; 5 ; f} ( )
• 7 Ï {5 ; 9 ; 11} ( )
• {b} Î {b ; o ; l ; a} ( )
• {e} Î {m ; {e} ; s ; a} ( )
DIAGRAMAS DE VENN - EULERSon regiones planas limitadas por curvas cerradas, que se usan generalmente para representar a un conjunto y visualizar qué elementos están o no en él.Ejemplo:
U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12 ; 13}A = {1 ; 2 ; 3 ; 4}B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}C = {7 ; 8 ; 9 ; 10 ; 11 ; 12}
Nota: n(A) = #(A)
Se lee: “número de elementos” o cardinal de “A”, así de los ejemplos anteriores, se tiene:
n(A) = 4 ; n(B) = 9 ; #(C) = 6 ; #(U) = 13
DIAGRAMAS DE CARROL
* Para un conjunto:
* Para dos conjuntos:
DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
Se puede dar de dos formas:
A. Por comprensión: Es cuando se menciona una característica común a todos los elementos que forman un conjunto.
B. Por extensión: Es cuando se nombran explícitamente a cada uno de los elementos que conforman el conjunto.
Ejemplo:
Determinar por comprensión y extensión, al conjunto de números pares mayores que 8 y menores que 20.
- Por comprensión: A = {”x” es par / 8 < x < 20}
- Por extensión: A = {10 ; 12 ; 14 ; 16 ; 18}
RELACIÓN ENTRE CONJUNTOS
1. INCLUSIÓN O SUBCONJUNTO (Ì)
Se dice que un conjunto “A” está incluido en otro “B”, cuando todos los elementos de “A” son también elementos de “B”; es decir:
A Ì B Û "x Î A ® x Î B
Notas:
* Todo conjunto está incluido en sí mismo.
A Ì A ; " A
* El conjunto vacío o nulo está incluido en todo conjunto.
f Ì A
2
431
5
6
11
12
78 910
13
AB
CU
Conjuntouniversal oreferencial
A A’
A Ç B B – A
A – B (A È B)’
A A’
B
B’
44 45
CONJUNTOS
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
2. Conjunto vacíoLlamado también conjunto nulo, se le denota con
f o { }, se le considera incluido en cualquier otro conjunto.
f Ì A ; "A
3. Conjunto unitarioLlamado Singleton, tiene un solo elemento.Ejemplo: A = {e}
B = {{a}}
C = {x Î N / 6 < x < 8}
4. Conjunto potencia P(A)Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene “A”, se le denota con P(A)
ny tiene 2 elementos, donde “n” es el número de elementos de “A”.Ejemplo:Si: A = {2 ; 4 ; 5}Entonces:
P(A) = {f ; {2} ; {4} ; {5} ; {2 ; 4} ; {2 ; 5} ; {4 ; 5} ; {2 ; 4 ; 5}}
Nota:
a. Si: A Ì B ® P(A) Ì P(B)
b. Si: x Î P(A) ® x Ì Ac. El número de subconjuntos propios está dado
n(A)por: 2 – 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
* Si: A Ì B y además: A ¹ B, entonces, “A” es subconjunto propio de “B”.
* Si: n(A)=K, entonces, el número de n(A) K
subconjuntos de “A”, es: 2 = 2
Ejemplo:Sea: E = {1 ; 3 ; 5}
n(E) 3Þ N° de subconjuntos de: E = 2 = 2 = 8
f ; {1} ; {3} ; {5} ; {1 ; 3} ; {1 ; 5} ; {3 ; 5} ; {1 ; 3 ; 5}
Propiedades:
* Propiedad reflexiva: A Ì A* Propiedad antisimétrica:
Si: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B* Propiedad transitiva:
Si: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C
2. CONJUNTOS IGUALESDos conjuntos son iguales, cuando tienen los mismos elementos, es decir:
A = B Û A Ì B Ù B Ì A
Ejemplos:• {3 ; 8} = {8 ; 3}• {1 ; 2} = {1 ; 1 ; 1 ; 2}
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Conjunto universal o referencial (U)Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto universal o referencial de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados.No existe un conjunto universal absoluto, se denota por la letra “U”.
AB
Subconjuntopropio de B
N° pares U
24 6
810
N° impares
13
57
9
02. Dado: A = {1 ; 1 ; {1} ; f}
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. P(A) tiene cuatro elementos.
II. {f} Î P(A)
III. f Î P(P(A))
a) VVV b) VVF
c) VFV d) FVV
e) FFV
Resolución:
A realmente es: A = {1 ; {1} ; f} ® n(A) = 33
Luego: n[P(A)] = 2 = 8
Donde: P(A) = {{1} ; {{1}} ; {f} ; {1 ; {1}} ; {1 ; f} ;
{{1} ; f} ; {1 ; {1} ; f} ; f}
Þ {f} Î P(A)
Ahora por teoría, si: f Ì P(A) ® f Î P(P(A))
Con lo que tendremos que:
I. FALSA
II. VERDADERA
III. VERDADERA
1. UNIÓN O REUNIÓN (È)
La unión de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” o a “B” o a ambos.
A È B = {x/x Î A o x Î B}
Gráficamente:
* A È B = B È A * A È A = A
* A È (B È C) = (A È B) È C * A È f = A
2. INTERSECCIÓN (Ç)
La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por los elementos comunes de “A” y “B”.
A Ç B = {x/x Î A y x Î B}
Gráficamente:
* A Ç B = B Ç A * A Ç A = A
* A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C * A Ç f = f
3. DIFERENCIA ( – )
Se llama diferencia de dos conjuntos “A” y “B” al conjunto formado por todos los elementos de “A” pero que no pertenecen a “B”.
A – B = {x/x Î A y x Ï B}
Gráficamente:
CA – B = A Ç B
4. COMPLEMENTO DE “A”
A’ = {x/x Î U y x Ï A}
CC = A’ = A = A = U – A(A)
Gráficamente:
* A’ È A = U
* A’ Ç A = f
* (A’)’ = A
* (A È B)’ = A’ Ç B’
(A Ç B)’ = A’ È B’*
A B BAA
B
A B BAA
B
A B BA AB
A
U
A’
Ley de Morgan
46 47
EJERCICIOS RESUELTOS
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...
N0 –1
–2
–3–4
– 12
Z
45
23
–
35
3 10
.
Q
2
7
p
10
e
R
C8i
4i
–2i
–7i
i
01. Dado el siguiente conjunto:
P = {2 ; 3 ; {2 ; a} ; {3 ; 2 ; b}}
Señalar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a. 2 Î {2 ; a} b. 3 Î {3 ; 2 ; b}
c. {3} Î P d. {3 ; 2 ; b} Î P
e. {2 ; a} Î {3 ; 2 ; b}
Resolución:a. FALSO, puesto que ambos son elementos.b. FALSO, puesto que ambos son elementos.c. FALSO, ya que {3} no es elemento de P.
d. {3 ; 2 ; b} Î P es una verdad absoluta.e. FALSO, ya que {2 ; a} y {3 ; 2 ; b} son elementos.
N Ì Z Ì Q Ì R Ì C
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
2. Conjunto vacíoLlamado también conjunto nulo, se le denota con
f o { }, se le considera incluido en cualquier otro conjunto.
f Ì A ; "A
3. Conjunto unitarioLlamado Singleton, tiene un solo elemento.Ejemplo: A = {e}
B = {{a}}
C = {x Î N / 6 < x < 8}
4. Conjunto potencia P(A)Es el conjunto formado por todos los subconjuntos que tiene “A”, se le denota con P(A)
ny tiene 2 elementos, donde “n” es el número de elementos de “A”.Ejemplo:Si: A = {2 ; 4 ; 5}Entonces:
P(A) = {f ; {2} ; {4} ; {5} ; {2 ; 4} ; {2 ; 5} ; {4 ; 5} ; {2 ; 4 ; 5}}
Nota:
a. Si: A Ì B ® P(A) Ì P(B)
b. Si: x Î P(A) ® x Ì Ac. El número de subconjuntos propios está dado
n(A)por: 2 – 1
CONJUNTOS NUMÉRICOS
* Si: A Ì B y además: A ¹ B, entonces, “A” es subconjunto propio de “B”.
* Si: n(A)=K, entonces, el número de n(A) K
subconjuntos de “A”, es: 2 = 2
Ejemplo:Sea: E = {1 ; 3 ; 5}
n(E) 3Þ N° de subconjuntos de: E = 2 = 2 = 8
f ; {1} ; {3} ; {5} ; {1 ; 3} ; {1 ; 5} ; {3 ; 5} ; {1 ; 3 ; 5}
Propiedades:
* Propiedad reflexiva: A Ì A* Propiedad antisimétrica:
Si: A Ì B Ù B Ì A Þ A = B* Propiedad transitiva:
Si: A Ì B Ù B Ì C Þ A Ì C
2. CONJUNTOS IGUALESDos conjuntos son iguales, cuando tienen los mismos elementos, es decir:
A = B Û A Ì B Ù B Ì A
Ejemplos:• {3 ; 8} = {8 ; 3}• {1 ; 2} = {1 ; 1 ; 1 ; 2}
CONJUNTOS ESPECIALES
1. Conjunto universal o referencial (U)Dados dos o más conjuntos, se llama conjunto universal o referencial de ellos, a otro conjunto que contiene a los conjuntos dados.No existe un conjunto universal absoluto, se denota por la letra “U”.
AB
Subconjuntopropio de B
N° pares U
24 6
810
N° impares
13
57
9
02. Dado: A = {1 ; 1 ; {1} ; f}
Dar el valor de verdad de las siguientes proposiciones:
I. P(A) tiene cuatro elementos.
II. {f} Î P(A)
III. f Î P(P(A))
a) VVV b) VVF
c) VFV d) FVV
e) FFV
Resolución:
A realmente es: A = {1 ; {1} ; f} ® n(A) = 33
Luego: n[P(A)] = 2 = 8
Donde: P(A) = {{1} ; {{1}} ; {f} ; {1 ; {1}} ; {1 ; f} ;
{{1} ; f} ; {1 ; {1} ; f} ; f}
Þ {f} Î P(A)
Ahora por teoría, si: f Ì P(A) ® f Î P(P(A))
Con lo que tendremos que:
I. FALSA
II. VERDADERA
III. VERDADERA
1. UNIÓN O REUNIÓN (È)
La unión de los conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a “A” o a “B” o a ambos.
A È B = {x/x Î A o x Î B}
Gráficamente:
* A È B = B È A * A È A = A
* A È (B È C) = (A È B) È C * A È f = A
2. INTERSECCIÓN (Ç)
La intersección de dos conjuntos “A” y “B” es el conjunto formado por los elementos comunes de “A” y “B”.
A Ç B = {x/x Î A y x Î B}
Gráficamente:
* A Ç B = B Ç A * A Ç A = A
* A Ç (B Ç C) = (A Ç B) Ç C * A Ç f = f
3. DIFERENCIA ( – )
Se llama diferencia de dos conjuntos “A” y “B” al conjunto formado por todos los elementos de “A” pero que no pertenecen a “B”.
A – B = {x/x Î A y x Ï B}
Gráficamente:
CA – B = A Ç B
4. COMPLEMENTO DE “A”
A’ = {x/x Î U y x Ï A}
CC = A’ = A = A = U – A(A)
Gráficamente:
* A’ È A = U
* A’ Ç A = f
* (A’)’ = A
* (A È B)’ = A’ Ç B’
(A Ç B)’ = A’ È B’*
A B BAA
B
A B BAA
B
A B BA AB
A
U
A’
Ley de Morgan
46 47
EJERCICIOS RESUELTOS
OPERACIONES ENTRE CONJUNTOS
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ...
N0 –1
–2
–3–4
– 12
Z
45
23
–
35
3 10
.
Q
2
7
p
10
e
R
C8i
4i
–2i
–7i
i
01. Dado el siguiente conjunto:
P = {2 ; 3 ; {2 ; a} ; {3 ; 2 ; b}}
Señalar cuál de las siguientes proposiciones es verdadera:
a. 2 Î {2 ; a} b. 3 Î {3 ; 2 ; b}
c. {3} Î P d. {3 ; 2 ; b} Î P
e. {2 ; a} Î {3 ; 2 ; b}
Resolución:a. FALSO, puesto que ambos son elementos.b. FALSO, puesto que ambos son elementos.c. FALSO, ya que {3} no es elemento de P.
d. {3 ; 2 ; b} Î P es una verdad absoluta.e. FALSO, ya que {2 ; a} y {3 ; 2 ; b} son elementos.
