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Chapitre 3 : Modélisation des antennes filaires

Exemple le doublet électrique

1- Rayonnement du-doublet-électrique

Un doublet électrique est un conducteur de longueur dl petite devant la longueur d'onde

du signal qui lui est appliqué (figure 1). Le courant parcourant le conducteur est donc

sinusoïdal et s'exprime comme :

I =I0.ejωt

Puisque dl << λ, l'amplitude du courant est considérée comme constante sur toute la longueur

du doublet.

Figure 1 : doublet électrique

Lions au centre O de ce doublet, un trièdre trirectangle de référence et calculons le champ en

un point P défini par son gisement φ, sa colatitude θ et la distance r au point O.

Le champ rayonné par une antenne filaire peut être calculé à partir des relations suivantes :

Pour cela nous allons définir tout d'abord les potentiels scalaire et vecteurs au point P.

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Par définition :

Ici le seul courant existant est suivant Oz, le potentiel vecteur est donc parallèle â I : les

composantes de Ar

suivant Ox et suivant Oy sont nulles, et :

Le potentiel vecteur s'écrit donc :

Pour déterminer le potentiel scalaire V, on peut utiliser l'équation différentielle correspondante.

Dans le cas présent, il est cependant plus simple d'utiliser la jauge de Lorentz

0=+ VjAdiv ωεµr

Si dans le système de coordonnées cartésiennes Ar

n'a qu'une composante suivant z, nous aurons

deux composantes en coordonnées sphériques.

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et donc :

A partir des potentiels retardés, on peut alors calculer des champs au point P à partir de :

et

En coordonnées sphériques, il vient :

Dans les expressions des champs, apparaissent des termes en r/λ ou (r/λ)2 ; nous allons discuter les

résultats en fonction de la valeur r/λ.

A proximité de l'antenne (r << λ), on peut négliger 1/r et 1/r2 devant 1/r3.

En tenant compte de Q = I/jω, les champs s'expriment comme :

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Les formules donnant les champs électriques correspondent à celles trouvées en

électrostatique.

De même, la formule donnant Hθ est identique à celle donnant le champ magnétique produit

par un fil parcouru par un courant continu ou de basse fréquence.

Puisque le champ E total est proportionnel à Q, on peut donc dire que E et H sont de la

forme :

Soit donc pour la partie réelle :

relations qui montrent que B et E sont déphasés de π/2 dans le temps.

Si nous calculons maintenant le vecteur de Poynting en valeur instantanée,

nous voyons que la valeur moyenne de Sr

sur une période du signal est nulle. Dans ces

conditions, la puissance totale rayonnée â travers une sphère de rayon r centrée sur l'antenne

est nulle (si r est petit). On est dans une zone réactive appelée zone de Rayleigh. Des

échanges d'énergie périodiques se produisent entre l'antenne et le milieu extérieur.

En fait, ceci n'est qu'une approximation puisque l'on a négligé les termes en 1/r. Ce sont eux

qui participent aux échanges d'énergie active.

Nous allons voir que ce sont ces termes qui seuls interviennent à grande distance.

Loin de l'antenne (r >> λ), les termes en 1/rn sont négligeables vis-à-vis des termes en 1/r ;

et les champs s'expriment alors comme :

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Nous voyons que les champs électriques et magnétiques n'ont plus qu'une seule composante :

Er

et Hr

sont en phase, perpendiculaires entre eux et perpendiculaires à la direction de

propagation. Nous retrouvons donc toutes les caractéristiques d'une onde plane.

Examinons les amplitudes relatives des deux champs :

En introduisant l'impédance caractéristique du milieu :

L’amplitude du champ électrique s'exprime comme :

et alors :

Revenons un instant sur les notions de champ proche et de champ lointain. La figure 2

présente de manière synthétique ces notions.

Figure 2 : Définition des différentes zones de rayonnement pour une antenne

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Dans la zone de champ proche, ou zone de Raileigh, comme nous l'avons vu, il y a échange

d'énergie réactive entre l'antenne et le milieu extérieur.

Dans la zone de champ lointain ou zone de Fraunhofer, les champs sont rayonnés sous la

forme d'une onde plane et varient en 1/r si r est la distance du point d'observation â l'antenne.

Entre ces deux zones, il existe une zone intermédiaire où le champ a des variations très

complexes. Cette zone est appelée zone de Fresnel.

Le calcul du champ rayonné par le doublet étant fait, nous allons nous intéresser

essentiellement aux champs lointains. Nous allons donc successivement définir :

1°) le diagramme de rayonnement

2°) l'impédance de rayonnement

3°) le gain du doublet.

Nous terminerons ce chapitre en introduisant quelques notions pratiques sur la variation de

l’impédance des antennes filaires et les possibilités d'adaptation de ces impédances en

fonction des critères d'utilisation.

