Razonamiento Geometrico 1

RR AA ZZ OO NN AA MM II EE NN TT OO

GG EE OO MM TT RR II CC OO

NNDDIICCEE

PP RR EE SS EE NN TT AA CC II NN PP aa gg .. 33

NN DD II CC EE PP aa gg .. 55

TT RR II NN GG UU LL OO SS PP aa gg .. 77

PP EE RR MM EE TT RR OO SS PP aa gg .. 33 55

RR EE AA SS PP aa gg .. 44 99

TRIGULOS

CAPTULO

1

TRINGULOS

DEFINICIN Dados tres puntos A, B y C no

colineales, la reunin de los segmentos

AB , BC y AC se llama tringulo.

ELEMENTOS

- Vrtices: A, B, C

- Lados: AB , BC y AC

- ngulos:

Internos: ABC , BCA , CAB

Externos: FAE , CBE , BCD

* Notaciones:

Tringulo ABC: ABC

Permetro del ABC: 2p(ABC)

Semipermetro del ABC: p (ABC)

INTERIOR Y EXTERIOR DE UN

TRINGULO

Un tringulo separa al plano en tres

subconjuntos de puntos:

- Los puntos que pertenecen al

tringulo: A,B,C,M,etc

- Los puntos interiores al ABC: P es

un punto interior al ABC.

- Los puntos exteriores al ABC:

Q punto exterior al ABC relativo a AB

L punto exterior al ABC relativo a BC

S punto exterior al ABC relativo a AC

CLASIFICACIN DE LOS

TRINGULOS

A. Segn la medida de sus ngulos:

1. Tringulo Acutngulo.

Es aquel que tiene sus tres ngulos

agudos.

2. Tringulo Obtusngulo.

Es aquel que tiene un ngulo obtuso

y dos ngulos agudos.

C

B

A D

E

F

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

a +b +cp ( ABC)=

2

H A

B

P

C

Q L

S M

INTERIOR

EXTERIOR

ABC B , BCA C ,

CAB A ; son los ngulos

internos o simplemente

ngulos del tringulo ABC.

Se conviene en designar las medidas

de los lados de un tringulo, con la

letra minscula correspondiente al

vrtice del ngulo opuesto a dicho

lado. As:

AB = c ; BC = a ; AC = b

La reunin del tringulo con

todos sus puntos interiores se

llama regin triangular.

B

A C

a

b

c

B

A

C

< 90

< 90

< 90

Nota: A este tringulo se le llama:

tringulo ABC obtuso en A

3. Tringulo Rectngulo.

Es aquel que tiene un ngulo recto y

dos ngulos agudos.

B. Segn la medida de sus lados:

1. Tringulo Escaleno. Es aquel tringulo que tiene sus tres

lados de diferente magnitud.

2. Tringulo Issceles. Es aquel tringulo que tiene dos

lados de igual longitud; en

consecuencia, los ngulos opuestos a

dichos lados sern de igual medida.

En el ABC issceles:

: medida de los ngulos en la base.

: medida del ngulo en el vrtice.

Se cumple que: 90

y 180

2

90

2

3. Tringulo Equiltero. Es aquel tringulo que tiene sus tres

lados de igual longitud; en consecuencia,

sus tres ngulos sern de 60.

TEOREMAS FUNDAMENTALES

1. Suma de ngulos Internos:

En todo tringulo la suma de las medidas de sus tres ngulos

interiores es igual a 180

2. Suma de ngulos Externos:

(considerando uno por vrtice)

La suma de las medidas de los ngulos exteriores de un tringulo es

igual a 360

* a > b y a > c

B

A

C

c

a

b

+ = 90

AB y AC:Catetos

BC:Hipotenusa

c a y b a

> 90

< 90

< 90

A los tringulos acutngulos y

obtusngulos se les denomina

OBLICUNGULOS

AB BC AC

y adems

AB BC

m A m C

AB BC AC

m A m B m C 60

B

A

C

60

60

60

B

A

C

BASE

B

A

C

Todo tringulo equiltero es

equingulo

B

A

C

x

y

z

Se cumple:

+ + = 180

B

A C

Se cumple:

x + y + z = 360

3. Teorema del ngulo Exterior:

En todo tringulo, la medida de un ngulo exterior es igual a la suma de

las medidas de dos ngulos interiores

del tringulo no adyacentes a l

4. Propiedad de Correspondencia:

En todo tringulo se cumple que a mayor lado se opone mayor ngulo

y viceversa

5. Teorema de EXISTENCIA

(Desigualdad Triangular)

En todo tringulo, la longitud de uno de sus lados est comprendida

entre la suma y la diferencia de los

otros dos lados

Tambin se cumple:

LNEAS NOTABLES Y PUNTOS

NOTABLES

1. MEDIANA:

Segmento que parte de un vrtice y llega

al punto medio del lado opuesto.

Nota: BM es la mediana relativa al

lado AC .

El punto de interseccin de las medianas

se llama BARICENTRO.

G: Baricentro, Gravicentro o

Centriode (Es el centro de gravedad

del tringulo)

Propiedad:

El baricentro divide a la mediana en dos

segmentos que estn en relacin de 2 a 1

BG 2

GM 1 ,

AG 2

GP 1 ,

CG 2

GQ 1

2. ALTURA:

Segmento perpendicular al lado opuesto

o su prolongacin.

BH es la altura relativa al lado AC .

A

B

C M

P Q G

e

B

A

C

B

A

C

c

a

C

B

A

c

b

a

Sea a b c

se cumple:

Se cumple:

e = +

Si b > a:

>

b - c < a < b + c

a - c < b < a + c

a - b < c < a + b

A

B

C M

BM: mediana

A

B

C H H

B

C A

El punto de interseccin de las alturas se

llama ORTOCENTRO.

Todo tringulo tiene un solo ortocentro y

puede estar ubicado:

- Dentro si es acutngulo

- En el vrtice del recto si es

rectngulo

- Fuera del mismo si es obtusngulo

3. BISECTRIZ:

Segmento limitado por el lado opuesto,

que divide a su ngulo en otros dos de

igual medida.

Donde

BP : bisectriz interior

BQ : bisectriz exterior

INCENTRO:

Punto de interseccin de las bisectrices

interiores.

- Centro de la circunferencia inscrita.

- Equidista de los lados

I: Incentro

EXCENTRO:

Punto de interseccin de dos bisectrices

exteriores y una interior.

- Es centro de la circunferencia

ex-inscrita.

Ea: Excentro relativo al lado BC

- Todo tringulo tiene 3 ex-centros,

uno relativo a cada lado

Donde:

E1: Excentro relativo al lado AB

E2: Excentro relativo al lado BC

E3: Excentro relativo al lado AC

A P C Q

B

E1 E2

E3

A C

B

Ea

Re

Re Re

A C

B

I

r r r

Acutngulo

Obtusngulo

Rectngulo

4. MEDIATRIZ.

Es la recta o segmento de recta que

divide a un segmento por su punto medio

en forma perpendicular.

L1: mediatriz de AC

MP: mediatriz de AC

El punto de interseccin de las

mediatrices se llama CIRCUNCENTRO.

- Centro de la circunferencia circunscrita

- Equidista de los vrtices del tringulo.

Y se ubica:

Todo tringulo tiene un solo

circuncentro y puede estar ubicado:

- Dentro si es acutngulo.

- En punto medio de la hipotenusa si

es rectngulo.

- Fuera del mismo si es obtusngulo.

1. En todo tringulo equiltero, sus

puntos notables se confunden.

El Baricentro, es tambin ortocentro, incentro y circuncentro.

Baricentro

OrtocentroO

Incentro

Circuncentro

2. En todo tringulo issceles las

alturas relativas a los lados iguales

son iguales.

CH AP

Nota: Los mismo ocurre con las

bisectrices y medianas.

O

O O

A C

P

L1

M

B

Acutngulo

Obtusngulo

Rectngulo

OBSERVACIONES

O

A C

B

H P

A C

B

K T

A C

B

M N

CK AT CM AN

3. La altura relativa al lado desigual,

corta a ste un su punto medio.

Esta altura es mediana, mediatriz y bisectriz a la vez, del lado desigual.

Si AB BC

y BH AC

AH HC

PROPIEDADES IMPORTANTES

1. Propiedad del PANTALONCITO

x a b c

Demostracin:

Prolongamos AD hasta E (E en BC),

para obtener tringulos:

ABE: = a + b (Angulo Exterior)

DEC: x = + c (Angulo Exterior)

x = a + b + c

2. Propiedad de la ESTRELLITA

a b c d e 180

Demostracin:

En ACEI: (Propiedad del Pantaloncito)

= a + c + e

BID: (Suma de ngulos Internos)

b + + d = 180

c

a

b d

e

b

c a x

b

c a x

B

C A

D E

B

H A C

Por eso cuando se tiene un

tringulo issceles se

recomienda trazar su altura. Tu profe Markito

c

a

b d

e

C

A

B D

E

I

b + (a + c + e) + d = 180

a + b + c + d + e = 180

3. Propiedad de la Mariposa o Propiedad de la Corbatita

a b

Demostracin:

AMO: = a + b (Angulo Exterior)

ROC: = + (Angulo Exterior)

a + b = +

4. ngulo formado por dos Bisectrices

Interiores

Bx 902

Demostracin:

ACI: + x + = 180

+ = 180 - x (I)

ABC: 2 + B + 2 = 180

2 ( + ) = 180 - B (II)

I en II: 2 (180 - x) = 180 - B

Bx 902

5. ngulo formado por dos Bisectrices

Exteriores

Ax 90

2

Demostracin:

BEC: + x + = 180

+ = 180 - x (I)

ABC: 2 + (180 A ) + 2 = 360

2 ( + ) =360- (180 A )

2 ( + ) =180 A (II)

I en II: 2 (180 - x) = 180 A

Ax 902

6. ngulo formado por una Bisectriz

Interior y otra Exteriores

Bx

2

Demostracin:

ACE: = + x (Angulo Externo)

- = x (I)

ABC: 2 = 2 + 2B

2 ( - ) = 2B (II)

I en II: 2 (x) = 2B

a

b

C

I

B

A

x

A C

E B x

A

B E

C

x

a

b

A

M

R

C

O

A C

E B x

180 A

Bx2

7. ngulo formado la Bisectriz y la

Altura que parten del mismo

vrtice

x

2

Demostracin:

Como AD es bisectriz:

m ABD m DBC x

AHB: + = 90 (I)

BHC: + 2x + = 90 (II)

(I)- (II): - - 2x = 0

x2

8. Propiedad:

a bx2

9. Propiedad:

a bx

2

10. Propiedad del Pescadito

m n

11. En todo Cuadriltero se cumple:

360

12. Propiedad:

x y

PROPIEDADESS GENERALES

1. TEOREMA DE LA BASE MEDIA

En todo tringulo, el segmento que une

los puntos medios de dos lados es

paralelo al tercero y mide su mitad.

