Razonamiento Logico

UNIVERSIDAD N ACION AL J O R G E B AS A D R E G R O H M A N N CENTRO PREUNIVERSITARIO

Razonamiento LgicoLic. Jorge Lozano Cervera

TACNA - PERU

Universidad Nacional Jorge Basadre Grohmann

Lgica

I. LA LGICA PROPOSICIONALLa lgica proposicional tambin llamada simblica o matemtica, es aquella parte de la lgica que estudia las proposiciones y smbolos utilizados en la formacin de nuevas proposiciones que podrn ser verdaderas o falsas, sealadas por reglas formales. 1.1. TABLAS DE VERDAD DE LAS OPERACIONES LGICAS La validez de una proposicin se puede demostrar mediante las siguientes tablas: Sean: p y q: dos proposiciones Negacin: p V F ~p F V Conjuncin: p V V F F q V F V F pq V F F F

Disyuncin (Debil) p V V F F Condicional: p V V F F q V F V F P q V F V V q V F V F pq V V V F

Disyuncin (Fuerte) p V V F F Bicondicional: p V V F F q V F V F Pq V F F V q V F V F pq F V V F

Centro Pre Universitario

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1.2. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Si la proposicin: (p ~q) (en ese orden es: a) FVVV (r ~s) es falsa, el valor de verdad de: q, p, r, s e) VVVF ~s) F F (r ~s) F V FF rV ~s F sV

b) VFVV c) VVFF

d) FVFF (r F

Del enunciado tenemos: (p ~q) V VV V pV ~q V qF Respuesta: a) FVVV

(p ~q) V

2. De la falsedad de la proposicin: (p verdad de los esquemas moleculares: i. (~p ~q) ~q ii. (~r q) [(~q r) s ] iii. (p q) [(p q) ~q] Son respectivamente a) VFV b) FFF c) VVV (p

~q) (~r

s) se deduce que el valor de

d) FFV

e) N.A.

Del enunciado tenemos: (p ~q) F V F F pV ~q F qV De las alternativas se obtiene: i. (~p ~q) ~q (~V ~V) ~V ( F F) F F F F

~q) (~r s) F F F F (~r V s) F FF

~r V rF sF

ii.

(~r q) [(~q r) s ] (~F V) [(~V F) F ] ( V V) [( F F) F ] (V) [( F) F ] (V) [F ] F 3



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iii.

(p q) [(p q) ~q] (V V) [(V V) ~V] (V) [(V) F] (V) [F] F

Respuesta: a) FFF

3. Si: s y la proposicin: s ~(p q) son verdaderas, indique los valores de verdad de las siguientes expresiones: i. ~(p ~q) ii. (p q) ~ s iii. s (q p) a) VVV b) VFV c) VVF sV d) FFV e) FFF s V ~(p q) V V V ~(p q) V ~ F V (p q) F (F F) V pF i. ~(p ~q) ~(F ~F) ~(F V) ~ (F) V Respuesta: a) VVV ii. (p q) ~ s (F F) ~V (V) F V iii. qF s (q p) V (F F) V (V) V

Del enunciado se tiene:

4. Si: p # q = VVFV. Entonces: p # (p # q) equivale a: a) p q b) p q c) p d) q e) p q

Construyendo la tabla de verdad a travs del enunciado tenemos: p V V F F q V F V F p#q V V F V p # (p # q) V V V V V V F V F F F V pq V V V F pq V F F F p q V F V V

Respuesta: a) p q 4



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5. Si el esquema: [(p ~ q) (r [(w (p q )] (r s) p a) V b) F c) w

s)] d) r

(~s

r) es falsa, reducir: e) w p

Del enunciado se tiene: [(p ~ q) (r V [(p ~ q) (r s)] V V V V (p ~ q) V (V ~V) V pV ~qV qF Al reducir el esquema (r (V (F s) V V) V F) V s)] (~s r) F F F (~s (V r) F F) F

~s V sF rF

[(w (p q )] ( r s ) p [(w (V F )] (F F) V [(w ( F ) ] ( V ) V [(w ( F ) ] ( V ) V [ w ] V V Si w = F [ F ] V V F V F

Si w = V [ V ] V V V V V

En ambos casos el valor obtenido es el mismo valor dado a w Respuesta: c) w 6. Si: v(p) = V, q y r dos proposiciones cualesquiera. Hallar el valor de verdad de: i. ~ q (~p ~q) ii. [(r ~ p) (q p)] r iii. [(q (p q))] (q ~p). a) VVF b) VFF c) FVF d) FFF e) VVV. 5



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Del enunciado se tiene: i. ~q ~q ~q si (~p ~q) (~V ~q) (F ~q) q=V ~V F F V si q=F ~F V V V iii. [(q (p q))] (q ~p) [(q (V q))] (q ~V) [(q (q) ) ] (q F) [(V)] (F ) F (F ~F) (F V) (V) (F ~V) (F F) (F) ii. [(r ~ p) (q p)] r [(r ~ V) (q V)] r [ (r F) (V) ] r [ (r) (V) ] r [ r ] r Si r = V [V] Si r = F [F] V=V F=V

Respuesta: a) VVF

1.3. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Sean las proposiciones: p: 23 + 32 = 17 q: 62 = 36 r: 32 + 43 > 5 Los valores de verdad de los siguientes esquemas moleculares: pq r (p r) q p (q r) Son respectivamente a) FFV b) VVF 2. Sea: ~ [(A ~B) c) VVV (C D)] d) FVF e) FFF

Verdadera. Luego:

i. ~ (A ~B) C ii. ~ (A ~B ) ~ (~C ~D) iii. (~A C) (B ~C) Centro Pre Universitario 6


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iv. (A B) ~C v. (~A ~B) ~C. Son verdaderas: a) i, ii, iii 3. Si: ~[(p q r) a) VFVF b) ii, iii, iv s] c) ii, iii, v d) i, iii, v e) N.A.

(~ p s) es falso. Seale el valor de: p, q, r y s. c) VFFV d) VVFF e) FVVF

b) VVVF

4. Sabiendo que la proposicin p es verdadera, En cules de los siguientes casos es suficiente dicha informacin para determinar el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. (p q) (~p ~q) ii. (p q) (p r) iii. (p q) r a) slo i b) slo ii c) i, ii d) i, iii e) todas

5. Si (~p ~r) (r q) es falsa, y las proposiciones s y t tienen valores de verdad desconocido, cules de las siguientes proposiciones son verdaderas? i. (p s) q ii. (t q) p iii. (s t) r a) Slo i b) Slo ii c) i, ii d) ii, iii e) Ninguna (q s) es falsa.

6. Sean las proposiciones: p, q, r, s, x, y. Si la proposicin: (p r) Determinar los valores de verdad: i. ii. iii. iv. p[x(rs)] (qry) s (q x) (ys) ( s x ) ( y ~r ) b) VVFF c) VFFF d) FVVF

a) VFFV

e) N.A.


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7. Sabiendo que la proposicin p es verdadera. En cuales de los siguientes casos, es suficiente dicha informacin para determinar el valor de verdad de las proposiciones i. (p q) (~p ~q) ii. (p q) ( p r s) iii. (p q) r a) solo i b) solo ii c) solo i, ii d) Solo ii, iii e) en i, ii, iii

8. Los valores de verdad de las siguientes proposiciones: i. ii. iii. iv. (3 + 5 = 8) (5 - 3 = 4) (3 - 5 = 8) (1 - 7 = 6) (3 + 8 = 11) (7 4 > 1) (4 + 6 = 9) (5 - 2 = 4)

Son respectivamente: a) VVVV b) VVFV c) VVFF d) VFVF e) N.A.

9. Si se sabe que: (p q) y (q son verdaderas? i. ( ~p t ) s ii. ~ [p ( ~q ~p ) ] iii. ~p (q ~t) a) solo i 10. Si: p * q = (-p q) i. ( p * q ) q ii. ~ ( p * q ) p iii. ( p * q ) ( q * p ) a) VFV b) VFF b) solo iii p.

t) son falsas. Cules de las siguientes proposiciones

c) solo iii

d) Todos

e) N.A.

