Ravan

S K R I P T Aza izbornu nastavu iz Matematike u III i IV razredu

Samir Karasuljic

Tuzla, septembar 2012

Sadrzaj

Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii1 Vektori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Linearna zavisnost vektora, baza vektorskog prostora, razlaganje vektora na kom-ponente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Pravougli koordinatni sistem u prostoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Skalarni proizvod dva vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Vektorski proizvod dva vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Mjesoviti proizvod dva vektora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Ravan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.1 Normalni oblik jednacine ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Opsti oblik jednacine ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3 Specijalni slucajevi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4 Segmentni oblik jednacine ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.5 Jednacina ravni kroz jednu tacku . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.6 Jednacina ravni koja prolazi kroz tri tacke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7 Udaljenost date tacke od date ravni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

i

Izborna nastava iz Matematike 1

1 Vektori

Velicine sa kojima se operise kako u matematici tako i u prirodnim naukama i tehnickim disciplinama,mozemo podijeliti na:a) Skalarne velicine koje su odredjene iskljucivo sa brojnom vrijednoscu, i koje kratko zovemo skalari, i;b) Vektorske velicine ili vektore, za ciju odredjenost pored njihove brojne vrijednosti (koju cemo zvatiintenzitet), moramo znati jos i pravac i smjer.

U daljem vektor smatramo kao geometrijski pojam, zanemarujuci njegov fizikalni karakter.

U geometrijskom smislu vektor predstavlja orjentisanu duz, duzina je odredjena mjernim brojem, kojujos nazivamo modul ili intenzitet vektora.Krajnje tacke orjentisane duzi su pocetak i kraj vektora, kraj se oznacava strelicom, koja pokazuje smjer(orjentaciju) vektora.Prava na kojoj lezi vektor, predstavlja pravac ili nosac vektora.

Vektori se oznacavaju najcesce saAB, gdje su A i B pocetna i krajnja tacka ili ~a,

dok se intenzitet oznacava sa

AB

, ili |~a|.

Operacije sa vektorima

* Sabiranje vektoraOsnovna definicija za zbir dva ili vise slobodnih vektora koji su nadovezani jedan na drugi u smislu: krajprvog vektora je pocetak drugog, kraj drugog je pocetak treceg itd. glasi:

Definicija 1.1 Zbir konacnog broja slobodnih vektora ~a1,~a2, ...,~an koji su nadovezani jedan na drugi, jevektor ~r ciji je pocetak u pocetku prvog vektora, a kraj u krajnjoj tacki posljednjeg vektora.

* Oduzimanje vektoraVektore oduzimamo na sljedeci nacin: ~a~b = ~a+ (~b).

* Mnozenje vektora skalarom

Definicija 1.2 Proizvod k ~a skalara k i vektora ~a je vektor ~b koji ima sljedece osobine:

1) Nosac mu je paralelan sa nosacem vektora ~a;2) Modul mu je |k| puta veci od modula vektora ~a;3) Ima isti smjer kao i vektor ~a, ako je k > 0;4) Ima smjer suprotan smjeru vektora ~a, ako je k < 0;5) Predstavlja nula-vektor, ako je k = 0.

1.1 Linearna zavisnost vektora, baza vektorskog prostora, razlaganje vektora

na komponente

Definicija 1.3 Vektorski prostor ili linearni vektorski prostor nad skupom skalara K je aditivna Abelovagrupa V = {x, y, ...} u kojem je definisano mnozenje elementima iz K, i pri tome je1) (x + y) = x + y;2) (+ )x = x+ x;3) (x) = ()x;

2 Vektori

4) 1 x = x, (, K,x, y V )

Definicija 1.4 Zbir proizvoda vektora ~ai, (i = 1, 2, ..., n) i odgovarajucih skalara i R, (i = 1, 2, ..., n),tj.

1 ~a1 + 2 ~a2 + ...+ n ~an

nazivamo linearnom kombinacijom vektora.

Definicija 1.5 Vektore ~ai, (i = 1, 2, ..., n) nazivamo linearno zavisnim, ako postoji takav sistem skalarai R, (i = 1, 2, ..., n), od kojih je bar jedan razlicit od nule, tako da je odgovarajuca linearna kombinacijavektora jednaka nuli, tj.

1 ~a1 + 2 ~a2 + ...+ n ~an = 0.

U suprotnom, za vektore ~ai, (i = 1, 2, ..., n) kazemo da su linearno nezavisni.

a b c

d

Vektori ~a i ~b istog su smjera i istog pravca, drugi vektor je dva puta duzi od prvog, pa je ~2a = ~b 2~a+~b = 0, znaci zavisni su, dok u vektori ~c i ~d nezavisni.

Svaki vektorski prostor ima bazu, moze imati i vise baza.

Definicija 1.6 Baza vektorskog prostora V je sistem vektora iz V koji je nezavistan i generise V.

Definicija 1.7 Ako je V konacno-dimenzionalan vektorski prostor, onda se broj elemenata bilo kojenjegove baze zove dimenzija prostora V i oznacava se sa dimV .

Definicija 1.8 Dva ili vise vektora nazivamo kolinearnim, ako leze na istoj ili na paralelnim pravim.

Teorema 1.1 Da bi dva vektora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da su linearno zavisni.

Definicija 1.9 Za tri i vise vektora kazemo su komplanarni, ako leze u istoj ravni ili u paralelnimravnima.

Teorema 1.2 Da bi tri vektora bila komplanarna, potrebno je i dovoljno da oni budu zavisni.

Na osnovu izlozenog mozemo zakljuciti da prava predstavlja jednodimenzionalni vektorski prostor, ravandvodimenzionalni prostor, ...