Si: AM = MB y CN = NB

MN // AC y 1MN AC2

2. MEDIANA RELATIVA A LA

A H D C

B

x

A H D C

B

x

x

MN es base media

B

M N

A C

x

2x

a

b

x

a b x

m n

y

x

HIPOTENUSA:

En todo tringulo rectngulo, la longitud

de la mediana relativa a la hipotenusa es

na mitad de sta.

Si: MN es MEDIANA

1AM MB MC AC2

3. TEOREMA DE LA MEDIATRIZ Todo punto de la mediatriz de un segmento equidista los extremos de

dicha mediatriz

APB es Issceles

4. TEOREMA DE LA BISECTRIZ Todo punto que pertenece a la bisectriz de un ngulo equidista de los lados de

dicho ngulo

TRINGULOS RECTNGULOS

NOTABLES

1. Tringulo Rectngulo de 45-45

( 45-45)

En todo tringulo rectngulo de 45 -

45, el cateto que se opone a un ngulo

de 45 mide la mitad de la hipotenusa

multiplicada por 2 .


( 30-60 )

En todo tringulo rectngulo de 30-60,

se cumple que:

- El cateto que se opone a un ngulo de 30 mide la mitad de

la hipotenusa.

- El cateto que se opone a un ngulo de 60 mide la mitad de

la hipotenusa multiplicada por 3 .


( 37-53)

Slo en los tringulos rectngulos de

37-53, SUS LADOS ESTAN EN PROGRESIN ARITMTICA.


( 15-75)

En todo tringulo rectngulo de 15 -

75, se tiene:

45

k 45

k

k 2

45

45 k k

2

k

2

60

30

2k k

k 3

4k37

535k

3k

B

O A

P

Si: 1L :Mediatriz

AP PB

A B

P

L1

PA PB

OA OB

A

B

C M

15

4k

( 6 2)k

(6

2)k

15 (6

2)k

(23

)k

Si OP:Bisec triz

6. Tringulos Rectngulos de 53

2

y 37

2

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

En la figura hallar el valor de AC, si

AB = 20m.

A) 10m B) 10 2 m

C) 10 6 m D) 10 3 m

E) 5 3 m

Solucin:

Trazamos AH BC , para obtener

(45-45) y (30-60)

Luego:

AHB (30-60):

Si AB = 20

BH = 10 (Opuesto a 30)

y AH = 10 3 (Opuesto a 60)

AHC (45-45):

Si AH = 10 3

AC = AH 2 (Hipotenusa)

AC = (10 3 ) 2

AC 10 6

EJEMPLO 2

Hallar el valor del segmento AC , en el

grfico que se muestra a continuacin,

si BC = 2 m.

A) 2 B) 2

2

C) 2 2

D) 6

3

E) 2

Solucin:

3kk 10

k

37

2

2kk 5

k

53

2

CLAVE: C

Si viene un problema con

ngulos de 15 o 75,

frecuentemente se usa la

suma o resta de 30 y 45

60

75

A C

B

60

B

H 20

30

A C

B

15

30

A C

B

15

45

45 60

H

2

Prolongamos AB , as el ngulo externo

en B seria 45 (Notable)

Trazamos CH AB , para obtener

(45-45) y (30-60)

Luego:

BHC (45-45):

Si BC = 2

CH = 1 (Opuesto a 45)

AHC (30-60):

Como CH = 1

AC = 2CH (Opuesto a 60) AC = 2 (1)

AC 2

TEOREMA DE THALES

Tres o ms rectas paralelas,

determinan sobre dos o ms rectas

secantes, segmentos cuyas

longitudes son proporcionales.

AB DE

BC EF

SEMEJANZA DE TRINGULOS

Si dos tringulos son semejantes,

entonces tienen sus ngulos

respectivamente congruentes y sus

lados homlogos respectivamente

proporcionales.

KDF

AC

EF

BC

DE

AB

K : Constante o razn de semejanza

NOTA: Lados Homlogos son aquellos

lados que se oponen a ngulos

congruentes.

OBSERVACIONES

1. Si ABC A'B'C'

KR

R

r

r

h

h

c

c

b

b

a

a

''''''

2. Si EF // AC

CLAVE: C

A

B

C

D

E

F

B

A C D

E

F

A

B

C

R

r h

A'

B'

C'

R'

r' h'

EFDBCA

FEDCBA

FDECAB

ABCEBFy

FC

BF

EA

BE

3. Si EF // AC

a m

b n

y EBF ABC

PROYECCIN ORTOGONAL

P' : Proyeccin Ortogonal de P sobre L

A'B': Proyeccin Ortogonal de AB sobre L

RELACIONES MTRICAS EN

TRINGULOS RECTNGULOS

AH: Proyeccin ortogonal de AB sobre

la hipotenusa

HC: Proyeccin ortogonal de BC sobre

la hipotenusa

1. Teorema del Cuadrado del Cateto:

bna .2 bmc .2

2. Teorema de Pitgoras:

222 cab

3. Teorema del Cuadrado de la Altura:

nmh .2

4. Teorema del producto de Catetos:

cahb ..

NATURALEZA DE UN TRINGULO

Averiguaremos si un tringulo es

acutngulo, rectngulo u obtusngulo,

con las siguientes relaciones:

Siendo: a > b y a > c

Se tiene que:

1. Si: a2 < b2 + c2 < 90 Luego ABC es Acutngulo

2. Si: a2 = b2 + c2 = 90

a

A

m

n b C

E F

B

A

E

B

F

C

P B

A

M

N' P' B' A' M'

N

L

A

B

C H

a c

b

m n

A

B

C

c

b

a

Luego ABC es Rectngulo

3. Si: a2 > b2 + c2 > 90

Luego ABC es Obtusngulo

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Los lados de un tringulo miden 15,

18 y 20 metros. Qu tipo de

tringulo es?

A) Issceles B) Obtusngulo

C) Acutngulo D) Rectngulo

E) Equiltero

Solucin:

Aplicamos las relaciones de la

Naturaleza de un tringulo y se tendra:

202 < 182 + 152 < 90

Acutngulo

EJEMPLO 2

Las bases de un trapecio miden 4m y

12m, y los lados no paralelos 4m y

5m. Hallar el permetro del tringulo

mayor que se forma al prolongar los

lados no paralelos.

(UNSAAC 2001 II)

A) 21,5m B) 29,5m

C) 27,5m D) 25,5m

E) 23.5m

Solucin:

Notamos que: ARK MRO Por los que usamos proporciones:

x x 4x 2

4 12

y y 5 5y

4 12 2

Finalmente:

ERMETROP MRO= 12+(x+4)+(y+5)

ERMETRO

P MRO = 25.5 m

EJEMPLO 3

Oswaldo hace un recorrido de la

siguiente manera: 50 pasos al SUR,

100 pasos al NORTE, 70 pasos al

ESTE, luego 80 pasos al SUR. A

cuantos pasos del punto de partida se

encuentra?

(UNSAAC 2001 II)

A) 58 10 B) 10 58

C) 10 85 D) 158 10

E) 58 58

Solucin:

Realizamos el grfico de acuerdo a los

datos del problema y se tiene:

CLAVE: D

R

x+4 y+5

M

4

12 O

K

y

5 4

A

x

A

B

C

15

18

20

CLAVE: C

Finalmente en el tringulo sombreado

aplicamos el Teorema de Pitgoras:

2 2 2D 70 30

2 2 2 2D 10 7 3

D 10 58

EJEMPLO 4

Las longitudes de los catetos de un

tringulo rectngulo son entre s,

como 2 es a 3. En que relacin

estn las longitudes de sus

proyecciones sobre la hipotenusa?

(UNSAAC 2002 I PRIMERA OPCION)

A) 4

9

B) 2

3

C) 1

2

D) 2

3

E) 3

5

Solucin:

Usamos los teoremas de Relaciones

Mtricas en tringulos rectngulos.

(Teorema del Cuadrado del Cateto)

2

x2k m b (I)

2

x3k n b (II)

Dividimos (I) y (II)

2x

2x

an2k

n b3k

a 4b 9

PROBLEMAS RESUELTOS

PROBLEMA 1

En la siguiente figura, calcular el

valor de x, si el segmento AC es bisectriz del ngulo A y a- b = 20

A) 140 B) 150 C) 90

a b

40

x

A

B C

D

O

CLAVE: A

h

H A C m n

3k 2k

B

b

N

S

D

O

70

70

50

100 50 80

30

2

1

3

4

N

CLAVE: B

D) 100 E) 110

Solucin:

ADO: a + b = 40 (I) ( externo)

Dato: a b = 20 (II)

(I) + (II) a = 30

Finalmente:

BOA: x + a + 40 = 180

x + 30 + 40 = 180

x = 110

PROBLEMA 2

Sabiendo que el segmento AB mide

40cm. Hallar la medida del segmento

PQ.

A) 5 B) 10 C) 15

D) 20 E) 25

Solucin:

ABC: (30-60)

Si AB = 40 AC = 20

PCA: (45-45)

Como AC = 20 PC = 20

QCA: (53-37)

Cmo AC = 4K=20 K = 5

Luego QC = 3K QC = 15

PQ = 5

PROBLEMA 3

En la figura, si la medida de AE es

igual a la medida de BE, hallar la

medida del ngulo x.

A) 20 B) 10 C) 30

D) 25 E) 15

Solucin:

40

30

45

53

37 20 = 4k A C

B

Q

P

3k=15

5 20

CLAVE: A CLAVE: E

a a

40 40 x O

A

B C

D b

30

A

B D

C

E x

25

A C

B D

x

30 25

25

E

30

45

53

A

B

P

Q

C

Si: AE = BE BAE = ABE = 25

ABE: = 25+25 ( Externo) = 50

DEC: = x + 30 ( Externo) 50 = x +30

x = 20 Podemos usar la propiedad de la Mariposa

25 + 25 = x + 30

x = 20

PROBLEMA 4

En el interior del tringulo equiltero

ABC, se sita un punto A de tal manera que el ngulo AQC mide 90

y el ngulo QAC mide 55. Hallar la

medida del ngulo BCQ.