N Ì Z Ì Q Ì R Ì C
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
A B BA
5. DIFERENCIA SIMÉTRICA (D)
La diferencia simétrica de “A” y “B” (A D B) es el conjunto formado por los elementos “exclusivos” de “A” o de “B”.
A D B = (A – B) È (B – A)
Gráficamente:
* A D B = (A È B) – (A Ç B)
INTERPRETACIÓN DE ALGUNAS REGIONES SOMBREADAS
A – B“Sólo A”“Exclusivamente A”“Únicamente A”
A B
“Ocurre exactamente dos de ellos”“Sucede únicamente dos de ellos”
A B
C
“Ocurre al menos dos de ellos”“Ocurre por lo menos dos de ellos”
A B
C
(B È C) – A“Ocurre B o C pero no A”
A B
C
“Ocurre a lo más dos de ellos”
A B
C
“Ocurre sólo uno de ellos”“Únicamente uno de ellos”“Exactamente uno de ellos”
A B
C
A È B“Ocurre A o B”“Al menos uno de ellos”“Por lo menos uno de ellos”
A B
A Ç B“Ocurre A y B”“Ocurren ambos sucesos a la vez”
A B
MUJERESVARONES
99BAILAN
148NO BAILAN
03. Determinar por comprensión:
A = {1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ...}2 2
a) {x /x Î N Ù x ¹ 0} b) {x /x Î N Ù x ¹ 0}x
c) {x /x Î N Ù x ¹ 0} d) {x/x Î N}
e) {2x – 1/x Î IN}
Resolución:
Analizando la sucesión formada:
1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ...
¯ ̄ ̄ ̄1 2 3 4
1 2 3 4
Luego, la característica común a los elementos x
será: x
Þ El conjunto “A” queda determinado por:x
{x /x Î N Ù x ¹ 0}
Rpta.: “c”
04. Dado: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 14 ; 15}
A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 15}
B = {2 ; 4 ; 6 ; ... ; 14}
C = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 13 ; 14}
Determinar: [(B’ D C) È A]’
a) f b) {1 ; 2 ; 3}
c) {4 ; 8 ; 12} d) {13 ; 14 ; 15} e) {1 ; 15}
Resolución:
Del gráfico, deducimos: B’ = A
Luego, la expresión quedará así: [(A D C) È A]’
Pero: A D C = {3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14}
(A D C) È A = {3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14}
Entonces: [(A D C) È A]’ = {4 ; 8 ; 12}
Rpta.: “c”
05. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta Matemática, a 20 les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Inglés. A 14 les gusta Matemática y Lenguaje, a 13 Matemática e Inglés y a 15 les gusta Lenguaje e Inglés. Si a 12 les gusta los 3 cursos. ¿A cuántos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
Luego:
Rpta.: ....................
06. A una fiesta infantil asistieron 50 niños, de los cuales:
* 5 mujeres tienen 7 años
* 14 mujeres no tienen 8 años
* 16 mujeres no tienen 7 años
* 10 varones no tienen ni 7 ni 8 años
¿Cuántos varones tienen 7 u 8 años?
a) 10 b) 14
c) 19 d) 20 e) 17
Resolución:
Utilizando los diagramas de Carrol:
Total de niños =
Rpta.: ...................
A BC U
4
8
12
3
7
11
15
15
913
26
1014
M( ) L( )
I( )
x
No les gustaningún cursomencionado
7 AÑOS
VARONES
MUJERES
8 AÑOS NI 7, NI 8
AB
48 49
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Dado: A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ... ; 48 ; 50}B = {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; ... ; 45 ; 48}
Hallar el número de elementos de “A È B”.a) 28 b) 30c) 33 d) 36 e) 11
Resolución:Hallando la ley de formación:A = {2×1 ; 2×2 ; 2×3 ; 2×4 ; ... ; 2×24 ; 2×25}
B = {3×1 ; 3×2 ; 3×3 ; 3×4 ; ... ; 3×15 ; 3×16}
Þ n(A) = 25 y n(B) = 16
\ MCM (2 ; 3) = 6
A Ç B = {6 ; 12 ; 18 ; ... ; 48} Þ n(A Ç B) = 8
Luego:
\ (A È B) = 17 + 8 + 8 = 33Rpta.: “c”
02. A una fiesta de despedida asisten 40 alumnos de los cuales 17 son varones y de éstos, 8 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando?a) 11 b) 12c) 13 d) 14 e) 15
Resolución:Utilizando el diagrama de Carrol.
De los 17 varones, no bailan 8, entonces, 9 bailan. Por lo tanto, 9 mujeres bailan, entonces, el número de mujeres que no bailan será: 40 – (17 + 9) = 14
Rpta.: “d”
Múltiplos de 2
Múltiplos de 3
Múltiplos de 6
B(16)A(25)17 8 8
A Ç B
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
A B BA
5. DIFERENCIA SIMÉTRICA (D)
La diferencia simétrica de “A” y “B” (A D B) es el conjunto formado por los elementos “exclusivos” de “A” o de “B”.
A D B = (A – B) È (B – A)
Gráficamente:
* A D B = (A È B) – (A Ç B)
INTERPRETACIÓN DE ALGUNAS REGIONES SOMBREADAS
A – B“Sólo A”“Exclusivamente A”“Únicamente A”
A B
“Ocurre exactamente dos de ellos”“Sucede únicamente dos de ellos”
A B
C
“Ocurre al menos dos de ellos”“Ocurre por lo menos dos de ellos”
A B
C
(B È C) – A“Ocurre B o C pero no A”
A B
C
“Ocurre a lo más dos de ellos”
A B
C
“Ocurre sólo uno de ellos”“Únicamente uno de ellos”“Exactamente uno de ellos”
A B
C
A È B“Ocurre A o B”“Al menos uno de ellos”“Por lo menos uno de ellos”
A B
A Ç B“Ocurre A y B”“Ocurren ambos sucesos a la vez”
A B
MUJERESVARONES
99BAILAN
148NO BAILAN
03. Determinar por comprensión:
A = {1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ...}2 2
a) {x /x Î N Ù x ¹ 0} b) {x /x Î N Ù x ¹ 0}x
c) {x /x Î N Ù x ¹ 0} d) {x/x Î N}
e) {2x – 1/x Î IN}
Resolución:
Analizando la sucesión formada:
1 ; 4 ; 27 ; 256 ; ...
¯ ̄ ̄ ̄1 2 3 4
1 2 3 4
Luego, la característica común a los elementos x
será: x
Þ El conjunto “A” queda determinado por:x
{x /x Î N Ù x ¹ 0}
Rpta.: “c”
04. Dado: U = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; ... ; 14 ; 15}
A = {1 ; 3 ; 5 ; 7 ; ... ; 15}
B = {2 ; 4 ; 6 ; ... ; 14}
C = {1 ; 2 ; 5 ; 6 ; 9 ; 10 ; 13 ; 14}
Determinar: [(B’ D C) È A]’
a) f b) {1 ; 2 ; 3}
c) {4 ; 8 ; 12} d) {13 ; 14 ; 15} e) {1 ; 15}
Resolución:
Del gráfico, deducimos: B’ = A
Luego, la expresión quedará así: [(A D C) È A]’
Pero: A D C = {3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14}
(A D C) È A = {3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 2 ; 6 ; 10 ; 14}
Entonces: [(A D C) È A]’ = {4 ; 8 ; 12}
Rpta.: “c”
05. En un salón de clases de 47 alumnos se sabe que a 30 les gusta Matemática, a 20 les gusta Lenguaje y a 25 les gusta Inglés. A 14 les gusta Matemática y Lenguaje, a 13 Matemática e Inglés y a 15 les gusta Lenguaje e Inglés. Si a 12 les gusta los 3 cursos. ¿A cuántos alumnos no les gusta ninguno de los cursos mencionados?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 e) 5
Resolución:
Luego:
Rpta.: ....................
06. A una fiesta infantil asistieron 50 niños, de los cuales:
* 5 mujeres tienen 7 años
* 14 mujeres no tienen 8 años
* 16 mujeres no tienen 7 años
* 10 varones no tienen ni 7 ni 8 años
¿Cuántos varones tienen 7 u 8 años?
a) 10 b) 14
c) 19 d) 20 e) 17
Resolución:
Utilizando los diagramas de Carrol:
Total de niños =
Rpta.: ...................
A BC U
4
8
12
3
7
11
15
15
913
26
1014
M( ) L( )
I( )
x
No les gustaningún cursomencionado
7 AÑOS
VARONES
MUJERES
8 AÑOS NI 7, NI 8
AB
48 49
EJERCICIOS RESUELTOS
01. Dado: A = {2 ; 4 ; 6 ; 8 ; ... ; 48 ; 50}B = {3 ; 6 ; 9 ; 12 ; ... ; 45 ; 48}
Hallar el número de elementos de “A È B”.a) 28 b) 30c) 33 d) 36 e) 11
Resolución:Hallando la ley de formación:A = {2×1 ; 2×2 ; 2×3 ; 2×4 ; ... ; 2×24 ; 2×25}
B = {3×1 ; 3×2 ; 3×3 ; 3×4 ; ... ; 3×15 ; 3×16}
Þ n(A) = 25 y n(B) = 16
\ MCM (2 ; 3) = 6
A Ç B = {6 ; 12 ; 18 ; ... ; 48} Þ n(A Ç B) = 8
Luego:
\ (A È B) = 17 + 8 + 8 = 33Rpta.: “c”
02. A una fiesta de despedida asisten 40 alumnos de los cuales 17 son varones y de éstos, 8 no están bailando. ¿Cuántas mujeres no están bailando?a) 11 b) 12c) 13 d) 14 e) 15
Resolución:Utilizando el diagrama de Carrol.
De los 17 varones, no bailan 8, entonces, 9 bailan. Por lo tanto, 9 mujeres bailan, entonces, el número de mujeres que no bailan será: 40 – (17 + 9) = 14
Rpta.: “d”
Múltiplos de 2
Múltiplos de 3
Múltiplos de 6
B(16)A(25)17 8 8
A Ç B
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
01. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos están bien definidos?A = {Los números naturales más grandes}B = {Los números naturales menores que 17}
C = {x/x Î N ; 21 < x < 27}a) A y B b) Sólo Cc) B y C d) A y C e) Todos
02. El conjunto: R = {7 ; 9 ; 11 ; 13} , definido por comprensión, es:
I. R = {x/x Î N ; 7 < x < 15 Ù “x” es impar}
II. R = {x/x Î N ; 5 < x < 15}
III. R = {x/x Î N ; 5 < x < 15 Ù “x” es impar}a) I y III b) II y IIIc) II d) III e) I
03. Dado el conjunto: A = {x/x Î N Ù x < 13}¿Cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas?
I. 5 Ï A
II. 13 Ï A
III. {11 ; 13} Ì A
IV {9 ; 11 ; 13 ; 15} Ë A
V. {x/x Î N Ù “x” es impar} Ì A
VI. {2 ; 4 ; 6} Î Aa) FVFVFF b) FFFVVVc) VFVVFV d) VVFFVV e) FFVVFF
04. Relacionar los conjuntos que son iguales:
A. {x/x Î N ; x < 5} D. {6}
B. {x/x Î N ; 5 £ x £ 7} E. {5 ; 6 ; 7}
C. {x/x Î N ; 5 < x < 7} F. {1 ; ... ; 4}a) A = F - B = E - C = D b) A = F - B = D - C = Fc) A = E - B = F - C = E d) A = D - B = F - C = Ee) A = E - B = D - C = F
05. Si: A Ì B y B Ì C . Si: a Î A y b Î B¿Qué proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?
I. a Ï B III. b Î A V. a Ï C
II. a Î C IV. A Ë C VI. b Î Ca) VVFFVV b) FVFFFVc) FFVVVF d) VFFFVF e) VVVFFF
06. Pensar y responder si es verdadera (V) o falsa (F), cada una de las siguientes afirmaciones:
I. Si: x Î {flores} ; entonces: x Î {plantas}
II. Si: n Î N Þ “n” es impar
III. Si: p Î {palomas} Þ p Î {aves}
IV.Si: y Î {múltiplo de 2} Þ x Î {pares}a) VVVV b) VVFVc) VFVV d) VFFV e) FVVF
07. Para que estos conjuntos sean unitarios:• A = {3 ; x} • C = {x – 1 ; 0}• B = {x + 1 ; 7} • D = {3x – 5 ; x + 9}El valor de “x” en A, B, C y D respectivamente, debe ser:a) 6 ; 7 ; 3 ; 1 b) 3 ; 6 ; 1 ; 14c) 3 ; 1 ; 6 ; 7 d) 3 ; 6 ; 1 ; 7 e) 3 ; 7 ; 1 ; 6