Posmatrajmo sada cetiri vektora ~a,~b,~c, ~d u trodimenzionalnom prostoru, tri mogu biti nezavisna, dok


dodavanjem cetvrtog postaju zavisni, sto znaci da jedan od ta cetiri mozemo izraziti kao linearnu kom-binaciju preostala tri,npr.:

~a = ~b + ~c+ ~d

sto ustvari predstavlja razlaganje vektora ~a u pravcima vektora ~b,~c i ~d.

1.2 Pravougli koordinatni sistem u prostoru

Neka su ~i,~j,~k tri nekomplanarna vektora, ciji su intenziteti 1, i koji su medjusobno ortogonalni, i cijije zajednicki pocetak tacka O(0, 0, 0). Odgovarajuce nosace oznacimo sa Ox, Oy , Oz, ove prave zovemokoordinatnim osama, i to respektivno, apscisa, ordinata i aplikata. TackaO(0, 0, 0) je koordinatni pocetak.

Ovakav skup tri ose Ox, Oy, Oz zajedno sa bazom ~i,~j,~k zovemo pravougli Dekartov sistem u prostoru.

y

z

x

~j

~k

~i

O(0, 0, 0)

Predstavljanje vektora

Kako sada predstaviti vektore u koordinatnom sistemu, recimo posmatrajmo vektor ciji je pocetak uO(0, 0) a kraj u tacki M(4, 2).

O(0, 0)

y

x

~i

~j

M(4, 2)

Vidimo da ovaj vektor mozemo izraziti kao linearnu kombinaciju vektora ~i i ~j i vriejdiOM = 4~i+2~j,

na analogan nacin radimo i sa vektorima u prostoru.

4 Vektori

Zadaci za vjezbu

1. Da li su vektori ~a = 4~i 6~j +10~k i ~b = 6~i+9~j 15~k kolinearni, (vektore mozemo oznacavati i sa~a = (4,6, 10), ~b = (6, 9,15);Rjesenje: Da bi dva vektora bila kolinearna potrebno je i dovoljno da vrijedi ~a = ~b, tj. 4~i 6~j +10~k =

(

6~i+ 9~j 15~k)

vidimo da je4

6 =69

=10

15 = 2

3= znaci kolinearni su.

2. Ako je ~a =

(

2

3,3

5,4

3

)

, odrediti x, z vektora ~b = (x, 4, z), tako da ~a i ~b budu kolinearni.

Rjesenje: Vidimo da je = 3

5

4= 3

20=...

3. Ispitati linearnu zavisnost vektora ~l, ~m, ~n, a ako su zavisni izracunati odgovarajuce koeficijente,

(a) ~l = (2,1,1), ~m = (1, 2,1) , ~n = (1,1, 2);(b) ~l = (1, 1, 1) , ~m = (0, 1, 1) , ~n = (1, 0, 1);(c) ~l = (0, 0, 1) , ~m = (1,1,1) , ~n = (1,1, 1);

Rjesenje: Napisimo ~l = ~m + ~n iz posljednje relacije dobijamo sistem

= 22 = 1+ 2 = 1

rjesenja su = 1, = 1.

Rjesenje: Napisimo ~l = ~m + ~n, iz posljednje relacije dobijamo sistem

= 1 = 1

+ = 1nesa-

glasan sistem, nisu komplanarni.


1.3 Skalarni proizvod dva vektora

Projekcija vektora na ravan i osu

Posmatrajmo sljedecu sliku

p

A

A

B

B

C

Sa slike vidimo da su duzineAC iAB iste, te da je iz pravouglog trouglaABC,

AC

=

AB

cos(CAB),

odnosno

AB

=

AB

cos(CAB) = prp

AB.

Vidimo dakle, da je projekcija vektora na osu jednaka proizvodu intenziteta tog vektora i kosinusa ugla

izmedju vektora i te ose. Ovu projekciju oznacavamo sa prpAB.

Skalarni proizvod dva vektora

Skalarni proizvod dva vektora ~a i ~b je skalar (broj) koji obiljezavamo sa(

~a,~b)

ili ~a ~b i definisemo(

~a,~b)

= |~a|

~b

cos(~a,~b).

Dakle, skalarni proizvod dva vektora je skalar, koji je jednak proizvodu intenziteta tih vektora i kosinusaugla koji oni zaklapaju.

Iz same definicije skalarnog proizvoda slijedi da je

cos(~a,~b) =~a ~b

|~a|

~b

(uz uslov |~a|

~b

6= 0.)

Takodje vrijedi

~a ~b = |~a|

~b

cos(~a,~b) =

~b

pr~b~a.

Takodje iz definicije slijedi i sljedeca teorema

Teorema 1.3 Dva vektora su ortogonalna ako i samo ako je njihov skalarni proizvod nula.

* Osobine skalarnog proizvoda1) ~a ~b = ~b ~a;

6 Vektori

2) ~a2 = ~a ~a = |~a|2;3) Ako je |~a| = 1, tada je ~a ~a = ;4) ~a ~b = |~a| pr~a~b =

~b

pr~b ~a;

5) (~a) ~b = ~a ~b;6) (~a+~b) ~c = ~a ~c+~b ~c.

Posmatrajmo sada vektore ~i,~j,~k, sta su njihovi skalarni proizvodi?

Vrijedi ~i ~i =

~i

~i

cos(~i,~i) = 1 jer je odgovarajuci ugao 0, isto vrijedi i za ~j ~j i ~k ~k, dok je za npr.

~i ~j =

~i

~j

cos(~i,~j) = 0 jer je odgovarajuci ugao 900, analogno i za ostale kombinacije.

Neka su nam sada data dva vektora, npr. ~a = a1~i + a2~j + a3~k i ~b = b1~i + b2~j + b3~k, izracunajmo~a ~b

~a ~b = (a1~i+ a2~j + a3~k) (b1~i+ b2~j + b3~k) = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Ako su vektori ~a,~b ortogonalni onda je a1b1 + a2b2 + a3b3 = 0.