A) 35 B) 15 C) 25

D) 45 E) 60

Solucin:

AQC: QAC = 55 (Dato)

ACQ = 35

ABC: ACB = 60

35 + x = 60 x = 25

PROBLEMA 5

En la figura AB = BC. Determinar el

valor del ngulo ADC.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 75 B) 105 C) 80

D) 45 E) 35

Solucin:

ABC Issceles BH es bisectriz. ABH = HBC= 40

CLAVE: C

CLAVE: A

60

55 35 x

Q

A C

B

A

B

D

C

40

A C

B D

x

30 25

25

40 40

x x x

50

H A

D

B

C

E

Tambin Si: AB = BC

2 = 50 = 50

ABE: + 80 + x = 180 x = 75

PROBLEMA 6

En la figura adjunta determinar el

valor de a+b

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 33 B) 38 C) 36

D) 34 E) 36

Solucin:

BCD: (30 - 60)

BC = DC 3

b = 3 ( 3 )

b = 3

ABC: (45 - 45)

AC = BC AC = 3

a = 3 3

PROBLEMA 7

Determinar el valor del ngulo x, en

la figura:

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 80 B) 75 C) 85

D) 70 E) 60

Solucin:

CAR: 4 + 30 = 90 = 15

AMO: + x = 90 x = 75

PROBLEMA 8

Hallar el valor del ngulo x en la siguiente figura, si BM=MC y

AB=BC.

(UNSAAC CBU INT 2000)

CLAVE: B

CLAVE: A

CLAVE: A

A C

B

D

b

a

45 60

3

2

x

30

2

x

30 M

C

O R A

3 a

b = 3

45 60

45 30

A D

B

C 3

A

x

B

M C 50

A) 20 B) 40 C) 25

D) 45 E) 30

Solucin:

ABC: Issceles

BAC = BCA = 50

BMC: Issceles

MBC = MCB = 50

Luego en ABC 50 + (x + 50) + 50 = 180

x = 30

PROBLEMA 9

En la siguiente figura determinar el

valor de x. (UNSAAC CBU INT 2000)

37

53

x

2 2

A) 28 B) 23 C) 3

28

D) 213 E) 3

34

Solucin:

ABC: (37 - 53)

2 2 3k 2 2k3

Luego: x 4k

8 2x3

PROBLEMA 10

La suma de las medidas de los

ngulos marcados en la figura adjunta, es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

CLAVE: C

CLAVE: E

53

37

x = 4k

A B

C

k322

A C

B

50 x

50

H 50

A) 120 B) 150 C) 360

D) 270 E) 180

Solucin: Propiedad del Pantaloncito

En ABCF:

= a + b + c

Luego: FED: + d + e = 180 a + b +c + d +e = 180

PROBLEMA 11

Calcular la longitud de AB en el

tringulo ABC, de la figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 10 B) 14 C) 16

D) 12 E) 8 Solucin:

Trazamos BH AC para aprovechar el ngulo de 60.

BHC (30 -60)

HC = 3 BH = 3 3

Luego en BHA. (Teor. Pitagoras)

2 2 2x 13 (3 3)

x = 14

PROBLEMA 12

Determinar la medida de AB , en la

figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 27 B) 30 C) 25

D) 20 E) 28

Solucin:

PAM: (30 - 60)

Si AP = 6 AM = 3

QMN: (45 - 45)

CLAVE: B

CLAVE: E

B

b A

C

c

e

E

d

D

F

a

A

B

C

x 6

30

H 13 3 16

60

3 3

A

P

6

Q R

B N M

60 45

53 25 4

x

37

2

A

P

6

Q R

B N M

60 45

53 25

4 2

A

B

C

6

16 60

Si QM = 4 2 MN = 4

RNB: (37 - 53)

Si RN = 25

RN = 5k = 25

k = 5

NB = 3k NB = 15

Luego: AB = AM + MN + NB

x = 27

PROBLEMA 13

En la figura adjunta: AB = BC.

Hallar la medida del ngulo X.

(UNSAAC CBU 2000 II)

A) 30 B) 20 C) 25

D) 15 E) 35

Solucin:

ABC Issceles CAB = ACB = x

CAB: x + x = 50 ( externo)

x = 25

PROBLEMA 14

En la figura adjunta, calcular el valor

de X.


A

B

C

15

12 X

37

A) 5 B) 10 C) 12

D) 6 E) 8

Solucin:

ABC: (37 - 53)

CB = 15

3k = 15 k = 5

Luego: AB = 4k

AB = 20

Finalmente: x = AB 12

x = 20 - 12

x = 8

PROBLEMA 15

En la figura adjunta. Determinar el

valor de 2X.

A B

C

37

4k = 20 12 x

15 = 3k

CLAVE: E CLAVE: C

CLAVE: A

A

C

B D 40 X 50

A

C

B D 40 X


A) 120 B) 130 C) 180

D) 100 E) 140

Solucin:

MAZ: = x + x ( Externo) = 2x

RUK: = x + x ( Externo) = 2x

LIT: = x + x ( Externo) = 2x

Luego en LUZ tenemos sus 3 ngulos externos

6x = 360 x = 60

2x = 120

PROBLEMA 16

Las bases de un trapecio miden 4

metros y 12 metros y los lados no

paralelos 4 metros y 5 metros. Hallar

el permetro del tringulo mayor en

metros, que se forma al prologarse

los lados no paralelos.

(UNSAAC CBU 2000 II) A) 20.5 B) 26.5 C) 25.5

D) 24.5 E) 18.5

Solucin:

ARK MRQ (son semejantes, por lo tanto usamos proporcionales)

x x 4x 2

4 12

y y 5y 2.5

4 12

Finalmente el permetro del tringulo

MRO (2p) sera:

2p = (4 + x) + ( y + 5) + 12

2p = 25.5

PROBLEMA 17

En la figura: Hallar AE

CLAVE: C

CLAVE: A

x

x

x x

x

x

A R

K

x

x

U Z

x x

M

I T

x

x

L

12 M O

5

K

y x

R

4 A

4

Nada puede conseguir el

hombre si no es a travs

del sacrificio.

B

D 15

8

A) 9 + 4 3 B) 16 C) 21

D) 12 + 4 3 E) 13

Solucin:

De la figura: AE = AC + CE

Entonces calculamos AC y CE

BAC: (37 - 53)

Si BC = 15

BC = 5k k = 3

Pero: AC = 3k AC = 9

DCE: (30 - 60)

Si DE = 8

DE = 2a a = 4

Pero: CE = a CE = 4

Finalmente:

AE = AC + CE

AE = 9 + 4

AE = 13

PROBLEMA 18

Determinar la suma de los ngulos

marcados en la siguiente figura:

A) 160 B) 240 C) 120

D) 180 E) 360

Solucin:

En este problema nos estn pidiendo:

+ + +

Para empezar a resolver este problema,

prolongamos AD hasta E (E en BC), con

la finalidad de formar los tringulos

ABE y DEC.

Luego:

ABE: = + ( externo)

DEC: + + = 180

( + ) + + = 180

+ + + = 180

OTRA FORMA:

CLAVE: D

A

B

D C

E

CLAVE: E

A

B

D

E C 53 60

15 8

37

30

Propiedad del Pantaloncito

En ABCD:

180 - = + +

+ + + = 180

PROBLEMA 19

Hallar el valor de x en la siguiente figura:

A) 6 B) 9 C) 6 2

D) 6 3 E) 9 2

Solucin:

BEC: (30 - 60)

Si BC = 6 (Hipotenusa)

CE = 3 (Opuesto a 30)

ABC: (30 - 60)

Si BC = 6 (Opuesto a 30)

AC = 12 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CE

AE = 12 - 3

AE = 9

Finalmente:

DEA (45 - 45)

Si AE = 9

AE = 9 2

x = 9 2

PROBLEMA 20

En la figura, ABCD es un

rectngulo, hallar x


A) 18 B) 24 C) 32

D) 30 E) 20

C

A

B

D

E

x

8

37

45

30 45

x

6

CLAVE: E

CLAVE: D

A

B

D

C 180-

A

B C

D

E

x

6

3

9

30 60

30 45

45

Solucin:

ABF: (45 - 45)

AB = BF = 8

ECF: (45 - 45)

EC = CF = 3k

ECB: (37 - 53)

Si: EC = 3k

BC = 4k 8 + 3k = 4k

k = 8

Luego: x = 3k + 8

x = 32

PROBLEMA 21

Determinar la suma de los ngulos

resaltados.


A) 180 B) 720 C) 540

D) 240 E) 360

Solucin:

Nos piden: a + b + c + d + e + f + g + h

Entonces tomamos los tringulos:

MTZ: a + f + = 180

LIA: b + e + = 180

RES: c + h + = 180

KUO: d + g + = 180

Sumando las 4 ecuaciones se tiene:

a + b + c + d + e + f + g + h + (+++) = 720

Pero en LUZE: + + + = 360

Finalmente:

a + b + c + d + e + f + g + h + (360) = 720

a + b + c + d + e + f + g + h = 360

PROBLEMA 22

En la longitud adjunta, determinar la

longitud x. (UNSAAC CBU 2001 II)

A) 12 2 B) 14 2 C) 10 2

30 45

x

8

CLAVE: E

M

A

R K

I

T

S

U

O

Z

E

L a

b

c d

e

f

g h

CLAVE: C

A

B

D

E

x

8

37

45

45

45

45 C F

3k

3k 8

8

D) 8 2 E) 9 2

Solucin:

BEC: (30 - 60)

Si BC = 8 (Hipotenusa)

CE = 4 (Opuesto a 30)

ABC: (30 - 60)

Si BC = 8 (Opuesto a 30)

AC = 16 (Hipotenusa)

Luego: AE = AC - CE

AE = 16 - 4

AE = 12

Finalmente:

DEA (45 - 45)

Si AE = 12

x 12 2

PROBLEMA 23

En la figura L1 // L2, calcular , sabiendo que el tringulo ABC es

equiltero.