08. Si: A = {x/x es vocal de la palabra curiosa}¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?
I. {m ; n} Ì A IV. {a} Î A
II. {x ; y ; z} É A V. {a ; b ; c} Ì A
III. b Î A VI. {u ; i ; o} Ì Aa) I - II - III b) II - IV - VIc) I - II - IV d) II - III - VI e) I y VI
09. Dados:• A = {x/x es vocal de la palabra curiosa}• B = {x/x es vocal de la palabra estudiosa}¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
I. A = B III. B Ì A
II. A Ì B IV. A É Ba) I y II b) Ic) II d) III e) IV
10. ¿Cuáles de los conjuntos dados son vacíos?• A = {0} • D = {x/x es múltiplo de 11 ; x < 10}
• B = {f} • E = {x/x Î N ; “x” es par e impar}
• C = f • F = {x/x Î N ; “x” es par ; 6 < x < 10}a) CDE b) BCEc) DEF d) ABC e) ABE
11. De acuerdo al gráfico, escribir V o F para cada expresión:
I. {9 ; 10} Î U
II. B É {9 ; 10}
III. B Ì A
IV. 1 Î A
a) FVFF b) VVFFc) FFVV d) FVFV e) VFVF
12. Si: M = {a ; e ; i}¿Cuántos subconjuntos tiene?a) 6 b) 7c) 8 d) 9 e) 10
13. Dado el conjunto: S = {a ; b ; c}Señalar la proposición correcta:
a) n(S) = 4 b) {a} Î S
c) a Ì S d) {b} Ì S e) c Ï S
NIVEL I
12
3
B
A
10
9U
14. Calcular “n(A)”, en:
A = {x Î N / “x” es par Ù 7 < x £ 17}a) 5 b) 6c) 15 d) 12 e) 10
15. Dado el conjunto: A = {2 ; 1 ; 3 ; 2 ; 4 ; 1 ; 5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ; 4}Dar la suma de sus elementos.a) 18 b) 31c) 20 d) 15 e) 21
16. El conjunto: P = {x/x Î N ; 107 £ x < 108} , es:a) Vacío b) Unitarioc) Nulo d) Universal e) Infinito
17. Si el conjunto: E = {3a – 5 ; a + 9} es unitario, el valor de “a”, es:a) 1 b) 3c) 5 d) 7 e) 9
18. Dado el siguiente conjunto, ¿cuál de las alternativas lo expresa por extensión?
R = {4x + 4 / 4 £ x £ 7 ; x Î N}a) {4 ; 5 ; 6 ; 7} b) {24 ; 28 ; 32}c) {6 ; 20 ; 24 ; 28} d) {20 ; 24 ; 28 ; 32}e) {28 ; 32 ; 36}
19. Si “A” tiene 127 subconjuntos propios y
Calcular:
a) 8 b) 9c) 12 d) 3 e) 6
20. Conociendo que: n[P(A)] = 16 y n[P(B)] = 64
Calcular:
a) 1 b) 2c) 4 d) 5 e) 10
[ ]n P(B) = 8
n(A)+ n(B)
5
3n(A) + n(B)3
01. Hallar la diferencia entre el número de elementos
de: (A È B) y (A Ç B)
Si: A = {3 ; 4 ; 5 ; 7} y B = {2 ; 5 ; 6 ; 8}
a) 4 b) 2
c) 3 d) 0 e) 6
02. Según el diagrama, determinar cuántos
elementos tiene: (A È C) Ç B
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
03. Dado el diagrama:
Calcular el número de elementos de: (A È B) Ç C
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5 e) 6
04. Sean “A” y “B” dos conjuntos; tal que:
A – B = {1 ; 6}
A È B = {0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8}
Hallar: “B”
a) {2 ; 3 ; 4 ; 8} b) {1 ; 4 ; 6 ; 8}
c) {1 ; 3 ; 4 ; 6} d) {2 ; 3 ; 6 ; 8}
e) {0 ; 3 ; 4 ; 8}
05. Si: A = {2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8} ; B = {1 ; 2 ; 6 ; 8 ; 9}
Hallar: (A – B) È (B – A)
a) {2 ; 4 ; 6 ; 8} b) {2 ; 7 ; 8}
c) {1 ; 4 ; 7 ; 9} d) {1 ; 7 ; 9} e) {2 ; 4 ; 7 ; 9}
06. Las vocales de las palabras AMÉRICA y ENANO forman dos conjuntos. ¿Cuántos elementos tiene la unión de dichos conjuntos?
a) 3 b) 4
c) 5 d) 2 e) 1
07. Si el conjunto “E” es unitario; determinar el valor a
de: (a × b × c): E = {3 ; 3b ; 20 + c ; 27}
a) 147 b) 189
c) 169 d) 162 e) 197
08. Dados los conjuntos:
A = {x/x Î N ; 1 < x < 5} ; B = {2; 4; 6}
Hallar la suma de elementos de: A È B
a) 12 b) 15
c) 10 d) 11 e) 16
09. Dados los conjuntos:
• A = {x Î N / 6x = 20}2
• B = {x Î N / 4x = 2 }2
• C = {x Î N / x = 125}
• D = {x Î N / 5 < x + 3 < 7}
• E = {x Î N / 12 < 3x + 5 < 14}
¿Cuántos son unitarios?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 e) 5
NIVEL II
A CB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
3
5 7
8
42
1A
C
B
50 51
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
01. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos están bien definidos?A = {Los números naturales más grandes}B = {Los números naturales menores que 17}
C = {x/x Î N ; 21 < x < 27}a) A y B b) Sólo Cc) B y C d) A y C e) Todos
02. El conjunto: R = {7 ; 9 ; 11 ; 13} , definido por comprensión, es:
I. R = {x/x Î N ; 7 < x < 15 Ù “x” es impar}
II. R = {x/x Î N ; 5 < x < 15}
III. R = {x/x Î N ; 5 < x < 15 Ù “x” es impar}a) I y III b) II y IIIc) II d) III e) I
03. Dado el conjunto: A = {x/x Î N Ù x < 13}¿Cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas o falsas?
I. 5 Ï A
II. 13 Ï A
III. {11 ; 13} Ì A
IV {9 ; 11 ; 13 ; 15} Ë A
V. {x/x Î N Ù “x” es impar} Ì A
VI. {2 ; 4 ; 6} Î Aa) FVFVFF b) FFFVVVc) VFVVFV d) VVFFVV e) FFVVFF
04. Relacionar los conjuntos que son iguales:
A. {x/x Î N ; x < 5} D. {6}
B. {x/x Î N ; 5 £ x £ 7} E. {5 ; 6 ; 7}
C. {x/x Î N ; 5 < x < 7} F. {1 ; ... ; 4}a) A = F - B = E - C = D b) A = F - B = D - C = Fc) A = E - B = F - C = E d) A = D - B = F - C = Ee) A = E - B = D - C = F
05. Si: A Ì B y B Ì C . Si: a Î A y b Î B¿Qué proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas?
I. a Ï B III. b Î A V. a Ï C
II. a Î C IV. A Ë C VI. b Î Ca) VVFFVV b) FVFFFVc) FFVVVF d) VFFFVF e) VVVFFF
06. Pensar y responder si es verdadera (V) o falsa (F), cada una de las siguientes afirmaciones:
I. Si: x Î {flores} ; entonces: x Î {plantas}
II. Si: n Î N Þ “n” es impar
III. Si: p Î {palomas} Þ p Î {aves}
IV.Si: y Î {múltiplo de 2} Þ x Î {pares}a) VVVV b) VVFVc) VFVV d) VFFV e) FVVF
07. Para que estos conjuntos sean unitarios:• A = {3 ; x} • C = {x – 1 ; 0}• B = {x + 1 ; 7} • D = {3x – 5 ; x + 9}El valor de “x” en A, B, C y D respectivamente, debe ser:a) 6 ; 7 ; 3 ; 1 b) 3 ; 6 ; 1 ; 14c) 3 ; 1 ; 6 ; 7 d) 3 ; 6 ; 1 ; 7 e) 3 ; 7 ; 1 ; 6
08. Si: A = {x/x es vocal de la palabra curiosa}¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?
I. {m ; n} Ì A IV. {a} Î A
II. {x ; y ; z} É A V. {a ; b ; c} Ì A
III. b Î A VI. {u ; i ; o} Ì Aa) I - II - III b) II - IV - VIc) I - II - IV d) II - III - VI e) I y VI
09. Dados:• A = {x/x es vocal de la palabra curiosa}• B = {x/x es vocal de la palabra estudiosa}¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
I. A = B III. B Ì A
II. A Ì B IV. A É Ba) I y II b) Ic) II d) III e) IV
10. ¿Cuáles de los conjuntos dados son vacíos?• A = {0} • D = {x/x es múltiplo de 11 ; x < 10}
• B = {f} • E = {x/x Î N ; “x” es par e impar}
• C = f • F = {x/x Î N ; “x” es par ; 6 < x < 10}a) CDE b) BCEc) DEF d) ABC e) ABE
11. De acuerdo al gráfico, escribir V o F para cada expresión:
I. {9 ; 10} Î U
II. B É {9 ; 10}
III. B Ì A
IV. 1 Î A
a) FVFF b) VVFFc) FFVV d) FVFV e) VFVF
12. Si: M = {a ; e ; i}¿Cuántos subconjuntos tiene?a) 6 b) 7c) 8 d) 9 e) 10
13. Dado el conjunto: S = {a ; b ; c}Señalar la proposición correcta:
a) n(S) = 4 b) {a} Î S
c) a Ì S d) {b} Ì S e) c Ï S
NIVEL I
12
3
B
A
10
9U
14. Calcular “n(A)”, en:
A = {x Î N / “x” es par Ù 7 < x £ 17}a) 5 b) 6c) 15 d) 12 e) 10
15. Dado el conjunto: A = {2 ; 1 ; 3 ; 2 ; 4 ; 1 ; 5 ; 1 ; 2 ; 3 ; 2 ; 1 ; 4}Dar la suma de sus elementos.a) 18 b) 31c) 20 d) 15 e) 21
16. El conjunto: P = {x/x Î N ; 107 £ x < 108} , es:a) Vacío b) Unitarioc) Nulo d) Universal e) Infinito
17. Si el conjunto: E = {3a – 5 ; a + 9} es unitario, el valor de “a”, es:a) 1 b) 3c) 5 d) 7 e) 9
18. Dado el siguiente conjunto, ¿cuál de las alternativas lo expresa por extensión?
R = {4x + 4 / 4 £ x £ 7 ; x Î N}a) {4 ; 5 ; 6 ; 7} b) {24 ; 28 ; 32}c) {6 ; 20 ; 24 ; 28} d) {20 ; 24 ; 28 ; 32}e) {28 ; 32 ; 36}
19. Si “A” tiene 127 subconjuntos propios y
Calcular:
a) 8 b) 9c) 12 d) 3 e) 6
20. Conociendo que: n[P(A)] = 16 y n[P(B)] = 64
Calcular:
a) 1 b) 2c) 4 d) 5 e) 10
[ ]n P(B) = 8
n(A)+ n(B)
5
3n(A) + n(B)3
01. Hallar la diferencia entre el número de elementos
de: (A È B) y (A Ç B)
Si: A = {3 ; 4 ; 5 ; 7} y B = {2 ; 5 ; 6 ; 8}
a) 4 b) 2
c) 3 d) 0 e) 6
02. Según el diagrama, determinar cuántos
elementos tiene: (A È C) Ç B
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
03. Dado el diagrama:
Calcular el número de elementos de: (A È B) Ç C
a) 2 b) 3
c) 4 d) 5 e) 6
04. Sean “A” y “B” dos conjuntos; tal que:
A – B = {1 ; 6}
A È B = {0 ; 1 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8}
Hallar: “B”
a) {2 ; 3 ; 4 ; 8} b) {1 ; 4 ; 6 ; 8}
c) {1 ; 3 ; 4 ; 6} d) {2 ; 3 ; 6 ; 8}
e) {0 ; 3 ; 4 ; 8}
05. Si: A = {2 ; 4 ; 6 ; 7 ; 8} ; B = {1 ; 2 ; 6 ; 8 ; 9}
Hallar: (A – B) È (B – A)
a) {2 ; 4 ; 6 ; 8} b) {2 ; 7 ; 8}
c) {1 ; 4 ; 7 ; 9} d) {1 ; 7 ; 9} e) {2 ; 4 ; 7 ; 9}
06. Las vocales de las palabras AMÉRICA y ENANO forman dos conjuntos. ¿Cuántos elementos tiene la unión de dichos conjuntos?