Seale el valor de verdad de:

c) FFV

d) FFF

e) VVV

11. Si: { ( ~p q ) [( p i. p q ii. t q Centro Pre Universitario

q ) t]} q, es verdadero. Hallar el valor de:

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iii. ~q ( t p ) a) VFV 12. Si: [(r s) b) VVF t ] [r (s c) FFV t)] d) FVF e) VVV.

es falso. Seale la verdad o falsedad de:

i. (r s) (s t) ii. (r s) (t s) iii. [(r s) t] [r (s t)] a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FVF.


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II. LOS PRINCIPIOS LGICOS Y LEYES LGICASSon esquemas tautolgicos, es decir, son frmulas formalmente verdaderas, ya que estn en funcin al orden de sus componentes y no a los valores de los mismos, constituyndose una de ellas en instrumentos para el anlisis de inferencias (formas inferenciales) y otras se sustituyen por sus equivalentes (formas de equivalencias). Un principio lgico es el fundamento de toda verdad lgica (tautologas). Aqu se ubican los principios clsicos. En cambio una frmula es una ley lgica si y solo si cualquiera sea la interpretacin formalmente correcta que se haga de la misma se obtiene como resultado una verdad lgica, mientras que la regla lgica es una forma vlida de razonamiento cuyo objetivo es la operatividad, permitiendo efectuar operaciones para transformar una formula o derivar una consecuencia lgica. 2.1. PRINCIPIOS LGICOS CLSICOS 1. El principio de identidad: 2. El principio de no-contradiccin: 3. El tercio excluido: pp; pp ~(p ~p) p ~p

2.2. LEYES EQUIVALENTES O EQUIVALENCIAS NOTABLES: Permiten transformar y simplificar formulas lgicas: 4. Ley de Involucin (doble negacin): ~(~p) p 5. La idempotencia: 6. Leyes conmutativas: a) b) a) b) c) a) b) c) a) b) c) d) p p p; p p p; pqqp pqqp ppqp (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r p (q r) r (p q) (r q) (r q) r (p q) (r p) (r q) p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r) 10

7. Leyes asociativas:

8. Leyes distributivas:



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9. Leyes de Morgan 10. Leyes del Condicional 11. Leyes del Bicondicional 12. Leyes de la Absorcin

a) b)

~ (p q) (~p ~q) ~ (p q) (~p ~q)

a) p q ~p q b) ~ (p q) p ~q a) b) a) b) c) d) a) b) p q (p q) (q p) p q (p q) (~p ~q) p (p q) p p (~p q) p q p (p q) p p (~p q) p q (p q) (~q ~p) p q (~q ~p)

13. Leyes de Transposicin 14. Ley de Exportacin

(p q) r p (q r) V P P; F P P; FPF VPV

15. Formas normales: Para la Conjuncin: V V V; Para la Disyuncin: F F F;

16. Elementos Neutros para la Contradiccin y Tautologa: P C = C; C T = T; P T = T; CT=C donde: T= Tautologa (Verdad), C = Contradiccin (Falso), P = Esquema Molecular Cualquiera

2.3. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Simplificar el esquema: [( ~p q) a) ~p q b) ~ p c) p ~q (s ~s)] ~q d) ~q e) N.A.

Del enunciado tenemos:

[ ( ~p q) (s ~s) ] ~q [ ( ~p q) ( F ) ] ~q [~( ~p q) ( F ) ] ~q [ (p ~q) ( F ) ] ~q [ (p ~q) ] ~q ~q

Respuesta: d) ~q Centro Pre Universitario 11


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2. Simplificar: ~ [ ~ ( ~ p q) a) p ~q b) p q c) p

p] q d) ~q e) q


~ [ ~ ( ~ p q) p] q ~ [ ~ {~ ( ~ p q)} p] q ~ [ ( ~ p q) p] q ~ [ (~ p p) q] q ~ [ ( V ) q] q ~[ V ]q Fq q

Respuesta: e) q 3. Si se define p q, por la tabla p q pq V V V V F V F V F F F V Simplificar: (p q) q a) ~p b) ~q c) p ~q d) V e) p q

Del enunciado construimos la tabla de verdad: p V V F F q V F V F pq V V F V (p q) V V V V F F V V q V F V F p ~q V V F V

Respuesta: c) p ~q

4. Si se define p q, por la tabla p V V F F q V F V F pq F V F V p e) p q 12

Simplificar: (p ~q) (~p q) a) ~p b) ~ q c) p d) V



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Del enunciado construimos la tabla de verdad: p V V F F q V F V F pq F V F V (p ~q) (~p q) V V F F V V V V F F V V p V V F F p V V F F

Respuesta: c) p

5. Se define: p q = (p ~q) (q ~p) Simplificar: [(~p q) q] [p (q p)] a) p b) q c) ~p d) V e) F

Del enunciado tenemos: [ (~p q) q ] [ p (q p) ] [{(~p ~q) (q p)} q ] [ p {( q ~p) (p ~q)} ] [{~(p q) (q p)} q ] [ p {~ (~q p) (p ~q)} ] [{ V } q ] [ p { V } ] [~{ V } q ] [~p { V } ] [ F q ] [~p V ] [q] [V] ~qV V 6. Se define: * , en la tabla siguiente: p V V F F q V F V F pq F V V V p*q F F F V

Respuesta: d) V

Simplificar: [(p ~q) * p] (q ~p) a) p b) q c) p ~q d) p q e) p ~p

Del enunciado construimos la tabla de verdad: p V V F F q V F V F [(p ~q) * p] (q ~p) V F F V F F F V V F F F V F F V p ~p F F F F

Respuesta: e) p ~p 13



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2.4. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. :Simplificar el esquema: [(p ~q) (q a) p q b) p q c) p p) r] p d) ~q (~p r )] } d) ~p e) q e) q

2. Simplificar el esquema: p {q [p a) p ~q b) p q c) p

3. Si se define p # q, por la tabla p V V F F q V F V F p#q F V F F

Simplificar: {(~p#q) # ~q} # {(p#q) #~p} a) ~p b) F c) p ~q d) V e) p q

4. Si se define p q, por la tabla p V V F F q V F V F pq V V F V (q p)} d) p q e) p q

Simplificar: M = {[(~p q) p] a) ~p b) ~ q

c) p q

5. Definimos p # q como una operacin verdadera si p es falsa y q verdadera, y como falsa en todos los casos restantes. Luego ~(p#q) equivale a: a) p q b) p ~ q c) ~p q d) p q e) N.A.


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6. Simplificar: [ ( ~ p q) a) p b) ~p

(~ s s ) ] ~q c) ~q d) p q ~p d) F (~ p q) c) p ~q (r ~r)] ~q c) p ~q [(~p q ) c) p q [ ~ (p c) ~ p q) d) p q d) ~ q e) N.A. (q d) ~ q e) N.A. p) e) ~ (p q) e) N.A.

7. Simplificar: [ (p a) p b) ~p

q) ~q) c) V

8. Simplificar el esquema: a) p q b) ~ p

9. Simplificar: [( ~p q) a) ~p q b) ~ p

10. La siguiente proposicin: a) ~p q b) ~ p q

(p q)] (~p ~q) equivale a: d) p ~q ~ (q p)] (p q) e) p q e) N.A.

11. Simplificar el esquema: a) p 12. Si: p * q ~p a) p b)q q b) q

simplifique: c) p ~q

~ [(p q) * (~p)] * [( p q) *q] d) p q e) p q ~p e) ~ (p q)

13. Si: p # q = VVFV. Simplificar: a) p q b) q c) p ~q

{ [p # (p # q)] q } d) p q

14. Si se define p * q por la tabla: p V V F F Centro Pre Universitario q V F V F p*q F F V F 15


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Simplificar: a) p b) q

~ [(p * q) p c) p q

~ q] d) p q e) (p q)


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III. CIRCUITOS LGICOSEntre algunas aplicaciones de la lgica aparece la construccin de circuitos lgicos en la Electrnica y al Ciberntica. Para cualquier formula proposicional podemos construir un circuito elctrico basndose en 3 conectores u operadores: (, , ~). Los circuitos elctricos estn formados por conmutadores o interruptores que son los rganos que impiden o dejan pasar la corriente elctrica. Los interruptores tambin llamados conmutadores son los elementos que participan en la instalacin elctrica: son de dos tipos:

Conmutador cerrado: permite el paso de la corriente elctrica y equivale a un dato verdadero que numricamente toma el valor de 1. Conmutador abierto: impide el paso de la corriente y equivale a un dato falso que numricamente toma el valor de 0. TIPOS DE CIRCUITOS