A) 80 B) 120 C) 160

D) 100 E) 140

Solucin:

Como el ABC es equiltero:

A = B = C = 60

BUM: + 60 = 100 ( externo)

= 40

Luego: Propiedad del Serruchito

+ (180-) = 60

= 160

PROBLEMA 24

En la siguiente figura. Hallar la

medida del ngulo :

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 60 B) 80 C) 90

CLAVE: C

A

L1

L2

U

P

60

180-

CLAVE: E

A

B C

D

E

x

8

4

12

30 60

30

45

45

A

B

C

100

L1

L2

U

M

P

60

60

180-

A B

D

C

2x

A

B

C

100

L1

L2

D) 20 E) 100

Solucin:

Si AD = DB ADB Issceles Luego: DAB = DBA= 2x

ADB: CDB = 2x + 2x ( externo)

CDB = 4x

Si CD = CB DCB Issceles Luego: CDB = CBD = 4x

DCB: 4x + 4x + x = 180 x = 20

Finalmente:

ACB: CBE = 2x + x ( externo)

= 3x

= 3 (20)

= 60

PROBLEMA 25

Calcular el valor del ngulo x, si AB = AC; BD = BC

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 40 B) 36 C) 30

D) 25 E) 50

Solucin:

Como BD = BC DBC Issceles

Luego: BAC = BCD = 50

Tambien AB = AC BAC Issceles

Luego: ABC = ACB = 50

Finalmente:

DBC: 50 + (x + 50) + 50 = 180 x = 30

PROBLEMA 26

Calcular la medida del lado AE del

siguiente polgono ABCDEA.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 36 B) 28 C) 6

D) 8 E) 10

CLAVE: C

x

50

D A

B

50

50

C

CLAVE: A

A B

D

C

2x 4x 4x

x

2x

E

x

50

D C A

H A C E

B

D

45

37

3630

Solucin:

DEC (30-60):

Si DE = 36 (Opuesto a 60)

EC = 6 (Opuesto a 30)

CEB (37-53):

Si EC = 6 (Opuesto a 37)

BE = 8 (Opuesto a 53)

AEB (45 - 45)

AE = BE

AE = 8

PROBLEMA 27

En la figura, ABC es un tringulo

issceles (AB = AC). Determinar x

si AD = AE.


A) 15 B) 20 C) 10

D) 30 E) 45

Solucin:

Si ABC issceles AB = AC

Luego: m ABC = ACB = .

Si AD = AE ADE issceles

Luego: ADE = AED = .

Seguidamente:

DEC: ADE = + x ( externo)

= + x (I)

BAD: ADC = + 30 ( externo)

+ x = + 30 (II)

Finalmente:

(I) en (II): + 30 = ( + x) + x

x = 15

PROBLEMA 28

En un tringulo issceles EFG, de

base FG , se toman los puntos M y

N sobre EF y EG respectivamente,

de modo que: FM = MN = EN. Si el

ngulo G del tringulo dado mide

80, hallar el ngulo MNF .


A) 20 B) 30 C) 10

D) 80 E) 60

CLAVE: D

E

D

45

37 45

53

60

30

6

8

A

B

36

x 8C

CLAVE: E

A

B D

E

C x

30

A

B D

E

C

x

30

Solucin:

Como FG es la base EF = EG

Luego: EGF = EFG = 80

EFG: EGF + EFG + FEG = 180

80 + 80 + FEG = 180

FEG = 20

Nos dan: MN=NE

MEN es Issceles

Luego: MEN = NME = 20

Como: MN = MF MNF es Issceles

Luego: MNF = MFN = x

Finalmente:

NME = x + x (externo)

20 = 2x

x = 10

PROBLEMA 29

En la figura AC = 2, determinar 2x.


A) 3 B) 2 C) 2 1

D) 2 1 E) 3 1

Solucin:

Trazamos CH AB para aprovechar los ngulos de 30 y 45

CHA (30-60):

Si CA = 2 (Hipotenusa)

CH = 1 (Opuesto a 30)

y HA = 3 (Opuesto a 60)

CHB (45-45):

Si CH = 1 (Opuesto a 45)

HB = 1 (Opuesto a 45)

BDA (30-60)

Si BD = x (Opuesto a 30)

AB = 2x (Hipotenusa)

Pero: AB = 1 + 3

2x = 3 + 1

x

45

D C

30

B

15 H

60

2

1 2x

1 3

A

CLAVE: C

20

G

80 80

x

x

20

N

M

E

F

x

45

D A C

30

B

El XITO es la

envoltura del sacrificio.

PERMETRO

Es la suma de las medidas de los lados de

una figura geomtrica.

Se representa con 2p

Cuando vemos p en alguna frmula, esto significa

semipermetro, y es la mitad del

permetro.

Permetro del ABC: 2p(ABC)

PERMETROS DE POLGONOS

REGULARES

El permetro de un Polgono Regular es

igual al nmero de lados multiplicado por

la longitud de un lado.

2p n l

Donde:

n: nmero de lados

l: longitud de un lado

CIRCUNFERENCIA:

Es la curva plana y cerrada, cuyos puntos

equidistan de un punto interior llamado

centro.

* La distancia de un punto cualquiera

de la circunferencia al centro, se

denomina RADIO.

CRCULO:

Es la regin plana determinada por la

unin de la circunferencia y su interior.

Es el conjunto de todos los puntos de la

circunferencia y de los interiores a la

misma.

Donde:

O: Centro (del crculo o la circunferencia)

r : Radio (del crculo o la circunferencia)

P: Punto de la circunferencia

O: Punto interior de la

circunferencia

O no pertenece a la circunferencia pero si al crculo.

CLAVE: E

C

B

A

c

b

a

2p(ABC) = a + b + c

Semipermetro del ABC (p)

a + b +c

p =2

r O

P CRCULO

CIRCUNFERENICIA

Por lo tanto:

- La circunferencia tiene

longitud, ms no rea.

- El crculo tiene rea y su

permetro es la longitud de

su circunferencia.

PERMETROS CAPTULO

2

LONGITUD DE LA

CIRCUNFERENCIA (Lc)

Es el lmite hacia el cual se aproximan los

permetros (P) de los polgonos regulares

inscritos cuando su nmero de lados

aumenta indefinidamente.

nlim P Lc

EL NMERO

El nmero pi, tambin llamado Nmero LEUDOLFINO (en honor a Ludolf Van Ceulen, Matemtico Alemn

u Holands que determino su valor hasta

con 354 lugares decimales); es el valor

constante de la razn de la longitud de

una circunferencia (Lc) a su dimetro.

Lc

D Lc D

Pero D = 2r Lc 2 r

EL VALOR DE

El nmero pi es el ms importante de la ciencia matemtica, y es

inconmensurable, as tambin como su

cuadrado, su cubo, etc.

Su valor aproximado es: 3.14159265359

Su Cuadrado es: 9.869604401089

Su Cubo es: 31.0062766803

Su Inverso es: 0.318309886184

Su Raz Cuadrada es: 1.772453850906

Su Logaritmo en Base 10 es: 0.497149872

El nmero pi siempre a sido un nmero interesante para los matemticos, as

tenemos:

Los Babilonios ( = 3 ) Arqumedes ( 2 decimales )

Francois Viette ( 7 decimales )

Mtius ( 8 decimales )

Adrien Romanus ( 16 decimales )

L. V. Ceulen ( 35 decimales )

SHARPS ( 73 decimales )

Lagny ( 127 decimales )

Vega ( 140 decimales )

Dhase ( 200 decimales )

Rutherford ( 440 decimales )

Shangks ( 530 decimales )

Y otros han aportado valores racionales

aproximados de pi; tales como:

Arqumedes:

22 3.142...7

Adriano Mecio:

3553.1415929...

113

Papiro de Ahms: 2

163.16049...

9

Los Hindes:

3927 3.1416...1250

Cuando se realizan trabajos de mucha

precisin se usa 3.1416 , que viene a ser un trabajo aproximado por

exceso con un error menor que

0.0001.

B A

Lc = 2r

B A

D =2r

LONGITUD DE UN ARCO

Realizamos una Regla de Tres Simple:

AB

Lc 360

L

ABL Lc

360

Pero: Lc 2 r

Como D = 2r

PROPIEDADES

1. LONGITUD DE EN FUNCIN

AL DIMETRO DE UNA

SEMICIRCUNFERENCIA

AB

180L 2 r

360

ABPero r

2

2. LONGITUD DE UNA LNEA

CURVA FORMADA POR

SEMICIRCUNFERENCIAS

La suma de las longitudes de las

semicircunferencias con sus dimetros

sobre AB, equivale a la longitud de una

semicircunferencia de dimetro AB.

Demostracin:

Sabemos por la propiedad anterior que:

AB

ABL

2

Luego, tambin se tenda:

AM

MN

NB

AM MN NB

AML

2

MNL

2

NBL

2

AM MN NBL L L

2 2 2

AM MN NB

AM MN NBL L L

2

AM MN NB

ABL L L

2

AB

ABL

2

AB

DL

360

B A

r

ABL 2 r

360

B A

AB

ABL

2

AB

ABL

2

B

A

O

r

r AB

L

B A M N

La propiedad anterior, tambin la

podemos aplicar si la figura se presenta

de esta forma:

3. SEMICIRCUNFERENCIAS

CUYOS DIMETROS ESTN

FORMADAS SOBRE UN

SEGMENTO

La suma de las longitudes de las

semicircunferencias con sus dimetros

sobre un segmento AB, es igual a la

medida de AB, multiplicada por y dividida por 2.

Nota: Las curvas formadas sobre AB son

todas semicircunferencias.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

A UNA CIRCUNFERENCIA

1RA. PROPIEDAD

Las tangentes trazadas desde un punto

exterior a una circunferencia son iguales.

PA PB

2DA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos

circunferencias son iguales.

AB CD

3RA. PROPIEDAD

Las tangentes comunes exteriores a dos

circunferencias son iguales.

MN PQ

TEOREMAS IMPOTANTES

M

P

Q

N

A

B

C D

A

B

O

P

R

R

De ahora en adelante:

B A

AB

ABL

2

B A

AB

ABL

2

ABL Significa longitud de las curvas

(semicircunferencias) en AB , y es

igual a:

AB

ABL

2

1. TEOREMA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el

dimetro de la circunferencia inscrita

Se anuncia tambin as En todo tringulo rectngulo, la suma de los

catetos es igual a la suma de los

dimetros de las circunferencias inscrita y

circunscrita

AB BC AC 2r

AB BC 2R 2r

2. TEOREMA DE PITOT

En todo cuadriltero circunscrito a una

circunferencia, la suma de dos lados

opuestos es igual a la suma de los otros

dos lados.

AB CD BC AD

EJEMPLOS

EJEMPLO 1

Hallar el permetro de la figura

sombreada, si los arcos formados

sobre este segmento son todos

semicircunferencias; y el segmento

MO mide 20.

A) 10 B) 20 C) 5

D) 10(+2) E) 20(+1)

Solucin:

Sabemos que:

MA AR RC CO MOy que : L L L L L

Luego:

SOMBR.

MOPerm. MO

2

SOMBR.

