Rappresentazione dell’informazione

Informatica@Matematica

Simone Martini

a.a. 2015-2016

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Parte I

Rappresentare l’informazione

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Omnia in. . . numero

Unico tipo disponibile alla macchina fisica: parole di bit

Una parola e lunga 1, 2, 4, 8 byte

Rappresentazione esatta di grandezze discrete

Rappresentazione approssimata di grandezze discrete,mediante campionamento

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Rappresentazione posizionale

In base b su k cifre

Per n 2 N, l’unica successione di k cifre definita da

n = ck�1bk�1 + · · ·+ c0b

0, ci 2 [0, b � 1].

Su k cifre sono rappresentabili i naturali nell’intervallo [0, 2k � 1].

(n)kb = ck�1 · · · c0

b = 2, 8, 16

Per b = 16, le cifre dopo 9 sono A,B ,C ,D,E ,F .(A17)16 = 1010 0001 0111 in binario.

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Rappresentazione in modulo e segno

Per n 2 Z:

MS(n)k2 =

⇢(n)k2 se 0 n < 2k�1

(2k�1 + |n|)k2 se �2k�1 < n 0

L’intervallo di rappresentazione e [�2k�1 � 1, 2k�1 � 1].

Piu diretto: rappresenta |n| su k � 1 cifre;aggiungi la k-esima cifra (la piu significativa) come bit di segno:1 se n e negativo; 0 se n e positivo.

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Rappresentazione in modulo e segno, 2

Svantaggi:

Due rappresentazioni per zero: 00000000 e 10000000 (su 8 bit)

Somma e sottrazione devono testare il bit di segno prima dell’operazione

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Rappresentazione in complemento a 2

Per n 2 Z:

CD(n)k =

⇢(n)k�1

2 se 0 n < 2k�1

(2k + n)k2 se �2k�1 n < 0

L’intervallo di rappresentazione e [�2k�1, 2k�1 � 1].

Il bit piu significativo e ancora un bit di segno, ma il modulo di un numeronegativo e complementato: su 4 bit, 1010 rappresenta �6 (i bit 010rappresentano 2, cioe quello che manca a 6 per ottenere 23).

Su quattro bit, ora 1000 rappresenta �8, il minimo intero rappresentabile.

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Somma in complemento a 2

Due interi (relativi) si sommano come due numeri senza segno

Gli ultimi due riporti (quelli di significativita 2k�1 e 2k) indicano se ilrisultato e corretto:

se sono diversi, e avvenuto overflow.

Esempi:

Interi su 8 bit; 27 = 128;intervallo di rappresentativita: [�128, 127].

Senza overflow:

11111 1110 (rip)

0000 1111 (15)

+ 1111 1011 (-5)

-----------

0000 1010 (10)

Con overflow:

01111 0000 (rip)

0111 1000 (120)

+ 0000 1010 ( 10)

-----------

1000 0010 (-126)

(e non 130)

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Rappresentazione in virgola fissa

Per n 2 Q:

Su k bit, f bit riservati alla parte frazionaria;

Rappresentazione in complemento a 2

Intervallo di rappresentazione: [�2k�1/2f , (2k�1 � 1)/2f ]

Minimo modulo rappresentabile: 2�f .

Non necessita di hardware apposito

Spreco di bit per zeri non significativi

Scarsa precisione

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Rappresentazione in virgola mobile

Per n 2 Q:

Rappresentato con una tripla (b, e, s)

la base b;

un numero intero e con segno, detto esponente.

un numero frazionario s con segno, detto significante

(o mantissa);

Rappresenta il numeros ⇥ b

e .

b = 2, sottinteso.

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Numeri normalizzati

Rappresentazione non unica:I (+010,+1.1010) = (1 + 2�1 + 2�3)⇥ 22 = 6.5I (+011,+0.1101) = (0 + 2�1 + 2�2 + 2�4)⇥ 23 = 6.5

s e normalizzato sse e 1.b1b2 · · · bkla rappresentazione e unica per normalizzati,

ma abbiamo perso lo zero. . .