3.1

Circuito en serie: constan de dos o ms interruptores, donde un interruptor esta a continuacin de otro y as sucesivamente, el grafico de un circuito en serie es la representacin de una formula proposicional conjuntiva, cuya expresin mas simple es pq Se representa:p q

:

pq

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pq 1 0 0 0

Circuito en Paralelo, consta de dos o ms interruptores, donde un interruptor est sobre otro o en la otra lnea y as sucesivamente. El grafico de un circuito en paralelo es la representacin de la frmula proposicional disyuntiva, cuya expresin mas simple es: pq.p q

Se representa:

:

pq

p 1 1 0 0

q 1 0 1 0

pq 1 1 1 0


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3.2

EJERCICIOS RESUELTOS

1. Simplificar el siguiente circuito:~p q p ~q p q

a) p

b) q

c) ~ p

d) p

q

e) ~q


p { [ ( ~p q ) q ] [ ~q p] } p{ [q ] [ ~q p] } p{ [q ] [ ~q p] } p { ( q ~q ) p } p{(V)p} p{ V } p

Respuesta: a) p 2. Seale el circuito equivalente a la proposicin: [(p q) p] [~pp

(~p

q)]

a)

p

b)

q

c)

p

q

d)

~p

e)

q


[(p q) p] [~p (~p q)] [(~p q) p] [~p (~ ~ p q)] [~ (~p q) p] [~ ~p (~ ~ p q)] [~ (~p q) p] [ p ( p q)] [(p ~q) p] [ p ( p q)] [ p ] [ (p p) q ] p [pq] p

Respuesta: a) 3. La proposicin:

p

p{q[p

(~p r) ] }

equivale al circuito:p q

a)

p

q

b)

q

r

c)

p

d)

q

e)

r


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p { q [ p (~p r) ] } p { q [ ~p (~p r) ] } p { q [ ~p ] } pq

Respuesta: a)

p

q

4. El equivalente del siguiente circuito:~p p q ~q q p p ~p

Es: a) p q b) p q c) p ~q d) ~p ~q e) p r


{ ( ~p ~q ) ( p q ) } { p [ q ( p ~ p ) } { [ ( ~p ~q ) p ] q ) } { p [ q V ] } { [ ~q p ] q } { p [ q ] } { [ ~q q ] p } { p [ q ] } {[V]p}{pq} {V}{pq} pq

Respuesta: a) p q 5. El siguiente circuito equivale a las formulas:A ~A B ~B

i. ii. iii. iv. v.

[(A ~B) A] B [(A B) A] B [(A ~B) ~A] B B [(A ~B) ~ A] B [(A ~B) ~A ]

son correctas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) ii, iii, v d) iii, iv, v e) i, iii, v

Del circuito en el enunciado se tiene: (A ~B) ~A B Centro Pre Universitario 19


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Y de las alternativas se obtiene: i. [(A ~B) A] BA ~B ~A B

ii.

[(A

B) A]A ~A B

B~B

iii.

[(A ~B) ~A] BA ~A B ~B

iv.

B [(A ~B) ~ A]B A ~A ~B

v.

B [(A ~B) ~A ]A ~A ~B B

Respuesta: a) ii, iii, iv

6. Se tiene que:p ~p q q r r

r

q

El costo de instalacin de cada interruptor es de S/. 12. en cunto se reducir el costo de la instalacin si se reemplaza este circuito por su equivalente ms simple? a) S/. 48 b) S/. 60 c) S/. 72 d) S/. 36 e) S/. 24.

Del circuito en el enunciado se tiene: El costo de instalacion inicial: Simplificando el circuito

[ p (~p q ) r ] [ r ( q r ) q S/ 12 * 8 = S/. 96

[ p (~p q ) r ] [ r ( q r ) q ] [(pq)r] [r(q)] [(pq)r] [rq] [ p ( q r) ] [ r q ] [ p ( q r) ] ( r q ) rq 20



Lgica

El costo de instalacion del circuito simplificado es: El costo se reduce en : Respuesta: c) S/. 72 3.3 EJERCICIOS PROPUESTOS S/. 96 ~ S/. 24 = S/. 72

S/ 12 * 2 = S/. 24

1. Simplificar el siguiente circuito:p p q ~p q

a) p q

b) ~pq

c) q

d) ~(pq)

e) p ~q

2. Reducir el siguiente circuito:~p q p ~p ~q p q ~p

a)

p

b)

q

c)

~p

d)

p

q

e)

~q

3. Determinar el circuito equivalente:p ~q p q ~q ~p q ~p p ~q

a) p q

b) p q

c) p ~q

d) ~p q

e) N.A.


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4. Hallar la expresin que representa al circuito equivalente:~ (p q) ~ (p r q) ~q

a) p

b) ~p

c) q

d) ~q

e) pq

5. Simplificarp q q p ~p p q

a) p q

b) pq

c) p

d) q

e) N.A.


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IV. CIRCUITOS CON COMPUERTAS LOGICASLas compuertas lgicas, son los distintos dispositivos que resumen la interconexin de conmutadores para procesar las leyes lgicas y ejecutar clculos. Las Compuertas lgicas son bloques de circuitos que producen seales de salida cuyas entradas solo pueden tomar dos niveles distintos de tensin (1 = verdadero, 0 = falso) Esta teora es la que permite el diseo de las computadoras y utilizaremos el sistema ASA para representar circuitos lgicos mediante compuertas. Las operaciones o funciones lgicas que participan en el diseo de compuertas son solo tres: La negacin, la conjuncin ( incluyente o excluyente). Las dems formulas proposicionales son representadas mediante sus equivalencias, y las entradas dependen del numero de variables que participan en la formula directa a disear.

Funciones lgicas

Formas lgicas ~p

Smbolo de compuerta

Negacin: NO

pp

p

Conjuncin o producto: AND

pq p.q

p q

Disyuncin (inclusiva) o Suma: OR

pq p+q pq

p q

Disyuncin (exclusiva) o Suma: XOR

pq+p qpq + p q

p q


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pq~(pq) Biimplicacion o negacin de la disyuncin exclusiva XNOR p.q + p . q p.q + pq ~ (p q) (p . q) ~( p q ) Negacin disyuntor NORp q

Negacin conjuntor NAND

p.q

p q

p+q(p + q)

p q

4.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. El circuito lgico equivalente a: pq r

Es: a) p b) q r c) p q d) q r e) N.A.

Del circuito se obtiene la expresin: [ ( p q ) r ] ( q r ) Simplificando la expresin por las leyes lgicas [(pq)r](qr) [p(qr)](qr) (qr) Respuesta: b) q r Simplificando por el mtodo digital: [(p.q).r]+(q.r) [p.(q.r)]+(q.r) (q.r).[p+1] (q.r).[1] (q.r)


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2. El circuito:

A B

Equivale a: a) ~ [ ~ B ~ A ] B b) ~ [ B (A B)] c) ~ ( ~A B )] B d) todas e) N.A. ~(~AB)B

Del circuito se obtiene:

De las alternativas tenemos: a) ~ [ ~ B ~A ] B ~ [ ~ ~ B ~A ] B ~ [ B ~A ] B ~ [~A B ] B ~ ( ~A B )] B b) ~ [ B (A B)] ~ [ ~ B (A B)] ~ [ ~ B (~ A B)] [ B ~ (~ A B)] ~ (~ A B) B

c)

Respuesta: d) todas

3. La expresin de salida del circuito es:

A B C

a) B(AC) b) B(A+C) c) B(AC) d) B(AC) e) N.A.