Takodje je~a ~a = a2

1+ a2

2+ a2

3

odnosno

|~a| =

a21+ a2

2+ a2

3,

imajuci prethodno u vidu vrijedi da je

cos(~a,~b) =~a ~b|~a|

~b

=a1b1 + a2b2 + a3b3

a21+ a2

2+ a2

3

b21+ b2

2+ b2

3

.

Zadaci za vjezbu

1. Odrediti ~a~b, |~a|, |~b|, ~a0, cos(~a,~b), ako je

(a) ~a = 3~i 3~j + 4~k, ~b = 2~i+ 6~j + 5~k;(b) ~a = 2~i+ 3~j 6~k, ~b = 4~i~j + 8~k.

2. Odrediti projekciju vektora ~a = 2~m 3~n na ~b = ~m+ ~n, ako je |~m| = 2, |~n| = 3 i (~m,~n) = 600.

3. Odrediti projekciju vektora ~a = ~m 4~n na ~b = 2~m+ 5~n, ako je |~m| = 2, |~n| = 3 i (~m,~n) = 300.

4. Odrediti ugao izmedju ~a = (1, 2) ,~b = (5,4) .

5. Odrediti ugao izmedju ~a = (3, 1) ,~b = (1,3) .

6. Odrediti skalarni proizvod vektora ~a = (4, 5,3) ,~b = (5, 13, 12) i kosinus ugla koji oni zatvaraju.

7. Odrediti skalarni proizvod vektora ~a = (1, 3,1) ,~b = (5, 3,2) i kosinus ugla koji oni zatvaraju.

8. Odrediti projekciju vektora ~a = (1, 2, 1) na vektor ~b = (1,3, 2), koliki je ugao izmedju vektora?

9. Odrediti projekciju vektora ~a = (3, 12,1) na vektor ~b = (1, 1,2), koliki je ugao izmedjuvektora?


1.4 Vektorski proizvod dva vektora

Definicija 1.10 Neka su ~a i ~b proizvoljni vektori. Vektorskim proizvodom vektora ~a i ~b naziva se vektor~c, koji ima sljedece osobine:

1. Modul vektora ~c, jednak je |~a|

~b

sin(~a,~b);

2. Vektor ~c ortogonalan je na svaki od vektora ~a i ~b;

3. Smjer vektora ~c je takav da uredjena trojka (~a,~b,~c) obrazuje triedar desne orjentacije, (vidjeti sliku).

Vektorski proizvod oznacavamo sa ~c = ~a~b.

~a

~b

~c = ~a~b

P = |~a~b|

Vektorski proizvod dva vektora ima sljedece osobine:

1. Modul vektorskog proizvoda brojno je jednak povrsini paralelograma konstruisanog nad vektorima~a i ~b;

2. Vektorski proizvod dva vektora je nula ako su ti vektori kolinearni ili je bar jedan od njih nula;

3. ~a~b = ~b ~a;

4. (~a) (~b) = (~a~b);

5. ~i~i = ~j ~j = ~k ~k = 0; ~i~j = ~k,~j ~k =~i,~k ~i = ~j; ~j ~i = ~k,~k ~j = ~i,~i ~k = ~j;

6. (~a+~b) ~c = ~a ~c+~b ~c.

Neka su a1, a2, a3, b1, b2, b3 koordinate vektora ~a i ~b u ortonormiranoj bazi ~i,~j,~k tada je

~a~b = ... =

~i ~j ~k

a1 a2 a3b1 b2 b3

.

Zadaci za vjezbu

1. Izracunati povrsinu paralelograma konstruisanog nad vektorima ~a = 2~m + 3~n,~b = ~m ~n, gdje je|~m| = 2, |~n| = 3,(~m,~n) = 300.

2. Izracunati povrsinu paralelograma konstruisanog nad vektorima ~a = 4~m + ~n,~b = 7~m ~n, gdje je|~m| = 1, |~n| = 2,(~m,~n) = 450.

3. Izracunati vektorski proizvod ~a~b i ~b ~a ako su ~a = (1, 2, 3) ,~b = (1, 1, 1).

8 Vektori

4. Izracunati vektorski proizvod ~a~b i ~b ~a ako su ~a = (1, 0, 1) ,~b = (3, 5, 1).

5. Izracunati vektorski proizvod ~a~b i ~b ~a ako su ~a = (6, 1,1) ,~b = (1, 2, 3).

6. Date su tacke O(0, 0, 0), A(1, 2, 3), B(2, 3,3), odrediti vektore OA,OB, zatim povrsine paralelo-grama i trougla konstruiusanih nad vektorima

OA,

OB.

7. Date su tacke O(0, 0, 0), A(1, 2, 5), B(2, 13, 1), odrediti vektore OA,OB, zatim povrsine parale-lograma i trougla konstrusanih nad vektorima

OA,

OB

8. Date su tacke O(0, 0, 0), A(3,2, 4), B(2, 5,4), odrediti vektore OA,OB, zatim povrsine parale-lograma i trougla konstruisanih nad vektorima

OA,

OB.

9. Dati su vektori ~a = (1, 2, 1) ,~b = (1,1, 2) ,~c = (2, 1,1), Odrediti projekciju vektora ~c na vektor~a~b.

10. Dati su vektori ~a = (1, 1, 4) ,~b = (2,1, 3) ,~c = (11, 1, 0), Odrediti projekciju vektora ~c na vektor~a~b

11. Dati su vektori ~a = (1, 1,1) ,~b = (2,2, 6) ,~c = (1, 1,1), Odrediti projekciju vektora ~c na vektor~a~b.

12. Dati su vektori ~a = (1, 1, 0) ,~b = (1,1, 1), odrediti jedinicni vektor normalan na oba vektora ~a,~b.

13. Dati su vektori ~a = (1, 0, 2) ,~b = (2, 1,2), odrediti jedinicni vektor normalan na oba vektora ~a,~b.

14. Dati su vektori ~a = (4, 1,1) ,~b = (1, 0, 1), odrediti jedinicni vektor normalan na oba vektora ~a,~b.


1.5 Mjesoviti proizvod dva vektora

Pomnozimo li vektore ~a,~b vektorski, a zatim dobiveni proizvod pomnozimo skalarno sa ~c, proizvod (~a~b)~cpredstavlja mjesoviti proizvod ova tri data vektora.