a) 3 b) 4
c) 5 d) 2 e) 1
07. Si el conjunto “E” es unitario; determinar el valor a
de: (a × b × c): E = {3 ; 3b ; 20 + c ; 27}
a) 147 b) 189
c) 169 d) 162 e) 197
08. Dados los conjuntos:
A = {x/x Î N ; 1 < x < 5} ; B = {2; 4; 6}
Hallar la suma de elementos de: A È B
a) 12 b) 15
c) 10 d) 11 e) 16
09. Dados los conjuntos:
• A = {x Î N / 6x = 20}2
• B = {x Î N / 4x = 2 }2
• C = {x Î N / x = 125}
• D = {x Î N / 5 < x + 3 < 7}
• E = {x Î N / 12 < 3x + 5 < 14}
¿Cuántos son unitarios?
a) 1 b) 2
c) 3 d) 4 e) 5
NIVEL II
A CB
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
6
3
5 7
8
42
1A
C
B
50 51
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
10. Sean los conjuntos “A” y “B”; tal que:
n(A È B) = 30 ; n(A – B) = 12 ; n(B – A) = 10
Hallar: n(A) + n(B)
a) 30 b) 20
c) 18 d) 38 e) 36
11. Dados los conjuntos:
B = {x/2 < x < 8 Ù “x” es par}
Calcular: A Ç {A È (B – A)}
a) A b) B
c) { } d) {6} e) {5; 6; 8}
12. “P” y “Q” son conjuntos, tal que:
• n(P) + n(Q) = 95
• n(P È Q) = 81
entonces, n(P D Q), es:
a) 67 b) 65
c) 69 d) 71 e) 63
13. Si: U = {x/x Î Z Ù 0 £ x < 10}
• (A È B)¢ = {0 ; 6 ; 9}
• A – B = {3 ; 5}
• A Ç B = {1 ; 2 ; 7}
¿Cuál es la suma de los elementos de (B – A)?
a) 13 b) 4
c) 12 d) 5 e) 11
14. En el diagrama de VENN, la parte sombreada, es:
a) C È [(A È B) – (A Ç B)]
b) (A È B È C) – (A Ç B)
c) A È (B Ç C)
d) (A È C) – (B Ç C)
e) (A È B È C) – (A Ç B Ç C)
15. ¿Qué expresión está representada por la zona sombreada del gráfico siguiente?
a) A Ç (B È C) b) (B È C) È A
c) A Ç (B Ç C) d) (B Ç C) È A
e) A Ç (B – C)
16. Sea: M = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
2• A = {x Î M / x < 16}
• B = {x Î M / 0 £ x < 3}
• C = {x Î M / 0 < x < 5}
Hallar: (A Ç B) Ç C
a) f b) {1 ; 2}
c) {1 ; 2 ; 3} d) {2} e) {1 ; 3}
17. ¿Cuál de las siguientes operaciones corresponde a la parte sombreada?
a) C – (A È B) b) C È (A – B)
c) (A È B)’ d) C È (A È B)
e) C Ç (A È B)
18. Dados los conjuntos A y B, se sabe que:
n(A) = 10 ; n(B) = 13
n[(A È B)’] = 3 ; n(A – B) = 6
¿Cuántos elementos tiene el conjunto universal?
a) 22 b) 24
c) 27 d) 32 e) 30
19. Si “A” y “B” son conjuntos, tales que:
n(A È B) = 30 ; n(A – B) = 12 ; n(B – A) = 10
El número de elementos de A, es:
a) 12 b) 13
c) 14 d) 20 e) 22
20. Si: A = {x Î N / 3 < x < 10}
B = {x Î N / 0 < x < 8}
C = {x Î N / x < 5}
Entonces, (A Ç B) È C , es:
a) {x Î N / 1 £ x £ 6}
b) {x Î N / 3 < x < 5}
c) {x Î N / 0 < x < 8}
d) {x Î N / 5 £ x < 8}
e) {x Î N / 2 £ x £ 6}
A =3n + 1
2N /1 n 5
æèç
öø÷ Î
ìíî
üýþ
< <
A
C
B
A
C
B
UC
A B
01. Dado un conjunto “A”, señalar si es verdadera o
falsa cada una de las siguientes proposiciones:
A = {1 ; 2 ; {3 ; 4} ; 5}
I. 2 Î A II. 5 Ì A
III. f Î A IV. {{3 ; 4}} Ì A
V. {1 ; 2 ; 5} Ì A VI. n(A) = 5
a) VFVVVV b) VVFFVF c) VFFVVF
d) VVVFFV e) VFVFVF
02. En un gimnasio, 11 personas practican aeróbicos,
10 están en máquinas, 3 en máquinas y aeróbicos
y 2 son instructores. ¿Cuántas personas hay en el
gimnasio?
a) 18 b) 20
c) 24 d) 26 e) 28
03. De un grupo de 25 jóvenes, 12 practican ajedrez y
8 damas y ajedrez. ¿Qué proposición es falsa?
a) 4 sólo practican ajedrez
b) 13 sólo practican damas
c) 12 practican ajedrez
d) 21 juegan damas
e) 7 sólo practican damas
04. Se hizo una encuesta en el “Mercado” a cierto
número de amas de casa y resultó que
14 compraron carne de pollo, 11 carne de res, 6 las
dos clases de carne y 20 no compraron ni pollo ni
res. ¿A cuántas personas se hizo la encuesta?
a) 42 b) 41
c) 40 d) 39 e) 38
05. Conversando con 10 padres de familia, nos
cuentan que 8 de ellos tienen luz y 5 tienen agua
en el sitio que viven. ¿Cuántos tienen agua y luz?
a) 5 b) 8
c) 1 d) 2 e) 3
06. De un grupo de alumnos, 8 tienen solamente
libros, 3 tienen libros y cuadernos y 5 no tienen ni
libros ni cuadernos. Además, 12 tienen
cuadernos. ¿De cuántos alumnos se compone el
grupo?
a) 22 b) 23
c) 24 d) 25 e) 26
07. Dados los conjuntos “A”, formado por personas
con ojos azules; “B”, formado por personas de
cabello rubio y “C”, personas de tez blanca. El
conjunto de personas de tez blanca, cabello rubio
y ojos azules, se representa por:
a) (A È B) È C b) (A Ç B) Ç C
c) (A È B) Ç C d) (A Ç B) È C
e) (A Ç C) È B
08. Si “A” es el conjunto de niños y “B” es de las
personas que van al circo, entonces, la región
sombreada representa:
a) Niños que no van al circo.
b) Personas que no son niños y no van al circo.
c) Niños que van al parque.
d) Personas que no van al circo.
e) Personas que si van al circo.
09. De 129 estudiantes encuestados sobre los idiomas
de inglés y quechua, se obtuvo que, estudian sólo
inglés el triple de los que estudian ambos cursos,
estudian sólo quechua la mitad de los que
estudian sólo inglés y 8 no estudian ninguno de
dichos cursos. ¿Cuántos estudian sólo inglés y
sólo quechua?
a) 99 b) 97 c) 98
d) 96 e) 100
10. En una conferencia se encuentran 35 profesores,
11 eran profesores de Lengua, 16 sólo de Historia
y 4 de Lengua e Historia. ¿Cuántos profesores no
eran de estas dos especialidades?
a) 10 b) 12
c) 8 d) 6 e) 4
NIVEL III
A BU
52 53
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
10. Sean los conjuntos “A” y “B”; tal que:
n(A È B) = 30 ; n(A – B) = 12 ; n(B – A) = 10
Hallar: n(A) + n(B)
a) 30 b) 20
c) 18 d) 38 e) 36
11. Dados los conjuntos:
B = {x/2 < x < 8 Ù “x” es par}
Calcular: A Ç {A È (B – A)}
a) A b) B
c) { } d) {6} e) {5; 6; 8}
12. “P” y “Q” son conjuntos, tal que:
• n(P) + n(Q) = 95
• n(P È Q) = 81
entonces, n(P D Q), es:
a) 67 b) 65
c) 69 d) 71 e) 63
13. Si: U = {x/x Î Z Ù 0 £ x < 10}
• (A È B)¢ = {0 ; 6 ; 9}
• A – B = {3 ; 5}
• A Ç B = {1 ; 2 ; 7}
¿Cuál es la suma de los elementos de (B – A)?
a) 13 b) 4
c) 12 d) 5 e) 11
14. En el diagrama de VENN, la parte sombreada, es:
a) C È [(A È B) – (A Ç B)]
b) (A È B È C) – (A Ç B)
c) A È (B Ç C)
d) (A È C) – (B Ç C)
e) (A È B È C) – (A Ç B Ç C)
15. ¿Qué expresión está representada por la zona sombreada del gráfico siguiente?
a) A Ç (B È C) b) (B È C) È A
c) A Ç (B Ç C) d) (B Ç C) È A
e) A Ç (B – C)
16. Sea: M = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; ...}
2• A = {x Î M / x < 16}
• B = {x Î M / 0 £ x < 3}
• C = {x Î M / 0 < x < 5}
Hallar: (A Ç B) Ç C
a) f b) {1 ; 2}
c) {1 ; 2 ; 3} d) {2} e) {1 ; 3}
17. ¿Cuál de las siguientes operaciones corresponde a la parte sombreada?
a) C – (A È B) b) C È (A – B)
c) (A È B)’ d) C È (A È B)
e) C Ç (A È B)
18. Dados los conjuntos A y B, se sabe que:
n(A) = 10 ; n(B) = 13
n[(A È B)’] = 3 ; n(A – B) = 6
¿Cuántos elementos tiene el conjunto universal?
a) 22 b) 24
c) 27 d) 32 e) 30
19. Si “A” y “B” son conjuntos, tales que:
n(A È B) = 30 ; n(A – B) = 12 ; n(B – A) = 10
El número de elementos de A, es:
a) 12 b) 13
c) 14 d) 20 e) 22
20. Si: A = {x Î N / 3 < x < 10}
B = {x Î N / 0 < x < 8}
C = {x Î N / x < 5}
Entonces, (A Ç B) È C , es:
a) {x Î N / 1 £ x £ 6}
b) {x Î N / 3 < x < 5}
c) {x Î N / 0 < x < 8}
d) {x Î N / 5 £ x < 8}
e) {x Î N / 2 £ x £ 6}
A =3n + 1
2N /1 n 5
æèç
öø÷ Î
ìíî
üýþ
< <
A
C
B
A
C
B
UC
A B
01. Dado un conjunto “A”, señalar si es verdadera o
falsa cada una de las siguientes proposiciones:
A = {1 ; 2 ; {3 ; 4} ; 5}
I. 2 Î A II. 5 Ì A
III. f Î A IV. {{3 ; 4}} Ì A
V. {1 ; 2 ; 5} Ì A VI. n(A) = 5
a) VFVVVV b) VVFFVF c) VFFVVF
d) VVVFFV e) VFVFVF
02. En un gimnasio, 11 personas practican aeróbicos,
10 están en máquinas, 3 en máquinas y aeróbicos
y 2 son instructores. ¿Cuántas personas hay en el
gimnasio?
a) 18 b) 20
c) 24 d) 26 e) 28
03. De un grupo de 25 jóvenes, 12 practican ajedrez y
8 damas y ajedrez. ¿Qué proposición es falsa?
a) 4 sólo practican ajedrez
b) 13 sólo practican damas
c) 12 practican ajedrez
d) 21 juegan damas
e) 7 sólo practican damas
04. Se hizo una encuesta en el “Mercado” a cierto
número de amas de casa y resultó que
14 compraron carne de pollo, 11 carne de res, 6 las
dos clases de carne y 20 no compraron ni pollo ni
res. ¿A cuántas personas se hizo la encuesta?
a) 42 b) 41
c) 40 d) 39 e) 38
05. Conversando con 10 padres de familia, nos
cuentan que 8 de ellos tienen luz y 5 tienen agua
en el sitio que viven. ¿Cuántos tienen agua y luz?
a) 5 b) 8
c) 1 d) 2 e) 3
06. De un grupo de alumnos, 8 tienen solamente
libros, 3 tienen libros y cuadernos y 5 no tienen ni
libros ni cuadernos. Además, 12 tienen
cuadernos. ¿De cuántos alumnos se compone el
grupo?
a) 22 b) 23
c) 24 d) 25 e) 26
07. Dados los conjuntos “A”, formado por personas
con ojos azules; “B”, formado por personas de
cabello rubio y “C”, personas de tez blanca. El
conjunto de personas de tez blanca, cabello rubio
y ojos azules, se representa por:
a) (A È B) È C b) (A Ç B) Ç C
c) (A È B) Ç C d) (A Ç B) È C
e) (A Ç C) È B
08. Si “A” es el conjunto de niños y “B” es de las
personas que van al circo, entonces, la región
sombreada representa:
a) Niños que no van al circo.
b) Personas que no son niños y no van al circo.
c) Niños que van al parque.
d) Personas que no van al circo.
e) Personas que si van al circo.