[ ( A B ~ C ) (B ~ C ) ( ~ A B ) ]

Simplificando por el mtodo digital: [ ( A B ~ C ) (B ~ C ) ( ~ A B ) ] A . B . C + B .C + A .B B .[ A . C + C + A ] B .[ C ( A + 1 ) + A ] B .[ C ( 1 ) + A ] B .[ C + A ] B .[ A + C ] B . (A . C) Respuesta: a) B(AC)


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4. Dada la compuerta: A B

Equivale a a) (A B) (~A B) b) (A B) ( ~ A B) c) ~(~ A B) d) (A B) ~B e) (~A B) ( ~A B ) ( A B ) ( ~A B ) ( A B ) [ ( ~A B ) ( ~ ~A ~ B ) ] ( A B ) [ ( ~A B ) (A ~ B ) ](AB)


Simplificando la expresin:

Continuando con el mtodo digital de simplificacin: [ ( ~A B ) (A ~ B ) ](AB) [ A. B + A . B ] . ( A + B ) { [ A. B + A . B ] . A } + { [ A. B + A . B ] . B } { A.B.A + A.B.A } + { A.B.B + A.B.B } { A.A.B + A.A.B } + { A.B.B + A.B.B } { 0.B + A.B } + { A.B + A.0} { 0 + A.B } + { A.B + 0} { A.B } + { A.B} A.B + A.B A.B + A.B Llevando la expresin a la estructura lgica A.B + A.B Respuesta: e) (~A B) 4.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El circuito: pq r

(~ A B ) ( A ~ B ) ( ~ A B)

Equivale a: a) p b) q c) p q d) q r e) ~p


26


Lgica

2. El siguiente circuito equivale a: p q r

a) p q b) 1 c) p q d) 0 e) N.A.

3. Encuentre la expresin de salida (F) en el circuito mostrado: A

B C

F

a) BA+C b) B+BC c) A(BC) d) B(A+C) e) B+C+A

4. La expresin de salida del circuito es: x

y z

a) (xyz) b) xyz c) xyz d) xyz e) N.A.

5. Simplificar: A

B

a)

A B

b)

A B

C Dc)

A B

d)

A B

e) N.A.


27


Lgica

6. Obtener la expresin E de salida del circuito de la figura:A B

a) A.B.C.D b) (A.B).C.D c) A.B.C.D d) 0 e) 1

C D


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Lgica

V. EQUIVALENCIAS LGICAS:La equivalencia lgica es una relacin que existe entre dos frmulas que tienen los mismos valores en su matriz final y si se unen bicondicionamente. El resultado es una Tautologa 5.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Cules de las siguientes frmulas son equivalentes a: ~ r i. p (q r ) ii. ~ p (q r) iii. ~ q (~ p r ) a) solo i Ninguna c) ii, iii d) i, iii e) todos ~ ( p ~q)

Del enunciado se tiene:

~ r ~ ( p ~q) ~~ r ~ ( p ~q) r ~ ( p ~q) r ( ~ p q) r ~pq

De las alternativas podemos obtener: i: p (q r ) ~ p (q r ) r ~pq ii: ~ p (q r) (~ p q) (~ p r ) iii: ~ q (~ p r ) ~ ~ q (~ p r ) q (~ p r ) q~pr r ~pq

Respuesta: d) i, iii 2. La formula: [~ ( p ~q) r ] i. ii. iii. iv. v. [ r (~p q)] [(~ p q) r ] ~ [(~q p) ~ r] ~[~(~p q) ~ r ] ~ [~r (~q p)] 29 equivale a:



Lgica

Son ciertas: a) Todos b) Ninguna c) ii, iii, iv [~ ( p ~q) r ] ~pqr d) i, ii, iv e) iii, iv, v

Del enunciado se obtiene: De los enunciados se obtiene: i. [ r (~p q) ] r ~p q ~pqr ~ [(~ q p) ~ r] ~ (~ q p) r (~ ~ q ~ p) r q~pr ~pqr ~ [~ r ( ~q p )] ~ ~ r ~ ( ~q p ) r ( ~ ~q ~ p ) rq~p ~pqr [(p q)

ii.

[(~ p q) r ] ~pqr ~[~(~p q) ~ r ] ~[( p ~ q) ~ r ] ~ ( p ~ q) r ( ~ p q) r ~pq r

iii.

iv.

v.

Respuesta: a) todas

3. :Sea el esquema: i. ii. iii. iv. v. (~q ~p) (~q ~p) ~r ~ (p ~r ~(~q ~r ~ (q

r]

sus equivalencias son:

r ~r q) ~p) p)

Son ciertas: a) i, iii, v b) ii, v c) i, iii, iv d) ii, iii, iv [(p q) r] (~ p q ) r ~ (~ p q ) r (~ ~ p ~ q ) r (p~q)r e) i, ii, iii



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Lgica

De las alternativas tenemos: i. (~q ~p) r ~ (~q ~p) r ~ (~ ~ q ~p) r ~ ( q ~p ) r (~q~~p)r (~qp)r (p~q)r ~r ~ (p q) ~ ~ r ~ (p q) r~(p q) r~(~pq) r(p~q) (p~q)r ~ r ~ (q p) ~ ~ r ~ (q p) r ~ (q p) r ~ ( ~ q p) r ( ~ ~ q ~ p) r ( q ~ p) (~pq)r ii. (~q ~p) ~ r ~ (~q ~p) ~ r ~ (~ ~ q ~p) ~ r ~ ( q ~p) ~ r (~qp)~r (p~q)~r ~ r ~(~q ~p) ~ r ~(~ ~ q ~p) ~ r ~( q ~p ) ~ ~ r ~ ( q ~p ) r ~ ( q ~p ) r(~qp) (p~q)r

iii.

iv.

v.

Respuesta: c) i, iii, iv

4. Dadas las proposiciones p y q se establece: p # q p ~ q Cul de las siguientes es equivalente a: p ~ q? a) ~ (p # q) b) ~p # q c) ~ (p # ~q) p#qp~q De las alternativas: a) c) ~ (p # q) ~ ( p ~ q ) ~pq ~ (p # ~q) ~(p~~q) ~(pq) ~p~q b) d) ~p # q p # ~q ~p ~ q (p~~q) (pq) d) p # ~q p ~q ~p~q e) N.A.


Respuesta: c) ~ (p # ~q) Centro Pre Universitario 31


Lgica

5. Si: p q se define por (~p) (~q), entonces A cul es equivalente: ~ (p q) ? a) ( ~p q ) ( q p ) b) ( ~p q ) ( ~q p ) c) ( ~p ~q ) ( q p ) d) todos e) N.A. Del enunciado tenemos: p q (~p) (~q) ~ (p q) ~ [( p q ) ( ~p ~q ) ~ [( p q ) ( ~p ~q ) ~ ( p q ) ~ ( ~p ~q ) (~p~q)(pq) [(~p~q)p][(~p~q)q] [p~q][~pq]

De las alternativas se obtiene: a) (~ p q) (q p) (~~p~q)(~q~p) (p~q)(~q~p) (p~q)(~q~p) (~ p ~ q) (q p) (~ ~ p ~ ~ q) (~ q ~ p) ( p q) (~ q ~ p) q) r] s} b) (~ p q) (~ q p) ( ~ ~ p ~ q) (~ ~ q ~ p) ( p ~ q) ( q ~ p) ( p ~ q) ( q ~ p)

c)

Respuesta: b) (~ p q) (~ q p)

6. Dado el esquema: {[(p es: a) {[(p ~q) r] ~s} t b) {[(p q) r] s} t c){[(~p q) ~r] s} t d) {[(p q) r] s} t e) {[( p q) r] s} t Del enunciado tenemos:

t

su esquema molecular equivalente

{ [ (p q) r ] s } t { [ (~ p q) r ] s } t { [ ~ (~ p q) r ] s } t { [ ( p ~ q) r ] s } t { ~ [ ( p ~ q) r ] s } t Centro Pre Universitario 32


Lgica

{ [ ~ ( p ~ q) ~ r ] s } t { [ (~ p q) ~ r ] s } t ~ { [ (~ p q) ~ r ] s } t { ~ [ (~ p q) ~ r ] ~ s } t { [ ~ (~ p q) r ] ~ s } t { [ (p ~ q) r ] ~ s } t 5.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. La formula: ~ [(A a) ~(A ~B) ~C b) (B ~A) ~C c) ~(~B A) C d) (~A B) ~C e) N.A. 2. :La formula: ~(A a) ~(A B) C b) ~(A ~B) C c) ~(B ~A) ~C d) ~(B A) C e) N.A. 3. El esquema lgico: (p i. ii. iii. iv. v. q) (p ~p) ~B) ~C, ~B) C],

Respuesta: a) {[(p ~q) r] ~s} t

equivale a:

equivale a:

equivale a las siguientes proposiciones:

(p ~q) (~q ~p) ~pq ~[~(p q) (p ~p)] ~p p (~p q) (~p p)

Son ciertas: a) ii, iii b) i, iv c) ii, iv, v d) i, iv, v e) slo v

4. Dadas las formulas: i. (~p q) p ii. (p q) (p q) Centro Pre Universitario 33


Lgica

iii. (~p q)

p

Cules son lgicamente equivalentes: a) i, ii b) Ninguna c) ii, iii d) i, iii e) todos

5. Son formulas equivalentes: i. ii. iii. iv. p (pq) p(pq) p (p q) ~p~q

Se cumple: a) i, ii b) iii, iv c) ii, iii ( p ~r ) [ ~q b) q (p r) e) N.A. d) i, iv e) todos equivale a :

6. La proposicin siguiente: a) (p r) d) r (p ~q q)

~ (p r ) ] c) p (p r)

7. Dados los esquemas lgicos: P = ( p q ) ~ ( ~p q ) R = ~( p q ) Q=~(p~q) Cul de las siguientes relaciones es correcta? a) P R b) R Q c) P Q d) R Q e) N.A.