Mjesoviti proizvod tri vektora ~a,~b,~c ima sljedece osobine:

1. Apsolutna vrijednost mjesovitog proizvoda tri nekomplanarna vektora ~a,~b,~c jednaka je zapreminiparalelopipeda konstruisanog nad nad vektorima ~a,~b,~c.

2. Tri vektora ~a,~b,~c su komplanarna ako i samo ako je (~a~b) ~c = 0.

3. Za ma koja tri vektora ~a,~b,~c, vrijedi (~a~b) ~c = (~b ~c) ~a.

4. Ako su a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 koordinate vektora ~a,~b,~c u bazi ~i,~j,~k, respektivno, tada vrijedisljedeca relacija

(~a~b) ~c =

a1 a2 a3b1 b2 b3c1 c2 c3

.

5. (~a~b) ~c = (~b ~c) ~a = (~c ~a) ~b = (~a ~c) ~b = (~c~b) ~a = (~b ~a) ~c.

~a

~b

~c

~a~b

Zadaci za vjezbu

1. Izracunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima ~a = (1,3, 1) ,~b = (2, 1,3) ,~c =(1, 2, 1).

Rjesenje: V =

1 3 12 1 31 2 1

= ... = 19.

2. Izracunati zapreminu paralelopipeda konstruisanog nad vektorima ~a = (2, 3,1) ,~b = (5,5, 1) ,~c =(0,2, 2).

3. Ispitati da li su vektori ~a = (2, 2,1) ,~b = (1,2, 3) ,~c = (1,1, 0) komplanarni.

4. Ispitati da li su vektori ~a = (3,2, 2) ,~b = (4,1,3) ,~c = (1, 1, 2) komplanarni.

5. Dokazati da tacke A(2,1,2), B(1, 2, 1), C(2, 3, 0), D(5, 0,6) pripadaju istoj ravni.Rjesenje: Odredimo vektore

AB,

AC,

AD i izracunamo zapreminu paralelopipeda koju oni razapi-

nju,AB = (1, 3, 3) ,AC = (0, 4, 2) ,AD = (3, 1,4). Zapremina je V =

1 3 30 4 23 1 4

= ... = 0.

10 Vektori

6. Ispitati da li tacke A(2, 1, 5), B(1,4, 0), C(2, 1,1), D(5, 1, 6) pripadaju istoj ravni.

7. Odrediti vrijednost parametra m tako da vektori ~a = (ln(m 2),2, 6) ,~b = (m,2, 5) ,~c =(0,1, 3) budu komplanarni.Rjesenje: Vrijednost parametra odredjujemo iz uslova da zapremina paralelopipeda kojeg konstruisu

dati vektori bude 0,

ln(m 2) 2 6m 2 50 1 3

= 0, pa je ln(m 2) = 0 m 2 = 1 m = 3.

8. Nad vektorima ~a = 5~p + 2~q,~b = ~p 3~q, konstruisan je paralelogram. Ako je |~p| = 22, |~q| =

3,(~p, ~q) =

4, izracunati duzinu dijagonala, ugao izmedju dijagonala, povrsinu paraleograma,

visinu paralelograma povucenu na stranicu AB.

9. Nad vektorima ~a = ~p 2~q,~b = 3~p + 3~q, konstruisan je paralelogram. Ako je |~p| = 2, |~q| =3,(~p, ~q) =

3, izracunati duzinu dijagonala, ugao izmedju dijagonala, povrsinu paraleograma,

visinu paralelograma povucenu na stranicu AB.

10. Neka jeAB = 3~p 4~q,BC = 3~p+5~q, gdje su |~p| = 1, |~q| = q,(~p, ~q) =

4. Izracunati duzinu visine

trougla ABC povucenu iz tjemena C.

11. Neka jeAB = 3~p + ~q,

BC = ~p ~q, gdje su |~p| = 2, |~q| = 1,(~p, ~q) =

6. Izracunati duzinu visine

trougla ABC povucenu iz tjemena C.

12. Odrediti vektor r iz uslova ~r ~a = 1, ~r ~b = 2, ~r ~c = 3, gdje je ~a = (2,4, 3) ,~b = (3,1, 5) ,~c =(1,2, 4).

13. Odrediti vektor r iz uslova ~r ~a = 2, ~r ~b = 1, ~r ~c = 1, gdje je ~a = (2,1, 1) ,~b = (3,1, 5) ,~c =(1, 2,4).

14. Svaka dva od vektora ~a,~b,~c zatvara izmedju sebe ugao od

3. Odrediti intenzitet vektora ~p = ~a+~b+~c,

ako je |~a| = 4,

~b

= 2, |~c| = 6.

15. Svaka dva od vektora ~a,~b,~c zatvara izmedju sebe ugao od

3. Odrediti intenzitet vektora ~p = ~a+~b~c,

ako je |~a| = 1,

~b

= 2, |~c| = 1.

16. Izracunati rad koji izvrsi sila ~F = (3,5, 2) pri pravolinijskom pomjeranju napadne tacke sile odpocetne do krajnje tacke vektora ~s = (2,5,7).