09. De 129 estudiantes encuestados sobre los idiomas
de inglés y quechua, se obtuvo que, estudian sólo
inglés el triple de los que estudian ambos cursos,
estudian sólo quechua la mitad de los que
estudian sólo inglés y 8 no estudian ninguno de
dichos cursos. ¿Cuántos estudian sólo inglés y
sólo quechua?
a) 99 b) 97 c) 98
d) 96 e) 100
10. En una conferencia se encuentran 35 profesores,
11 eran profesores de Lengua, 16 sólo de Historia
y 4 de Lengua e Historia. ¿Cuántos profesores no
eran de estas dos especialidades?
a) 10 b) 12
c) 8 d) 6 e) 4
NIVEL III
A BU
52 53
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11. En una encuesta de opinión a 200 personas, se
preguntó su preferencia sobre infusiones: té,
manzanilla y anís. El diagrama muestra el
resultado de la encuesta.
¿Cuántas personas prefieren dos bebidas?
a) 71 b) 81
c) 69 d) 80 e) 91
12. Se aplicó una encuesta a 120 agricultores para
conocer la preferencia de sus siembras y resultó
que 40 cultivan arroz, 54 cultivan papa,
66 verduras, 23 arroz y papas, 16 arroz y
verduras, 28 papas y verduras y 7 arroz, papas y
verduras. ¿Cuántos agricultores se dedican a un
solo cultivo?
a) 66 b) 47
c) 32 d) 50 e) 60
13. El domingo se realizó una encuesta entre
50 familias para conocer el consumo promedio de
carne de pollo y de res. Los resultados arrojaron
que 21 compraban carne de pollo, 11 de res y
3 compraban pollo y res. ¿Cuántas familias no
compran pollo ni res?
a) 18 b) 19
c) 20 d) 21 e) 22
14. Se entrevistó a 100 ambulantes para saber qué
artículos vendían; los resultados fueron los
siguientes: 33 vendían zapatos, 48 ropa,
51 juguetes, 13 zapatos y ropa, 9 zapatos y
juguetes, 15 ropa y juguetes, 5 vendían estos tres
tipos de artículos y el resto otros. ¿Cuántos
vendían zapatos pero no ropa?
a) 18 b) 20
c) 28 d) 30 e) 32
15. En un salón de clases, se sabe que del total,
12 aprobaron matemática, 15 aprobaron lenguaje
y 5 ambos cursos. ¿Cuántos son el total?
a) 10 b) 20
c) 22 d) 30 e) 33
16. Una encuesta realizada a 100 personas para
determinar la ocupación, arrojó los siguientes
datos: 46 eran vendedores, 50 tenían distintos
trabajos, 18 eran vendedores y tenían otros
trabajos y los demás estaban en busca de trabajo.
¿Cuántos tenían ocupación y cuántos eran
desocupados?
a) 78 y 20 b) 78 y 22
c) 96 y 4 d) 96 y 22 e) 88 y 22
17. Se aplicó una encuesta a 80 madres de familia
sobre sus habilidades y se supo que 42 saben
costura, 45 repostería, 58 tejidos, 19 costura y
repostería, 26 costura y tejido, 30 repostería y
tejido y 10 las tres ocupaciones. ¿Cuántas sabrán
sólo dos especialidades?
a) 45 b) 18
c) 13 d) 20 e) 22
18. Si tenemos los siguientes conjuntos:
• A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
• B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
• C = {1 ; 4 ; 6 ; 7}
Hallar: [(A – B) Ç (B – C)] È (C – A)
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 10 b) 13 c) 15
d) 17 e) 19
19. 70 deportistas participaron en 15 pruebas
atléticas, al final de las cuales, se observó lo
siguiente:
* 3 ganaron las medallas de oro, plata y bronce.
* 5 ganaron las medallas de oro y plata.
* 4 ganaron las medallas de oro y bronce.
* 7 ganaron las medallas de plata y bronce.
¿Cuántos deportistas no ganaron medalla
alguna?
a) 35 b) 36
c) 37 d) 38 e) 39
20. En una reunión social, donde el número de
personas que bailan y no bailan en un
determinado momento son iguales y la relación
de los hombres que no bailan y mujeres que no
bailan es de 2 a 3 en ese orden. Calcular la relación
del número de hombres y mujeres en dicha
reunión.
a) 9/11 b) 9/10
c) 2/3 d) 5/7 e) 8/5
TM
A
40 22
2025 24
28
26
Es una sucesión ordenada de números, letras o gráficos, en la que sus términos van escritos sucesivamente, los mismos que se forman a través de reglas válidas matemáticamente.Todos los términos de una serie dependen de una constante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, cociente o cualquier ley que se establezca.
SERIES ARITMÉTICASSon aquellas cuya razón se obtiene por diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número falta?
Ejemplo 4:Calcular: “x”
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
SERIES GEOMÉTRICASSon aquellas cuya razón se obtiene por cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número falta?
SERIES COMBINADAS Y ALTERNADASSeries en donde la razón se obtendrá por una combinación de operaciones, o por una intercalación de dos o más sucesiones, recordando que la razón de ser, se debe repetir 2 veces como mínimo.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; .......
– 3 ; – 1 ; 1 ; 15 ; 53 ; ........
+ ......
7 ; ; 17 ; 22......
1 ; 4 ; x ; 22 ; 37
\ x = . . . . x = . . . .
– 1 ; 1 ; 6 ; 14 ; ........
3 ; 6 ; 18 ; 72 ; 360 ; ........
729 ; 243 ; 81 ; ........
5 ; 5 ; 15 ; 75 ; ........
27
449
8343
; ; ;..........
1 ; 2 ; ; 48 ; 384........
×2 ×a ×b ×8
Se deduce que: a × b = ...........
1 ; 2 ; 8 ; 48 ; 384
3 ; 5 ; 15 ; 17 ; 51 ; ........
3 ; 17 ; 6 ; 14 ; 10 ; 9 ; 15 ; 2 ; ........
5 ; 16 ; 49 ; ........
15
54 55
SERIES
. . .. . .. . .. . .
. . .. . .. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . .. . .. . .
+ ......
. . .. . .. . .. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
. . .. . .. . .
. . . . . . . . .
. . .. . .. . .. . .. . .
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11. En una encuesta de opinión a 200 personas, se
preguntó su preferencia sobre infusiones: té,
manzanilla y anís. El diagrama muestra el
resultado de la encuesta.
¿Cuántas personas prefieren dos bebidas?
a) 71 b) 81
c) 69 d) 80 e) 91
12. Se aplicó una encuesta a 120 agricultores para
conocer la preferencia de sus siembras y resultó
que 40 cultivan arroz, 54 cultivan papa,
66 verduras, 23 arroz y papas, 16 arroz y
verduras, 28 papas y verduras y 7 arroz, papas y
verduras. ¿Cuántos agricultores se dedican a un
solo cultivo?
a) 66 b) 47
c) 32 d) 50 e) 60
13. El domingo se realizó una encuesta entre
50 familias para conocer el consumo promedio de
carne de pollo y de res. Los resultados arrojaron
que 21 compraban carne de pollo, 11 de res y
3 compraban pollo y res. ¿Cuántas familias no
compran pollo ni res?
a) 18 b) 19
c) 20 d) 21 e) 22
14. Se entrevistó a 100 ambulantes para saber qué
artículos vendían; los resultados fueron los
siguientes: 33 vendían zapatos, 48 ropa,
51 juguetes, 13 zapatos y ropa, 9 zapatos y
juguetes, 15 ropa y juguetes, 5 vendían estos tres
tipos de artículos y el resto otros. ¿Cuántos
vendían zapatos pero no ropa?
a) 18 b) 20
c) 28 d) 30 e) 32
15. En un salón de clases, se sabe que del total,
12 aprobaron matemática, 15 aprobaron lenguaje
y 5 ambos cursos. ¿Cuántos son el total?
a) 10 b) 20
c) 22 d) 30 e) 33
16. Una encuesta realizada a 100 personas para
determinar la ocupación, arrojó los siguientes
datos: 46 eran vendedores, 50 tenían distintos
trabajos, 18 eran vendedores y tenían otros
trabajos y los demás estaban en busca de trabajo.
¿Cuántos tenían ocupación y cuántos eran
desocupados?
a) 78 y 20 b) 78 y 22
c) 96 y 4 d) 96 y 22 e) 88 y 22
17. Se aplicó una encuesta a 80 madres de familia
sobre sus habilidades y se supo que 42 saben
costura, 45 repostería, 58 tejidos, 19 costura y
repostería, 26 costura y tejido, 30 repostería y
tejido y 10 las tres ocupaciones. ¿Cuántas sabrán
sólo dos especialidades?
a) 45 b) 18
c) 13 d) 20 e) 22
18. Si tenemos los siguientes conjuntos:
• A = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5}
• B = {2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}
• C = {1 ; 4 ; 6 ; 7}
Hallar: [(A – B) Ç (B – C)] È (C – A)
Dar como respuesta la suma de sus elementos.
a) 10 b) 13 c) 15
d) 17 e) 19
19. 70 deportistas participaron en 15 pruebas
atléticas, al final de las cuales, se observó lo
siguiente:
* 3 ganaron las medallas de oro, plata y bronce.
* 5 ganaron las medallas de oro y plata.
* 4 ganaron las medallas de oro y bronce.
* 7 ganaron las medallas de plata y bronce.
¿Cuántos deportistas no ganaron medalla
alguna?
a) 35 b) 36
c) 37 d) 38 e) 39
20. En una reunión social, donde el número de
personas que bailan y no bailan en un
determinado momento son iguales y la relación
de los hombres que no bailan y mujeres que no
bailan es de 2 a 3 en ese orden. Calcular la relación
del número de hombres y mujeres en dicha
reunión.
a) 9/11 b) 9/10
c) 2/3 d) 5/7 e) 8/5
TM
A
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28
26
Es una sucesión ordenada de números, letras o gráficos, en la que sus términos van escritos sucesivamente, los mismos que se forman a través de reglas válidas matemáticamente.Todos los términos de una serie dependen de una constante llamada razón que podrá determinarse por diferencia, cociente o cualquier ley que se establezca.
SERIES ARITMÉTICASSon aquellas cuya razón se obtiene por diferencia entre dos términos consecutivos de la sucesión.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número falta?
Ejemplo 4:Calcular: “x”
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
SERIES GEOMÉTRICASSon aquellas cuya razón se obtiene por cociente entre dos términos consecutivos de la sucesión.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número falta?
SERIES COMBINADAS Y ALTERNADASSeries en donde la razón se obtendrá por una combinación de operaciones, o por una intercalación de dos o más sucesiones, recordando que la razón de ser, se debe repetir 2 veces como mínimo.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 12 ; .......
– 3 ; – 1 ; 1 ; 15 ; 53 ; ........
+ ......
7 ; ; 17 ; 22......
1 ; 4 ; x ; 22 ; 37
\ x = . . . . x = . . . .
– 1 ; 1 ; 6 ; 14 ; ........
3 ; 6 ; 18 ; 72 ; 360 ; ........
729 ; 243 ; 81 ; ........
5 ; 5 ; 15 ; 75 ; ........
27
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8343
; ; ;..........