8. La proposicin: ~ (p q) (q ~r) Es equivalente a: a) (p ~q) ~ ( r q) b) (p ~q) ~ r c) (p ~q) ~ ( r q) d) (p ~r) ~ q e) (p q) (r ~q)


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Lgica

VI. FORMALIZACIN Y TRADUCCIN PROPOSICIONALFormalizacin Proposicional es el procedimiento mediante el cual se identifican proposiciones simples y estructuras lgicas proposicionales, asignndoles a cada uno un determinado smbolo del lenguaje de lgica proposicional organizndolos con signos de agrupacin. Dentro de los trminos del lenguaje natural que designan operadores proposicionales tenemos: Negador: ~ A

Es falso que A Es absurdo que A Es mentira que A Es inconcebible que A

Es negable que A No ocurre que A Es inadmisible Es refutable A.

Conjuntor: A B

A pero B A sin embargo B A incluso B A tanto como B A as mismo B

A tambin B A al igual que B No solo A tambin B A no obstante B.

Disyuntor: A B

A o tambin B A o incluso B A a no ser B A y/o B A o en todo caso B A y bien o tambin B B

A excepto que B A a menos que B A salvo que B A alternativamente B A o bien B

Implicador: A

A implica a B A por lo tanto B A luego B A consecuentemente B Ya que A entonces B

Siempre que A entonces B Dado que A entonces B A solo cuando B A es condicin suficiente para B A solo si B. 35



Lgica

Puesto que A entonces B

Biimplicador: A B

A siempre y cuando B A es condicin suficiente y necesaria para B A porque y solamente B A es suficiente y B tambin

A es equivalente a B A es lo mismo que B A implica y esta implicado por B Solo si A entonces B.

6.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. El argumento: Eres Ingeniero o Matemtico. Pero no eres profesional en matemticas. Por tanto eres profesional en Ingeniera. Se simboliza: a) [(p q) ~ q] p b) [(p q) ~ q] p c) [(p q) ~ q] p d) [(p q) ~ q] p e) N.A. Del enunciado definimos: p : Eres ingeniero q : Eres matemtico

Construimos la expresin a travs del enunciado: (p q) // Eres Ingeniero o Matemtico. [(p q) ~ q] // ........ Pero no eres profesional en matemticas. [(p q) ~ q] p // ........ Por tanto eres profesional en Ingeniera Respuesta: d) [(p q) ~ q] p

2. La proposicin: Habr aros y sortijas refulgentes siempre que el oro sea derretido adems moldeado, se formaliza: a) (p q) (r s) b) r (p q) c) (r s) (p q) d) (r s) (p q) e) (p q) (r s)


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Lgica

Del enunciado definimos:

p : Habr aros refulgentes q : Habr sortijas refulgentes r : Oro sea derretido s : Oro sea moldeado

Construimos la expresin a travs del enunciado: (p q) // Habr aros y sortijas refulgentes (r s) // Oro sea derretido adems moldeado (r s) (p q) // ....... Siempre que ....... Respuesta: c) (r s) (p q)

3. Formalizar: Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida; en consecuencia, no hay marcianos ni platillos voladores a) ~p b) (~p c) (~p d) ~p e) (~p [~q (~r ~s)] q) (~r ~s) ~q) (~r ~s) [~q (~r ~s) ~q) (~r ~s) p : En Marte hay agua q : En Marte hay vida r : Hay marcianos s : Hay platillos voladores


Construimos la expresin a travs del enunciado: (~p ~q) // Si en Marte no hay agua; entonces no hay vida (~r ~s) // no hay marcianos ni platillos voladores (~p ~q) (~r ~s) // en consecuencia, Respuesta: e) (~p ~q) (~r ~s)

4. Hallar la equivalencia a: Es falso que su Ud. ve un gato negro entonces tendr mala suerte a) Ve un gato negro y tiene mala suerte b) no tiene mala suerte si ve un gato negro c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte d) Ve un gato negro si tiene mala suerte e) N.A. Del enunciado definimos: p : Ud. ve un gato negro q : Ud. tendr mala suerte 37



Lgica

Construimos la expresin a travs del enunciado:

p q ~ (p q )

// Si Ud. ve un gato negro entonces tendr mala suerte // Es falso que ... ~ (p q ) ~ ( ~ p q) ( p ~ q)

Simplificando la expresin:

La expresin se interpretara como: Ud. ve un gato negro y no tendr mala suerte Respuesta: c) Ve un gato negro y no tiene mala suerte 5. La proposicin Si caigo, me levanto. Si me levanto, camino. Por tanto ya que caigo bien se ve que camino. Se formaliza: a) [(pq) (q r) ] (p r) b) [(p q) (q r) ] (p r) c) [(p q) (q r) ] (p r) d) [(p q) (q r) ] (p r) e) N.A. Del enunciado definimos: p : Me caigo q : Me levanto r : camino


p q (p q)(q r) (p r) [ ( p q ) ( q r )]

// Si caigo, me levanto // ...... Si me levanto, camino. // Ya que caigo bien se ve que camino ( p r ) // ...... Por tanto ...... r) ] (p r)

Respuesta: c) [(p q) (q

6. Si Alondra depende de Brbara entonces tambin depende de Clotilde. Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina. Por tanto, ya que alondra depende de Brbara en tal sentido depende de Ernestina se simboliza: a) b) c) d) e) [(A B) (B C)] (C D) [(A B) (B C)] (C D) [(A B)(B C)] (C D) [(A B)(B C)] (C D) N.A. (A (A (A (A E) D) D) D)


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Lgica


B : Alondra depende de Barbara C : Alondra depende de Clotilde D : Alondra depende de Dalia E : Alondra depende de Ernestina


(B C) (B [ (B [ (B // Si Alondra depende de Brbara entonces tambin depende de Clotilde C)] (C D) // ....... Y, si depende de Clotilde, depende de Dalia, C) (C D) ] (D E) // ........ mas, si depende de Dalia luego depende de Ernestina C) (C D) ] (D E) (B E) // ....... Por tanto, ya que alondra depende de Brbara en tal sentido depende de Ernestina

Revisando la estructura de respuesta con la de las alternativas del ejercicio obtenemos la alternativa d) como respuesta Respuesta: d) [(A B)(B C)] (C D) (A D)

6.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Formalizar: Si luchas por triunfar, entonces triunfars, sin embargo no luchas por triunfar. a) b) c) d) e) p (p p (p (p (q r) q) ~p (q ~r) q) (p q ) q) ~q (B A) ~ ( ~B ~A)

2. La traduccin correcta de la formula proposicional: es:

a) Si acto entonces soy consciente; por lo tanto si no acto entonces no soy consciente b) Pienso porque existo. En consecuencia no pienso porque no existo c) Hace calor siempre que sea verano. Entonces es falso que si no hace calor luego es verano Centro Pre Universitario 39


Lgica

d) Sale el sol si es de da, luego, es falso que si no sale el sol luego no es de da. e) N.A. 3. No es buen deportista pero sus notas son excelentes. Es equivalente a: a) b) c) d) e) No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. No es cierto que, sea un buen deportista o sus notas sean excelentes. No es cierto que, no sea un buen deportista o sus notas no sean excelentes. No es cierto que, es un buen deportista y sus notas no son excelentes. N.A.

4. En la siguiente expresin: El alcalde ser reelegido, si mantiene el ornato de la ciudad o no aumenta el impuesto predial su formalizacin es: a) b) c) d) e) (q r) ~p (q ~r) p p (q r) p (q r) N.A.