17. Tri sile ~F1 = (3,4, 2) , ~F2 = (2, 3,5) , ~F3 = (3,2, 4) imaju istu napadnu tacku. Izracunatirad koji izvrsi rezultantna sila pri pravolinijskom pomjeranju zajednicke napadne tacke iz polozajaA(5, 3,7) u polozaj B(4,1,4).

18. Tri sile ~F1 = (3, 4, 2) , ~F2 = (2, 3, 1) , ~F3 = (3,2, 1) imaju istu napadnu tacku. Izracunatirad koji izvrsi rezultantna sila pri pravolinijskom pomjeranju zajednicke napadne tacke iz polozajaA(1, 3,2) u polozaj B(14, 1,2).

19. Odrediti vektor ~r normalan na vektore ~a = (2,3, 1) ,~b = (1,2, 3) za koje je ~r (~i+2~j 7~k) = 10.

20. Dati su vektori: ~a = (1, 1,1) ,~b = (2,1, 2) ,~c = (1,1, 2) .

(a) Razloziti vektor ~c u komponente po vektorima ~a,~b;

(b) Izracunati ugao koji obrazuje vektor ~c sa ravni odredjene vektorima ~a,~b.


21. Dati su vektori: ~a = (2, 1,3) ,~b = (2,3, 1) ,~c = (4,2,2) .

(a) Razloziti vektor ~c u komponente po vektorima ~a,~b;

(b) Izracunati ugao koji obrazuje vektor ~c sa ravni odredjene vektorima ~a,~b.

22. Odrediti vektor ~r koji zadovoljava uslove ~r ~i = 3, ~r ~i = 2~k.

23. Tacke A(0, 0, 0), B(3, 4,1), C(2, 3, 5), D(6, 0,3) su tjemena tetraedra. Izracunati zapreminu te-traedra i njegovu visinu spustenu iz tacke A.

24. Tacke A(1, 2, 3), B(3,4, 1), C(1,3, 2), D(6, 0, 3) su tjemena tetraedra. Izracunati zapreminutetraedra i njegovu visinu spustenu iz tacke A.

25. Dati su vektori ~a = (0, 2p, p) ,~b = (2, 2, 1) ,~c = (1,2,1) , ~d = (p, 0, 1). Odrediti realan broj p izuslova ~a ~b = ~c ~d+ 7.

12 Ravan

2 Ravan

2.1 Normalni oblik jednacine ravni

Neka je M(x, y, z) proizvoljna tacka ravni u prostoru, a ~r = (x, y, z) njen vektor polozaja u odnosuna Dekartov pravougli koordinatni sistem u prostoru. Neka je OP = p duzina normale povucene izkooordinatnog sistema O na datu ravan, ~n = (A,B,C) vektor te normale, a ~n0 je njegov jedinicni vektor.Vrijedi

~n0 =A~i+B~j + C~kA2 +B2 + C2

,

ako sa , , oznacimo uglove izmedju vektora normale ili njegovog jedinicnog vektora sa x, y i z - osomrespektivno.

Odredimo sta je pr~i ~n0,

iz

cos =pr~i ~n0

|~n0|i

cos =~n0 ~i

|~n0|

~i

dobijamo da je

pr~i ~n0 =~n0 ~i

~i

= cos,

analogno se radi i u ostala dva slucaja, te se dobije:

pr~j ~n0 =~n0 ~j

~j

= cos,

pr~k ~n0 =~n0 ~k

~k

= cos .

O

x

y

z

r

MP

p

b

n

on


Slika 1

Sa slike se vidi da je pr~n0 ~r = OP , posto je tacka M proizvoljna, pomjerajuci je po ravni, dobijamo raznevektore polozaja ~r medjutim, projekcija OP uvijek ostaje ista.

Kako je

pr~n0 ~r =~r ~n0|~n0|

= ~r ~n0

ipr~n0 ~r = p

slijedi:~r ~n0 = p

ili~r ~n0 p = 0

sto je ustvari Normalni ili Hesseov vektorski oblik jednacine ravni, ako prethodni vektorski oblik izrazipreko koordinata vektora ~r, ~n0 dobijamo skalarni ili analiticki oblik jednacine ravni

x cos+ y cos + z cos p = 0.

Posto je p rastojanje ravni od koordinatnog pocetka, u slucaju p = 0 ravan prolazi kroz koordinatnipocetak.

2.2 Opsti oblik jednacine ravni

Pomnozimo ~r ~n, sa Slike 1 se vidi da je vrijednost ovog skalarnog proizvoda konstantna, neka je

~r ~n = D

ili~r ~n+D = 0,

a ovo je opsti oblik jednacine ravni u vektorskom obliku. Posto je ~r = (x, y, z) i ~n = (A,B,C), to je

Ax+By + Cz +D = 0

a ovo je opsti oblik jednacine ravni u skalarnom obliku.

Pomnozimo sada posljednju jednakost sa1

A2 +B2 + C2

, dobijamo

Ax +By + Cz +D

A2 +B2 + C2

= 0,

posto je p rastojanje ravni od koordinatnog pocetka, preznak biramo u formuliD

A2 +B2 + C2

= p

tako da p bude pozitivno (jer je duzina).Vrijede sljedece relacije

cos =A

A2 +B2 + C2

, cos =B

A2 +B2 + C2

, cos =C

A2 + B2 + C2

,

odnosno~n0 = (cos, cos, cos ) ,

takodje icos2 + cos2 + cos2 = 1.

14 Ravan

2.1 Napisati jednacinu ravni u normalnom obliku racunajuci kosinuse, ako je opsti oblik 4x 20y +5z 420 = 0.

Rjesenje:4x 20y + 5z 420

21= 0.