2 Paramètres caractéristiques du doublet

2 -1 Diagramme-de-rayonnement

Le champ rayonné â grande distance est de la forme :

I est lié à l'excitation, r dépend du point d'observation, donc :

F(θ) est la fonction caractéristique du rayonnement du doublet à partir de laquelle, on peut

tracer le diagramme de rayonnement. Nous rappelons que ce diagramme est normalisé par

rapport au maximum de champ (ici θ = π/2). Ce diagramme est présenté sur la figure 3.

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Figure3 : Digramme de rayonnement d’un doublet électrique

L'étude du champ à grande distance étant terminée, on peut maintenant définir l'impédance de

rayonnement et le gain.

2-2 Impédance de rayonnement

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Comme nous l'avons dit, le courant I intervenant dans le champ rayonné par l'antenne dépend

directement de la puissance d'alimentation P de cette antenne. La puissance rayonnée par

unité de surface s'exprime comme :

Puisque :

alors :

Pour intégrer, il est plus simple d'avoir la puissance par unité d'angle solide (r = 1)

La puissance totale rayonnée est obtenue en intégrant sur toute la sphère :

Calculons :

L'intégrale double est donc égale à 8π/3 :

Calculons maintenant la résistance de rayonnement. Par définition :

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2-3 Gain du doublet par rapport â l'antenne isotrope

Les pertes étant négligées, le gain par rapport à l'antenne isotrope (gain absolu) s'identifie à la

directivité. Le diagramme de rayonnement du doublet étant de révolution autour de Oz, la

formule donnant la directivité se simplifie et nous avons :

Or :

(diagramme de rayonnement)

et :

Nous avons déjà calculé précédemment l'intégrale ; elle est égale à 4/3. Aussi :

Lorsque θ = π/2 : le gain est maximum :

G(θ) = 3/2 = 1,5

Soit :

GdB = 10 log 1,5 = 1.76 dB

2-4 Remarques sur la notion d'impédance (antennes filaires)

Les antennes filaires utilisées ne peuvent pas toutes être considérées comme petites devant la

longueur d'onde ; on parle alors d'antenne λ/4, d'antenne λ/2, etc... .

Toutes ces antennes peuvent être étudiées par la technique que nous venons d'introduire et

l'on peut aboutir en particulier pour chacune d'elle à la notion d'impédance de rayonnement.

D'une manière générale, cette impédance s'exprime comme :

Zo = Ro + j Xo

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Pour l'utilisateur, cette caractéristique est primordiale car il faudra toujours utiliser cette

notion afin d'adapter l'antenne au générateur qui lui est connecté.

La puissance fournie à l'antenne peut s'exprimer comme :

P0 = Pa +jPa’

Pa = ½.R0.I02 puissance active fournie

Pa = ½.X0.I02 échanges réactifs entre le feeder et l'antenne

Si l'antenne n'est pas parfaite, la puissance active fournie à l'antenne se partage entre :

- la puissance rayonnée : Pr = ½.Rr.I02

- la puissance dissipée : Pd = ½.Rd.I02

et l'on appelle rendement de l'antenne l'expression :

RdRr

Rr

+=η

Dans la pratique, on fait en sorte que Ro # Rr.

L'étude de l'impédance d'une antenne filaire en fonction de la fréquence est donc possible tant

théoriquement qu'expérimentalement. La figure 4 présente les variations de cette impédance

avec la fréquence.

Figure 4 : Variations de l’impédance de rayonnement avec la fréquence

Pour les faibles longueurs, la partie réelle de l'impédance est faible tandis que la partie

imaginaire est négative (capacité). On voit que pour certaines fréquences l'antenne présente

une impédance purement réelle. C'est le cas au point P et au point Q pour lesquels on a

respectivement l # λ/4 et l # λ/2.

Au point P (antenne quart d'onde), on dit que l'antenne est à la résonance et :

Ro # Rr # 37 Ω

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Au point Q (antenne demi onde), l'antenne est à l'anti-résonance et Rr a une valeur de

plusieurs milliers d'ohms.

Dans le cas où l << λ (cas des ondes longues) nous avons vu que l'impédance de l'antenne

présentait une partie imaginaire négative. Pour accorder cette antenne, il est nécessaire

d'ajouter à la base une inductance.

Figure 5

Afin de minimiser les pertes et donc d'avoir un bon rendement, l'inductance doit présenter la

plus faible résistance série possible. En fait, la principale difficulté en ondes longues est liée à

la hauteur des aériens. Si l'on veut qu'ils soient accordés, afin d'augmenter artificiellement

cette hauteur, on place une capacité au sommet de l'antenne.

Figure 6

Pratiquement la capacité au sommet est réalisée par une nappe de fils parallèles au sol de

400m de largeur environ et de 1 à 2 km de longueur.

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Figure 7