5. Dada la proposicin Juan ser encontrado culpable, si hoy rinde su instructiva, por tanto si hoy rinde su instructiva, dir la verdad. Juan no ser encontrado culpable, si no dice la verdad. La formalizacin correcta es: a) b) c) d) e) [(A B) (B C)] (~C ~A) [(A B) (B C)] (~C ~A) [(A B) (B C)] (~C ~A) [(B A) (B C)] (~C ~A) N.A.

6. La proposicin: Siempre que y slo cuando haya explosin nuclear, habr radioactividad. Sin embargo, al haber radioactividad luego habr mutaciones. por lo tanto la explosin nuclear es condicin suficiente para las mutaciones , se simboliza: a) b) c) d) e) [(A B) (B C)] [(A B) (B C)] [(A B) (B C)] [(A B) (B C)] N.A. (A C) (A C) (A C) (A C)


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Lgica

7. Sean R p ~q; S ~p q Expresar en trminos de p y q S es condicin suficiente para R: a) q p b) p q c) p ~q d) q p e) ~p ~q

8. La proposicin: Es absurdo que, los sueldos no tienen capacidad adquisitiva, pero los trabajadores protestan. Se formaliza como: a) A ~B b) ~( ~A B) c) A ~B d) ~A ~B e) ~(A B)

9. La ley: La negacin de una disyuncin de dos variables es equivalente a la conjuncin de las negaciones de cada variable. Se formaliza como: a) b) c) d) e) ~(A B) ~A ~B ~(A B) ~A ~B ~(A B) (A B) (~A ~B) ( ~A ~B) (~A ~B) ~(A B)

10. La proposicin lgica: No es falso que no sea correcto que el Brasil no sea un pais subdesarrollado. Su formalizacin es: a) ~ (~B) b) ~ (~B) c) ~ ~ (~B) d) ~ ~ [ ~ ~ (~B) ] e) ~ B

11. La proposicin Alex ingresar a la UNJBG, siempre que y slo cuando Felipe, Miguel adems Ral no sean postulantes, se formaliza: a) A ( B C ~D) d) (~B ~C ~D) A 12. La frmula lgica [(B C) a) b) c) d) e) b) A (~B ~C ~D) e) N.A. A], se traduce como: c) A (B C ~D)

Duermo si tengo sueo o cansancio Si camino adems trajino entonces me canso De la uva deviene el vino y la cachina Por la materia es infinita es obvio que no se crea ni se destruye Todas las anteriores.


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13. Dado el siguiente argumento: Si sudo es porque corro. Cierro los ojos entonces duermo. Pero no corro o no duermo; en consecuencia no sudo a menos que no cierro los ojos la formalizacin correcta es: a) b) c) d) e) [(B A)(C [(B A)(C [(A B)(C [(A B C N.A. D)(~B ~D)] (~A ~C) D) (~B ~D)] (~A C) D) (~B D)] (~A C) D) (~B~D)] (~A ~C)

14. La formalizacin de: se formaliza: a) (A B) d) (A B)

3

8 = 2 al igual que 9 = 3 en consecuencia 3 8 + 9 = 5b) (A B) e) N.A. C c) (A B) (A B)

(A B) C


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Lgica

VII. EQUIVALENCIAS NOTABLES:Las equivalencias notables permiten realizar transformaciones, es decir, convertir unas expresiones en otras, o unas formulas en otras 7.1. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Dado el esquema: [( ~ p q) a) b) c) d) e) Juan va al cine o estudia Juan no va al cine o estudia Juan va al cine y estudia Juan no va al cine ni estudia N.A. a Definiendo p : Juan va al cine q: Juan estudia q] (p q). Su equivalencia es:

Del enunciado procedemos simplificar el esquema: [( ~ p q) q ] (p q) ~ [ ~ ( ~ p q) q ] (p q) [ ~ ~ ( ~ p q) ~ q ] (p q) [ ( ~ p q) ~ q ] (p q) [~p(q~q)] (p q) [~p F ] (p q) F (p q) (p q)

Se puede interpretar el esquema obtenido como: Juan va al cine o estudia

Respuesta: a) Juan va al cine o estudia 2. La proposicin no es falso que sea absurdo que, el len es un mamfero, equivale a: i. ii. iii. iv. v. El len no es domestico El len no es mamfero Es objetable decir que, el len sea mamfero El len es mamfero o adems vertebrado No es innegable que, el len sea mamfero

No son ciertas, excepto: a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i,ii, v d) ii, iii, iv e) N.A. 43



Lgica

Del enunciado definimos: p: El len es un mamfero. La estructura del enunciado seria:

~p ~~p ~~~p

// sea absurdo que, el len es un mamfero // es falso que sea absurdo ..... // No es falso que .....

Por lo que el equivalente al enunciado seria : ~ p De las alternativas se tiene: i. El len no es domestico: Definimos q: El len es domestico ~q ~p ~p pr ~p

ii. El len no es mamfero: iii. Es objetable decir que, el len sea mamfero: iv. El len es mamfero o adems vertebrado: Definimos r: El len es vertebrado v. No es innegable que, el len sea mamfero Respuesta: d) ii, iii, iv

3. Que se concluye de la expresin No ro a menos que reniegue. No reniego excepto que est tranquilo a) b) c) d) e) Ni ro ni estoy tranquilo No estoy tranquilo salvo que reniegue Ro porque estoy tranquilo No ro salvo que est tranquilo N.A. p: Yo rio q: Yo reniego r : Yo estoy tranquilo

Del enunciado definimos


~pq ~qr ( ~ p q ) (~ q r )

// No ro a menos que reniegue // No reniego excepto que est tranquilo 44



Lgica

Aplicando leyes lgicas tenemos: ( ~ p q ) (~ q r ) ( p

q)(q

r)

Se observa que en la expresin ( p q)(q r ) existen dos condicionales, donde el consecuente q del primer condicional es el antecedente del segundo condicional, por lo que se deduce lgicamente que la expresin: (p q)(q (p r) (p r)

r ) ( ~p r )

Lo que se interpreta: No rio a menos que est tranquilo. Respuesta: d) No ro salvo que est tranquilo 4. La expresin: Si la televisin es antinacional por tanto es alienante. Sin embargo no es mentira que sea alienante. Es equivalente a: a) b) c) d) e) La televisin es antinacional Es falso que la televisin no sea antinacional No es verdad que la televisin sea antinacional y alienante Todas La televisin es alienante. p: La televisin es antinacional. q: La televisin es alienante.



p q ~~q (p q)q

// Si la televisin es antinacional por tanto es alienante // no es mentira que sea alienante // ...... Sin embargo ..... q)qq

Simplificando la expresin tenemos : ( p

De lo que se interpreta : La televisin es alienante Respuesta: e) La televisin es alienante. 5. La proposicin: los cetceos tienen crneo si y solo si son vertebrados, equivale a: i. Tienen los cetceos crneo y no son vertebrados, a menos que, ni son vertebrados ni tiene crneo. ii. Tienen crneo o no son vertebrados, as como, son vertebrados o no tiene crneo. iii. Si tiene crneo, son vertebrados; tal como; si son vertebrados, tienen crneo. Centro Pre Universitario 45


Lgica

iv. Los cetceos son vertebrados o no tienen crneo, as como, tienen crneo o no son vertebrados. v. Los cetceos son vertebrados y no tiene crneo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, v c) i, ii, v d) ii, iii, iv e) N.A.


p: Los cetceos tienen crneo. q: Los cetceos son vertebrados


pq

// Los cetceos tienen crneo si y solo si son vertebrados

Simplificando el enunciado tenemos: pq (p q) (~p ~q) [ (p q) ~p ] [ (p q) ~q ] ( q ~p ) ( p ~q ) ( q ~p ) ( p ~q ) De las alternativas se obtiene: i:

[ ( q ~p ) p ] [ ( q ~p ) ~q ] [ ( q p ] [~p ~q ]

p~q ~p~q (p ~ q ) ( ~ p ~ q ) (p ~ q ) (q~p) (p ~ q ) ( q ~ p ) (p (q (p q) p) q)(q

// Tienen los cetceos crneo y no son vertebrados. // ni son vertebrados ni tiene crneo // ......, a menos que, ...... // Tienen crneo o no son vertebrados // son vertebrados o no tiene crneo. // ...... , as como, ....... // Si tiene crneo, son vertebrados // si son vertebrados, tienen crneo. // ......; tal como; ...... // Los cetceos son vertebrados o no tienen crneo // tienen crneo o no son vertebrados. // ...... , as como, .......

ii:

iii:

p)

iv:

( q ~p ) p ~q ) ( q ~p ) ( p ~q )


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v:

q~p

// Los cetceos son vertebrados y no tiene crneo.