2.3 Specijalni slucajevi

U jednacini ravni Ax+By+Cz+D = 0 moze se desiti da je jedan ili vise koeficijenata (A,B,C,D) jednaknuli, tada nastupaju specijalni slucajevi:

10 Jedan od koeficijenata jednak nuli:

100 D = 0 jednacina ravni postaje Ax+By+Cz = 0 vidimo da tacka O(0, 0, 0) zadovolja jednacinaravni, sto znaci da ravan prolazi kroz koordinatni pocetak

O

x

y

z

b

200 A = 0 jednacina postaje By + Cz +D = 0, znaci da je cos = 0, vektor normale je normalanna x osu pa je ravan paralelna sa x - osom.

O

x

y

z

b


300 B = 0 jednacina postaje Ax + Cz +D = 0, znaci da je cos = 0 pa je ravan paralelna sa y -osu.

400 C = 0 jednacina postaje Ax + By +D = 0, znaci da je cos = 0 pa je ravan paralelna sa z -osu.

20 Dva koeficijenata jednaka nuli, od kojih je jedan D:

100 D = C = 0 jednacina postaje Ax +By = 0 i ravan prolazi kroz z - osu

O

x

y

z

b

200 D = B = 0 jednacina postaje Ax+ Cz = 0 i ravan prolazi kroz y - osu

300 D = A = 0 jednacina postaje By + Cz = 0 i ravan prolazi kroz x - osu

30 Dva koeficijenata jednaka nuli, ali D 6= 0:

100 B = C = 0 jednacina postaje Ax +D = 0 i ravan je paralelna sa koordinatnom ravni yOz

16 Ravan

O

x

y

z

b

200 A = B = 0 jednacina postaje Cz +D = 0 i ravan je paralelna sa koordinatnom ravni xOy

300 A = C = 0 jednacina postaje By +D = 0 i ravan je paralelna sa koordinatnom ravni xOz

40 Tri koeficijenta jednaka nuli:

100 Moguci su jedino slucajevi da su dva koeficijenta jednaka nuli i da je D = 0, npr. A = B =D = 0 dobijamo jednacinu ravni Cz = 0 a ovo je ravan xOy, analogno i za ostala dva slucaja

50 Cetiri koeficijenta jednaka nuli, nemoguce.

2.4 Segmentni oblik jednacine ravni

Neka ravan sijece sve tri koordinatne ose i pri tome ne prolazi kroz koordinatni pocetak, tj. svi koeficijentiu jednacini ravni Ax + By + Cz + D = 0 su razliciti od nule. Odredimo tacke u kojima ravan sijecekoordinatne ose,


O

x

y

z

b

b

b

b

A1(a,0,0)

A2(0,b,0)

A3(0,0,c)

u jednacinu ravni uvrstavamo prvo y = z = 0, pa dobijemo presjecnu tacka sa x - osom, A1(DA, 0, 0),

itd.Takodje uradimo sljedece:

Ax+ By + Cz +D = 0 Ax+By + Cz = D x

DA

+y

DB

+z

DC

= 1

ilix

a+

y

b+

z

c= 1

sto je ustvari segmentni oblik jednacine prave.

2.2 Prevesti ravan u segmentni oblik i nacrtati je 3x y + 2z + 6 = 0.

3x y + 2z = 6 x 63

+y6

1

+z

62

= 1 dakle odsjecci su a = 2, b = 6, c = 3.

2.3 Zadaci za vjezbu

1. Prevesti ravan u segmentni oblik i nacrtati je 12x+ 4y 3z 12 = 0.

2. Prevesti ravan u segmentni oblik i nacrtati je x 2y 3z + 15 = 0.

2.5 Jednacina ravni kroz jednu tacku

Neka ravan prolazi kroz zadanu jednu tacku M1(x1, y1, z1), ciji je vektor polozaja ~r = (x1, y1, z1). Nekaje dalje M(x, y, z) proizvoljna tacka ravni ciji je vektor polozaja

18 Ravan

b

b

bb

x

y

z

O

M

M1

r1

r

n

~r = (x, y, z), a ~n = (A,B,C) vektor normale ravni. VektorM1M = ~r ~r1 je normalan na vektor

normale ~n pa je~n (~r ~r1) = 0,

kako posljednja relacija vazi za proizvoljnu tacku M , to je vektorski oblik jednacine ravni koja prolazikroz jednu tacku, ili vodeci racuna o koordinatama vektora ~n,~r, ~r1 dobijamo skalarni oblik

A(x x1) +B(y y1) + C(z z1) = 0.


1. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(1, 2, 3), a vektor normale je ~n = (1, 2,4)Rjesenje: A(x x1) + B(y y1) + C(z z1) = 0 1(x 1) + 2(y 2) 4(z 3) = 0 x+ 2y 4z + 9 = 0.

2. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(3, 4,5), a paralelna se sa vektorima ~a =(3, 1,1) , ~b = (1,2, 1).

Rjesenje: Vektor normale ~n normalan je na oba data vektora, pa je ~n = ~a~b =

~i ~j ~k

3 1 11 2 1

=

~i 4~j 7~k, pa je jednacina ravni A(xx1)+B(y y1)+C(z z1) = 0 x 4y 7z 16 = 0.

3. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(1, 4,6), a vektor normale je ~n = (0,2, 7) .

4. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(1, 2, 6), a paralelna se sa vektorima ~a =(3,1, 9) , ~b = (1, 2,1).


2.6 Jednacina ravni koja prolazi kroz tri tacke

Neka su zadane tri nekolinearne tackeM1(x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) ciji su vektori polozajarespektivno ~r1 = (x1, y1, z1) , ~r2 = (x2, y2, z2)~r3 = (x3, y3, z3), ravan je odredjena sa ove tri tacke. Sadaje potrebno izraziti vektor normale ~n koristeci date tacke. Posto tacke M1,M2,M3 leze u istoj ravni to

vektori,M1M2 = ~r2 ~r1,

M1M3 = ~r3 ~r1, koje ove tacke odredjuju leze u istoj ravni, dok je vektor

(~r2 ~r1) (~r3 ~r1) normalan na ravan i upravo je to trazeni vektor normale, tj.