20Perm. 20

2

SOMBR.Perm. 10 2

EJEMPLO 2

C

A

B

D

A C

B

r

R

MO

MOL

2

CLAVE: D

SOMBR. MO MA AR RC COPerm. L L L L L

O M

O M A R C

Debes tener cuidado, cuando te

pregunten: de la figura sombreada, por que en este ejemplo vemos que la figura

sombreada esta formada por

semicircunferencias y tambin

por segmentos.

Hallar el permetro de la figura

sombreada, si los arcos mostrados

son semicircunferencias; y el

segmento AB mide 20.

A) 10 B) 20 C) 5

D) 10(+2) E) 20(+1)

Solucin:

SOMBR.

AB ABPerm.

2 2

SOMBR.

20 20Perm.

2 2

SOMBR.Perm. 10 10

SOMBR.Perm. 20

EJEMPLO 3

El tringulo ABC es un tringulo

equiltero, los arcos son

semicircunferencias. Hallar el

permetro de la regin sombreada, si

el permetro del tringulo es 12.

A) 3 B) 4 C) 6

D) 8 E) 4(+3)

Solucin:

Dato: PERIM. ABC = 12

AB + BC + AC = 12

Luego: AB = BC = AC = 4

SOMBR.

AB BC ACPerm.

2 2 2

SOMBR.

4 4 4Perm.

2 2 2

SOMBR.Perm. 6

EJERCICIOS

B A M N

CLAVE: C

A

B

C

A

B

C

CLAVE: B

SOMBR. AB ABPerm. L L

SOMBR. AB BC ACPerm. L L L

B A

En este caso, la figura

sombreada esta

limitada solamente por

semicircunferencias.

PROBLEMA 1

El lado del rombo mide 13 m y la

diagonal menor mide 10m. Hallar el

permetro de la regin sombreada.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 19 + 61 m B) 11 + 61 m

C) 18 + 61 m D) 25 + 61 m

E) 20 + 61 m

Solucin:

BHA: (Teorema de Pitgoras)

2 2 213 5 BH

BH 12

BHA: (Teorema de Pitgoras)

2 2 2PC 5 PH 2 2 2PC 5 6

PC 61

Finalmente:

SOMBREADOPerm BP BC PC

SOMBREADOPerm 6 13 61

SOMBREADOPerm 19 61

PROBLEMA 2

En el cuadrado ABCD de 10 cm. de

lado, se ha trazado

semicircunferencias en cada lado.

Calcular el permetro de la regin

sombreada.

A) 20 cm. B) 20( + 4) cm.

B) 20 ( + 1) cm. D) 10 ( + 4) cm.

E) 20 ( + 2) cm.

Solucin:

S CURVAS SEGMENTOSP L L

Donde: P s = Permetro Sombreado

Dato: Lado del Cuadrado = 10 cm.

CLAVE: A

5 5 A

P

6

6

13

D

B

C H

13

13 13

x x

2

A

D C

B

10

A B

C D

5

5

5

5

Luego: AB = BC = CD = AD = 10 cm.

Primero calculamos la suma se las

longitudes de los segmentos que limitan a

la regin sombreada SEGMENTOSL .

SEGMENTOSL AB BC CD AD

SEGMENTOSL 10 10 10 10

SEGMENTOSL 40

Seguidamente calculamos la suma se las

longitudes de las curvas que limitan a la

regin sombreada CURVASL , para lo cual usamos la propiedad.

Luego:

CURVAS

AB BC CD ADL

2 2 2 2

CURVAS

10 10 10 10L

2 2 2 2

CURVASL 20

Finalmente:

S CURVAS SEGMENTOSP L L

SP 40 20

SP 20 2

NOTITA: Para no operar tanto debemos

darnos cuenta que:

Si AB = BC = CD = AD

PROBLEMA 3

En la figura AEB es una

semicircunferencia, cul es el

permetro de la figura cerrada

ADCBEA?


A) 16 + B) 8 +

C) 14 + D) 12 +

E) 13 +

Solucin:

ERMETRO DEAP AB BC CD L

ERMETRO

ADP 6 2 6

2

ERMETRO

2P 14

2

ERMETRO

P 14

PROBLEMA 4

CLAVE: C

CLAVE: D

A

E

B C

D

2

6

AB

ABL

2

AB BC CD ADL L L L

1

B

D C 6

6

2 E

A

CURVAS AB BC CD ADL L L L L


sombreada que tiene forma de la letra

L, sabiendo que consta de dos rectngulos iguales contiguos, cada

uno de largo A metros y ancho B metros.


A) 2(2A + B) B) 2A + 2B

C) 4A + B D) 4A 2B

E) 7A 4B

2

Solucin:

Para calcular el permetro, sumamos todos los lados de la regin sombreada. Empezando del lado indicado en un solo sentido (en este caso en sentido horario)

ERIMP A B (A B) A B (A B)

ERIMP 4A 2B

ERIMP 2 2A B

NOTA: Tambin podemos sumar todos

los segmentos horizontales y luego todos

los verticales, y al final ambos resultados

parciales para obtener el total.

PROBLEMA 5

En la figura se tiene seis tringulos

rectngulos issceles. La razn del

permetro de la regin sombreada al

permetro de la regin no sombreada;

es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 4 B) 2 C) 3

D) 1

2 E) 2

Solucin:

De la figura:

1 2 3 4 5 6P P P P P P K

Luego:

S 1 3 4 6 SP P P P P P 4K

NS 2 5P P P 2K

1

1

1

1

2

2P1

P2

P3

P4

P5

P6

CLAVE: A

1

A

A

A

B

B

B B

A-B

INIC

IO

Finalmente:

NS

Ps 4K

P 2K

NS

Ps2

P

PROBLEMA 6

En la figura adjunta, ABCD es un

cuadrado de lado 4 cm. El permetro

de la regin sombreada en cm es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 2(12 ) B) 2(5 )

C) 10 D) 20

E) 2(10 2 )

Solucin:

De la figura:

SOMBREADO EXTERIOR INTERIORP P P

Luego: Hallamos

EXTERIORP

EXTERIORP AB BC CD AD

EXTERIORP 4 4 4 4

EXTERIORP 16

Hallamos INTERIORP

INTERIORP MR NP MN PR

2 2

INTERIOR(2) (2)

P 4 44 4

INTERIORP 8 2

Finalmente:

SOMBREADOP (16) (8 2 )

SOMBREADOP 2(12 )

PROBLEMA 7


permetro de la regin sombreada.


A) 2 4 B) 4 C) 4 2 D) 4 2

E) 2 4

CLAVE: A

A

B C

D

4

P

M R

N

O 2

2

2

2

CLAVE: B

A

B C

D

O

22

Solucin:

De la figura:

SOMBREADO AB

P AP PB L

Hallamos AP y PB en APB (45-45)

Si: AB 2 2 AP = PB = 2

Hallamos AB

L

AB

ABL

2 (Propiedad)

AB

2 2L

2

ABL 2

Finalmente:

SOMBREADO AB

P AP PB L

SOMBREADOP 2 2 2

SOMBREADOP 2 4

PROBLEMA 8

Hallar la suma de los permetros de

los 4 tringulos equilteros, sabiendo

que AB mide 12 cm.

A) 18 cm. B) 36 cm.

C) 26 cm. D) 40 cm.

E) 72 cm.

Solucin:

De la figura:

ERMETROP 3a 3b 3c 3d

ERMETROP 3(a b c d)

Pero nos dan: AB = 12

a + b + c + d = 12

Finalmente:

ERMETROP 3(a b c d)

ERMETROP 3(12)

ERMETROP 36

PROBLEMA 9

En la figura adjunta, determinar en

centmetros el permetro de la regin

sombreada, si todos los crculos

tienen un radio igual a 2 centmetros:

A) 16 B) 18 C) 4

D) 8 E) 24

CLAVE: B

A B a

a a

b

b b

c

c c

d

d d

CLAVE: E

O 22

A B

P

45 45

2 2

A B

Solucin:

De la figura el permetro de la regin

sombreada es igual a la suma las

longitudes de los arcos exteriores:

YML, LO, OV, VEZ, ZU, UY

y los arcos interiores:

YAL, LRY, UKO,OIU,ZTV, VSZ

Pero nos podemos dar cuenta que al

sumar los arcos YML y LRY se obtiene

la circunferencia MLRY, de manera

similar en los otros arcos al sumarlos se

obtiene una circunferencia, luego

podemos hallar el permetro de la regin

sombreada de la siguiente forma:

CYML LRY

CYAL LO OIU UY

CUKO OV VSZ ZU

CZTV VEZ

SOMBREADO C

L L L

L L L L L

L L L L L

L L L

Permetro 4L

Las cuatro circunferencias tienen

radios iguales por los tanto tienen la

misma longitud de circunferencia.

Finalmente:

SOMBREADOPermetro 4 2 r

SOMBREADOPermetro 4 2 2

SOMBREADOPermetro 16

PROBLEMA 10

Hallar el permetro del tringulo

rectngulo ABC.


A) 28 B) 20 C) 34

D) 24 E) 30

Solucin:

ABC (Teorema de Pitgoras)

2 2 25x 3x 2x 4

2 2 225x 9x 4x 16x 16

212x 16x 16 0

23x 4x 4 0

x = 2

Luego, el permetro sera:

ERMETROP 5x 3x 2x 4

ERMETROP 10x 4

ERMETROP 10(2) 4

ERMETROP 24

A

B C

2x + 4

5x 3x

CLAVE: A

L

M

O

Z

E

Y U

V

A R K I T S

A

B C

2x + 4

5x 3x

OTRA FORMA (MS RPIDA):

Observemos que este es un tringulo

Notable (3-4-5), entonces:

Luego: 4x = 2x + 4

x = 2

Finalmente el permetro:

ERMETROP 5x 3x 4x

ERMETROP 12x

ERMETROP 12(2)

ERMETRO

P 24

PROBLEMA 11

Hallar el permetro de la regin

sombreada.


A) 9 B) 10 C) 12

D) 18 E) 6

Solucin:

De la figura:

AOB BOC ACP L L L

AB BCP 2 r

2 2 360

6 6 90P 2 (6)

2 2 360

P 3 3 3

P 9

PROBLEMA 12

En la figura mostrada, hallar el

permetro de la regin sombreada, si

el radio de la circunferencia es r = 2a.