Respuesta: b) ii, iii, v 7.2. EJERCICIOS PROPUESTOS 1. El enunciado Pablo no es rico pero es feliz. Se simboliza: a) b) c) d) e) Es falso que, Pablo es rico o no es feliz Pablo ni es rico ni feliz Es incorrecto que si pablo es rico, es infeliz Pablo es rico o feliz N.A.

2. Sean las proposiciones: p: Los astronautas son seres normales q: Los cientficos son seres normales Dado el esquema: (p q) ~ p. Su equivalencia es: a) Es falso que los cientficos son seres normales, excepto que los astronautas son seres normales. b) Los cientficos son seres normales a no ser que los astronautas no son seres normales. c) Es falso que los cientficos no son seres normales. d) No slo los cientficos son seres normales tambin los astronautas son seres normales. e) N.A. 3. Que se concluye de: Si practicas pesas, ests en forma. Si estas en forma, las chicas te miran. a) b) c) d) e) No es el caso que practique deporte y las chicas te miren No es cierto que ests en forma o las chicas te miren Las chicas te miran y no practicas pesas No practicas pesas o las chicas te miran N.A.


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4. Dado el esquema molecular:

(p r) (p s) (q r) (q s) es equivalente a:

a) Carmela recibi la carta tambin tom el bus. O tambin recibi el pedido salvo que ofrezca el brindis b) Carmela recibi la carta o tambin tom el bus. Del mismo modo recibi el pedido salvo que ofrecer el brindis. c) Carmela recibi la carta al mismo tiempo recibi el pedido, salvo que, Carmela tom el bus al igual que ofrecer el brindis. d) Carmela recibi la carta excepto que recibi el pedido. Tal como, Carmela tom el bus a no ser que ella ofrecer el brindis. e) N.A. 5. La negacin de la proposicin: Juan no viaj a Europa porque perdi sus documentos equivale a: i. ii. iii. iv. v. Es falso que Juan no perdi sus documentos o Juan no viaj a Europa Juan perdi sus documentos y viaj a Europa. Es mentira que si Juan viaj, entonces no perdi sus documento Juan viaj y perdi sus documentos. Es absurdo que Juan no viaj, a menos que no perdi sus documentos.

Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) Todas

6. El enunciado: Sandra ni es profesora ni es economista equivale a: a) b) c) d) e) Es falso que Sandra sea profesora as como tambin economista. Sandra es economista o profesora Es incorrecto que Sandra fuera economista ser profesora. Es falso que al no ser Sandra profesora deducimos que ser economista. Si Sandra es economista, ser profesora.

7. Si la siguiente proposicin es falsa: Si el viaje es muy largo entonces Luis maneja con cuidado, o bien la carretera no est bien asfaltada o Luis maneja con cuidado; pero la carretera no est bien asfaltada. Por tanto el viaje no es muy largo. Se puede afirmar: a) Luis maneja con cuidado y la carretera no est bien asfaltada. b) El viaje no es muy largo y Luis maneja con cuidado. c) El viaje es muy largo. Centro Pre Universitario 48


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d) La carretera est bien asfaltada. e) El viaje no es muy largo pero la carretera esta bien asfaltada. 8. La proposicin Es inadmisible que el metabolismo se d por catabolismo y anabolismo equivale a: i. ii. iii. iv. Metabolismo se da por catabolismo entones no se da por anabolismo. Es absurdo que el metabolismo se da por anabolismo tambin por catabolismo. El metabolismo se da por catabolismo y anabolismo. Es falso que, si el metabolismo no se da por catabolismo, luego no se da por anabolismo. v. El metabolismo no se da por catabolismo o no se da por anabolismo. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) iii, iv, v d) i, iv, v e) i, ii, v.

9. La negacin de la proposicin: Benito no viajo a Europa porque perdi sus documentos equivale a: i. ii. iii. iv. v. Es falso que Benito no perdi sus documentos o Benito no viajo a Europa. Benito perdi sus documentos y viajo a Europa. Es mentira que si Benito viaj, entonces no perdi sus documentos Benito viaj y perdi sus documentos. Es absurdo que Benito no viaj, a menos que no perdi sus documentos.

Son ciertas: a) i, ii, iii b) iii, iv, v c) i, ii, v d) i, ii e) todas

10. El enunciado Si has estudiado, entonces pasars de ciclo y no pagars por segunda matricula. Es equivalente a: a) Has estudiado entonces pasars de ciclo excepto que has estudiado y no pagars por segunda matricula. b) Siempre que has estudiado por consiguiente pasars de ciclo, al mismo tiempo, toda vez que has estudiado en consecuencia no pagars por segunda matricula. c) Slo si has estudiado, pasars de ciclo y no pagaras segunda matricula. d) Si has estudiado no pasars de ciclo y pagars por segunda matricula. e) N.A.


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11. Luis est de viaje. Pero Ricardo tiene fiebre o tambin est agripado: a) Luis est de viaje o Ricardo tiene fiebre. Pero Luis est de viaje salvo que Ricardo est agripado. b) Luis esta de viaje sin embargo Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis est de viaje aunque Ricardo esta agripado. c) Luis esta de viaje as como Ricardo tiene fiebre. A menos que Luis est de viaje y Ricardo no est agripado d) No solo Luis est de viaje tambin Ricardo est agripado. A menos que, Luis est de viaje y Ricardo tiene fiebre. e) N.A. 12. El enunciado: La seal de corriente alterna es sinusoidal del mismo modo que la seal digital es cuadrada equivale a: i. La seal digital es cuadrada aunque de la corriente alterna es sinusoidal. ii. Es absurdo que la seal de corriente alterna no es cuadrada. iii. Es falso que la seal de corriente alterna sea sinusoidal implica que la seal no sea cuadrada. iv. La seal digital es cuadrada implica que la seal alterna sea sinusoidal. Son ciertas: a) i, ii, iii b) ii, iii, iv c) i, iv, v d) Todas e) N.A.


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VIII. LGICA CUANTIFICACIONAL8.1. CUANTIFICADORES LGICOS Una Variable

Tambin llamados Cuantores son los smbolos que determinan la cantidad de una proposicin categrica y son de dos tipos:

Cuantificador Universal: x (Universalizador o generalizador)

Cuantificador Existencial: x (Particulazador o existencializador)

Para todo x Para cada x Para cualquier x Cualquiera que sea x Sean todos los x Para cada una de las x.

Existe x Algunos x Exista al menos un x Tantos, ciertos, muchos x Existe por lo menos un x Pocos, muchos x Hay al menos un x que.

EQUIVALENCIAS LOGICAS Equivalencias entre cuantificadores con un predicado (una variable).

~ (x(Px)) ~ (x(Px)) x(Px) ~(x(~Px))

x(~Px) x(~Px) ~[x(~Px)] x(Px)

8.2. EJERCICIOS RESUELTOS

(Una Variable)

1. Hallar los valores de verdad de las negaciones de las proposiciones siguientes: p: q: r: a) FFF x N: x > x x Z: x + 1 > x x R: x = x b) FVF c) FVV d) VFF e) VVF 51



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Del enunciado se tiene: p: x N: x > x q. x Z: x + 1 > x

~p : ~ [ x N: x > x ] ~p : x N: ~( x > x ) ~p : x N: x x x = 1 N 1 1 V r: x R: x = x

~q . ~ [ x Z: x + 1 > x ] ~q . x Z: ~( x + 1 > x ) ~q . x Z: x + 1 x x = -5 Z: -5 + 1 -5 - 4 -5 F

~ r : ~ [ x R: x = x ] ~ r : x R: ~( x = x) ~ r : x R: x x x = 1 R 1 1 F 2. Dadas las proposiciones: p: ~ { x Q, x + 2 > 0} q: x N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 r: x Z, x/x = 1 Hallar el valor de verdad de: (p q) r a) F b) V c) Tautologa d) Contradiccin e) V F Respuesta: d) VFF

Del enunciado se tiene: p: ~ { x Q, x + 2 > 0} x Q, ~ (x + 2 > 0) x Q, x + 2 0 (- 4/2) + 2 0 -2+20 V q: x N: 3x + 3x + 1 + 3x + 2 = 117 32 + 32 + 1 + 32 + 2 = 117 32 + 33 + 34 = 117 9 + 27 + 81 = 117 117 = 117 V (p q) (V V) F r F

x=2:

x = - 4/2 Q

r:

x Z, x/x = 1

x = 0 Z x / x = 1 (Indeterminado) F Respuesta: a) F Centro Pre Universitario

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3. Si p q slo es verdadero cuando p y q son ambos falsos. Hallar el valor de verdad de: ( ~ p q) (q ~ r) si: p: q: r: a) F 2 es nmero impar x A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 x B = {2, 4, 6}, x = 9 b) V c) V F d) No se Puede Determinar e) N.A.