1 ; 2 ; ; 48 ; 384........
×2 ×a ×b ×8
Se deduce que: a × b = ...........
1 ; 2 ; 8 ; 48 ; 384
3 ; 5 ; 15 ; 17 ; 51 ; ........
3 ; 17 ; 6 ; 14 ; 10 ; 9 ; 15 ; 2 ; ........
5 ; 16 ; 49 ; ........
15
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SERIES
. . .. . .. . .. . .
. . .. . .. . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
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. . .. . .. . .
+ ......
. . .. . .. . .. . .
. . . . . . . . .
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. . . . . . . . . . . .
. . .. . .. . .
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. . .. . .. . .. . .. . .
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
SERIES NUMÉRICAS DIVERSASEn estos casos, la razón de ser de la serie, se encuentra por algunos detalles teóricos (como el conjunto de números primos, sucesión de Fibonacci...) O dando una forma adecuada a cada término de la sucesión en función de la posición que ocupa, como también buscando una característica común entre los términos.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
Analizando a detalle, encontramos que al sumar dos términos seguidos se obtendrá el siguiente (criterio llamado sucesión de Fibonacci).
5 ; 6 ; 9 ; 18 ; ........
13 ; 2 ; 5 ; 12 ; 6 ; 12 ; 11 ; 18 ; 19 ; ........
1 ; 4 ; 9 ; ........
¯2
1
¯2
2
¯2
3
¯
125 ; 64 ; 27 ; ........
¯3
5
¯3
4
¯3
3
¯3
2
2 ; 24 ; 252 ; ........
¯2
2 – 2
¯5
5 – 5
¯4
4 – 4
¯3
3 – 3
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ........
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ........
¿Qué número sigue o falta en cada caso?
01. 3 ; 22 ; 41 ; ...
a) 57 b) 62
c) 60 d) 72 e) 52
02. 100 ; 100 ; 99 ; 97 ; ...
a) 96 b) 95
c) 92 d) 87 e) 94
03. 2 ; – 1 ; – 4 ; ...
a) – 6 b) 6
c) – 5 d) – 7 e) – 8
04. ... 0 ; 0 ; 1 ; 4 ; 10
a) 12 b) 15
c) 20 d) 18 e) 16
05. 13 ; 8 ; 3 ; ...
a) 1 b) 0
c) – 4 d) – 2 e) 3
06. 16 ; 4 ; 1 ; ...
a) – 1 b) 0,5
c) 0,25 d) 0,125 e) – 4
NIVEL I
07. 13 ; 221 ; 3 757 ; ...
a) 68 369 b) 83 669
c) 63 869 d) 7 249 e) 72 469
08. 1 ; 1 ; 2 ; 6 ; ...
a) 18 b) 24
c) 48 d) 18 e) 12
09.
a) b)
c) d) e)
10. ... ; 1 ; 1 ; 2 ; 12 ; 288
a) 1/2 b) 1
c) 1/4 d) 1/6 e) 1/12
11. 1 ; 7 ; 10 ; 70 ; 73 ; ...
a) 501 b) 521
c) 511 d) 421 e) 243
12. 5 ; 4 ; 12 ; 11 ; 33 ; ...
a) 99 b) 123
c) 11 d) 35 e) 32
13. 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; ...
a) 24 b) 39
c) 28 d) 30 e) 57
14. 1/3 ; 1 ; 8 ; 104 ; ...
a) 2 204 b) 1 872
c) 416 d) 1 664 e) 832
15. 5 ; 14 ; 41 ; ...
a) 122 b) 123
c) 81 d) 82 e) 204
16. 25 ; 49 ; 81 ; ...
a) 100 b) 169
c) 129 d) 121 e) 91
17. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; ...
a) 24 b) 31
c) 29 d) 37 e) 28
18. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; ...
a) 13 b) 8
c) 10 d) 12 e) 19
19. 243 ; 432 ; 324 ; 243 ; 432 ; ...
a) 234 b) 324
c) 244 d) 327 e) 864
20. 97 ; 79 ; 86 ; 68 ; 32 ; ...
a) 14 b) 42
c) 16 d) 8 e) 23
NIVEL II
¿Qué número sigue o falta en cada caso?
01. 8 ; 7 ; 6 ; – 1 ; – 20 ; ...
a) – 57 b) – 42
c) – 40 d) – 38 e) – 60
02. 13 ; 7 ; 5 ; 7 ; ...
a) 13 b) 12
c) 5 d) 8 e) 17
03. – 298 ; x ; – 292 ; – 289 ; ...
a) – 290 b) – 291
c) – 297 d) – 295 e) – 296
04. 1 ; – 1 ; – 7 ; – 17 ; ...
a) – 29 b) – 26
c) – 31 d) – 32 e) – 37
05. 5 ; 26 ; 83 ; 194 ; 377 ; ...
a) 722 b) 904
c) 1 001 d) 1 216 e) 1 031
06.
a) b)
c) 2 d) e) 1
1
3 ;
1
18 ;
1
108 ; . . .
1
324
1
648
1
216
1
108
1
432
21
20;
3
5;
12
35; . . .
36
107
48
245
96
245
56 57
. . . . . . . . . . . .
. . .. . .. . .
. . . . . .
. . . . . . . . .
. . .. . .
........
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EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
SERIES NUMÉRICAS DIVERSASEn estos casos, la razón de ser de la serie, se encuentra por algunos detalles teóricos (como el conjunto de números primos, sucesión de Fibonacci...) O dando una forma adecuada a cada término de la sucesión en función de la posición que ocupa, como también buscando una característica común entre los términos.
Ejemplo 1:¿Qué número sigue?
Ejemplo 2:¿Qué número sigue?
Ejemplo 3:¿Qué número sigue?
Ejemplo 4:¿Qué número sigue?
Ejemplo 5:¿Qué número sigue?
Analizando a detalle, encontramos que al sumar dos términos seguidos se obtendrá el siguiente (criterio llamado sucesión de Fibonacci).
5 ; 6 ; 9 ; 18 ; ........
13 ; 2 ; 5 ; 12 ; 6 ; 12 ; 11 ; 18 ; 19 ; ........
1 ; 4 ; 9 ; ........
¯2
1
¯2
2
¯2
3
¯
125 ; 64 ; 27 ; ........
¯3
5
¯3
4
¯3
3
¯3
2
2 ; 24 ; 252 ; ........
¯2
2 – 2
¯5
5 – 5
¯4
4 – 4
¯3
3 – 3
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ........
2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; 21 ; ........
¿Qué número sigue o falta en cada caso?
01. 3 ; 22 ; 41 ; ...
a) 57 b) 62
c) 60 d) 72 e) 52
02. 100 ; 100 ; 99 ; 97 ; ...
a) 96 b) 95
c) 92 d) 87 e) 94
03. 2 ; – 1 ; – 4 ; ...
a) – 6 b) 6
c) – 5 d) – 7 e) – 8
04. ... 0 ; 0 ; 1 ; 4 ; 10
a) 12 b) 15
c) 20 d) 18 e) 16
05. 13 ; 8 ; 3 ; ...
a) 1 b) 0
c) – 4 d) – 2 e) 3
06. 16 ; 4 ; 1 ; ...
a) – 1 b) 0,5
c) 0,25 d) 0,125 e) – 4
NIVEL I
07. 13 ; 221 ; 3 757 ; ...
a) 68 369 b) 83 669
c) 63 869 d) 7 249 e) 72 469
08. 1 ; 1 ; 2 ; 6 ; ...
a) 18 b) 24
c) 48 d) 18 e) 12
09.
a) b)
c) d) e)
10. ... ; 1 ; 1 ; 2 ; 12 ; 288
a) 1/2 b) 1
c) 1/4 d) 1/6 e) 1/12
11. 1 ; 7 ; 10 ; 70 ; 73 ; ...
a) 501 b) 521
c) 511 d) 421 e) 243
12. 5 ; 4 ; 12 ; 11 ; 33 ; ...
a) 99 b) 123
c) 11 d) 35 e) 32
13. 5 ; 6 ; 7 ; 9 ; 15 ; ...
a) 24 b) 39
c) 28 d) 30 e) 57
14. 1/3 ; 1 ; 8 ; 104 ; ...
a) 2 204 b) 1 872
c) 416 d) 1 664 e) 832
15. 5 ; 14 ; 41 ; ...
a) 122 b) 123
c) 81 d) 82 e) 204
16. 25 ; 49 ; 81 ; ...
a) 100 b) 169
c) 129 d) 121 e) 91
17. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; ...
a) 24 b) 31
c) 29 d) 37 e) 28
18. 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; ...
a) 13 b) 8
c) 10 d) 12 e) 19
19. 243 ; 432 ; 324 ; 243 ; 432 ; ...
a) 234 b) 324
c) 244 d) 327 e) 864
20. 97 ; 79 ; 86 ; 68 ; 32 ; ...
a) 14 b) 42
c) 16 d) 8 e) 23
NIVEL II
¿Qué número sigue o falta en cada caso?
01. 8 ; 7 ; 6 ; – 1 ; – 20 ; ...
a) – 57 b) – 42
c) – 40 d) – 38 e) – 60
02. 13 ; 7 ; 5 ; 7 ; ...
a) 13 b) 12
c) 5 d) 8 e) 17
03. – 298 ; x ; – 292 ; – 289 ; ...
a) – 290 b) – 291
c) – 297 d) – 295 e) – 296
04. 1 ; – 1 ; – 7 ; – 17 ; ...
a) – 29 b) – 26
c) – 31 d) – 32 e) – 37
05. 5 ; 26 ; 83 ; 194 ; 377 ; ...
a) 722 b) 904
c) 1 001 d) 1 216 e) 1 031
06.
a) b)
c) 2 d) e) 1
1
3 ;
1
18 ;
1
108 ; . . .
1
324
1
648
1
216
1
108
1
432
21
20;
3
5;
12
35; . . .
36
107
48
245
96
245
56 57
. . . . . . . . . . . .
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EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
07. 7 ; 1 ; 1/7 ; ...
a) 1 b) 49
c) 1/49 d) 1/243 e) 7/2
08. 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 4 ; 48 ; ...
a) 96 b) 13 824
c) 12 244 d) 110 592 e) 2 304
09. 54 ; x ; 6 ; 2
a) 3 b) 12
c) 36 d) 18 e) 24
10. 1/3 ; ... ; 4 ; 20 ; 120
a) 1 b) 2
c) 3 d) 1/2 e) 1/9
11. 5 ; 8 ; 14 ; ...
a) 25 b) 32
c) 26 d) 42 e) 40
12. –1 ; 2 ; 5 ; ...
a) 14 b) 6
c) 16 d) 10 e) 8
13. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; ...
a) 12 b) 9
c) 13 d) 17 e) 19
14. – 10 ; 2 ; – 5 ; 1 ; 0 ; 0 ; 5 ; ...
a) – 1 b) – 20
c) 5 d) 20 e) 10
15. – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 16 ; ...
a) 120 b) 304
c) 87 d) 92 e) 1 024
16. 4 ; 2 ; 2 ; 4 ; 16 ...
a) 16 b) 256
c) 64 d) 128 e) 32
17. 4 ; 9 ; 25 ; 49 ; 121 ; 169 ; ...
a) 261 b) 289
c) 301 d) 323 e) 401
18.
a) 4/5 b) 2
c) 5/6 d) 6/5 e) 0,2
19.
a) b)
c) d) 1,8 e) 1
20. 28 547 ; 85 472 ; 54 728 ; 47 285 ; ...
a) 72 584 b) 78 524
c) 72 854 d) 28 574 e) 7 777
NIVEL III
01. – 7 ; – 7 ; x ; 8 ; 23 ; 43
a) 0 b) – 3
c) – 7 d) – 6 e) – 2
02.
a) 0,4 b) 0,2
c) 0,6 d) 0,75 e) 1
03. Calcular: “M – N”
1 ; N ; 14 ; 25 ; 39 ; M
a) 30 b) 40
c) 50 d) 42 e) 51
04. Hallar: “x”
2 ; 3 ; 6 ; x ; 18 ; 27
a) 8 b) 11
c) 13 d) 17 e) 12
05.
a) 1 b) 1,2
c) 3/2 d) 13/8 e) 11/8
06. 8 ; 10 ; 20 ; 18 ; 9 ; 11 ; ...
a) 20 b) 22
c) 28 d) 30 e) 32
3
4; 1 ;
9
8 ; . . .