(UNSAAC CBU 2002 I)

A) 32 a B) 12 a C) 16 a

D) 8 a E) 20 a

Solucin:

Resolvimos un problema muy similar

anteriormente, por lo que podemos

afirmar que:

CLAVE: A

6

m

6

m

B

A

C

O

CLAVE: D

A

B C

3x 5x

2x 4

4x

6

m

6

m

B

A

C

r r r r r

SOMBREADOPermetro = 5 L

SOMBREADOPermetro = 5 [2 (2a)]

SOMBREADOPermetro

= 20 a

PROBLEMA 13


sombreada en la siguiente figura, si

AO = OB y los arcos son porciones

de circunferencias.


A) 15 B) 10 C) 6

D) 16 E) 12

Solucin:

De la figura podemos ver que :

SOMBR

2 R OA OBPerm

4 2 2

SOMBR

2 (8) 8 8Perm

4 2 2

SOMBRPerm 12

PROBLEMA 14

Determinar el permetro de la regin

sombreada, de la figura.


A) 16a ( + 2) B) 4a ( + 2)

C) 8a ( + 2) D) 8a ( - 2)

E) 8a (2 - )

Solucin:

De la figura, se deduce que:

SOMBRPerm = 4 + 4L (r = a)

SOMBRPerm = 4(4a) + 4[2 (a)]

SOMBRPerm = 8 a ( + 2)

A

8

B

O

CLAVE: C

CLAVE: E

A

8

B

O

8

CLAVE: E

a

SOMBR AO OBABPerm L L L

= 4a

a

REA:

El rea de una superficie limitada

cualquiera es su extensin, indicada por

un nmero positivo nico acompaada de

la unidad adecuada (cm2, m2, u2, etc.).

DEBEMOS RECORDAR QUE:

I. Las Figuras Equivalentes tienen

igual rea, sin importar la forma.

1 2A A

II. Las Figuras Semejantes tienen igual

forma, y sus reas son proporcionales

a los cuadrados de sus elementos

homlogos.

Por ejemplo:

Caso de 2 Tringulos Semejantes:

2 2 21

2 2 22

S AB BC AC

S MN NL ML

Caso de 2 Crculos:

22

21

22

21

2

1

r

r

D

D

S

S

PRINCIPALES FRMULAS DE

FIGURAS CONOCIDAS

A. REGIONES TRINGULARES

1. FRMULA GENERAL:

- Tringulo Acutngulo

bh

S2

- Tringulo Rectngulo

A

B

C

S1

M

N

L

S2

A2 A1

D1

S1 r1

D2

S2 r2

b

A C H

B

h

reas CAPTULO

3

49 INFORMES E INSCRIPCIONES

Av. de la Cultura 1020 Of. 203. 2do. Nivel. 244856

b hS2

- Tringulo Obtuso

b hS2

2. TRINGULO EQUILTERO:

2L 3

S4

2

h 3S

3

3. FRMULA TRIGONOMTRICA:

b c SenS2

4. FRMULA DE HERN:

a b cp2

S p p a p b p c

5. EN FUNCIN DE SU INRADIO:

S pr

6. EN FUNCIN AL CIRCUNRADIO

abc

S4R

7. TRINGULO RECTNGULO

CIRCUNSCRITO

nmS

8. EN FUNCIN A LOS EX-RADIOS

E INRADIO

A

C

B

h

b

C A

B

H

L L

L

h

C A H b

B

h

B

C A b

c a

A

B

C

c

b

b

a

h

B

C A b

c a R

A b

B

C

c a r

b

A

B

C

r

m n

ABC a b cS r R R R#

B. REAS DE REGIONES

CUADRANGULARES

1. CUADRADO:

2

S L

2

DS

2

2. RECTNGULO:

S ab

2 2 2

D a b

3. PARALELOGRAMO:

S bh

S abSen

4. ROMBO:

D d

S2

5. TRAPECIO:

B b

S h2

6. TRAPEZOIDE:

DdSen

S2

7. CUADRILTERO INSCRITO:

a b c d

p2

S p a p b p c p d

8. CUADRILTERO CIRCUNSCRITO

rpS

C. REGIONES POLIGONALES

1. POLGONO CIRCUNSCRITO:

Ra

C A

B

Rb

Rc

r

L

L D

b

a D

D

d

b

B

h

a

b

c

d

r

d D

b

a

h

rpS

2. POLGONO REGULAR

px apS

D. REGIONES CIRCULARES

1. Crculo:

2rS

2. Sector Circular:

2SECTOR

S r

360

SECTOR

LRA

2

3. Segmento Circular:

2 2

AB

r r SenS

360 2

4. Zona o Faja Circular:

ZC CD ABS S S

5. Corona Circular:

2 2CCS (R r )

6. Trapecio Circular:

2 2TC S R r360

Al Sector Circular, tambin se

le conoce como Tringulo

Circular o Tringulo Mixtilneo

y su rea se calcula as:

B

A

O

R

r

O

r

ap

B

D

A

C

R

r

R

B

A

O

B

A

O L

R

R

1 2TCL L

S R r2

ALGUNAS RELACIONES

IMPORTANTES DE REAS

A) Propiedad de la Mediana.

B) 1RA Propiedad de los Puntos Medios

C) 2DA Propiedad de los Puntos Medios

D) Se cumple que:

E) Se cumple que:

F) Se cumple que:

G) Se cumple que:

H) Se cumple que:

I) Se cumple que:

J) Propiedad del Tringulo Rectngulo:

R

r

O L1 L2

R-r

El rea de un Trapecio

Circular, tambin se puede

calcular con la frmula para un

trapecio y sera as:

T 1 2A S S

1S

2S

S

S

SS

S SS

S

S

1S 2S

3S

S

S S

SSS

TAS2

TAS6

TAS4

1 2S S

S S

TAS2

TAS2

TAS4

TAS2

S

1S 2S

S

Si los lados de un tringulo rectngulo

son lneas homologas de figuras

semejantes construidas sobre ellos,

entonces la suma de las reas de regiones

construidas sobre los catetos es igual al

rea de la regin apoyada en la

hipotenusa. Por consiguiente:

K) Lnulas de Hipcrates:

FRMULAS GEOMTRICAS

IMPORTANTES

1. TEOREMA DE PONCELET

En todo tringulo rectngulo, la suma de los catetos es igual a la hipotenusa mas el

dimetro de la circunferencia inscrita

a c b 2r

2. TEOREMA DE MENELAO

Toda secante a un tringulo, determina con dos lados del tringulo, cuatro

segmentos parciales, y con la

prolongacin del tercero otros dos

segmentos parciales. de tal forma que el

producto de tres de ellos no consecutivos

es igual al producto de los otros tres

tampoco consecutivos

abc xyz

PROBLEMAS

PROBLEMA 1

ABCD es un cuadrado, M y N son

puntos medios. Qu parte de la

figura falta sombrear?

A) 3/8 B) 4/8 C) 7/8

D) 5/8 E) 6/8

Solucin:

C B M

O

A N D

A D

B C M

N

3S

S

S

S

O

2S

1 2 3S S S

BA

C2S

1S

ABC 1 2S S S

A C

B

r c a

b

A

B

C D

E F

RECTA SECANTE

O TRANSVERSAL

Usamos la propiedad de la mediana vista

en la teora, por ejemplo:

En CNA MO mediana

NOA NOCA A S De manera similar para las otras regiones

Finalmente:

NS

T

A 5S

8SA

NS T

5A A

8

PROBLEMA 2

Hallar el rea de la regin sombreada,

s ABCD es un cuadrado de 12cm de

lado y ABE es un tringulo

equiltero.

A) 36 cm2 B) 72 cm2

C) 86 cm2 D) 70 cm2

E) 75 cm2

Solucin:

2cm72As

2

612

2

612As

AAAs BECAEA

Tambin podemos usar la propiedad:

AAs

2 Donde: E Punto Interior.

212As

2

2As 72 cm

PROBLEMA 3

Qu fraccin representa la regin

sombreada de la siguiente figura?

A) 3/8 B) 1/6 C) 1/2

D) 5/8 E) 2/5

Solucin:

Sabemos que en este tipo de problemas, es conveniente poner un valor al rea de la regin ms pequea, que en nuestro

CLAVE: B

CLAVE: D

B C

A D

A D

B C 12

E

12

6

6

A A

2A

A

A A

2A

A

A

A

caso es la mitad de un cuadrado, que puede ser un rectngulo o un tringulo. As ponemos A a la mitad del rea de la regin que encierra en cuadrado. Luego:

T

As 6A

12AA

T

1As A

2

PROBLEMA 4

Encontrar la fraccin que representa

la regin sombreada en el siguiente

cuadrado:

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 1/8 B) 5/16 C) 1/4

D) 3/16 E) 1/2

Solucin:

Observamos que podemos dividir la figura en tringulos congruentes. Luego contamos el nmero de tringulos sombreados y el total de tringulos que existen, para obtener la siguiente relacin:

T

5As

16A

#

#

T

5As A

16

PROBLEMA 5

En el tringulo equiltero mostrado

en la figura; AC = 6m, DC = 4m, AE

= 4m. Calcular el rea del tringulo

AED.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 5 m

2 B) 2 3 m2

C) 4 3 m2 D) 2 5 m

2

E) 3 m2

Solucin:

CLAVE: B CLAVE: C

A

E

B

D

C

Deducimos que BEA es equiltero AE = 2

Usamos la frmula trigonomtrica para hallar el rea de la regin triangular DEA.

Luego: DEA

4 x 2S Sen120

2#

DEA

4 x 2 3S

2 2#

2DEAS 2 3 m#

PROBLEMA 6

En la figura mostrada; si el rea de la

regin sombreada es 200 cm2. Hallar

el rea del cuadrado ABCD, sabiendo

que BOC y COD son semicrculos.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 400 cm2 B) 100 cm2

C) 600 cm2 D) 800 cm2

E) 300 cm2

Solucin:

En este tipo de problemas sabemos que debemos trasladar regiones para obtener una regin de rea conocida; as obtenemos:

ABCDDEA

SS

2#

ABCD DEAS 2S #

ABCDS 2 200

2ABCDS 400m

PROBLEMA 7

En la figura mostrada: 12 y 16

unidades son las medidas de las bases

del trapecio issceles inscrito en la

circunferencia de 10 unidades de

radio. Cul es el rea del trapecio?

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 172 u2 B) 196 u2 C) 164 u2

D) 156 u2 E) 144 u2

Solucin:

CLAVE: A

A

B C

D

CLAVE: B

A

B C

D

O

A C

B

2 2

2 60

60

60

4 4

60 6

120

E D

Para calcular el rea sombreada,

necesitamos hallar la altura.