(~r ~r1) ~n = (~r ~r1) ((~r2 ~r1) (~r3 ~r1)) = 0

b

b

b

x

y

z

O

MM1

r1r

b

b

M

M

3

2

r2

r3

ili u skalarnom obliku

x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1x3 x1 y3 y1 z3 z1

= 0.


1. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tri tacke A(3, 5, 3), B(2, 11,5), C(1,1, 4).

Rjesenje:

x x1 y y1 z z1x2 x1 y2 y1 z2 z1x3 x1 y3 y1 z3 z1

= 0

x 3 y 5 z 32 3 11 5 5 31 3 1 5 4 3

= 0 42x+ 21y +

42z 105 = 0.

2. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tri tacke A(3, 1, 2), B(2, 1, 5), C(1, 1,3).

3. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tri tacke A(1, 1,3), B(1,7, 5), C(2,4, 4).

20 Ravan

2.7 Udaljenost date tacke od date ravni

Neka je data ravan sa ~r ~n0 = p i tacka M1(x1, y1, z1), jednacina paralelne ravni zadanoj ravni koja sadrzitacku M1 je ~r ~n0 = p+ d pa rastojanje racunamo

d =Ax1 +By1 + Cz1 +D

A2 +B2 + C2.

O

x

y

z

p

on

bM

1

d

b


1. Odrediti udaljenost izmedju ravni x 2y + 4z 4 = 0 i tacke M(1, 2, 3).

Rjesenje: d =Ax1 +By1 + Cz1 +D

A2 +B2 + C2=

1 1 2 2 4 31 + 4 + 16

=921

=921

21.

2. Odrediti udaljenost izmedju ravni x 2y + 4z 4 = 0 i tacke M(2, 1, 1).Rjesenje: d = 0.

3. Odrediti udaljenost izmedju paralelnih ravni 11x 2y 10z + 15 = 0, 11x 2y 10z 45 = 0.Rjesenje: Odredimo prvo jednu tacku, npr. na prvoj ravni to jeM(0, 0, 3

2), sada je d =

Ax1 +By1 + Cz1 +DA2 +B2 + C2

=

3

2(10) 45121 + 4 + 100

=6015

= 4, posto je duzina pozitivna to je d = 4.

4. Odrediti udaljenost izmedju ravni 2x 3y z 14 = 0 i tacke M(1, 1, 3).

5. Odrediti udaljenost izmedju ravni 2x y + z 4 = 0 i tacke M(1, 2, 4).

6. Odrediti udaljenost izmedju paralelnih ravni 3x 5y z + 15 = 0, 3x 5y z 45 = 0.


Medjusobni polozaj dvije ravni. Ugao izmedju dvije ravni

Neka su date dvije ravniA1x+B1y + C1 +D1 = 0A2x+B2y + C2 +D2 = 0,

ako su ove ravni paralelne, vektori normala ~n1 = (A1, B1, C1) i ~n2 = (A2, B2, C2) su kolinearni, tj.

A1

A2=

B1

B2=

C1

C2, (A2, B2, C2 6= 0)

ovo je uslov paralelnosti dvije ravni. U slucaju da su i slobodni koeficijenti proporcionalni

A1

A2=

B1

B2=

C1

C2=

D1

D2, (A2, B2, C2, D2 6= 0)

onda se ove dvije ravni poklapaju.

Ako su dvije ravni normalne u tom slucaju normalni su i njihovi vektori normala ~n1, ~n2, pa je ~n1 ~n2 =A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0. Formula

A1A2 +B1B2 + C1C2 = 0

je uslov normalnosti dvije ravni.

Ugao pod kojim se sijeku ravni, definise se kao ugao izmedju vektora normala ~n1, ~n2, tj.

cos =~n1 ~n2

|~n1| |~n2|odnosno

cos =A1A2 +B1B2 + C1C2

A21+B2

1+ C2

1

A22+B2

2+ C2

2

.


1. Odrediti vrijednost parametra m tako da ravni 3x 5y +mz 3 = 0, x + 3y + 2z + 5 = 0 budunormalne.

3 15 + 2m = 0 m = 6.2. Koliki je ugao izmedju ravni 2x y + 5z + 3 = 0, x+ 3y z 7 = 0?

Rjesenje:cos =63011

, pa je = 7004249.

Razni zadaci iz ravni


1. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz z osu i sadrzi tacku M(2, 1, 1).

Rjesenje: Vektor normale trazene ravni normalan je na z osu i vektor OM , dakle ~n = ~kOM =~i + 2~j, sada znamo da je A = 1, B = 2 znamo od prije da je D = C = 0 je ravan prolazi krozz osu, pa je jednacina x+ 2y = 0.

2. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(0,1, 3), a normalna je na vektorM1M2, gdje

je M2(1, 3, 5).

Rjesenje: VektorM1M2 = (1, 4, 2), ovaj vektor je kolinearan sa vektorom normale ~n vrijedi

A

1=

B

4=

C

2= pa je A = , B = 4, C = 2. Posto ravan prolazi kroz tacku M1 to je A(x 0) +

B(y + 1) +C(z 3) = 0 (x 0) + 4(y + 1) + 2(z 3) = 0 skratimo sa i jednacina ravni jex+ 4y + 2z 2 = 0.