Del enunciado se tiene: p: 2 es nmero impar F q: x A = {1, 2, 3}, x + 1 > 1 x A = {1, 2, 3}, x > 0 V (~ p q) (q ~ r) (~ F V) (V ~ F) (V V) (V V) (F) (F) V

r:

x B = {2, 4, 6}, x = 9 x B = {2, 4, 6}, x = 3 F

Respuesta: b) V 4. Hallar el valor de verdad de: i. (x R, | x |= x) ( x R, x+1>x) ii. ~ x R, x x iii. ~[x N, | x | 0]. a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A.

Del enunciado se tiene: i. (x R, | x | = x) (x R, x+1 > x) x = -3 R [ | -3 | = 3 ] [ -3 + 1 > -3 ] [ | -3 | = 3 ] [ -2 > -3 ] F V F ii. ~ x R, x2 x x=1 F 1 1

iii.

~ [x N, | x | 0]. x N, ~ [ | x | 0]. x N, | x | = 0]. x = 0 N |0|=0 0 =0 V

Respuesta: c) FFV 53



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5. Sean las proposiciones: {xQ / 1 + x > 0} 2 q: { x I / x + 0 = } r: { xR / x + 1 = 0} Hallar el valor de: [(p q) r ] ~q p: a) F b) V c) Tautologa d) Contradiccin e) V F

Del enunciado se tiene: p: {xQ / 1 + x > 0} 2 x Q / x > 12

q:

{ x I / x + 0 = } x=I +0= V

x = -1/5 Q

1 1 5

5

>1 2 < 1 F

2

r:

{ xR / x + 1 = 0} x R / x = -1 x = 5 R 5 = -1 F

[ (p q) r ] ~q [ (F V) F ] ~V [V F]F [ F ]F V

8.3. EJERCICIOS PROPUESTOS (Una Variable) 1. S: A = {0, 2, 4, 6, 8} indicar el valor de verdad de: i. x A: x + 3 < 12 ii. x A: x + 3 < 12

x iii. x A: x + 1 > 0a) FFF b) FVF c) FFV d) VVF e) VFV

2. Dado A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} sealar el valor de verdad de: i. n A : n 40 ii. m A : m > 40 Centro Pre Universitario 54


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iii. n A : n 25 a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV

3. Si A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5}. Hallar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: q: r: a) FFF 4. S : P(n): Q(x): x A, x A: x A: x+3>2 x+10 c) FFV d) VFF e) VFV

b) FVF

n N: n = n 2x + 1 > 8; A = {1, 2, 3, 4} [ n P(n)] [ x Q(x)] [n P(n)] [x Q(x)]

Hallar el valor de verdad de: a) F b) V c) V F

d) No se Puede Determinar e) N.A.

5. Hallar el valor de verdad de en A = {1,2,3} i. ~ [x / x = 4] ii. ~ [x / x + 1>3 ] iii. ~ [x / x + 2 = 5] a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) N.A

6. Cul es el valor de verdad de las siguientes proposiciones? i. x A: x 3 x > 4 ii. x A: x + 2 < 8 x - 1 > 5 iii. x A: x 3 x 2 Donde A = { 1, 2, 3, 4 } a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV

7. Sean las proposiciones: P: Q: x Z: x Z: (4x + 2) (3x - 7) = 0 (x2 2) (x -1) < 0 55



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R:

x Z:

(4x + 2) (3x 7) = 0

Los valores de verdad son: a) FFF b) FVF c) FFV d) VFF e) VFV

8.4. CUANTIFICADORES LGICOS: Dos Variables Una Proposicin de dos variables es de la forma: posibilidades de determinar:

P(x, y) en el cual existen 8

x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y [P(x, y)] y x [P(x, y)];

EQUIVALENCIAS LOGICAS Equivalencias entre cuantificadores con dos predicados (dos variable).

x y [P(x, y)] x y [P(x, y)] ~ {x y [P(x, y)]} ~ {x y [P(x, y)]} ~ {x y [P(x, y)]}

y x [P(x, y)] y x [P(x, y)] x y ~[P(x, y)] x y ~[P(x, y)] x y ~[P(x, y)] (Dos Variables)

8.5. EJERCICIOS RESUELTOS

1. Si A = { 1, 2, 3} Determinar el valor de verdad de: i. x, y: x < y +1 ii. x, y: x + y < 12 iii. x, y: x + y< 12 a) FFV b) FFF c) VVF d) VFV e) FVF


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Del enunciado se tiene: i. x, y: x = 1; y = 2 x < y +1 1 < 2 +1 1 128 a) FFV b) FFF c) VVF d) VVV e) FVF

Del enunciado se tiene: i. x, y: x y y=0 iii. x0 V ii. y, x: x + y < 9 x = 0; y = 2 0 + 2 < 9 4 < 9 V

x, y: x + y > 128 x = 0; y = 2 0 + 2 > 128 4 > 128 F

Respuesta: c) VVF

5. Sean: A = {1, 2, 3, 4},

B = {1, 4, 5, 8} Determinar el valor de verdad de:

i. x B, y A: x - y A ii. x, y A: x + y > z, z B a) FV b) FF c) VF d) VV e) N.A.

Del enunciado se tiene: i. x B, y A: x - y A y = 1; x = 8 8-1A 7 A F ii. x, y A: x + y > z, z B x = 4; y = 3 4 + 3 > z, z B 7 > z, z B F

Respuesta: b) FF Centro Pre Universitario 58


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8.6. EJERCICIOS PROPUESTOS

(Dos Variables)

1. Si x, y pueden ser cualquiera de los nmeros 1 y 2, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. x, y: x y +2 ii. x, y: x + y < 5 iii. x, y: x + y 5. a) FFV b) VFF c) VVF d) VVV e) FVF

2. S: P(x, y): x2 + y > 5. Determinar el valor de verdad de: i. ii. iii. iv. x, y : x, y : x, y : x, y : x+ y > 5 x+ y > 5 x+ y > 5 x+ y > 5 x { 2, 3, 6, 7, 8}; b) FFFV c) VVFF y { -1, -2, -3} d) VVVF e) VFVF

Cuando: a) FFVV

3. Sea A = { 1, 2, 3 }. Determinar el valor de verdad de: i. ii. iii. iv. x, y: x, y: x, y: x, y: x+ 3y < 12 x + 3y < 12 x + 3y < 12 x + 3y < 12 b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF

a) FFVV

4. S: M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. ii. iii. iv. x, y : x + y < 7 x, y: x + y > 7 x, y x + y 8 x: x + 3 > 6 b) VFFV c) VVFF d) VVVF e) N.A.

a) FFVV


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5. Sealar el valor de verdad de las siguientes proposiciones: i. ii. iii. iv. x N, y R: x +1 > y > x x N, y R: y > x > (y ~ 1) x N, y R: x (y ~ 1) x N, y R: y + 1 x b) FFFV c) VVFF d) VVVF e) VFVF

a) FFVV

6. En los nmeros reales indicar la verdad o falsedad de: i. x, y: (-x)(-y) = xy ii. x: (-1)x = 0 iii. x: x2/x = x a) FFV b) FFF xy > 0

c) VVF

d) VVV

e) FVF

7. Dado M = {1, 2, 3, 4, 5}. Determinar el valor de verdad de: i. ii. iii. iv. x: x, y: x: x: x+3

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