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IEEE 754

Precisione semplice (32 bit):

Una specifica rappresentazione:

1 1 bit per il segno del significante (0 indica +);

2 8 bit per l’esponente, e, in eccesso 127;

3 23 bit per il significante normalizzato s

(solo parte frazionaria: bit nascosto).

Esponente e 2 [�126,+127], rappresentato come e + 127.Campo esponente 00000000 (e s = 0): zero.Campo esponente 11111111: NaN.

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IEEE 754: Un esempio

1 10000001 10110000000000000000000

1 numero negativo;

2e = (27 + 1)� 127 = 2;

3 �(1.10110000000000000000000)2, ovveros = 1 + 2�1 + 2�3 + 2�4 = 1.6875;

4 �1.6875⇥ 22 = �6.75

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IEEE 754

Precisione doppia (64 bit)

Standard per float di Python:

1 1 bit per il segno del significante (0 indica +);

2 11 bit per l’esponente, e, in eccesso 1023;

3 52 bit per il significante normalizzato s

(solo parte frazionaria: bit nascosto).

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ASCII

American Standard Code for Information Interchange, 1961Codifica caratteri su 7 bit: solo 128 caratteri!

Ottavo bit: codice di parita(oggi: bit piu significativo e 0)

Codici (decimali) da 0 a 31 e 127: non stampabili (codici di controllo);

32: spazio (blank)

da 65 (101 oct) a 90 (132 oct): maiuscole da A a Z

da 97 (141 oct) a 122 (172 oct): minuscole da a a z

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ASCII

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ASCII

Forse su�ciente negli anni ’60. . .

Assolutamente inadeguato oggi:I caratteri con segni diacritici: e, e, o, n, œ, a, c, a, z, oI segni di interpunzione: ¡, ¿, -, –, —I simboli: 8, 9, ⌦, 2, ?, ⇡, ⇠=I caratteri di altri alfabeti: ↵, �, H. ,I legature: ’∫J⌦ ´ –CÇÀ@

Necessita di codifiche estese e modulari

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Unicode

Una codifica (in divenire) di tutti i caratteri usatiI da tutte le lingue viveI da alcune lingue morte

Piu di 110 000 caratteri

Piu di 100 script (“modi di scrivere”, p.e. “latin”,“armenian”, “arabic”, ecc.)

Comprende:I grafici per la resa visualeI metodi per la codifica (encoding methods)I info aggiuntive (normalizzazione, rendering, resa bidirezionale

etc.)

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Unicode

Unicode non codifica direttamente “caratteri” con stringhebinarie.

Distinguiamo:

- Repertorio di carattericon serie di decisioni: “u” e uno o due caratteri?

- I codici (“code points”) di quei caratteri: un insieme di naturali“Coded Character Set” (CCS)

- Un Character Encoding Form, CEF:codifica dei code points con uno o piu bytes

- Come questi bytes sono ordinati (big-endian vs little-endian)

Numeri in gioco:

- Repertorio caratteri: 2 milionilog2 2M 21: 21 bit (3 byte)

- CEF piu “semplice” mappa ogni code point su tre bytes.Assurdo spreco!

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Character Encoding: UTF

Universal Transformation Format

Ogni codice e rimappato su codifiche basate su 1, 2 o 4 byte:UTF-8, UTF-16, UTF-32

UTF-8 codifica i caratteri ASCII con 1 byte,e gli altri con due, o tre, o quattro byte.E il piu di↵uso; dovrebbe essere il defaultUn byte ASCII e un byte UTF-8 corretto.

UTF-16 codifica i caratteri piu comuni con 2 byte,e gli altri con 4 byte.

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Character Encoding

UTF-8

I primi 128 code points: come ASCII0x xxxx xxx

Code points � 128:1 leading byte: 11 xxxx xxx

alcuni continuation bytes 10 xxx xxx

Il numero degli 1 piu significativi nel leading byte coincide conil numero dei continuation bytes

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