22 Ravan

3. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(2,1, 3) i koja:

(a) na koordinatnim osama odsijeca jednake odsjecke;

(b) sadrzi x osu;(c) prolazi kroz koordinatni pocetak i tacku M2(1, 1, 1).

a) U segmentnom obliku jednacine ravnix

a+

y

b+

z

c= 1 odsjecci su isti tj. a = b = c =, tacka M1

pripada ravni te njene koordinate uvrstimo umjesto tekucih, pa je2

a+

1a

+3

a= 1 izracunamo

a = 4, jednacina trazene ravni je x+ y + z = 4.

b) Posto ravan sadrzi x osu to je A = D = 0, ravan ima oblik By + Cz = 0, uvrstimo uovu jednacinu koordinate tacke M1, dobijamo B + 3C = 0 B = 3C vratimo ovo u jednacinuravni i 3Cy + Cz = 0 pa je 3y + z = 0 trazena jednacina ravni.

c) Posto ravan prolazi kroz koordinatni pocetak to je D = 0, odredimo vektoreOM1 = (2,1, 3)

iOM2 = {1, 1, 1} ovi vektori leze u ravni i vektor normale je normalan na oba vektora tj. n =~OM1 ~OM2 pa je ~n = (4, 1, 3) pa je dalje A(x x1) +B(y y1) + C(z z1) = 0 ako uvrstimo

koeficijente A,B,C vektora normale i koordinate bilo koje tri poznate tacke na ravni dobijamojednacinu 4x + y + 3z = 0. (Zadatak uradi koristeci jednacinu ravni kroz tri tacke, pa uporeditirezultat.)

4. Odrediti odsjecke koje na koordinatnim osama prave date ravni:

(a) x 2y + 3z 6 = 0;(b) 5x+ y 3z 15 = 0;(c) x+ 2y 3z = 0;(d) 2y 3x 6 = 0.

5. Napisati u skalarnom obliku jednacinu ravni ~r(~i~j + ~k) = 2.Rjesenje: ~r(~i~j + ~k) = 2 (x~i + y~j + z~k)(~i ~j + ~k) = 2 x y + z = 2.

6. Napisati u vektorskom obliku jednacinu ravni 2x y + z + 3 = 0.Rjesenje: 2x y + z + 3 = 0 (x~i + y~j + z~k)(2~i~j + ~k) = 3 ~r(2~i~j + ~k) = 3.

7. Napisati jednacinu ravni koja je paralelna sa ravni : 2x y = 5 i prolazi kroz tacku M(0, 1, 2).Rjesenje: Vektor normale date ravni je ~n = (2,1, 0) pa je i vektor normale trazene ravni ~n =(2,1, 0), sada je A(x x1) + B(y y1) + C(z + z1) = 0 2(x 0) 1(y 1) + 0(z 2) = 0jednacina trazene ravni je 2x y + 1 = 0.

8. Odrediti udaljenost tacke M(2, 0, 1) od ravni

(a) x 2y + 3z + 1 = 0;(b) ~r(~i+~j ~k) = 2.

Rjesenje: b) Prevedemo ravan u skalarni oblik ~r(~i +~j ~k) = 2 x+ y z 2 = 0 pa je

d =

1 2 + 1 0 1 1 21 + 1 + 1

=53

3.

9. Odrediti udaljenost izmedju paralelnih ravni:

(a) x 2y + z 1 = 0 i 2x 4y + 2z + 1 = 0;


(b) ~r(2~i+ 3~j 6~k) = 14 i ~r(2~i+ 3~j 6~k) 35 = 0.Rjesenje: b) Prevedemo ravni u skalarni oblik, dobijamo 2x+3y6z+14 = 0 i 2x+3y6z35 =0, sada odredimo na jednoj od ravni proizvoljnu tacku, npr. uvrstimo u jednacinu prve ravniy = 0, z = 0 i izracunamo x, x = 7. Sada racunamo udaljenost izmedju tacke M(7, 0, 0) idruge ravni 2x+ 3y 6z 35 = 0,d =

2 (7) + 3 0 6 04 + 9 + 36

= 2.

10. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz x osu i sadrzi tacku M(1, 2, 1).

11. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(2, 1,3), a normalna je na vektorM1M2, gdje

je M2(2, 3,5).

12. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz koordinatni pocetak i normalna je na ravni 2xy+5z+3 =0, x+ 3y z 7 = 0.

13. Napisati jednacinu ravni koja prolazi kroz tacku M1(3, 1,1) i koja:

(a) na koordinatnim osama odsijeca jednake odsjecke;

(b) sadrzi y osu;(c) prolazi kroz koordinatni pocetak i tacku M2(2, 2, 2).

14. Odrediti odsjecke koje na koordinatnim osama ravni date ravni:

(a) x 2y + 3z 6 = 0;(b) 5x+ y 3z 15 = 0;(c) x+ 2y 3z =; 0(d) 2y 3x 6 = 0.

15. U kakvom su medjusobnom odnosu ravni x 2y + 3z 2 = 0 i 2x 4y + 6z 2 = 0.

16. Napisati u skalarnom obliku jednacinu ravni ~r(2~i+~j ~k) = 2.

17. Napisati u skalarnom obliku jednacinu ravni ~r(~i+ 9~k) = 3.

18. Napisati u vektorskom obliku jednacinu ravni x 4y + 5z 3 = 0.

19. Napisati jednacinu ravni koja je paralelna sa ravni : 2x 3y + 4z = 15 i prolazi kroz tackuM(2, 0, 2).

20. Odrediti ugao izmedju ravni

(a) x 2z = 6 i x+ 2y 4 = 0;(b) x 2y + z = 9 i x+ z = 8.

21. Odrediti udaljenost tacke M(2, 1,1) od ravni

(a) 2x y + z + 11 = 0;(b) ~r(3~i 4~j + ~k) = 1.

22. Odrediti udaljenost izmedju paralelnih ravni:

(a) 3x y + 4z 1 = 0 i 3x y + 4z + 1 = 0;(b) ~r(~i 3~j 16~k) = 14 i ~r(~i 3~j 16~k) + 3 = 0.

Ravan

Documents

Transcript of Ravan