Trazamos los radios OA y OB , para

formar tringulos rectngulos, entonces:

En ONA (37-53): b = 6

En BOM (37-53): a = 8

MN = a + b

MN = 14 (Altura del Trapecio)

Luego: 16 12A 142

2A 196

PROBLEMA 8

En la figura mostrada, hallar el rea

de la regin sombreada, sabiendo que

el sector circular ABC, es la cuarta

parte de un crculo de radio AB =

4cm.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 3 cm2 B) 2 cm2

C) 5 cm2 D) 4 cm2

E) 6 cm2

Solucin:

Como BAC es un cuadrante (la cuarta

parte de una circunferencia)

AC = AB = 4

BAC (45-45): BC = 24

Luego el radio del crculo sera 2 2

Finalmente:

22

S

4A 2 2

4

As 4

PROBLEMA 9

Hallar el rea del sector circular de

4m de radio y 8m de arco.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 4 m2 B) 64 m2 C) 16 m2

D) 32 m2 E) 12 m2

Solucin:

Para calcular rpidamente el rea de esta regin, usamos la frmula para el Triangulo Circular.

C

S BAA A A

CLAVE: D CLAVE: B

B C

A D

O

N

M

10

10

8 8

6 6

a

b A B

C

4

4

O

22

22

8

4 A

C

A B

O

S

8 4A

2

2SA 16m

PROBLEMA 10

En la figura mostrada, cada

cuadradito tiene un rea de 4 cm2. Cul es el rea de la regin

sombreada?

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 23 cm2 B) 18 cm2

C) 16 cm2 D) 15 cm2

E) 20 cm2

Solucin:

Dato 2a 4 a = 2

Luego:

S BAD BCDA A A # #

S

BD x AH BD x CQA

2 2

2

44

2

64

As

2SA 20cm

Que en este problema vino as:

PROBLEMA 11

La figura ABCD es un trapecio y

BCD un cuarto del crculo de radio

igual a 6cm. Hallar el rea de la

regin sombreada si AD = 12 cm.

(UNSAAC CBU 99 I)

A) 6 (9 - ) cm2 B) 9 (6 +) cm2

C) 48 - 9 cm2 D) 9 (6 - ) cm2

E) 32 + 9 cm2

b

h

A

CLAVE: E CLAVE: C

A

B C

D

A

B

C Q

H

a=2

a=2

D

4 6

b

h A

b hA

2

b hA

2

Recuerda que el rea de un tringulo

obtusngulo se calcula as:

Solucin:

Nos dan el radio del cuadrante

CD = CB = 6cm

Por lo tanto la base menor del trapecio mide 6 cm. Luego:

2

S

612 6A 6

2 4

2SA 9(6 )cm

PROBLEMA 12


sombreada, sabiendo que el rea del

cuadrado ABCD es 64 cm2

A) 4 ( )423 + cm. B) 3 ( )423 + cm. C) 3 ( )324 + cm. D) 2 ( )324 + cm. E) 2 ( )423 + cm.

Solucin:

Dato: ABCDA 64

2L 64 L 8

Ahora: Si L = 8 BH = HC = 4

Luego usamos el (45-45)

DO OB OC 4 2

Finalmente

S ERIM ERIMP P AHO P DOC # #

SP 4 2 8 8 2 8 SP 4 3 2 4 cm

PROBLEMA 13

En el cuadrado ABCD, de 20 cm. de

lado, los puntos M, N, P, Q, E, F, G y

H son puntos medios,

respectivamente. Cul es el rea del

cuadrado EFGH?

A) 200 cm2 B) 50 cm2

C) 100 cm2 D) 150 cm2

CLAVE: A

A

D C

B

O

L=8

4

4

4 2

4

4 2 4 2

CLAVE: C

A M B

N

C Q D

P

H G

F E

A D

B C 6

6

12

SA A A

A

D C

B

E) 250 cm2

Solucin:

Usamos la siguiente propiedad:

ABCDMNPQ

AA

2

Luego:

ABCDMNPQ

AA

2

2

MNPQ MNPQ

20A A 200

2

MNPQEFGH

AA

2

EFGH MNPQ

200A A 100

2

OTRA FORMA:

Dividimos el cuadrado en tringulos

congruentes:

Observamos que existen 16 tringulos en

el cuadrado ABCD, entonces:

ABCDA 16A #

220 16A # A 25#

Finalmente: EFGHA 4A #

2EFHGA 100cm

PROBLEMA 14

Calcular el rea del tringulo ABC

A) 350 m2 B) 400 m2

C) 450 m2 D) 250 m2

E) 300 m2

Solucin:

Como AB = BC ABC issceles

Luego AH = HC = 15.

BHA: (37-53)

Si AH = 3k= 15 (Opuesto a 37)

k = 5

Luego: BH = 4k (Opuesto a 53)

BH = 4(5) BH = 20

Finalmente:

ABC

AC x BHA

2#

53 A

B

C 15

37

H

CLAVE: C

A B

N

C Q D

P

H G

F E

M

CLAVE: C

53 A C 30 m

B A Q D

N

M P A

B

C

ABC

30 x 20A

2#

2ABCA 300cm#

PROBLEMA 15

Hallar el rea de la regin sombreada,

si el tringulo ABC es equiltero de

lado 12m y E, F, G son puntos

medios de los lados ACyBCAB , ,

respectivamente.

A) 12(3 3 -) m2 B) 3(12 3 -) m

2

C) 3( 3 -12) m2 D) 12( 3 -) m

2

E) 3(4 3 -) m2

Solucin:

De la figura: S 1 2A 2A A

Hallamos A1:

2

1 1

3 9A A

2 2

Ahora hallamos A2.

2

22

12 3 60A 2 6

4 360

2A 36 3 12

Luego: SOMBA 2A1 A2

SOMB

9A 2 36 3 12

2

2SOMBA 3 12 3 m

PROBLEMA 16

Calcular el rea de la regin

sombreada, si cada cuadrito tiene

2cm. de lado.

A) 96 cm2 B) 100 cm2

C) 80 cm2 D) 114 cm2

E) 120 cm2

Solucin:

Dividimos la regin total, en 5 regiones de reas conocidas (4 tringulos rectngulos y un rectngulo); luego tendramos:

CLAVE: B

CLAVE: E

A

B

C

E F

G

A1

A2

A4

A3

A5

2

A

B

C

E F

6

6 6

6

3 3 3 3

A1 A1

A2

S 1 2 3 4 5A A A A A A

Entonces, calculamos:

1

2 10A 10

2

2

8 6A 24

2

3

4 4A 8

2

4A 12 4 48

5

6 8A 24

2

Finalmente:

S 1 2 3 4 5A A A A A A

2SA 114cm

PROBLEMA 17

Si la longitud de la circunferencia es

24. Cunto mide el rea del crculo?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 122 B) 12 C) 144

D) 24 E) 14

Solucin:

Dato: 24Lc

2 r 24 r 12

Luego:

PROBLEMA 18

Qu fraccin del rea del cuadrado,

representa la parte no sombreada de

la figura?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 9/16 B) 1/2 C) 7/16

D) 4/5 E) 3/16

Solucin:

En este problema, observamos que el cuadrado mayor queda dividido en 4 cuadrados, si cada uno de ellos tiene un rea de 4A, entonces se tiene el siguiente esquema: Luego tendramos:

CLAVE: C

CLAVE: D

2

A 12

A 144

r

A

2A

A

A

A

A A

A

A

2A

2A

2A

NS

S

A 9A

A 16A

NS

9A As

16

PROBLEMA 19

En la figura, qu fraccin del rea

del cuadrado MNPQ representa la

regin sombreada?

A) 2

5 B)

2

3 C)

4

5

D) 3

4 E)

1

2

Solucin:

Luego de trasladar regiones, para obtener, una regin de rea conocida, tenemos:

Luego: S T

1A A

2

PROBLEMA 20

Un crculo tiene igual permetro que

un cuadrado cuya diagonal mide

8 cm. El rea del crculo es:

A) 16

cm2. B) 4

cm2

C) 16

cm2. D)

4

cm2

E) 16 cm2.

Solucin:

Dato: BD = 8 BD = 2 2

BAC: (45- 45)

Como BD = 2 2 AB = AD = 2

ABCDPermetro 8

Luego, por condicin del problema:

ABCDPermetro Lc

Entonces: Lc 2 r

48 2 r r

Finalmente:

CLAVE: C

CLAVE: E

N P

M

Q

CLAVE: A

N

M Q

P

2

2

A

B C

D

r 2 2

24

A

216A cm

2A r

PROBLEMA 21

En la figura adjunta, el rea del

trapecio ABCD es 40 cm2. Entonces

el rea del rectngulo ABEF es:

A) 30 cm2 B) 25 cm2

C) 80 cm2 D) 45 cm2

E) 20 cm2

Solucin:

ABCDA 40

9k 3kh 40

2

20kh3

Luego: ABEFA 3k h

ABEF

20A 3

3

2ABEFA 20cm

PROBLEMA 22

Determinar el rea sombreada de la

figura; Si AB = 16 cm.

A) 60 cm2 B) 32 cm2

C) 64 cm2 D) 16 cm2

E) 12 cm2

Solucin:

Trasladamos regiones as tenemos:

Luego:

As 32

PROBLEMA 23

Hallar el rea de la siguiente figura:

(UNSAAC CBU 2000 I)

2

8As

2

AAs

2

CLAVE: B

A B

CLAVE: E

A B

A B

E F D C 9k

3k

53

18 cm

12 cm

A B

D C F

E

h

9k 3k

3k

A) 100 cm2 B) 150 cm2

C) 140 cm2 D) 120 cm2

E) 110 cm2

Solucin:

Trazamos CH AD para obtener el

BAC: (37- 53)

HD = 3K = 6 K = 2

y CH = 4k

CH = 8 Pero: CH = AD = 8 (Altura del Trapecio) Luego:

PROBLEMA 24

En la figura, calcular el rea en

metros cuadrados de toda la regin

sombreada, ABC es una

semicircunferencia.

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 3 B) 2 C)7

D) 5 E) 1

Solucin:

ABCAs A # 2 1

As2

2As 1m

PROBLEMA 25

La relacin entre el rea sombreada y

el rea del trapecio issceles es:

(UNSAAC CBU 2000 I)

A) 1

2 B)

1

3 C)

2

5

D) 1

4 E)

1

6

Solucin:

CLAVE: E

CLAVE: D

12

18

h =

8 37

53

4k =8

3k = 6 A

B C

D 12 H

O 2m

A

B

C

3a

a

ABCD

18 12A 8

2

2ABCDA 120cm

O 2m

A

B

C 1 1

1

Primero hallamos:

SOMBREADA

ahA

2

TRAPECIO

a 3aA h

2

Finalmente se tiene:

SOMBREADA

TRAPECIO

ah

A 2

3a aAh

2

SOMBRADATRAPECIO

A 1

A 4

PROBLEMA 26

Hallar el rea del cuadriltero ABCD,

si el rea del tringulo AMP es 30 m2.