1
8 ;
9
64 ;
25
512 ; . . .
49
2048
81
216
49
4096
7
5; 1 ; x ;
1
52 ;
15
8;
7
4; . . . . . .
07. 3,5 ; 1,75 ; 0,875 ; ...
a) 0,437 b) 0,435
c) 0,4375 d) 0,2755 e) 0,8655
08. 720 ; 360 ; ... ; 30 ; 6 ; 1
a) 180 b) 120
c) 60 d) 240 e) 90
09.
a) 2 b) 4
c) 0,4 d) 3 e) 1
10.
a) 7/3 b) 10/3
c) 5/3 d) 2/3 e) 1
11. Hallar: “x”
1 ; 4 ; x ; 40 ; 121
a) 15 b) 18
c) 17 d) 20 e) 13
y12. Calcular: (x ÷ z)
7 ; 64 ; 5 ; 10 ; 16 ; 6 ; 13 ; 4 ; 7 ; x ; y ; z
a) 2 b) 1
c) 8 d) 16 e) 2 048
13.
a) 3 b) 7
c) 9 d) 13 e) 5
14. 5 ; 6 ; 4 ; 12 ; 3 ; 8 ; 2 ; 14 ; 1 ; ...
a) 10 b) 10
c) 10 d) 11 e) 12
15. 932 ; 110 ; 17 ; 5 ; 2 ; ...
a) 1 b) – 7
c) 0 d) 2 e) – 91
16. (2 ; 1) ; (9 ; 8) ; (64 ; 81) ; (... ; 128)
a) 1 b) 49
c) 11 d) A o B e) A o C
17.
–1a) 2 b) 82
–1 –1 –1c) 81 d) 9 e) 63
18. 3 ; 12 ; 27 ; ...
a) 48 b) 63
c) 75 d) 192 e) 729
19. 2 ; 6 ; 12 ; ...
a) 18 b) 20
c) 48 d) 60 e) 240
20. 6 ; 24 ; 60 ; ...
a) 120 b) 240
c) 360 d) 720 e) 90
20 ; 10 ;1
x;
1
2;
1
12
2
3;
5
6;
10
9;
5
3; ......
-1
4;
1
2; 2 ; ......
3
4
3
4
1
4
1
4
1
81;
1
49;
1
25; ...
SERIES LITERALESSon sucesiones donde sus términos son letras del abecedario (no se consideran las compuestas “CH” y “LL”). Para su resolución se transforma la sucesión literal a una sucesión numérica, haciendo corresponder a cada letra el número que representa su posición.
Observación:
* Casi todas las sucesiones literales se resuelven haciendo corresponder a cada letra su posición.
* Otros criterios de resolución:
- Considerar a cada letra como la letra inicial de una palabra, que integra un conjunto de palabras universalmente conocidas.Ejemplo:
- Considerar todas las letras para formar una palabra.Ejemplo:
C D E F G H I
4 5 6 7 8 9
L M N Ñ O P Q
12 13 14 15 16 17 18
T U V W X Y Z
21 22 23 24 25 26 27
A B
1 2 3
J K
10 11
R S
19 20
E ; F ; M ; A ; . . .
Los meses del año
A ; M ; E ; T ; S ; I ; S
S I S T E M A
58 59
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
07. 7 ; 1 ; 1/7 ; ...
a) 1 b) 49
c) 1/49 d) 1/243 e) 7/2
08. 2 ; 2 ; 2 ; 2 ; 4 ; 48 ; ...
a) 96 b) 13 824
c) 12 244 d) 110 592 e) 2 304
09. 54 ; x ; 6 ; 2
a) 3 b) 12
c) 36 d) 18 e) 24
10. 1/3 ; ... ; 4 ; 20 ; 120
a) 1 b) 2
c) 3 d) 1/2 e) 1/9
11. 5 ; 8 ; 14 ; ...
a) 25 b) 32
c) 26 d) 42 e) 40
12. –1 ; 2 ; 5 ; ...
a) 14 b) 6
c) 16 d) 10 e) 8
13. 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; ...
a) 12 b) 9
c) 13 d) 17 e) 19
14. – 10 ; 2 ; – 5 ; 1 ; 0 ; 0 ; 5 ; ...
a) – 1 b) – 20
c) 5 d) 20 e) 10
15. – 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 4 ; 16 ; ...
a) 120 b) 304
c) 87 d) 92 e) 1 024
16. 4 ; 2 ; 2 ; 4 ; 16 ...
a) 16 b) 256
c) 64 d) 128 e) 32
17. 4 ; 9 ; 25 ; 49 ; 121 ; 169 ; ...
a) 261 b) 289
c) 301 d) 323 e) 401
18.
a) 4/5 b) 2
c) 5/6 d) 6/5 e) 0,2
19.
a) b)
c) d) 1,8 e) 1
20. 28 547 ; 85 472 ; 54 728 ; 47 285 ; ...
a) 72 584 b) 78 524
c) 72 854 d) 28 574 e) 7 777
NIVEL III
01. – 7 ; – 7 ; x ; 8 ; 23 ; 43
a) 0 b) – 3
c) – 7 d) – 6 e) – 2
02.
a) 0,4 b) 0,2
c) 0,6 d) 0,75 e) 1
03. Calcular: “M – N”
1 ; N ; 14 ; 25 ; 39 ; M
a) 30 b) 40
c) 50 d) 42 e) 51
04. Hallar: “x”
2 ; 3 ; 6 ; x ; 18 ; 27
a) 8 b) 11
c) 13 d) 17 e) 12
05.
a) 1 b) 1,2
c) 3/2 d) 13/8 e) 11/8
06. 8 ; 10 ; 20 ; 18 ; 9 ; 11 ; ...
a) 20 b) 22
c) 28 d) 30 e) 32
3
4; 1 ;
9
8 ; . . .
1
8 ;
9
64 ;
25
512 ; . . .
49
2048
81
216
49
4096
7
5; 1 ; x ;
1
52 ;
15
8;
7
4; . . . . . .
07. 3,5 ; 1,75 ; 0,875 ; ...
a) 0,437 b) 0,435
c) 0,4375 d) 0,2755 e) 0,8655
08. 720 ; 360 ; ... ; 30 ; 6 ; 1
a) 180 b) 120
c) 60 d) 240 e) 90
09.
a) 2 b) 4
c) 0,4 d) 3 e) 1
10.
a) 7/3 b) 10/3
c) 5/3 d) 2/3 e) 1
11. Hallar: “x”
1 ; 4 ; x ; 40 ; 121
a) 15 b) 18
c) 17 d) 20 e) 13
y12. Calcular: (x ÷ z)
7 ; 64 ; 5 ; 10 ; 16 ; 6 ; 13 ; 4 ; 7 ; x ; y ; z
a) 2 b) 1
c) 8 d) 16 e) 2 048
13.
a) 3 b) 7
c) 9 d) 13 e) 5
14. 5 ; 6 ; 4 ; 12 ; 3 ; 8 ; 2 ; 14 ; 1 ; ...
a) 10 b) 10
c) 10 d) 11 e) 12
15. 932 ; 110 ; 17 ; 5 ; 2 ; ...
a) 1 b) – 7
c) 0 d) 2 e) – 91
16. (2 ; 1) ; (9 ; 8) ; (64 ; 81) ; (... ; 128)
a) 1 b) 49
c) 11 d) A o B e) A o C
17.
–1a) 2 b) 82
–1 –1 –1c) 81 d) 9 e) 63
18. 3 ; 12 ; 27 ; ...
a) 48 b) 63
c) 75 d) 192 e) 729
19. 2 ; 6 ; 12 ; ...
a) 18 b) 20
c) 48 d) 60 e) 240
20. 6 ; 24 ; 60 ; ...
a) 120 b) 240
c) 360 d) 720 e) 90
20 ; 10 ;1
x;
1
2;
1
12
2
3;
5
6;
10
9;
5
3; ......
-1
4;
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2; 2 ; ......
3
4
3
4
1
4
1
4
1
81;
1
49;
1
25; ...
SERIES LITERALESSon sucesiones donde sus términos son letras del abecedario (no se consideran las compuestas “CH” y “LL”). Para su resolución se transforma la sucesión literal a una sucesión numérica, haciendo corresponder a cada letra el número que representa su posición.
Observación:
* Casi todas las sucesiones literales se resuelven haciendo corresponder a cada letra su posición.
* Otros criterios de resolución:
- Considerar a cada letra como la letra inicial de una palabra, que integra un conjunto de palabras universalmente conocidas.Ejemplo:
- Considerar todas las letras para formar una palabra.Ejemplo:
C D E F G H I
4 5 6 7 8 9
L M N Ñ O P Q
12 13 14 15 16 17 18
T U V W X Y Z
21 22 23 24 25 26 27
A B
1 2 3
J K
10 11
R S
19 20
E ; F ; M ; A ; . . .
Los meses del año
A ; M ; E ; T ; S ; I ; S
S I S T E M A
58 59
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
SERIES ALFA - NUMÉRICASSon sucesiones en las que se combinan números con letras.
Ejemplo:
03. ¿Qué letra sigue?D ; F ; J ; O ; . . .
a) V b) Xc) Z d) Y e) W
Resolución:
Rpta.: “......”
04. ¿Qué letra falta?E ; T ; N ; A ; S ; E ; ... ; G ; N ; I
a) L b) Oc) U d) R e) E
Resolución:
Rpta.: “......”
M V T M J S1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21 ; . . .
Planetas
Z ; I ; C ; . . .
¯
27
¯
9
¯
3
¯
1
Q ; O ; M ; I ; . . .
¯
18
¯
16
¯
13
¯
9
¯
4
D ; F ; J ; O ; . . .
E ; T ; N ; A ; S ; E ; R ; G ; N ; I
I N G R E S A N T E
* ¿Qué letra sigue o falta en cada caso? a) R b) S
c) T d) W e) Y
10. A ; A ; F ; B ; J ; D ; M ; G ; Ñ ; ...
a) L b) Ñ
c) P d) K e) I
11.
a) b)
NIVEL I
c) d) e)
12. E ; L ; F ; M ; M ; M ; ...
a) A ; J b) L ; X
c) P ; Q d) J ; A e) F ; P
13. A ; D ; H ; M ; R ; ...
a) V b) X
c) Y d) T e) U
14. Hallar: “x”10 18 29 45 68 x
a ; b ; c ; d ; e ; f
a) 90 b) 80
c) 100 d) 120 e) 124
15. ¿Qué letra falta?
A ; D ; H ; M ; ... ; Y
a) Z b) P
c) R d) X e) W
16. ¿Qué letra sigue?
C ; A ; D ; B ; E ; C ; ...
a) F ; E b) E ; F
c) D ; F d) F ; D e) G ; H
17. ¿Qué letra sigue?
M ; O ; R ; U ; ...
a) V b) S
c) T d) K e) X
18. ¿Qué letra sigue?
Z ; X ; U ; Q ; M ; ...
a) H b) K
c) L d) G e) J
19. ¿Qué letra sigue?
P ; R ; T ; V ; ...
a) X b) Y
c) W d) Z e) I
20. ¿Qué letra sigue?
L ; M ; M ; J ; V ; ...
a) D b) M
c) J d) S e) L
¿Qué letra sigue o falta en cada caso?
01. A ; D ; H ; M ; ...
a) P b) Q
c) R d) S e) T
02. E ; H ; L ; P ; ...
a) V b) Y
c) Z d) R e) J
03. CF ; FK ; JO ; ÑT ; ...
a) TX b) UZ
c) TY d) SY e) UX
04. A ; A ; B ; ... ; W
a) C b) E
c) F d) P e) N
05. B ; ... ; O ; V
a) E b) I
NIVEL II
c) A d) O e) N
06. V ; R ; P ; M ; K ; G ; E ; ...
a) C b) D
c) A d) H e) E
07. A ; C ; ... ; T ; A ; M ; E ; T ; A ; M
a) A b) O
c) I d) E e) T
08. P ; 3 ; S ; 6 ; T ; 18 ; C ; 36 ; Q ; 108 ; ... ; ...
a) S ; 324 b) 216 ; S
c) Q ; 216 d) S ; 216 e) S ; 224
09. M ; 3 ; M ; 9 ; J ; 27 ; V ; 81 ; S ; 243 ; ... ; ...
a) D ; 343 b) D ; 729
c) S ; 81 d) V ; 27 e) J ; 243
5 8 14 2310. B ; D ; F ; H ; ...