A) 120 m2 B) 64 m2

C) 106 m2 D) 96 m2

E) 92 m2

Solucin:

De la figura:

PAM ABCD BAM CPM PADA A A A A

x x xx

a 4b a b 2a 3b30 2a 4b

2 2 2

11ab30 8ab

2

2ab 12m

Finalmente:

ABCD xA 2a 4b

ABCDA 8ab

ABCDA 8 12

2ABCDA 96m

PROBLEMA 27

Calcular el rea del tringulo

issceles en m2, si su altura es 12 m y

el permetro del tringulo es 36 m


A) 36 B) 60 C) 90

D) 80 E) 120

Solucin:

CLAVE: D

A D

C M B

2a

4b

a a

2b

P

N

b

b

A D

C M B

CLAVE: D

a

3aaa

h

No nos dicen que es un cuadrado, por eso colocamos lados diferentes.

B

b b 12

Dato: ABCPermetro 36#

2a 2b 36 a b 18

b 18 a (I)

Teorema de Pitgoras en AHB:

2 2 2b a 12 (II)

Remplazamos (I) en (II):

2 2 218 a a 12 a 5

Finalmente: xABC

2a 12A

2#

2ABCDA 60m

PROBLEMA 28


rea del crculo sombreado en cm2.


A) (3 + 2 2 ) B) (2 - 3 2 )

C) (3 - 2 2 ) D) (2 + 3 2 )

E) (3 - 2 )

Solucin:

Para calcular el rea del crculo, bastar

calcular el radio del dicho crculo.

CAD (45 - 45)

Como: AB = 2 (Opuesto a 45)

AC = 2 2 (Hipotenusa)

Pero de la figura: AC = 1 + 2 r + 1

2 2 = 2 + 2 r

Luego: r 2 1

Finalmente: 2A r

2

A 2 1

A 3 2 2

PROBLEMA 29

El rea de la regin sombreada en

cm2, en la figura dada es:


A) 4 (8 - ) B) 4 (4 - )

C) 8 (4 + ) D) 4 (8 + )

E) 2 (16 - )

Solucin:

CLAVE: C

2cm

2cm

A

B C

D

1

1

r r

CLAVE: B

2 c

m

2 cm 4 cm

4 c

m

De la figura: S ABCDA A 4A

Pero A es la cuarta parte de un crculo, por lo tanto: 4A A

Finalmente:

S ABCDA A 4A

S ABCDA A A

2 2SA L r

2 2SA 4 (2)

SA 4 4

PROBLEMA 30

Hallar el rea de la regin no

sombreada en cm2. Si el radio del

crculo mayor mide 2 cm. y el ngulo

AOB mide 120.


A) 4

3 B)

3

4 C)

3

8

D) 8

3 E) 4

Solucin:

Trasladamos regiones y obtenemos un

sector circular de 120, como se muestra:

Luego:

2SA r

360

2S

120A (2)

360

S

4A

3

PROBLEMA 31

En la figura, cada cuadradito tiene un

rea de 4 cm2. Qu parte del rea

total del rectngulo ABCD es el rea

sombreada?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 4

5 B)

3

5 C)

8

15

D) 2

3 E)

2

7

Solucin:

CLAVE: B

O

A B

120 r =2

CLAVE: B

4

4

A

A A

A

AS

O

A B

A

B C

D

El rea de cada tringulo es A; por la tanto el rea de cada cuadradito sera

2A.

Por lo tanto se tendra:

S

TOTAL

A 18A

A 30A

S TOTAL

3A A

5

PROBLEMA 32

En la figura, Qu fraccin del rea

del rectngulo ABCD representa la

regin sombreada?

(UNSAAC CBU 99 II)

A) 1

3 B)

5

8 C)

1

4

D) 2

3 E)

1

2

Solucin:

Trazamos AC ABC ACDA A# #

Usamos la propiedad de la mediana:

ABC: AM es mediana

ABM AMCA A A # #

ACD: AN es mediana

ACN ANDA A A # #

Finalmente:

S

TOTAL

A 2A

A 4A

S TOTAL

1A A

2

PROBLEMA 33

En la figura adjunta. Qu parte del

rea del hexgono regular representa

la regin sombreada?

A) 2

3 B) 3

8 C) 5

6

D) 1

2 E)

3

1

Solucin:

CLAVE: E

A

B C

D

A

A

N

A A

M

CLAVE: B

B C

D

2A 2A 2A

2A

2A

2A

A A

A

A A A

A

A

B C

D

El hexgono es regular por lo que lo

dividimos en 6 tringulos equilteros.

Trasladamos la regin indicada y luego:

S

TOTAL

A 2A

A 6A

S TOTAL

1A A

3

PROBLEMA 34

En la figura adjunta el rea de la

regin sombreada es 23 cm2

.

Determinar el rea en cm2 del

tringulo formado al unir los centros

de las circunferencias siendo estas

iguales.

A) 3

4 B) 3 C)

3

5

D) 3

2 E)

3

3

Solucin:

Al unir los centros A, B y C se obtiene un

tringulo equiltero; para calcular el rea

que encierra este tringulo equiltero

ABC necesitamos saber cunto mide su

lado, para lo que necesitamos calcular el

radio de la circunferencia.

Dato: SA 3

2

Pero de la figura:

S ABCA A 3A #

Luego:

2

2S

L 3A 3 r

4 360

22(2r) 3 603 3 r

2 4 360

22 r3 r 3

2 2

23 r 32 2

r 1

Finalmente:

A B

C

r r

r r

r r A A

A

60 60

60

CLAVE: E

A

2

ABC

L 3A

4#

2ABC

2(1) 3A

4#

ABCA 3#

PROBLEMA 35

Hallar el rea de la regin sombreada:

A) 5 B) 7 C) 2

D) 3 E) 9

Solucin:

ABQ: PM // AQ

PM es Base Media de AQ

y AQPM PM 12

Ahora como PM = 1

de la figura MN = 3

Tambin de la figura: QH = 2

Finalmente:

xMQN

MN QHA

2#

xMQN

3 2A

2#

SA 3

PROBLEMA 36


rea en cm2 del trapecio AOBC.

A) 3 B) 5

2 C) 2

3

D) 3

2 E) 2

5

Solucin:

P

4 B C

N

D A Q

M

2

2

2 2

1 3

2

H

CLAVE: D

CLAVE: B

4

4

O

C

A

4cm

3cm

B

DCB Tringulo Notable (37-53)

BD = 5

En este trapecio para hallar el su rea de

la regin que encierra, necesitamos su

altura (r) y su base menor (r).

Para hallar r aplicamos el Teorema de

Poncetet en DCB.

CD + CB = BD +2 r

3 + 4 = 5 + 2 r

r = 1

Finalmente:

TRAPECIO

BC OAA CA

2

TRAPECIO

4 1A 1

2

TRAPECIO

5A

2

PROBLEMA 37

En la figura, E es el punto medio de

AC . El rea de la regin sombreada,

es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 2( 3 - 48) B) 20 ( 3 - 96)

D) 100 (2 3 -48) D) 2(200 3 -96)

E) 2 (100 3 -48)

Solucin:

ABC (30-60):

Como AC = 40 (Hipotenusa)

AB = 20 (Opuesto a30)

y BC = 20 3 (Opuesto a60)

ADE (37-53):

AE = 20 (Hipotenusa)

5k = 20 k = 4

AD = 3k (Opuesto a30)

AD = 12 BC = 4k (Opuesto a60)

y BC = 16

A C 37

E 40

30 53

B

D

20 20

4k 3k

O

C

A

4

3

B

r

r

D

5

CLAVE: B

30 A

D

B

C 37

E 40

Nada es imposible, a

menos que uno est de

acuerdo en que lo es.

Luego: S ABC ADEA A A # #

x xS

AB BC AD DEA

2 2

x xS

20 20 3 12 16A

2 2

SA 200 3 96

SA 8 25 3 12

Buscando la respuesta de las alternativas

se tiene:

SA 2 100 3 48

PROBLEMA 38

En la figura: AC y BC son tangentes al crculo. El rea de la

regin sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 3 33

B) 9 33

C) 39

3

D) 33

3

E) 3 3

Solucin:

Primero trazamos OC para obtener

tringulos rectngulos notables de 30 y

60

OAC (30-60):

Si OA = 3 (Opuesto a 30)

AC = 3 3 (Opuesto a 60)

Luego:

AOBS OACB SECTORA A A

OAC AOBS SECTORA 2 A A #

x 2

S

3 3 3 120A 2 3

2 360

SA 9 3 3

SA 3 3 3

Buscando la forma en la que esta

respuesta se presenta en las alternativas,

se tiene:

SA 9 3

3

B

C

A

3

60

3

60 30 30

O

3 3

3 3

CLAVE: B

CLAVE: E

B

C

A

3

120

3

PROBLEMA 39

En la figura: los vrtices del tringulo

equiltero de lado de longitud 12 son

centros de crculos de radio 6. El rea

de la regin sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 6 3 B) 16 3 3

D) 4 4 3 3 D) 9 3 E) 18 2 3

Solucin:

Trasladamos regiones y se obtiene un

tringulo equiltero y un semicrculo:

S ABC 1A A A #

2 2

S

12 3 6A

4 2

SA 36 3 18

SA 18 2 3

PROBLEMA 40

El porcentaje del rea sombreada, es:

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 50% B) 40% C) 55%

D) 60% E) 45%

Solucin:

x

S

TOTAL x

b h

A 2

A b h

S TOTAL

1A A

2

S TOTALA 50%A

xS

b hA

2

b

h

b

h

A1

A C

B 6 6

6 6 M 12 CLAVE: A

CLAVE: E

Para calcular el rea de la regin

sombreada hemos usado esta

formula:

PROBLEMA 41

Si en el grfico P y Q son puntos

medios. Qu parte del crculo falta

sombrear?

(UNSAAC CBU 2001 I)

A) 2

3 B)

1

3 C)

1

4

D) 1

2 E)

3

4

Solucin:

rea del crculo menor (A1):

21A a

rea del crculo mayor (A2):

22A 2a 2

2A 4 a

Finalmente:

21

22

A a

A 4 a

1 2

1A A

4

PROBLEMA 42

Qu fraccin representa la parte

Razonamiento Geometrico 1

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