35 35a) J b) I
33 33 36c) K d) J e) L
11. A ; D ; F ; I ; K ; N ; O ; ...
a) R b) D
M
5;
Ñ
2;
Q
9;
U
16; . . .
- - -
Y
23-
W
23-
X
24-
Z
25-
Z
23-
60 61
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PARA LA clase
01. ¿Qué letra sigue?Z ; I ; C ; . . .
a) B b) Cc) A d) F e) W
Resolución:
Rpta.: “......”
02. ¿Qué letra sigue?Q ; O ; M ; I ; . . .
a) D b) Ec) C d) B e) F
Resolución:
Rpta.: “......”
. . . . . . . . .
. . .. . .. . .. . .
. . . . . . . . . . . .
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
SERIES ALFA - NUMÉRICASSon sucesiones en las que se combinan números con letras.
Ejemplo:
03. ¿Qué letra sigue?D ; F ; J ; O ; . . .
a) V b) Xc) Z d) Y e) W
Resolución:
Rpta.: “......”
04. ¿Qué letra falta?E ; T ; N ; A ; S ; E ; ... ; G ; N ; I
a) L b) Oc) U d) R e) E
Resolución:
Rpta.: “......”
M V T M J S1 ; 5 ; 9 ; 13 ; 17 ; 21 ; . . .
Planetas
Z ; I ; C ; . . .
¯
27
¯
9
¯
3
¯
1
Q ; O ; M ; I ; . . .
¯
18
¯
16
¯
13
¯
9
¯
4
D ; F ; J ; O ; . . .
E ; T ; N ; A ; S ; E ; R ; G ; N ; I
I N G R E S A N T E
* ¿Qué letra sigue o falta en cada caso? a) R b) S
c) T d) W e) Y
10. A ; A ; F ; B ; J ; D ; M ; G ; Ñ ; ...
a) L b) Ñ
c) P d) K e) I
11.
a) b)
NIVEL I
c) d) e)
12. E ; L ; F ; M ; M ; M ; ...
a) A ; J b) L ; X
c) P ; Q d) J ; A e) F ; P
13. A ; D ; H ; M ; R ; ...
a) V b) X
c) Y d) T e) U
14. Hallar: “x”10 18 29 45 68 x
a ; b ; c ; d ; e ; f
a) 90 b) 80
c) 100 d) 120 e) 124
15. ¿Qué letra falta?
A ; D ; H ; M ; ... ; Y
a) Z b) P
c) R d) X e) W
16. ¿Qué letra sigue?
C ; A ; D ; B ; E ; C ; ...
a) F ; E b) E ; F
c) D ; F d) F ; D e) G ; H
17. ¿Qué letra sigue?
M ; O ; R ; U ; ...
a) V b) S
c) T d) K e) X
18. ¿Qué letra sigue?
Z ; X ; U ; Q ; M ; ...
a) H b) K
c) L d) G e) J
19. ¿Qué letra sigue?
P ; R ; T ; V ; ...
a) X b) Y
c) W d) Z e) I
20. ¿Qué letra sigue?
L ; M ; M ; J ; V ; ...
a) D b) M
c) J d) S e) L
¿Qué letra sigue o falta en cada caso?
01. A ; D ; H ; M ; ...
a) P b) Q
c) R d) S e) T
02. E ; H ; L ; P ; ...
a) V b) Y
c) Z d) R e) J
03. CF ; FK ; JO ; ÑT ; ...
a) TX b) UZ
c) TY d) SY e) UX
04. A ; A ; B ; ... ; W
a) C b) E
c) F d) P e) N
05. B ; ... ; O ; V
a) E b) I
NIVEL II
c) A d) O e) N
06. V ; R ; P ; M ; K ; G ; E ; ...
a) C b) D
c) A d) H e) E
07. A ; C ; ... ; T ; A ; M ; E ; T ; A ; M
a) A b) O
c) I d) E e) T
08. P ; 3 ; S ; 6 ; T ; 18 ; C ; 36 ; Q ; 108 ; ... ; ...
a) S ; 324 b) 216 ; S
c) Q ; 216 d) S ; 216 e) S ; 224
09. M ; 3 ; M ; 9 ; J ; 27 ; V ; 81 ; S ; 243 ; ... ; ...
a) D ; 343 b) D ; 729
c) S ; 81 d) V ; 27 e) J ; 243
5 8 14 2310. B ; D ; F ; H ; ...
35 35a) J b) I
33 33 36c) K d) J e) L
11. A ; D ; F ; I ; K ; N ; O ; ...
a) R b) D
M
5;
Ñ
2;
Q
9;
U
16; . . .
- - -
Y
23-
W
23-
X
24-
Z
25-
Z
23-
60 61
EJERCICIOS RESUELTOS
EJERCICIOS PARA LA clase
01. ¿Qué letra sigue?Z ; I ; C ; . . .
a) B b) Cc) A d) F e) W
Resolución:
Rpta.: “......”
02. ¿Qué letra sigue?Q ; O ; M ; I ; . . .
a) D b) Ec) C d) B e) F
Resolución:
Rpta.: “......”
. . . . . . . . .
. . .. . .. . .. . .
. . . . . . . . . . . .
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
c) P d) Q e) G
12. J ; N ; P ; T ; ...
a) U b) X
c) V d) W e) Y
13. CDE ; DGI ; EJM ; FMP ; ...
a) HOT b) COT
c) GOT d) CTO e) OTC
14. J ; L ; H ; J ; F ; H ; ... ; ...
a) J ; H b) J ; F
c) D ; H d) D ; F e) H ; F
15. ABC ; BDF ; CFI ; DHL ; EJÑ ; ...
a) EIN b) FKO
c) EJL d) FLQ e) EKL
16. B ; A ; F ; E ; J ; L ; ... ; ...
a) O ; N b) N ; M
c) M ; O d) L ; U e) M ; U
17. 3 ; B ; 6 ; D ; 9 ; G ; ...
a) 9 ; B b) 10 ; L
c) 8 ; M d) 12 ; K e) 14 ; R
18. A ; D ; F ; H ; ... ; L
a) I b) J
c) K d) M e) F
19. 4D ; 8H ; 12L ; 16O ; ...
a) 20I b) 20S
c) 20P d) 20D e) 20R
20. W ; T ; R ; O ; N ; ...
a) M b) J
c) Ñ d) L e) K
SERIES GRÁFICASSon sucesiones cuyos términos son figuras, donde la razón la obtendremos ya sea por giros, cantidad de partes, superposiciones, adición de figuras, etc.
Ejemplo 1:¿Qué figura sigue?
a) b)
c) d) e)
Resolución:Deducimos que la cantidad de líneas está aumentando de dos en dos, es decir, hay:
Rpta.: “c”
Ejemplo 2:¿Qué figura sigue?
a) b)
c) d) e)
Resolución:Considerando la rotación de la flecha, y la manera cómo aumenta el número de líneas pequeñas, se obtendrá la alternativa “c”.
Rpta.: “c”
; ; ; ; ...
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ¬ Este es el número de líneas de la figura que sigue.
Líneas
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
10.
a) b)
c) d) e)
NIVEL I
; ; ; ; ...;
¿Qué figura sigue en cada serie gráfica?
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
62 63
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
c) P d) Q e) G
12. J ; N ; P ; T ; ...
a) U b) X
c) V d) W e) Y
13. CDE ; DGI ; EJM ; FMP ; ...
a) HOT b) COT
c) GOT d) CTO e) OTC
14. J ; L ; H ; J ; F ; H ; ... ; ...
a) J ; H b) J ; F
c) D ; H d) D ; F e) H ; F
15. ABC ; BDF ; CFI ; DHL ; EJÑ ; ...
a) EIN b) FKO
c) EJL d) FLQ e) EKL
16. B ; A ; F ; E ; J ; L ; ... ; ...
a) O ; N b) N ; M
c) M ; O d) L ; U e) M ; U
17. 3 ; B ; 6 ; D ; 9 ; G ; ...
a) 9 ; B b) 10 ; L
c) 8 ; M d) 12 ; K e) 14 ; R
18. A ; D ; F ; H ; ... ; L
a) I b) J
c) K d) M e) F
19. 4D ; 8H ; 12L ; 16O ; ...
a) 20I b) 20S
c) 20P d) 20D e) 20R
20. W ; T ; R ; O ; N ; ...
a) M b) J
c) Ñ d) L e) K
SERIES GRÁFICASSon sucesiones cuyos términos son figuras, donde la razón la obtendremos ya sea por giros, cantidad de partes, superposiciones, adición de figuras, etc.
Ejemplo 1:¿Qué figura sigue?
a) b)
c) d) e)
Resolución:Deducimos que la cantidad de líneas está aumentando de dos en dos, es decir, hay:
Rpta.: “c”
Ejemplo 2:¿Qué figura sigue?
a) b)
c) d) e)
Resolución:Considerando la rotación de la flecha, y la manera cómo aumenta el número de líneas pequeñas, se obtendrá la alternativa “c”.
Rpta.: “c”
; ; ; ; ...
3 ; 5 ; 7 ; 9 ; 11 ¬ Este es el número de líneas de la figura que sigue.
Líneas
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
10.
a) b)
c) d) e)
NIVEL I
; ; ; ; ...;
¿Qué figura sigue en cada serie gráfica?
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
62 63
EJERCICIOS PARA LA clase
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11.
a) b)
c) d) e)
12.
a) b)
c) d) e)
13.
a) b)
c) d) e)
14.
a) b)
c) d) e)
15.
a) b)
c) d) e)
16.
a) b)
c) d) e)
17.
a) b)
c) d) e)
18.
a) b)
c) d) e)
19.
a) b)
c) d) e)
20.
a) b)
c) d) e)
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
10.
a) b)
c) d) e)
NIVEL II
Indicar la figura que sigue:
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ;;
; ;;
?
?
64 65
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11.
a) b)
c) d) e)
12.
a) b)
c) d) e)
13.
a) b)
c) d) e)
14.
a) b)
c) d) e)
15.
a) b)
c) d) e)
16.
a) b)
c) d) e)
17.
a) b)
c) d) e)
18.
a) b)
c) d) e)
19.
a) b)
c) d) e)
20.
a) b)
c) d) e)
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
10.
a) b)
c) d) e)
NIVEL II
Indicar la figura que sigue:
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ;;
; ;;
?
?
64 65
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11.
a) b)
c) d) e)
12.
a) b)
c) d) e)
13.
a) b)
c) d) e)
14.
a) b)
c) d) e)
15.
a) b)
c) d) e)
16.
a) b)
c) d) e)
17.
a) b)
c) d) e)
18.
a) b)
c) d) e)
19.
a) b)
c) d) e)
20.
a) b)
c) d) e)
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ; ...;
; ; ?;
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
NIVEL III
Indicar la figura que sigue:
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ...;
; ; ; ...;
?
?
?
?
; ; ;; ?
66 67
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
11.
a) b)
c) d) e)
12.
a) b)
c) d) e)
13.
a) b)
c) d) e)
14.
a) b)
c) d) e)
15.
a) b)
c) d) e)
16.
a) b)
c) d) e)
17.
a) b)
c) d) e)
18.
a) b)
c) d) e)
19.
a) b)
c) d) e)
20.
a) b)
c) d) e)
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ; ...;
; ; ?;
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ; ...;
; ; ; ; ...;
01.
a) b)
c) d) e)
02.
a) b)
c) d) e)
03.
a) b)
c) d) e)
04.
a) b)
c) d) e)
05.
a) b)
c) d) e)
06.
a) b)
c) d) e)
07.
a) b)
c) d) e)
08.
a) b)
c) d) e)
09.
a) b)
c) d) e)
NIVEL III
Indicar la figura que sigue:
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ...;
; ; ; ?;
; ; ;;
; ; ...;
; ; ; ...;
?
?
?
?
; ; ;; ?
66 67
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado
10.
a) b)
c) d) e)
11.
a) b)
c) d) e)
12.
a) b)
c) d) e)
13.
a) b)
c) d) e)
14.
a) b)
c) d) e)
15.
a) b)
c) d) e)
16.
a) b)
c) d) e)
17.
a) b)
c) d) e)
18.
a) b)
c) d) e)
; ; ...;
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; ;;
; ; ;;
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?
?
68
; ...;;;
Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado Razonamiento Matemático - 6° GradoRazonamiento Matemático - 6° Grado